8 장강체의회전운동 회전놀이기구 무엇이회전운동을일으키는가? 뉴턴의제 법칙은회전운동을하기위해서사용될수있는가? 선운동과회전운동사이에유사점이있는가? 1
8.1 회전운동이란무엇인가? 각변위 : 물체가얼마나회전했는지보여주는각 r s s r = π ([m] [m] ; radian) 원주율 s 1 revolution = π When d = r, θ r d d r = θ = 1 rad s r = π rad = 360
8.1 회전운동이란무엇인가? 각변위와회전속도 t 회전축 θ 1 θ t 1 θ θ 1 t t 1 = 각속도 분당회전속도 : rpm (revolution per minute) 각속도 θ ω = lim t 0 t = dθ dt (rev/s) (rad/s) 3
각가속도란무엇인가? 각가속도 (ω) : 각속도의변화율, 각속도의변화를걸린시간으로나누어얻는다., t ( rad / s ) d v a 4
선운동에서전개된식들에있는선형양대신회전양들로대치하여얻을수있다. 일정하게가속된선운동방정식과회전운동방정식의유사성 접선운동 v = v 0 + at d = v 0 t + 1 at 회전운동 ω = ω 0 + αt θ = ω 0 t + 1 αt 5
예제 8.1 ( 문 ) 회전놀이기구가정지상태에서출발하여 0.005rev/s 의일정한비율로가속된다고가정하자 a. 1분후에각속도는얼마인가? b. 이시간동안회전놀이기구는얼마나많은회전을하는가? a. 0.005rev / s, 0 0, t 60s,? 0 t 0 (0.005rev / s )(60s) 0.3rev / s b. 0 0,? 1 1 0t t 0 (0.005rev / s )(60s) 9rev 6
선속도와각속도는어떻게연관되는가? 놀이기구에있는사람의선속도와놀이기구각속도의관계 회전중심으로부터수직거리 r 만큼떨어진곳에있는사람이 각도 θ 만큼움직였을때원둘레를따라움직인원호의길이가 s 라면 사람의선속도는? v s t r t s s r r r t r 선속도는반지름 r 에비례하므로 v r = ω = θ t dθ dt = 1 r ds dt ω θ r r s v - 중심에서멀리있는사람의선속도가크다. 7
각가속도와구심가속도 접선성분 a = dv dt = rdω dt = rα ω r a v r = ω a r = α 지름성분 ( 구심가속도 ) a c = dv dt = v r = ω r a c a 8
예제 질량 m 인물체가반지름 r = 10 m 인원궤도를따라등속도로돌고있다. 이물체의접선방향의선속도는 v = 50m/s 이였다. a. 각속도는얼마인가? b. 각가속도는얼마인가? c. 구심가속도는얼마인가? v a. r = ω, ω = 50 m/s 10 m = 5 rad/s b. a = dv dt = rdω dt = rα, α = 0 r v c. a c = dv dt = v r = ω r, a c = (5rad/s) 10 m = 50 m/s 9
8. 토크와천칭 천칭 천칭은양쪽추의무게와지레받침으로부터의거리와의곱이같을때균형을이룬다. 지레받침으로부터같은거리에같은무게의추를올려놓으면균형을유지한다. 작은추의무게가반이면큰추보다지레받침으로부터두배나멀리떨어져야한다. 10
토크란무엇인가? 토크 (torque) 회전시키는힘 지레받침이나주어진축에대한토크는작용한힘과지렛대팔의곱과같다. 지렛대팔은회전축으로부터힘의작용선까지의수직거리이다. τ = l F τ = r F cos θ τ = r F F t r θ l 11
예제 8. ( 문 ) 추가없을때균형이잡혀있는막대위에놓여있는 5N의추를균형잡기위해서 3N의추를가지고있다. 5N의추는지레받침의오른쪽 0cm에위치하고있다. ( 반시계방향을 +) a. 5N의추에의해제공되는토크는얼마인가? b. 계의균형을잡기위해 3N의추를지레받침으로부터얼마의위치에놓아야하는가? a. F 5N, l1 0.m, 1 1? 1 Fl (5N)(0.m) 1N m 1 1 b. F 3N, l? 1 1N m 1 Fl l F 3N 1 3 m 1
