Principles of Economerics (3e) Ch. 9 동태모형, 자기상관, 예측 2013 년 1 학기 윤성민
9.1 서론 경제적인과관계의시차효과 x 변화는여러기간에걸쳐종속변수에영향을미칠수있음 x y, y+1, y+ 2, 2
9.1 서론 경제변수의동태적관계를모형화할수있는세가지방법 시차설명변수의도입 x y, y+1, y+ 2, 이관계를달리표현하면, = f ( x, x 1, x 2, ) ( 예 ) 현재이자율의변화는현재실업률과장래의실업률에영향미침 현재실업률은현재이자율뿐만아니라과거이자율에도의존함 시차종속변수의도입 y = f( y, x ) 1 ( 예 ) 높은실업률이지속되는경향있음 ( 경제의추세적변화, 관성 ) 오차항구조의동태화 y = f( x ) + e e = f( e ) ( 예 ) 테러에의한유전파괴는현재유가뿐만아니라장래유가에도영향 1 y 3
9.1 서론 <9장에서배우는내용 > 경제변수의동태적관계를모형화할수있는세가지방법 세가지방법이별개의것이아님 - 유사한효과가있음 동태모형을예측을하는데활용하는방법 - 모형을동태화하는주된목적은예측 4
이장에서는모형에포함된변수들이안정적이라고가정함 - 변수가불안정한경우는 12장에서공부함 안정적시계열 (saionary variable) - 시간이흘러도평균과분산이일정한값을나타내는시계열 5
9.1 서론 불안정한시계열 (a) Random walk 하는시계열 Nonsaionary Variable ha is Slow Turning or Wandering 6
9.1 서론 불안정한시계열 (b) Random walk wih a drif Trends 를가지는시계열 7
9.2 오차항의시차 : 자기상관 예상치못한충격이경제에미치는영향이일정기간지속되는경우있음 종속변수는현재충격이미치는영향뿐만아니라이전충격의이월된영향을받게됨 금기의충격은이전기의충격과관련됨 오차항에자기상관 (auocorrelaion) 이존재한다고말함 8
9.2 자기상관 자기상관과관련된주제 횡단면자료의경우보통표본을 random sampling에의해수집하므로자기상관의문제가없음 시계열자료의경우표본이시간의흐름에따라수집되므로연속되는오차들이서로상관될가능성이항상있음 자기상관이존재할때 OLS 추정량의문제는무엇인가? 자기상관이존재하는지를어떻게탐지할수있는가? 자기상관이존재하는경우어떻게조치를취해야하는가? 9
9.2 자기상관 If Cov( y, y ) = Cov( e, e ) 0 s s 자기상관 (auocorrelaion) 이존재 10
9.2.1 사탕수수가격변화에대한경작면적의반응 9.2 자기상관 사탕수수경작면적의가격탄력성을알면, 방글라데시정부는사탕수수가격정책수립에활용할수있음 회귀모형 ln ( ) ln ( ) A =β +β P + e 1 2 y x e 1 2 A : 경작면적, P : 가격 =β +β + y = ln ( A ) x = ln ( P) 다중회귀모형의기본가정이충족된다면 OLS로추정가능 시계열자료이용하여 OLS로추정한결과 yˆ = 3.893 + 0.776 x (se) (0.061) (0.277) 11
9.3 AR(1) 오차의추정 OLS Dependen Variable: LNA Mehod: Leas Squares Dae: 04/24/11 Time: 22:14 Sample: 1 34 Included observaions: 34 LNA=C(1)+C(2)*LNP Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C(1) 3.893256 0.061345 63.46486 0.0000 C(2) 0.776119 0.277467 2.797154 0.0087 R-squared 0.196466 Mean dependen var 3.980680 Adjused R-squared 0.171355 S.D. dependen var 0.338123 S.E. of regression 0.307793 Akaike info crierion 0.538245 Sum squared resid 3.031571 Schwarz crierion 0.628031 Log likelihood -7.150159 Hannan-Quinn crier. 0.568864 F-saisic 7.824072 Durbin-Wason sa 1.168987 Prob(F-saisic) 0.008653 12
9.2 자기상관 <OLS 잔차계산결과 > yˆ = 3.893 + 0.776 x eˆ = y yˆ 13
9.2 자기상관 <OLS 잔차의그림 : Residuals ploed agains ime> 14
9.2 자기상관 잔차그래프 e i (a) (b) (c) 0 i( 시간 ) (d) (e) (f) 15
