경영학을 위한 수학 Fial Eam 5//(토) :-5: 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오.. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 4 ( ) (a) ( )4 8 8 (b) d이 성립한다. d C C log log (c) 이다. 양변에 적분을 취하면 log C (d) 라 하자. 그러면 d 4이다. 9 9 4 / si (e) cos si si cos 임을 이용하자. cos 라 하면 cos si d 이다. si d log C log ( cos ) C 이다. cos / / si log ( cos ) log cos
. (5점) 다음 무한급수를 정적분을 이용하여 나타내고 그 값을 구하시오. lim X lim k k X lim k k [log( )] log. (각 점) f () si 에 대하여 (a) f 의 역함수 g f 가 존재함을 보이시오. f () cos > 이다. 단조증가함수이므로 일대일대응이고 역함수 g가 존재한다. g()를 구하시오. (b) g() 이고 g() 이다. f (y)dy y si y dy y cos y g()d ( ) 4. 5톤의 물이 들어 있는 저수지에 현재.4% 농도의 오염물질이 들어있다고 한 다. 이 저수지에 오염물질 농도가.%인 5톤의 물이 매일 흘러 들어가고 같은 양의 물이 흘러 나온다고 한다. 오염물질은 항상 균일하게 퍼져있다고 가정하고 지금부터 일 후 저수지에 들어있는 오염물질의 양을 y()라 할 때 다음 질문에 답하시오. (a) ( 점) y()가 만족하는 미분방정식과 초기 조건을 구하시오..4 y() 5 dy. y() y() 5 5 d 5 (b) ( 점) y()를 구하시오. y (y 5) (y 5)
y() (y() 5) e 5 y() 5e 5 (c) (5 점) 오염물질의 농도가.% 이하가 되는 것은 며칠 후인지 구하시오. y(). y() log 5 z 5. 확률변수 의 확률밀도함수가 f (z) e 이면 표준정규분포를 따른다고 한다. 이때 의 평균과 분산은 각각, 이다. (a) (점) Y 의 확률밀도함수를 구하시오. Y의 확률밀도함수를 g라 하고, Y의 누적분포함수를 G라 하자. 그러면 G는 다음과 같은 특징을 갖는다. G (y) g(y) G(y) P (Y y) P ( y) P ( y y) Ry f ()d Ry y f ()d 위의 두 사실에 의해,y 일 때, g(y) G (y) f (y), y < 일 때, g(y) 이다. (b) (5점) Y 의 평균과 분산을 구하시오. Y 의 평균을 결과를 얻는다. E(Y ), 분산을V (Y )라 하자. 그러면 다음과 같은 y y e E(Y ) yg(y)dy yg(y)dy y e r z V () E( ) (E()) E( ) z f (z)dz z e dz z z e dz E(Y ) V (Y ) E(Y ) (E(Y )) 6. (점) 행렬 A,B에 대하여 다음 명제가 맞으면 T, 틀리면 F로 표시하시오. (풀이과정은 생략. 맞으면 4점 틀리면 점 무응답 점) (a) A 이면 A 이다. F 반례: A (b) (AB) A B
4 F 반례: A B (AB) A B AB (c) AB가 가역이면 A,B모두 가역이다. T 증명: de(ab)는 이 아님으로 de(a), de(b)둘다 이 아니다. 즉 A,B 는 가역이다. (d) de(aa ) 이면 de(a) 이다. F 반례: A (e) A가 어떤 선형계의 첨가행렬이고 가역이면 이 선형계의 해는 존재하지 않 는다. T 증명 : A (a a a ) (C b)라고 하면 A는 가역이므로 {ai }는 일차독 립이다. 따라서 C (a a )의 열벡터는 b (a )을 일차결합으로 표현할 수 없다. 그러므로 C b의 해는 존재하지 않는다. 7. (5점) 아래와 같이 주어진 선형계에 대하여 다음 물음에 답하시오. y z 4w 4y 7z w 4 6y z 4w (a) (5점) 주어진 4 7 6 선형계의 첨가행렬을 구하시오. 4 4 4 (b) (점) (a)에서 구한 첨가행렬의 기약행사다리꼴을 구하시오. 4 4 6 4 7 4 > > 7 6 4 (c) (점) 주어진 선형계의 일반해를 구하시오. (b)에서 구한 기약사다리꼴을 이용하면 y 6, z 7, w 6 7
5 8. 행렬 A a b c d 에 대하여 서로 다른 두 특성치 r, r 가 존재한다. (a) v, v 가 특성치 r, r 에 대한 특성벡터일 때, P (v v )는 가역임을 보이시오. P 가 가역이 아니라 가정하자. 그러면 a v v, 즉, av bv b 인 상수 a, b(a 6, 또는 b 6 )가 존재한다. a 6 이면 b v v cv a 라 쓸 수 있고, r v Av A(cv ) cav cr v r v 이므로 r r 가 된다. r 6 r 라는 가정에 모순이므로 P는 가역이다. b 6 인 경우도 같은 결과가 성립한다. r (b) 대각행렬 D 에 대하여 P AP D임을 보이시오. r (a)에 의해 AP P D임만 보이면 충분하다. 그런데 실제로 AP A v v Av Av 이고, PD v v D r v r v 이므로 원하는 결과를 얻는다. 9. (점) 자동차 보험 시장을 A,B,C 세 개의 회사가 경유하고 있다. 조사를 시작한 첫 해에 점유율은 A사가 5%, B사가 %, C사가 %를 차지하고 있다. 보험은 년간 유지되며 다음과 같은 경향을 나타낸다. 같은 보험사를 유지할 확률은 모두.5이다. A 다음에 B, B 다음에 C, C 다음에 A 보험에 들 확률은 각각.,.5,.5 이다. 반드시 다음 해에는 A, B, C 중 적어도 하나의 회사에 가입되어 있어야 한다. (a) (5점) 추이행렬을 구하시오..5...5.5.5.5
6 (b) (점) 년 후 A, B, C의 점유율을 구하시오. 년 후의 각 회사의 점유율을 구하기 위한 식을 행렬표현으로 나타내면 다 음과 같다..5...5...5.5.5..5.5.5 그러므로 년 후 A, B, C의 점유율은 각각.5,.,.5이다. (c) (점) 시간이 많이 흐른 후 A, B, C 사의 점유율은 어떤 값으로 가까워지 는지 기약분수로 나타내시오. (a)에서 구한 추이행렬의 모든 성분이 양수이므로 이는 정칙행렬이다. 따라 서 다음을 만족시키는 극한안정분포 (,, )가 존재한다. :.5.. h i h i.5.5.5.5.5.5.5.5..5..5..5.5..5.5, 5 5,