5 장. 운동에너지, 일, 일률 운동에너지 일 : 힘벡터와변위벡터의스칼라곱 단위시간당한일 : 일률 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 1 에너지 화석에너지 석탄, 석유, 천연가스 문제점 : 재생불가능, 공해, 이산화탄소배출 => 지구온난화 태양에너지수십억년공급가능, 무공해. 1 차 : 태양전지 차 : 풍력, 수력 재생에너지 - 풍력, 수력, 지열, 바이오매스 ( 동식물자원 ) 핵에너지 - 핵분열 ( 우라늄, 플루토늄 ), 수소 - 헬륨핵융합 - 이점 : 온실가스없다. 무한공급이가능하다. - 문제점 : 핵폐기물, 대량살상무기화 ITER 개략도 수소에너지 - 재생가능한수소를생산하고산소로태우면물이나온다. - 이점 : 공해감소, 화석연료의존성감소, - 해결과제 : 생산, 수송, 저장 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 1
운동에너지 운동하는물체가갖는운동에너지 : 질량과속도의제곱에비례 정의 : 단위 : 단위 : K = 1 mv [K] = [m] [v] = kg m / s SI 단위는줄 (J) 이며, 영국의물리학자제임스줄을기념하여명명했다. 단위전환 : 1 J = 1 N m = 1 kg m /s 예1) 속력 55mph(=4.6m/s) 로달리는질량 1310kg의자동차 K ca = 1 mv = 1 (1310 kg)(4.6 m/s) = 4.0 10 5 J 예) 속력 30,000m/s로태양주위를도는질량 6 10 4 kg의지구 K sun = 1 mv = 1 (6.0 104 kg)(3.0 10 4 m/s) =.7 10 33 J 예3) 1.3 10 6 m/s (= 0.4c) 로움직이는질량 m e = 9.1 10-31 kg의전자 K e = 1 mv = 1 (9.1 10-31 kg)(1.3 10 6 m/s) = 7.7 10-19 J 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 3 다른에너지단위 원자척도에서전자볼트 : 1 ev = 1.60 10-19 J ( 앞에나온전자의운동에너지는 ~5eV 이다.) 음식물의식품칼로리 1 Cal = 4186 J (1 Cal 는앞에나온야구공운동에너지의 40 배이다 ) 막대한에너지는다른단위가필요하다. TNT 백만톤의폭발에너지 1 Mt = 4.0 10 15 J 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 4
보기문제 5.1: 떨어지는꽃병 (1) 문제 : 높이 1.30m 의선반에서정지한질량.40kg 의꽃병이바닥으로떨어진다. 바닥과충돌직전에꽃병의운동에너지는얼마인가? 답 : 바닥과충돌직전에꽃병의속도를알면운동에너지를구할수있다. 자유낙하물체의운동방정식을이용한다. 초기및최종속력과높이에관한식을이용한다 (v 0 = 0) 운동에너지의정의식에서다음을얻는다. 결론 : v = v 0 - g(y - y 0 ) = g(y 0 - y) K = 1 mv = 1 m( g(y - y) )= mg(y - y) 0 0 K = (.40 kg) (9.81 m/s ) (1.30 m - 0) = 30.6 J 떨어지는꽃병의운동에너지는높이의함수로선형으로비례한다. - 중력 F g = mg 가꽃병을가속시켜서운동에너지가생긴다. - 꽃병이얻은운동에너지는중력의크기와높이의곱과같다. 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 5 경사면위의꽃병 꽃병이경사면위에서 D 미끄러진다. ( 일단마찰이없다고가정하자 ) 가속도 a = g sinq = g cosa (a = 90 o -q ) 운동에너지 v = v 0 + ad = g cosad Þ K = 1 mv = mgd cosa (v 0 =0) 중력이꽃병에한일 (= 운동에너지의변화 ): (a = 힘과변위의사이각 ) K = mgd cos a = F D cosa g a = 0 ( 중력과변위벡터가평행 ) = mgd W g a = 90( 중력과변위벡터가수직 ) 가속도가없다 => 운동에너지불변 => 중력이한일이없다. = 0 W g 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 6 3
벡터의스칼라곱 두벡터 A 와 B 의스칼라곱을다음과같이정의한다. A B = A B cosa a AB ( 여기서는두벡터사이의각도이다.) AB A a AB B 커다란둥근점 는두벡터의스칼라곱을표기하는기호이기때문에점곱이라고도부른다. A B = B A 스칼라곱은교환성이있다. 직각좌표계의스칼라곱 A B = ( A, Ay, Az ) ( B, By, Bz ) = A B + Ay By + Az Bz 벡터자체의스칼라곱 직각좌표계 : A A = A + A + A = A 정의식에서 y z A A = A A cos a = A A = A AA 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 7 스칼라곱의기하학적해석 A B = A B cosa A cosa AB A B 스칼라곱의정의식 : 는벡터의벡터에대한투영이다. 스칼라곱 = 변의길이가 A cosa 와 B ( 또는 B cosa 와 A) 인직각사각형의면적 AB 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 8 4