9.2 자기상관 현재의오차항이이전의오차에관련되는것을모형화할수있는방법은무엇일까? 가장간단한방법은다음의 AR(1) 모형으로나타내는것임 e =ρ e + v 1 (a) ρe 1 부분은경제활동의관성으로인해 이전기간의오차에서이월된부분 (b) v 부분은새로운 ( 금기의 ) 충격이만들어낸무작위오차 16
9.2 자기상관 현재의오차항이이전의오차와관련되는것을모형화하는방법 AR(1) 모형 ρ 는충격의영향이얼마나빨리소멸되는지를나타내는모수 ρ 의크기가클수록충격의영향이다음기간으로많이이월됨 - 종속변수에대한충격의영향이시간의흐름에따라서서히확산됨 AR(p) 모형 MA(q) 모형 e =ρ e + v 1 e =φ e +φ e + +φ e + v 1 1 2 2 p p e = v θv θ v θ v 1 1 2 2 q q 17
9.2 자기상관 9.2.2 1차자기회귀오차, AR(1) 오차항이 AR(1) 모형을따른다고하자 ( 이를 AR(1) 과정이라고함 ) y =β 1 +β 2 x + e, e =ρ e 1 + v - v 는무작위오차이고, iid 확률변수임 (independenly and idenically disribued) Ev = v =σ v v = s 2 ( ) 0, var( ) v, cov(, s) 0 for (a) ρe 1 부분은경제활동의관성으로인해 이전기간의오차에서이월된부분 (b) v 부분은새로운 ( 금기의 ) 충격이만들어낸오차 18
9.2 자기상관 AR(1) 오차의특성 e =ρ e + v 1 AR(1) 모형오차의특성을결정하는요소는 ρ 임 ρ 에대해다음과같이가정함 1<ρ< 1 - 만약 ρ 의값이이범위를넘어서면, e 는시간이경과함에따라점점더커져 궁극적으로는무한대가됨 ( 상식밖의결과 ) 19
9.2 자기상관 AR(1) 오차의특성 e =ρ e + v 1 1<ρ< 1 AR(1) 모형의오차는평균이 0 임 AR(1) 모형의오차는동분산임 AR(1) 모형의오차들사이의독립성은? ( 공분산을알아보자 ) 2 ( e e ) k cov, =σρ, k > 0 k e 공분산은 ρ 와 k 에의존 Ee ( ) = 0 var( ) σ =σ = 1 ρ 2 e e ( 는오차간의시차, AR(1) 경우에는 ) - ρ = 0 이면공분산은 Cov(, ) = 0 ( 오차들은독립적 ) e e k - ρ 0 이면공분산은 k 가증가함에따라급격히감소 2 v 2 k k = 1 cov( e, e ) cov( e, e ) σρ corr( e, e k) = = = = ρ var( e ) var 2 k k k e 2 ( e ) var( e) σ k e ρ, 2 ρ, k 3 ρ, 4 ρ, 20
9.3 AR(1) 오차의추정 9.3.1 자기상관이있는경우의 OLS 추정의문제점 회귀모형오차에자기상관이존재하지만, 이를무시하거나알지못하여 OLS 이용하여추정한경우에는어떤문제가발생하는가? 오차항이 AR(1) 과정을따를경우 2 ( e e ) k cov, k =σρ e, k > 0 이것은 OLS 추정의기본가정인독립성가정에위배됨 ( ) cov e, e = 0, s s 21
9.3 AR(1) 오차의추정 자기상관이있는경우의 OLS 추정의문제점 OLS 추정량은선형불편추정량이지만, 최소분산을가지지는않음 (BLUE 아님 ) 더분산이작은추정량을찾을수있을것임 (GLS 추정량 ) 추정치의표준오차는부정확하므로 ( 클수도작을수도있음 ), 이를이용한가설검정및신뢰구간은오류를범할수있음 OLS 추정량에대한정확한표준오차구하는방법있음 (HAC 표준오차, Newey-Wes 표준오차 ) yˆ = 3.893 + 0.776 x (0.061) (0.277) 'incorrec' se (OLS) (0.062) (0.378) 'correc' se 22
9.3 AR(1) 오차의추정 OLS + Newey-Wes 표준오차 Dependen Variable: LNA Mehod: Leas Squares Dae: 05/19/11 Time: 15:02 Sample: 1 34 Included observaions: 34 Newey-Wes HAC Sandard Errors & Covariance (lag runcaion=3) LNA=C(1)+C(2)*LNP Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C(1) 3.893256 0.062444 62.34761 0.0000 C(2) 0.776119 0.378207 2.052102 0.0484 R-squared 0.196466 Mean dependen var 3.980680 Adjused R-squared 0.171355 S.D. dependen var 0.338123 S.E. of regression 0.307793 Akaike info crierion 0.538245 Sum squared resid 3.031571 Schwarz crierion 0.628031 Log likelihood -7.150159 Hannan-Quinn crier. 0.568864 F-saisic 7.824072 Durbin-Wason sa 1.168987 Prob(F-saisic) 0.008653 23
