Ⅵ. 순열과 Map 01. 0 이항정리 - 1 -
01. 01. 0 이항정리 1. : 서로다른개에서순서를생각하지않고개를택하는것을개에서개를택하는이라한다. 의수 : 이의수를기호로로나타내며, 이의수는 P C ( 단, ) 참고 1. 순열은개에서개를뽑아서일렬로나열하는것이고, 은개에서개를뽑는것이다. (1) C 는 Combination( ) 의머리글자, (2) 은증명할때, 대부분사용 설명 서로다른개에서개를뽑는방법의수는 ( 가지) 이고, 이각각에대하여 개를일렬로배열하는방법의수는이다. 그러므로개에서개를택하여일렬로배열하는방법의수는이므로 P P C r 또, P P 이므로 C 보기다음의값을구하여라. (1) (2) 참고 (1) C 이므로 C 일때사용하면편리 (2) C (3) C (4) C C (5) C C 보기다음의값을구하여라. (1) (2) 보기 10 명인학급에서두명을다음과같이뽑을때, 경우의수를구하여라. (1) 회장, 부회장 (2) 두명의대의원 1. 분할과분배 : 여러개의물건을몇개의묶음으로나눈것을분할이라하고, 분할된묶음을일렬로나열하는것을분배라한다. (1) 분할의수 : 서로다른개의물건을개, 개, 개 ( ) 이세묶음으로나누는방법의수는 ( ⅰ) 이모두다른수일때, C C C ( ⅱ) 중어느두개가같을때, C C C ( ⅱ) 가모두같은수일때, C C C (2) 분배의수 : 위의세묶음을세명에게분배하는방법의수는 ( 분할의수) 참고 2 (1) C C C 에서곱의기호는곱의법칙즉, 순서가있다. 보기서로다른의물건에대하여다음각물음에답하여라. (1) A에게 2 개, B에게 2개로나누어주는경우의수 (2) 2 개, 2개의두뭉치로나누는경우의수 (3) 2 개, 2 개의두뭉치로나눈후, A, B에게한뭉치씩나누어주는경우의수 - 2 -
THEMA 1. : 서로다른개에서순서를생각하지않고개를택하는것을개에서개를 택하는이라한다. 의수 : 이의수를기호로로나타내며, 이의수는 P C ( 단, ) 유형 : 의수의계산 P 1. (1) 계산은 C (2) 증명은 C (1) C (2) C (3) C 기본 을만족하는자연수의값을구하여라. p150, 기본유형익히기, 유제2 01. C n C 를성립시키는양의정수 의값을구하여 라. p150, 기본유형익히기, 예제2 0 C C 을만족하는자연수에대하여의값을구하여라. p153, 핵심문항, 04 03. 일때, C C 이차례로등비수열을이룰때의 값은? 1 21 2 18 3 15 4 12 5 10 01. 7 0 03. 5-3 -
유형 : 의활용(1)-다른경우의수와통합적으로활용 1. 의수 : 1 경우의수 2 합의법칙, 곱의법칙 3 순열 4 여러가지순열등과융합 기본 1, 2, 3, 4, 5 의자연수에대하여다음물음에답하여라. (1) 홀수 2 개를뽑는방법의수를구하여라. (2) 홀수 2 개, 짝수 1 개를뽑는방법의수를구하여라. (3) 홀수 2 개, 짝수 1 개로만들수있는자연수의개수를구하여라. p150, 기본유형익히기, 유제1 -의직접활용 01. 검은색바둑알 7개와흰색바둑알 3개를일렬로나열할때흰색바둑 알이이웃하지않도록나열하는방법의수를구하여라. p150, 기본유형익히기, 예제1 - + 곱셈정리+ 덧셈정리 0 A학급의학생 6명과 B학급의학생 4 명있다. 이중에서각학급의학 생을 2명씩뽑는방법의수를가지라하고각학급에서 1명이상씩 4명을 뽑는방법의수를가지라고할때의값은? 1 201 2 246 3 252 4 284 5 316 Key Point 곱의법칙 (1) 사건 잇달아 일어나는 (2) 이웃하지않으면 상대방을먼저배열 Key Point 합의법칙 (1) 각경우로나누어 생각한다. (2) 적어도 가나오면 여사건을생각한다. p153, 핵심문항, 01 - + 덧셈정리+ 곱셈정리 03. 4명의어른과 3 명의어린이가있다. 