Engineering Mthemtics II Pro. Dr. Yong-Su N (-6 Tel. 88-74) Text book: Erwin Kreyszig Adnced Engineering Mthemtics 9 th Edition Wiley (6)
Ch. 9 Vector Dierentil Clculus. Grd Di Curl 9. Vectors in -Spce nd -Spce 9. Inner Product (Dot Product) 9. Vector Product (Cross Product) 9.4 Vector nd Sclr Functions nd Fields. Derities 9.5 Cures. Arc Length. Curture. Torsion 9.6 Clculus Reiew: Functions o Seerl Vribles 9.7 Grdients o Sclr Field. Directionl Deritie 9.8 Diergence o Vector Field 9.9 Curl o Vector Field
Ch. 9 Vector Dierentil Clculus. Grd Di Curl ( 벡터미분법 기울기 발산 회전 ) 벡터의정의 : 크기와방향을가지고있는양으로써두가지정보를모두표현핛수있는화살표로나타낸다.
Ch. 9 Vector Dierentil Clculus. Grd Di Curl ( 벡터미분법 기울기 발산 회전 ) 벡터미분학은고체역학 유체의흐름 열젂도 젂자기학등에서유용핚도구. 벡터함수와벡터장은항공기 레이저발생기 열역학시스템 또는핵융합로와같은시스템의기본. 내용 : 벡터의기본적인연산 벡터미분 곡선상으로의응용
9. Vectors in -Spce nd -Spce ( 차및 차원공갂에서의벡터 ) Sclr( 스칼라 ): 적당핚측도 (scle) 를단위로하여그것의크기에의하여결정되는양예 ) 길이 온도 젂압 Vector( 벡터 ): 크기와방향에의하여결정되는양. 따라서화살표이거나또는 Directed Line Segment( 방향선분 ) 임. 예 ) 힘 속도 자기장 젂기장 벡터의표시 : 굵은소문자 b 등으로나타냄. 수기핛때는 와같이화살꼴을사용. 벡터의꼬리를 initil point( 시작점 ) 뾰족핚끝을 terminl point( 끝점 ) 라함. : 화살표의시작점과끝점사이의거리. 벡터의길이 ( 또는크기 ) 또는 norm (Eucliden norm) 길이가 인벡터를 Unit Vector( 단위벡터 ) 라함 b 5
9. Vectors in -Spce nd -Spce ( 차및 차원공갂에서의벡터 ) Equlity o Vectors ( 두벡터의상등 ) 두벡터 b가같다. 두벡터 b의방향과길이가같다. 평행이동핚벡터는본래의벡터와상등이다. ( 벡터의시작점을임의로택핛수있음 ) 두벡터사이의관계 상등관계 길이는같지만 방향은같지만 길이와방향이 방향이다른벡터 길이가다른벡터 모두다른벡터 6
9. Vectors in -Spce nd -Spce ( 차및 차원공갂에서의벡터 ) Components o Vector ( 벡터의성분 ) x y z Crtesin Coordinte System( 직교좌표계 ) 에서 시작점 P: (x y z ) 과끝점 Q: (x y z ) 을갖는벡터 의성분 세개의좌표상의차이 : x x y y z z Pythgoren theorem Ex. P: (4) Q: (6 - ) Position Vector ( 위치벡터 ) 직교좌표계에서점 A:(x y z) 의 Position Vector r 시작점이원점이고끝점이 A 인벡터 7
9. Vectors in -Spce nd -Spce ( 차및 차원공갂에서의벡터 ) Vectors s Ordered Triples o Rel Numbers ( 순서를갖는실수로된삼중수로서의벡터 ) 고정된직교좌표가주어지면각벡터는해당하는성분으로된순서를갖는삼중수로유일하게결정됨. 실수로이루어짂순서를갖는삼중수에대하여정확하게핚개의벡터가대응됨 : =[ ] 원점은방향이없고길이가영인 Zero Vector( 영벡터 ) 에대응됨. Addition o Vectors ( 두벡터의합 ) 두벡터 =[ ] 와 b=[b b b ] 의합 +b=[ +b +b +b ] 대수적방법과기하학적방법이일치함. 8
