미시경제학을위한기초수학 조남운 March 20, 함수 1.1 함수란무엇인가 여러분이미시경제학을배우면서미분을배우는이유는계산을통해함수의최대값이나최소값을구해야하기때문이다. 최대값이나최소값을구하기위해서는함수의미분을알

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나미 온
5 years ago
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1 미시경제학을위한기초수학 조남운 March 20, 함수 1.1 함수란무엇인가 여러분이미시경제학을배우면서미분을배우는이유는계산을통해함수의최대값이나최소값을구해야하기때문이다. 최대값이나최소값을구하기위해서는함수의미분을알아야하며, 함수의미분을알기위해서는함수의연속과극한을알아야한다. 그중에서도가장먼저알아야할것은 함수 라는것그자체이다. 보통함수라하면다음과같은형태를많이기억할것이다. y = f(x) 엄밀히는 y 와 x 에속하는집합을명시해야하지만, 여기에서는언제나실수아니면자연수이므로생략하자. 위식에는알파벳이세개있다. y, f, x. 이세개중함수는단하나이다. 무엇일까? ( 퀴즈 ) 여기에서중요한것은바로그함수를나타내는 f 이다. y, x 는의미를가지고있는것이아니다. 즉, x, y 대신에 z 를쓰던지 물고기 라고써도아무런상관이없다. 이둘은 f 가하는역할을나타내기위해서만의미가있다. f 가다음과같은관계를나타낸다고가정해보자. f(x) = x 2 + 4x 1 이함수 f 는이렇게표현해도아무런문제가없다. f( 노동시간 ) = 노동시간 노동시간 1 이문제는매우중요한데, 그이유는대부분의사람들이함수를표현할때 x 를많이쓰기때문에마치 x 만써야하는것으로착각하기때문이다. 1.2 다변수함수 f(x) 는일변수함수이다. 미시경제학에서는변수가여러개인함수도쓴다. 표현은아래와같이할수있다. f(x, y) = Ax 2 + By

2 일변수함수와마찬가지로 f 가중요하다. x, y 는다른글자로, 아니구별만가능하다면꽃무늬같은그림으로대체해도무방하다. f( 노동량, 자본량 ) = A 노동량 2 + B 자본량 f(, ) = A 2 + B 위함수표현은모두동등하다. 그런데, 위함수표현에서은근슬쩍들어온문자들이있다. A, B 들이그것이다. 이것은함수의변수에들어있지도않으면서함수표현식에들어있다. 이것들은무엇인가? 이것들은 상수 라고부르는것으로, 문자로되어있다뿐이지숫자 3 이나마찬가지이다. 어떤숫자를써야할지정해지지않았기때문에문자로쓴것일뿐이다. 이는 f(a, b) 의 a, b 와는완전히다른의미이다. 지금까지배운것들을잘이해했다면아래의문제들을풀수있다. 1.3 SIMPLE TEST 1. 다음함수들중같은함수를찾아보라. f(x, y) = ax 2 + 4y + b g(a, b) = a 2 x + 4b + y h(i, j) = ai 2 + 4j + b 2 함수의극한 정의 1 ( 함수의수렴, 발산, 극한값, 극한, 좌극한, 우극한 ) 1) 함수 f(x) 에서 x 가 a 보다작은 [ 큰 ] 값을가지면서, a 에한없이가까워질때, f(x) 의값이일정한값 β 에한없이가까워지면, 아래와같이표현하며 β 를 f(x) 의좌극한값 [ 우극한값 ] 또는좌극한 [ 우극한 ] 이라고한다. x a [a + ] 일때 f(x) β or lim x a [a + ] f(x) = β 2) 함수 f(x) 에서 1 조건을모두충족하면 ( 즉, 좌극한과우극한이같으면 ), x a 일때 f(x) 는 β 에수렴한다고하고, β 를 f(x) 의극한값또는극한이라고한다. x a 일때 f(x) β or lim x a f(x) = β 3) 함수 f(x) 에서 x a 일때, f(x) 의값이한없이커지면 [ 작아지면 ], x a 일때 f(x) 는양 [ 음 ] 의무한대로발산한다고하고, 아래와같이나타내며 f(x) 의극한은 라고한다. x a 일때 f(x) [ ] or lim x a f(x) = [ ] 2

