(Hyunoo Shim) 1 / 26

조건부생명확률 (coningen probabiliy) 이란? 사망의순서 ( 조건이됨 ) 를고려한생명확률동시생존자 / 최종생존자생명확률 : 사망이 x이든 y이든가리지않음 ( 대칭적 ) [ 조건부생명확률 : x와 y의사망순서를고려함 ( 비대칭적 ) ➀ 기호 : 예를들어, q 1 xy a) 사망순서 : 숫자 1, 2, 3,... 로나타냄 숫자를위에표기 : 관찰기간내에발생 b) 숫자를아래에표기 : 관찰기간내또는외에발생가능 ( 관찰기간과무관 ) c) 주피보험자 (failing life): 숫자를위에표기 : ( 위에표기했다고모두주피보험자는아님 ) 연대피보험자 (couner life) : 기타 - 무표기또는아래에표기 d) ( ) 또는 ( ) 는해당생명들전체에집합적으로적용된다는의미 (Hyunoo Shim) 2 / 26

e) 예시 qxy: 1 x가첫째로사망 따라서, 당시 y는생존중 qxy: 2 x가둘째로사망 y가당시 (x 사망시 ) 이미사망상태 qxyz: 3 x가셋째로사망 y와 z 당시 (x 사망시 ) 이미사망상태 (y, z 둘중누가먼저사망했는지는모름 ) qxy: 2 y가둘째로사망 x가당시 (y 사망시 ) 이미사망상태참고 > qxy 1 와 qxy 2 의공통점 : x 첫째사망, y 둘째사망 차이점 : q 1 xy 는 x 가주피보험자, q 2 xy 는 y 가주피보험자 f) 참고 : 이름 ( 또는순서 ) 무관한경우 - 예를들어, q 1 yx q 1 xy 같다. 즉, 순서는무관, 유형만인식필요 q 1 xy 이름을 x y 로서로바꿀수있으므로 결국같은유형 (Hyunoo Shim) 3 / 26

우리가다룰경우들 (1) 2 인의경우 (x, y) 조건부확률 ➀ 1 ➁ qxy: 12 다루지않음 ➂ qxy(= 2 qxy 2 ) 1 (2) 3 인의경우 (x, y, z) 조건부확률 ➀ q xyz ➁ q xyz ➂ q xyz ➃ q xyz ➄ q xyz ➅ q xyz (Hyunoo Shim) 4 / 26

(3) 조건부확률과동시생존자 / 최종생존자의관계 ➀ 동시생존자 1) 3 인 : q xy z ➁ 최종생존자 1) 2 인 : q xy 2) 3 인 q xyz q xyz q xyz 기본적으로성립하는식 q = q q q = 1 s q s= (Hyunoo Shim) 5 / 26

(1) 2 인의경우 ➀ 1 xy: 관찰기간동안 x 사망, y 생존 A. q 1 xy 의미 : x 가 (, + 1) 이내에사망, 당시에 y 는생존 B. q 1 xy q 1 xy = sp xyµ x+sds x, y 모두 s 까지생존 x 가 x + s 에서사망 q 1 xy = sp xsp yµ x+sds sp y + 1 2 p y = + 1 p y 2 sp xµ x+sds = + 1 p y q x 2 의미 : x 가 (, ) 이내에사망, 당시에 y 는생존 q 1 xy = spxyµx+sds (Hyunoo Shim) 6 / 26

응용 q xy = spxyµx+s y+sds = spxy(µx+s + µy+s)ds q xy = q 1 xy + q 1 xy 해석 : x, y 동시생존자의사망은 x 가먼저사망또는 y 가먼저사망이다. 3 인의경우 q 1 xyz = sp xyzµ x+sds q xyz = q 1 xyz + q 1 xyz + q 1 xyz (Hyunoo Shim) 7 / 26

➁ 2 xy: 관찰기간동안 x 사망, y 기사망 A. q 2 xy 의미 : x 가 (, + 1) 이내에사망, 당시에 y 는그이전에사망 계산 q 2 xy = sq ysp xµ x+sds sq y = 1 sp y q 2 xy = sp xµ x+sds sp ysp xµ x+sds q 2 xy = q x q 1 xy 해석 : q 2 xy 는 x 가 (, + 1) 동안사망 (y 사망유무무관 ) 할확률에서, x 가 (, + 1) 동안먼저사망 (y 생존 ) 할확률을빼면된다. 또는, q x = q 1 xy + q 2 xy 해석 : x 는먼저사망하거나나중에사망한다. (Hyunoo Shim) 8 / 26

