효율적포트폴리오곡선의도출과재해석 < 요약 > 김덕형 라그랑즈승수의적분을통해얻는효율적포트폴리오곡선의형태는기대수익률 에따라 첫째, 위험증권으로만이루어진포트폴리오 에대해, = 둘째, 포트폴리오 와무위험자산을보유한포트폴리오 에대해 = ( ) 또는 = ( ) 또한효율적포트폴리오 와 의공분산함수는, = 을얻을수있다. 이에따라시장조건이일정하다면두포트폴리오간의공분산은기대수익률에일정함을이론적으로확인할수있다. 그리고단순표기방식의포트폴리오형태를통해서상관계수가 1인두자산은사실상독립된자산이아닌동일한하나의자산으로간주해야한다는혜리의역설을발견하였다. 따라서시장또는산업전체에대한투자행위분석은상관관계가극히밀접한자산들끼리묶어서그중대표적인자산만을선택하여분석할수있으므로필요한정보량의수를절약할수있게되었다. * 김덕형, 건국대학교경제학과 2005. 2 석사졸업 - 1 -
I. 효율적포트폴리오곡선도출의새로운접근방법 1. 위험자산으로만이루어진경우효율적포트폴리오곡선 ( E f fi c ie nt f ro nt ie r) 을구하는방법은여러가지가있겠으나 1) 라그랑즈승수의적분및크래머법칙을통해서직접적으로구해보기로한다. 라그랑즈승수의적분을위해서는투자비율의새로운정의가선행되어야한다. 1). 라그랑즈승수의적분을통한도출식 (1) 과같이 개의자산에총투자금액 을각각 만큼나누어 투자하여구성하는포트폴리오 가있다고하자. 포트폴리오전체 에대한총투자금액 이 =,..., 로변화해도개별자산 에대한투자비율의합은항상 1이된다. 개별투자금액을총투자금액으로나누는식 (2) 를통해투자비율 ( ) 이정의되기때문이다. = +... +, 식 (1) 1 = +... + = 식 (2) 그러나식 (1) 을특정기준점의총투자금액가령, 으로나누면, = +... + = = 식 (3) 이되어투자비율의합은 이되며이때 의의미는기준시점의 총투자금액 보다현재의총투자금액 가몇배변화했는가 그배수임나타내고있다. 식 (3) 에의해정의된투자비율을더미투자비율 2) 이라고할때더미 1) 구본열외 1, 현대재무론, 비봉출판사, pp218 2) 오직 = 1 인경우에만더미투자비율이기존이론의투자비율과그값이일치하므로 - 2 -
투자비율로계산된각더미기대수익률에서얻을수있는최소분산의경로는다음에서찾을수있으며이를더미라그랑즈함수라고가칭 ( 假稱 ) 하기로한다. = + ( - ) + ( - ) 식 (4),, 개의 등으로식 (4) 를미분하여일계조건을구한후 행렬로표기하면식 (5) 와같이얻을수있다. = 식 (5) 위행렬들을차례대로,, 로표기하면식 (6) 을얻는다. = 3) 식 (6) 을 의 행 열의원소에서얻는여인자행렬식 4) 이라고정의한후크래머법칙을이용하여최적해를구해보면, = 5)= ( + ), 식 (7) = = = = ( + ) 식 (8) 더미 (dummy) 란표현을임의적으로붙이기로한다. 3) 의 bar ' - ' 은, 제약행과열이존재하는유테 ( 有테, 테를두른 ) 헤시안행렬 (borded Hessian determinant) 임을나타내기위함이다. 행렬은 정방행렬이다. 4) A.C. Chiang, 경제수학입문, 진영사, pp 137, 은부호가포함된개념이다. 5) 은크래머의법칙에따라 의 열에식 (6) 의열벡터 를대입하여얻은행렬식을의미한다. 우하첨자에 놓는것으로나타내기로한다. - 3 -
= = ( + ) 6) 식 (9) 기존의투자비율로효율적포트폴리오곡선을구하는라그랑즈함수식에서는투자비율의합이항상 1이되어상수 1에 대하여 적분 7) 즉, 두번째승수의적분은정의될수없다. 그러나더미투자비율을사용한라그랑즈함수식 (4) 에서는두번째제약인더미투자비율의합이상수 1이아닌변수 이되어적분이가능하게 되며따라서두제약변수, 의적분을통해 의형태를구할 수있게되었다. 제약변수의변화에따른더미모형의최적경로 는 = (, ) 의형태가되는데특히 = 1 인경우 = (, 1) 또는 = ( ) 이되어효율적포트폴리오곡선그자 체가됨을알수있다. 결국더미투자비율의사용은두번째라그랑즈승수의적분을가능케하기위함이었음을알수있다. 각제약변수를적분하면다음과같다. = = = 같은 = 방법으로 = ( + ) ( + 2 ) + A 식 (10) (2 + ) + B 식 (11) 6) 개별자산들의공분산의성질에따라 = 이성립한다. 7) 상수를미분함은 = ( : 적분상수 ) 이되나상수에대하여미분함은 이되어그어떤 에대하여도 은성립하지않는다. 1 은상수이지변수가아니기때문에 1 의미분값 ( ) 은정의가되지않는것이다. - 4 -