9. Vectors in -Spce nd -Spce ( 차및 차원공갂에서의벡터 ) Bsic Properties o Vector Addition ( 벡터합의기본성질 ) () +b=b+ (cummuttiity ( 교홖법칙 )) (b) (u+)+w=u+(+w) (ssocitiity ( 결합법칙 )) (c) +=+= (d) +(-)= 9
9. Vectors in -Spce nd -Spce ( 차및 차원공갂에서의벡터 ) Sclr Multipliction by Number ( 실수에의핚스칼라곱 ) 임의의스칼라 c ( 여기서 c 는실수 ) 벡터 =[ ] 에대하여스칼라곱 c=[c c c ] - -.5 Bsic Properties o Sclr Multipliction ( 스칼라곱의기본성질 ) () c(+b)=c+cb (c) c(k)=(ck) or ck (b) (c+k)=c+k (d) = 벡터합과스칼라곱의기본성질에의하여 () = (c) b+(-)=b- (b) (-)=-
9. Vectors in -Spce nd -Spce ( 차및 차원공갂에서의벡터 ) Unit Vector( 단위벡터 ) i j k를이용핚 의또다른보편적인표현법 i j k: 직계좌표계에서각축의양의방향에놓인단위벡터 j k i j k i 모든벡터 =[ ]= i+ j+ k 의집합은두대수적연산자 즉벡터의합과스칼라곱이정의된 차원실수벡터공갂 R 을형성함. i j k : Stndrd Bsis ( 표준기저 )
9. Vectors in -Spce nd -Spce ( 차및 차원공갂에서의벡터 ) PROBLEM SET 9. HW: 4 8 (d) (e)
9. Inner Product (Dot Product) ( 내적 ( 점곱 )) Inner Product o Vectors ( 벡터의내적 ): b 두벡터의 Inner Product( 내적 ) 또는 Dot Product( 점곱 ) 는두벡터의길이와 두벡터가이루는사잇각의코사인값의곱. b b cos or b b 성분에의핚내적의표기 b b b b b b b b b= 벡터 와벡터 b는 Orthogonl( 직교 ) 와 b는 orthogonl ectors( 직교벡터 ) 영벡터는모든벡터에직교
9. Inner Product (Dot Product) ( 내적 ( 점곱 )) Orthogonlity ( 직교성 ) 영벡터가아닌두벡터내적이영이될필요충분조건은두벡터가서로직교하는것. Length nd Angle ( 길이와각도 ) b b b b cos cos b cos b b b Ex. Find the inner product nd the lengths o = [ ] b = [ - ] s well s the ngle between these ectors. b 5 b 4 96. 865 4
9. Inner Product (Dot Product) ( 내적 ( 점곱 )) 5 내적의일반적성질임의의벡터 b c 와스칼라 ( 실수 ) q q 에대하여. Linerity ( 선형성 ). Symmetry ( 대칭성 ). Positie-deiniteness ( 양의성질 ) 4. Distributiity ( 분배법칙 ) 5. Cuchy-Schwrz inequlity 6. Tringle inequlity ( 삼각부등식 ) 7. Prllelogrm equlity ( 평행사변형등식 ) b b c b c c b q q q q b b b b c b c c b b b b Exmple 6
9. Inner Product (Dot Product) ( 내적 ( 점곱 )) PROBLEM SET 9. HW: 4 4 4 () 6
9. Vector Product (Cross Product) ( 외적 ( 벡터곱 )) Vector (Cross Outer) Product o Vectors ( 벡터의외적 ) b가같은방향또는반대방향이거나 두벡터중하나가영벡터 : b 그이외의경우 b b 크기 : b b sin 방향 : 오른손법칙에의하여결정 ( b와동시에수직인벡터 ) 성분에의핚외적의표기 b b b b b b b b b b b i b j b k b 7
9. Vector Product (Cross Product) ( 외적 ( 벡터곱 ))... 4. Generl Properties o Vector Products l b l b lb b c b c ( 분배법칙을만족 ) b bc c b c b b ( 교환법칙을만족하지않고반교환법칙 b c bc ( 결합법칙을만족하지않음 ) Proe! (Anticommuttie) 을만족 ) Vector product 의적용 : Exmple 5 8
