2017 학년도 3 월고 1 전국연합학력평가정답및해설 수학영역 정답

2017 학년도 3 월고 1 전국연합학력평가정답및해설 수학영역 정답 1 1 2 2 3 2 4 4 5 3 6 3 7 5 8 1 9 5 10 3 11 4 12 1 13 2 14 2 15 4 16 5 17 4 18 1 19 4 20 3 21 5 22 23 24 25 26 27 28 29 30 차함수의최솟값을구한 주어진식을변형하면 이므로이차함수 의그래프는다음과같 따라서 DB AB AD DB DC 에서 AB DC AD DB DC 따라서 DC 11. [ 출제의도 ] 히스토그램을이해하여자료의평균을 구한 해설 1. [ 출제의도 ] 제곱근의성질을이해하고식의값을계 산한 2. [ 출제의도 ] 일차방정식의해를구한 에서 따라서 3. [ 출제의도 ] 함수의뜻을이해하고상수의값을구한 함수 의그래프가점 를지나므로, 를대입하면 4. [ 출제의도 ] 인수분해공식을이용하여상수의값을 구한 을인수분해하면 따라서 5. [ 출제의도 ] 곱셈공식을알고이를이용하여주어진 식의값을구한 에서, 를대입하면 따라서 6. [ 출제의도 ] 지수의성질을이해하고주어진식의값 을구한 이고, 는자연수이므로, 따라서 7. [ 출제의도 ] 일차함수의그래프의평행이동을이해하 고조건을만족시키는값을구한 일차함수 의그래프는일차함수 의그 래프와평행하므로두직선의기울기는서로같 따라서 일차함수 의그래프의 절편이 이므로, 을대입하면, 따라서 8. [ 출제의도 ] 이차함수의그래프의성질을이해하고이 따라서이차함수 의최솟값은 일 때 이 9. [ 출제의도 ] 연립부등식의정수인해의개수를구한 주어진연립부등식 에서부등식 를풀면 ᄀ 마찬가지로부등식 을풀면 ᄂ 두부등식ᄀ, ᄂ을동시에만족시키는 의값의범 위를수직선에나타내면다음과같 위그림에서구하는 의값의범위는 이부등식을만족시키는정수 는,,,,,, 이 따라서구하는정수의개수는 이 10. [ 출제의도 ] 삼각형의닮음을이용하여선분의길이 를구한 두삼각형 ABD, DBC 에대하여 대각선 BD 가 B 의이등분선이므로 ABD DBC ᄀ 주어진조건에서 BDA BCD ᄂ ᄀ, ᄂ에의해 ABD DBC AB DB DB CB 에서 DB AB CB 1 세이상 세미만인계급의도수를 라하고위 히스토그램을이용하여도수분포표를만들면다음과 같 나이 ( 세 ) 도수 ( 명 ) 이상 ~ 미만 이상 ~ 미만 이상 ~ 미만 이상 ~ 미만 합계 도수의합계가 이므로 에서 도수분포표에서 세이상 세미만인계급의계급 값은 ( 세 ) 이므로 ( 계급값 ) ( 도수 ) 다른계급에대해서도마찬가지방법으로계산하여 표로나타내면다음과같 나이 ( 세 ) 계급값 ( 세 ) 도수 ( 명 ) ( 계급값 ) ( 도수 ) 이상 ~ 미만 이상 ~ 미만 이상 ~ 미만 이상 ~ 미만 합계 위의표를이용하여평균을구하면 계급값 도수 의총합 평균 도수의총합 ( 세 ) 12. [ 출제의도 ] 삼각형의내심과외심의성질을이용하 여문제를해결한 위의그림과같이내접원의중심에서삼각형 ABC 의 세변에내린수선의발을각각 D, E, F 라하자. AE 라놓으면내접원의성질에의해 CD CE BD BF AF AE 삼각형 ABC 의내접원의반지름의길이가 이므로 이것을이용하여삼각형의넓이를구하면

ABC AB BC CA ᄀ 다른방법으로넓이를구하면 ABC BC AC ᄂ ᄀ, ᄂ이서로같으므로 에서 따라서직각삼각형 ABC 의빗변 AB 의길이는 이 직각삼각형의외심은빗변의중점이므로빗변 AB 는삼각형 ABC 의외접원의지름이 그러므로 직각삼각형 ABC 의외접원의둘레의길이는 이 위의그림과같이내접원의중심에서삼각형 ABC 의 세변에내린수선의발을각각 D, E, F 라하자. AE 라놓으면내접원의성질에의해 CD CE, BD BF, AF AE 삼각형 ABC 는직각삼각형이므로피타고라스정리에 의해 AB BC CA 에서 따라서직각삼각형 ABC 