상수 A, B를감안하여정리하면 8), = ( + 2 + ) 식 (12) 식 (12) 에서 = 1 로놓으면효율적포트폴리오곡선을, 의 공간에서식 (13) 을통하여그릴수있다. = ( + 2 + ) 식 (13) 식 (13) 는여러가지형태로달리표현할수있다. = [ ( + ) - + ] = ( + ) + 식 (14) 단, = [ - ] 즉, = 일때효율적포트폴리오곡선상의최 소의분산 을달성할수있다는것이다. 또한식 (13) 은식 (15) 로바꿀수도있다. = ( + ) 식 (15) 와 의공간에서다양한 에따른최적경로는식 (16) 을이용하여그리면 < 그림 1> 과같다. = 식 (16) 8) 적분상수 A, B 속에는각각 과 의함수꼴이며 일때각각수 (number) 로된상수항은존재하지않음을이용하면최적의 값을얻을수있다. - 5 -
< 그림 1> 다양한 값에따른최적경로 ( ) 전술한바와같이 = 1 인경우의최적경로 ( ) 가효율적포 트폴리오곡선이된다. 기대수익률 에서각투자비율 은, = 로서더미최적화모형에서 에대하여독 립적인값을가지므로 의변화 9) 에대해서도항상일정한좌표 의위치값을갖는것으로그릴수있다. 2). 크래머법칙을통한도출 개의위험자산으로구성된효율적포트폴리오곡선상의포트폴리오 에서자산 의투자비율은다음으로표기할수있다. 9) 값의변화로포트폴리오의표준편차, 기대수익률은각 배수만큼증가한다. 곡선자체의변화가선형배수라는것이지기대수익률에의한최소분산의궤적이선형이라는것은아니다. 그러나개별자산의공분산들은 에대해독립적이다. - 6 -
= ( + ) 식 (17) 포트폴리오의분산정의에식 (17) 을대입하면, 는다음과같다. = = = + + + = ( + )( + ) 식 (18) 1 식 (19)~ 식 (22) 의맨우측항인 ( ) ( ) 식 (19) ( ) 식 (20) ( ) 식 (21) ( ) 식 (22) = ( = ( ) 등을행렬로다시쓰면,, 식 (23), 식 (24) - 7 -
( ) = ( ) =, 식 (25), 식 (26) 우선식 (5) 의행렬 의행렬식전개를살펴보자. 을 +1 행에서그원소에대하여전개하면정의상행렬식 을얻는다. 이를수식으로나타내면, = + 0 +0 또는 +1 열에서전개해도유사한형태를얻는다. = 이를간단히줄이면, = + 0 또는 10) +0 = 식 (27) 또한 의 +2행의원소들 (1,..., 1, 0, 0) 을 의 +1 행 에대입한후전개하면그행렬식값은 0 이된다. 10) 행에서의전개는 행의 개의원소들에대하여전개하므로 에대하여 열에서의전개는반대로 가된다. 행과열의수는각 이다. 로, - 8 -
0 = 1 + 0 + 0, 따라서 = 0 식 (28) 또한 의 (< +1) 행의원소들 (2,..., 2, -, -1) 을 의 +1, +2행에각각대입한후열에대하여전개하면그값이 0이되는행렬식의성질에따라식 (29), 식 (30) 가도출된다. 0 = 2 - -1 11) 식 (29) 0 = 2 - 다시정리하면각식 (31) 과식 (32) 를얻는다. -1 식 (30) = ( + = ( + ) = 식 (31) ) = 식 (32) 식 (23) 의우변의첫째와둘째항의전개를살펴보자. = 식 (33) 식 (33) 를식 (23) 에대입하면, ( ) = = 11) 열에대하여전개하는것이므로 의하첨자는 가아닌 이된다. - 9 -
= ( = ( + ) + ) 식 (34) 식 (27) 또는식 (28), 그리고식 (31) 또는식 (32) 를이용하면식 (34) 또는식 (23) 은다음과같이간단히줄일수있다. ( ) = 식 (35) 같은방법으로식 (24), 식 (25), 식 (26) 을정리해보자. 식 (24) 의 = = ( = ( ( ) = = + ) + ) = 식 (36) 식 (25) 의 = = ( ( ) + ) - 10 -