3 명제 1 ( 극한값의기본성질 ) lim f(x) = α, lim g(x) = β α, β는상수 ( 일정한수 ) x a x a 위조건이성립한다면, 아래와같은관계가성립한다. 1) lim x a kf(x) = kα, k 는상수 2) lim x a [f(x) ± g(x)] = α ± β ( 중복기호동순 ) 3) lim x a f(x) g(x) = αβ 4) lim x a f(x) g(x) = α β (β 0) 5) f(x) < g(x) α β 좌극한과우극한은같지않을수있다. 이런경우그점에서의극한값은없다. 좌극한과우극한이같을경우, f 는그극한값에 수렴 한다. 3 함수의연속 정의 2 ( 연속, 불연속 ) 함수 f(x) 가다음의세조건을만족하면 f(x) 는 x = a 에서연속이라고한다. 만일연속이아니라면 f(x) 는 x = a 에서불연속이라고한다. i) f(x) 가 x = a 에서정의되어있다. ii) lim x a f(x) 가존재한다. iii) lim x a f(x) = f(a) 그래프상에서연결되어있다면연속이다. 끊어져있거나단속되어있는부분은그끊어진부분에서불연속이다. 불연속함수라도어떤구간에서는연속일수도 3

4 있다. 4 함수의미분, 도함수 함수의미분이라는것은사실그함수의변화율 ( 변화하는정도 ) 을함수로나타낸것일뿐이다. 그러한변화율의함수를도함수라고한다. 정의 3 ( 평균변화율, 미분가능, 순간변화율, 미분계수, 도함수, 미분 ) 1) 함수 f(x) 에서 x의값이 a에서 a + x까지변할때, 아래식을구간 [a, a + x] 에서의 f(x) 의평균변화율이라고한다. f f(a + x) f(a) = x x 2) x 0 일때의극한값이존재한다면함수 f(x) 는 x = a 에서미분가능하다고한다. 3) 이극한값이함수 f(x) 의 x = a 에서의순간변화율 [ 혹은변화율, 미분계수 ] 라고하며, 아래와같이표현한다. f (x), x=a dy = lim x=a x 0 f(a + x) f(a) x 4) 아래와같은식을 x에대한 f의도함수라고하며, f, f (x), df 호로나타낸다. f(x) lim x 0 x = lim f(x + x) f(x) x 0 x, df(x), d f(x) 등의기 5) f(x) 로부터도함수 df/ 를구하는것을 f(x) 를 x 에관하여미분한다고표현하고, 그러한계산법을미분법이라고한다. 4

5 4.1 미분법의기본공식 다항함수의미분 정리 1 ( 다항함수의미분 ) 다항함수 f(x), g(x), h(x) 에대해아래와같은관계가성립한다. c, n 은상수이다. 1) 상수함수의미분 f(x) = c df(x) = 0 2) n 차항의미분 1 f(x) = x n df(x) = nxn 1 3) 상수가곱해진함수의미분 f(x) = cg(x) df(x) = cdg(x) 4) 함수의합의미분 f(x) = g(x) ± h(x) df(x) = dg(x) ± dh(x) 5) 함수의곱의미분 f(x) = g(x)h(x) df(x) = dg(x) h(x) + g(x)dh(x) 6) 분수함수의미분 f(x) = g(x) h(x), df(x) h(x) 0 dg(x) = h(x) g(x) dh(x) h(x) 합성함수의미분 정의 4 ( 합성함수 ) 함수 f(x), g(x), h(x) 사이에아래와같은관계가성립하면 f 는 g, h 의합성함수라고하고 f = g h 라고표현한다. f(x) = g ( h(x) ) g h(x) 정리 2 ( 합성함수의미분 ) f = g h 일때, 다음과같은관계가성립한다. df = dg(h(x)) = dg dh dh 1 n 이정수가아닐때 ( 가령 0.5, 2 등 ) 에도성립함이증명되어있다. 5