어른은운전을할수있지만어린 이는운전을할수없다. 이중에서세명을자동차에태우는방법의수는? 1 24가지 4 36가지 2 28가지 5 40가지 3 34가지 Key Point 합의법칙 (1) 각경우로나누어 생각한다. (2) 적어도 가나오면 여사건을생각한다. p153, 핵심문항, 03 - 덧셈정리+ 곱셈정리 04. S고등학교의어느학급은남학생 12명과여학생 10명으로구성되어있 다. 이들 22명중 4명의임원을선출하는방법의수에대한다음설명중에 서옳은것을모두고른것은? -----------------------< 보기>------------------------- ㄱ. 남녀를구별하지않고명을선출하는방법의수는 7315 이다. ㄴ. 남, 녀 2명씩을선출하는방법의수는 2970 이다. ㄷ. 적어도 1명의여학생을포함시키는방법의수는 6820 이다. ---------------------------------------------------- 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 01. 56 0 4 03. 3 04. 5-4 -
p153, 핵심문항, 02 - 의수+ 원순열 05. 남녀각각 5명씩 10 명이있다. 여기서남자 3명과여자 2명을선택한 후선택된 5 명이원탁의둘레에앉는다. 앉는방법의수는? 1 1200가지 4 6400가지 2 2400가지 5 9600가지 3 4800가지 고난도 p155, 고난도문항, 01 06. 그림에서 A, B, C, D에 5개의색중일부를사용하여 각영역이구별되도록칠하는방법의수를구하여라. 수능의수+ 덧셈정리( 여사건) 07. 1에서 10 까지의자연수중에서서로다른두수를임의로선택할때, 선택된두수의곱이짝수가되는경우의수를구하시오. [3 점] < 2000> 의수+ 덧셈정리 08. 여덟개의와네개의를모두사용하여만든자리문자열중에 서다음조건을모두만족시키는문자열의개수는? [4 점]<2005> ------------------------------------------------------ ( 가) 는연속해서나올수없다. ( 나) 첫째자리문자가이면마지막자리문자는이다. ------------------------------------------------------ 1 2 3 4 5 05. 2 06. 180 07. 35 08. 2-5 -
유형 : 의활용(2)- 부분집합의개수( ) (1) 다양한부분집합의개수를구하거나 (2) 의성질을이해하는데사용한다. 기본 1. 집합에대하여다음물음에답하여라. (1) 원소의개수가 2개인집합의부분집합의개수 (2) 1을포함하고원소의개수가 2개인집합의부분집합의개수 (3) 1을포함하지않고원소의개수가 2개인집합의부분집합의개수 < 참고> (1) 집합의부분집합의개수 (2) 1을포함하는부분집합의개수 (3) 1 을포함하지않는부분집합의개수 다음을부분집합의개수를이용하여설명하여라. (1) C (2) C C 01. 집합의부분집합중원소의개수가 3개인것 의개수는개이고, 이중짝수가한개이상포함된부분집합의개수는 개다. 의값은? 1 100개 4 230개 고난도 p155, 고난도문항, 02 2 120개 5 360개 3 220개 0 1에서까지의자연수중일부혹은전채를택하여집합를만든 다. 이때, 집합의원소의개수를, 집합의모든원소의합을 라하자. 또, 이와같이만든집합모두에대하여각집합의원소 의개수 의합을이라하고, 들의합을이라고하자. 집합 가공집합도될수있다면, 일때의집합의개수와, 의값을각각구하여라. 수능 03. 