식 (26) 의 = 식 (37) = = ( ( ) + ) = 식 (38) 식 (35)~ 식 (38) 을각각식 (19)~ 식 (21) 에대입하면정리하면, = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) = ( + 2 + ) 이됨을알수있다. 이는식 (13) 과정확히일치함을알수있다. 3) 기존의분석및선행연구와비교 Roll 12) 에의하면위험포트폴리오형태를다음과같다. 12) 구본열외 1, 현대재무론 pp218 3 판비봉출판사 2001. 7. Richard Roll, " A Critique of the Asset Pricing Theory's Tests; Part 1. On Past and Potential Testability of The Theory", Journal of Financial Economics, 4, March 1977. - 11 -
= ( - 2 + ) 식 (39) 이때각행렬식들은다음과같이정의하고있다. = -, 는 의행렬식이라정의할때, =, = = =, 13),, 식 (40) 식 (13) 을이루는각행렬식들은,,, 의일정한비례적값 임을확인할수있다. 증명을위해우선,,,, 등 을다음과같이정의한다. =(-1) = (-1), 14) = (-1), = 행렬식의성질을이용하면식 (42) 의관계를얻을수있으며, 식 (41) 13) 각 은공분산행렬 를 행과 열에서전개한여인자행렬식으로서, 의 행과 열에서전개한여인자행렬식 와구분하기위해우상첨자 o' 를두었다. 은제약행과열이포함되며각공분산에 2 가곱해진행렬식이다. 14) 와비교해보면각공분산들에곱하기 2 가제거되었음을확인할수있다. - 12 -
=, = =, = 이에따라식 (13) 은식 (43) 로바꾸어표현할수있다. = = ( ( + 2 + ) + 2 + ) 또는, 15) 식 (42) = [ ( - ) - + ] 식 (43) 또한,, 다음의관계를가지므로, = 16) =, = -, =, ( - ) = 식 (44) 그렇다면, =, 같은방법으로, = -, =, = ( - ) 식 (45) 식 (45) 을이용하면식 (39) 를다시바꿀수있다. = = ( ( + 2 + ) 식 (46) 는식 (43) 과동일한분산을나타내므로 + 2 + ) 식 (46) = =, 식 (47) 15) 제약행과열이 2 개씩임을유의할것. 16) 식 (41) 의각행렬식,, 을제약행과제약열의원소들에대하여전개한후다시행렬의곱으로정리하면구할수있다. - 13 -
효율적포트폴리오곡선의형태를나타내는 Roll의식 (39) 가본연구의식 (13) 과다른점은, 식 (39) 를사용하는경우에는만일 값이 0 이된다면 의분석은시작조차할수없다는것이다. 식 (43) 으로효율적포트폴리오곡선을그리면 < 그림 2> 과같다. < 그림 2 > 효율적포트폴리오곡선의형태 2. 위험자산및무위험자산이포함된경우 1) 단순및복합표현방식효율적포트폴리오곡선상의두포트폴리오, 의각투자비율들을선형결합한투자비율들로또하나의포트폴리오 를얻을수있는데이것역시효율적포트폴리오선상에존재한다고할수있다. 17) 즉, 포트폴리오 를여러개의포트폴리오로이루어진전체 17) 구본열 현대재무론, 비봉출판사, pp232-14 -
포트폴리오로서표현 ( 복합표현방식 ) 하거나, 개별자산을직접적으로일일이나열하여 를표현 ( 단순표현방식 ) 할수있는것이다. 이는포트폴리오 가 개의위험자산과무위험자산 1개등총 + 1 개로이루어졌다면, 제약하의 의최소분산을얻기위해다음두종류의최적화모형을사용할수있다는것이다. 우선무위험자산의수익률및분산은각, 그에따른최적포트폴리오 로표시하자. 18) A. 복합표현방식의효율적포트폴리오최적화모형 19) = + 2 + 20) = +, 1 = +, 식 (48) B-1. 단순표현방식의효율적포트폴리오최적화모형 =, =, 1 = 식 (49) 단순표현의경우표기의편의를위해무위험자산의항을따로꺼집어내어놓으면, B-2. 단순표현방식의효율적포트폴리오최적화모형 21) = 식 (50) 18) 는무위험자산의기대수익률, 는무의험자산의분산즉, 정의상 0 을의미한다. 19) 특별히분산의하첨자로 를 둔것은 포트폴리오에무위험자산이 포함되었음을알리 는의도에서이다. 20) 를 포트폴리오 내에서 차지하는 포트폴리오 의투자비율로, 를 포트폴리오 내에서 증권 의차지하는 투자비율로, 를 리스크 free 를 나타내는 무위험자산의 표준편차로등으로읽기로하자. 21) 무위험자산의경우 위험자산과구분하기 위해하첨자에 수 (number) 가 매겨지는 자산 으로표시하지않기위해서이다. 하첨자는 risk free 를의미하는 로한다. - 15 -