의빗변 AB 의길이는 이 직각삼각형의외심은빗변의중점이므로빗변 AB 는삼각형 ABC 의외접원의지름이 그러므로 직각삼각형 ABC 의외접원의둘레의길이는 이 13. [ 출제의도 ] 주어진상황을이해하여확률을구한 서로다른두개의주사위를동시에던져나오는모 든경우의수는 이 나오는눈의수를각 각, 라하고이것을순서쌍 으로나타내면 다음표와같 이중에서두눈의수의합이 보다큰경우는다음 과같 ⅰ) 두눈의수의합이 인경우,,, ⅱ) 두눈의수의합이 인경우,, ⅲ) 두눈의수의합이 인경우, ⅳ) 두눈의수의합이 인경우 이상에서구하는경우의수는 이 따라서구하는확률은 이 14. [ 출제의도 ] 원의성질을이용하여실생활문제를 해결한 호 AB 를포함한원을그리면아래와같 원의중 심을 O 라하면반지름 ON 은현 AB 를수직이등분 하므로삼각형 OBM 은 BMO 인직각삼각형이 직각삼각형 OBM 에서피타고라스정리에의해 OB OM MB 이므로 OM OM OM 이므로 OM MN ON OM (m ) 따라서 호 AB 를포함한원을그리면아래와같 선분 MN 의연장선과이원의교점을 C 라하면원주 각의성질에의해 CNA CBA, NAB NCB 이므로 AMN CMB 따라서 AM MN CM MB MN CM AM MB ± 이므로 15. [ 출제의도 ] 삼각비를알고삼각형의넓이를이용하 여선분의길이의비를구한 높이가같은두삼각형에서밑변의길이의비는넓이 의비와같 점 A 에서선분 BC 에내린수선의발을 H 라하자. 2 ABD BD AH ADC DC AH 이므로 BD ABD ADC DC ᄀ ABD AB AD sin AD AD ADC AD AC sin AD AD 따라서ᄀ에의해 BD ABD ADC DC AD AD 높이가같은두삼각형에서밑변의길이의비는넓이 의비와같 점 A 에서선분 BC 에내린수선의발을 H 라하자. ABD BD AH ADC DC AH 이므로 BD ABD ADC DC ᄀ 점 D 에서두변 AB, AC 에내린수선의발을각각 P, Q 라하자. DQ 라하면직각삼각형 ADQ 에서 DQ sin AD AD AD 직각삼각형 ADP 에서 이므로 DP DP sin AD 이므로 DP ABD AB DP ADC AC DQ

따라서ᄀ에의해 BD ABD ADC DC 16. [ 출제의도 ] 삼각형의닮음과이차방정식을이용하 여선분의길이를구한 PQ BE 이므로 APQ ABE 두선분 AH, PQ 가만나는점을 R, PQ 라하면 AR PQ AH BE AR AR 따라서사다리꼴 PCDQ 의높이는 사다리꼴 PCDQ 의넓이는직사각형 BCDE 의넓이와 같으므로 이므로 17. [ 출제의도 ] 원의접선의성질과삼각형의닮음을 이용하여선분의길이를구한 BF 라하자. 두점 B, H 가점 F 에서원에그은 두접선의접점과같으므로 BF FH 두점 A, H 가점 D 에서원에그은두접선의접점 과같으므로 AD DH 직각삼각형 DFC 에서 DF FC DC 이므로피타고라스정리에의해 DF FC DC 따라서 BF FH 같은방법으로나머지변의길이를구하면 AE EG ED FC 그러므로사각형 EFCD 는직사각형이 직사각형 EFCD 의대각선의교점을 I 라하면직사각형의대각 선은서로다른것을이등분하므로 DF EC 에서 EI FI EG FH 에서 IG IH 두삼각형 IGH, IEF 에서 HIG 는공통인각 ᄀ IG IE 이고 IH IF ᄂ ᄀ, ᄂ에서두삼각형 IGH, IEF 는닮음비가 인 도형이 EF 이고 GH EF 이므로 GH GH BF 라하자. 