물체의중력중심은무엇인가? 중력중심 중력중심 : 물체의무게자체가그점에대해서토크를만들지않는점 널판지를기울이게하지않고아이는얼마나멀리걸을수있는가? - 널판지의총무게가널판지의중력중심을통하여작용한다. - 회전점은도크의가장자리 - 회전점을중심으로널판지의토크와아이의토크를비교하여구할수있다. 13
평면물체의중력중심을찾아내는예 중력중심이물체내부에있지않는예 회전축 mg τ = 0 각각매달은점으로부터 직선을그린다음 두선의교차점이중력중심이다. 중력중심이회전중심의아래있으면 장난감광대를흔들어놓아도 자동으로똑바로선자세로돌아온다. 14
예제중력중심 ( 질량중심 ) 중력중심 ( 질량중심 ) y m 1 = 4 kg m = kg m 3 = 6 kg x 3 m 6 m Mx CM = m 1 x 1 + m x + m 3 x 3 M = m 1 + m + m 3 x CM = 4 1 3m + 1 0 + 6 1 6m = m 15
예제중력중심 ( 질량중심 ) 중력중심 ( 질량중심 ) y m 1 = 4 kg m = kg m 3 = 6 kg x 3 m m 6 m x CM τ 1 for m 1 τ 3 for m 3 m 1 gr 1 = 4kg g 5m = 0gkgm m 1 gr 1 = 6kg g 4m = 4gkgm τ for m m gr = kg g m = 4gkgm 16
예제 m 3 y 3 = 0. m 1m 30 1m y 0 = 0 m 1 m y y 1, = 1 m cos 30 0.87m y CM = m 1 M 0.87m + m M 0.87m + m 3 M 0.m If m 1 = m = m 3 = 1 3 0.87m + 1 3 0.87m + 1 3 0.m 0.51m 17
8.3 회전관성과뉴턴의제 법칙 선운동에서와같이회전운동에서도뉴턴의제법칙이적용된다. 관성 : 물체에운동의변화를줄때얼마나저항하는가하는양 회전관성이란무엇인가? 물체의회전운동의변화에대한저항의양 - 선운동에서의질량과같은양 ( 회전운동 ) 아이는회전놀이기구의가장자리에힘을가하고이힘은회전축에대하여토크를제공한다. 회전축에대한토크는, 이힘을놀이기구의반경으로주어지는지렛대팔로곱함으로써얻어진다. 18
뉴턴의제 법칙과비교 힘 F 는토크 τ, 선가속도 a 는각가속도 α 로대치할수있다. F t 질량 m 은어떠한양으로대신할수있는가? 매우가벼운막대의끝에집중되어있는하나의질량 - 힘 F 에의해회전시작 - 각가속도를갖기위해서는선속도를가져야한다 - 축에서멀수록빨리움직인다. 회전운동에대한저항은 ( 회전관성 ) - 질량이회전축으로부터떨어진거리의제곱에의존한다. τ = Iα I mr 접선방향의힘 F t = ma t 토크 τ = rf t = rma t = mr α F = ma 축과의거리 r a t r = α 19
회전운동의경우로확장된뉴턴의제 법칙 지휘봉의회전관성은막대끝에있는질량에의해결정 회전관성은중심으로부터질량까지의거리의제곱에비례 - 거리를 1/ 로줄이면, 회전관성은 1/4 - 거리를 배로하면, 회전관성은 4 배 I mr 주어진축에대한물체에작용하는알짜토크 그축에대한물체의회전관성을물체의각가속도로곱한것이다. τ Iα F ma 각가속도는토크를회전관성으로나눈것이다. τ I 0
예제 ( 회전관성 ) z I mr a b b a m I z = ma + ma +mb + mb a b b a I x = ma + ma x 1
회전놀이기구의회전관성구하기 회전놀이기구의회전관성은 - 질량의분포가다양하기때문에구하기힘들다. - 놀이기구를여러조각으로나눈후각조각의회전관성을구한후모두더하면총회전관성을구할수있다. m di = x dm I = l x dm 0 = ρ l 1 3 x3 l l = x 0 = 1 3 ml ρ l dx dm dm dm dm dm dm dm dm dm dm l ρ l = m l = dm dl