보기문제 5.: 두위치벡터의사이각 문제 : 두위치벡터의사이각은무엇인가? A = (4.00,.00,5.00) cm and B = (4.50, 4.00, 3.00) cm 답 : 스칼라곱의정의식에서다음과같다. æ -1ç A A B = A B cosa Þ a = cos ç A è A = 4.00 +.00 + 5.00 cm = 6.71 cm B = 4.50 + 4.00 + 3.00 cm = 6.73 cm A B = A B + A B + A B y y z z ( 4.00 4.50.00 4.00 5.00 3.00 ) cm = + + = 41.0 cm B ö B ø -1 æ 41.0 cm ö Þ a AB = cos ç = 4.7 è 6.71 cm 6.73 cm ø 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 9 일과스칼라곱 일 의정의 : 일은힘이작용하여물체로또는물체가전달한에너지이다. 양의일은물체로전달된에너지이고, 음의일은물체가전달한에너지이다. 유의 : 전달되는에너지의종류와상관없이모든에너지에성립한다. 일을스칼라곱으로표기할수있다. 일정한힘이한일은다음과같다. W = F D = F D cosa D 특별한경우 : 중력이꽃병에한일 F W = F D cosa = F D g g 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 10 5
1 차원일, 일 - 운동에너지정리 1 차원운동에서일정한힘이한일 : W = F D = F ( - 0 ) 힘벡터 F 와변위벡터 D 같은방향 (=> 양의일 ), 반대방향 (=> 음의일 ) 물체의운동에너지와일정한힘이물체에한일의관계 DK º K - K 0 = W 일 - 운동에너지정리 라고부른다. 유의 : 운동에너지는 0 보다작을수없다. 따라서물체가한일은초기운동에너지보다클수없다. 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 11 중력이한일 발사체가위로올라가는동안에중력이한일 : W g = -mgh ( 운동에너지를감소시킨다 ) 발사체가아래로내려오는동안에중력이한일 : W g = mgh ( 운동에너지를증가시킨다 ) 물체를올리거나내리면서한일 수직방향의외력이물체에작용하는경우 일 - 에너지정리는중력 (mg) 이한일과외력 (F) 을포함해야한다. K - K 0 = W g + W F 물체가처음과나중에모두정지해있으면 K 0 = 0 및 K = 0 => 올릴때 : W F =-W g =mgh 내릴때 : W F =-W g =-mgh W F = -W g 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 1 6
보기문제 5.3: 역기들기 문제 : 호주의시드니에서개최된 000 년올림픽에서독일의역도선수로니벨러가용상에서 57.5 kg 를들어올려서은메달을땄다. 그가 1.83m 높이로역기를들어올리면서한일은얼마인가? 답 : 벨러가한일은다음과같다. W = mgh = (57.5 kg) (9.81 m/s ) (1.83 m) = 4.6 kj 유의 : 내려놓을때한일은 -4.6 kj 이다. 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 13 도르래로들어올리기 줄과도르래를연결하여질량 m 을당길때무게의절반인힘만필요하다. T 1 = 1 T = 1 mg T 가한일 : W = T = T = mg 변위는다르다. 1 = T 1 이한일과같다. W = T = ( T )( ) 1 1 1 1 = mg = W 도르래없이한일과같다! 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 14 7
변하는힘이한일 힘이변위의함수로변할때, 힘이한일은곡선아래의면적과같다. 적분개념 : 0 와 사이를좁은간격 D로나눈다. 간격이좁으면 i 와 i+1 사이에서힘 F( i 이 ) 일정하다고가정할수있고한일은직사각형면적과같다. 따라서모든직사각형면적을더하면전체한일은다음과같다. W» å W i = å F( i ) D D 가좁아지면, 한일은적분식과같다. æ W = lim D 0 è ç å i i ö F( i ) D ø i = ò F( ) d 0 차원이상에서는스칼라곱으로다음과같이표기한다. W = F d ' ò 0 ( ') 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 15 적분의기초 모든부정적분에는적분상수 c 가있다. 다항식 ò n d = 1 n + 1 n+1 + c fo all n ¹ 1 ò -1 d = ln + c 삼각함수 : ò sin( a)d = - 1 cos ( a a )+ c ò cos( a)d = 1 sin ( a a )+ c 지수함수 : ò e a d = 1 a ea + c 부록 A 수학의기초참조 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 16 8