9.3 AR(1) 오차의추정 9.3.2 AR(1) 오차모형의비선형최소제곱추정법 (NLS) AR(1) 오차모형의경우, OLS 추정량에대한정확한표준오차를구하는것이가능하기는함 그렇지만더나은추정방법이있음 기본회귀모형의변형 y =β 1+β 2x + e e =ρ e 1 + v y =β 1+β 2x +ρ e 1+ v e = y β β x 1 1 1 2 1 v 는 iid random error NLS 적용하여추정하면됨 사탕수수사례 ρ e 1 = ρy 1 ρβ1 ρβ2x 1 y =β 1+β 2x +ρy 1 ρβ1 ρβ 2x 1+ v ln( A) = 3.899 + 0.888ln( P) e = 0.422e + v 1 (se) (0.092) (0.259) (0.166) 24
AR(1) 추정 (NLS 이용 ) 9.3 AR(1) 오차의추정 y =β +β x +ρy ρβ ρβ x + v Dependen Variable: LNA Mehod: Leas Squares 1 2 1 1 2 1 Dae: 05/19/11 Time: 15:17 ln( A) = 3.899 + 0.888ln( P) e = 0.422e 1 + v Sample (adjused): 2 34 Included observaions: 33 afer adjusmens (se) (0.092) (0.259) (0.166) Convergence achieved afer 6 ieraions LNA=C(1)+C(2)*LNP+C(3)*LNA(-1)-C(3)*C(1)-C(3)*C(2)*LNP(-1) Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C(1) 3.898771 0.092166 42.30167 0.0000 C(2) 0.888371 0.259298 3.426056 0.0018 C(3) 0.422138 0.166047 2.542274 0.0164 R-squared 0.277777 Mean dependen var 3.999309 Adjused R-squared 0.229629 S.D. dependen var 0.325164 S.E. of regression 0.285399 Akaike info crierion 0.416650 Sum squared resid 2.443575 Schwarz crierion 0.552696 Log likelihood -3.874725 Hannan-Quinn crier. 0.462425 Durbin-Wason sa 1.820557 25
9.3 AR(1) 오차의추정 9.3.2a AR(1) 오차모형의 GLS 추정법 기본회귀모형의변형, y =β 1+β 2x + e e =ρ e 1 + v y =β 1+β 2x +ρ e 1+ v e = y β β x 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 ρ e = ρy ρβ ρβ x y =β 1+β 2x +ρy 1 ρβ1 ρβ 2x 1+ v ( 1 ) ( ) y ρ y =β ρ +β x ρ x + v 1 1 2 1 y = y ρy 1 = ρ x 1 = 1 ρ x2 x x 1 으로바꾸어표시하면 y = x β+ x β+ v 1 1 2 2 이변형된식의오차항 (v ) 는동분산, 독립 따라서 OLS 이용하면 β ρ 1, β 2 에대한 BLUE 추정량구할수있음 그렇지만자기상관계수는어떻게알수있는가? 26
GLS를이용한추정절차 (Cochrane-Orcu 추정법 ) ρ 대신그것의추정치 ρˆ 를이용하는방법 (1) y =β +β x + e 를추정하여 eˆ = y b1 bx 2 를구함 1 2 (2) 이잔차자료를이용하여 OLS 방법으로 ρˆ 를추정함 (3) ρˆ 를이용하여변형된자료만듦 y ˆ = y ρy 1 x ˆ 1 = 1 ρ x ˆ 2 = x ρx 1 (4) y = x β+ x β+ v 를 OLS로추정 1 1 2 2 9.3 AR(1) 오차의추정 ρ= ˆ (1) 단계부터다시반복, 추정치가수렴하면종료 이추정방법은앞의 NLS 추정법과사실상동일함 ( 부록 9A) T = 2 T = 2 ee ˆ ˆ eˆ 1 2 1 27