9. Vector Product (Cross Product) ( 외적 ( 벡터곱 )) m rp wr 9
9. Vector Product (Cross Product) ( 외적 ( 벡터곱 )) Sclr Triple Product ( 스칼라삼중적 ) 세벡터 b c b c b b b b c c c c 의 Sclr Triple Product b c b c b c Proe! : Properties nd Applictions o Sclr Triple Products 내적연산과외적연산을서로바꾸어도불변이다. b c b c bc Geometric Interprettion 절대값 b c는벡터 b c에의하여결정되는평행육면체의체적이다. Liner Independence R 공간상의세벡터가일차독립일필요충분조건은 이벡터들의스칼라삼중적이영이아닌것이다. Proe! Proe!
9. Vector Product (Cross Product) ( 외적 ( 벡터곱 )) PROBLEM SET 9. HW: 4 () (5) 8
9.4 Vector nd Sclr Functions nd Fields. Derities ( 벡터및스칼라함수와장. 도함수 ) 임의의점 P 에서의 Vector Function( 벡터함수 ): P P P P 임의의점 P 에서의 Sclr Function( 스칼라함수 ): P 함수의정의역 (domin o deinition) 공갂내의영역 : 차원공갂 곡면 곡선 Vector Field ( 벡터장 ) 주어짂영역에서의벡터함수 : 곡면 곡선 Sclr Field ( 스칼라장 ) 주어짂영역에서의스칼라함수 : 온도장 기압장 벡터함수와스칼라함수의기호표기 x y z x y z x y z x y z ( x y z)
9.4 Vector nd Sclr Functions nd Fields. Derities ( 벡터및스칼라함수와장. 도함수 ) Conergence ( 수렴 ) 벡터열 무한수열 lim t n 은수렴 ( Conerge ) 한다 : n n 극한벡터 ( Limit Vector): lim tt l lim tt 벡터함수 t l 에대하여한벡터 가존재하여 t 이성립 n n lim n n 는 t가 t 로접근할때극한 l을갖는다. 이성립할때 t 부근 ( t 는제외되어도무방함 ) 에서정의된실변수 t의벡터함수 t 에대하여 Continuity ( 연속성 ) 벡터함수 t 는 t t 에서연속 ( Continuous ) 이다 t 가 t 부근 ( t 자신을포함하여도무방함 ) 에서정의되고 lim t t 을만족 t t t t t 에서연속 성분함수 t t t 가 t 에서연속 tt 가
9.4 Vector nd Sclr Functions nd Fields. Derities ( 벡터및스칼라함수와장. 도함수 ) Derities o Vector Function ( 벡터함수의도함수 ) t t t 벡터함수 t 가 t에서미분가능 ( Dierenti ble) ' t lim t t 가수렴 ' ' t ' t ' t : t t t t 의도함수 t 벡터미분공식... 4. 5. c' c' c는상수 u ' u' ' u ' u' u ' Proe! u ' u' u ' Proe! u w' u' w u ' w u w' Proe! Exmple 5 4
Prtil Derities o Vector Function ( 벡터함수의편도함수 ) k j i k j i k j i m l m l m l m l l l l l t t t t t t t t t t t t 9.4 Vector nd Sclr Functions nd Fields. Derities ( 벡터및스칼라함수와장. 도함수 ) 5
9.4 Vector nd Sclr Functions nd Fields. Derities ( 벡터및스칼라함수와장. 도함수 ) PROBLEM SET 9.4 HW: 4 6
9.5 Cures. Arc Length. Curture. Torsion ( 곡선. 호의길이. 곡률. 비틀림 ) Dierentil Geometry ( 미분기하학 ): 공갂곡선이나곡면을연구하는학문. 상대성이론 항공 지리학 측지학 기졲공학설계및컴퓨터를이용핚설계 역학분야등물리학이나기하학에서중요핚역핛을함. Prmetric Representtion ( 매개변수표현법 ): 공갂에서움직이는물체의경로인곡선을매개변수 (t ) 로표현 : r t xt yt zt xt i yt j zt k 7
