학년도수학성취도측정시험 (학년도수시모집및외국인특별전형합격자대상 년 월 8일, 고사시간 9분 번부터 번까지는단답형이고, 번부터 번까지는서술형입니다. 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시하시오. 총배점은 점이고, 각문항의배점은, 기본문제 (-번 각 점, 발전문제 (7-번 각 7점, 심화문제 (4번-번 각 점입니다. x x x 년수시 번 lim. x x x x x (x (x + x + [ 풀이 ] lim lim lim(x + x + 7 x x x x x 년수시 번곡선 y x ln x + x x 위의점 (, 에서의접선의기울기는이 다. [ 풀이 ] f(x x ln x + x x f (x ln x + x x + x ln x + x f ( 년수시 번 lim n n [ 풀이 ] lim n n { + k { + k ( } k n ( } k. n ( + x dx ] [x + x 4 년수시 4 번변환 f(x, y (x y, x+ay 에의한세점 O(,, P (,, Q(, 의상을각각 A, B, C 라고할때, A, B, C 가모두같은직선위에있으려면 a 이다. [ 풀이 ] 세점 A, B, C 의좌표는각각 (,, (, a, ( 5, a 이다. 세점이일직선상에있으므로 a ( (a ( a 5 이다. [ 다른풀이 ] 일차변환을이용하여풀수도있다. ( 일차변환은선택과목 기하와벡터 에있는내 용이다. 점 (,, (,, (, 을각각점 A, B, C 로보내는변환은
( 5 일차변환후에 y 축방향으로 만큼평행이동한것이다. 삼각형의세점 a + a 이같은직선위의세점으로변환되므로일차변환의행렬식이 이다. 따라서 4a + a 이다. 년수시 5 번좌표공간에서두점 (,, 과 (,, 을지나는직선이 xz 평면과만나 는점의좌표는이다. [ 풀이 ] (,, (,, (,, 이므로, 구하는직선의식은 x y z 이다. xz 평면은 y 좌표가 이므로 y 을대입하면, x z x 5 (, z 4 5 따라서구하는좌표는,, 4 이다. [ 채점소감 ] 답을 ( 5, 4 라고쓴학생도있었다. 년수시 번함수 f(x 4 sin x cos x + sin x 의최댓값은이다. [ 풀이 ] f(x 4 sin x cos x + sin x sin x + cos x sin x cos x + ( + sin(x + α + 5 sin(x + α + (α 는 sin α 5, cos α 4 5 를만족하는값 따라서 f(x 의최댓값은 5 + 4 이다. 년수시 7 번 π cos x dx. π [ 풀이 ] [ t sin t π cos x dx cos t t dt ( x t, 즉 x t 로치환적분 π [ ] π sin t dt cos t 4 ] π
년수시 8 번실수전체에서정의된연속함수 f(x 가 f( + 를만족한다. g(s 라고정의할때, lim s g (s 이다. [ 풀이 ] g(s s e t f(s + t dt s+ s e t f(s + t dt s+ e x s f(x dx e s e x f(x dx (x s + t 로치환적분 s+ g (s e s e x f(x dx + e s e s+ f(s +, g ( e f( e( + f 가연속함수이므로이를정적분한것도연속함수이고, 연속함수의합과곱으로이루어진 g (s 도연속함수이다. 따라서 lim s g (s g ( ( + e 이다. [ 채점소감 ] 문제난이도에비해많은학생들이잘풀었다. 오답으로 ( + e, ( + e 인학생들이많았는데, 풀이접근방법은맞았으나계산중에실수를한것으로보인다. 년수시 9 번등식 ln(y x ln y ln x 를만족시키는 x 와 y 에대하여, y 의값이최 소가되게하는 x 의값은이고, 그때 y 의값은이다. [ 풀이 ] ln(y x ln y ln x ln y x. log 함수는일대일함수이므로 y x y x y x x x y (x > 의그래프를살펴보면된다. x y x(x 이므로 < x < 에서는감소, x > 에서는증가한다. (x 따라서 x 일때최솟값 y 4 를갖는다. 년수시 번제일사분면에서타원 x 4 + y 과접하는직선과 x 축, 그리고 y 축으로둘러싸인도형의넓이의최솟값은이다. [ 풀이 ] 타원위의점 (a, b 에서의접선의방정식은 ax + by 이다. 4 ( 제일사분면위의점이므로 a, b 는모두양수 이직선의 x 절편은 4 a 이고, y 절편은 b 이다. 따라서구하는삼각형의넓이는 4 a b ab 이다. (a, b 가타원위의점이므로 a 4 + b 이고, 산술기하평균부등식에의해 a 4 + b a 4 b ab 를만족한다. 따라서삼각형의넓이의최솟값은 이다.