B. qxy 2 의미 : x가 (, ) 이내에사망, 당시에 y는그이전에사망응용1 q 2 xy = spxyµy+s sqx+sds y 의관점 : y 는 s 시점에사망 그이후 x 는 (s, ) 동안사망 q 2 xy = spxyµy+sds = q 1 xy = q 1 xy p x l x+sl y+s l xl y spyµy+sds spxyµy+s spx+sds l x+ l x+s µ y+sds q 2 xy = q 1 xy p xq y (Hyunoo Shim) 9 / 26

응용 2 q 2 xy = q 2 xy q 2 xy = ( q 1 xy p xq y) ( q 1 xy p xq y) q 2 xy = q 1 xy + p xq y p xq y (Hyunoo Shim) 1 / 26

(3) 조건부확률과동시생존자 / 최종생존자의관계 ➁ 최종생존자 1) 2 인 : q xy q xy = = sp xyµ x+s y+s ( sq ysp xµ x+s + sq xsp yµ y+s) q xy = q 2 xy + q 2 xy (Hyunoo Shim) 11 / 26

(2) 3 인의경우 ➀ 1 xyz A. q 1 xyz 의미 : x 가 (, + 1) 이내에사망, 당시에 y, z 는생존 q 1 xyz = sp xyzµ x+sds x, y, z 모두 s 까지생존 x 가 x + s 에서사망 q 1 xyz = sp xsp yzµ x+sds sp yz + 1 2 p yz = + 1 p yz 2 sp xµ x+sds = + 1 p yz q x 2 (Hyunoo Shim) 12 / 26

➁ xyz 2 1 A. qxyz 2 1 의미 : y가 (, + 1) 이내에사망, 당시에 x는기사망 z는생존 q 2 xyz 1 = = sq xsp yzµ y+sds (1 sp x) sp yzµ y+sds q 2 xyz 1 = q 1 yz q 1 xyz (Hyunoo Shim) 13 / 26

➂ xyz 3 12 3 A. qxyz 12 의미 : z가 (, + 1) 이내에사망, 당시에 x, y는기사망 z 의사망을중심으로 3 qxyz 12 = sq 2 xysp zµ z+sds y 의사망을중심으로 3 qxyz 12 = sq xsp yzµ y+s sq z+sds x 1 사망 y 2 사망 z 가 (s, ) 에서사망 (Hyunoo Shim) 14 / 26

➂ xyz 3 12 3 A. qxyz 12 ( 이어서 ) q 3 xyz 12 = = = (1 sp x) sp yzµ y+s(1 sp z+s)ds ( sp yz sp xyz)(1 sp z+s)µ y+sds ( sp yz sp xyz sp yp z + sp xyp z)µ y+sds = q 1 yz sq 1 xyz q yp z + q 1 xyp z ( q 1 xy + q 2 xy = q y) = qxyz 2 qxyp 2 z 1 (Hyunoo Shim) 15 / 26

* q r xy (m) 계산인원 : m 명관찰기간사망 : x 가 s 시점에서 r 번째사망 s 시점 : x 제외나머지 m 1 中, r 1 기사망, m r(= (m 1) (r 1)) 은생존 q r xy (m) = [m r] sp yz (m 1) s p x µ x+s ds ➃ 2 xyz A. q 2 xyz 인원 : 3 명관찰기간사망 : x 가 s 시점에서 2 번째사망 s 시점 : x 제외나머지 2 中, 1 기사망, 1 은생존 여기서, sp [1] yz sp1 yz q 2 xyz = sp [1] yz spxµx+sds (Hyunoo Shim) 16 / 26

q 2 xyz = = sp [1] yz spxµx+sds = q 2 zxy 1 ( sp ysq z + sp zsq y) sp xµ x+sds + q 2 yxz 1 ➄ 3 xyz A. q 3 xyz 인원 : 3 명관찰기간사망 : x 가 s 시점에서 3 번째사망 s 시점 : x 제외나머지 2 中, 2 기사망, 생존 여기서, sp [2] yz = sq yz q 3 xyz = sp [2] yz spxµx+sds q 3 xyz = q 2 x yz (Hyunoo Shim) 17 / 26

또는다른식으로표현 q 3 xyz = = sq yzsp xµ x+sds ( sq 2 yz + sqyz) 2 sp xµ x+sds q 3 xyz = q 3 xyz + q 3 xy 1 2 2z 1 (Hyunoo Shim) 18 / 26