= + + + 22) = +, 1 = + = + ( - - ) + (1 - - ) 23) 식 (51) 이제단순표현방식인식 (49), 식 (50) 에서,,, 일계조건들의행렬화는식 (52) 가되며, =, 에 대한 식 (52) 식 (52) 의각행렬들을,, 로놓으면식 (53) 를얻는다. = 24) 식 (53) = 으로정의할때식 (54) 각여인자행렬식들은다음의값들을갖는다. = = - 25), 22) 무위험자산의성질로인해 = = = 0 이된다. 23) 무위험자산이포함된경우이므로 를, 와같이각라그랑즈승수의좌상첨자로붙이기로하며, 효율적포트폴리오곡선은특히더미라그랑즈함수에서 = 1 인경우임을나타내기위해 와같이우하첨자를 1 로바꾸었다. 24) 은식 (5) 와식 (6) 의행렬 에비해각원소가 0 인무위험자산의공분산행과열이포함되었으며제약의원소개수도하나씩늘었음을알수있다., 제약의원소개수도하나씩늘었음을알수있다. 이렇게무위험자산이추가로포함된경우를구분하기위해행렬과행렬식의 의좌상첨자로 를쓰기로한다. 25) 는무 ( 無 ) 제약하헤시안행렬식과비슷한형태이므로 H 를사용하고있다. 그러나 - 16 -
= - = 식 (55), 이들을식 (13) 에이들을대입하면식 (56) 와식 (57) 을얻는다. = = ( - ) 26) 식 (56) ( - ) 식 (57) 이는단순표현방식인최적화모형식 (50) 을통하여보면, 무위험자산과위험자산으로이루어진포트폴리오 는기대수익률 에 대해서선형임보여준다. 한편잘알려진대로복합표현방식인식 (58) 은, 포트폴리오 의직선의효율적경계 (Efficient frontier) 을나타내고있다. = ( - ) 식 (58) 식 (5 7 ) 과식 ( 5 8 ) 은같은효율적포트폴리오곡선 ( 직선 ) 이므로 = 이됨을알수있다. 식 (59) 2 ) 최적포트폴리오의조건최적의포트폴리오에대한그림은 < 그림 3> 과같다. 위험자산으로만이루어진효율적포트폴리오곡선상에서포트폴리오 에서의접선의기울기로서식 (60) 과같이구해진다. 각자산의공분산들에는 2 가곱하여진행렬식임을유의해야할것이다. 26) 와 의하첨자 는무위험자산이포함된경우의표준편차, 기대수익률을나타내기위한것이다. 는대표적인자산인채권 (Bond) 를나타내기위함이다. 전술된 와 는임의의포트폴리오 에관한개념이다. 따라서앞으로하첨자가 이면채권이포함된경우이며, 하첨자가 이면위험자산으로만이루어진포트폴리오와관련된개념으로정리하면될것이다. - 17 -
< 그림 3 > 최적포트폴리오 = ( + 2 + ) 이라고할때, = 2( + ) 식 (60) 또한 를최적포트폴리오가되게해주는무위험자산과 로이루어진포트폴리오 의효율적포트폴리오곡선상에서의점 에서의 포트폴리오 의식 (59) 가보여주듯 가될것이다. 포트폴리오 가최적이라면식 (59) 와식 (60) 은일치할것이다. 는식 (16) 에따라식 (61) 과같이표기될때, = 식 (61) 식 (59) 와식 (60) 은같은값이어야하므로식 (61) 을이용하면, 가최적포트폴리오이기위해서는무위험자산의기대수익률 은식 - 18 -
(62) 의조건을만족해야함을알수있다. 식 (62) 식 (6 2 ) 는임의의포트폴리오 가최적의포트폴리오가되기위해서는시장의무위험자산의기대수익률이 의제로베타포트폴리오의기대수익률과값이같아야함을의미하기도한다. 27) 3) 복합및단순표현방식의실제적검증 ( 1 ) 단순포트폴리오방식간단한자료의계산으로복합및단순표현의효율적포트폴리오선상의분산값이일치함을살펴보자. 모형의수리적검증문제이므로적은수의자료로도충분할것이다. 부록의자료는 현대투자론 의제 6장의부록의자료를그대로인용하였다. 이를통하여공분산행렬 및기대수익률 28) 은다음으로정리할수있다. = 29), = 식 (63) 계산기를이용하여식 (42) 의중요행렬식은다음과같이구하였다. = = 0.0000063369... = 0.00251... = 0.000254..., = 0.000000296..., = - 0.00000745..., 27) 구본열, 현대재무론, 비봉출판사, pp222 28) 장영광 (2004), 현대투자론, 신영사, p197~210, 각공분산및기대수익률은장영광교수의계산결과를그대로인용하였다. 자료는본문뒤의부록에인용한다. 29) 각공분산들은소수점이하수는.. 를덧붙여서표기를간단히줄이기로한다. - 19 -