자연수에대하여원소가개인집합에서개의원소를뽑는경 우의수를다음과같은방법으로구하였다. --------------------------------------------------- 를원소가개이고서로소인두집합와로나누고, 다음과같은경 우를생각한다. (i) 와중한집합에서만두개의원소를뽑는경우 (ii) 와각집합에서원소를한개씩뽑는경우 (i) 의경우의수는 ( 가) 이고 (ii) 의경우의수는 ( 나) 이 다. (i) 과 (ii) 둘중에서한가지경우만일어날수있으므로합의법칙에의 하여 ( 가) + ( 나) 이다. ------------------------------------------------- 위에서 ( 가) 와 ( 나) 에알맞은것은? [3 점]<2003-12- 모의평가> 1, 2, 3, 4, 01. 4 0,, 03. 2 5-6 -
유형 : 의활용(3)-함수의개수, 일때, 함수에대하여 (1) 함수의개수 ( 이면 ) : (2) 일대일함수( 이면 ) 인함수의개수 : (3) 치역과공역이같은함수의개수 ( ) : 중복순열을이용한다. (4) 이면인함수의의개수 : 기본 두집합, 에대하여 이면 인함 수 의개수를구하여라. p154, 핵심문항, 06 두집합, 에대하여함수 고른것은? 를정의하는경우의수에대한다음설명중옳은것을모두 -------------------< 보기>-------------------------- ㄱ. 이나의값에관계없이전체함수의개수는이다. ㄴ. 일때일대일대응인함수의개수는이다. ㄷ. 일때다음관계를만족하는함수의개수는이다. 이면 ------------------------------------------------ 1 ㄷ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ < 정답> 4 01. 4-7 -
유형 : 의활용(4)-도형에의활용 1. 직선의개수 서로다른 개의점에서두점을이어서만들수있는직선의개수는 C ( 세점이상이있는일직선위의두점을선택한경우의수) ( 세점이상이있는일직선의개수) 삼각형의개수 (1) 서로다른개의점에서세점을이어서만들수있는삼각형의개수는 C ( 세점이상이있는일직선위의세점을선택한경우의수) (2) 어느세직선도한점에서만나지않는 개의직선으로만들어지는삼 각형의개수는 3. C ( 평행한직선 2개와평행하지않는직선 1 개를택한경우의수) -( 평행한직선 3 개를택한경우의수) 사각형의개수 (1) 사각형의개수 : 삼각형과같은방법으로생각 ( 점, 직선) (2) 평행사변형의개수 : 개의평행선과 평행선이만나만들수있는평행사변형의개수 4. C C 대각선의개수 볼록 각형에서대각선의개수 : C 기본다음각그림에서물음에대한경우의수를구하여라. 1. 4점중 2점을택하여만들수있는직선의개수 (1) 4점중 3점을택하여만들수있는삼각형의개수 (2) 나머지직선과평행하지않는 2개의직선과 3개 의평행한직선중 개수 3개를택하여만들어지는삼각형의 3. 각변을변으로하는평행사변형의개수 p151, 기본유형익히기, 유제4 01. 그림과같이원위에 6 개의점이있다. 이점가운데 2 개의점을이어만든직선의개수는 는개다. 의값을구하여라. 개이고삼각형의수 01. 35-8 -
p154, 핵심문항, 05 0 평면위에 12 개의직선이있다. 어떤세직선도한점에서만나지않고, 세직선만평행일때, 이들직선으로만들어지는삼각형의개수는? 1 220 2 217 3 211 4 5 192 p151, 기본유형익히기, 예제4 03. 그림은정사각형의각변을 5등분한후그점들을연결하여얻은도형이다. 이도형의선들로이루어질수있는사각형중에서정사각형이아닌직사각형의개수를구하여라. 수능 의수+ 합의법칙( 여사건) 04. 오른쪽그림과같이반원위에 7 개의점이있다. 이중 세점을꼭지점으로하는삼각형의개수는? [1 점] < 95> 1 2 3 4 5 0 5 03. 170 04. 4-9 -
