벡터의정의 Metl Forming CAE Lb. Deprtment of Mechnicl Engineering Gyeongsng Ntionl University, Kore Metl Forming CAE Lb., Gyeongsng Ntionl University
벡터의정의 벡터량과벡터 : 물리량 (physicl quntity) 으로서크기와방향성을갖는양 (quntity) 을벡터량 (vector quntity) 이라고하고, 이를수학적으로표현한것을벡터 (vector) 라고함 스칼라량과실수 ( 또는수 ): 크기만있고방향성이없는물리량을스칼라량 (sclr quntity) 이라고하고, 스칼라량은실수 (rel number) 로표현됨 벡터의표현 벡터자체 :,,,, AB 벡터크기 :,, 벡터의구성요소 필수적요소 ( 수학적요구조건 ) 벡터량의예 : 힘, 변위, 속도, 가속도, 열유동, 운동량, 모멘트등 스칼라량의예 : 일, 일률, 온도, 질량등 z A AB B 크기 : 점 A와 B 사이의거리 방향 : 점 A에서점 B로향하는화살표의방향 y 선택적요소 작용점 : B 작용선 : 점 A 와 B 를지나는직선 < 벡터의정의와기하학적표현 >
벡터의종류 미끄럼벡터 (sliding vector): 필수적요소 + 작용선 한정벡터 (bound vector): 필수적요소 + 작용점 자유벡터 (free vector): 필수적요소 ( 크기와방향 ) sttics elsticity rigid-body trnsltion F R B P u u R A Unknowns : R A, R B P Unknowns : deformtion, etc. Unknowns : displcement, etc. () sliding vector (b) bound vector (c) free vector < 벡터의종류 >
벡터의표현 수학적표현 : 성분으로표시하기 2차원평면 행벡터 : 또는 열벡터 : =, y = =, y y y, y () 2 차원 y, y 2 0 θ,, = + θ = cos 2 2 y 3 차원공간 행벡터 : 열벡터 : =,, y z = =,, y y z z 기계공학에서아무언급 성분으로표시하면, 크기와방향, 즉벡터의 필수적요건 ( 수학적요건 ) 을표현할수있음 (b) 3 차원,, θ z, 없으면열벡터를의미함 3, θ 3 0 z θ 2 3 = + +, y θ = cos 2 y, < 직각좌표계에서벡터의성분 > i 2 2 2 y z i 2
벡터관련용어정리 벡터 의크기 (mgnitude) : 벡터의방향 (direction) : 방향여현 (directionl cosine) : 2 2 2 2 2 2 = + y + 또는 z + 2 + 3 θi = i = i cos (, 2, 3) [ cos, cos, cos ] θ θ θ 2 3 단위벡터 : 크기가 인벡터 u = 또는 u = ( 0) 단위기초벡터 (unit bsis vector) : i = i= [, 0, 0] = e j = j = [ 0,, 0] = e 2 k = k= [ 0, 0, ] = e 3, i, e z, 3 k, e3 j, e2 < 좌표계와단위기초벡터 > y, 2
벡터의덧셈 + b [ + b, + b, + b ] 2 2 3 3 벡터와스칼라의곱셈 α [ α, α, α ] 2 3 벡터의연산 b b 2 +b + b b 벡터의덧셈과벡터-스칼라의곱셈의성질 + b = b + ( + b) + c = + ( b + c) 0+= ( 0= [ 0 0 0 ] ) 벡터 의크기, 놂 (norm) : +( - )=0 = ( ) 2 α ( +b)= α+ αb ( α+ β) = α + β α = α α ( β)=( α β) b b = b b + b < 벡터의덧셈, 벡터와스칼라의곱셈 > 평행사변형법칙
단위기초벡터를활용한벡터의수학적표현 벡터와스칼라곱, 벡터의덧셈으로부터 =, y, z = i+ y j + zk z 벡터의연산 ( 덧셈, 뺄셈, 내적, 벡터적, 백터와스칼라의곱셈등 ) 시, 단위기초벡터로표현하는것이원칙 z z k =,, y z b= b,, by bz i k i o y j j i+ j y y y + b = ( + b ) i + ( + b ) j + ( + b ) k y y z z
벡터의연산 벡터의내적 (inner product, dot product, sclr product) b 3 2 2 3 3 (, 2, b i i = b+ b + b = 3) b2 i= b3 b = b= 내적의기하학적의미 b = b = b cosθ 0 이면두벡터는직교함 b b 내적의성질 b = b ( b+ c) = b + c ( α) b = α( b) 0 = 0implies = 0 기타 < 벡터의내적 > i j = j k = k i = 0 ii=jj=k k=
