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원종 진
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1 대한수학교육학회지 < 학교수학 > 제 4 권제 2 호 Journal of Korea Society of Educational Studies in Mathematics School Mathematics Vol.4, No.2, June 2002 규칙성이있는수식을소재로한교수단원설계연구 기획 수업아이디어 박교식 * I. 서론 이논문의목적은비트만 (Wittmann, 184, 15) 의관점에서 규칙성 (pattern) 이있는수식 을소재로한교수단원 ( 敎授單元, teaching units) 을설계 (design) 하는것이다. 이논문에서 규칙성이있는수식 이란, 이를테면다음과같이어떤규칙성을찾을수있는일련의수식을의미한다. 다음일련의수식에서승수는 11로고정되어있고, 피승수는한자리씩늘어나고있으며, 또곱도한자리씩늘어나고있다. 이때피승수에서늘어나는자리의수는언제나 6이다. 곱에서가장큰자리의수와가장작은자리의수는언제나 7로고정되어있다. 그리고중간에있는자리의수는모두 3이다 = =7,337 6,667 11=73,337 66,667 11=733, ,667 11=7,333,337 이논문의목적은바로이와같은일련의수식을소재로하여, 그러한소재에서찾을수있는의문에대한해결을추구하는과정에서관련된수학지식을심화하고, 아울러관련된수학적사고를형성할수있게하는교수단원을설계하는것이다. 교수단원은어떤일정한교수목표를성취할수있도록체계적으로설계 조직해놓은교수 학습내용전체를의미한다. 교수단원의설계는인위적인대상 (artificial objects) 을창의적으로구성하는것이고, 그런점에서그것은디자인과학의영역에속한다. 일반적으로디자인과학은어떤인위적인대상을만들어내는분야의과학을의미한다.(Wittmann, 15) 디자인과학에서는인위적인대상을만들어내기위한설계과정이반드시관련된다. 이인위적인대상은설계하는사람의재능 (ingenium) 즉, 관련이론에바탕을둔건설적인기능과체계적인평가에좌우된다. 이와마찬가지로교수단원도설계하는사람의능력에따라질적으로다양한교수단원이만들어질수있다. 특히, 비트만 (15) 에의하면, 실속있는교수단원은다음의특징을가진다. 첫째, 수학교육의중요목적, 내용및원리를나타낸다. 둘째, 수학적활동을위한풍부한자원을제공한다. 셋째, 융통성있을뿐만아니라특별한교실의여건에쉽게적응할수있다. 넷째, 교수 학습의수학적, 심리학적및교육학적측면을총체적인방법으로포함하며, 따라서경험적연구를위한넓은잠재력을제공한다. 본논문에서는비트만의이러한관점에따라규칙성이있는수식을소재로한실속있는교수단원을설계하여, 수학교수-학습을위한유 * 인천교육대학교

2 용한하나의자료로제시하고자한다. II. 승수가고정된수식만들기 1. 수 11을이용하여수식만들기 다음 5개의식을보자. 이 5개의식은이논문에서설계하고자하는교수단원의첫번째기본소재이다. 이식에서승수는 11로고정되어있고, 피승수는한자리씩커지고있다. 일의자리의수는항상 7이고다른자리의수는모두 6이다. 곱에서가장큰자리의수와일의자리의수는 6이고, 다른자리의수는모두 3 이다 = =7,337 6,667 11=73,337 66,667 11=733, ,667 11=7,333,337 이수식에서자연스럽게가장먼저생겨나는의문은 이와같은규칙성이계속해서성립할까 하는것이다. 즉, n자리수 6667(6이 n-1 개 ) 에 11을곱하면 n+1자리수 7337(3이 n-1 개 ) 이되는가하는것이다. 다음과같이두개의식을더만들수있으므로, 이규칙성이계속해서성립할것으로예측된다. 그러나이이후의식에대해규칙성의성립여부를확인하는것은쉬운일이아니다. 6,666,667 11=73,333,337 66,666,667 11=733,333,337 따라서여기서 n자리수 6667(6이 n-1개 ) 에 11을곱하면 n+1자리수 7337(3이 n-1개 ) 이되는지검토하는것을학생들에게첫번째과제로제시할수있다. n자리수 6667은다음과같이나타낼수 있다 n (6+1) 승수 11은 10+1과같으므로, n자리수 6667 과 11의곱은다음과같다. ( n ) (10+1) 이식을전개하여정리하면다음과같다. (6 10 n ) +( n ) = 6 10 n = 6 +( 10 n +2 )+( n -2 ) ++( )+10+(6+1) = (6 10 n + 10 n )+(2 + )+ +( )+( )+(6+1) = 7 10 n 여기서식 7 10 n 은 10 n 의자리의수와일의자리의수가각각 7이고, 나머지 n-1개자리의수는모두 3인 n+1 자리수 7337을의미한다. 따라서위의규칙성이계속해서성립한다는것을알수있다. 학생들에게제시할수있는두번째과제는이러한규칙성을가진식을더찾아보는것이다. 이과제를해결하기위해 n자리수로일의자리의수가 x+1이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 x인수를다음과같이나타낼수있다. x+ 10 n -2 x++10x+(x+1) 이수와 11의곱은다음과같다. ( x+ 10 n -2 x++10x+x+1) (10+1) 이식을전개하여정리하면다음과같다. ( 10 n x+ x x+10x+10) +( x+ 10 n -2 x++10x+x+1) = x 10 n +2x