= 30) = 0.00000313... 최적의 포트폴리오 의 기대수익률이 = 0.5 일 때. = = 0.0287.. = 0.0000000783... = = 0.000279..., 따라서 단순표현방식으로 얻는, 은 다음의 값을 갖는다. = (0.707.., )( )(0.5-0.0287..) =2.998... 식 (64) ( = 일때기울기 ) = 0.157.. 식 (65) ( 2 ) 복합포트폴리오방식무위험자산이포함된포트폴리오 에서 = 일때의표준편차는모든투자를위험자산포트폴리오만을투자한경우를의미한다. 즉, = 일때의식 (57) 에서 = 인경우를의미한다. = (0.101...) -( 0.00595..) +(0.000118..) = 2.998.. 식 (66) 30) 위험자산의각공분산들에각 2 가곱하여얻어진행렬식을의미한다. 각공분산들의값들이정확히표기되지않으나.. 의표기를생략하기로한다. - 20 -
( 단, = ) = = = 0.157.. 식 (67) 두표현방식모두특정좌표값 ( =, = ) 과기울기가같다는식 (64)~ 식 (67) 의확인을통해서 개의위험자산과무위험자산 1개로이루어진포트폴리오 의경우복합및단순표현방식은같은결과를의미함을확인할수있다. 그런데이렇게복합및단순이라는명칭까지부여하면서굳이포트폴리오의표현방식을구분하는이유는특정한상황의경우특정방식을사용하면유용한해석을얻을수도있기때문이다. II. 혜리 ( 慧理 ) 31) 의역설 1. 상관계수가 1인경우의효율적포트폴리오곡선서로의상관계수가 1인두개의위험자산만을보유한위험포트폴리오의효율적경계 (Efficient frontier) 의기울기는아래가된다. = 32) > 0 식 (68) 서로의상관계수가 1인두개의위험자산에무위험자산이포함된 의효율적경계 (Efficient frontier) 의기울기는다음이된다. 복합식표현 : = 33) 식 (69) 단순식표현 : = 식 (70) 그런데두위험자산간상관계수가 1이됨은식 (71) 을의미한다. 31) 가칭 ( 假稱 ) 한명칭으로서역설적상황에대해 지혜 로운인식을하여야함을의미함 32) 수평축은표준편차이다, William F. Sharpe, "Portfolio theory and capital markets 33) 최적포트폴리오가 인경우 - 21 -
2 = = 0 34) 식 (71) 따라서포트폴리오 의효율적포트폴리오곡선의기울기에관해서식 (69) 으로는어떤특성을알수없지만식 (70) 으로표현하면 = = 0 식 (72) 이됨을알수있다. 그에따라모든기대수익률에대하여포트폴리오 의최소분산은항상 0 됨을알수있다. = ( ) = 0 식 (73) 포트폴리오 의효율적경계선이, 주어진기대수익률에서최소의분산 을가져다주는유일한투자비율의해벡터로이루어졌다고해석하기위해서는식 (74) 가모두성립해야한다.( 이는모든 에대해식 (7 3 ) 을만족하는전체포트폴리오가존재한다면, 몇개의자산으로만이루어진부분포트폴리오도효율적이라는의미이다.) > 0 35) 식 (74) > 0,..., 그런데식 (74) 의부분인식 (75) 의조건은헤시안행렬식인 의조건식인식 (71) 에의해서항상결정되는것은아니다. > 0,, > 0 식 (75) 따라서두위험자산의상관계수가 1 이어도무위험자산까지포함 34) = 4-4 = 0 즉, =, 이는 1 = 제곱근을하면, 1 = = 이됨을확인할수있다. 35) A.C Chiang, 정기준, 이성순공역주, 경제수학입문, 진영사, pp 499 의부호는제약식의개수 에대해 (-1) 현재제약은두개다. 따라서모든 의부호 ( 즉 (-1) = 1) 의부호가되어야한다. 좌하첨자는두개의제약행과열외에자산 ( 위험 + 무위험 ) 의개수를의미한다. - 22 -