벡터의연산 벡터적 (vector product, cross product) i j k c = b = = ( b b ) i + ( b b ) j + ( b b) k 2 3 2 3 3 2 3 3 2 2 b b b 2 3 벡터적의기하학적의미 크기 : 크기 : 두백터 c=bsin θ (0 θ π) b, b, bc,, 가이루는평행사변형의면적 c= 방향 : 벡터에수직하면서가오른손법칙을따름 b θ b b sinθ 벡터적의성질 b = b c < 벡터적의정의 > ( b+ c) = b+ c ( b) c= ( c) b ( b) c ( b c) = ( b) c= b c b = 0 // b b < 오른손법칙 > 기타 i j= k, j k= i, k i= j i i = j j=k k=0
예제 = [ ] [ ] 벡터 2, 5, 3 와 b = 6, 2, 에대한다음물음에답하라 ) + 2b b) 2 b c) b d) b e) 벡터 와 b 의사이각 θ f) b g) b h) b = b [ ] ) + 2b = 4,, [ ] b) 2 b = 2, 2, 7 c) b = 2 6 + ( 5) 2 + 3 ( ) = d) b = 6 2 + 2 ( 5) + ( ) 3 = 2 2 2 2 2 2 e) b = b cos = 2 + 5 + 3 6 + 2 + cos = 558 cos θ θ θ b= θ = cos ( / 588) = 9.45. 문제 c) 로부터이므로이다 f) b = (2i 5j+ 3 k) (6i+ 2 j k) = 4k+ 2j+ 30k+ 5i+ 8j 6i = i+ 20j+ 34k g) b = (6i+ 2 j k) (2i 5 j+ 3 k) = 30k 8 j 4k+ 6i 2 j 5i = i 20 j 34k h) 문제 ) 와 b) 로부터 b = b 이다.
n 차원으로의벡터의확장 R k 유클리디안벡터장 벡터의차원 : 2(3) 차원평면에서벡터량은 2(3) 차원벡터 k-차원벡터 : 성분이k개인벡터 R k : k-차원유클리디안벡터, k-차원유한차원실수벡터장 [ ] 2 = 2 k = { [ ] }, 2,, k ; i's re rel [ b, 2 b2,, k bk] [,,, ] + b + + + α α α α l = 2 b = ( b) = ( ) 2 2 k R = k n k
선형종속과선형독립 선형조합 (liner combintion) n c = c + c + + c i i 2 2 n n i= 선형독립 (linerly independent) c 모든가 0 일때만선형조합이 0 이되는경우, 벡터는선형독립이라고함 i i 선형종속 (linerly dependent) c 어떤가 0 이아닌데도선형조합이 0 이되는경우, 벡터는선형종속이라고함 예제 i i
좌표계와좌표 좌표 어떤점의위치를기준좌표계에대한상대적위치로표현한것 벡터량임 z, 3 기준좌표계와지방 ( 국부 ) 좌표계 직교좌표계 (orthogonl coordinte system) 직각좌표계 (rectngulr coordinte system) 원통좌표계 (cylindricl coordinte system) 구좌표계 (sphere coordinte system) z y z z = r cosθ y= rsinθ z = z, z θ r y y θ r φ ) 직각좌표계 b) 원통좌표계 c) 구좌표계 < 주요직교좌표계 > ζ i ξ i locl coordinte system η i reference coordinte system < 좌표계와좌표 > = rsinθ cosφ y= rsinθ sinφ z = rcosθ y, 2
행렬의정의 행렬 : 수의규칙적인배열 2 n m n 2 22 2 행렬 : A = [ ] n ij = m m2 mn 용어정의 : 행벡터 (row vector) : n 행렬 열벡터 (column vector) : m 행렬 정방행렬 (squre mtri) : n n 행렬 비대각항 (off-digonl term) : ( i j) ij 상삼각행렬 (upper tringulr mtri) U 하삼각행렬 (lower tringulr mtri) L 2 n = 0 22 2n 0 0 nn 0 0 2 22 0 = n2 n2 nn 대각항 (digonl term) : n n정방행렬에서 ii ( i=,2,, n) 영행렬 (zero mtri) 00 0 0 = 00 0 00 0 대각행렬 (digonl mtri) D 0 0 0 22 0 = 0 0 nn 단위행렬 (unit mtri) 0 0 I = [ δ ] 0 0 ij = 00 Kronecker delt
