장1 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 보기 명이 동시에 동전 1개를 던지는 실험을 생각하자. 떨어진 동전이 더이상 움직 이지 않으면, 앞면인지 뒷면인지를 확인하다. 이 시험결과를 어떻게 정리할까? 바닥

Size: px
Start display at page:

Download "장1 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 보기 명이 동시에 동전 1개를 던지는 실험을 생각하자. 떨어진 동전이 더이상 움직 이지 않으면, 앞면인지 뒷면인지를 확인하다. 이 시험결과를 어떻게 정리할까? 바닥"

Transcription

1 장 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 보기.0. 00명이 동시에 동전 개를 던지는 실험을 생각하자. 떨어진 동전이 더이상 움직 이지 않으면, 앞면인지 뒷면인지를 확인하다. 이 시험결과를 어떻게 정리할까? 바닥에 던져진 00개의 동전 전체의 집합을 Ω 라 하자. 함수 X : Ω {0, } 을 다음과 같이 정의하자. X(c) : 0, c가 앞면, c가 뒷면 이때 X ()은 무엇인가? X (0)는 무엇인가? <풀이> 동전의 상태는 앞면, 아니면 뒷면 가지 이다. 따라서 바닦에 있는 동전을 앞면이 나온 동 전과, 뒷면이 나온 동전으로 분리해서 정리하는 것이 좋다. X () {ω ω는 앞면이 나온 동전 }, X (0) {ω ω는 뒷면이 나온 동전 }

2 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 보기.0. 0, 000 명이 동전을 번 던지는 실험을 한다. 던지기가 끝나면 각자는 그 결과를 첫번째 실험, 두번째 실험으로 구분하여 보고한다. 이 시험결과를 어떻게 정리할까? 보고된 결과 전체의 집합을 Ω 라 하자. 함수 X : Ω {0, }, 을 다음과 같이 정의하자. i, 에 대해서 Xi (c, c ) : 0 X : Ω {0, }, ci 가 앞면, ci 가 뒷면 이때 X ()은 무엇인가? X (0)는 무엇인가? X : Ω R을 X : X + X 라 할 때 X ()은 무엇인가? X ()는 무엇인가? <풀이> 각자가 던지 동전을 (ω, ω ) 순서쌍으로 정리하는 것이 편리하다. 그러면 표본공간은 Ω {(ωi, ωi ) i,,, 0, 000}. 여기서 (ωi 은 i-번째 사람이 던지 첫번째 동전의 상태, ωi 는 i-번째 사람이 던진 두번째 동정의 상태를 나타낸다. 즉 Ω 는 동전을 번 던진 결과를 순서쌍으로 모은 것들 의 집합이다. X () {(ω, ζ ) Ω ω }, X (0) {(ω, ζ ) Ω ζ 0}. X () {(ω, ζ ) Ω ω + ζ } 앞면이 딱 번 나온 쌍들의 집합 X () {(ω, ζ ) Ω ω + ζ } 모두 앞면이 나온 쌍들의 집합

3 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 3 정의.0. [표본공간(Sample Space)] 어떤 실험의 모든 결과로 이루어진 집합을 표본공간 이라 한다. Ω 를 표본공간이라 하자. 표본공간의 부분집합 A Ω 를 사건(event)라 한다. 사건 A에 다음 조건을 만족시키는 수 P(A)를 대응시키자. 0 P(A) P(Ω ) 서로 동시에 일어나지는 않는 사건 A, A, A3, 가 주어지면, 즉 i 6 j일 때 Ai A j 0/ 이 되는 사건, P i Ai P(Ai ) i 이 경우 P(A)를 사건 A가 일어날 확률이라 한다. Ω, A, P)를 확률공간이라 한다. 보기.0.3 정상적인 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률이 라는 것은 무슨 뜻인가? <풀이> 예를 들어 동전 던지기를 00만번 시행햇을 때 앞면이 나온 동전의 갯수가 몇개인 지는 정확히 알 수 없지만, 앞면이 나온 동전의 개수를 #(H)라 두면 #(H), 000, 000 라는 뜻이다. 보기.0.4 정상적인 정육면체 주사위를, 000, 000번 던지는 시험을 원소로 하는 집합을 Ω 라 하자.. Ω 를 어떻게 해석할까?. X : Ω R을 X(d) : d의 윗면 눈의 수 라 정의할 때 {d X(d) }는 무엇인가? X, 4) 는 무엇인가? 3. 이 실험에서 주사위를 던질 때 각각의 눈이 나올 확률은 모두 같다는 것은 무슨 뜻인가? <풀이>

4 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 4. Ω 를 드넓은 운동장에 주사위,000,000개거 널부러져 있는것으로 상상하는 것이 충격적 이고 효과적이다.. {d Ω X(d) }는, 000, 000개의 주시위 중에서 눈 가 나온 것들로 이루어진 집합니 다. 물론 이 집합은 X ()로 간단하게 나타낸다. X (, 4) 는 나온 눈의 수가,, 3인 주사위들로 이루어진 집합이다. 3. 집합 A의 원소의 개수를 #(A)로 나타내면 # X () # X () # X (3) # X (4) # X (5) # X (6), 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 인 것을 말한다. n이 충분히 크면 # X (d), d,,, 6 n 6 제. 절 간단한 확률공간 보기.. 정상적인 주사위를 500, 000번 던지는 실험결과를 정리한 것을 Ω 라 하자. Ω 를 운동장에 겹치지 않게 놓여있는 500, 000개의 주사위라 생각하면 좋다. 주사위가 펼쳐져 있는 운동장이 얼마나 큰지 계산해보아라. 함수 X :Ω R 을 다음과 같이 정의하자. X(d) : 주사위 윗 면의 눈의 수. X(Ω )는 무엇인가?. A R에 대해서 # X (A) P(A) : #(Ω ) P(, 0)은 무엇인가? P(X )은 무엇인가? P(X ) + P(X ) + P(X 3) + P(X 4) + P(X 5) + P(X 6)은 무엇인가? 3. FX : R [0, ]을 다음과 같이 정의하자. FX (x) : P(X x) 함수 FX 의 그래프를 그려보아라. <풀이>

5 . 간단한 확률공간 5. X(Ω ) {X(ω) ω Ω } {,, 3, 4, 5, 6}. X (, 0)} {ω Ω X(ω) < 0} 0. / 따라서 P (, 0) 0. # X () P(X ) 500, P(X ) + P(X ) + P(X 3) + P(X 4) + P(X 5) + P(X 6) 3. 지금부터 P(X d) 6, d,, 3, 4, 5, 6라 하자. 실제 실험에서는 이렇게 되지는 않는다. 그러나 개념을 이해하기 위해서는 이렇게 계산을 간편히 하는 것이 필요하다. 그러면 0, x < 0 6, x <, 6, x < 3, F(x) : P(X x) 63, 3 x < 4, 4 6, 4 x < 5, 5, 5 x < 6, 6, 6 x 정상적인 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률이 라는 것은 동전을 충분히 많이 던질 때 P(X ) : #(X ()) #(Ω ) 대략적으로 말하면 동전을, 000, 000 번 던지는 실험을 하면 그 결과는 매번 달라질 수 있다. 그러나,000,000번 던지는 실험을 00번 하면 95번 정도는 앞면이 499,000서 50,000 사이에 나온다. 지금부터는 개념을 익히기 위해서 정상적인 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 로 같다고 하자. 정상적인 주사위를 던질 때 각각의 눈이 나올 확률은 모두 6 로 같다고 하자. 보기.. [평균] 주사위를 던저 나온 눈 수가 x만원인 게임이 있다. 게임당 참가비를 얼마로 해야 적당한가? <풀이> 게임 참가비는 게임당 상금으로 지불해야 할 평균 금액보다 약가 높게 해야한다. 때문에 게임당 평균 상금을 계산하는 것이 중요하다. 평균값을 구하기 위해서 아주 많은 실험 을 해다 가정하면, 상금을 X : Ω R로 두면 E[X] : P(X ) + P(X ) + 3 P(X 3) + 4 P(X 4) + 5 P(X 5) + 6 P(X 6) ( ) 6 7

6 확률공간(Probability Space), 확률변수(Random Variable) 6 따라서 3만 5천원이 평균상금이다. 참가비는 35000원 이상으로 해야 한다. 실제로 카지노의 모든 게임 참가비는 평균값보다 높다. 때문에 계속해서 게임을 하면 필연적으로 털린다. 한 두번 해보고 특히 이겼으면 끝내야 한다. 평균값을 Z E[X] XP(dω) Ω 처럼 적분형식으로 표현할 수 있다. 보기..3 시험 시작에 n 명이 제출한 휴대전화를 잘 섞어서, 나갈 때 마음대로 나누어 줄 때, 자신의 전화를 받은 사람의 수는 평균 몇명이라 생각되는가? <풀이> 표본공간이 무엇보다도 중요하다. 막막하지만 휴대전화도 마음대로 섞고, 또 사람 도 휴대전화를 받는 순서도 없으니 어떻게 할 지 모르겠지만, 결과는 휴대전화를 모두 배분한 후 자신의 전화를 받은 사람 수를 세는 것이다. 때문에 사람에 미리 번호를 주고, 전화를 받은 후 번호순으로 서면, 번 사람이 자신의 전화를 받았는지, 번 사람이 자신의 전화를 받았는 지,..., n번 사람이 자신의 전화를 받았는지를 조사하면 된다. 따라서 n명을 한 줄로 세운 후 휴대전화를 마음대로 나누어주는 것을 생각하면 충분한 것을 알 수 있다. 표본공간 Ω 는 n개의 휴대전화를 나열하는 경우의 수. 때문에 표본공간의 원소는 n개이다. Xi : Ω R을, i번째 사람이 자신의 휴대전화를 받음 Xi (ω) : 0, i번째 사람이 자신의 휴대전화를 받지 못함 그려면 자신이 휴대전화를 받은 사람의 수는 X : Ω R, X : X + X + + Xn 을 표현된다. 따라서 자신의 휴대전화를 받게되는 평균 사람수는 Z E[X] : XP(dω) ZΩ X p(dω) + + Ω Z Xn P(dω) Ω E[X ] + E[X ] + + E[Xn ]

7 장 기댓값, 분산 기댓값의 개념을 이해하기 위해서 다음 보기를 생각해보자. 보기.0.4 동전을 앞면이 나올 확률이 p, 뒤면이 나올 확률이 q p가 되도록 특수 제작 하자. 이 동전을,000번 던질 때 앞면은 몇 번 나올 것이라 예측되는가? 예측한 값은 얼마나 정확하다고 생각되는가? <풀이> 동전을 000번 던지면 앞면은 0번부터,000번까지 모든 경우가 다 가능하다. 문 제는 누구도 앞면이 0번 나오는 것이 흔한 일이 아니라고 믿는다, 같은 이유로 앞면만,000번 나오는 것도 흔한 일은 아니다. 이 문제를 확률변수의 개념으로 이해하자. 우선 이 특수제작된 동전을,000번 던지 얻어지는 모든 결과로 이루어진 집합 Ω : {(p, p,, p,000 ) pi {0, }, i,,,, 000} 여기서 pi 는 i-번째 던진 동전이 앞면이면, 뒷면이면 0 이다. 참고로 Ω 의 원소의 갯수는 #(Ω ),000. 아주 큰 수이다. 초에 한 세트씩 쉬지 않고 조사한다 해도 약 년이 걸린다. 다음과 같은,000개의 확률변수를 생각하자. Xi : Ω {0, }, Xi (p, p,, p000 ) pi 그러면 동전을 000번 던지 실험에서 앞면이 나온 갯수는 X : X + X + + X000 으로 표현된다. 여기서 중요한 점은 Xi, i,,, 000은 각각 서로 독립인 것이다. 즉 i-번째 던진 동전이 앞면인지 뒷면인지를 아는 것이 j, j 6 i-번째 던진 동진이 앞면인지 뒷면이지를 아는 것에 아무런 의미있는 정보를 주지 못한다. 또한 i-번째 동전의 기댓값은 E[Xi ] 0P[Xi 0] + P[Xi ] 0 ( p) + p p 7

8 기댓값, 분산 8 X의 평균값은 E[X] E[X + X + + X000 ] E[X ] + E[X ] + + E[X000 ] p+ p+ + p 000p 이 식의 의미는 p 이면 약 500번이 평균값이고, 앞면이 더 잘 나와서 p 34 이면 번이 평균값이라는 의미이다. 보기.0.5 동전을 앞면이 나올 확률이 p, 뒤면이 나올 확률이 q p가 되도록 특수 제 작하자. 이 동전을 000번 던질 때 앞면은 평균 000p번 나타난다. 그러면 이 평균값은 값은 얼마나 정확하다고 생각되는가? 왜냐하면 다시 이 동전을 000번 던지는 실험을 할 때에도 처음과 똑 같은 수의 앞면이 나온다 말할 수는 없지 않은가! <풀이> 이문제는 평균값 E[X]를 실제값X와의 차이 X E[X]를 살펴보는 일이다. 여기서 E[X]는 상수 000p인 것에 주의하자. 그런데 평균의 특성상 확률변수 X E[X] : Ω R, (p, p,, pn ) 7 X(p, p,, p000 ) E[X] 의 평균은 항상 0이 되어 쓸모가 없다. 따라서 0이 되지 않도록 해야 되는데 가지 방방이 떠오른다. 절댓값의 평균을 생각하는 방법: E X E[X] 그러나 이 방법을 계산이 불편하다. 제곱을 하는 방법: E[ X E[X] ] 이 방법은 계산이 간편하고 때문에 쓸모가 많다. 이제 E[X]는 상수인 것에 주의하고, (X E[X]) X E[X]X + E[X] 을 이용하면 E[ X E[X] ] E X E[X]X + E[X] E[X ] E[X]E[X] + E[X] E[X ] E[X] 위 식을 말로 표현하면 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 빼면 E (X E[X]). 이제 E[X ] E (X + X + + X000 ) 을 계산할 일이 남았다.

9 기댓값, 분산 9 두 확률변수 X,Y 가 서로 독립이면 E[XY ] E[X]E[Y ] 이 사실의 증명은 다음 기회로 미루고, 당장은 쓰도록 하자. 왜냐하면 독립이라면 이렇게 되어야 한다는 것이 너무도 자연스러워 증명할 필요성도 느끼지 못하기 때문이다. 이제 (X + X + + X000 ) 000 Xi + Xi X j i 이고, Xi Xi 이므로 E[Xi ] E[Xi ] p, i6 j E[Xi X j ] E[Xi ]E[X j ] p 따라서, n 000이라 두고, n E[X ] E Xi +E i Xi X j i6 j n E[Xi ] + E[Xi X j ] i i6 j np + (n n)p 그러므로 E (X E[X]) ] E[X ] E[X] np + (n n)p (np) pn np np( p) q 이 식의 의미는 p 인 동전을 000번 던질 때 평균값과의 차이는 은 q 예상해야 된다는 의미이다. p 43 인 동전의 경우는 를 예상해야 된다는 의미이다. 그러면 p 34 인 동전의 경우가 편차가 약간 작은 이유를 어떻게 설명할까? 정의.0. [분산(Variance)] 확률변수 X : Ω X에 대해서 Var[X] : E (X E[X]) E[X ] E[X] 을 확률변수 X의 분산이라 한다. 이 값이 크면 예측이 힘들다. 생물의 생존기간으로 말하 면 언제 죽을지 모르는 전쟁터 같은 상황? 주식에 큰 돈을 투자했더니 현재 30% 손실이 발생했는데, 원금이 아까워 해지하지도 못하겠는데, 언제 복구될지 모르는 상황?

10 기댓값, 분산 0 제. 절 독립, 종속 동전을 두 번 던지는 실험을 생각하자. 예를 들어 동전 개을 00만번 던졌다 상상해보자. 실험결과 전체를 Ω 로 나타내면 두 함수를 생각할 수 있다. X,Y : Ω R ω Ω 에 대해서 X(ω) 0, 첫번째 동전이 앞면, 첫번째 동전이 뒷면 Y : Ω R은 두번째 동전의 상태로 결정된다. 그러면 E[X Y ] : Ω R 은 다음과 같이 정의되는 함수이다. E[X Y ](ω) : E[X Y Y (ω)] 그러면 E[X Y ]의 함수값은 어떻게 계산할까? E[X Y 0] 0 P[X 0 Y 0] + P[X Y 0] E[X Y ] 0 P[X 0 Y ] + P[X Y ] 따라서 지금 경우는 E[X Y ]는 상수함수 이다. 그런데 E[X] 인 것을 생각하면 두번째 동전이 앞면인지 뒷면이지를 아는 것은 첫번째 돈전이 앞면인지 뒷면이지에 대해서 아무런 정보를 주지 못한다는 뜻이다. 이제 넓은 운동장에 널브러져 있는 동전 00만 쌍을 다음과 같이 정리한 것을 Ω 로 나타내자. Ω : {(0, 0), (0, ), (, 0), (, )} 정상적인 동전이라면 각각의 경우가 나타날 확률은 같다고 생각하는 것이 보통이다. 즉 P(i, j) c, i, j 0, 여기서 c의 값은 P(0, 0) + P(0, ) + P(, 0) + P(, ) 4c 로부터 c 4. 그러면 확률변수 X,Y : Ω R을 그림으로 그리면

11 . 독립, 종속 0,0 0, 0,0, 0,0 0, 0,0, 함수 E[X Y ] : Ω R 을그림으로그려보자. 이함수를이해하는효과적인방법은 Ω 를 Y 의값이같은집합으로분해하는일이다. 즉

12 기댓값, 분산 Ω {(0, 0), (, 0)} {(0, ), (, )} 그러면 E[X Y ] : Ω R은 다음과 같이 그림으로 표현할 수 있다. H0,0L H0,L H,0L H,L 그림을 보면 각각의 집합 {Y 0} : {(0, 0), (, 0)}, {Y } : {(0, ), (, )}에서 E[X Y ]은 X 값의 평균값을 대응시키는 함수인 것을 알 수 있다.