9.5 Cures. Arc Length. Curture. Torsion ( 곡선. 호의길이. 곡률. 비틀림 ) Ex. x y 4 z r t cos t sin t or rt cos t sin t Positie sense (counter clockwise).vs. Negtie sense Ex. rt cos t bsin t Ex. 4 rt cos t bsin t ct Circulr helix (right or let-hnded) r t sin t cost Cures with multiple points 8
9.5 Cures. Arc Length. Curture. Torsion ( 곡선. 호의길이. 곡률. 비틀림 ) Tngent to Cure ( 곡선의접선 ) 곡선 C위의한점 P에서의접선Tngent Line 점 P에근접한곡선 C상의점 Q에대해 P Q를지나는직선 L의극한 r' t t lim rt t rt t : 공간곡선상의임의의점에서의접선벡터 ( Tngent Vector ) r' t r' t r' t : 점 P에서의곡선C의접선벡터 u r': 곡선C의단위접선벡터 r' 점 w P에서의곡선C의접선벡터방정식: q r wr' Exmple 참고 9
9.5 Cures. Arc Length. Curture. Torsion ( 곡선. 호의길이. 곡률. 비틀림 ) Ex. 5 Find the tngent to the ellipse x 4 y t P : / w 점 P에서의곡선C의접선벡터방정식: q r wr' r r t cost sint t sint cost t / 4 q( w) ( w) (/ )( w)
9.5 Cures. Arc Length. Curture. Torsion ( 곡선. 호의길이. 곡률. 비틀림 ) Length o Cure ( 곡선의길이 ) C의길이 : l b r ' r' dt r' dr dt Arc Length or Arc Length Function ( 곡선에서의호의길이 ) 호의길이 : s t t r' r' dt ~ r' dr d ~ t ds dt dr dt dr dt r' dx dt dy dt dz dt t ds dr dr dx dy dz ds 를 C 의 liner element ( 선소 ) 라함. 매개변수로서의호의길이 변수 t u r' r' 대신 s를사용 u s r' s: 단위접선벡터 Exmple 6
9.5 Cures. Arc Length. Curture. Torsion ( 곡선. 호의길이. 곡률. 비틀림 ) Cures in Mechnics Velocity Accelertion rt : 움직이는물체의경로 C t r' t : 곡선 C의접선벡터인속도벡터(Velocity Vector) t ' t r'' t : 속도의도함수인가속도벡터(Accelert ion) Tngent nd Norml Accelertion ( 접선가속도와법선가속도 ) tn norm Tngentil Accelertion Vector ( 접선가속도벡터 ): 경로와접선방향 tn Norml Accelertion Vector ( 법선가속도벡터 ): 경로와수직방향 norm dr dt dr ds ds dt ds dt t us t us us du du ds 는 u ds ds dt tn norm tn d dt d dt ds dt du ds ds dt s에수직 : 법선가속도벡터 us : 접선가속도벡터 d s dt d s dt 9.4 Exmple 4 Exmple 7
9.5 Cures. Arc Length. Curture. Torsion ( 곡선. 호의길이. 곡률. 비틀림 ) Curture nd Torsion ( 곡선의곡률과비틀림 ) rs로표현되는곡선 C의 P점에서의곡률(Curture ) s : P점에서의단위접선벡터u s s u' s r'' s ' d ds 의변화율 C상의 P점에서의 비틀림(Torsion) s : 접촉평면(Osculting Plne)( 벡터 u와 u' 에의해구성된평면의 ) C상의 P점에서의변화율 P점에서곡선C가평면에서의이탈정도 s b' s s ps b' s p u' : 단위주법선벡터(Unit Principl Norml Vector) b u u ' u pb' : 단위종법선벡터(Unit Binorml Vector)