행렬의정의 용어정의 ( 계속 ) 부분행렬 (submtri) : 원래의행렬에서일부의행과열을제거한행렬 주부분행렬 (principl submtri) : 정방행렬에서동일번호의행과열을동시에제거하여만든부분행렬 전치행렬 (trnspose of mtri), A : 행렬 A의 (i,j)-요소 ij와 (j,i)-요소 ji의자리를바꾸어만든행렬 대칭행렬 (symmetric mtri) : A = A =, ij ji 의대칭행렬 (skew-symmetric mtri) : A = A =, ij ji 랭크 (rnk) : 선형독립적인행의수 (= 선형독립적인열의수 ) 특이행렬 (singulr mtri) : nⅹn 정방행렬에서랭크가 n - 이하일경우
행렬과벡터의관계 mⅹn 행렬의벡터표현 ⅹn 행벡터의 mⅹ 열벡터 mⅹ 열벡터의 nⅹ 행벡터 2 n 2 22 2n A= ij = = 2 = b b2 b m m m2 mn (,, ) n i i j i2 2 j = b j= in mj
행렬의덧셈및행렬과스칼라곱셈 행렬의덧셈의정의 C = A + B cij = ij + bij 행렬과스칼라곱셈의정의 C = αa c = α ij ij 성질 A+B = B+A A+ ( B +C) = ( A+ B ) +C A+0=A A+( A) = 0 α( A + B) = αa + αb ( α + β) A = αa + β A α ( β A) = ( α β) A A = A ( A + B) = A + B ( αa) = αa
행렬의곱셈 행렬의곱셈의정의 C = A B : m p행렬 A = [ ] 와 q n 행렬 B = [ ] 의곱 i i p = q l c ij 가만족될때, 행렬의요소 l ij = ikbkj = i b j = i b j k= 행렬의곱의성질 ( α A)B = α( AB) = A( αb) A(BC) = ( AB)C ( A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC ( AB) = B A cij 가정의됨 일반적으로 AB BA 이고, AB = 0이반드시 A = 0와 B = 0를의미하는것이아님 IA = A, AI = A, I = 예제 : 다음의행렬을이용하여 (AB) =B A 가성립함을보여라. j b ij j b j b2 j i cij i i i 2 i3 il b = 3j b lj m n행렬 m l행렬 l n행렬 8 0 22 이므로 (AB) = 2 4 5 2 AB = 0 7 8 7 3 이고, 22 3 A= 2 5 3, B= 2 4 3 0 2 2 4 5 2 0 BA = 2 5 0 22 2 2 = 이다. 따라서 4 3 3 8 7 3 (AB) = B A 이다.
행렬의변환기능과응용 행렬의역할 : A = y 수학적오퍼레이터 (opertor) 전달함수 (trnsfer function) 및변환 (trnsformtion) 의역할 rnsformtion A Mpping y 벡터량의좌표변환법칙 : < 행렬의역할 > F cosθ sinθ F F = y' sinθ cosθ F y ' cosθ sinθ = sinθ cosθ F cosθ = F + F F cosθ = F F ' y' y' y ' sinθ sinθ F cosθ sinθ F ' = F y sinθ cosθ Fy' y' y F y F y ' 변환행렬 =[t, t ] 2 = [ cos, sin ] t = [ sin θ, cosθ ] t θ θ 2 F θ F ' ' t = t =, t t = 0 2 2 = i cosθ sinθ i = j sinθ cosθ j 직교단위행렬 (orthonorml mtri) F y ' j' j i' O i F < 좌표변환 > θ
행렬의변환기능과응용 역학문제에서의행렬 변위 - 하중관계식 L Q u AE 2 2 = P + uy AF=U L L AE Qu, AE 2 2 + u Q = 2 2L u y P KU=F AE Pu, y 변위 - 하중관계식 σ σ y σ z + + + f = 0 y z σ y σ yy σ zy + + + f y = 0 y z σ σ z yz σ zz + + + f z = 0 y z 유한요소보간미분방정식의근사해법 강성행렬 KU F K ω M U 2 =, ( ) =0 변위벡터 하중벡터
