제 3 강계량경제학 Review Par I. 단순회귀모형 I. 계량경제학 A. 계량경제학 (Economerics 이란? i. 경제적이론이설명하는경제변수들간의관계를경제자료를바탕으로통 계적으로추정 (esimaion 고검정 (es 하는학문 거시소비함수 (Keynse. C=f(Y, 0<f < : 경제이론. C = α + βy+ε : 계량경제모형 a. 자료를바탕으로변수들의관계를정량적으로추정하기위해서는 보다구체적인함수형태가요구됨 b. 변수들의관계를확정적으로성립하는관계가아닌통계적으로성 립하는관계로봄 : ε 이라는확률변수가오차항 (error erm 으로포 함됨 c. C: 종속변수 (Dependen Variable, Y: 설명변수, 독립변수, α, β, : ( 알려 지지않음 모수 (unknown parameers 3. 경제자료 : 변수들에대한관측치 a. 통제된자료 : 통제된실험으로부터산출된자료 b. 통제되지않은자료 : 통제되지않는실험의결과에서산출된자료 c. 시계열자료, 횡단면자료, 패널자료 B. 실증연구의절차 i. 주장하고검증받고자하는경제적이론의제시 변수들간의수학적관계 로나타남 이러한경제적이론을바탕으로계량경제모형을제시 i 필요한자료를습득하고계량경제모형을추정, 즉모수들의값을추정 iv. 추정결과로부터경제적이론이제시하는변수들의관계에대한통계적검 정을실시 v. 결과를해석하고평가
II. 단순선형회귀모형 A. 단순선형회귀모형의가정 y = β+β +ε, =,..., i. E ( ε = 0 E ( y = β+β i V ( ε =σ V ( y = σ iv. Cov( εi, ε j = 0 ( i j Cov y, y = 0, i j v. 는확률변수가아니며, 는적어도두개의다른값을가져야한다. vi. ε N ( 0, σ ( 경우에따라필요한가정임 B. 단순회귀모형에서의모수의추정 i. 단순회귀모형 y i 부터모수들의값을추정. 추정된값을 b, 음 a. 여기서 ˆ =β +β +ε,,..., = 에서관측된 와 y 의자료로 b 라하면 y = b ˆ + b +ε,,..., ˆ = 로쓸수있 ε y b b 로정의되면잔차 (residual 라고하고, y b + b 를적합선 (fied line 또는회귀선 (regression line 이라 고함 < 그림 > 알려지지않은실제 (rue 회귀선과추정된회귀선 최소제곱추정 (he Leas Squared Esimaion. 잔차의제곱의합을최소로만들어주는모수의값을찾는추정방법 a. 관측치들의적합선으로부터의수직거리의합을최소화시켜주는적합선을찾는것임 b. min ( εˆ ( y b b S( b, b b, b
i. (, S b b b (, S b b ( y b b = 0 = 0 b c. 정규방정식 (normal equaions i. = 0 y b b = 0 b + b = y b + b = y. 단순선형회귀모형에대한최소제곱추정치 a. b ( ( y y ( ( y y = = b = y b b. c. y 들이실현된관측치가아닌확률변수일때, b, b 는추정치 III. 가아닌추정량이고이를최소제곱추정량이라고함최소제곱추정량의특성 A. 단순선형회귀모형에대한가정 i v 가충족되는경우단순선형회귀모형에대한최소제곱추정량은다음과같은성질을갖는다. i. 불편추정량. E( b =β, E( b = β 일치추정량. V ( b σ = 0 (, as. V ( b σ = 0 ( as i iv. 선형추정량. b = w y, b = w y a. 즉추정량이확률표본의선형결합으로표현되는추정량임 BLUE (Bes Linear Unbiased Esimaor 3
. 가우스 - 마코프정리 (Gauss-Markov heorem: 단순선형회귀모형에대한 가정 i v 하에서 β, β 에대한최소제곱추정량은모든선형불편 추정량가운데가장작은분산을갖는다.. 선형불편추정량의범주내에서최소제곱추정량외의다른추정량을고려할필요는없다. B. 단순선형모형에대한가정 vi ( 정규분포에대한가정 이충족되는경우최소제곱추정량은다음과같은분포를한다. i. N β, ( b σ, b σ N β, (. 정규분포를하는독립인두확률변수의선형결합은정규분포이며, 정규분포를하는두확률변수의공분산이 0일때, 두확률변수는독립임 vi 을가정하지않더라도충분히 가크면중심극한정리에의해위와같은분포로최소제곱추정량의분포를근사할수있음 C. 오차항의분산 σ 에대한추정 i. 잔차를 εˆ y b b 오차항에대한대용변수로간주할수있으며, 이를이용하여오차항의분산에대한추정량을구축할수있음 i εˆ. σ 에대한불편추정량. 로나누어주는것은잔차의자유도로나누어주는것이며 는 추정하고자하는모수의숫자와같다 이를이용해서최소제곱추정량의분산에대한추정량역시도출할수있음. V ( b = (, V ( b = ( a. 표준편차에대한추정량을특별히표준오차 (sandard error 라함 IV. 단순회귀모형에서의추론 A. 구간추정량 ( 신뢰구간 의도출 i. 오차항의분산 σ 이알려진경우, 가정 vi 하에서 b β. Z = N( 0, SD b. 예컨대 95% 구간추정량은다음과같이도출됨 4