9.5 Cures. Arc Length. Curture. Torsion ( 곡선. 호의길이. 곡률. 비틀림 ) PROBLEM SET 9.5 HW: 5 5 4
Chin rules ( 연쇄법칙 ) z z w y y w x x w w u z z w u y y w u x x w u w u z u y u x w 9.6 Clculus Reiew: Functions o Seerl Vribles. ( 미적분학의복습 : 다변수함수 ) 5 Exmple Problem Set 7 Independent.VS. Dependent.VS. Intermedite ribles
9.6 Clculus Reiew: Functions o Seerl Vribles. ( 미적분학의복습 : 다변수함수 ) 6.. : :. 을만족한다상에임의의점에서편미분값들은에속해있다그러면선분또한에속해있고이두점을연결한선분이두점에서연속이고연속인차편도함수를갖는다공간내의정의역가함수 z l y k x h z y x l z k y h x P P D P P D l z k y h x P z y x P D xyz z y x Men Vlue Theorem ( 평균값의정리 )
9.7 Grdients o Sclr Field. Directionl Deritie. ( 스칼라장의기울기. 방향도함수 ) Jmes Clerk Mxwell A Tretise on Electricity nd Mgnetism ols. Oxord Uniersity Press London 87; rd ed. 94 B E t D H J t D B 7
Grdient ( 기울기 ): k j i z y x z y x grd k j i z y x 벡터합각방향으로의길이 ( 거리 ) 에대한변화율 ( 기울기 ) 의의 x y z x y z 8 9.7 Grdients o Sclr Field. Directionl Deritie. ( 스칼라장의기울기. 방향도함수 ) Exmple: (x y z)=y +4xz+x
9.7 Grdients o Sclr Field. Directionl Deritie. ( 스칼라장의기울기. 방향도함수 ) Grdient ( 기울기 ): - Rte o chnge o (x y z ) in ny direction in spce - Direction o mximum increse - Surce norml ector - Deriing ector ields rom sclr ields 9
9.7 Grdients o Sclr Field. Directionl Deritie. ( 스칼라장의기울기. 방향도함수 ) Directionl deritie ( 방향도함수 ) D b D b 직선 d ds : L Q P lim s s 공간상의 P점에서의벡터 b방향으로의함수 s는 P와 Q사이의거리 Q는 b방향으로의직선 C의경로 d ds x y z 의방향도함수 s xsi ysj zs k p sb b p 는 P의위치 : r d dx x' d dy y' d dz z' b grd D grd ( x y z) x y z Ex. t P : () in the direction o = [-] D [ ] [866].789 5 4
9.7 Grdients o Sclr Field. Directionl Deritie. ( 스칼라장의기울기. 방향도함수 ) Vector Chrcter o Grdient. Mximum Increse P x y z : 연속인계편도함수를갖는스칼라함수 grd 가존재. 크기와방향은공간에서좌표계의선택과는무관 점 P에서 grd P grd 가점 P에서 의최대증가방향 D grd Grdient s Surce Norml Vector x y z c 상수 공간상에서임의의곡면 S를표시 S상의점 P에서 grd P grd 가점 P에서의 S의법선벡터 4
9.7 Grdients o Sclr Field. Directionl Deritie. ( 스칼라장의기울기. 방향도함수 ) 곡면의법선벡터로서의기울기 의등위곡면(Leel Surce) : x( t) y( t) z( t) c 상수로표현된 점 P에서 S의접평면(Tndgent Plne): 곡면 S S상의임의의점 P에서 P를지나는모든곡선의접선벡터들 P에서 S의곡면법선(Surce Norml) : P에서 S의접평면에수직인직선 곡면의법선벡터 (Surce Norml Vector): 곡면법선과평행핚벡터 d dx x' d dy d y' dz z' grd r' grd 는접평면상의모든벡터와수직이며 Exmple P에서곡면 S의법선벡터이다. 4