13 . 독립, 종속 3 동전 개를 00만번 던진 실험을 다음과 같이 정리하자. Ω {(ωi, ωi ) i,,, } 여기서 ωi 는 i-번째 던기기에서 첫번째 동전의 상태이다. 앞면이면, 뒷면이면 0라 하자. ωi 는 i-번째 던기기에서 두번째 동전의 상태이다. 앞면이면, 뒷면이면 0라 하자. X,Y : Ω R은 다음과 같다. X(ω, ζ ) ω, Y (ω, ζ ) ζ 이제 3개의 함수 X : Ω R, Y : Ω R, Z : Ω R, X(i, j) i Y (i, j) j Z X +Y 함수 Z : Ω R을 그림으로 그리면 다음과 같다. H0,0L H0,L 0 H,0L H,L 보기.. Z X +Y 에 대해서. E[X Z]를 구하여라.. E E[X Z] 를 구하여라.

14 기댓값, 분산 4 <풀이> 이 문제를 효과적으로 이해하려면 Ω 를 조건 Z에 따라 분해하는 것이 좋다. 즉 Ω 를 함수 Z의 값이 같은 점으로 분해하는 것이다. 그림에서 다음과 같은 분해가 보인다. Ω {(0, 0), (0, ), (, 0), (, )} {(0, 0)} {(0, ), (, 0)} {, }. E[X Z 0] 0 P[X 0 X +Y 0] + P[X X +Y 0] E[X Z ] 0 P[X 0 X +Y ] + P[X X +Y ] 0 + E[X Z ] 0 P[X 0 X +Y ] + P[X X +Y ] 0 + 이것으로 부터 E[X Z] : Ω R은 다음과 같은 함수이다. (0, 0) 7 0 (, 0) 7 (, ) 7 (0, ) 7 이 함수를 그림으로 다음과 같이 표현하자.

15 . 독립, 종속 5 0,0 0, 0,0, E[X Z] : Ω R 의그림에서 E[X Z] 는집합 {Z z} 에서 X 값의평균을대응시키는것을볼수있다.. E[X Z] : Ω R 도함수이므로그평균값 E [ E[X Z] ] 가의미가있다. E [ E[X Z] ] E[X Z 0]P[Z 0] + E[X Z]P[Z ] + E[X Z ]P[Z ] 0 P[Z 0] + P[Z ] + P[Z ]

16 기댓값, 분산 6 보기.. Z X +Y 에 대해서. E[Z X]를 구하여라. E E[Z X] 를 구하여라.. Var E[X Z] 를 구하여라. 3. 함수 X E[X Z] : Ω R를 기술하여라. 4. Var[X Z]를 다음과 같이 정의하자: Var[X Z] : E X E[X Z] Z 함수 Var[X Z] : Ω R을 기술하여라. <풀이> Z X +Y 로. 3 E[Z X ] 0 P[X +Y 0 X 0] + P[X +Y X ] + P[X +Y X ] E[Z X 0] 0 P[X +Y 0 X 0] + P[X +Y X 0] + P[X +Y X 0] 이 경우도 E[Z X]는 상수함수가 아니다. 첫번째 동전의 상태를 아는 것은 첫번째 동전과 두번째 동전의 상태에 대한 정보를 준다. 지금 경우도 E E[Z X] E[Z X 0]P[X 0] + E[Z X ]P[X ] 3 P[X 0] + P[X ] 3 + 위 계산에서 E E[X Z] E[X], E E[Z X] E[Z] 가 되는데, 이것은 우연이 아니고, 모든 경우에 E E[X Y ] E[X] 가 성립한다.. 함수 E[X Z] : Ω R의 분산(variance)을 계산하기 위하여 F E[X Z]라 두자. 표현을 간단하게 하기 위해서이다. 앞의 계산에서 F E[X Z]는 0,, 값을 갖는 함수이고

17 . 독립, 종속 7 E[F ] 0 P[F 0] + ( ) P[F ] + P[F ] 0 P[Z 0] + ( ) P[Z ] + P[Z ] 따라서 Var[F] : Var[E[X Z]] E[F ] E[F] 3 8 (E[ E[X Z] ] ) 앞에서함수 E[X Z] : Ω R 은계산했다. E[X Z] 는다음과같은함수이다. Z 0인점. (0,0) 0 Z 인점. (,0),(0,) Z 인점. (,) X : Ω R 은다음과같은함수이다. (0,0) 0,(0,) 0,(,0) 0,(,) 따라서 X E[X Z] 는다음과같은함수이다. (0,0) (0,) 0 (,0) (,) 0 함수 X E[X Z] : Ω R 을그림으로그리면다음과같다.

18 기댓값, 분산 8 H0,0L H0,L 0 - H,0L H,L 4. Var[X Z] : Ω R은 정보 Z가 주어졌을 때 X와 E[X Z]의 차의 제곱을 평균한 것이다. 이런 의미로 Var[X Z] : E (X E[X Z]) Z 앞에서 함수 X E[X Z]를 계산했기 때문에 Var[X Z]를 계산하기가 편리하다. Z 0일 때. 이 경우는 한 점 (0, 0) 뿐이다. 따라서 여기에 해당하는 항은 (X E[X Z]) P[Z 0] (0 0) 0 Z 일 때. 이 경우는 두 점 (0, ), (, 0)가 있다. 따라서 여기에 대응하는 항은 (X E[X Z]) P[Z ] (0 ) P[X 0 Z ] + ( ) P[X Z ] Z 일 때. 여기에 해당하는 점은 (, ) 뿐이다. 따라서 (X E[X Z]) P[Z ] (0 ) 0 + ( ) 0 이것으로 부터 Var[X Z] : Ω R은 다음과 같은 함수이다.

19 . 독립, 종속 9 (0,0) 0 (0,) 4 (,0) 4 (,) 0 함수 Var[X Z] : Ω R 을그림으로표현하면다음과같다. Var 0,0 0, 0,0 4,

20

21 장3 이자(interest) 제 3. 절 이자(interest) 돈을 대출받거나 대출하는 기간의 기본 단위는 년으로 하는 것이 보통이다. 예를 들어 돈 M을 년간 빌렸다면, 년 후에 원금 M에 일정한 금액 I를 더한 M + I를 갚아야 하는 것이 당연하다. 이때 i : MI 을 이자율이라 하고 보통 00i%로 주어진다. A P + Pi ( + i)p 보기 을 통장에 저축했다. 년 뒤에 통장의 금액은 050이 되었다. 원금(principal)은 얼마인가? 얻은 이자(interest)는 얼마인가? 연이율(annual interest rate)는 얼마인가? 정의 3.. [년복리(Annual Compound Interest)] 원금 P를 연 이율 00i%로 t년 맡길 때, 원금과 이자의 합(amount value)는 At P( + i)t 보기 은 5년 맡겼더니 7000이 되었다. 이자를 년단위로 계산했다면 이자율은 얼마인가? 이자를 월단위로 계산했다면 이자율은 얼마인가?

22 3 이자(interest) 보기 3..3 신형 휴대전화를 구입하는데 원 이자율 3%로 년동안 매월 균등상환하 기로 했다. 할부금을 월말에 한번씩 번에 갚기로 했다면 할부금을 얼마인가? 대리점에서 은 3%는 8000이므로 원금과 이자의 합은 따라서 매월 을 년에 갚을 것을 권해서 받아들였다면 잘한일인가? 보기 3..4 어떤 계정의 시간에 따른 원금과 이자의 합이 A(t) αt + 0β 로 주어졌다. t 0 일 때 이 계정에 X를 투자했더니 t 4일 때 500이 되었고, t 0일 때 000이 되었다. X는 얼마인가? 보기 세의 여성이 억을 넣으면 넣는 순간부터 매년 그 날짜에 36만을 주는 영구 연금(perpetuity)있다. 5년 후 부터 받기로 하면 매년 748만원을 받을 수도 있다. 이자율이 년 %라 하면 이 영구연금의 현재가격 억을 적절한가? 이자율이 년 3%라 하면 이 영구연금의 현재가격 억을 적절한가? 55세 여성이 이 영구연금을 산후 45년 후(00세)까지 살았다. 이 연금 잘 샀는가? 제 3. 절 Accumulation Function and Amount Function 최초의 투자금을 A(0)로 나타내고, 이 투자금이 t년 자란 금액을 A(t)로 나타내자. 함수 A(t)를 amount function이라 한다. Amount function의 최초의 투자금 A(0)에 대한 비율을 accumulation function이라 한다. 즉 A(t) a(t) : A(0) 특히 모든 경우에, a(0) 인 것에 주의하자. 보기 3.. a(t) α(.)t + βt 인 상품이 있다. 이 상품에 t 0에 00을 투자하면 t 3일 때 70으로 자란다. t 일 때 00을 투자했다면, t 에 얼마로 자라는가? <풀이> 주어지지 않은 값 α, β 가 있는 것에 주의하자.

23 3. Accumulation Function and Amount Function 3 주어진 조건과 A(3) A(0)a(3), A(0) A(0)a(0) 로부터 70 00a(3), a(0) 따라서 α, (.)3 + β 3 이고 β.7 (.) 이것으로 a(t) (.)t t. 다음으로 t 일 때 00이 t 일 때 얼마로 자라는지는 다음과 같이 알아낸다. 중요한 점은 t 에 00을 투자한 것은 t 0일 때 X를 투자한 것으로 생각하는 것이다. 그러면 A() 00 A(0)a() Xa() A() A(0)a() Xa() 모르는 X를 구할 필요는 없다. 왜냐하면 A() A() Xa() a() A() 00 Xa() a() 따라서 t 일 때 자라난 투자금은 A() 00 a() (.) a() (.) a(t) αt + β 이다. 이 상품에 t 0에 00을 투자하면 t 3에 7로 자란다. t 5에 투자한 500은 t 0일 때 얼마로 자라는가??? a(t) αt + 0β 인 상품이 있다. 이 상품에 t 0에 X를 투자하면 t 0에, 000으로 자라고, t 0에는, 000으로 자란다. α, β, X는 얼마인가??? α 00, β 0, X, 보기 3.. 연이율.5%로 계산할 때 지금으로부터 X년 후에 받게되는 4,000의 현재가 (present value)는 38.99이다. X는 얼마인가? <풀이> r 0.05라 할 때 구하는 값 X는 (38.99)( + r)x 4, 000

24 3 이자(interest) 4 따라서 ( + r)x 4, 그러므로 XLog ( + r) Log (.84) 따라서X Log (.84) Log (+0.05) X 8. 보기 3..3 이자율은 r 3.6%이다. 년 뒤에,000을 갚을 것이 있고, 3년 뒤에 3,000을 갚을 것이 있다. 지금 X를 넣어 예정된 금액을 모두 갚으려 한다. X는 얼마인가? <풀이> 주어진 조건으로부터 ( X ( + r), 000 X ( + r)3 3, 000 그러므로 지금 넣어둬야 할 금액 X는 X X + X, 000 3, , r ( + r)3 보기 을 지금 투자하면 30년 후에 4,000으로 자라는 상품이 있다. 이 상품의 이자율 로 계산할 때 0년 후에 받는 0,000의 현재가격은 얼마인가? <풀이> 이자율 r을 알아내야 한다. 조건에서 4, ( + r)30 따라서 구하려는 현재가격은 0, , 000 0, 000, ( + r) ( + r) ) 4, 000 보기 3..5 년이율 3.5%인 상품 A와 년이율 3.75%인 상품 B가 있다. 000년 월 일 상품 A 에 있는 돈이 상품 B에 있는 돈의 배가 되었는데, 그 이후 두 상품에 더이상 추가 투자를 하지 않았다. 05년 월 일에 두 상품에 있는 돈의 합은 00,000. 그렇다면 000년 월 일에 상품 B이 있었던 돈은 얼마인가?

25 3. Accumulation Function and Amount Function 5 <풀이> 복리(compounding)의 장점은 계산이 단순한 것이다. 즉 이자율이 r이라면 지금현 재 S가 있다면 년 후에는 S( + r)이 되는 것이다. 주어진 조건에서 투자기간은 5년이다. 따라서 X( )5 + X( )5 00, 000 따라서 X 00, , 000 9, 년이율은 r이다. 다음 세 값이 같다: 6년 후에 받는 0,000의 현재가격 t년 후에 받는 6,000의 현재가격과, t년 후에 받는 56,000의 현재가격의 합 지금 현재의 5,000 ()이자율 r과 () t (3) t + 3년 후에 받느 8,000의 현재가격?? () r.5% () t (3) 년 후에 자동차를 사려 한다. 사려는 자동차 값은 0,000 이다. 그런데 인플레이션은 년 % 이다. () 인플레이션에 따른 5년 후의 자동차 가격은 얼마인가? () 다음 달 일부터 5년동 안 매월 얼마씩 투자해야 0,000을 모을 수 있을까? (투자상품의 이율은 연 3.5%라 계산하자.)?? (),08.6 ().37 보기 3..6 신형 휴대전화를 600을 3년간 대출받아 구입하려한다. 이자율은 3.7% 이다. 두가 지 선택이 있다. 대리점에서 다음 두 가지 방법을 제시했다.. 600의 3년간 이자는 600 ( ) 이므로 매년 를 갚는다 의 3년간 이자는 600 (+0.037) 이고, 기간은 3 36개월이므로, 매월 를 갚는다. 각각의 경우 고객이 지불하는 실제이자는 얼마인가? <풀이>. 매년 3.03를 3년간 낸다면 3.03( ) ( ) 따라서 고객이 지불하는 실제이자율 i는 600( + i) 로부터 i 4.98%

26 3 이자(interest) 6. 매월 8.586을 36개월 동안 갚는다면, 총액은 ( )k k0 따라서 고객이 지불하는 실제이자율 i는 600( + i 36 ) 로부터 i 5.46% 3.5. 이자율은 r이다. 다음 두 경우의 현재가격은 X로 같다. 지금 현재 을 갚고, 년 뒤에 을 갚는다 년 뒤에 44를 갚고, 3년 뒤에 44을 갚는다. () 이자율 r을 구하여라. () X를 구하여라.?? () r 9.09% () X 3.97 보기 3..7 이자율은 r이다. 년 후부터 매년 00씩 n년 동안 받게 되는연금의 현재가격은 4,000. 년 후부터 매년 00씩 3n년 동안 받게되는 연금의 현재가격은 7,000 () r은 무엇인가? () 년후부터 n년 동안 매년 00씩 받게 되는 연금의 미래가격(futuer value)은 얼마인가? <풀이> 주어진 조건에서 ( 00 nk ( + r) k 4, 000 k 7, n k ( + r) 구하려는 것은 매년 00씩 n년가 받게 되는 연금의 미래가격(future value)이다. 따라서 n 을 구해야 한다. 3n 7, ( + r) k k 00 s s3n+, s s +r n 4, ( + r) k k 00 s sn+, s s +r

27 3.3 편리한 기호 7 따라서 s3n 7 s s3n+ n+ 4 s s sn 위 식에서 sn t라 두면 3 7t + 4t 3 (t )(t )(t + 3) 그러므로 조건에 맞는 것은 0.5 그런데 n년 동안 받은 연금을 연이율 r로 투자하면 총액은 sn n X : 00 ( + r)k 00 k0 이 값을 직접 계산하기는 힘들다. 그러나 s 7000s 3n 00 s( sn ) ( + r)n 00 ( + r) s +r 로 3n 해서, s k k0 n 00 s k + 00 k0 n 4000s 3n s k kn n +s X 따라서 X 7, 000s n 4, 000 7, , 000, 400 제 3.3 절 편리한 기호 위 보기의 풀이는 내용에 비해서 복잡하게 보인다. 본질을 이해하기 쉽게 하기 위해서 다음 기호를 생각하자. 우선 이자율 r는 서로 아는 것으로 하고, 기호에 쓰지 말자. 그러면 지금부터 년 뒤부터 n년간 매년 를 이자율 r로 투자하면, n 번째 투자금을 입금하는 순간 투자계정의 돈은 Sn ( + r)n + ( + r)n + + ( + r) + + ( + r) + ( + r) + + ( + r)n r ( + r) ( + r)n ( + r)n An, ν +r ( + r)n 여기서 Sn : + ( + r) + ( + r) + + ( + r)n An : ν + ν + + ν n, ν +r ( + r)n r