행렬의판별치 (determinnt) 2 2 행렬의판별치 : D = det A = 2 = 22 2 2 2 22 3 3 행렬의판별치 : D = det A = = + 2 3 22 23 2 23 2 22 2 22 23 2 3 32 33 3 33 3 32 3 32 33 n n 행렬의판별치 : 2 n 22 23 2n 2 23 2n D det A 2 22 2n 32 33 3n 3 33 3n = = = 2 + n n2 nn n2 n3 nn n n3 nn n n i+ j ji ji ij ij ij ij ij i= i= D= C = C ( j =, 2,, n), C = ( ) M ( C : = M 여인자 (cofctor)) M 2 2 = C + C + 2 2 D= ( ) n n i+ j i+ j jim ji = ( ) ijmij i= i= M ij : 마이너 (minor), i-행과 j-열을소거하여얻은 (n-) (n-) 부분행렬의판별치
행렬의판별치 판별치의일반적성질 2 A = A AB = BA = A B 3 행렬의한행또는한열에상수c를곱하여만든행렬의판별치는본래행렬의판별치의 c 배임 4 어떤행렬의임의의두행 ( 또는두열 ) 을교환하여만든새로운행렬의판별치는본래행렬의판별치의부 (negtive) 의값을가짐 5 어떤행렬의한행 ( 또는하나의열 ) 에다른행 ( 또는열 ) 의상수배를더하여만든새로운행렬의판별치는본래행렬의판별치와동일함 6 행 ( 또는열 ) 벡터가선형종속이면판별치는 0임 예제 D = det A = = + 2 3 22 23 2 3 2 3 2 22 23 2 3 32 33 32 33 22 23 3 32 33 2 2 3 D = det A = c2 c22 c23 = cdet A 3 32 33 3 2 3 D = det A = 3 32 33 = det A 2 22 23
역행렬 n n 행렬 A 의역행렬 : - A - - AA = I 또는 A A = I - A = [ Cij] = [ Aij ] det A det A * 행렬의곱의역행렬 ( AB) = B A ( ABCD ) = D C B A 선형연립방정식 * [ A ] = [ C ] : 행렬 ij [ A ] ij ij C C C = Cn C2n Cnn 2 n * C2 C22 Cn2 직교단위행렬과변환행렬 A의어조인트 (djoint) A = b A A = A b, I = A b, = A b 참고사항 : Kronecker delt if i = j δij = 0 if i j 0 0 0 0 I = δ = ij 00 - AA = D 일때, 행렬 A 를직교행렬 (orthogonl mtri) 이라고함 AA = I =δ 일때, 행렬 A 를직교단위행렬 (orthonorml) 이라고함., i j ij 변환행렬은직교단위행렬임. 즉, = I 임. 따라서 = - 임 A = A -
선형방정식과해법 선형방정식 A = b 선형방정식의해법 직접법 Guss-Jordn 소거법 LU 분해법 ( 또는 Cholesky 분해법 ) 띠형행렬법 (bnded mtri) 스카이라인법 (skyline method) 저밀도행렬기법 (sprse mtri techique) 전선해법 (frontl solution method) 반복법 행렬직교방향법 (conjugte direction method)
상사변환 상사변환 (similrity trnsformtion) 의정의 A = RAR 상사변환의성질 A 와 A 의고유치는동일 고유벡터의관계 : = R ( : 행렬 A 의고유벡터, : A 의고유벡터 ) 상사변환의응용 σ = = σ σ i' j' i' p j' q pq ip ' pq jq ' σ = σ ip ' ' ip ' pq jq '
고유치문제 제차선형연립방정식 (homogeneous liner eqution) : = 0 IF : A = 0 : 무의미해 (trivil solution) 0 A = 0 고유치문제 : A = λ 또는 ( A λi ) = 0 n n행렬 ( A λi ) 의행벡터또는열벡터는선형종속이어야함 λ : 고유치 (eigenvlue) 또는특성치 (chrctoeristic vector) : 고유벡터 (eigenvector) 또는특성벡터 (chrcteristic vector) 특성방정식 (chrcteristic eqution) : n n A λi A λi = 0 행렬의랭크가 n보다작기위한조건또는행렬가특이행렬이될조건 n 차의비선형방정식 λ = λ, λ2,, λ n n 행렬 A가대칭이면, n 개의실근존재 n ( ) () i A λi = 0 () i ( j) 고유벡터의직교성 : = 0 A = λ, A = λ (i) (i) ( i ) ( j ) ( j ) ( j ) ( A A ) = (λ λ ) () j () i () i ( j) () i ( j) () i ( j) () i ( j) () i ( j) If A A = 0, ( λ λ ) = 0 = 0 ( j) ( j) ( i) A λi ( ) λ ( ) A = λ, A = () i () i () i ( j ) ( j ) () i ( j )