THEMA 분할, 분배 -+ 곱셈정리 1. 분할과분배 : 여러개의물건을몇개의묶음으로나눈것을분할이라하고, 분할된묶음을일렬로나열하는것을분배라한다. (1) 분할의수 : 서로다른개의물건을개, 개, 개 ( ) 이세묶음 으로나누는방법의수는 ( ⅰ) 이모두다른수일때, C C C ( ⅱ) 중어느두개가같을때, C C C ( ⅱ) 가모두같은수일때, C C C (2) 분배의수 : 위의세묶음을세명에게분배하는방법의수는 ( 분할의수) 유형 : 분할, 분배의활용 (1) (2) (3) 곱의법칙의기본원리이용 분할의의미이용 분배의의미이용 기본 네개의물건 에대하여다음물음에답하여라. (1) 1 개, 1 개, 2개를각각 A, B, C에게나누어주는방법의수 (2) 1 개, 1 개, 2개의세묶음으로나누는방법의수 (3) 1 개, 1 개, 2개의세묶음으로나누어 A, B, C에게나누어주는방법의수 p151, 기본유형익히기, 예제3 01. 다음 < 보기> 는 8 명의학생을분배하는방법의수이다. 의값을 구하여라. ------------------------------------------------------ Ⅰ. 2명씩 4개조로나누는방법의수는가지이다. Ⅱ. 2명씩 4개조로나누어 1, 2, 3, 4호의방에넣는방법의수는가지이다. ------------------------------------------------------- p151, 기본유형익히기, 유제3 0 서로다른 6 종류의꽃이있다. 이꽃을 2송이씩 3묶음으로나누는방법 의수가가지이고이들 3묶음을 A, B, C 3명에게나누어주는방법의수 는가지일때의값을구하여라. 01. 2625 0 105-10 -
03. 서로다른 6개의과일을 A, B, C 세사람이적어도 1개씩갖도록분배 하는방법의수는? 1 510 2 520 3 530 4 540 5 550 04. 5층짜리건물 1층에서 7명이승강기를함께탄후 5층까지올라가는 동안 2 명, 2 명, 3명씩서로다른 3 개의층에서내리는방법의수는? 1 2520 2 2530 3 2540 4 2550 5 2560 수능 05. 부와부로나누어진행하는어느음악회에서독창팀, 중창팀, 합창팀이모두공연할때, 다음두조건에따라팀의공연순서를정하 려고한다. --------------------------------------------------- ( 가) 부에는독창, 중창, 합창순으로팀이공연한다. ( 나) 부에는독창, 중창, 합창, 합창순으로팀이공연한다. -------------------------------------------------------- 이음악회의공연순서를정하는방법의수는? [3 점]<2008> 1 2 3 4 5 03. 4 04. 1 05. 4-11 -
유형 : 대진표작성 분할의원리를이용한다. 기본네명의선수를아래그림과같은대진표를작성하는방법의수를각각구하여라. (1) (2) A조 B조 01. 테니스선수 6명이오른쪽그림과같이시합을할 때, 대진표를작성하는방법의수는? 1 45 2 60 3 75 4 90 5 120 0 7명이씨름선수가오른쪽그림과같이시합을할때, 대진표를작성하는방법의수는? 1 2 3 4 5 고난도 03. A, B, C, D의네학교에서두명씩배드민턴 선수를뽑아토너먼트로우승을다툰다. 같은학교 에서나온선수는결승전이외에는시합을하지않 는다고할때, 경우의수는? 1 2 3 4 5 결승 01. 4 0 1 03. 2-12 -