28 3 이자(interest) 8 이고 Sn 과 An 사이의 관계는 Sn ( + r)n An, An ν n Sn, ν +r 특히 임의의 m n에 대해서 Sn + ( + r) + + ( + r)n + ( + r) + + ( + r)m + ( + r)m + ( + r)m+ + + ( + r)n Sm + ( + r)m Sn m 따라서 Sn Sm + ( + r)m Sn m, m n 같은 생각으로 An ν + ν + ν m + ν m+ + + ν n ν + ν + + ν m + ν m+ + + ν n Am + ν m ν + ν + + ν n m Am + ν m An m 정리하면 Sn ν n An Sn Sm + ( + r)m Sn m, m An Am + ν An m, m n m n 이제 기호 Sn, An 을 사용해서 보기를 다시 풀어보자. An 은 현재 가격(present value)이고, Sn 의 미래가격(futuer value)이다. 보기 3.3. 이자율은 r이다. 년 후부터 매년 00씩 n년 동안 받게 되는연금의 현재가격은 4,000. 년 후부터 매년 00씩 3n년 동안 받게되는 연금의 현재가격은 7,000 () r은 무엇인가? () 년후부터 n년 동안 매년 00씩 받게 되는 연금의 미래가격(futuer value)은 얼마인가? <풀이> 주어진 조건은 4, An 7, A3n 구하려는 것은

29 3.3 편리한 기호 9 X : 00Sn 00ν n An 그런데 A3n An + ν n An An + ν n An 이므로 00A3n 00An + ν n 00An 00An + ν n 00An 에서 모르는 값 00ν n An 을 소거하 면 X 00ν n An 7, 000ν 3n 4, 000ν 3n 7, 000ν n 4, 000 따라서 3 7t 4t 3, t ν n 이식을 풀면 t ν n 이고, 따라서 X 7, 000 4, 000, 400 4

30

31 장4 Force of Motality 제 4. 절 생명보험에서 중요한 수학적 개념 생명보험회사 입장에서 본 표본공간은 무엇인가? 당연히 자기 회사 생명보험에 가입한 고객 이다. 그러나 여기서는 개념 이해를 위해서 우리나라에 사는 사람 전체라 하자. Ω {x x는 대한민국 국민} 그러나 중요한 점은 고객의 생존, 죽음이고, 이것은 객의 나이와 밀접한 관계가 있기 때 문에, 사람을 태어난 나이로 분류하는 것은 의미가 있다. 이것을 졸업과 입학년도가 밀접한 관계가 있기 때문에, 대학생들을 학번으로 분류하는 것과 같은 생각이다. 태어난 후 나이가 t인 사람을 간단하게 (t)로 나타내면 (t) {p p는 나이가 t } 이렇게 사람을 나이에 따라 분류하면 Ω [ (t) t 0 그런데 표현의 시각적인 효과를 위해서 Ωx : (x) 즉 Ωx 는 나이가 x인 사람들의 집합이다. 정의로부터 당연히 s 6 t이면 (s) (t) 0. / 나이가 x인 사람은 나이가 x보다 많은 어떤 때에 죽는다. 이 생존기간을 알 수 없기 때문에 이것을 확률변수 T 로 나타내자. 즉 T : Ω [0, ) R 나이가 x인 사람의 생존기간에 특별한 관심이 있으면 함수 T : Ω [0, )를 나이가 x인 사람 들의 집합을 제한한 함수 Tx : T Ωx : Ωx [0, ), Tx (p) : T (p), p Ωx 즉 Tx 는 나이가 x인 사람의 생존기간이다. 3

32 3 4 Force of Motality 보기 4.. x + Tx 의 의미는 무엇인가? <풀이> x + Tx 는 함수 x + Tx : Ωx [0, ) 이고, 나이가 x인 사람 p Ωx 에서의 함수값은 x + Tx (p) x + Tx (p) 보험회사 입장에서 중요한 것은 T 의 함수값의 분포이다. 구체적으로 나이가 x인 사람들의 집합 Ωx 에 T 을 제한할 때의 함수값 {Tx (p) p Ωx } 의 분포이다. 이것을 알아보기 위해서 새로운 함수 Fx 를 정의하자. 정의 4.. [분포함수(distribution function)] Fx : [0, ) [0, ] Fx (t) : P Tx t 여기서 {Tx t} : {p Ωx Tx (p) t} Ωx 이고 P[Tx t] : #{Tx t} #(Ωx ) 즉 {Tx t}는 나이가 x인 사람 중 생존기간이 t 이내인 사람들의 집합을 나타낸다. 그러므 로 P[Tx t]은 나이가 x인 사람들 중 나이가 x + t 이내에 죽을 확률이다. 따라서 Fx 는 나이가 x인 사람들의 생존분포( lifetime distribution)라 이해하면 좋다. 그러면 나이가 (x)이 사람이 적어도 t년 이상 생존할 확률은 무엇인가? 이것은 P[Tx > t] 이다. 왜냐하면 Ωx {p Tx (p) t} {q Ω Tx (q) > t} {Tx t} {Tx > t}, {Tx t} {Tx > t} 0/

33 4. 생명보험에서 중요한 수학적 개념 33 이므로 #(Ω ) #{Tx t} #{Tx > t} + P[Tx t] + P[Tx > t] Fx (t) + P[Tx > t] #(Ω ) #(Ω ) #(Ω ) 정의 4.. [생존함수(survival function)] 나이가 x인 사람이 t인 이상 생존할 확률을 Sx (t)로 나타내자. 그러면 Sx (t) : P[Tx > t], t 0 따라서 Sx (t) Fx (t) 이 관계를 간단히 Sx Fx, 또는 Fx Sx, 또는 Sx + Fx 로 상황에 맞게 표현한다. 즉 Sx (t)는 나이가 x이 사람이 적어도 t년 생존할 확률을 나타낸다. 이제 어떤 사람 p의 생애를 생각하자. 태어나서 나이가 x가 되기 전에 죽을지도 모른다. 태어난 순간에 생존기간을 계산하는 것은 T0 의 역할이다. 따라서 T0 (p) < x 로 표현할 수 있다. 이제 이 사람 p가 나이가 x가 될 때까지 살았다면 T0 (p) > x. 나이가 x가 된 p의 남은 수명은 Tx (p)로 표현된다. 나이가 x가 된 이 사람 p가 죽는 아니는 x + Tx (p) p가 타어나서 나이가 x가 되고, 이 사람 p가 나이가 x가 된 후, t년 이내에 죽는 것은 p Ωx, Tx (p) t 이고 동시에 T0 (p) x + t 이런 점에서 다음 두 사건 {Tx t}, {T0 x + t} {T0 > x} 는 서로 동등한 사건으로 볼 수 있다. 따라서

34 34 4 Force of Motality P[Tx t] P[T0 x + t T0 > x] P {T0 x + t} {T0 > x} : P[T0 > x] 두 사건 A, B가 일어났을 때 어느 것이 다른 것에 아무런 정보도 주지 못하는 경우도 있지 만 어느 것이 많은 정보를 주는 경우가 많다. 극단 적인 예로 지난 주 내가 산 번호는,, 3,4,5,6 ( 사건 A), 아직 결과를 확인하지 못했다. 잊고 있었는데, 길을 가다 지난주 당첨 번호가 연속인 번호( 사건 B )였다라는 말을 들었다고 하면 수학 필요없고 본능적으로 뭔가 느낌이 온다. 정의 4..3 [조건에 따른 확률(conditional probability)] 두 사건 A, B를 생각하자. 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률을 P[A B] 로 표시한다. 따라서 P[A B]의 값은 P[A B] : P[A B] P[B] 만일 P[A B] P[A] 라면 사건 A가 사건 B에 대해서 아무런 정보를 주지 못하는 것을 말한다. 이런 경우 두 사건 A, B는 서로 독립(independent)이라 한다. 보기 4.. 지난주 로또 복권에서 내가 산 번호는,, 3,4,5,6 ( 사건 A), 아직 결과를 확인하지 못했다. 잊고 있었는데, 길을 가다 자난 주 당첨번호가 연속인 번호( 사건 B )였다라 는 말을 들었다고 하면 P[A B]? P[B A]?

35 4. 생존분포 P[Tx t]와 생존함수 P[Tx > t] 제 4. 절 35 생존분포 P[Tx t]와 생존함수 P[Tx > t] 생존분포함수 Fx (t) : P[Tx t]의 성질을 알아보자. 정의로부터 P[Tx t] P[T0 x + t T0 > x] P {T0 t + x} {T0 > x} P[T0 > x] P[x < T0 x + t] P[T0 > x] 따라서 Fx (t) P[Tx t] P[x < T0 x + t] P[T0 > x] F0 (x + t) F0 (x) S0 (x) F0 (x + t) + F0 (x) S0 (x) S0 (x) S0 (x + t) S0 (x) S0 (x + t) S0 (x) 특히 Sx (t) Fx (t)인 것에 주의하면 Sx (t) S0 (x + t) S0 (x) 위 성질은 생존함수의 대단히 중요한 성질이므로 다음 두 형태로 기억하자. Sx (t) S0 (x + t), S0 (x) S0 (x + t) S0 (x)sx (t), Fx (t) + Sx (t), t 0

36 36 4 Force of Motality 두 사건 A, B가 동시에 일어나는 사건은 A B로 표현하는 것이 맞다. 그러나 표현을 간단하 게 하기 위하여 정의 4.. [동시에 일어나는 사건] 두 사건 A, B가 동시에 일어나는 사건 A B를 간단히 AB 로 표현한다. 그러면 P[B A] P[AB] P[AB] P[B]P[A B] P[A]P[B A] P[A] 보기 4.. 식 S0 (x + t) S0 (x)sx (t)을 말로 표현해보자. <풀이> S0 (x + t)는 지금 태어난 사람이 x + t년 생존할 확률이다. 만일 다음 세 사건 A 태어나서 x년 이상 생존한다 B 태어나 나이가 x가 된 수 t년 더 생존한다 C 태어나 x + t년 이상 생존하다 를 생각하면 C A B : AB이다. P[A] S0 (x), P[B] Sx (t), P[C] S0 (x + t) 따라서 식 S0 (x + t) S0 (x)sx (t)은 S0 (x + t) P[C] P[AB] P[AB] P[A] P[B A] P[A] Sx (t)s0 (x) P[A]

37 4. 생존분포 P[Tx t]와 생존함수 P[Tx > t] 37 보기 4.. 다음 식을 말해보자.. S0 (x + t + u) S0 (x)sx (t + u). S0 (x + t + u) S0 (x + t)sx+t (u) 3. S0 (x)sx (t + u) S0 (x)sx (t)sx+t (u) <풀이>. 태어나서 x + t + u년 이상 생존할 확률은, 태어나서 x년 이상 생존할 확률과, 태어나 x 년이 되었을 때, t년 이상 더 생존할 확률의 곱이다.. 태어나서 x + t + u년 이상 생존할 확률은, 태어나서 x + t년 이상 생존할 확률과, 태어나서 x + t 년이 되었을 때, u 이상 더 생존할 확률의 곱이다. 3. 태어나서 x + t + u년 이상 생존할 확률은, 태어나서 x년 이상 생존할 확률과, 태어나 x 년이 되었을 때, t년 이상 더 생존할 확률과, 태어나 x +t년이 되었을 때, u 이상 더 생존할 확률을 곱이다. 정리 4.. Sx (t + u) Sx (t)sx+t (u) 증명 S0 (x + t + u) S0 (x) S0 (x)sx (t)sx+t (u) S0 (x) Sx (t + u) Sx (t)sx+t (u)

38 38 4 Force of Motality 보기 4..3 다음을 말로 표현해보자.. Sx (0). limt Sx (t) 0 3. t < t 이면 Sx (t ) Sx (t ) 이제 Sx 는 수학적으로 다루기 편한 성질을 갖는 것으로 가정하자. 예를 들어 Sx 는 미분가능하다 limt tsx (t) 0 limt t Sx (t) 0 제 4.3 절 사망률 태어나서 x년에 죽을 확률을 아는 것은 중요하다. 이 사망율을 계산하는 것은 실제 인구 통계를 보고 계산해야 한다. 그러나 이론적으로 x년에 죽을 확률은 h > 0가 아주 작을 때 P[Tx h] h 로 봐도 크게 다르지 않다. 따라서 x년에 죽을 확률을 µx 라 두면 P[T0 x + h T0 > x] h 0 h P[x < T0 x + h] lim h 0 h P[x0 > x] P[T0 x + h] P[T0 x] lim h 0 h ( P[T0 x]) P[T0 x + h] + h P[T0 x] lim h 0 h S0 (x) S0 (x) S0 (x + h) lim h 0 h S0 (x) S0 (x + h) S0 (x) lim S0 (x) h 0 h 0 S (x) 0 S0 (x) 0 log S0 (x) µx : lim 위 식에서 log0 (x) x 인 것을 썼다. 합성함수 미분법에 따라 φ (x) log f (x) 라면

39 4.3 사망률 39 f 0 (x) f (x) φ 0 (x) 인 것에 주의하자. 따라서 µx 0 S00 (x) log S0 (x) S0 (x) (*) 의 의미는 log S0 (x)의 도함수가 µx 인 것을 말한다. 이제 식 (*)를 0부터 x까지 적분하면 Z tx µt dt t0 Z tx t0 0 log S0 (t) dt 따라서 Z tx t0 h µt dt log S0 (t) x t0 log S0 (x) log S0 (0) 그런데 S0 (x)의 의미는 무엇인가? S0 (x) F0 (x) P[T0 x] 이므로 S0 (x)의 의미는 어떤 사람이 태어나서 x년 생존할 확률이다. 따라서 의미있는 것은 살아 태어난 사람이므로( 즉 사산한 경우는 생각하지 않으므로) S0 (0) 이다. 정리하면 log S0 (x) Z x t0 µt dt 또는 S0 (x) exp 또한 S0 (t + x) S0 (x)sx (t) 인 것에 주의하며 Sx (t) S0 (x + t) S0 (x) x+t exp( u0 µu du) Rx exp( u0 µu du) R Z x+t exp( ux Z t exp( 0 µu du) µx+u du) Z x t0 µt dt

40 40 4 Force of Motality 정리 4.3. [사망률(mortality)] 나이 x에 죽는 속도(force of mortality)를 µx 라 두면 µx S00 (x) d log S0 (x) S0 (x) dx 따라서 S0 (x) exp Z x t0 µt dt 생존함수의 성질 S0 (x + t) S0 (x)sx (t)를 이용하면 Sx (t) S0 (x + t) exp S0 (x) Z x u0 µx+u du 여기서 Sx + Fx 인 것에 주의하면 µx S00 (x) F00 (x) F00 (x) F 0 (x) 0 S0 (x) F0 (x) F0 (x) S0 (x) 또한 사망률(force of mortality)는 사망할 확률이 아닌 것에 주의하자. 생존함수 S0 (x)를 이 용하면 당연히 사망률(force of mortality)를 표시화는데 음의부호 가 필요한다. 음의부호를 쓰지않으려면 남은 생명 Tx 의 분포함수 Fx (t) : P[Tx t]를 쓰면 되는데, 위에서 보는 것처럼 µx 의 표현이 아름답지 못하다. 위 식과 같은 µx 의 표현을 기억해두자. 보기 4.3. 연습으로 F0 (x) : P[T0 x] x 6 0 라 하자. F0 (x)의 그래프는 다음과 같다 F0 의 그래프의 모양의 의미를 말해보자.. 사망률(force of mortality ) µx 를 구해보자

41 4.3 사망률 그림 4. Force of mortality µ x 그림 4. 생존함수 S 0 (x) 그림 4.3 logs 0 (x) 0

42 4 4 Force of Motality 제 4.4 절 기대수명 나이가 x인 사람들의 집합 Ωx 를 생각하자. 정의 4.4. [확률변수 Tx ] 함수 Tx : Ωx [0, ) 는 나이가 x인 사람의 생존수명을 나타낸다. 예를 들어 Tx (p)는 나이가 x인 사람 p Ωx 의 남은 수명을 나타댄다. 이렇게 해석하면 {Tx t} : {p Ωx Tx (p) t} 는 나이가 x인 사람 중에서 기대수명이 t년 이내인 사람들이다. 즉 태어나서 x년 산 사람 중 에서 x + t년 이내에 죽는 사람들의 집합이다. 그런데 Tx 3, 즉 태어나서 x년 산 사람중에서 정확하게 x + 3년에 죽은 사람들을 생각하는 것은 큰 의미가 없다. 왜냐하면 정확하게 x + 3년 에 죽는 사람이 어디에 있겠나! 이런 이유로 Tx u 와 같은 부등식이 즐겨 사용된다. 그럼에도 이론적인 면에서 임의의 양수 h에 대해서 {t < Tx t + h} 를 생각하고 싶다. 말로하면 태어나서 x년 산 사람 중에서 t와 t + h 사이에 어떤 시점에 죽 는 사람들의 집합이다. 더 중요한 것은 {t < Tx t + h}의 확률 P[t < Tx t + h]을 표현하는 일이다. 정의 4.4. [분포함수(distribution function)] F : R R가. F는 증가함수, 즉 x, y, R, x y F(x) F(y). F는 오른쪽에서 연속, 즉 F(x) lim F(x + h) h 0 를 만족시키면 F를 분포함수라 한다. 가장 중요한 분포함수는 확률변수로부터 얻어지는 분포함수이다. 지금 우리의 경우는 확 률변수 Tx : Ωx [0, ) 로부터 얻어지는 함수