3 2x x x+1 여기서 2x<10 즉, x<5라고하면받아올림이생기지않으므로 10 n 의자리의수는 x가되어일의자리의수 x+1과같지않게되고, 이것은조건에맞지않는다. 따라서 2x 10 즉, x 5이어야한다. 그런데 x=이면 x+1=10이되어조건에맞지않으므로 x 8임을알수있다. 이때위의식을계속해서정리하면다음과같다. x 10 n +{ 10 n +(2x-10) }+{ +(2x-10) 10 n -2 }++{ (2x-10) 10} +10+(6+1) = (x 10 n + 10 n )+{(2x-10) + }+ +{(2x-10) }+{(2x-10) 10+10}+(6+1) = (x+1) 10 n +(2x-) + +(2x-) (2x-) 10+(x+1) 여기서식 (x+1) 10 n +(2x-) + +(2x-) (2x-) 10+(x+1) 은 10 n 의자리의수와일의자리의수가각각 x+1이고, 나머지 n-1개자리의수는모두 2x- 인 n+1자리수를의미한다. 앞의첫번째과제에서 x=6인경우를다루었으므로, x=5라고하자. 그러면 2x-=1이므로다음이성립함을알수있다 = =6,116 5,556 11=61,116 55,556 11=611, ,556 11=6,111,116 x=7이라고하자. 그러면 2x-=5이므로다음이성립함을알수있다 = =8,558 7,778 11=85,558 77,778 11=855, ,778 11=8,555,558 x=8이라고하자. 그러면 2x-=7이므로성립함을알수있다. 8 11= =,77 8,88 11=7,77 88,88 11=77,77 888,88 11=,777,77 지금까지일의자리의수가 x+1이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 x인 n자리수와 11의곱이, 10 n 의자리의수와일의자리의수가각각 x+1이고, 나머지 n-1개자리의수는모두 2x-인 n+1자리수가되는경우를모두찾았다. 그런데만약모든자리의수가 x인 n자리수와 11을곱해도위에서볼수있었던것과유사한규칙성을찾을수있을까? 이것이바로학생들에게제시할수있는세번째과제이다. 모든자리의수가 x인 n자리수는다음과같이나타낼수있다. x+ 10 n -2 x++10x+x 이수와 11의곱은다음과같다. ( x+ 10 n -2 x++10x+x) (10+1) 이식을전개하여정리하면다음과같다. ( 10 n x+ x x+10x) +( x+ 10 n -2 x++10x+x) = x 10 n +2x ++2x x 10+x 여기서 2x 10 즉, x 5이면받아올림이생겨 10 n 의자리의수가 x+1이되어조건에맞지않는다. 따라서 2x 8 즉, x 4이어야한다. 여기서식 x 10 n +2x ++2x x 10+x - 2 -

4 은 10 n 의자리의수와일의자리의수가각각 x이고, 나머지 n-1개자리의수는모두 2x인 n+1자리수를의미한다. x=1이라고하자. 그러면 2x=2이므로다음이성립함을알수있다 = =1,221 1,111 11=12,221 11,111 11=122, ,111 11=1,222,221 x=2라고하자. 그러면 2x=4이므로다음이성립함을알수있다 = =2,442 2,222 11=24,442 22,222 11=244, ,222 11=2,444,442 x=3이라고하자. 그러면 2x=6이므로다음이성립함을알수있다 = =3,663 3,333 11=36,663 33,333 11=366, ,333 11=3,666,663 x=4라고하자. 그러면 2x=8이므로다음이성립함을알수있다 = =4,884 4,444 11=48,884 44,444 11=488, ,444 11=4,888, 수 를이용하여수식만들기다음 5개의식을보자. 이 5개의식은이논문에서설계하고자하는교수단원의두번째기본소재이다. 이식에서승수는 로고정되어있고, 피승수는한자리씩커지고있다. 이때일의자리의수는항상 7이고다른자리의수는모두 6이다. 곱에서가장큰자리의수는 6, 일의자리의수는 3이고, 다른자리의수는모두 0이다. 67 = =6,003 6,667 =60,003 66,667 =60, ,667 =6,000,003 이와같은규칙성이계속해서성립하는가? 이것이학생들에게제시할수있는네번째과제이다. 즉, n자리수 6667(6이 n-1개 ) 에 를곱하면 n+1자리수 6003(3이 n-1개 ) 이되는가? 다음과같이몇개의식을더만들수있으므로, 이규칙성은계속해서성립할것으로예측된다. 6,666,667 =60,000,003 66,666,667 =600,000,003 실제로다음과같이이규칙성이계속해서성립한다는것을알수있다. 이를테면 n자리수 6667은다음과같이나타낼수있다 n (6+1) 승수 는 10-1과같으므로결국 n자리수 66 67과 의곱은다음과같다. ( n ) (10-1) 이식을전개하여정리하면다음과같다. (6 10 n ) -( n ) = 6 10 n +10-(6+1)

5 = 6 10 n +3 여기서식 6 10 n +3은 10 n 의자리의수가 6, 일의자리의수가 3이고, 나머지 n-1개자리의수는모두 0인 n+1자리수 6003을의미한다. 따라서위의규칙성이계속해서성립한다는것을알수있다. 이제이와같은규칙성이있는수식을더찾아보자. 이것이학생들에게제시할수있는다섯번째과제이다. n자리수로일의자리의수가 x+1이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 x 인수는다음과같이나타낼수있다. x+ 10 n -2 x++10x+(x+1) 이수와 의곱은다음과같다. ( x+ 10 n -2 x++10x+x+1) (10-1) =( 10 n x+ x x+10x+10) -( x+ 10 n -2 x++10x+x+1) = x 10 n +(-x) 여기서식 x 10 n +(-x) 는 10 n 의자리의수는 x, 일의자리의수는 -x이고, 나머지 n-1개자리의수는모두 0인 n+1자리수를의미한다. 여기서 x=이면 x+1=10이되어조건에맞지않으므로 x 8임을알수있다. x=1이라고하자. 그러면 -x=8이므로다음이성립함을알수있다. 12 = =1,008 1,112 =10,008 11,112 =100, ,112 =1,000,008 x=2라고하자. 그러면 -x=7이므로다음이성립함을알수있다. 23 = =2,007 2,223 =20,007 22,223 =200, ,223 =2,000,007 x=3이라고하자. 그러면 -x=6이므로다음이성립함을알수있다. 34 = =3,006 3,334 =30,006 33,334 =600, ,334 =6,000,006 x=4라고하자. 그러면 -x=5이므로다음이성립함을알수있다. 45 = =4,005 4,445 =40,005 44,445 =400, ,445 =4,000,005 x=5라고하자. 그러면 -x=4이므로다음이성립함을알수있다. 56 = =5,004 5,556 =50,004 55,556 =500, ,556 =5,000,004 x=6이라고하자. 그러면 -x=3이므로다음이성립함을알수있다. 67 = =6,003 6,667 =60,003 66,667 =600, ,667 =6,000,003 x=7이라고하자. 그러면 -x=2이므로다음이성립함을알수있다