된포트폴리오 는효율적포트폴리오경계 (E f f ic i en t fro nt i er) 가존재할수있으며그형태는식 (73) 을통해수직축자체가됨을확인할수있다. 반면, Roll의분석에서는무위험자산이포함된경우최소분산의궤적을다음으로나타내고있다. = 36) 식 (76) 단, = [ - ], =, = [ - ] [ - ], =, : 각각무위험자산, 포트폴리오 의기대수익률식 (77) 위식 (77) 에서는식 (74) 의조건이라면행렬,, 등이정의되 지않는다. 따라서 의형태에대해서알아볼방법이없다. 이는위험자산포트폴리오에서식 (39), (40) 의 가정의되지않음을의미한다. 그에따라일련의과정인식 (44)~ 식 (47) 의치환전개가성립할수없음을의미한다. 즉, 상관계수가 1인경우에있어서는식 ( 3 9 ) 의방식으로는효율적포트폴리오곡선의형태에대한어떠한정보도얻을수없다. 2. 수리 ( 數理 ) 적검증예로써 1, 2 증권및무위험자산 로이루어진포트폴리오 를식 (78), 그와관련된행렬식들은식 (79) 와같다고가장하자. = = 0 식 (78) = = 0.02. 식 (79) 36) 구본열, 현대재무론, 비봉출판사, pp 267-23 -
이때 의기대수익률의 37) 변화에따른투자비율과표준편차는여러단계를거쳐 < 표 1> 과같이얻을수있다. < 표 1> 상관계수가 1일때 의총표준편차의변화추이 투자비율 / 기대수익률 = 0.3 = 0. 4 = 0. 5 총표준편차 3.0 4.0 5.0 0-4.0-6.0-8.0 0 2.0 3.0 4.0 0 위에서볼수있듯이기대수익률이변화해도총위험은변함없이 0 이된다. 역시효율적경계는수직축자체가되는것이다. 총위험이 0 이라고해서위험자산을전혀보유하지않는것은아니다. 가령, 위 < 표 1> 에따라 = 0.3 일때, 을계산하고 을다시검증하면다음과같이확인할수있다. = (4.0) (0.05) + 2(-4.0)(2.0)(0.1) + (2.0) (0.2) = 0 = (3.0)(0.1)+(-4.0)(0.2)+(2.0)(0.4) = 0.3 3. 혜리 ( 慧理 ) 의역설위험자산 1, 2로만이루어진포트폴리오의경우우상향의직선의기울기를갖고있음이확인된다. 그러나무위험자산의추가보유하면그즉시효율적포트폴리오곡선은수직축자체가되어. 그어떠한기대수익률도 0 의위험으로달성할수있다는 놀랄만한 결론에다다르게되는것이다. 완전한무위험자산이현실적으로존재하지는않으나이론적으로는채권이나현금통화를무위험자산 38) 이라고한다면, 누구나상관계수가 1인위험자산의적절한배 37) 최적상태의포트폴리오의기대수익률이변화함을의미하는것이아니다. 위험자산의상관계수가 1 이라는사실때문에우상향의위험포트폴리오직선이존재하며따라서어느특정점이최적의위험포트폴리오라고할수없다. 38) 이론적차원에서현금통화에대한물가상승률로인한시간에가치하락이없다는등의 - 24 -
분보유 39) 를통해 확실하게무한대의수익률 을달성할수있다는해석이가능해보인다. 그러면이런비현실적인결과는어떻게해석해하는것일까? 이는최적화모형에서위험자산인증권 1과 2가 수학적 으로는독립적인증권이아니라고인정해야할것이다. (< 표 1> 에서보듯이 ( ) = -2로자산별투자구조가자동적으로정해졌음을알수있다.) 또한그상관계수가 1인위험자산들로만효율적포트폴리오를구성했다고하더라도그것은현실성을의심받게된다. 무위험자산시장의존재를인식하는순간비현실적인 착각-판단 에빠져들수있기때문이다. 결국, 자유로운채권시장의존재가투자자의머릿속에서상관계수가 1인자산들로이루어진효율적포트폴리오조차부정하게되는데그인식과정은 < 그림 4>, < 그림 5> 와같이보일수있다. 상관계수가 1이라는위험자산들로는극히밀접하게연관된업종의자산들을들수있다. 원유개발과정제산업, 건설업과건설자재업등은비록독립된업체나산업으로보일지라도투자행위에있어서는 하나의동일한 업체또는산업이므로투자행위에대한실제적검증작업을하는경우에는반드시이런역설이발생하지않도록상관계수의추정단계가선행되어야할것이다. 즉, 상관계수가극히밀접한경우들의자산들을카테고리로묶어서하나의자산으로처리하는작업등이들수있다. 40) 가정을하는경우 0 의수익률을갖는무위험자산이라고말할수있다. 39) 위험과기대수익률을적절히고려하여공매하는경우를말할수있다. 물론, 이론적차 원에서 그 어떤 충분한 양의위험자산도공매 (Short sales) 가 가능하다는 전제가 필요 하다. 40) 각산업별기업들의기업행위대상들이극히서로연관되어있다면시장전체의포트폴 리오분석은결국산업별수익률들의분석과연관된다고도할수있을것이다. - 25 -