43 4.4 기대수명 43 Fx (t) : P[Tx t] P {p Ωx Tx (p) t} 는 분포함수이다. Fx 의 특징을 보면 t 0이면 Fx (t) 0 t 00이면 Fx (t). 태어나서 00년 이상 사는 사람 없다고 생각되지 않나! 이 분포함수 Fx 를 이용하면 {Tx t + h} {Tx t} {t < Tx t + h} 이고, {Tx t} {t < Tx t + h} 0/ 인 것에 주의하면 P[t < Tx t + h] P[Tx t + h] P[Tx t] Fx (t + h) Fx (t) 그러면 Fx (t + h) Fx (t)를 보면 즉시 떠오르는 생각이 있다. 아주 좋은 경우를 생각하자. 정의 [확률밀도함수(probability density function)] 확률변수 X : Ω R에 대응되는 분포함수 FX : R [0, ], FX (t) : P[X t] 를 생각하자. 만일 FX (t) : P[X t] Z t f (x)dx 가 되는 함수 f : R [0, )이 있으면, 이 함수 f 를 확률변수 X의 확률밀도함수라 한다. 사람들은 하나 하나 독립된 삶이 있기 때문에 미분적분을 적용할 수 있는 그런 것이 아니다. 그러나 사람들의 생존기간들은 실수집합의 부분집합이고 더욱 사람 수가 많기 때문에 실수집 합의 어떤 구간으로 이해하는 것이 이론을 풍성하게 한다. 이런 이유로 Tx 의 분포함수 Fx 가 확률밀도함수 fx 를 갖는다 하자. 따라서 Z t Fx (t) fx (s)ds

44 44 4 Force of Motality 정리 4.4. [미분적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)] 적분가능한 함수 f : [a, b] R 를 생각하자. 예를 들어 연속함수는 적분가능하다. 연속함수가 아니더라 도 증가함수(감소함수)는 다 적분가능하다. 사실 불연속점들이 유한개이거나 가산인 무한 (countably infinite)이면 적분가능하다. 적분을 이용해서 함수 F : [a, b] R를 Z x f (t)dt F(x) : ta 로 정의하면. F는 연속함수이다.. f 가 연속인 점 c [a, b]에서는 F는 미분가능하고 F 0 (c) f (c) 우리는 나이가 x인 사람들의 생존기간 Tx 가 어떻게 생겼는지 모른다. 그러나 통계자료를 해 석하면 fx 가 연속함수라 생각해도 통계자료와 맞지 않는 큰 오류가 없고, 더욱 fx 를 연속이라 생각하는 것이 재료 해석에 다양한 방법이 가능하기 때문에 fx 가 연속이라 가정하자. 그럼면 d Fx (t) fx (t) dt 특히 P[t < Tx t + h] P[Tx t + h] P[Tx t] Fx (t + h) Fx (t) Fx (t + h) Fx (t) h h fx (t)h 이 식으로부터 fx (t)를 해석하면, fx (t)는 나이가 x인 사람이 x + t년에 사망할 밀도(density)를 나타낸다. fx 는 증가함수 Fx 의 도함수이기 때문에 항상 0과 같거나 크다. 그러나 그 값은 아주 큰 양수 도 될 수 있다.

45 4.4 기대수명 45 정리 4.4. [기대수명(Expectation of Life)] 나이가 x인 사람들이 기대수명을 아는 것은 중 요하다. 이것을 통계자료를 보고 계산할 일이다. 이론적인 면에서 기대수명을 E[Tx ]로 나 타내면 Z E[Tx ] : Zt0 t0 t fx (t)dt tdfx (t) jhp[t + jh < Tx t + ( j + )h] j0 E[Tx ]는 함수 Tx : Ωx [0, )의 평균값이다. 그 의미는 나이가 x년 사람은 E[Tx ] 년 이내에 죽는다는 말이다. 이런 의미로 E[Tx ]는 나이가 x인 사람의 기대수명이라 이해하면 좋다. Tx : Ω [0, )의 분산(variance)를 계산하기 위하여 E[Tx ]을 계산하여 보자. 이를 위해서 다음 부분적분 공식을 이용하자. G0 (x) g(x)라 두면 Z Z f gdx f dg f G Z Gd f f G Z G f 0 dx 이제 Fx (t) + Sx (t) 인 것에 주의하면 E[Tx ] Z t0 t dfx (t) Z t0 t dsx (t) t Sx (t) Z + Sx (t)dt t0 t0 Z lim t Sx (t) + t t0 tsx (t)dt 사람은 영원히 살지는 않기 때문에 limt t Sx (t) 0라 생각해도 무리가 없다. 따라서 정리 Tx : Ωx [0, )의 분산 Var[Tx ]는 Var[Tx ] E[Tx ] E[Tx ] Z t0 tsx (t)dt Z t0 tdsx (t)

46 46 4 Force of Motality t 보기 4.4. F0 (t) : P[T0 x] ( 0 ) 6, 0 x 0이라 하자. 물론 t < 0이면 F0 (t) 0 이고, t 0이면 F0 (t) 인 것을 표현이 복잡하니 서로 아는 것으로 하자.. E[T30 ]을 구하여라.. Var[T30 ]을 구하여라. <풀이> fx (t) dtd Fx (t)라 두자. 그러면 E[T30 ]을 계산하려면 f30 (t)을 알아야 한다. 따라서 일반적으로 F0 (t)로 부터 Fx (t)를 알 필요가 있다. Fx (t)를 계산해보자. Fx (t) P[Tx t] P[T0 x + t T0 > x] P[x < T0 x + t] P[T0 > x] F0 (x + t) F0 (x) F0 (x) S0 (x) S0 (x + t), S0 (x) S0 (x + t) S0 (x) 따라서 fx (t) : S0 (x + t) d Fx (t) 0, dt S0 (x) Fx (t) + Sx (t) S0 (u) ( 여기서 주의할 점은 관계식 Fx (t) + Sx (t) 로 부터, 실제로는 S0 (u). E[Tx ]., u 0 6 u ( 0 ), 0 < u 0 0, u 0 u )6 0

47 4.4 기대수명 47 Z 0 E[Tx ] t0 Z 0 t0 tdfx (t) t fx (t)dt 0 ts0 (x + t)dt S0 (x) t0 0 Z 0 x tds0 (x + t) S0 (x) t0 Z 0 x 0 x ts0 (x + t) t0 + S0 (x + t)dt S0 (x) S0 (x) t0 Z 0 S0 (u)du 0+ S0 (x) ux Z 0 u ( ) 6 du S0 (x) ux 0 Z x 0 u u 0( )6 ( ) 6 d( ) ux x 6 u 7 0 0( ) 6 ( ) ux 6 (0 x) 7 Z 특별히 E[T30 ] 67 (0 30) Var[Tx ] 우선 Var[Tx ] E[Tx ] E[Tx ] u 6 여기서 E[Tx ]는 이미 계산했기 때문에 E[Tx ]을 계산하자. S0 (u) ( 0 ) 에 주의하면, E[Tx ] Z 0 t0 Z 0 t0 t dfx (t) t fx (t)dt 0 x t S00 (x + t)dt S0 (x) t0 Z 0 (u x) S00 (u)du S0 (x) ux Z 0 (u x) ds0 (u) S0 (x) ux Z 0 0 (u x) S0 (u) ux S0 (u)d(u x) S0 (x) ux Z 0 (u x)s0 (u)du S0 (x) ux Z 0 u (u x)( ) 6 du S0 (x) ux 0 Z u 이 적분을 계산하는 것은 0 때문에 힘들다. 이 복잡한 것을 한 문자로 바꾸자. u v 0

48 48 4 Force of Motality 라 두면 u 0 0v가 된다. 따라서 Z 0 (u x)( ux u ) 6 du 0 Z u0 (u x)( ux Z 0 0v0 u ) 6 du 0 (0 0v x)v 6 d(0 0v) 0 0vx Z 0 x v (0 x)v 6 0v 6 d( 0v) Z x 0 7 (0 x)v 6 0v 6 dv v0 6 6 x 7 x 3 0 (0 x) ( ) 6 0 ( ) x 0 ( ( ) (0 x) 6 9 따라서 E[Tx ] 7 (0 x) 9 드디어 Var[Tx ] E[Tx ] E[Tx ] (0 x) (0 x) (0 x) 특별히 Var[T30 ] (0 30) 위 보기처럼 실제 상황가 비슷한 문제는 계산이 복잡하다. 다음과 같은 개념 익히는 문제를 풀어보자. 보기 4.4. F0 (t)가 다음과 같다. F0 (t). E[Tx ]를 구하여라.. Var[Tx ]를 구하여라. <풀이> Fx (t)를 구해야 한다. 0, t 0 4t, 0 t, t

49 4.4 기대수명 49 Fx (t) P[Tx t] P[T0 x + t T0 > x] P[x < T0 x + t] P[T0 > x] F0 (x + t) F0 (x) F0 (x) S0 (x) S0 (x + t), S0 (x) S0 (x + t) S0 (x) 따라서 fx (t) : Fx (t) + Sx (t) S0 (x + t) d Fx (t) 0 dt S0 (x) 이제 Fx (t) + Sx (t) 으로부터 S0 (t) F0 (t), t 0 4 t, 0 t 0, t 지금 경우는 함수가 간단하니 직접 계산하면 0, t <0 (x+t) fx (t), 0 < t < x, x 4 0, t > x 위 식에서 fx (t)가 0이 아닌 t 값의 범위가 0 < t < 가 아니라 0 < t < x 인 것에 주의하자. 그러면. E[Tx ] Z E[Tx ] tdfx (t) t0 Z x t0 t fx (t)dt 4 x Z x t(x + t)dt t0 (8 x x ) 3( + x). Var[Tx ] Var[Tx ] E[Tx ] E[Tx ]

50 50 4 Force of Motality 우선 그러므로 Var[T x ] ( x) (6 + x) 6( + x) E[Tx ] t df x (t) t0 4 x x t0 ( x) (6 + x) 6( + x) t (x +t)dt ( (8 x x )) 8 6x + 4x + x 3 3( + x) + 6x

51 장5 Acturial Notations 어떤 분야는 그 분야의 사람들이 즐겨 사용하는 표현이 있다. 보험 분야도 다르지 않다. 이 절에서는 보험분야에서 주로 사용하는 표현을 익혀보자. 정의 [ 기호의 정의] F0 (t) : P[T0 t] : t q0 S0 (t) : F0 (t) P[T0 > t] t p0 따라서 t p0 + t q0 t 가 변수인 것에 주의하자. Fx (t) : P[Tx t] : t qx Sx (t) : P[Tx t] P[Tx > t] : t px 따라서 Fx (t) + Sx (t) 으로부터 t px + t qx 여기서 t가 변수인 것에 주의하자. u t qx : P[u < Tx u + t] 따라서 u t qx P[u < Tx u + t] P[Tx u + t] P[Tx u] Fx (u + t) Fx (u) Fx (u + t) + Fx (u) Sx (u) Sx (u + t) 정리하면 Fx (u + t) Fx (u) u t qx Sx (u) Sx (u + t) 5

52 5 5 Acturial Notations u t qx 라는 기호를 기억하기 어렵다. 다음 설명을 보자. : 태어나서 t년 이내에 죽을 확률. q를 quit라 생각하자. t가 앞에 있는 것은 예측이기 때문이라 생각하자. t p0 : 태어낸 사람이 t년 이상 살 확률. p는 prosper라 생각하자. t qx : 나이가 x이 사람이 t년 이내에 죽을 확률. 이 사람은 태어나서 x + t년 이내에 죽는 사람들에 속한다. t px : 나이가 x인 사람의 t년 이상 살 확률. 이 사람은 태어나서 x + t년 이상 사는 사람들에 속한다. u t qx : 나이가 x인 사람의 x + u년과 x + u + t년 사이에 죽을 확률 t q0 제 5. 절 Force of Mortality 시간에 따른 위치의 변화를 속도(velocity)라 한다. 시간에 따를 거리의 변화를 속력(speed)라 한다. 사람이 죽는 것도 시간에 따른 변화이므로 나이가 x가 됐을 때 죽는 속도를 아는 것은 관심 갖을 일이다. 죽는 것은 피할 수 없는 일이므로 속도란 말 대신에 Force of Mortality란 표현을 쓴다. 정의 5.. [ Force of Mortality] 태어나 나이가 x인 사람들의 t년에 죽는 속도(Force of mortality)는 µx (t) : lim t+h qx t qx t px h 0 h 위 식에서 분모에 t px P[Tx > t] 가 있는 것은 t년에 죽는 속도를 계산하려면 최소한 t년 이상 사는 사람을 대상으로 해야 하기 때문이다. 태어난 사람들이 나이 x에 죽는 속도는 x+h q0 x q0 h 0 h x p0 P[T0 x + h] P[T0 x] lim h x p0 h 0 F0 (x + h) F0 (x) lim h 0 p h x 0 f0 (x) d, f0 (x) : F0 (x) S0 (x) dx µ0 (x) : lim 정리하면 µ0 (x) 그런데 f0 (x), S0 (x) f0 (x) : d F0 (x) dx

53 5. Force of Mortality 53 S0 (x) + F0 (x) 인 것을 이용해서, 양변을 x로 미분하면 d d d S0 (x) + F0 (x) S0 (x) + f0 (x) 0 dx dx dx 따라서 µ0 (x) S0 (x) d f0 (x) 0 log S0 (x) S0 (x) S0 (x) dx 여기서 S0 (0) 인 것에 주의하며 S0 (x) exp Z x t0 µ0 (t)dt 정리 5.. [Force of Mortality 와 Survival Function] µ0 (x) d log S0 (x), dx S0 (x) exp Z x t0 µ0 (t)dt 여기서 S0 (x) : P[T0 > x] 즉 S0 (x)는 태어난 사람이 x년 이상 살 확률이다. 음의 부호 가 있는 것은 죽는 것은 사는 것과 대척점에 있기 때문이다. t px 는 태어나 나이가 x인 사람이 t년 이상 더 살 확률이다. 따라서 t px : P[Tx > t] P[T0 > x + t T0 > x] P[{T0 > x + t} {T0 > x}] P[T0 > x] P[T0 > x + t] P0 > x] S0 (x + t) S0 (x) 정리하면 t px P[Tx > t] S0 (x + t) exp S0 (x) Z x+t ux µ0 (u)du

54 54 5 Acturial Notations 정리 5.. [µx (t)] 태어나서 나이가 x이 사람이 t년 후에 죽는 속도 µx (t) (force of mortality) 는 µx (t) µ0 (x + t) <풀이> 상식으로 생각해도, 나이가 x이 사람이 t년 후에 죽는 속도는, 태어낸 사람이 x + t 년에 죽는 속도와 같다. 계산으로 확인하면 우선 Fx (t) + Sx (t) 양변을 t 로 미분하면 fx (t) + d Sx (t) 0 dt 따라서 d d Sx (t) t px fx (t) dt dt 그런데 t px S0 (x+t) S0 (x) 이므로 d t px dt S0 (x + t) 0 S0 (x) S00 (x + t) S0 (x + t) S0 (x + t) S0 (x) fx (t) µ0 (x + t)t px 정리하면 fx (t) µ0 (x + t)t px 다은 한편으로 정의로부터 바로 µx (t) : lim t+h qx t qx h 0 t px h fx (t) t px 두 식으로부터 µx (t) fx (t) µ0 (x + t)t px µ0 (x + t) t px t px 나이가 x인 사람의 u년과 u + t년 사이에 죽을 확률 u t qx 은 u t qx P[Tx u + t] P[Tx u] P[Tx u] P[Tx u + t]) u px u+t px

55 5. Force of Mortality 55 보기 5.. S0 (x) e ax 라 하자.. f0 (x)를 구하라.. µ0 (x)를 구하여라. <풀이> d d. f0 (x) dx F0 (x) dx S0 (x) ae ax d d ln S0 (x) dx. µ0 (x) dx ax a 보기 5.. µ0 (x) a +x 라 하자.. S0 (x)를 구하라.. f0 (x)를 구하여라. <풀이> 먼저 S0 (x)를 구하자. S0 (0) 인 것에 주의하면. S0 (x) exp. f0 (x) Z x d d dx F0 (x) dx 0 x a dt exp ln( + x) ( + x)a t0 + t Z µ0 (t)dt exp S0 (x) a (+x)a+ 보기 5..3 강원개발에서 만든 제품 A의 보증기간 x를 x년을 버티지 못하는 제품 비율율을 t % 이내로 하고 싶다. 만일 제품이 고장나는 속도(force of mortality)를 µ0 (t) 500 이라 할 때, x으로 타당한 값을 구하여라. <풀이> 다른 말로 하면 99%가 x년을 버티도록 하면 된다. 따라서 S0 (x) exp 따라서 S0 (x) 0.99가 되려면 Z x t0 x t dt exp( ) 000 t0 500 Z µ0 (t) exp x

56 56 5 Acturial Notations x ln(0.99) x 000 ln(0.99) 따라서 보증기간은 x 3년으로 하는 것이 타당하다. x a 보기 5..4 S0 (x) 00 라 하자. a,, 인 경우에 60 p0 을 구하여라. <풀이> t px S0 (x+t) S0 (x) 인 것에 주의하면 a 일 때, 60 p0 a 일 때, 60 p0 4 a 일 때, 60 p0 6 위 계산은 지금 상황에서는 µ0 (x) d d x a ln S0 (x) a ( ) dx dx x 인 것에 주의하면, a가 a로 되면 force of mortiality 는 배로 커지고, 이에 따라 살아남을 확률은 제곱으로 줄어든다.