3. P( Z.96 < <.96 = 0.95 b β P < < = SD( b.96.96 0.95 b β P < < = SD( b.96.96 0.95 ( P b.96 SD b <β < b +.96 SD b = 0.95 ( b.96 SD( b, b +.96 SD( b 실제로는 σ 를알수없으므로, 그불편추정량을이용함. b β =, 단 SE ( b SE ( b = ( a. V εˆ ( = χ σ σ b. b, b 와 ˆσ 는서로확률적으로독립 c. Z V ( b β SD b = = σ b β SE b. 예컨대, 95% 구간추정량은다음과같이도출됨 3. P( < < = 0.05, 0.05, 0.95 b β P 0.05, < < 0.05, = 0.95 SE ( b ( b 0.05, SE( b, b + 0.05, SE( b B. 가설검정 i. 양측검정. 가설 : H0 : β = c, H: β c. b c 검정통계량 : = SE b 5
3. 유의수준이 α로주어졌을때, 기각역은, α,, α,, 즉 α 이거나, α, 일경우, 귀무가설을기각함 < 그림 > 양측검정 단측검정. 가설 : H0 : β = c, H: β > c 또는가설 : H0 : β c, H: β > c. b c 검정통계량 : = SE b 3. 유의수준이 α로주어졌을때, 기각역은,, α, 즉 α, 일경우, 귀무가설을기각함 4. 가설 : H0 : β = c, H: β < c 또는가설 : H0 : β c, H: β < c 일경우, 기각역은, α, 이며, 즉 α, 일때기각함 i P 값 (p-value. p 값은주어진검정통계량의값에대해귀무가설을기각하기위한최소크기의유의수준임 a. 양측검정의경우 : p value P ( =, 단 는검정통계 량의표본값 b. 우측단측검정의경우 : p value = P ( 6
c. 좌측단측검정의경우 : p value = P ( iv. 유의성검정 (es of significance. 설명변수과종속변수간에통계적으로유의한관계가있는가? 에대한검정. H0 : β = 0, H: β 0 b 3. = : 컴퓨터에서자동적으로보고함 SE ( b < 그림 > Eviews 추정결과예 C. 최소제곱예측 i. 추정결과를예측에활용할수있음 0 이주어졌을때, y0 = β +β 0 +ε0 에 대한 최소제곱예측 ( 값 은 ŷ0 = b+ b0로주어짐 i f yˆ 0 y0 를예측오차라하며 V ( f E( f = 0, 임 =σ + + ( 0 (. y0 에대한 95% 예측구간은충분히큰관측치나정규분포의가정하에 0, 7
서, yˆ SE( f, yˆ + SE( f 0 α 0 α,, 로주어짐 V. 단순선형회귀모형의기타이슈들 A. 결정계수 (coefficien of deerminaion i. 종속변수 y 의변동성을설명되는부분과설명되지않는부분으로분할 종속변수 y 의총변동성 : i 설명되는변동성 : ( ˆ iv. 설명되지않는변동성 : SSE v. SS = SSR + SSE : 분산분석 y y : oal Sum of Squares (SS or SS = y y : Regression Sum of Squares(RSS or SSR = = = y yˆ = εˆ. 모형전체의설명력을나타내는지표 0 R R :Error Sum of Squares(ESS or SSR SSE SS = SS : 결정계수. 3. 단순회귀모형에서의결정계수는설명변수와종속변수간의표본상관계수의제곱과같음 B. 단위의변경과추정결과. 변수들의측정단위를변경하는것은결정계수나 검정통계량의값에영향을주지않는다.. 의단위변경은 의계수에대한추정량의크기에만영향을줌 a. y =β + ( cβ +ε c 3. y 의단위변경은모든계수의추정량의크기에영향을주며, 오차항분산의추정량의크기에도영향을줌 y β β ε = + + a. c c c c C. 단순선형회귀모형의여러가지형태 i. log-log 모형 : ln y ln. β : y 의 에대한탄력성 역수모형 : = β+β +ε y =β +β +ε ln y i log- 선형, 선형 -log: = β+β +ε, y = β+β ln +ε 8