< 그림 4> 혜리 ( 慧理 ) 의역설 41) 2 3 상관계수가 1 인위험자산보유 자유로운무위험시장존재 1 4 상관계수가 1 인경우에우상향의효율적포트폴리오경계 (Efficient frontier) 가존재함 역설에직면 비현실적상황직면인식 무한한기대수익률 & 위험 = 0 상관계수가 1 인경우효율적투자행위라고할수없다고인식 위험자산은서로독립적이지않다고인식함수학적동일자산으로인식 5 6 < 그림 5 > 역설적인효율적포트폴리오직선 41) 이런역설적상황에서는투자자산에대한정확한인식이필요하다는의미에서 혜리 ( 慧理 ) 의역설이라고가칭 ( 假稱 ) 하였다. - 26 -
II I. 두개의효율적포트폴리오의공분산 개의위험자산으로구성된효율적포트폴리오곡선상의두포트폴리오 와 에서자산 의투자비율은각각다음과같다. = = ( + ) 식 (80) ( + ) 식 (81) 두포트폴리오의공분산정의에윗식들을대입하여표기하면, = 식 (82) 식 (82) 의전개를식 (18) 에서식 (38) 을준용하면, = ( +( + ) + ) 또는, = ( + ) 식 (83) 윗식 ( 8 3 ) 은특정한효율적포트폴리오 를기준으로했을때, 임의의효율적포트폴리오 의기대수익률에대하여공분산곡선의기울기가직선임 ( ) 42) 을보여준다. 가다음값들을가질때, 첫째 = = - 일때 = ( - ) = 식 (84) 42), ( / ) 등은포트폴리오 가아닌 의기대수익률 에서구해진값들이므로하첨자에특별히 를붙였다. 왜냐하면라그랑즈승수는그자체가제약값 의함수이기때문이다. 그려질공간은표준편차의공간이아닌분산및공분산의공간임을유의해야할것이다. - 27 -
둘째 = - 일때 = 0 식 (85) 셋째 = 일때 = 식 (86) 등의특징을갖게됨을확인할수있다. < 그림 6> 공분산곡선 ( 직선 ) 의형태 IV. 결론 효율적포트폴리오곡선이란개념은그전제조건이본문에서증 명한바와같이수많은 의값이모두 0보다커야한다는조 건을요구하고있다. 그조건만만족시키고있음을확인할수있으면시장에서의효율적포트폴리오곡선이존재한다고할수있고, 따라서개인들의소규모포트폴리오도자체적으로도최소의위험 - 28 -
을보장할수있는투자행위가존재한다는할수있다. 물론현실적으로는정보량의문제에직면하게되지만이론적으로는적어도, 시장포트폴리오가효율적이라면몇개안되는자산만으로도이루어진소규모의포트폴리오도식 (73) 의부분조건식으로서효율적인투자곡선이존재할수있다는것을의미한다. 또한 혜리의역설 은, 상관계수가 1이되는특이한경우에있어서는실증적검증을할때사전적으로걸러내야한다는경고를보여주고있다. 계란을한바구니에담지말라는격언이역시성립하고있는것이다.( 우린항상채권, 저축또는화폐를보유하고있으므로혜리의역설이성립할여지는충분하다.) 따라서특정산업을대상으로하는소규모포트폴리오분석의경우라면상관관계가밀접한자산들을분류하여그분류별대표기업을선정한후그기업들의수익률변화의정보로서, 산업전체에대한포트폴리오의분석을대신할수있는가능성을얻었다. 또한그에따라요구되는정보의양도많이절약할수있을것이다. 공분산함수의수학적, 기하학적형태는 CAPM 등투자행위에대한추가적인이론적확장에있어서유용하게쓰일수있다. 특히특정포트폴리오 ( 시장포트폴리오 ) 에대한현재보유포트폴리오들간의횡단면적분석등에유용할것으로판단된다. - 29 -
< 참고문헌 > - 구본열외 1(2001), 현대재무론, 비봉출판사, 212~245 - 장영광 (2004), 현대투자론, 신영사, 178~209 - A.C. Chiang 원저 (2002), 정기준이성순공역주 경제수학입문, 진영사, 479~517 - Avi Bick(2004), "The mathematics of the portfolio frontier; a geometry-based approach", The quarterly review of Economics and finance vol 4 - J Tobin(1958) "Liquidity preference as Behavior toward Risk", Review of Economic studies - Harry