6 78 = =7,002 7,778 =70,002 77,778 =700, ,778 =7,000,002 x=8이라고하자. 그러면 -x=1이므로다음이성립함을알수있다. 8 = =8,001 8,88 =80,001 88,88 =800, ,88 =8,000,001 III. 제곱이있는수식만들기 다음세개의식은앞에서본것보다다소복잡하다. 이세개의식은이논문에서설계하고자하는교수단원의세번째기본소재이다. 이세식에도어떤규칙성이있다. 즉, 피감수에서는 5가한개씩, 감수에서는 4가한개씩늘어나고있다. 또차에서는 1이두개씩늘어나고있다 = =1, =111,111 이세개의식은 11 1=11, =1,111 그리고 1, =111,111임을이용하여만든것이다. 위의세식에서다음을쉽게알수있다 =(6+5) (6-1)= =(56+45) (56-45)=1, =( ) ( )=111,111 일반적으로이세식에서볼수있는규칙성은계속해서성립하는가? 이것이학생들에게 제시할수있는여섯번째과제이다. 일의자리의수가 6이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 5인 n자리수 5556과일의자리의수가 5이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 4인 n자리수 4445에대해다음이성립한다 =( )( ) 일의자리의수가 6이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 5인 n자리수 5556을다음과같이나타낼수있다 n 같은방법으로일의자리의수가 5이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 4인 n자리수 4 445를다음과같이나타낼수있다 n 이제 를계산하면다음과같다. ( n ) +( n ) =(5+4) +(5+4) 10 n (5+4) 10+(6+5) = + 10 n (10+1) = 10 n +1 여기서식 10 n +1은 10 n 의자리의수와일의자리의수가각각 1이고, 나머지자리의수는모두 0인 n+1자리수 1001을의미한다. 또 를계산하면다음과같다. ( n ) -( n ) =(5-4) +(5-4) ++(5-4) 10+(6-5) = + 10 n 그런데식 + 10 n 은모든자리의수가 1인 n자리수 111을의

7 미하므로, 결국다음이성립함을알수있다. ( 10 n +1) ( + 10 n ) =( 10 2n n n n ) +( + 10 n ) = 10 2n n 여기서식 10 2n n 은모든자리의수가 1인 2n자리수 111을의미한다. 따라서다음이성립함을알수있다 = =1, =111,111 5, ,445 2 =11,111,111 55, ,445 2 =1,111,111,111 이와같은규칙성을가진식을더찾을수있는가? 이것이학생들에게제시할수있는일곱번째과제이다. 먼저다음을이용해서위와같은규칙성을가진식을더만들어보자. 11 2= =2,222 1, =222,222 1 이상 8 이하의임의의자연수 x, y에대해일의자리의수가 x+1이고, 나머지다른자리의수가모두 x인 n자리수를 x+ 10 n -2 x++10x+(x+1) 로나타낼수있다.(x=이면 x+1=10이되어조건에맞지않는다.) 또, 일의자리의수가 y+1 이고, 나머지다른모든자리의수가 y인 n자리수를 y+ 10 n -2 y++10y+(y+1) 로나타낼수있다.(y=이면 y+1=10이되어조건에맞지않는다.) 따라서위와같은규칙성을가진식을더만들기위해 ( x+ 10 n -2 x++10x+x+1) 2 -( y+ 10 n -2 y++10y+y+1) 2 을계산한결과가모든자리의수가 2인 2n자리수 222가된다고가정해보자. 위의식을인수분해하여정리하면다음과같다. {( x++x+1)+( y++y+1)} {( x++x+1)-( y++y+1)} ={ (x+y)+ 10 n -2 (x+y)++(x+y)+2} { (x-y)+ 10 n -2 (x-y)+(x-y)} 이식에서 (x+y)+ 10 n -2 (x+y)++(x+y)+2} =1001 (n+1자리수 ) (x-y)+ 10 n -2 (x-y)+(x-y) =222 (n자리수 ) 이기위해서는 x+y=, x-y=2이어야한다. 이것을만족하는자연수 x, y의값을구할수없다. 따라서주어진식을이용하여규칙성을가진수식을더만들수없다. 두번째로다음수식을이용해보자. 11 3= =3,333 1, =333,333 위와같은방법으로계속할때 (x+y)+ 10 n -2 (x+y)++(x+y)+2} =1001 (n+1자리수 ) (x-y)+ 10 n -2 (x-y)+(x-y) =333 (n자리수 ) 이기위해서는 x+y=, x-y=3이어야한다. 이것을만족하는자연수 x, y의값을구하면 x=6, y=3이다. 따라서다음이성립함을알수있다 = =3, =333,