➅ x1 2 3 y z A. qx 2 3 y z 1 의미 : y 또는 z 가 (, + 1) 이내에사망, 당시에 x 는기사망 q 2 3 x 1 y z = q 2 x 1 yz + q 3 x 1 yz 2 = q 2 x 1 yz 3 + q 3 x 1 yz 2 q 23 x 1 yz + q 3 x 1 yz 2 (Hyunoo Shim) 19 / 26

➆ 기타 : q x 와 3 연생의관계 왜냐하면, q x = q 1 xyz + q 2 xyz + q 3 xyz = q 1 x yz + q 3 xyz q 1 x yz = q 1 xyz + q 2 xyz (Hyunoo Shim) 2 / 26

3. 조건부생명학률 (3) 조건부확률과동시생존자 / 최종생존자의관계 ➀ 동시생존자 1) 2 인 : xy q xy = = sp xyµ x+s y+sds ( sp xyµ x+s + sp xyµ y+s)ds 앞에서이미다룸 ( q 1 xy) 2) 3 인 : 1 xy z q 1 xy z = = q xy = q 1 xy + q 1 xy = q 1 xyz + q 1 xyz sp xyµ x+s y+ssp zds ( sp xyµ x+s + sp xyµ y+s) sp zds (Hyunoo Shim) 21 / 26

3. 조건부생명학률 (3) 조건부확률과동시생존자 / 최종생존자의관계 ➁ 최종생존자 1) 2 인 : q xy q xy = = sp xy µ x+s y+s ds ( sq ysp xµ x+s + sq xsp yµ y+s)ds q xy = q 2 xy + q 2 xy (Hyunoo Shim) 22 / 26

3. 조건부생명학률 (3) 조건부확률과동시생존자 / 최종생존자의관계 2) 3 인 q 1 x yz = = sp xsp yz µ x+sds sp x( sp y + sp z sp yz)µ x+sds = q 1 xy + q 1 xz q 1 xyz q 2 x yz = (1 sp yz ) sp xµ x+sds = q x q 1 x yz q 1 xy z = = = q 2 xyz + q 2 xy 1 sp xy µ x+s y+ssp zds ( sq ysp xµ x+s + sq xsp yµ y+s) sp zds z 1 (Hyunoo Shim) 23 / 26

3. 조건부생명학률 (4) 요약 - 기본식 ➀ 단생의 p x ➁ 동시생존자의 p xy p x = exp [ µ x+sds] (1) ➂ 최종생존자의 q xy q xy = ➃ 조건부확률의 qxy 1 ➄ 조건부확률의 qxy 2 p xy = exp [ µ x+s y+sds] (2) ( sq ysp xµ x+s + sq xsp yµ y+s)ds (3) q 1 xy = q 2 xy = spxyµx+sds (4) spxyµy+s sqx+sds (5) (Hyunoo Shim) 24 / 26

3. 조건부생명학률 (5) 요약 - 관계식 ➀ x 의 1 사망과 y 의 2 사망사이의관계 q 1 xy = q 2 xy + q x p y (6) ➁ x 의 1 사망과 x 의 2 사망사이의관계 q x = q 1 xy + q 2 xy (7) ➂ x 의 1 사망과 y 의 1 사망사이의관계 ( 동시사망자 ) q 1 xy + q 1 xy = q xy (8) ➃ x 의 2 사망과 y 의 2 사망사이의관계 ( 최종사망자 ) q 2 xy + q 2 xy = q xy (9) (Hyunoo Shim) 25 / 26

예제 8.3 x 는남편, y 는아내이다. µ x+s = µ 2 =.6, µ y+s = µ 1 =.4 인경우, 1) 1 년동안, 아내가생존할확률 ( 1 p y ) 2) 1 년동안, 남편이사망할확률 ( 1 q x ) 3) s 기간동안, 남편과아내가동시에생존할확률 ( s p xy ) 4) s 기간동안, 남편과아내의최종생존자가사망할확률 ( s q xy ) 5) 1 년동안, 남편이먼저사망할확률 ( 1 q 1 xy) 6) 1 년동안, 아내가나중에사망할확률 ( 1 q 2 xy) 식 6) 확인 7) 1 년동안, 남편이나중에사망할확률 ( 1 q 2 xy) 식 7) 확인 8) 1 년동안, 아내가먼저사망할확률 ( 1 q 1 xy) 식 8) 확인 식 9) 확인 (Hyunoo Shim) 26 / 26