M. Markowitz(1990), Portfolio selection, Blackwell - Howard Raiffa(1968), Decision analysis introductory Lectures on Choices under Uncertainty, Addison-Wesley publishing company - William F. Sharpe, Portfolio theory and capital market McGraw Hill Book Company - Richard Roll "A Critique of The Asset Pricing Theory's Tests Part 1: On Past and Potential Testability of the theory" Journal of Financial Economics 4(March 1977) - 30 -
부 록 < 표 2> 4 개증권의 36 개일 ( 日 ) 에대한자료 날짜 하이트맥주 POSCO 삼성전자 대신증권 KOSPI 1999.01.29 0.534-0.068 0.137-0.103 0.016 1999.02.26-0.150-0.115-0.071-0.111-0.094 1999.03.31 0.197 0.239 0.097 0.182 0.174 1999.04.30 0.250 0.238-0.039 0.481 0.195 1999.05.31 0.086 0.099-0.085-0.258-0.022 1999.06.30 0.275 0.361 0.414-0.072 0.182 1999.07.30-0.030 0.077 0.398-0.044 0.094 1999.08.31-0.055 0.065 0.170 0.093-0.033 1999.09.30 0.088-0.146-0.128 0.025-0.115 1999.10.29 0.041 0.053 0.015-0.049-0.003 1999.11.30-0.241 0.067 0.182 0.232 0.179 1999.12.28 0.164-0.209 0.103-0.334 0.031 2000.01.31-0.154 0.075 0.055 0.117-0.085 2000.02.29-0.175-0.189-0.093 0.027-0.131 2000.03.31-0.125-0.046 0.269-0.137 0.039 2000.04.28 0.243-0.205-0.110-0.603-0.171 2000.05.31 0.147-0.021 0.026 0.017 0.009 2000.06.30 0.295 0.112 0.182 0.170 0.115 2000.07.31-0.023-0.078-0.225 0.114-0.151 2000.08.31-0.008-0.071-0.076 0.013-0.025 2000.09.29-0.055 0.012-0.303-0.118-0.116 2000.10.31 0.124-0.228-0.349-0.468-0.176 2000.11.30-0.292 0.097 0.128 0.057-0.010 2000.12.26-0.054 0.050-0.025-0.100-0.009 2001.01.31 0.077 0.263 0.345 0.796 0.203 2001.02.28 0.134 0.015-0.176 0.022-0.067 2001.03.30-0.011-0.115 0.106-0.263-0.100 2001.04.30 0.016 0.085 0.096 0.303 0.098 2001.05.31 0.112 0.064-0.077 0.011 0.059 2001.06.29-0.130-0.005-0.099-0.188-0.028 2001.07.31-0.032-0.165-0.013-0.048-0.094 2001.08.31 0.076 0.026 0.003 0.068 0.007 2001.09.28 0.014-0.115-0.305-0.137-0.128 2001.10.31 0.011 0.098 0.215 0.099 0.114 2001.11.30 0.091 0.184 0.228 0.348 0.180 2001.12.28 0.044 0.131 0.247 0.076 0.075-31 -