9.3 AR(1) 오차의추정 AR(1) (Cochrane-Orcu 추정법 ) Dependen Variable: LNA Mehod: Leas Squares Dae: 04/24/11 Time: 22:34 Sample (adjused): 2 34 Included observaions: 33 afer adjusmens Convergence achieved afer 7 ieraions Quick 클릭, Esimae Equaion 클릭, lna c lnp ar(1) 입력 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 3.898771 0.092165 42.30197 0.0000 LNP 0.888370 0.259299 3.426048 0.0018 AR(1) 0.422140 0.166047 2.542284 0.0164 R-squared 0.277777 Mean dependen var 3.999309 Adjused R-squared 0.229629 S.D. dependen var 0.325164 S.E. of regression 0.285399 Akaike info crierion 0.416650 Sum squared resid 2.443575 Schwarz crierion 0.552696 Log likelihood -3.874725 Hannan-Quinn crier. 0.462425 F-saisic 5.769216 Durbin-Wason sa 1.820560 Prob(F-saisic) 0.007587 28
9.3 AR(1) 오차의추정 AR(1) 오차모형의 GLS 추정법에서첫번째표본의추정방법 아래의변형에서는첫번째표본관찰치를구할수없음 y ˆ = y ρy 1 x ˆ 1 = 1 ρ x ˆ 2 = x ρx 1 = 2,3,, T 에대해서만 ( y, x1, x2) 를구할수있음 =1 에대응되는 ( y, x, x ) 를구하는방법 (Prais-Winsern 추정량 ) 1 11 12 y = 1 ρ y x = 1 ρ 2 2 1 1 11 x = 1 ρ x e = 1 ρ e 2 2 12 1 1 1 Cf. σv var( e ) (1 ) var( ) (1 ) 1 ρ 2 2 2 2 1 = ρ e1 = ρ =σ 2 v 동분산, 독립성충족 29
9.3 AR(1) 오차의추정 동태적모형사이의관계 오차항의자기상관을명시적으로모형화하는방법 y =β +β x + e e =ρ e 1 + v 1 2 (se) (0.092) (0.259) (0.166) 정태적선형모형에시차종속변수와시차설명변수를포함시키는방법 y =β +β x +ρy ρβ ρβ x + v 1 2 1 1 2 1 y =β (1 ρ ) +β x ρβ x +ρ y + v 1 2 2 1 1 y =δ+δ x +δ x +θ y + v 0 1 1 1 1 ln( A) = 3.899 + 0.888ln( P) e = 0.422e + v 1 yˆ = 2.366 + 0.777x 0.611 x + 0.404y 1 1 (se) (0.656) (0.280) (0.297) (0.167) 두방법은동일한효과 30
시차종속변수와시차설명변수가포함된모형 Dependen Variable: LNA Mehod: Leas Squares Dae: 05/19/11 Time: 15:32 Sample (adjused): 2 34 Included observaions: 33 afer adjusmens LNA=C(1)+C(2)*LNP+C(3)*LNP(-1)+C(4)*LNA(-1) 9.3 AR(1) 오차의추정 yˆ = 2.366 + 0.777x 0.611 x + 0.404y 1 1 (se) (0.656) (0.280) (0.297) (0.167) Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C(1) 2.366173 0.655701 3.608615 0.0011 C(2) 0.776629 0.279813 2.775530 0.0095 C(3) -0.610862 0.296644-2.059245 0.0485 C(4) 0.404284 0.166624 2.426323 0.0217 R-squared 0.304297 Mean dependen var 3.999309 Adjused R-squared 0.232328 S.D. dependen var 0.325164 S.E. of regression 0.284899 Akaike info crierion 0.439845 Sum squared resid 2.353848 Schwarz crierion 0.621240 Log likelihood -3.257444 Hannan-Quinn crier. 0.500879 F-saisic 4.228155 Durbin-Wason sa 1.843321 Prob(F-saisic) 0.013492 31
9.3 AR(1) 오차의추정 AR(1) 추정을위한 SAS program daa sugar ; infile 'C:\mp\able12-1.prn ; inpu a p ; y = log(a) ; x = log(p) ; * creae daase; * open daa file; * inpu variables; * ake logs; proc auoreg daa=sugar ; model y = x / nlag=1 ; run ; * esimae auoregressive model; * GLS for AR(1) via 2-sep esimaor; 32