57 5. Life Table 57 제 5. 절 Life Table 나이가 x인 사람들의 집합을 Ωx 로 표시했다. #(Ωx ) `x 라 하자. 따라서 `x 는 나이가 x이 사람 들의 수이다. 정의 5.. 나이가 x의 사람들이 집합을 Ωx 로 나타내자.. `x : # Ωx. t px : 나이가 x이 사람의 t년 이상 살 확률. 따라서 t px : P[Tx > t T0 > x] 3. t qx : 나이가 x인 사람이 t년 이내에 죽을 확률. 따라서 t qx : P[Tx t T0 > x] 정의로부터 t px + t qx. 정의 5.. [이항확률변수( Binomial Random Variable)] 성공할 확률이 p, 실패할 확률이 q p인 실행이 있다. 이 실행을 독립적으로 n 번 한 결과는 Ω : {ω (ω, ω,, ωn ) ωi {0, }} 로 표현할 수 있다. 여기서 성공은, 실패는 0로 표시하기로 하자. 그러면 각각의 확률변수 Xi : Ω R, Xi (ω) : ωi, i,,, n 는 서로 독립이고, 특히 P[Xi ] p, P[Xi 0] q, i,,, n 이때 확률변수 X : Ω R, X : X + X + + Xn 을 이항확률변수(Binomial Random Variable)이라 한다. 이항확률변수의 편리한 점은 평균(mean)과 분산(variance)를 구하기 쉽다. 주의할 것은 Xi, i,,, n서 서로 독립인 것이다. 그러면

58 58 5 Acturial Notations E[X] E[X ] + E[X ] + + E[X n] p+ p+ + p np Var[X] E[X ] E[X] n E[ Xi X j ] (np) i, j n E[Xi X j ] (np) i, j n E[Xi ] + E[Xi ]E[X j ] (np), i i 6 j이면 Xi, X j 는 독립 i6 j E[Xi ] + (n n)p (np) i np + (n n)p (np) np( p) npq, q p. `x : # Ωx 지금 이항확률변수를 말하는 것은 나이가 x이 사람이 t년 이상 살 확률은 t px 인 것이 앞면()이 나올 확률일 t px 이 동전 던지기와 같은 상황이기 때문이다. 따라서 다음을 얻 는다. `x+t t px `x 이 식은 # Ω `x 이므로, 이항확률변수의 평균에 해당한다. # Ωx+t `x+t E[X] np `x t px t px # Ωx 다음에 주의하자: t px # Ωx+t `x+t `x # Ωx `x 에서 `은 Live 라 기억하자. dx : `x `x+ # Ωx # Ωx+ dx 는 나이가 x인 사람이 x + 이 되기 전에 죽은 사람들의 수이다. 따라서 dx : `x `x+ # Ωx # Ωx+ 이 식을 정리하면 dx `x `x+ `x+ `x `x px `x `x qx

59 5. Life Table px px, qx qx 이것은 표현을 간단하게 하기 위한 것이다. 이 표현을 쓰면 dx `x `x+ `x+ `x `x px `x `x qx 4. u t qx u t qx 는 나이가 x인 사람이 x + u년과 x + u + t년 사이에 죽을 확률이다. 따라서 이 계산에 필요한 것은 # Ωx # Ωx+u # Ωx+u+t 따라서 # Ωx+u # Ωx+u+t u t qx # Ωx `x+u `x+u+t `x 물론 # Ωx+u # Ωx+u+t u t qx # Ωx `x+u `x+u+t `x x+u px x+u+t px

60 60 5 Acturial Notations 보기 5.. 위표를보고다음을구하여라.. l 0. 0 p 0 3. q q 5 5. 현재나이 5인사람이 35에서 38에죽을확률. l p 0 l 0+0 l q 35 q 35 l 35 l35+ l % 4. 0q 5 0 p 5 l 0+5 l q 5 l 35 l 38 l % %

61 5. Life Table 6 보험수학 숙제 0 제출기한: 06년 05월 04일 보기 5... Ω {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, ), (, 3), (, 4)}라 하자. P {(i, j)} ci. a. c의 값을 구하여라. b. 두 확률변수 X : Ω R,Y : Ω : R가 다음과 같이 정의되어있다. X(i, j) i + j, Y (i, j) i j i. E[X], E[Y ]를 구하여라. ii. Var[X],Var[Y ]를 구하여라. iii. E[X Y ]를 구하여라. iv. E[Y X]를 구하여라. v. Z E[X Y ]라 할 때, Var[Z]를 구하여라. vi. Var[X Y ]를 구하여라. <풀이> 지금 경우는 각 사건이 일어날 확률이 같지 않은 것에 주의하자. a. P[Ω ] 은 언제나 성립해야 한다. 따라서 P[Ω ] P[(i, j)] i, j c i j,4 i ] 4c i i 4c( + ) 6c 따라서 c 6. b. i. E[X], X(i, j) i + j

62 6 5 Acturial Notations E[X] i, j X(i, j)p[(i, j)] i, j c + c i, j i, j 8c + c i 8c + 0c 8c + 5c 3c 3 6 i i j i 4 j j i (i + j) c i c ( + j i ) i, j E[Y ] i, j c c Y (i, j)p[(i, j)] (i j) c i, j i c j i, j 4 i j i 0c 0c 0 i j 0 6 ii. Var[X],Var[Y ] 0 3 Var[X] E[X ] E[X] i, j X(i, j) P[(i, j) ( 3) 6 (i + j) c i, j i ( )

63 5. Life Table 63 Var[Y ] E[Y ] E[Y ] Y (i, j) P[(i, j) i, j 0 3 c 0 (i j) i 3 i, j 35 9 iii. E[X Y ] 우선 E[X Y ] : Ω R는 Y 값이 같은 집합 {Y y}에서 상수함수인 것에 주의하자. Ω 를 Y 값에 따라 분류하면 Ω {(, )} {(, ), (, )} {(, 3)} {(, ), (, 4)} {(, 3)} {(, 4)} {(, )}에서는 E[X Y ] P[X Y ] {(, ), (, )}에서는 조심해야 한다. 왜냐하면 각 사건일 일어날 확률이 갖지 않기 때문이다. 따라서 P[ω (, ) Y ] P[ω (, ) Y ] E[X Y ] X(ω)P[ω (, ) Y (ω) ] + X(ω)P[ω (, ) Y (ω) ] {(, 3)} 에서는 E[X Y 3] 4 {(, ), (, 4)}에서는 E[X Y 4] X(ω)P[ω (, ) Y (ω) 4] + X(ω)P[ω (, 4) Y (ω) 4] {(.3)}에서는 E[X Y 6] 5 {(, 4)}에서는 E[X Y 8] 6

64 64 5 Acturial Notations,,,3,4,,3, ,4 6 E[Y X],,,3,4,,3, ,4 8 Var [ E[X Y ] ] 앞에서함수 E[X Y ] : Ω R 은구했다. 또한 인것도알고있다. 따라서 직접계산하면 m 3 6 을해서 E [ E[X Y ] ] E[X] 3 6 Var [ E[X Y ] ] E [ E[X Y ] ] E[X] 7

65 5. Life Table 65 Var [ E[X Y ] ] [ (E[X [ ] ] E Y ] E E[X Y ] ) ( m) 6 + (3 m) 4 + (4 m) ( 4 3 m) 4 + (5 m) + (6 m) 7 Var[X Y ] E [ (X E[X Y ]) Y ] 중요한것은 Var[X Y ] : Ω R 은 {Y y} Ω 에서상수함수인것을아는것이다. Ω 를 Y 값에따라분류하면 Ω {(,)} {(,),(,)} {(,3)} {(,),(,4)} {(,3)} {(,4)} 여기서함수 X : Ω R 을보면,,,3, , 4,4,3 5,4 6 따라서 X E[X Y ] : Ω R 은

66 66 5 Acturial Notations 0 H,L H,L H,L H,3L H,4L H,L H,3L 5 H,4L 6 함수 X E[X Y ] : Ω R의 그림을 보면, (i, j) (, 4), (, 4) Var[X Y ](i, j) 9 0, 위와 다른 경우 앞에서 Var E[X Y ] 7 인 것을 알았다. 다음 식을 확인해보자: 7 53 Var[X] E Var[X Y ] +Var E[X Y ] 보기 5..3 다음 가시 선택을 생각하자. 계산의 편의를 위해서 현재를 월 일이라 하자.. 내년 월 일부터 0년간 매년 월 일에 5,000을 받는다.. 내년 월 일부터 40년 동안 매년 월 일에 X를 받는다. 이자율이 %로 유지된다 가정할 때, 두 선택이 동등하게 되는 X를 구하여라. (계산의 편의를 위해서 40년을 살 수 있다 가정하자) <풀이> 현재가격 또는 미래가격 계산에 아주 유용한 공식은 등비급수의 합이다. 예를 들어 S + r + r + r3 + r n0 의 값을 구하는 문제를 생각하자. 이 식을 다음과 같이 둘로 나누자.

67 5. Life Table 67 따라서 S + r + r + r r + r + + r n + r n+ + r n+ + + r + r + + r n + r n+( + r + r + r 3 + ) + r + r + + r n + r n+ S + r + r + + r n S( r n+ ) ( r n+ ) r r rn+ r. 현재가격을계산하면. 같은방식으로현재가격을계산하면 P r ( + r) ( + r) ( + + r + r + + ) ( + r) ( + r) ( ( + r r + r )0) 5000 ( ) r ( + r) 0 P X + r + X X + r X + r + r X r 위두값이같기위해서는 r 0.0 로계산해서 ( + r) + + X ( + r) 40 ( + + r + + ) ( + r) 39 ( ( r + r )40) ( ) ( + r) 40 (+r) X (+r) ( + )( + ) (+r) 0 (+r)

생존분석의 추정과 비교 : 보충자료 이용희 December 12, 2018 Contents 1 생존함수와 위험함수 생존함수와 위험함수 예제: 지수분포

생존분석의 추정과 비교 : 보충자료 이용희 December 12, 2018 Contents 1 생존함수와 위험함수 생존함수와 위험함수 예제: 지수분포 생존분석의 추정과 비교 : 보충자료 이용희 December, 8 Cotets 생존함수와 위험함수. 생존함수와 위험함수....................................... 예제: 지수분포.......................................... 예제: 와이블분포.........................................

More information

1 경영학을 위한 수학 Final Exam 2015/12/12(토) 13:00-15:00 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오. 1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 Z 1 4 Z 1 (x + 1) dx (a) 1 (x 1)4 dx 1 Solut

1 경영학을 위한 수학 Final Exam 2015/12/12(토) 13:00-15:00 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오. 1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 Z 1 4 Z 1 (x + 1) dx (a) 1 (x 1)4 dx 1 Solut 경영학을 위한 수학 Fial Eam 5//(토) :-5: 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오.. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 4 ( ) (a) ( )4 8 8 (b) d이 성립한다. d C C log log (c) 이다. 양변에 적분을 취하면 log C (d) 라 하자. 그러면 d 4이다. 9 9 4 / si (e) cos si

More information

statistics

statistics 수치를이용한자료요약 statistics hmkang@hallym.ac.kr 한림대학교 통계학 강희모 ( 한림대학교 ) 수치를이용한자료요약 1 / 26 수치를 통한 자료의 요약 요약 방대한 자료를 몇 개의 의미있는 수치로 요약 자료의 분포상태를 알 수 있는 통계기법 사용 중심위치의 측도(measure of center) : 어떤 값을 중심으로 분포되어 있는지

More information

= " (2014), `` ,'' .." " (2011), `` ,'' (.)"

=  (2014), `` ,'' ..  (2011), `` ,'' (.) 학습목표 Finance Lectue Note Seies 파생금융상품의 이해 화폐의 시간가치(time value of money): 화폐의 시간가치에 대해 알아본다 제강 화폐의 시간가치 연금의 시간가치(time value of annuity): 일정기간 매년 동일금액을 지급하는 연금의 시간가치에 대해 알아본다 조 승 모 3 영구연금의 시간가치(time value

More information

= ``...(2011), , (.)''

= ``...(2011), , (.)'' Finance Lecture Note Series 사회과학과 수학 제2강. 미분 조 승 모2 영남대학교 경제금융학부 학습목표. 미분의 개념: 미분과 도함수의 개념에 대해 알아본다. : 실제로 미분을 어떻게 하는지 알아본다. : 극값의 개념을 알아보고 미분을 통해 어떻게 구하는지 알아본다. 4. 미분과 극한: 미분을 이용하여 극한값을 구하는 방법에 대해 알아본다.

More information

(001~006)개념RPM3-2(부속)

(001~006)개념RPM3-2(부속) www.imth.tv - (~9)개념RPM-(본문).. : PM RPM - 대푯값 페이지 다민 PI LPI 알피엠 대푯값과산포도 유형 ⑴ 대푯값 자료 전체의 중심적인 경향이나 특징을 하나의 수로 나타낸 값 ⑵ 평균 (평균)= Ⅰ 통계 (변량)의 총합 (변량의 개수) 개념플러스 대푯값에는 평균, 중앙값, 최 빈값 등이 있다. ⑶ 중앙값 자료를 작은 값부터 크기순으로

More information

Vector Differential: 벡터 미분 Yonghee Lee October 17, 벡터미분의 표기 스칼라미분 벡터미분(Vector diffrential) 또는 행렬미분(Matrix differential)은 벡터와 행렬의 미분식에 대 한 표

Vector Differential: 벡터 미분 Yonghee Lee October 17, 벡터미분의 표기 스칼라미분 벡터미분(Vector diffrential) 또는 행렬미분(Matrix differential)은 벡터와 행렬의 미분식에 대 한 표 Vector Differential: 벡터 미분 Yonhee Lee October 7, 08 벡터미분의 표기 스칼라미분 벡터미분(Vector diffrential) 또는 행렬미분(Matrix differential)은 벡터와 행렬의 미분식에 대 한 표기법을 정의하는 방법이다 보통 스칼라(scalar)에 대한 미분은 일분수 함수 f : < < 또는 다변수 함수(function

More information

함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition 0.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function space) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과

함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition 0.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function space) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과 함수공간 함수공간, 점열린위상 Definition.1. X와 Y 는임의의집합이고 F(X, Y ) 를 X에서 Y 로의모든함수족이라하자. 집합 F(X, Y ) 에위상을정의할때이것을함수공간 (function spce) 이라한다. F(X, Y ) 는다음과같이적당한적집합과같음을볼수있다. 각 x X에대해 Y x = Y 라하자. 그리고 F := Y x x X 이라하자.

More information

3.2 함수의정의 Theorem 6 함수 f : X Y 와 Y W 인집합 W 에대하여 f : X W 는함수이다. Proof. f : X Y 가함수이므로 f X Y 이고, Y W 이므로 f X W 이므로 F0이만족된다. 함수의정의 F1, F2은 f : X Y 가함수이므로

3.2 함수의정의 Theorem 6 함수 f : X Y 와 Y W 인집합 W 에대하여 f : X W 는함수이다. Proof. f : X Y 가함수이므로 f X Y 이고, Y W 이므로 f X W 이므로 F0이만족된다. 함수의정의 F1, F2은 f : X Y 가함수이므로 3.2 함수의정의 Theorem 6 함수 f : X Y 와 Y W 인집합 W 에대하여 f : X W 는함수이다. Proof. f : X Y 가함수이므로 f X Y 이고, Y W 이므로 f X W 이므로 F0이만족된다. 함수의정의 F1, F2은 f : X Y 가함수이므로성립한다. Theorem 7 두함수 f : X Y 와 g : X Y 에대하여, f = g f(x)

More information

문제지 제시문 2 보이지 않는 영역에 대한 정보를 얻기 위하여 관측된 다른 정보를 분석하여 역으로 미 관측 영역 에 대한 정보를 얻을 수 있다. 가령 주어진 영역에 장애물이 있는 경우 한 끝 점에서 출발하여 다른 끝 점에 도달하는 최단 경로의 개수를 분석하여 장애물의

문제지 제시문 2 보이지 않는 영역에 대한 정보를 얻기 위하여 관측된 다른 정보를 분석하여 역으로 미 관측 영역 에 대한 정보를 얻을 수 있다. 가령 주어진 영역에 장애물이 있는 경우 한 끝 점에서 출발하여 다른 끝 점에 도달하는 최단 경로의 개수를 분석하여 장애물의 제시문 문제지 2015학년도 대학 신입학생 수시모집 일반전형 면접 및 구술고사 수학 제시문 1 하나의 동전을 던질 때, 앞면이나 뒷면이 나온다. 번째 던지기 전까지 뒷면이 나온 횟수를 라 하자( ). 처음 던지기 전 가진 점수를 점이라 하고, 번째 던졌을 때, 동전의 뒷면이 나오면 가지고 있던 점수를 그대로 두고, 동전의 앞면이 나오면 가지고 있던 점수를 배

More information

FGB-P 학번수학과권혁준 2008 년 5 월 19 일 Lemma 1 p 를 C([0, 1]) 에속하는음수가되지않는함수라하자. 이때 y C 2 (0, 1) C([0, 1]) 가미분방정식 y (t) + p(t)y(t) = 0, t (0, 1), y(0)

FGB-P 학번수학과권혁준 2008 년 5 월 19 일 Lemma 1 p 를 C([0, 1]) 에속하는음수가되지않는함수라하자. 이때 y C 2 (0, 1) C([0, 1]) 가미분방정식 y (t) + p(t)y(t) = 0, t (0, 1), y(0) FGB-P8-3 8 학번수학과권혁준 8 년 5 월 9 일 Lemma p 를 C[, ] 에속하는음수가되지않는함수라하자. 이때 y C, C[, ] 가미분방정식 y t + ptyt, t,, y y 을만족하는해라고하면, y 는, 에서연속적인이계도함수를가지게확 장될수있다. Proof y 은 y 의도함수이므로미적분학의기본정리에의하여, y 은 y 의어떤원시 함수와적분상수의합으로표시될수있다.