두점 B, H 가점 F 에서원에그은 두접선의접점과같으므로 BF FH 두점 A, H 가점 D 에서원에그은두접선의접점 과같으므로 AD DH 직각삼각형 DFC 에서 DF FC CD 이므로피타고라스정리에의해 DF FC CD, 따라서 BF FH 선분 AB 를지름으로하는반원의중심을 O 라하면 OB OH, OBF OHF 이므로 BF tan BOF OB 에서 BOF 같은방법으로나머지각을구하면 HOF EOG AOE 그러므로 GOH 이고 OG OH 이므로삼각형 GOH 는정삼각형이 따라서 GH 18. [ 출제의도 ] 이차함수의그래프의성질을이용하여 식의값을구한 3 선분 AB 는 축과평행하고 AP PQ QB 이므 로두점 P, Q 의좌표는 P, Q 이차함수 의그래프는축에대해서대 칭이므로꼭짓점의 좌표는 이 조건에서이차함 수의그래프의꼭짓점의 좌표는 이므로 이차함수 의그래프가점 P 를지 나므로, 따라서 이므로,, 따라서 19. [ 출제의도 ] 삼각비와피타고라스정리를이용하여 삼각형에서성립하는내용을추측한 직각삼각형 ABC 에서피타고라스정리에의해 BC AB AC 이므로 BC, BC ㄱ. 삼각형 ABC 에서 ABC AB AC BC AH AH AH ( 참 ) AH ㄴ. tan ADH DH 이므로 DH AH ㄱ에서 AH 이므로 DH AH 직각삼각형 ABH 에서피타고라스정리에의해 AB BH AH 이므로 BH BH 따라서 BD BH DH ( 거짓 ) ㄷ. AB BD 에서삼각형 ABD 는이등변삼각형 이므로 BAD ADH 따라서 tan BAD tan ADH ( 참 ) 이상에서옳은것은ㄱ, ㄷ이 AH ㄴ. tan ADH DH 이므로 DH AH

ㄱ에서 AH 이므로 DH AH 두삼각형 ABH, CBA 에서 ABH 는공통인각, AHB CAB 따라서 ABH CBA 이므로 AB BH CB BA BH BH, BH BD BH DH ( 거짓 ) 20. [ 출제의도 ] 원의성질과삼각형의닮음을이용하여각의크기를구하는과정을추론한 먼저두삼각형 DFB, DHB 가합동임을보이자. 점 A 에서원 에그은두접선에대해 AD AE 점 I 는원 의중심이므로 DI EI 선분 AI 는공통인변이므로 ADI AEI (SSS 합동 ) 따라서 IAD IAE 이고선분 AH는공통인변 ADH AEH (SA S 합동 ) 따라서 DHA 이므로 DFB DHB ᄀ선분 DB 는공통인변 ᄂ삼각형 IDB 는이등변삼각형이므로 IDB IBD 삼각형의외각의성질에의해 IDB IBD DIH 따라서 DIH DBH 이고원의접선의성질에의해 ADI 선분 AB 가지름이므로 AFB 따라서 DI FB 에서 IDB DBF ( 엇각 ) DBF DBH ᄃᄀ, ᄂ, ᄃ에의해 DFB DHB 이 한편, AD AE 이므로 ADH AEH ADE 에서삼각형의내각의합은 이므로 DAE ADH AEH ADH ADH 따라서 ADH 위에서 DFB DHB 이므로 DF DH 에서삼각형 DFH 는이등변삼각형이 두밑각의크기는같으므로 DFH DHF 에서 DFH DHF ADH DHF DHF DHB 이고 DHB DHF FHB 에서 = FHB FHB 같은방법으로 GHB 를구하면 GHB FHG FHB GHB 따라서 FHG 이 그러므로,, 에서 ID IB 에서삼각형 IDB 는이등변삼각형이므로 IDB IBD IDB IBD DIH 따라서 DIH DBH 두삼각형 DFB, DHB 가합동임을보이자. 원의접선과그접점을지나는현이이루는각의크 기는현과그각의안에있는호에대한원주각의크 기와같으므로 BDF BED 삼각형 BED 는이등변삼각형이므로 BDE BED 그러므로 BDF BDH 선분 BD 는공통인변, DFB DHB 이므로 DFB DHB 따라서 DF DH 이므로삼각형 DFH 는이등변삼각 형이 DFH DHF 이고 DFH DHF ADH DHF 이므로 DHF DHB 이고 DHB DHF FHB 이므로 = FHB, FHB 같은방법으로구하면 GHB FHG FHB GHB 따라서 FHG 이 그러므로,, 에서 21. [ 출제의도 ] 피타고라스정리를이용하여실생활문 제를해결한 그림은접은종이를다시펼쳐접힌부분을실선으로 나타낸것이 종이가접혀진모양에서 BPE BPG BQG BQF 두점 B, D 에일치하도록접어서만들어진선이선 분 PQ 이므로선분 PQ 는대각선 AC 의일부이고, 정 사각형의대각선은서로다른것을수직이등분한 두삼각형 BPG, BQG 에서 선분 BG 는공통인변이고 PGB QGB, PBG QBG 이므로 BPG BQG (ASA 합동 ) 따라서 BPE BPG BQG BQF EP PG GQ QF 라하자. 