9.4 자기상관에대한검정 추정된식에자기상관이존재하는지를검정하는세가지방법 잔차상관도표 (residual correlogram) 를그려살펴보는방법 LM 검정 (Lagrange muliplier es) DW 검정 (Durbin-Wason es) 33
9.4 자기상관에대한검정 9.4.1 잔차상관도표를이용한자기상관검정법 (1 시차경우 ) AR(1) 모형 가설 : 검정통계량 : y =β +β x + e e =ρ e 1 + v 1 2 H : ρ= 0 H : ρ 0 0 1 v 는무작위오차이고, iid 확률변수임 z= Tr1 N(0,1) r ˆ ˆ 1 = corr( e, e 1) 5% 유의수준의채택역 : 1.96 z + 1.96 사탕수수예경우 : z = 34 0.404 = 2.36 1.96 결론 : 오차가자기상관되어있음. AR(1) 모형이적절함. 34
9.4 자기상관에대한검정 9.4.1 잔차상관도표를이용한자기상관검정법 ( 모든시차경우 ) 앞에서는잔차의 1시차자기상관만을검정하였음 - 이경우기각역은다음과같이두가지로표현할수있음 Tr 1.96 1.96 1.96, Tr 1.96 혹은 r1, r1 T T 1 1 잔차상관도표 : 모든시차에서의잔차의표본자기상관함수 r = corr( eˆ, eˆ ), k= 1, 2,..., k k k k 시차의자기상관을검정하는기각역 : (5% 유의수준경우 ) r k 1.96 1.96, rk T T 35
9.4 자기상관에대한검정 9.4.1 잔차상관도표를이용한자기상관검정법 1.96 대부분 SW에서는잔차상관도표와 ± 를함께보여줌 T 1.96 잔차자기상관그림이 ± 보다크거나작은경우나타나면, T 5% 유의수준에서자기상관이존재한다고결론내리면됨 36
9.4 자기상관에대한검정 9.4.1 잔차상관도표를이용한자기상관검정 ( 사탕수수경우 ) y =β +β x + e 의경우 (6 시차까지만검정한다면 ) 1 2 r = 0.404, r = 0.122, r = 0.084, r = 0.353, r = 0.420, r = 0.161 1 2 3 4 5 6 자기상관존재함 (1, 4, 5 시차에서 ) 37
9.4 자기상관에대한검정 9.4.1 잔차상관도표를이용한자기상관검정 ( 사탕수수경우 ) AR(1) 모형의경우 y =β +β x + e e =ρ e 1 + v 1 2 y =β (1 ρ ) +β x +ρy ρβ x + v 혹은모형경우 1 2 1 2 1 자기상관존재함 (4, 5 시차에서 ) 그렇지만선형모형보다크게완화되었음을알수있음 38
9.4 자기상관에대한검정 잔차상관도표 ( 사탕수수경우 ): Eviews oupu OLS 추정후, View-Residual Tess 클릭, Correlogram-Q-Saisics 클릭, 적절한시차입력 39
9.4 자기상관에대한검정 9.4.2 LM 검정을이용한자기상관검정법 자기상관탐지를위한 AR(1) 모형과가설 y =β +β x +ρ e + v H ρ = 0, H : ρ 0 1 2 1 e 1 만약를관찰할수있다면, 통상적인모수추정치에대한 - 검정실시하면됨 e 1 eˆ 1 는관찰될수없기때문에, 대신이용해검정가능 이렇게하는것을 LM 검정이라함 0 : 1 > 사탕수수예에서의검정결과는다음과같음 =2.439 F=5.949 p-값 =0.021 5% 유의수준에서귀무가설 H : 0 을기각함 ρ 0 = ( 즉자기상관존재함 ) ( eˆ = y b bx ) 1 1 1 2 1 40
2 9.4.2 LM 검정을이용한자기상관검정법 ( LM = T R 이용 ) 자기상관탐지를위한 AR(1) 모형을변형 다음의보조회귀수행 y =β +β x +ρ e + v 1 2 1 b+ bx+ eˆ =β +β x+ρ eˆ + vˆ 1 2 1 2 1 γ 1 = ( β1 b1) γ 2 = β2 b2 위회귀식의설명력은 eˆ 1 과는거의 0 에가까우므로, 에서비롯됨 H : ρ 0 이참인경우, (R 2 는위식의결정계수 ) 0 = 2 LM = T R 은대략 분포를따름 9.4 자기상관에대한검정 eˆ = ( β b ) + ( β b ) x +ρ eˆ + vˆ 1 1 2 2 1 =γ +γ x +ρ eˆ + vˆ ( ) χ 2 (1) 1 2 1 41
9.4 자기상관에대한검정 9.4.2 LM 검정을이용한자기상관검정법 ( 사탕수수예 ) LM T R 2 = = = 34 0.16101 5.474 χ 2 (1) 분포에서유의수준 5% 일경우임계값은 3.84 따라서귀무가설기각 ( 즉, 자기상관존재함 : p- 값 =0.019) LM 검정은다양한변종과일반화된방법이있음 - 교과서 p. 338 에일부소개되어있음 42