여러물체의회전관성 - 회전관성은축으로부터거리의제곱에비례 (a) > (b) - 평균질량이축에가깝게분포하면작아진다. 링 (d) > 원판 (c) > 속이찬구 (e) 3
예제 8.3 ( 문 ) 한회전놀이기구의회전관성은 800kgㆍm 이고반경은 m이다. 40kg의한아이가놀이기구의가장자리에앉아있다. a. 놀이기구의회전축에대한아이의회전관성은얼마이고, 아이를포함한놀이기구의총회전관성은얼마인가? b. 놀이기구에 0.05rad/s 의각가속도를내기위해요구되는토크는얼마인가? a. I 놀 800kgm, m 아 40kg, r m, I 아?, I 총? I 아 mr (40kg)(m) 160kgm I 총 I 놀 I 아 800kgm 160kgm 960kgm b. 0.05rad / s,? I (960kgm )(0.05rad / s ) 48N m 4
예제 질량 M=10kg 반지름 R=1m인균일한원판이고정된수평굴대에설치되어있다. 질량 m=1kg의벽돌이원판의가장자리에감겨있는질량을무시할수있는줄에매달려있다. 벽돌이떨어질때 (a) 벽돌의가속도 (b) 원판의각가속도 (c) 줄에 대한장력을각각구하여라. τ = Iα I = 1 MR ; disk α = a t R R τ = 1 MR a t R = 1 MRa t R T = τ = 1 MRa t M m F = T T = 1 Ma t 5
예제 질량 M=10kg 반지름 R=1m인균일한원판이고정된수평굴대에설치되러있다. 질량 m=1kg의벽돌이원판의가장자리에감겨있는질량을무시할수있는줄에매달려있다. 벽돌이떨어질때 (a) 벽돌의가속도 (b) 원판의각가속도 (c) 줄에 대한장력을각각구하여라. τ = Iα I = 1 MR ; disk α = a t R M T R F = T τ = 1 MR a t R = 1 MRa t R T = τ = 1 MRa t T = 1 Ma t T mg = ma m mg ma = 1 Ma t = ma + mg 1 Ma t ma = mg a t = mg 1 1.6m/s M + m
예제 질량 M=10kg 반지름 R=1m인균일한원판이고정된수평굴대에설치되러있다. 질량 m=1kg의벽돌이원판의가장자리에감겨있는질량을무시할수있는줄에매달려있다. 벽돌이떨어질때 (a) 벽돌의가속도 (b) 원판의각가속도 (c) 줄에 대한장력을각각구하여라. τ = Iα I = 1 MR ; disk α = a t R = 1.6m/s 1m M T R F = T τ = 1 MR a t R = 1 MRa t R T = τ = 1 MRa t T = 1 Ma t T mg = ma m mg ma = 1 Ma t = ma + mg = 1 (10kg)( 1.6m/s ) = 8N 1 Ma t ma = mg a t = mg 1 1.6m/s M + m
8.4 각운동량의보존 각운동량혹은회전운동량의개념 스케이트선수의회전 - 팔을뻗은채로회전을시작하고, 그런다음팔을몸안쪽으로당긴다. - 각속도는팔을안으로당기는동안증가하고, 팔을다시뻗으면감소한다. 각운동량개념의적용 - 스케이트선수 - 다이빙선수 - 체조선수 - 태양주위를도는행성의운동 8
각운동량이란무엇인가? 각운동량 ( 회전운동량 ) 회전관성과각속도의곱 : 선운동량은질량과선속도의곱 L I p mv ω r m F L = rp = rmv = rmrω = mr ω 언제각운동량은보존되는가? τ = r F L = r p 만일계에작용하는알짜외력이 0 이면, 계의총각운동량은보존된다. - 초기각운동량 - 최종각운동량 L L I i i I i f i I I f 초기각운동량 = 최종각운동량 f i f f dl dt = r dp dt = τ if L = 0 or const. dl dt = τ = r F = 0 dl = r dp = 0