8 6, ,334 2 =33,333,333 66, ,334 2 =3,333,333,333 한편, 위에서얻은식 { (x+y)+ 10 n -2 (x+y)++(x+y)+2} { (x-y)+ 10 n -2 (x-y)+(x-y)} 을이용하면이와유사한규칙성을가진식을더만들수있다. 즉, 이식을계산한결과가, 4 이상 8 이하의임의의자연수 a에대해, 모든자리의수가수 a인 2n자리수 10 2n -1 a+ 10 2n -2 a++10a+1 가되기위해서는 (x+y)+ 10 n -2 (x+y)++(x+y)+2} =1001 (n+1자리수 ) (x-y)+ 10 n -2 (x-y)+(x-y) = 10 2n -1 a+ 10 2n -2 a++10a+1 (n자리수 ) 에서 x+y=, x-y=a이어야한다. a=4이면 x+y=, x-y=4에서, x= 13 2, y= 5 2 이다. 이것은 x, y가자연수라는조건에맞지않는다. a=5이면 x+y=, x-y=5이다. 이것을만족하는자연수 x, y의값은 x=7, y=2이다. 따라서다음이성립한다 = =5, =555,555 7, ,223 2 =55,555,555 77, ,223 2 =5,555,555,555 a=6이면 x+y=, x-y=6이다. 이것을만족하는자연수 x, y의값이존재하지않는다. a=7이면 x+y=, x-y=7이다. 이것을만족하는자연수 x, y의값은 x=8, y=1이다. 따라서다음이성립한다 = =7, =777,777 8,88 2-1,112 2 =77,777,777 88, ,112 2 =7,777,777,777 a=8이면 x+y=, x-y=8이다. 이것을만족하는자연수 x, y의값이존재하지않는다. IV. 연속한두수를이용하여수식만들기 계산기를이용하여 6 7, 66 67, , 그리고 6,666 6,667을차례로계산해보면다음과같은네개의식을얻을수있다. 이네개의식은이논문에서설계하고자하는교수단원의네번째기본소재이다. 6 7= =4, =444,222 6,666 6,667=44,442,222 대개의계산기로는여기까지계산할수있다. 그러나필산으로다소지루한계산을계속한다면다음이성립함을확인할수있다. 66,666 66,667=4,444,422, , ,667=444,444,222,222 이 6개의식에는일정한규칙성이있음을알수있다. 즉, 피승수와승수모두에서 6이한개씩늘어나고있고, 곱에서는 4와 2가각각한개씩늘어나고있다. 이규칙성에따르면다음도계속해서성립할것으로예측된다. 6,666,666 6,666,667=44,444,442,222,222 66,666,666 66,666,667=4,444,444,422,222,222 이러한예측은참인가? 즉, 일반적으로모든자리의수가 6인 n자리수 666과일의자리의수가 7이고나머지 n-1개자리의수가모두

9 인 n 자리수 6667 의곱을구하면 = (4 와 2 가각각 n 개씩인 2n 자리수 ) 이되는가? 이것이학생들에게제시할수있는 여덟번째과제이다. 모든자리의수가 6 인 n 자리수 6666 은다 음과같이나타낼수있다 n 같은방법으로일의자리의수가 7 이고, 나머 지 n-1 개자리의수가모두 6 인 n 자리수 은다음과같이나타낼수있다 n 이두수의곱은다음과같다. { n } { n } ={ n } {( n )+1} ={ n } 2 +{ n } ={6 ( + 10 n )} 2 +{6 ( + 10 n )} =36 ( + 10 n ) 2 +6 ( + 10 n ) 여기서식 + 10 n 은첫째 항이 1, 공비가 10, 항의수가 n 인등비급수이 므로그합을구하면다음과같다 = 따라서다음이성립한다. 36 ( + 10 n )2 +6 ( + 10 n ) =36 ( 10-1 )2 +6 ( 10-1 ) =36 ( ) 2 +6 ( = ( 10 2n n +1)+ 6 ( ) =( n )-( 2 10 n )- 2 =( n )-( 4 10 n )+( 2 10 n )- 2 = 4 10 n ( )- 2 ( ) =4 10 n ( =4 10 n ( )-2 ( ) 10-1 )-2 ( 10-1 ) =4 10 n ( + 10 n ) +2 ( + 10 n ) =4 ( 10 2n n n n ) +2 ( + 10 n ) 여기서 4 ( 10 2n n n n ) =4 10 2n n n n 이다. 이것은 4, 0 이각각 n 개씩인 2n 자리수 을의미한다. 또 2 ( + 10 n ) = n 이다. 이것은모든자리의수가 2 인 n 자리수 222 를의미한다. 결국 의계산 결과는 4, 2 가각각 n 개씩인 2n 자리수 가된다. 따라서앞의예측이참임을알 수있다. 이와유사한규칙성을가진수식을더찾을수있는가? 이것이학생들에게제시할수있는아홉번째과제이다. 1 이상 8 이하인임의의자연수 a에대해모든자리의수가모두 a인 n 자리수 a+ 10 n -2 a++10a+a )

10 =a ( + 10 n ) 와일의자리의수가 a+1 이고, 나머지 n-1 개자 리의수가모두 a 인 n 자리수 a+ 10 n -2 a++10a+(a+1) =( a+ 10 n -2 a++10a+a)+1 =a ( + 10 n )+1 의곱을다음과같이구할수있다.(a= 이면 a+1=10 이되어조건에맞지않는다.) ( a+ 10 n -2 a++10a+a) { a+ 10 n -2 a++10a+(a+1)} ={a ( + 10 n )} {a ( + 10 n )+1} = a 2 ( + 10 n ) 2 +a ( + 10 n ) = a 2 ( = a 2 ( 10-1 )2 +a ( ) 2 +a ( 10-1 ) = a 2 81 ( 10 2n n +1)+ a ( ) = a n - 2a n + a a 10 n - a = a n - a 81 (2a-) 10 n + a 81 (a-) 이식의값이자연수가되어야한다. 즉, a 2 의값이 의배수이어야하므로 a=3 또는 a=6 이어야한다. 그런데 a=6 인경우는위의여덟 번째과제에서이미다루었다. 따라서 a=3 이라 고하자. 그러면위의식에서다음을얻을수 있다 n - = n n (6-) 10 n (3-) ) = n n n - 2 = 1 10 n ( )+ 2 ( ) = 10 n ( = 10 n ( )-2 ( 10-1 )-2 ( 10-1 ) = 10 n ( + 10 n ) +2 ( + 10 n ) =( 10 2n n n n ) +2 ( + 10 n ) 여기서식 10 2n n n n 은 1, 0 이각각 n 개씩인 2n 자리수 을 의미한다. 또 2 ( + 10 n ) = n 이다. 이것은모든자리의수가 2 인 n 자리수 222 를의미한다. 결국 의계산 결과는 1, 2 가각각 n 개씩인 2n 자리수 가된다. 따라서다음이성립함을알수 있다. 3 4= =1, =111,222 3,333 3,334=11,112,222 33,333 33,334=1,111,122,222 V. 대칭적인수식만들기 다음네개의식을보자. 이네개의식은 이논문에서설계하고자하는교수단원의다섯번째기본소재이다. 이네개의식에서볼수 )