6 위정리는아래와같은함수의미분을다룰때유용하다. f(x) = [g(x)] n df(x) dg(x) = n[g(x)]n 1 만일위명제들을이해했다면, 아래와같은복잡한식의미분도암산으로풀수있게된다. 한번해보라. 5 편미분 f(x) = 7x x x 7 2x 2 + x 우리가경제학문제를풀때다루게되는함수들은대부분다변수함수이다. 다변수함수의미분은전미분과편미분이있는데, 우리는편미분만을다루게된다. 그리고다행히도편미분은전미분에비해매우간단하다! 정의 5 ( 편미분 ) 다변수함수 f(x 1, x 2,, x n ) 에대해서아래와같은극한이일반적으로존재할때, 그구간에서 f 가 x i 에대해편미분이가능하다고하며, 그극한값을 f 의 x i 에대한편도함수라고한다. 편미분의표기는정의식을참조하라. f(x 1, x 2,, x i + h,, x n f(x 1, x 2,, x n ) f(x 1, x 2,, x n ) = f xi = xi f = lim x i h 0 h 정의식이복잡해보이지만, 사실은매우간단하다. 편미분이란, 다름아니라다변수중미분할변수하나만을변수로두고나머지를모두상수취급하면되는것이다. 아래의편미분이이해된다면, 여러분은편미분을할수있게된것이라고보아도무방하다. f(x, y, z) = x 7 + y 6 z 2 + 2xy 2 z 7x 4 y 2 + 3yz 2 + 2z 4 x + 9 y f = 6y5 + 4xyz 14x 4 y + 3z 2 6 함수의극대값 / 극소값, 최대값과최소값 지금까지여러분들은힘겹게미분법에대해서공부했다. 호기심이많은사람이라면아마왜이런개념들을배워야하는지궁금했을것이다. 앞서함수의최대값과최소값을구할때미분을쓴다고했었다. 미분을쓰는이유는아래의정리때문이다. 정리 3 ( 최대 / 최소와미분 ) 1. 일반적으로어떤함수가최대값과최소값을가질때, 그것이정의구간의경계에있지않다면, 그때의미분값은 0 이다. 2. 위명제의역은항상참은아니다. 3. 연속이고미분가능한함수가어떤점에서 0 의순간변화율 ( 도함수값이 0) 일때아래세경우중한경우에해당된다. (a) 한번더미분한값 (2 계도함수값 ) 이 0 보다크다면 : 극소값 6

7 (b) 한번더미분한값 (2 계도함수값 ) 이 0 보다작다면 : 극대값 (c) 한번더미분한값 (2 계도함수값 ) 이 0 과같다면 : 변곡점 ( 극대도아니고극소도아님 ) 4. 최대값 [ 최소값 ] 은경계에있지않다면, 극대값들 [ 극소값들 ] 중하나다. 복잡해보이지만, 그래프로보면그저당연한얘기를수학적으로풀어서한것임을쉽게간파할수있다. 7 제약하에서의극대값 / 극소값 이제위에서배운모든지식을활용하여예산 ( 가진돈 ) 의한계가있을때자신의효용 ( 만족도 ) 을극대화하는지점을수학적으로구할수있다. 그방법을라그랑지승수법이라고한다. 지금까지배웠던내용들을잘기억해두고, 몇주후에다룰소비자이론에서사용할수있도록하자. 7

= ``...(2011), , (.)''

= ``...(2011), , (.)'' Finance Lecture Note Series 사회과학과 수학 제2강. 미분 조 승 모2 영남대학교 경제금융학부 학습목표. 미분의 개념: 미분과 도함수의 개념에 대해 알아본다. : 실제로 미분을 어떻게 하는지 알아본다. : 극값의 개념을 알아보고 미분을 통해 어떻게 구하는지 알아본다. 4. 미분과 극한: 미분을 이용하여 극한값을 구하는 방법에 대해 알아본다.