4 년수시 번연속함수 f 가다음조건을만족한다. ( f( 이고, ( 임의의정수 n 에대하여열린구간 (n, n + 에서 f (x n. f(x 이때, lim x x 이다. [ 풀이 ] 문제의조건으로부터 f(n + f(n n 을얻을수있다. (n 은자연수 f(n + k n(n + (n + f(n n(n (n k f(x 는연속함수이고, 정수를제외한점에서 f (x 이므로구간 (, 에서증가함수이다. x [n, n + 이라하자. f(n (n + < f(n x f(x f(n + f(n + x < x n f(n 이고, lim n (n +, lim f(n + n n f(x 이므로, lim x x 이다. [ 채점소감 ] 오답으로 을적은학생도몇명있었지만, 대부분의학생들이잘풀었다. 년수시 번양수 a, b, c, d 가다음부등식을모두만족한다. a c < 이때부등식 ab cd < 이성립함을보이시오. (b +, b d < (c + [ 풀이 ] b 는양수이므로첫번째부등식의양변에 b 를곱하면, b a c < b (b + < 이므로 < b (a c < 이다. ( 마찬가지방법으로두번째부등식의양변에 c 를곱하면, < c (b d < 이다. ( 이제식 ( 과 ( 를더하면 < ab cd <. 따라서 ab cd < 이다. [ 채점기준 ] 주어진식에 b 와 c 를곱하여상한을조절하려한경우에만부분점수를주었다. [ 채점소감 ] 부등식에서양수를곱하여도부등호방향은그대로임을알지만, 각상한을 보다 큰수로구해잘못된결론을낸학생들이의외로많았다.
년수시 번 n 차다항식 p(x a n x n + a n x n + + a 이 x a 에서극값 을 ( a c 갖는다. 행렬 A 에대하여, 다음식으로주어진행렬의모든성분의합을구하시 a 오. ( 단, E 는 단위행렬이다. a n A n + a n A n + a E 5 [ 풀이 ] 다항식 p(x a n x n + a n x n + + a 가 x a 에서극값 을가지므로 p (a k a k a k, p(a a k a k k k 이다. 그리고 ( ( ( a A ac a, A a c a, A n n na n c a a a n 이므로 ( a n A n + a n A n + + a E 따라서행렬 ( 의모든성분의합은 이다. a k a k c ka k a k ( k k a k a k k, [ 다른풀이 ] p (a 이므로 p(x (x a q(x + 꼴로표현된다. 그런데 (A ae 이므로 p(a E, 따라서답은 이다. [ 채점기준 ] p(a, p (a 을명확히언습하면 점, 일반적인 A n 을구하면 점 행렬 ( 를구하면 점, 답까지정확히구하면 점 [ 채점소감 ] 대부분학생들이잘풀었다. 그런데행렬 ( 의 행 열성분을잘못구한학생들 이몇명있었다. ( 년수시 4번좌표공간에서직선 x y z 를회전축으로하여점,, 을 π 만큼회전시킨점의좌표를구하시오. ( 단, 회전의방향은점 (,, 에서원점을바라보았을 때반시계방향으로한다. ( ( [ 풀이 ] A,,, B,, 라하자. 또, 점 A 에서직선 x y z 로내린수선의발을 C 라고하자.