11 있는규칙성이계속해서성립하는가? 1 64= = ,664=1, ,664=16,666 4 즉, 일반적으로일의자리의수가 4이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 4인 n자리수 66 64와 의자리의수가 1이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 6인 n자리수 1666에대해 = 가성립하는가? 이것이학생들에게제시할수있는열번째과제이다. 일의자리의수가 4이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 4인 n자리수 6664는다음과같이나타낼수있다 n 여기에 1을곱해도그결과는변하지않는다. 즉, 다음과같다. 1 ( n ) = n =(4 +2 )+( n -2 ) ++( )+4 =4 +( n -2 ) +(2 10 n n -3 )++(2 10+4) =4 +(20 10 n n -2 ) +(20 10 n n -3 )++(2 10+4) = n n = ( n n ) 4 여기서 n n 은 의자리의수가 1이고, 나머지 n-1개자리의수가 6인 n자리수 1666을의미한다. 따라서이규칙성이계속해서성립함을알수있다. 이와유사한규칙성을갖는수식을더찾을수는없을까? 이것이학생들에게제시할수있는열한번째과제이다. 이를위해 2 이상 이하인임의의자연수 x, y에대해 x+ 10 n -2 x++10x+y =( + 10 n -2 x++10x+x)y 가성립한다고하자.(x=1이면당연히성립한다.) 이식을정리하면다음과같다. x+ 10 n -2 x++10x+y = y+ 10 n -2 xy++10xy+xy 이식은다음과같다. x+ 10 n -2 x++10x -( 10 n -2 x++10x+x)y= y-y 위에서 x+ 10 n -2 x++10x -( 10 n -2 x++10x+x)y =10 ( 10 n -2 x++10x+x) -( 10 n -2 x++10x+x)y =( 10 n -2 x++10x+x)(10-y) =x( 10 n )(10-y) 이고, y-y =( 10 n )y = ( 10 n )y 이므로, 결국 x( 10 n )(10-y) = ( 10 n )y 와같이나타낼수있다. 여기서 y를구하면다음과같다. y= 10x +x 이식을만족하는자연수 x, y의값을찾으면된다. x=2, 3, 4, 5, 7, 8이면이식을만족하는자연수 x, y의값이존재하지않는다. x=6이

12 면 y= 60 =4이다. 이것은열번째과제에서이 15 미취급했다. x=이면 y= 0 =5이다. 따라서다음이성립 18 함을알수있다. 1 5= =1 5 1,5=1, 5 1,5=1, 5 한편, 다음과같이위에서본것과유사한수식을더만들어볼수있다. 이를테면다음네개의식을보자. 이네개의식은이논문에서설계하고자하는교수단원의여섯번째기본소재이다. 2 65= = ,665=2, ,665=26,666 5 이네개의식에서볼수있는규칙성이일반적으로성립하는가? 즉, 일의자리의수가 5 이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 6인 n자 리수 6665와 의자리의수가 2이고, 나머지 n-1개자리의수가모두 n자리수 26 66에대해 = 가성립하는가? 이것이학생들에게제시할수있는열두번째과제이다. 위의식은 1 이상 이하인임의의자연수 x, y 에대해 2 ( x+ 10 n -2 x++10x+y) =( n -2 x++10x+x)y 가성립한다고할때, 다음과같이이식을만족하는자연수 x, y의값을구하여만든것이다. ( 단 x와 y는각각 2가아니다. x=2, y=2인 경우는당연히성립한다.) 이제이식을다음과같이나타낼수있다. 2 ( x+ 10 n -2 x++10x)+2y =2 y+ 10 n -2 xy++10xy+xy 이식은다음과같다. 2 ( x+ 10 n -2 x++10x) -( 10 n -2 x++10x+x)y =2 ( -1)y 위에서 2 ( x+ 10 n -2 x++10x) -( 10 n -2 x++10x+x)y =20 ( 10 n -2 x++10x+x) -( 10 n -2 x++10x+x)y =( 10 n -2 x++10x+x)(20-y) =x( 10 n )(20-y) 이고, 2 ( -1) =2 ( 10 n )y =18 ( 10 n )y 이므로, 결국 x( 10 n )(20-y) =18 ( 10 n )y 와같이나타낼수있다. 여기서 y를구하면다음과같다. y= 20x 18+x 이식을만족하는자연수 x, y의값을찾으면된다. x=1, 3, 4, 5이면이식을만족하는자연수 x, y의값이존재하지않는다. x=6이면 y= 120 =5이다. 이것은위에서여섯번째기본소 24 재로제시한것이다. x=7, 8, 이면이식을만족하는자연수 x, y의값이존재하지않는다. 따라서위에서예시한것이유일하다