점 Q 는대각선 AC 위의점이므로 QCF 따라서삼각형 QFC 가직각이등변삼각형이므로 AP CQ QF 선분 AC 는정사각형 ABCD 의대각선이므로 AC AC AP PG GQ QC PQ 따라서, 에서 22. [ 출제의도 ] 두수의최대공약수를구한 두수, 의최대공약수는두수의공 통인소인수 과 을곱한수 이므로최대공 약수는 이 23. [ 출제의도 ] 이차함수의그래프의성질을이해하여 상수의값을구한 이차함수 의그래프는이차함수 의그래프를 축의방향으로 만큼, 축의방향으로 만큼평행이동한것이 따라서이차함수 의그래프는꼭짓점의 좌표가 이 이때꼭짓점 는일차함수 의그래프 위에있으므로, 를대입하면 24. [ 출제의도 ] 제곱근과부등식의성질을이해하여조 건을만족시키는자연수의개수를구한 부등식 에서 이므로제곱근의대소관계에의해 이부등식의양변을 으로나누면 이부등식을만족시키는자연수 는,,,,,, 이 따라서구하는자연수 의개수는 이 4

25. [ 출제의도 ] 주어진상황에맞는연립방정식을세워 식의값을구한 직사각형 ABCD 에서한변의길이가 인정사각형 개를연결하여만든변 AD 의길이와한변의길이 가 인정사각형 개를연결하여만든변 BC 의길 이가같 따라서 ᄀ 또직사각형 ABCD 의둘레의길이가 이 따라서 ᄂ ᄀ에서 를ᄂ에대입하면 을ᄀ에대입하면 따라서 26. [ 출제의도 ] 삼각형의닮음과이차방정식을이용하 여원뿔대의높이를구한 주어진원뿔대의두밑면의넓이가각각, 이므 로넓이의비는 이 그러므로 CD AB 에서 CD AB CD AB PC PA 이므로 PC PA 따라서 PA AC ( 원뿔의부피 ) ( 밑면의넓이 ) ( 높이 ) 이고원뿔 대의부피는원뿔의부피에서원뿔을밑면에평행한 평면으로잘라서생기는두입체도형중에서원뿔의 부피를빼면되므로 양변에 을곱하면 또는 이므로 27. [ 출제의도 ] 연립방정식을이용하여조건을만족시 키는자료를완성하고그분산을구한 받은점수 ( 점 ) 학생수 ( 명 ) 합계 모두 명의학생이 번의시합에서받은점수의총 합은 이므로 받은점수의총합 평균 도수의총합 ( 점 ) 학생수는모두 명이므로 ᄀ 학생들이받은점수를모두더하면 ᄂ ᄀ에서 를ᄂ에대입하면, 받은점수에대한편차와편차의제곱을구하여표로 나타내면다음과같 받은점수 ( 점 ) 도수 ( 명 ) 편차 편차 도수 분산 는 합계 편차 도수의총합 도수의총합 따라서 28. [ 출제의도 ] 제곱근의값을추측하여조건을만족시 키는순서쌍의개수를구한 와 는두자리자연수이므로, 가되어 조건 ( 가 ) 에서 는 의배수이므로 ( 는자연수 ) 라하면 이값이자연수가되려면근호안의수 가 어떤자연수의제곱이되어야한 과 은지수 5 가홀수이므로 ( 은자연수 ) 이 ⅰ) 일때 이고, 는두자리의자연수이 므로 일때, 일때, 일때, ⅱ) 일때 이므로가능한, 의값은없 마찬가지방법으로 일때가능한, 의값은 없 따라서조건을만족시키는모든순서쌍 는,,, 이므로 개 29. [ 출제의도 ] 삼각형의닮음과피타고라스정리를이 용하여선분의길이를구한 두반직선 AQ, BC 이만나는점을 S 라하자. 선분 AR 는 DAP 의이등분선이므로 AP AD PR RD 에서 AP AD AP, AD ( 는양수 ) 라하자. 사각형 ABCD 는정사각형이므로 AB AD 직각삼각형 ABP 에서 BP AP AB BP 이므로 BP PC AD BP PC 이므로 AD PS 이므로 DAS PSA ( 엇각 ) 따라서삼각형 APS 는이등변삼각형이 그러므로 PS PA CS PS PC 두삼각형 ABS, QCS 에서 S 는공통인각, ABS QCS 이므로 ABS QCS BS BC CS AB QC BS CS, 그러므로