More information

제 3강 역함수의 미분과 로피탈의 정리

제 3강 역함수의 미분과 로피탈의 정리 제 3 강역함수의미분과로피탈의정리 역함수의미분 : 두실수 a b 와폐구갂 [ ab, ] 에서 -이고연속인함수 f 가 ( a, b) 미분가능하다고가정하자. 만일 f '( ) 0 이면역함수 f 은실수 f( ) 에서미분가능하고 ( f )'( f ( )) 이다. f '( ) 에서 증명 : 폐구갂 [ ab, ] 에서 -이고연속인함수 f 는증가함수이거나감소함수이다 (

More information

(2) 다중상태모형 (Hyunoo Shim) 1 / 2 (Coninuous-ime Markov Model) ➀ 전이가일어나는시점이산시간 : = 1, 2,, 4,... [ 연속시간 : 아무때나, T 1, T 2... * 그림 (2) 다중상태모형 ➁ 계산과정 이산시간 : 전이력 (force of ransiion) 정의안됨 전이확률 (ransiion probabiliy)

More information

0 cm (++x)=0 x= R QR Q =R =Q = cm =Q =-=(cm) =R =x cm (x+) = +(x+) x= x= (cm) =+=0 (cm) =+=8 (cm) + =0+_8= (cm) cm + = + = _= (cm) 7+x= x= +y= y=8,, Q

0 cm (++x)=0 x= R QR Q =R =Q = cm =Q =-=(cm) =R =x cm (x+) = +(x+) x= x= (cm) =+=0 (cm) =+=8 (cm) + =0+_8= (cm) cm + = + = _= (cm) 7+x= x= +y= y=8,, Q . 09~ cm 7 0 8 9 8'-p 0 cm x=, y=8 cm 0' 7 cm 8 cm 9 'åcm 90 'åcm T T=90 T T =" 8 - =' (cm) T= T= _T _T _'_ T=8' (cm ) 7 = == =80 -_ =0 = = _=(cm) M = = _0= (cm) M M =" - = (cm) r cm rcm (r-)cm H 8cm cm

More information

inance Lectue Note Seies 금융시장과 투자분석 제강. 화폐의 시간가치 조 승 모 영남대학교 경제금융학부 04학년도 학기 학습목표. 화폐의 시간가치(tie value of oney): 동일한 금액의 화폐라도 시점에 따라 다른 가치를 가지게 되는 화폐의 시간가치에 대해 알아본다.. 수익률(ate of etun): 단순 수익률과 로그 수익률을 정의하고

More information

Microsoft PowerPoint - chap_2_rep.ppt [호환 모드]

Microsoft PowerPoint - chap_2_rep.ppt [호환 모드] 제 강.1 통계적기초 확률변수 (Radom Variable). 확률변수 (r.v.): 관측되기전까지는그값이알려지지않은변수. 확률변수의값은확률적실험으로부터결과된다. 확률적실험은실제수행할수있는실험뿐아니라가상적실험도포함함 (ex. 주사위던지기, [0,1] 실선에점던지기 ) 확률변수는그변수의모든가능한값들의집합에대해정의된알려지거나알려지지않은어떤확률분포의존재가연계됨 반면에,

More information

<B4EBC7D0BCF6C7D02DBBEFB0A2C7D4BCF62E687770>

<B4EBC7D0BCF6C7D02DBBEFB0A2C7D4BCF62E687770> 삼각함수. 삼각함수의덧셈정리 삼각함수의덧셈정리 삼각함수 sin (α + β ), cos (α + β ), tan (α + β ) 등을 α 또는 β 의삼각함수로나 타낼수있다. 각 α 와각 β 에대하여 α >0, β >0이고 0 α - β < β 를만족한다고가정하 자. 다른경우에도같은방법으로증명할수있다. 각 α 와각 β 에대하여 θ = α - β 라고놓자. 위의그림에서원점에서거리가

More information

2018년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (2018학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 2018년 2월 13일, 고사시간 90분 2018년 1번 x3 + x2 + x 3 = x 1 x2 1 lim. [풀이] x3 + x2 + x 3

2018년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (2018학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 2018년 2월 13일, 고사시간 90분 2018년 1번 x3 + x2 + x 3 = x 1 x2 1 lim. [풀이] x3 + x2 + x 3 8년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (8학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 8년 월 일, 고사시간 9분 8년 번 x + x + x x x lim. [풀이] x + x + x (x )(x + x + ) lim x x x (x )(x + ) x + x + lim x x+ limx x + x + limx x + 6 lim 8년

More information

-주의- 본 교재는 최 상위권을 위한 고난이도 모의고사로 임산부 및 노약자의 건강에 해로울 수 있습니다.

-주의- 본 교재는 최 상위권을 위한 고난이도 모의고사로 임산부 및 노약자의 건강에 해로울 수 있습니다. Intensive Math 극악 모의고사 - 인문계 등급 6점, 등급 점으로 난이도를 조절하여 상위권 학생들도 불필요한 문제에 대한 시간 낭비 없이 보다 많은 문제에서 배움을 얻을 수 있도록 구성하였습니다. 단순히 어렵기만 한 문제들의 나열이 아니라 수능에 필요한 대표 유형을 분류 하고 일반적인 수험환경에서 흔하게 배울 수 있는 내용들은 과감하게 삭제 수능시험장

More information

2013unihangulchar {45380} 2unihangulchar {54617}unihangulchar {44592} unihangulchar {49328}unihangulchar {50629}unihangulchar {51312}unihangulchar {51

2013unihangulchar {45380} 2unihangulchar {54617}unihangulchar {44592} unihangulchar {49328}unihangulchar {50629}unihangulchar {51312}unihangulchar {51 Proem Se 4 산업조직론 (ECM004N) Fall 03. 독점기업이 다음과 같은 수요함수를 각각 가지고 있는 두 개의 소비자 그룹에게 제품을 공급한다고 하자. 한 단위 제품을 생산하는 데 드는 비용은 상수 이다. 다음 질문에 답하시오. P = A B Q P = A B Q () 두 그룹에 대하여 가격차별을 하고자 할 때 각 그룹의 균형생산량(Q, Q )과

More information

(Hyunoo Shim) 1 / 26 조건부생명확률 (coningen probabiliy) 이란? 사망의순서 ( 조건이됨 ) 를고려한생명확률동시생존자 / 최종생존자생명확률 : 사망이 x이든 y이든가리지않음 ( 대칭적 ) [ 조건부생명확률 : x와 y의사망순서를고려함 ( 비대칭적 ) ➀ 기호 : 예를들어, q 1 xy a) 사망순서 : 숫자 1, 2, 3,...

More information

제 12강 함수수열의 평등수렴

제 12강 함수수열의 평등수렴 제 강함수수열의평등수렴 함수의수열과극한 정의 ( 점별수렴 ): 주어진집합 과각각의자연수 에대하여함수 f : 이있다고가정하자. 이때 을집합 에서로가는함수의수열이라고한다. 모든 x 에대하여 f 수열 f ( x) lim f ( x) 가성립할때함수수열 { f } 이집합 에서함수 f 로수렴한다고한다. 또 함수 f 을집합 에서의함수수열 { f } 의극한 ( 함수 ) 이라고한다.

More information

체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x

체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x 체의원소를계수로가지는다항식환 Theorem 0.1. ( 나눗셈알고리듬 (Division Algorithm)) F 가체일때 F [x] 의두다항식 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 F 와 g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m, b m 0 F, m > 0 에대해 f(x) = g(x)q(x) + r(x) 을만족하는

More information

와플-4년-2호-본문-15.ps

와플-4년-2호-본문-15.ps 1 2 1+2 + = = 1 1 1 +2 =(1+2)+& + *=+ = + 8 2 + = = =1 6 6 6 6 6 2 2 1 1 1 + =(1+)+& + *=+ =+1 = 2 6 1 21 1 + = + = = 1 1 1 + 1-1 1 1 + 6 6 0 1 + 1 + = = + 7 7 2 1 2 1 + =(+ )+& + *= + = 2-1 2 +2 9 9 2

More information

01

01 2019 학년도대학수학능력시험 9 월모의평가문제및정답 2019 학년도대학수학능력시험 9 월모의평가문제지 1 제 2 교시 5 지선다형 1. 두벡터, 모든성분의합은? [2 점 ] 에대하여벡터 의 3. 좌표공간의두점 A, B 에대하여선분 AB 를 로외분하는점의좌표가 일때, 의값은? [2점] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2. lim 의값은? [2점] 4. 두사건,

More information

제1장 군 제1절 소개와 예 제2절 이항연산 2.1 보기. 다음은 정수방정식 a + x = b를 푸는 과정이다. (1) 준식에 a를 더하여 ( a) + (a + x) = ( a) + b. (2) 결합법칙을 사용하면 (( a) + a) + x = ( a) + b. (3)

제1장 군 제1절 소개와 예 제2절 이항연산 2.1 보기. 다음은 정수방정식 a + x = b를 푸는 과정이다. (1) 준식에 a를 더하여 ( a) + (a + x) = ( a) + b. (2) 결합법칙을 사용하면 (( a) + a) + x = ( a) + b. (3) 제장 군 제절 소개와 예 제절 이항연산. 보기. 다음은 정수방정식 + x = b를 푸는 과정이다. () 준식에 를 더하여 ( ) + ( + x) = ( ) + b. () 결합법칙을 사용하면 (( ) + ) + x = ( ) + b. () ( ) + = 임을 이용하면 + x = ( ) + b. (4) + x = x 이므로 x = ( ) + b. 이를 유리수방정식

More information

Unknown

Unknown 0 THEME!!!_!_!_!_!=_6=8 pp. ~8!!!_!=70 0, P =_=, 0, _=9, _=9,, +9+9=0 6 6!=70, f, l, w, r P _!= =88 70-88= THEME (-)!=!!!_!=6 (-)!=!!!_!= 6 (-)!=! 6_!=6_= 6 (6-)!=!=0 0_=60, 6! 6 = =60 _ e, t l, r 6! =80!!

More information

연구노트

연구노트 #2. 종이 질 - 일단은 OK. 하지만 만년필은 조금 비침. 종이질은 일단 합격점. 앞으로 종이질은 선택옵션으로 둘 수 있으리라 믿는다. 종이가 너무 두꺼우면, 뒤에 비치지 는 않지만, 무겁고 유연성이 떨어진다. 하지만 두꺼우면 고의적 망실의 위험도 적고 적당한 심리적 부담도 줄 것이 다. 이점은 호불호가 있을 것으로 생각되지만, 일단은 괜찮아 보인다. 필자의

More information

Microsoft PowerPoint Relations.pptx

Microsoft PowerPoint Relations.pptx 이산수학 () 관계와그특성 (Relations and Its Properties) 2010년봄학기강원대학교컴퓨터과학전공문양세 Binary Relations ( 이진관계 ) Let A, B be any two sets. A binary relation R from A to B, written R:A B, is a subset of A B. (A 에서 B 로의이진관계

More information

2005 7

2005 7 2005 7 ii 1 3 1...................... 3 2...................... 4 3.................... 6 4............................. 8 2 11 1........................... 11 2.................... 13 3......................

More information

Microsoft PowerPoint Predicates and Quantifiers.ppt

Microsoft PowerPoint Predicates and Quantifiers.ppt 이산수학 () 1.3 술어와한정기호 (Predicates and Quantifiers) 2006 년봄학기 문양세강원대학교컴퓨터과학과 술어 (Predicate), 명제함수 (Propositional Function) x is greater than 3. 변수 (variable) = x 술어 (predicate) = P 명제함수 (propositional function)

More information

2.1.1 Stochastic Processes: Preliminaries and Definitions 2/32

2.1.1 Stochastic Processes: Preliminaries and Definitions 2/32 Mathematical Foundations of Infinite-Dimensional Statistical Models Ch.2 Gaussian Processes 2.1 Definitions, Separability, 0-1 Law, Concentration 이상엽 June 29, 2018 2.1.1 Stochastic Processes: Preliminaries

More information

Probabilistic graphical models: Assignment 3 Seung-Hoon Na June 7, Gibbs sampler for Beta-Binomial Binomial및 beta분포는 다음과 같이 정의된다. k Bin(n, θ):

Probabilistic graphical models: Assignment 3 Seung-Hoon Na June 7, Gibbs sampler for Beta-Binomial Binomial및 beta분포는 다음과 같이 정의된다. k Bin(n, θ): Probabilistic graphical models: Assignment 3 Seung-Hoon Na June 7, 207 Gibbs sampler for Beta-Binomial Binomial및 beta분포는 다음과 같이 정의된다. k Bin(n, θ): binomial distribution은 성공확률이 θ인 시도에서, n번 시행 중 k번 성공할 확률

More information

untitled

untitled Mathematics 4 Statistics / 6. 89 Chapter 6 ( ), ( /) (Euclid geometry ( ), (( + )* /).? Archimedes,... (standard normal distriution, Gaussian distriution) X (..) (a, ). = ep{ } π σ a 6. f ( F ( = F( f

More information

Microsoft PowerPoint - 26.pptx

Microsoft PowerPoint - 26.pptx 이산수학 () 관계와그특성 (Relations and Its Properties) 2011년봄학기 강원대학교컴퓨터과학전공문양세 Binary Relations ( 이진관계 ) Let A, B be any two sets. A binary relation R from A to B, written R:A B, is a subset of A B. (A 에서 B 로의이진관계

More information

Microsoft PowerPoint - 강의2_재무

Microsoft PowerPoint - 강의2_재무 지난시간복습 자본시장과기업재무 강의 007 년 9 월 4 일 ( 금 ) 배진호 미래가치 복리이자계산시 FV P * (+) 여기서 P: 원금 (Pincipal) : 연이자율 : 기간 ( 년 ) (+) : 미래가치이자요소 (Fuue Value Inees Faco, FVIF) 미래가치 단순이자계산시 지난시간복습 FV P * (+*) whee P: 원금 : 연이자율

More information

2018 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학, 해석학, 복소해석, 위상수학, 정수론, 선형대수, 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 1

2018 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학, 해석학, 복소해석, 위상수학, 정수론, 선형대수, 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 1 8 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학 해석학 복소해석 위상수학 정수론 선형대수 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 8년 수학 임용고시 기출풀이 (안내) 제가 작성한 8년 수학 임용시험 기출 풀이 참고 답안입니다. 8년 임용 시험을 치르신 분들과 앞으로 준비 하시는 분들께 참고가 되었으면 좋겠습니다. 혹시 풀이에 오류가 있다면 제 이메일(junmomath8@gmail.com)

More information

완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라

완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라 완비거리공간 완비거리공간 Definition 0.1. (X, d) 는거리공간일때 X의점렬 < a n > 이모든 ɛ > 0에대해 n o N such that n, m > n o = d(a n, a m ) < ɛ 을만족하면이점렬을코시열 (Cauchy sequence) 이라한다. Example 0.2. < a n > 이 p에수렴하는점렬이면모든 ɛ > 0에대해 n

More information

TOPOLOGY-WEEK 6 & 7 KI-HEON YUN 1. Quotient space( 상공간 ) X 가위상공간이고 Y 가집합이며 f : X Y 가전사함수일때, X 의위상을사용하여 Y 에위상을정의할수있는방법은? Definition 1.1. X 가위상공간, f : X

TOPOLOGY-WEEK 6 & 7 KI-HEON YUN 1. Quotient space( 상공간 ) X 가위상공간이고 Y 가집합이며 f : X Y 가전사함수일때, X 의위상을사용하여 Y 에위상을정의할수있는방법은? Definition 1.1. X 가위상공간, f : X TOPOLOGY-WEEK 6 & 7 KI-HEON YUN 1. Quotient space( 상공간 ) X 가위상공간이고 Y 가집합이며 f : X Y 가전사함수일때, X 의위상을사용하여 Y 에위상을정의할수있는방법은? Definition 1.1. X 가위상공간, f : X Y 가전사함수일때, T Y = {U Y f 1 (U) is open set in X} 로정의하면

More information

1 11 111 111-1 p, q, r A, B, C (1 p

More information

마지막 변경일 2018년 5월 7일 ** 이항분포와 정규분포의 관계 ** Geogebra와 수학의 시각화 책의 3.2소절 내용임. 가장 최근 파일은 링크를 누르면 받아 보실 수 있습니다.