13 이제위의경우를더확장해서생각해볼수있는가? 이것이학생들에게제시할수있는열세번째과제이다. 즉, 3 이상 이하인임의의자연수 a와, 1 이상 이하인임의의자연수 x, y에대해등식 a ( x+ 10 n -2 x++10x+y) =(a + 10 n -2 x++10x+x)y 가성립한다고하자. 이것은바로위에서보았던식 2 ( x+ 10 n -2 x++10x+y) =( n -2 x++10x+x)y 에서 2를 a로바꾼것이다. 이때 a=x=y이면당연히성립하므로 x, y는 a와같지않다고가정한다. 위의식을간단히정리하면다음과같다. a ( x+ 10 n -2 x++10x)+ay =a y+ 10 n -2 xy++10xy+xy 이식은다음과같다. a ( x+ 10 n -2 x++10x) -( 10 n -2 x++10x+x)y =a ( -1)y 위에서 a ( x+ 10 n -2 x++10x) -( 10 n -2 x++10x+x)y =10a ( 10 n -2 x++10x+x) -( 10 n -2 x++10x+x)y =( 10 n -2 x++10x+x)(10a-y) =x( 10 n )(10a-y) 이고, a ( -1)y =a ( 10 n )y =a ( 10 n )y 이므로, 결국 x( 10 n )(10a-y) =a ( 10 n )y 와같이나타낼수있다. 여기서 y 를구하면다 음과같다. y= 10ax a+x 이식을만족하는자연수 x, y 의값을찾으 면된다. a=3 이면 y= 30x 이다. 이식을만족하는 27+x 자연수 x, y 의값은존재하지않는다. a=4 이면 y= 40x 이다. 이식을만족하는 36+x 자연수 x, y 의값은 x=, y=8 이다. 따라서다음 이성립한다. 4 8= =4 8 4,8=4, 8 4,8=4, 8 a=5이면 y= 50x 이고, 이식을만족하는 45+x 자연수 x, y의값이존재하지않는다. a=6이면 y= 60x 이고, 이식을만족하는자연수 x, y 54+x 의값이존재하지않는다. a=7이면 y= 70x 63+x 이고, 이식을만족하는자연수 x, y의값이존 재하지않는다. a=8이면 y= 80x 72+x 이고, 이식을만족하는자연수 x, y의값이존재하지않는 다. a=이면 y= 0x 이고, 이식을만족하는 81+x 자연수 x, y의값이존재하지않는다. VI. 수가교대로반복되는수식만들기

14 이제조금더복잡한형태의식을만들수있다. 이를테면다음네개의식을보자. 이네개의식은이논문에서설계하고자하는교수단원의일곱번째기본소재이다. 이네개의식에서볼수있는규칙성이계속해서성립하는가? 이것이학생들에게제시할수있는열네번째과제이다 = ,545=65, ,454,545=6,545, ,454,545=654,545,454 5 실제로이규칙성은계속해서성립한다. 즉 5, 4가교대로반복되어일의자리의수가 5가되는 2n+1자리수 와 10 2n 의자리의수가 6이고 의자리부터 5, 4가교대로반복되는 2n+1자리수 에대해 = 가성립한다. 사실이러한식을시행착오로, 또는우연히발견했다고보기는어렵다. 그보다는다음과같이적절한절차를거쳐만들어냈다고보아야할것이다. 일반적으로 1 이상 이하인임의의자연수 a, x, y(a x, a y이다. x=y인경우는앞에서이미취급했다. 따라서여기서는 x y인것으로가정한다.) 에대해내림차순으로 x, y가교대로반복되어일의자리의수가 x로끝나는 2n+1자리수 10 2n x+ y+ x++ x+10y+x 와 10 2n 의자리의수가 a이고 10 2n -1 의자리부터내림차순으로 x, y가교대로반복되는 2n+1자리수 a+ x+ y++ y+10x+y 가있어, 다음의등식이성립한다고하자. a( x+ y+ x x+10y+x) =( 10 2n a+ 10 2n -1 x+ y y+10x+y)x 이식에서 a( 10 2n x+ 10 2n -1 y+ 10 2n -2 x++ x+10y+x) =( 10 2n ax+ 10 2n -2 ax ax+ax) +( 10 2n -1 ay+ 10 2n -3 ay++10ay) =( 10 2n n )ax +( 10 2n n )ay 이다. 또 ( 10 2n a+ 10 2n -1 x+ 10 2n -2 y++ y+10x+y)x = 10 2n ax+ 10 2n -1 x n -2 xy xy+10x 2 +xy = 10 2n ax+( 10 2n -1 x n -3 x x 2 ) +( 10 2n -2 xy xy+xy) = 10 2n ax+( 10 2n n )x 2 +( 10 2n )xy 이므로, 결국다음이성립한다. ( 10 2n n )ax +( 10 2n n )ay = 10 2n ax+( 10 2n n )x 2 +( 10 2n )xy 이것을더정리하면다음과같다. ( 10 2n )ax +( 10 2n n )ay =( 10 2n n )x 2 +( 10 2n )xy 이식은다음과같이나타낼수있다. ( 10 2n n )ay -( 10 2n )xy =( 10 2n n )x