간단한계산을통해 C (,, 임을알수있다. 마지막으로우리가구하고자하는점을 P (x, y, z 라고두자. 점 A 를 π 만큼회전시킨점이 B 이므로 AC BC P C 임을알수있다. ( 회전변환은 길이를보존한다. 그리고삼각형 ACP 는정삼각형이므로, AC AP. 즉, 사각형 AP BC 는마름모이다. 따라서, (,, AB 의중점 P C 의중점 [(,, ( (x, y, z,, ] + (x, y, z [ 다른풀이 ] 다음과같은정규직교벡터 개를고려하자. v (,,, v (,,, v (,, v 는직선 x y z 와나란함을알수있다. 또회전하고자하는점을 v, v, v 를이용해다음과같이나타낼수있다. (,, v v + v
7 이제우리가원하는직선 x y z 에관한회전이동을함수 F 라놓자. 그러면 F (,, F ( v v + v F (v F (v + F (v ( cos π v + sin π v (,, ( sin π v + cos π v + v [ 채점기준 ] 어떤풀이로풀던지, 과정에논리적비약이나오류가없을경우만점처리 답이맞았으나, 문제의설명이지나치게적은경우 점 회전의향을반대로하여답이틀린경우 9점 답이틀린경우 점 [ 채점소감 ]. 공간에서의회전을다룬문제라어렵게생각되었는지, 문제를아예풀지못한학생들도꽤있었다. 푼학생들중에반정도는구하고자하는점의좌표를변수세개로셋팅한다음, 이변수들에대한세가지식을유도하였다. 그런데그대로세연립방정식을푸는것은 ( 극소수의계산에매우능한학생들만을제외하고는 시험시간을감안하면상당히어렵다.. 대부분의정답자들은공간좌표를그려문제의조건들을표현해보면서기하학적인성질을다양하게이용했다. 그런데직관적으로는상황을파악하였으나그림과관련된설명을제대로하지못한학생들도종종있었다. 대칭성, 도형의성질등을이용하기위해서필요한조건과성질들을표현하는데학생들이좀더신경을써야할필요가있다고본다. 년수시 5 번부등식 e + (x e x (x e x 가 이상인모든실수 x 에대하여항 상성립함을보이시오. [ 풀이 ] x 인경우는당연히위의부등식이성립하므로 x > 인경우만생각하면충분하다. x > 라하고, f(t e t 라는실수위의함수를생각하자. 그러면 f 는모든실수에서미분가
8 능하므로, 평균값정리에의해 f (c f( x f( x x x 를만족하는 x < c < x, x < c < 이존재한다. 그런데 f (t e t 이므로 f 은증가함수이다. 따라서 ( e x e x x, f (c f( f( x ( e e x x x x x ( e x e x f (c f (c (x ( e x e x e e x e + (x e x (x e x. ( e e x x x [ 채점소감 ] 대부분의학생들이 f(x e + (x e x (x e x 라는함수를두고, x 에서 f (x 이고, f( 임을이용하여문제를해결하려고노력했다. 하지만 f (x 을보이는것이매우복잡해서이러한접근을선택했던대부분의학생들은논리적으로완벽한증명을해내지못했다. 년수시 번좌표공간에서다음부등식으로주어진입체의부피를구하시오. x y, z x y [ 풀이 ] 먼저 x y 에서 x 4 를얻을수있다. 주어진입체 R 을 x 축에수직인평면으로잘랐을때, 단면의넓이 A(x 는다음과같다. ( x A(x x ( x y dy [( x y y] x (x4 8x + vol(r A(x dx 5 5 (x 4 8x + dx (x 4 8x + dx [ 5 x5 8 x + x ]
[ 채점기준 ] 주어진입체를자른단면을식으로잘표현하면 5점 단면적을나타내는함수를적분하여부피를정확히계산하면 점 (x 축과수직인평면으로자른단면을계산하지않고, y 축혹은 z 축으로자른단면을계산한답안도같은채점기준적용 [ 채점소감 ] 입체의부피를단면적을적분하여계산한다는기본개념을숙지하고있는학생은많았으나, 이를정확히계산해내는능력의부족함이아쉬웠던답안이많았다. 특히이문제의경우, x 축과수직인평면으로자른단면적을구해서적분하여부피를구하는것이가장계산이쉽다. 하지만 y 축혹은 z 축으로자른단면적을적분해서부피를구하고자하는시도를한답안이많이보였고, 이경우 x 축으로자른단면적을구하는것보다계산이훨씬복잡하기때문에, 성공적으로마무리한학생이드물었다. 자신이시도한계산이너무어려울경우다른쉬운방법을찾아보는습관을기를필요가있겠다. 9