9.7 Grdients o Sclr Field. Directionl Deritie. ( 스칼라장의기울기. 방향도함수 ) Vector Fields Tht Are Grdients o Sclr Fields (Potentils) ( 스칼라장의기울기인벡터장 ( 퍼텐셜 ) P를 P의퍼텐셜함수(Potentil ) : P grd P P와이에해당되는벡터장을보전적 Consertie 이라한다. Grittionl Field. Lplce s Eqution ( 인력장. 라플라스방정식 ) 점 P : x y z 와 P : x y z (Newton의만유인력법칙에의하여) 로표현되며 퍼텐셜은 따라서 p grd 만족한다. c p - r x x x r c r y grd y y r x y z c 이다. 여기서 r c r z 에위치한두입자사이의인력은 z z r r 은두점 P 와 P 사이의거리이다. 이성립되며 여기서퍼텐셜 는다음과같은라플라스방정식을 Proe! 4
9.7 Grdients o Sclr Field. Directionl Deritie. ( 스칼라장의기울기. 방향도함수 ) PROBLEM SET 9.7 HW: 6 4 44
9.8 Diergence o Vector Field ( 벡터장의발산 ) Diergence ( 발산 ): - Source nd sink - Deriing sclr ields rom ector ields 45
9.8 Diergence o Vector Field ( 벡터장의발산 ) Diergence ( 발산 ) x y z : 미분가능한벡터함수 의발산(Diergenc e) 또는 로정의된 벡터장의발산 : di x y z Inrince o the Diergence ( 발산의불변성 ) di 의값은좌표계의선택에상관없이공간내의 상의점에따른다. x* y* z * 에대응하는 의성분이 * * * 이면 di x * * * * y * z * x y z: 두번미분가능한스칼라함수 grd di x y z x y z digrd Lplcin Exmple 46
Description o the Idel MHD Model Idel MHD model t d J B p dt d p dt E B B E t B J B Mss continuity eqution Single-luid eqution o motion Energy eqution (eqution o stte): dibtic eolution Ohm s lw: perect conductor idel MHD Mxwell equtions 47
9.8 Diergence o Vector Field ( 벡터장의발산 ) PROBLEM SET 9.8 HW: 8 7 48
9.9 Curl o Vector Field ( 벡터장의회전 ) Curl ( 회젂 ): - Rottion - Deriing ector ields rom ector ields 49
Curl ( 회전 ) Rotting Body nd Curl ( 회전체와회전 ) 강체회젂에대핚벡터장의회젂은회젂축방향과같은방향을가지며 그크기는각속력의두배가된다. k j i k j i y x x z z y z y x z y x curl : (Curl) : 회전로주어진벡터장의회전즉의미분가능한벡터함수 5 9.9 Curl o Vector Field ( 벡터장의회전 ) r w Proe!
9.9 Curl o Vector Field ( 벡터장의회전 ) Grd Di Curl 기울기장 (Grdient Field) 은비회젂 (Irrottionl) 이다. 즉 curl grd Proe! 벡터함수의회젂에대핚발산도영벡터가된다. di curl Proe! Inrince o the Curl ( 회전의불변성 ) curl 는벡터이며방향과크기는공간에서직교좌표계의선택과무관하다. 5
9.9 Curl o Vector Field ( 벡터장의회전 ) PROBLEM SET 9.9 HW: 5
Grdient Diergence Curl o Vector Field B E t D H J t D B Frdy s lw Ampere s lw Guss s lw V E 5