0 이항정리 01. 0 이항정리 이자연수일때, C 을이항정리라한다. 이때, C 을일반항, 각항의계수 C, C,, C 를이항계수라한다. 설명 의전개식중 의계수는 개의 중에서 개에서는 를뽑고, 개에서는 를뽑는방법의수와같다. 그러므로 의계수는 C 이다. 그러므로 C 참고 (1) 를 개뽑는대신 를 개뽑아도똑같이다음과같은식을얻는다. 보기이항정리를이용하여다음을전개하여라. (1) (2) 참고이항계수를다음과같은삼각형모양으로배열한것을파스칼의삼각형이라한다. 이때, (1) C 이므로좌우대칭이고 (2) 이므로이웃하는두수의합은 그두수의아래의중앙에있는수와같다. 이를이용하면이항계수를쉽게구할수있다. 의계수의계수의계수의계수 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 보기파스칼의삼각형을이용하여다음을전개하여라. (1) (2) 참고특정한한항을구하는경우 ( ⅰ) 전개의원리또는 ( ⅱ) 일반항 C 을이용한다. 보기 의전개식에서 의항의계수를구하여라. (1) C (2) C (3) C 설명 에서 을대입하면 C -----ᄀ 을대입하면 C -----ᄂ ᄀ ᄂ에서 C ᄀ ᄂ에서 C 보기 다음값을구하여라. (1) C (2) C - 13 -
THEMA 이항정리 이자연수일때, C 을이항정리라한다. 이때, C 을일반항, 각항의계수 C, C,, C 를이항계수라한다. 유형 : 계수구하기(1)-이항정리원리이용 이항정리를이용하여계수를구할때, 전개의원리를이용한다. 기본 의전개식에서 의계수를구하여라. p154, 핵심유형, 07 01. 이항정리를이용하여, 을전개하여라. p152, 기본유형익히기, 예제5 0 을전개하였을때 의계수는? 1 2 3 4 5 p154, 핵심유형, 09 03. 을계산하여그값을구하였을때 이연속하여나타나는것은 일의자리에서부터몇개인가? 1 1개 2 2개 4 4개 5 없다. 3 3개 고난도 p155, 고난도문항, 03 04. 등식 을전개하였을때 의계 수를, 의계수를,, 의계수를, 상수항을 이라고하자. 와 의값의차는? 1 2 154 4 94 5 72 3 01. 0 2 03. 2 04. 2-14 -
p155, 고난도문항, 04 04. 자연수 과 에대하여 을전개하였을때 의계수 가 가되었다. 의계수를 라고할때, 다음 < 보기> 중옳은것을모 두고른것은? -------------------< 보기>--------------------- ㄱ. 의값이 12 일때, 의값이최소가된다. ㄴ. 의최솟값은 이다. ㄷ. 의값이최소일때 의계수는 14 이다. ------------------------------------------- 1 ㄴ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 06번풀이 의전개식에서 의항은 C ---------------ᄀ또, 이므로 의항은 C C 수능 p156, 기출로맛보기, 03 05. 다항식 의전개식에서 의계수와상수항의합이 일때, 양의 상수 의값은? [3 점]<2007 수능> 1 2 3 4 5 -------------- ᄂ ᄀ과ᄂ에서 이때, 와 ( ) 이 자연수이므로 같다. 다음과 p156, 기출로맛보기, 03 06. 다항식 의전개식에서 의계수와다항식 의전개식에서 의계수가같게되는모든순서쌍 에대하여 의최댓값을구하시오. 다.) [4 점]<2006> ( 단, 는자연수이고, 은 인자연수이 의최대값은, 즉, 일때, 12 이다. 04. 4 05. 5 06. 12-15 -
유형 : 계수구하기(2)-일반항이용 복잡한경우( 미지수포함) 경우에는일반항을이용하여구한다. 기본 의전개식에서 의계수를구하여라. p152, 기본유형익히기, 유제5 01. 의전개식에서 의계수가 1280일때 의값을구하여라. 01. -2-16 -
THEMA 이항계수의 성질 이항계수의성질 에서 (1) C (2) C (3) C 유형 : 이항계수의값구하기 을생각한다. 기본다음값을구하여라. (1) C (2) C C C p152, 기본유형익히기, 예제6 01. log C C C 의값은? 1 2 3 4 5 p152, 기본유형익히기, 유제6 0 C C C C C 의값은? 1 2 3 4 5 p154, 핵심유형, 08 03. C C 일때 의값을구하여라. 01. 3 0 4 03. 45-17 -