회전운동에너지 회전운동에너지 : 회전체를이루고있는입자들이갖는운동에너지의합 r m v KE = 1 mv = 1 m(rω) = 1 mr ω v r = ω = 1 Iω = KE r I = mr 구가굴러서내려올때역학적에너지는보존된다. m r KE + KE r + PE = const. mgh = 1 mv + 1 Iω I = 5 mr h v =? v r = ω
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스케이트선수의각속도의변화 각속도는회전관성에반비례 ( 각운동량일정 ) 팔을뻗으면축으로부터질량의일부가멀어짐으로회전관성증가 : 각속도감소 팔을당기면축으로부터질량의일부가가까워짐으로회전관성감소 : 각속도증가 L I 다이빙선수 ( 턱자세 : 두무릎을구부려서양손으로안은자세 ) - 턱자세로들어가면회전관성감소 : 각속도증가 - 턱자세를풀면회전관성증가 : 각속도감소 3
예제 8.4 ( 문 ) 스케이트선수의회전관성은양팔을뻗었을때 1.kg ㆍ m 이고양팔을몸쪽으로당길때 0.5kg ㆍ m 이다. 만일그녀가양팔을뻗은채로회전을시작하여초기각속도가 1rev/s 이라면, 그녀가양팔을몸쪽으로당길때그녀의회전속도는얼마인가? I 뻗 1.kgm, I 당 0.5kgm, 뻗 1rev / s, 당? 각운동량보존법칙 I 뻗 뻗 I 당 당 I뻗 당 I 당 뻗 (1.kgm (0.5kgm.4rev / s ) (1rev / s) ) 33
예제 질량이 m인공이마찰이없는수평한책상위에놓여있고, 이책상가운데에뚫린작은구멍을통해줄에연결되어있다. 이공은반경이 R인원형경로를따라원운동을하며이때의속도가 v 0 이다. 아래쪽으로줄을잡아당겨서원형경로의반경이 r로줄어든다면이공의최종속도 v 는얼마인가? τ = r F t = 0 F t = 0 F R v 0 m τ = dl dt = 0 L = rp Rmv 0 = rmv v = R r v 0 34
요요 (yo-yo) 의기교 요요에작용하는두힘 - 중력 : 아래로작용하는요요의무게 - 장력 : 위로작용하는줄에작용하는힘 요요의두가지동작 - 중력이장력보다커야아래로가속된다. - 장력은중심선을벗어난선을따라작용 ( 그림 ) : 반시계방향회전 - 줄의끝에서큰각운동량을가진다. 1) 반대방향의외부토크가없으면각운동량은보존된다. - 따라서줄끝에서계속회전하게된다. : 잠자는 동작 ) 줄의끝에도달하는순간줄을가볍게잡아당기면 - 위방향으로가속된다. : 되돌아오는 동작 35
케플러의제 법칙 태양에대한행성의궤도 중력의방향과팔의방향이나란하므로토크는 0이된다. 외력에의한토크가 0이므로각운동량은보존된다. 행성이태양가까이지나게되면거리가가까우므로회전관성이작아지고각운동량이보존되기위하여선속도가빨라진다. 결과적으로행성이쓸고간면적은같다. 줄에달린공의실험 - 줄이돌면서손가락을휘감으면회전반경감소, 회전관성감소, 각속도증가 - 줄이풀리면각속도감소 36
8.5 자전거타기와다른놀라운재주들 자전거가멈추고있을때에는잘넘어지지만 바퀴가돌고있으면잘넘어지지않는다. ( 동영상 ) v F t L i R F 37
8.5 자전거타기와다른놀라운재주들 자전거가멈추고있을때에는잘넘어지지만 바퀴가돌고있으면잘넘어지지않는다. v F t τ = dl dt L i R F 38
8.5 자전거타기와다른놀라운재주들 자전거가멈추고있을때에는잘넘어지지만 바퀴가돌고있으면잘넘어지지않는다. v F t τ = dl dt L L i L f F R 39
회전하는의자와팽이 돌고있는바퀴를기울이면중력에의한토크가작용되고 이토크에의하여바퀴에의한각운동량의방향이바뀌게된다. 이러한이유로자전거를기울이기만함으로서방향을바꿀수있다. 40