점 P 에서변 AD 에내린수선의발을점 S, 두선분 SP, AQ 가만나는점을 T 라하자. 선분 AR 는 DAP 의이등분선이므로 AP AD PR RD 에서 AP AD AP, AD ( 는양수 ) 라하자. 사각형 ABCD 는정사각형이므로 AB AD 직각삼각형 ABP 에서피타고라스정리에의해 BP AP AB BP 이므로 BP PC AD BP PC 이므로 AS BP, AP 선분 AT 는 SAP 의이등분선이므로 ST TP AS AP 에서 ST TP 따라서 ST SP ST DQ 이므로 AST ADQ AS ST AD DQ DQ DQ, DQ 이므로 DC DQ [ 그림 ] [ 그림 ] 과같이두직선, 사이에있지않은점 C에대하여세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는삼각형은둔각삼각형이 [ 그림 ] 따라서세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는삼각형이예각삼각형이되려면점 C가두직선, 사이에있어야한 [ 그림 ] 는두직선, 사이에있는점 C에대하여세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는삼각형이직각삼각형이되는경우를나타낸것이 [ 그림 ] [ 그림 ] 와같이세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는삼각형이직각삼각형이면반원에대한원주각이 이므로세점 A, B, C 는선분 AB 를지름으로하는원위에있 따라서 [ 그림 ] 과같이선분 AB 를지름으로하는원을그리고점 C 가원의안에있는경우, 점 C 가원위에있는경우, 점 C 가원의밖에있는경우로나누어생각해보자. [ 그림 ] [ 그림 ] 과같이점 C 가원위에있는경우에는반원에대한원주각이 이므로 ACB 이 따라서세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는삼각형은직각삼각형이 따라서 30. [ 출제의도 ] 원의성질을이용하여조건을만족시키는삼각형을추측하고그개수를구한 세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는삼각형이예각삼각형이되려면세내각이모두 보다작아야한 [ 그림 ] 과같이 PAB, QBA 인모눈종이위의두점 P, Q 를생각한 [ 그림 ] [ 그림 ] 는두직선, 사이에있는점 C에대하여세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는삼각형이둔각삼각형이되는경우를나타낸것이 [ 그림 ] [ 그림 ] 와같이점 C 가원의안에있는경우에는 ACB 가반원에대한원주각보다크 따라서 ACB 이므로세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는삼각형은둔각삼각형이 [ 그림 ] [ 그림 ] 와같이두점 P, A 를지나는직선을, 두점 Q, B 를지나는직선을 이라하자. 두직선, 위의점 C 에대하여세점 A, B, C 를꼭짓점 으로하는삼각형은직각삼각형이 [ 그림 ] [ 그림 ] 은두직선, 사이에있는점 C에대하여세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는삼각형이예각삼각형이되는경우를나타낸것이 6 [ 그림 ] [ 그림 ] 과같이점 C가원의밖에있는경우에는 ACB 가반원에대한원주각보다작 따라서 ACB 이므로세점 A, B, C 를꼭짓점으로하

는삼각형은예각삼각형이 [ 그림 ] 그러므로 [ 그림 ], [ 그림 ], [ 그림 ] 으로부터세점 A, B, C 를꼭짓점으로하는삼각형중에서예각삼각형이되려면점 C가선분 AB 를지름으로하는원의밖에있어야한다는것을알수있 [ 그림 ] 은두직선, 사이에있고선분 AB 를지름으로하는원의밖에있는점 C 의위치를표시한것이 [ 그림 ] 따라서구하는점 C 의개수는 이 7