15 -( 10 2n )ax 이식을정리하면다음과같다. 10 ( 10 2n )ay -( 10 2n )xy =10 ( 10 2n )x 2 -( 10 2n )ax 이식의양변을 10 2n 로나누 면다음식이얻어진다. 10ay-xy=10x 2 -ax y(10a-x)=x(10x-a) 결국다음식을얻을수있다. y= a=1 이면 y= x(10x-1) 10-x x(10x- a) 10a-x 이고, 이식을만족 하는자연수 x, y 의값이존재하지않는다. a=2 이면 y= x(10x -2) 20-x 이고, 이식을만족하 는자연수 x, y 의값이존재하지않는다. 같은 방법으로 a=3, 4, 5 일때각각 y= x(10x-3) 30-x y= x(10x -4) 40-x, y= x(10x-5) 50-x 이고,, 이것을 만족하는자연수 x, y 의값이존재하지않는다. a=6 이면 y= x(10x-6) 60-x 이다. 이식을만족 하는자연수 x, y 의값은 x=5, y=4 이다. 이것은 이미앞에서일곱번째기본소재로제시한것이다. a=7이면 y= x(10x-7) 이다. 이식을만족 70-x 하는자연수 x, y의값은 x=4, y=2이다. 따라서다음이성립함을알수있다 = ,424=74, ,242,424=7,424, ,242,424=742,424,242 4 a=8이면 y= x(10x-8) 이고, 이식을만족 80-x 하는자연수 x, y의값이존재하지않는다. a= 이면 y= x(10x-) 이고, 이식을만족하는 0-x 자연수 x, y의값이존재하지않는다. 만약내림차순으로 x, y가교대로반복되어일의자리의수가 b로끝나는 2n+1자리의수 10 2n x+ 10 2n -1 y+ 10 2n -2 x x+10y+b 와 10 2n 의자리의수가 a이고 10 2n -1 의자리부터내림차순으로 x, y가교대로반복되는 2n+1자리수 10 2n a+ 10 2n -1 x+ 10 2n -2 y y+10x+y 가있어, 다음의등식이성립한다고하자. a( 10 2n x+ 10 2n -1 y+ 10 2n -2 x++ x+10y+b) =( 10 2n a+ 10 2n -1 x+ 10 2n -2 y y+10x+y)b 이등식은앞에서본두경우를일반화하기위한것이다. 이와같은일반화가가능한가? 이것이학생들에게제시할수있는열다섯번째과제이다. 여기서 a, b, x, y는 1 이상 이하인자연수이다. 또 x y인것으로가정한다. 이식에서 a( 10 2n x+ 10 2n -1 y+ x x+10y+b) =( 10 2n ax+ 10 2n -2 ax ax) +( 10 2n -1 ay+ 10 2n -3 ay++10ay)+ab =( 10 2n n )ax +( 10 2n n )ay+ab 이다. 또 ( 10 2n a+ 10 2n -1 x+ y++ y+10x+y)b = ab+ 10 2n -1 bx+ 10 2n -2 by+ 10 2n -4 by+ + by+10bx+by = 10 2n ab+( 10 2n -1 bx+ 10 2n -3 bx++10bx)

16 +( 10 2n -2 by+ 10 2n -4 by by+by) = 10 2n ab+( 10 2n n )bx +( 10 2n n )by 따라서결국다음이성립한다. ( 10 2n n )ax +( 10 2n n )ay+ab = 10 2n ab+( 10 2n n )bx +( 10 2n n )by 이식은다음과같이나타낼수있다. ( 10 2n n )ay -( 10 2n n )by =( 10 2n n )bx -( 10 2n n )ax+ 10 2n ab-ab 이식을정리하면다음과같다. 10 ( 10 2n n )ay -( 10 2n n )by =( 10 2n n )bx -( 10 2n n )ax+ 10 2n ab-ab 여기서 10 ( 10 2n n )ay -( 10 2n )by =( 10 2n n )(10a-b)y 이다. 또, 10 2n ab-ab =( 10 2n n )ab 이다. 이식을변형하면다음과같다. 10 2n n n 이것은다시다음과같이정리할수있다. 2n -4 (0 10 2n n -2 )+(0 10 2n n -4 )++( )+(0+) = 10 2n n = ( 10 2n n ) 따라서다음이성립함을알수있다. ( 10 2n n n n ) = ( 10 2n n ) 또, 다음이성립한다. ( 10 2n n )bx -( 10 2n n )ax =( 10 2n n )bx -10 ( 10 2n n )ax =x( 10 2n n )(b-10a) =10x( 10 2n n )(b-10a) 따라서결국다음이성립함을알수있다. ( 10 2n n )(10a-b)y =10x( 10 2n n )(b-10a) + ( 10 2n n )ab 이식의양변을 10 2n n 로 나누면다음식이얻어진다. (10a-b)y=10x(b-10a)+ab 이식에서 y 를구하면다음과같다. y= ab 10a-b -10x 이식에서 10a-b 는 11 의배수이어야한다. 또 자연수 x, y 는서로다르며각각 1 이상 이하 의자연수이어야한다. a=1 일때 10a-b 가 11 의배수가되게하는 b 의값이존재하지않는다. a=2 일때 10a-b 가 11 의배수가되려면 b= 이어야한다. 이때 y= x=162-10x 이다. 이식을만족하는자 연수 x, y 의값이존재하지않는다. a=3 일때 10a-b 가 11 의배수가되려면 b=8 이어야한다. 이때 y= x=108-10x 이다. 이식을만족