용수철에서힘과한일 용수철의길이가늘어나거나줄어들때, 힘은변위의반대방향으로작용한다. 이와같이음의방향으로작용하는힘을용수철의 복원력 또는 * 훅의법칙이라고부른다. Fs ( ) = -k 비례상수 k 를용수철상수라고부른다. 용수철상수는용수철에질량 (m) 을아는추를매달아서힘의평형에서변위 () 로부터구할수있다. 용수철에매단질량의위치를 0 에서 로옮기면서한일 : W = F ( ') d ' = -k ' d ' 용수철힘이한일 s ò s 0 0 ò = - k ' d ' = - k 0 F=-k = mg 1 ò ( ) 0 W = - 1 k + 1 k 0 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 17 풀이문제 5.1: 용수철압축하기 (1) 매끄러운수평면에놓여있는질량이없는용수철에 63.5N의힘으로초기평형위치로부터 4.6cm 압축시킨다음에그림처럼질량 0.075kg의쇠공을앞에두고용수철을놓아준다. 문제 : 쇠공이용수철끝을떠나는순간의속력은얼마인가? 답 : 용수철상수 k 를먼저구한다. k = F / = 63.5 N/0.0435 m = 1.46 10 3 N/m v=0 0 v=? 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 18 9
풀이문제 5.1: 용수철압축하기 () 압축된용수철이한일을구한다. 0 = 0 및 = 0.0435 m 한일 : W = - 1 k = - 1 (1.46 103 N/m) (4.35 10 - m) = -.76 J 용수철을놓아주면쇠공에.76J의일을한다. 일-에너지정리 : 0 를지나는쇠공의운동에너지 = K =.76 J. K = mv / 에서속력은다음과같다. 0 v = K m = (.76 J) 0.075 kg = 8.6 m/s v=0 v=? 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 19 일률 일률의정의 : 단위시간당한일 = 일을하는비율 P = dw dt 평균일률 P = W Dt 단위분석 : [P] = [W ] / [t] = J/s 일률의단위 = 와트 (W) 단위전환 : 1 W = 1 J/s Û 1 J = 1 Ws 일상의에너지사용량 : 1 kwh = (1000 W)(3600 s) = 3.6 10 6 J = 3.6 MJ 비SI 단위 ( 자동차에서널리사용 ) 1 hp = 550 ft lb/s = 746 W 011년 3월 일 Univesity Physics, Chapte 5 0 10
일정한힘의일률 일정한힘이한일 : W = F D 매우작은변위 ( 무한소 ) 에대한일 : ( F= 일정 ) 일률의정의에따라다음을얻는다. P = dw dt = d dt ( F ) dw = F d d = F dt P = F v 최종답 : 또는 P = Fvcosa Fv 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 1 보기문제 5.5: 자동차가속시키기 문제 : 1714kg 의자동차를가속시켜서 7.1s 만에 60mph(=6.8m/s) 에도달한다고하자. 자동차의평균출력은얼마인가? 답 : 60mph 에서자동차의운동에너지 : K = 1 mv = 1 (1714 kg) (6.8 m/s) = 616 kj 일 - 에너지정리 : W = DK = K - K 0 = 616 kj 7.1s 만에 60mph 에도달하는평균일률 : P = W Dt = 6.16 105 J 7.1 s = 86.8 kw=116 hp 논의 : 실제로는마찰과저항에의한에너지손실을고려하면 116 hp 는충분하지않고적어도 180 hp 이필요하다. 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 11
자동차의정속주행 자동차가수평도로에서 60.0mph 로주행하고있다. 자동차의항력계수는 0.33 이고, 맞면적은.m. 이다. 공기밀도는 1.9 kg/m 3 이다 일률의정의 : P = Fv = F dag v 공기저항에의한항력 F dag = Kv K = 1 c d A ai 두식의결합으로다음을얻는다. æ P = 1 c da ai v ö è ç ø v = 1 c da ai v 3 공기저항을극복하기위한일률 : P = 1 0.33 ( )( 1.9 kg/m 3 ) 6.8 m/s ( ). m ( ) 3 = 9.01 kw = 1.1 hp 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 3 요약 운동에너지 : K = 1 mv 에너지단위 : 1 J = 1 kg m /s 일 - 에너지정리 : 일정한힘이한일 : DK º K - K 0 = W W = F D W = ò F ( ') d ' = F D cosa FD 0 중력에반하여한일 : W g = mgh 용수철의길이변화로한일 : W = - 1 k + 1 k 0 일률의정의 ( 일을하는비율 ): P = dw dt 일률단위 : 1 W = 1 J/s 일정한힘 (F) 가한일률 : P = F v 011 년 3 월 일 Univesity Physics, Chapte 5 4 1