마지막 변경일 2018년 5월 7일 ** 이항분포와 정규분포의 관계 ** Geogebra와 수학의 시각화 책의 3.2소절 내용임.   가장 최근 파일은 링크를 누르면 받아 보실 수 있습니다. 마지막 변경일 2018년 5월 7일 ** 이항분포와 정규분포의 관계 ** Geogebra와 수학의 시각화 책의 3.2소절 내용임. http://min7014.iptime.org/math/2017063002.htm 가장 최근 파일은 링크를 누르면 받아 보실 수 있습니다. https://goo.gl/edxsm7 http://min7014.iptime.org/math/2018010602.pdf

More information

inance Lectue Note Seies 금융시장과 투자분석 연구 제강. 화폐의 시간가치 조 승 모 영남대학교 대학원 경제학과 05학년도 학기 Copyight 05 Cho, Seung o 학습목표. 화폐의 시간가치(tie value of oney): 동일한 금액의 화폐라도 시점에 따라 다른 가치를 가지게 되는 화폐의 시간가치에 대해 알아본다.. 수익률(ate

More information

III 3 0 0 03 04 6 «P! «C = 34= 343 r! r!(-r)! 3 5 0 6 7 8 9 0 4 8 4 0 A p A r «C p (-p) -r ( r=0y) () {()_() } = 3 ( ) 4 P(X=x)E(X)V(X)r(X) H T S S={(TT)(TH)(HT)(HH)} T H H H Tyy(TT) Hyy(TH) Tyy(HT)

More information

Microsoft PowerPoint - ºÐÆ÷ÃßÁ¤(ÀüÄ¡Çõ).ppt

Microsoft PowerPoint - ºÐÆ÷ÃßÁ¤(ÀüÄ¡Çõ).ppt 수명분포및신뢰도의 통계적추정 포항공과대학교산업공학과전치혁.. 수명및수명분포 수명 - 고장 까지의시간 - 확률변수로간주 - 통상잘알려진분포를따른다고가정 수명분포 - 확률밀도함수또는 누적 분포함수로표현 - 신뢰도, 고장률, MTTF 등신뢰성지표는수명분포로부터도출 - 수명분포추정은분포함수관련모수의추정 누적분포함수및확률밀도함수 누적분포함수 cumulav dsbuo

More information

1 1 장. 함수와극한 1.1 함수를표현하는네가지방법 1.2 수학적모형 : 필수함수의목록 1.3 기존함수로부터새로운함수구하기 1.4 접선문제와속도문제 1.5 함수의극한 1.6 극한법칙을이용한극한계산 1.7 극한의엄밀한정의 1.8 연속

1 1 장. 함수와극한 1.1 함수를표현하는네가지방법 1.2 수학적모형 : 필수함수의목록 1.3 기존함수로부터새로운함수구하기 1.4 접선문제와속도문제 1.5 함수의극한 1.6 극한법칙을이용한극한계산 1.7 극한의엄밀한정의 1.8 연속 1 1 장. 함수와극한 1.1 함수를표현하는네가지방법 1.2 수학적모형 : 필수함수의목록 1.3 기존함수로부터새로운함수구하기 1.4 접선문제와속도문제 1.5 함수의극한 1.6 극한법칙을이용한극한계산 1.7 극한의엄밀한정의 1.8 연속 2 1.1 함수를표현하는네가지방법 함수 f : D E 는집합 D 의각원소 x 에집합 E 에속하는단하나의원소 f(x) 를 대응시키는규칙이다.

More information

완벽한개념정립 _ 행렬의참, 거짓 수학전문가 NAMU 선생 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에

완벽한개념정립 _ 행렬의참, 거짓 수학전문가 NAMU 선생 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에대하여 AB=BA 1 가성립한다 2 3 (4) 이면 1 곱셈공식및변형공식성립 ± ± ( 복호동순 ), 2 지수법칙성립 (은자연수 ) < 거짓인명제 >

More information

(Hyunoo Shim) 1 / 24 (Discrete-time Markov Chain) * 그림 이산시간이다연쇄 (chain) 이다왜 Markov? (See below) ➀ 이산시간연쇄 (Discrete-time chain): : Y Y 의상태공간 = {0, 1, 2,..., n} Y n Y 의 n 시점상태 {Y n = j} Y 가 n 시점에상태 j 에있는사건

More information

(Microsoft PowerPoint - Ch21_NumAnalysis.ppt [\310\243\310\257 \270\360\265\345])

(Microsoft PowerPoint - Ch21_NumAnalysis.ppt [\310\243\310\257 \270\360\265\345]) 수치해석 161009 Ch21. Numerical Differentiation 21.1 소개및배경 (1/2) 미분 도함수 : 독립변수에대한종속변수의변화율 y = x f ( xi + x) f ( xi ) x dy dx f ( xi + x) f ( xi ) = lim = y = f ( xi ) x 0 x 차분근사 도함수 1 차도함수 : 곡선의한점에서접선의구배 21.1

More information

미시경제학을위한기초수학 조남운 March 20, 함수 1.1 함수란무엇인가 여러분이미시경제학을배우면서미분을배우는이유는계산을통해함수의최대값이나최소값을구해야하기때문이다. 최대값이나최소값을구하기위해서는함수의미분을알

미시경제학을위한기초수학 조남운 March 20, 함수 1.1 함수란무엇인가 여러분이미시경제학을배우면서미분을배우는이유는계산을통해함수의최대값이나최소값을구해야하기때문이다. 최대값이나최소값을구하기위해서는함수의미분을알 미시경제학을위한기초수학 조남운 mailto:namun.cho@gmail.com March 20, 2008 1 함수 1.1 함수란무엇인가 여러분이미시경제학을배우면서미분을배우는이유는계산을통해함수의최대값이나최소값을구해야하기때문이다. 최대값이나최소값을구하기위해서는함수의미분을알아야하며, 함수의미분을알기위해서는함수의연속과극한을알아야한다. 그중에서도가장먼저알아야할것은 함수

More information

100, Jan. 21, 호, Jan. 21, , Jan. 21, 2005

100, Jan. 21, 호, Jan. 21, , Jan. 21, 2005 100 Bond Issue Performance Evaluation Risk management 100, Jan. 21, 2005 100, Jan. 21, 200 5 100호, Jan. 21, 2005 2 100, Jan. 21, 2005 3 100, Jan. 21, 2005 4 100, Jan. 21, 2005 5 100, Jan. 21, 2005 6 100,

More information

436 8., {(x, y) R 2 : y = x, < x 1} (, 1] φ(t) = (t, t), (, 2] ψ(t) = (t/2, t/2), [1, ) σ(t) = (1/t, 1/t).. ψ φ, σ φ. (φ, I) φ(i) φ : I φ(i). 8.2 I =

436 8., {(x, y) R 2 : y = x, < x 1} (, 1] φ(t) = (t, t), (, 2] ψ(t) = (t/2, t/2), [1, ) σ(t) = (1/t, 1/t).. ψ φ, σ φ. (φ, I) φ(i) φ : I φ(i). 8.2 I = 8. 8.1 ( ).,,,.. 8.1 C I R φ : I R m φ (φ I ) φ(i) = {x R m : x = φ(t), t I} C, t, I. C C = (φ, I). x R m C C. 1 x, a R m. φ(t) := ta + x R ( 2). x a. R m. 2 φ(t) = (cos t, sin t) [, 2π].. 435 436 8.,

More information

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan ,

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan , Finance Lecture Note Series 금융시장과 투자분석 연구 제4강. 소유와 경영의 분리1 조 승 모2 영남대학교 대학원 경제학과 2015학년도 2학기 Copyright 2015 Cho, Seung Mo 1 기본적으로 Fisher, I. (1930), The Theory of Interest, Macmillan의 내용을 바탕으로 작성되었으며,

More information

레이아웃 1

레이아웃 1 Seed Money Bank Savings Banks vol.126 Seed Money Bank Savings Banks + vol.126 www.fsb.or.kr 20163 + 4 Contents 20163 + 4 vol.126 www.fsb.or.kr 26 02 08 30 SB Theme Talk 002 004 006 SB Issue 008 012 014

More information

<4D F736F F F696E74202D2035BBF3C6F2C7FC5FBCF8BCF6B9B0C1FA2E BC8A3C8AF20B8F0B5E55D>

<4D F736F F F696E74202D2035BBF3C6F2C7FC5FBCF8BCF6B9B0C1FA2E BC8A3C8AF20B8F0B5E55D> 5. 상평형 : 순수물질 이광남 5. 상평형 : 순수물질 상전이 phase transition 서론 ~ 조성의변화없는상변화 5. 상평형 : 순수물질 전이열역학 5. 안정성조건 G ng ng n G G 자발적변화 G < 0 G > G or 물질은가장낮은몰Gibbs 에너지를갖는상 가장안정한상 으로변화하려는경향 5. 상평형 : 순수물질 3 5. 압력에따른Gibbs

More information

152*220

152*220 152*220 2011.2.16 5:53 PM ` 3 여는 글 교육주체들을 위한 교육 교양지 신경림 잠시 휴간했던 우리교육 을 비록 계간으로이지만 다시 내게 되었다는 소식을 들으니 우 선 반갑다. 하지만 월간으로 계속할 수 없다는 현실이 못내 아쉽다. 솔직히 나는 우리교 육 의 부지런한 독자는 못 되었다. 하지만 비록 어깨너머로 읽으면서도 이런 잡지는 우 리

More information

<3235B0AD20BCF6BFADC0C720B1D8C7D120C2FC20B0C5C1FE20322E687770>

<3235B0AD20BCF6BFADC0C720B1D8C7D120C2FC20B0C5C1FE20322E687770> 25 강. 수열의극한참거짓 2 두수열 { }, {b n } 의극한에대한 < 보기 > 의설명중옳은것을모두고르면? Ⅰ. < b n 이고 lim = 이면 lim b n =이다. Ⅱ. 두수열 { }, {b n } 이수렴할때 < b n 이면 lim < lim b n 이다. Ⅲ. lim b n =0이면 lim =0또는 lim b n =0이다. Ⅰ 2Ⅱ 3Ⅲ 4Ⅰ,Ⅱ 5Ⅰ,Ⅲ

More information

PowerPoint 프레젠테이션

PowerPoint 프레젠테이션 예제 7. (p.37) 그림의단순지지보에대해전단력선도와굽힘모멘트선도를작도하라. [ 부호규약 ] + Fy 4 b + Fy ( ) 예제 7. (p.37) 그림의단순지지보에대해전단력선도와굽힘모멘트선도를작도하라. [ 부호규약 ] + Fy 4 b + Fy ( ) 예제 7. (p.39) 그림의단순보에대해전단력선도와굽힘모멘트선도를작도하라 + Fy b + Fy 예제 7.3

More information

PowerPoint 프레젠테이션

PowerPoint 프레젠테이션 제 5 장 다변량확률변수 제 5 장다변량확률변수 5. 다변량확률변수. 분포함수 < 예 > 품질에따라제품을,, 3 등급으로분류 전체생산량중각등급의비율에관심 = n개중 등급의수 n Y = Y = n개중 등급의수 3 등급의수 ( Y) (, ) 와 Y를함께묶어서 Y 로나타내고함께분석, 는 변량확률변수 일반적으로서로관련있는개의확률변수 을함께묶어 n변량 ( 또는 n차원

More information

31. 을전개한식에서 의계수는? 를전개한식이 일 때, 의값은? 을전개했을때, 의계수와상수항의합을구하면? 을전개했을때, 의 계수는? 를전개했을때, 상수항을 구하여라. 37

31. 을전개한식에서 의계수는? 를전개한식이 일 때, 의값은? 을전개했을때, 의계수와상수항의합을구하면? 을전개했을때, 의 계수는? 를전개했을때, 상수항을 구하여라. 37 21. 다음식의값이유리수가되도록유리수 의값을 정하면? 1 4 2 5 3 26. 을전개하면상수항을 제외한각항의계수의총합이 이다. 이때, 의값은? 1 2 3 4 5 22. 일때, 의값은? 1 2 3 4 5 27. 를전개하여간단히 하였을때, 의계수는? 1 2 3 4 5 23. 를전개하여 간단히하였을때, 상수항은? 1 2 3 4 5 28. 두자연수 와 를 로나누면나머지가각각

More information

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan ,

= Fisher, I. (1930), ``The Theory of Interest,'' Macmillan , Finance Lecture Note Series 학습목표 제4강 소유와 경영의 분리 효용함수(utility function): 효용함수, 한계효용(marginal utility), 한계대체율(marginal rate of substitution) 의 개념에 대해 알아본다 조 승 모2 (production possibility curve): 생산가능곡선과 한계변환율(marginal

More information

4-Ç×°ø¿ìÁÖÀ̾߱â¨ç(30-39)

4-Ç×°ø¿ìÁÖÀ̾߱â¨ç(30-39) 항공우주 이야기 항공기에 숨어 있는 과학 및 비밀장치 항공기에는 비행 중에 발생하는 현상을 효율적으로 이용하기 위해 과 학이 스며들어 있다. 특별히 관심을 갖고 관찰하지 않으면 쉽게 발견할 수 없지만, 유심히 살펴보면 객실 창문에 아주 작은 구멍이 있고, 주 날 개를 보면 뒷전(trailing edge) 부분이 꺾어져 있다. 또 비행기 전체 형 상을 보면 수직꼬리날개가

More information

수리 영역 가 형 5. 다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 개가 한 모서리씩을 공유하 면서 각 면이 평행 또는 수직 관계를 유지한 채로 한 평면 위에 놓여있 다. 그림의 세 꼭짓점 A, B, C에 대한 두 벡터 BA 와 BC 가 이루는 각 의 크기를 h라 할 때,

수리 영역 가 형 5. 다음 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 개가 한 모서리씩을 공유하 면서 각 면이 평행 또는 수직 관계를 유지한 채로 한 평면 위에 놓여있 다. 그림의 세 꼭짓점 A, B, C에 대한 두 벡터 BA 와 BC 가 이루는 각 의 크기를 h라 할 때, 제``교시 수리 영역( 가 형) 시간:00분 점수:00점 성명 수험 번호 쭚 반드시 본인이 선택한 유형( 가 형 또는 나 형)의 문제인지 확인하시오. 쭚 문제지와 답안지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오. 쭚 MR 답안지에 성명, 수험 번호, 응시 유형 및 선택 과목, 답 등을 표기할 때에는 반드시 수험생이 지켜야 할 사항 에 따라 표기하시오. 쭚 문항에

More information

04 Çмú_±â¼ú±â»ç

04 Çмú_±â¼ú±â»ç 42 s p x f p (x) f (x) VOL. 46 NO. 12 2013. 12 43 p j (x) r j n c f max f min v max, j j c j (x) j f (x) v j (x) f (x) v(x) f d (x) f (x) f (x) v(x) v(x) r f 44 r f X(x) Y (x) (x, y) (x, y) f (x, y) VOL.

More information

ÀÎÅͳÝ-°ø°£µµÇüÇØ

ÀÎÅͳÝ-°ø°£µµÇüÇØ .. Q.... M M : M Q : Q M : //Q.,.. I FG FE F FG, HG EH H HG F G FG ;!;_F _FG ;!;_G _F ;!;_'_;!; F F... 5. 5. 6. 5 7. 0 8. 7 9. ' FG, HG H G, H F E G H '. FG HG F, H. FH ' FH ' ' {} +{} -(') cos h -;!;

More information

2 A A Cs A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2

2 A A Cs A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2 www.ebsi.co.kr 2 A A 1 133 Cs 1 11 1 A C C A A B A B 15 A C 30 A B A C B. 1m 1m A. 1 C.1m P k A B u k GPS GPS GPS GPS 4 2 www.ebsi.co.kr A B t B A ;2!;t v v= = (3_t)+(6_0.5t) v=4 m/s t+0.5t 3 m/s 6 m/s

More information

제 5 장복소수함수적분 5 이므로 z = r(cosθ + i sin θ) = re iθ (5.3) 와같이나타낼수도있는데이표현식을복소수의 극형식 (polar form) 이라부른다. 복소함수의미분은실함수미분의정의와같이 d f(z + z) f(z) f(z) = lim z z

제 5 장복소수함수적분 5 이므로 z = r(cosθ + i sin θ) = re iθ (5.3) 와같이나타낼수도있는데이표현식을복소수의 극형식 (polar form) 이라부른다. 복소함수의미분은실함수미분의정의와같이 d f(z + z) f(z) f(z) = lim z z 제 5 장 복소수함수적분 복소수는 z = x + iy (5.1) 와같이두실수로정의된수이므로실수를수직선에나타내듯이복소수는 그림과같은복소평면에나타낼수있다. y z = x + yi r θ x 윗그림에서 x = r cos θ, y = r sin θ, r = x + y (5.) 51 제 5 장복소수함수적분 5 이므로 z = r(cosθ + i sin θ) = re iθ

More information

II 2 72 90 % 0 % 74 80 % 80 % 90 % 0 % 00 90 0 80 % 0 80 % 8 20 % 9020 % 8 268 ;2 6;=0307y 3 % (90) 72 8 (0) 2 8 74 26 75 0 02 2 5 25 A B AB AB pq A B p+q 2 5 5 2 np r =n(n-)y(n-r+) np r n! nc r = 2 =

More information

가해하는 것은 좋지 않은 행동이라 생각하기 때문이다 불쌍해서이다 가해하고 나면 오히려 스트레스를 더 받을 것 같아서이다 보복이 두려워서이다 어떻게 그렇게 할 수 있는지 화가 나고 나쁜 아이라고 본다 그럴 수도 있다고 생각한다 아무런 생각이나 느낌이 없다 따돌리는 친구들을 경계해야겠다 남 여 중학생 고등학생 남 여 중학생 고등학생 남 여 중학생 고등학생 남 여

More information

제 5강 리만적분

제 5강 리만적분 제 5 강리만적분 리만적분 정의 : 두실수, 가 을만족핚다고가정하자.. 만일 P [, ] 이고 P 가두끝점, 을모두포함하는유핚집합일때, P 을 [, ] 의분핛 (prtitio) 이라고핚다. 주로 P { x x x } 로나타낸다.. 분핛 P { x x x } 의노름을다음과같이정의핚다. P x x x. 3. [, ] 의두분핛 P 와 Q 에대하여만일 P Q이면 Q

More information

Run 봄 연습 Mar 18 Mar 24, 2018, Week 3 문제 1. 초코바 입력 파일: 출력 파일: 시간 제한: 메모리 제한: standard input standard output 1 seconds 128 megabytes H W 격자 모양의 초콜릿이 있다.