17 하는자연수 x, y 의값이존재하지않는다. a=4 일때 10a-b 가 11 의배수가되려면 b=7 이 어야한다. 이때 y= x=84-10x 이다. 이식을만족하는자연수 x, y 의값은 x=8, y=4 이다. 따라서다음이성립한다 = ,847=48, ,484,847=4,848, ,484,847=484,848,484 7 a=5일때 10a-b가 11의배수가되려면 b=6이 어야한다. 이때 y= x이다. 이식을만 44 족하는자연수 x, y의값이존재하지않는다. a=6일때 10a-b가 11의배수가되려면 b=5이어야한다. 이때 y= x=54-10x 이다. 이식을만족하는자연수 x, y의값은 x=5, y=4이다. 이것은앞에서이미취급하였다. a=7일때 10a-b가 11의배수가되려면 b=4이어야한다. 이때 y= x=42-10x 이다. 이식을만족하는자연수 x, y의값은 x=4, y=2이다. 이것도앞에서이미취급하였다. a=8일때 10a-b가 11의배수가되려면 b=3이 어야한다. 이때 y= x이다. 이식을만 77 족하는자연수 x, y의값이존재하지않는다. a=일때 10a-b가 11의배수가되려면 b=2이 어야한다. 이때 y= x 이다. 이식을만 족하는자연수 x, y 의값이존재하지않는다. VII. 결론 이논문에서는규칙성이있는수식을소재로한교수단원을설계하고있다. 특히 7 종류의서로다른수식을기본소재로하고, 그것을바탕으로한 15개의과제를제시하고있다. 이 15개의과제는기본소재로부터발전적으로만들어낸것으로중학교 3학년이상의학생을대상으로한다. 그러나중학교 3학년학생이이 15개의과제를모두해결할수있는것은아니다. 이논문에서는 15개의과제에대한풀이과정을모두제시하고있다. 때때로학생들은이논문에서와는다른방법으로해결할수도있을것이다. 학생들이적절한풀이를찾지못할때, 이논문에서제시하는방법에이르도록안내할수있을것이다. 이 15개의과제는학생들이규칙성을찾고, 그규칙성이일반적으로성립하는지나름대로증명하게함으로써, 규칙성의인지와그메커니즘의이해라는목적달성에기여할수있다. 또한이과정에서학생들은대수적식의의미와그조작및급수개념을심화하고, 아울러유추적사고, 연역적사고등과같은수학적사고를형성할수있다. 이런점에서이교수단원은나름대로수학교육의중요목적, 내용및원리를나타낸다고볼수있다. 다음으로 15개의과제는그자체로학생들의수학적활동을위한풍부한자원이된다. 교사는이 15 개의과제를융통성있게활용하여소기의목적을달성할수있다. 특히각과제의수준이다르므로, 학생들의개인적인능력을충분히고려할수있다. 이과정에서교사는수학교수 학습의수학적, 심리학적및교육학적측면을총체적인방법으로파악할수있으므로,

18 경험적연구를위한잠재력을제공할수있다. 이런점에서볼때이논문에서제시한교수단원은나름대로실속있는교수단원이라할수있다. 이논문에서는이교수단원을직접학생들을대상으로적용하지는않았다. 대신그것을후속연구로제안하고자한다. 비트만 (15) 은실속있는교수단원의설계와함께, 그것을초점으로한임상적교수실험 ( 臨床的敎授實驗, clinical teaching experiments) 의중요성을강조하고있다. 임상적교수실험은개발된교수단원을직접학생들을대상으로적용하면서, 교수 학습과정, 학습의개인적사회적결과, 학생들의생산적사고, 학생들의어려움등을밝혀나가는연구방법이다. 임상적교수실험에서는교수단원이실험을위한도구일뿐만아니라연구의대상이기도하다. 임상적교수실험을통해교수단원을평가할수있고, 또교수 학습이더효율적이되도록그교수단원을개정할수있다. 임상적면담과마찬가지로임상적교수실험도반복될수있고, 따라서변경될수있다. 임상적교수실험에서얻어진결과를통해교수 학습의기본규칙성을확인할수있고, 어떤교수단원을가르치는것에관해사실에입각한특정한지식을끌어낼수있다. 이러한임상적교수실험에서는그성격상질적인연구방법이효율적이다. 그러나교수 학습의복잡성때문에, 임상적교수 실험에서얻어진소재나이론이라하더라도, 그것이어떤단원을지도하기위한완전한정보를주는것은아니다. 이논문에서개발한교수단원을직접학생들 을대상으로적용하는교실에서의임상적교수실험을통해, 이교수단원을지도하기위한정보및반복되는어떤특별한현상을어느정도라도확인할수있기를, 아울러이교수단원이더나은교수단원으로점차적으로개정될수있기를기대한다. 참고문헌 Bolt, B. (187). The amazing mathematical amusement arcade. Cambridge: Cambridge University Press. Dudeney, H. E. (170). Amusements in mathematics. New York: Dover Publications, Inc. Eiss, H. E. (188). Dictionary of mathematical games, puzzles, and amusement. New York: Greenwood Press. Kordemsky, B. A. (172). The Moscow puzzles: 35 mathematical recreations. M. Gardner (ed.) New York: Dover Publications, Inc. Wittmann, E. (184). Teaching units as the integrating core of mathematics education. Educational Studies in Mathematics 15(1): Wittmann, E. (15). Mathematics education as a design science. Educational Studies in Mathematics 2(4): 田村三郞 (12). 數學パズルランド東京 : 講談社

19 A Design of Teaching Unit on Series of Number Sentences with Patterns. Park, Kyo sik (Inchon National University of Education) In this paper, a teaching unit on series of number sentences with patterns is designed according to Wittmann's perspectives. In this paper, series of number sentences with patterns means number sentences in which some patterns are contained. especially, seven kinds of number sentences with patterns are offered as basic materials, and fifteen tasks based on these basic materials are offered. These tasks are for ninth grade students and higher grade students. These tasks help students to recognize patterns, and to understand mechanism underlying in those patterns by looking for patterns and proving whether these patterns are generally hold. As working on these tasks, students can reinforce meaning of algebraic expression, its manipulation, and concept of number series. Students also can reinforce mathematical thinking such as analogical thinking, deductive thinking, etc. In this point, this teaching unit reveal important objectives, contents, and principles of mathematics education. This teaching unit can also be rich sources for student's activities. Especially, for each task's level is different, each student's personal ability is considered fully. Since teachers can know mathematical facet, psychological facet, and didactical facet holistically, this teaching unit can offer broad possibilities for experimental studies. So, this teaching unit can be said to be substantial. In this paper, this teaching unit is not applied in classroom directly. Actually such applying in classroom is suggested as follow-up studies. By appling this teaching unit in various classroom, some effective informations for teaching this teaching unit and some particular phenomenons in those teaching processes can be identified, and this teaching unit can be revised to be better one

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DBPIA-NURIMEDIA 대한수학교육학회지 < 학교수학 > 제 4 권제 3 호 Journal of Korea Society of Educational Studies in Mathematics School Mathematics Vol.4, No.3, 3-373. Sep 00 수열의교수 학습을위한교수단원소재연구 - 다각수와각뿔수 박교식 * Ⅰ. 서론 이논문의목적은, 비트만 (Wittmann,