Run 봄 연습 Mar 18 Mar 24, 2018, Week 3 문제 1. 초코바 입력 파일: 출력 파일: 시간 제한: 메모리 제한: standard input standard output 1 seconds 128 megabytes H W 격자 모양의 초콜릿이 있다. 문제. 초코바 H W 격자 모양의 초콜릿이 있다. 이 초콜릿을 개의 직사각형으로 격자를 따라서 잘라서, 최대 넓이의 초콜릿과 최소 넓이의 초콜릿의 넓이 차이를 최소화 하고 싶다. 이 차이의 최솟값을 구하여라. 첫째 줄에 H와 W 가 공백으로 구분되어 주어진다. 초콜릿을 개의 직사각형으로 자를 때, 최대 넓이의 초콜릿과 최소 넓이의 초콜릿의 넓이 차이의 최솟값을

More information

<C1DF29BCF6C7D020315FB1B3BBE7BFEB20C1F6B5B5BCAD2E706466>

<C1DF29BCF6C7D020315FB1B3BBE7BFEB20C1F6B5B5BCAD2E706466> 84 85 86 87 88 89 1 12 1 1 2 + + + 11=60 9 19 21 + + + 19 17 13 11=60 + 5 7 + 5 + 10 + 8 + 4+ 6 + 3=48 1 2 90 1 13 1 91 2 3 14 1 2 92 4 1 2 15 2 3 4 93 1 5 2 6 1 2 1 16 6 5 94 1 1 22 33 55 1 2 3 4 5 6

More information

*) α ρ : 0.7 0.5 0.5 0.7 0.5 0.5-1 - 1 - - 0.7 (**) 0.5 0.5-1 - (**) Max i e i Max 1 =150 kg e 1 = 50 g xxx.050 kg xxx.050 kg xxx.05 kg xxx.05 kg Max 2=300 kg

More information

<322EBCF8C8AF28BFACBDC0B9AEC1A6292E687770>

<322EBCF8C8AF28BFACBDC0B9AEC1A6292E687770> 연습문제해답 5 4 3 2 1 0 함수의반환값 =15 5 4 3 2 1 0 함수의반환값 =95 10 7 4 1-2 함수의반환값 =3 1 2 3 4 5 연습문제해답 1. C 언어에서의배열에대하여다음중맞는것은? (1) 3차원이상의배열은불가능하다. (2) 배열의이름은포인터와같은역할을한다. (3) 배열의인덱스는 1에서부터시작한다. (4) 선언한다음, 실행도중에배열의크기를변경하는것이가능하다.

More information

a b c d e f^xh= 2x 2 + ax a f^1+ hh -f^1h lim 6 h 0 h = " A B C D E A J an K O B K b 1O C K 1 1 c 1 0O D K O 0 d K O E Le 1

a b c d e f^xh= 2x 2 + ax a f^1+ hh -f^1h lim 6 h 0 h =  A B C D E A J an K O B K b 1O C K 1 1 c 1 0O D K O 0 d K O E Le 1 b c d e + + + + x + x f^+ hh -f^h lim 6 h h " A B C D E A J N K O B K b O C K c O D K O d K O E Le P - - 5 A B C D E A J N K O B K b O C K c O D K d O K O E Le P f^+ hh - f^h lim 6 h " h f l^h 6 x + x

More information

슬라이드 1

슬라이드 1 1 장수치미분 1.1 소개및배경 1. 고정확도미분공식 1.3 Richardson 외삽법 1.4 부등간격의미분 1.5 오차가있는데이터의도함수와적분 1.6 MATLAB 을이용한수치미분 1.1 소개및배경 (1/4) 미분이란무엇인가? 도함수 : 독립변수에대한종속변수의변화율 y f( xi + x) f( xi) dy f( x = i + x) f( xi) = lim =

More information

6.6) 7.7) tan 8.8) 자연수 10.10) 부등식 두 의전개식에서 의계수는? ) 사건 에대하여 P P 일때, P 의값은? ( 단, 은 의여사건이다.) 일때, tan 의값은? log log 을만족시키

6.6) 7.7) tan 8.8) 자연수 10.10) 부등식 두 의전개식에서 의계수는? ) 사건 에대하여 P P 일때, P 의값은? ( 단, 은 의여사건이다.) 일때, tan 의값은? log log 을만족시키 1.1) 벡터 2.2) cos 함수 제 2 교시 2016 년 6 월고 3 모의고사문제지 성명수험번호 3 1 먼저수험생이선택한응시유형의문제지인지확인하시오. 문제지에성명과수험번호를정확히기입하시오. 답안지에수험번호, 응시유형및답을표기할때는반드시 수험생이지켜야할일 에따라표기하시오. 단답형답의숫자에 0 이포함된경우, 0 을 OMR 답안지에반드시표기해야합니다. 문항에따라배점이다르니,

More information

Microsoft PowerPoint - chap04-연산자.pptx

Microsoft PowerPoint - chap04-연산자.pptx int num; printf( Please enter an integer: "); scanf("%d", &num); if ( num < 0 ) printf("is negative.\n"); printf("num = %d\n", num); } 1 학습목표 수식의 개념과 연산자, 피연산자에 대해서 알아본다. C의 를 알아본다. 연산자의 우선 순위와 결합 방향에

More information

확률과통계6

확률과통계6 확률과통계 6. 이산형확률분포 건국대학교스마트 ICT 융합공학과윤경로 (yoonk@konkuk.ac.kr) 6. 이산형확률분포 6.1 이산균일분포 6.2 이항분포 6.3 초기하분포 6.4 포아송분포 6.5 기하분포 6.6 음이항분포 * ( 제외 ) 6.7 다항분포 * ( 제외 ) 6.1 이산균일분포 [ 정의 6-1] 이산균일분포 (discrete uniform

More information

i - ii - iii - 1 - 연도 보험급여 총계 (A) 장해급여 유족급여 일시금연금일시금연금 연금계 (B) 연금비중 (B/A, %) 기타 급여 1) 1998 14,511 3,377 979 1,657 30 1,009 7.0 8,467 1999 12,742 2,318 1,120 1,539 38 1,158 9.1 7,727 2000 14,563 2,237 1,367

More information

#수Ⅱ지도서-4단( )

#수Ⅱ지도서-4단( ) IV 4 3 4 5 5 exponent 3 3 Archimedes B.C. 87~B.C. Diophantos?00~?84 a m _a n =a m+n (mn=0y) Stifel M. 487~567 Arithmetica integra y-3--03y y ;8!; ;4!; ;!; 48y Stevin S. 548~60 xx x ()()(3) x ;!; x ;3!;

More information

*074-081pb61۲õðÀÚÀ̳ʸ

*074-081pb61۲õðÀÚÀ̳ʸ 74 October 2005 현 대는 이미지의 시대다. 영국의 미술비평가 존 버거는 이미지를 새롭 게 만들어진, 또는 재생산된 시각 으로 정의한 바 있다. 이 정의에 따르 면, 이미지는 사물 그 자체가 아니라는 것이다. 이미지는 보는 사람의, 혹은 이미지를 창조하는 사람의 믿음이나 지식에 제한을 받는다. 이미지는 언어, 혹은 문자에 선행한다. 그래서 혹자는

More information

기본소득문답2

기본소득문답2 응답하라! 기본소득 응답하라! 기본소득 06 Q.01 07 Q.02 08 Q.03 09 Q.04 10 Q.05 11 Q.06 12 Q.07 13 Q.08 14 Q.09 응답하라! 기본소득 contents 16 Q.10 18 Q.11 19 Q.12 20 Q.13 22 Q.14 23 Q.15 24 Q.16 Q.01 기본소득의 개념을 쉽게 설명해주세요. 06 응답하라

More information

1 1 Department of Statistics University of Seoul August 28, 2017 확률분포 누적분포함수 확률공간이정의되었다고가정하자. 즉, 어떤사건 A 에대해서 P(A) 를항상생각할수있다고가정하자. 어떤확률변수 X 주어졌을때 Pr(X x) = P(X (, x]) 로정의하면 Pr(X x) 의값을모든 x 에대해생각할수있다. F

More information

c λ c -.5 0 7 /c 550 0-9 +.5 0 7 /c λ λ 578 nm ν 5 0 9 +4.67/c -4.67/c ν 500000470 Hz 5 GHz θ θ L 6-0.9 2 2.6 ft

c λ c -.5 0 7 /c 550 0-9 +.5 0 7 /c λ λ 578 nm ν 5 0 9 +4.67/c -4.67/c ν 500000470 Hz 5 GHz θ θ L 6-0.9 2 2.6 ft μ t-t o t(- -(v/c) 2 ) sec -(v/c) 2 2 c λ c -.5 0 7 /c 550 0-9 +.5 0 7 /c λ λ 578 nm ν 5 0 9 +4.67/c -4.67/c ν 500000470 Hz 5 GHz θ θ L 6-0.9 2 2.6 ft .3 L o -0.6 2 L o 0.8 -( v/c) 2 0.995 m L x - 0.7

More information

모수 θ의 추정량은 추출한 개의 표본값을 어떤 규칙에 의해 처리를 해서 모수의 값을 추정하는 방법입니다. 추정량에서 사용되는 규칙은 어떤 표본을 추출했냐에 따라 변하는 것이 아닌 고정된 규칙입니다. 예를 들어 우리의 관심 모수가 모집단의 평균이라고 하겠습니다. 즉 θ

모수 θ의 추정량은 추출한 개의 표본값을 어떤 규칙에 의해 처리를 해서 모수의 값을 추정하는 방법입니다. 추정량에서 사용되는 규칙은 어떤 표본을 추출했냐에 따라 변하는 것이 아닌 고정된 규칙입니다. 예를 들어 우리의 관심 모수가 모집단의 평균이라고 하겠습니다. 즉 θ 수리통계학(Mathematical Statistics)의 기초 I. 들어가며 지금부터 계량경제학이나 실험 및 준실험 연구설계 기법을 공부할 때 도움이 되는 수리통계 학의 기초에 대해 다룰 것입니다. 이 노트에서 다루게 될 내용은 어떤 추정량(estimator)이 지니고 있는 성질입니다. 한 가지 말씀 드릴 것은 이 노트에 나오는 대부분의 성질들은 지금까 지

More information

2

2 rev 2004/1/12 KAIST 2 6 7 1 13 11 13 111 13 112 18 113 19 114 21 12 24 121 24 122 26 13 28 131 28 132 30 133 (recurrence) 34 134 35 4 2 39 21 39 211 39 212 40 22 42 221, 42 222 43 223, 45 224 46 225, 48

More information

exp

exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp exp log 第 卷 第 號 39 4 2011 4 투영법을 이용한 터빈 블레이드의 크리프 특성 분석 329 성을 평가하였다 이를 위해 결정계수값인 값 을 비교하였으며 크리프 시험 결과를 곡선 접합 한 결과와 비선형 최소자승법으로 예측한 결과 사 이 결정계수간 정도의 오차가 발생하였고

More information

Precipitation prediction of numerical analysis for Mg-Al alloys

Precipitation prediction of numerical analysis for Mg-Al alloys 저작자표시 - 비영리 - 변경금지 2.0 대한민국 이용자는아래의조건을따르는경우에한하여자유롭게 이저작물을복제, 배포, 전송, 전시, 공연및방송할수있습니다. 다음과같은조건을따라야합니다 : 저작자표시. 귀하는원저작자를표시하여야합니다. 비영리. 귀하는이저작물을영리목적으로이용할수없습니다. 변경금지. 귀하는이저작물을개작, 변형또는가공할수없습니다. 귀하는, 이저작물의재이용이나배포의경우,

More information

2014 학년도수학성취도측정시험 (2014 학년도정시모집합격자대상 ) 2014 년 2 월 17 일, 고사시간 90 분 1번부터 11번까지는단답형이고, 12번부터 16번까지는서술형입니다. 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시하시오.

2014 학년도수학성취도측정시험 (2014 학년도정시모집합격자대상 ) 2014 년 2 월 17 일, 고사시간 90 분 1번부터 11번까지는단답형이고, 12번부터 16번까지는서술형입니다. 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시하시오. 학년도수학성취도측정시험 ( 학년도정시모집합격자대상 년 월 7 일, 고사시간 9 분 번부터 번까지는단답형이고, 번부터 6번까지는서술형입니다. 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시하시오. 총배점은 점이고, 각문항의배점은, 기본문제 (-6번 각 점, 발전문제 (7-번 각 7점, 심화문제 (번-6번 각 점입니다. 년정시 번 lim

More information

1 1,.,

1 1,., ,.,. 7 86 0 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 70 7 7 7 75 74 7 7 7 70 79 78 77 76 75 74 7.,. x, x A(x ), B(x ) x x AB =x -x A{x } B{x } x >x AB =x -x B{x } A{x } x =[ -x(xæ0) -x (x

More information

Microsoft PowerPoint - SBE univariate5.pptx

Microsoft PowerPoint - SBE univariate5.pptx 이상치 (outlier) 진단및해결 Homework 데이터 ( Option.XLS) 결과해석 치우침? 평균이중앙값에비해다소크다. 그러나이상치때문이지치우친것같지않음. Toys us 스톡옵션비율이이상치 해결방법 : Log 변환? 아니다치우쳐있지않기때문에제거 제거후 : 평균 :.74, 중위수 :.7 31 치우침과이상치 데이터 : 노트북평가점수 우로치우침과이상치가존재

More information

Japanese Olympiad in Informatics 05/06 Spring Training Camp/Qualifying Trial Contest Day, March 9 5, 06, Komaba/Yoyogi, Tokyo 단, Answer를 호출 할 때는, 다음의

Japanese Olympiad in Informatics 05/06 Spring Training Camp/Qualifying Trial Contest Day, March 9 5, 06, Komaba/Yoyogi, Tokyo 단, Answer를 호출 할 때는, 다음의 Japanese Olympiad in Informatics 05/06 Spring Training Camp/Qualifying Trial Contest Day, March 9 5, 06, Komaba/Yoyogi, Tokyo Problem A. Dungeon Input file: Output file: Time limit: Memory limit: second

More information

<B3EDB9AEC0DBBCBAB9FD2E687770>

<B3EDB9AEC0DBBCBAB9FD2E687770> (1) 주제 의식의 원칙 논문은 주제 의식이 잘 드러나야 한다. 주제 의식은 논문을 쓰는 사람의 의도나 글의 목적 과 밀접한 관련이 있다. (2) 협력의 원칙 독자는 필자를 이해하려고 마음먹은 사람이다. 따라서 필자는 독자가 이해할 수 있는 말이 나 표현을 사용하여 독자의 노력에 협력해야 한다는 것이다. (3) 논리적 엄격성의 원칙 감정이나 독단적인 선언이

More information

<5BB0EDB3ADB5B55D32303131B3E2B4EBBAF12DB0ED312D312DC1DFB0A32DC0B6C7D5B0FAC7D02D28312E28322920BAF2B9F0B0FA20BFF8C0DAC0C720C7FCBCBA2D3031292D3135B9AEC7D72E687770>

<5BB0EDB3ADB5B55D32303131B3E2B4EBBAF12DB0ED312D312DC1DFB0A32DC0B6C7D5B0FAC7D02D28312E28322920BAF2B9F0B0FA20BFF8C0DAC0C720C7FCBCBA2D3031292D3135B9AEC7D72E687770> 고1 융합 과학 2011년도 1학기 중간고사 대비 다음 글을 읽고 물음에 답하시오. 1 빅뱅 우주론에서 수소와 헬륨 의 형성에 대한 설명으로 옳은 것을 보기에서 모두 고른 것은? 4 서술형 다음 그림은 수소와 헬륨의 동위 원 소의 을 모형으로 나타낸 것이. 우주에서 생성된 수소와 헬륨 의 질량비 는 약 3:1 이. (+)전하를 띠는 양성자와 전기적 중성인 중성자

More information

내지(교사용) 4-6부

내지(교사용) 4-6부 Chapter5 140 141 142 143 144 145 146 147 148 01 02 03 04 05 06 07 08 149 활 / 동 / 지 2 01 즐겨 찾는 사이트와 찾는 이유는? 사이트: 이유: 02 아래는 어느 외국계 사이트의 회원가입 화면이다. 국내의 일반적인 회원가입보다 절차가 간소하거나 기입하지 않아도 되는 개인정보 항목이 있다면 무엇인지

More information

¹ÌÀûºÐ-±³°úA(001~007)

¹ÌÀûºÐ-±³°úA(001~007) . x«.,,,..,. 2008 96..,.. 86. 0 F(x)=x«(=, 2, 3, ) F'(x)=f(x).. F(x) F'(x)=f(x) x x x x xfi 2x 5x 6xfi x«. f(x) f'(x). f(x). ( ) idefiite itegral. : f(x)dx f(x) f(x)dx. F(x) f(x), F'(x)=f(x), F(x) f(x),

More information

미통기-3-06~07(052~071)

미통기-3-06~07(052~071) 06 F() f() F'()=f()F() f() : f()d f() f() f() f() F()f() F()+C : f()d=f()+c C F'()=f(): f()d=f()+c C d [: f()d]=f() d : k d=k+c k C : «d= + +C =0C + : k f()d=k: f()d k : { f() g()}d=: f()d : g()d =f()

More information