9.4 자기상관에대한검정 LM es, SAS program daa sugar ; infile 'C:\mp\able12-1.prn ; inpu a p ; y = log(a) ; x = log(p) ; proc auoreg daa=sugar; model y = x ; oupu ou=sugarou r=eha; daa lmes; se sugarou; eha_1=lag(eha); if =1 hen eha_1=0; proc auoreg daa=lmes; lmes:model y = x eha_1; es eha_1=0; run ; * creae daase; * open daa file; * inpu variables; * ake logs; * esimae auoregressive model; * oupu residuals; * creae daa se; * read sugar oupu; * lagged residuals; * esimae lm model; * eha(-1) added o model; 43
9.4 자기상관에대한검정 Godfrey (1988) 의 LM es, SAS program daa sugar ; infile 'C:\mp\able12-1.prn ; inpu a p ; y = log(a) ; x = log(p) ; * creae daase; * open daa file; * inpu variables; * ake logs; proc auoreg daa=sugar ; model y = x / godfrey=1 ; run ; * esimae auoregressive model; * auomaic LM es for AR(1) errors; 44
사탕수수예 : LM es 결과, Eviews oupu Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM Tes: 9.4 자기상관에대한검정 F-saisic 5.949152 Prob. F(1,31) 0.0206 Obs*R-squared 5.474312 Prob. Chi-Square(1) 0.0193 Tes Equaion: Dependen Variable: RESID Mehod: Leas Squares Dae: 04/24/11 Time: 23:03 Sample: 1 34 Included observaions: 34 Presample missing value lagged residuals se o zero. OLS 추정후, View-Residual Tess 클릭, Serial Correlaion LM es 클릭, 적절한시차 (1) 입력 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C -0.008116 0.057186-0.141927 0.8881 LNP 0.091601 0.260934 0.351052 0.7279 RESID(-1) 0.407821 0.167202 2.439088 0.0206 R-squared 0.161009 Mean dependen var 2.45E-17 Adjused R-squared 0.106881 S.D. dependen var 0.303094 S.E. of regression 0.286439 Akaike info crierion 0.421513 Sum squared resid 2.543460 Schwarz crierion 0.556192 Log likelihood -4.165715 Hannan-Quinn crier. 0.467442 F-saisic 2.974576 Durbin-Wason sa 1.905835 Prob(F-saisic) 0.065802 45
9.4 자기상관에대한검정 9.4.3 더빈 - 왓슨검정 (Durbin-Wason es) y =β +β x + e e =ρ e 1 + v 1 2 H 0 : ρ = 0, H1 : ρ > DW 통계량 : d = T 0 ( 양의자기상관이일반적인점을고려 ) ( eˆ ˆ ) 2 e 1 = 2 T = 1 eˆ 2 d ( ρˆ ) 21 ( eˆ = y b bx) 1 2 If ˆ ρ = 0 d 2 DW 값이 2에가까우면, 자기상관없음 If ˆ ρ +1 d 0 DW 값이 2보다작을수록 양의자기상관 If ˆ ρ 1 d 4 DW 값이 2보다클수록 음의자기상관 46
9.4 자기상관에대한검정 사탕수수예 : OLS 추정결과 Dependen Variable: LNA Mehod: Leas Squares Dae: 04/24/11 Time: 22:14 Sample: 1 34 Included observaions: 34 LNA=C(1)+C(2)*LNP Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C(1) 3.893256 0.061345 63.46486 0.0000 C(2) 0.776119 0.277467 2.797154 0.0087 R-squared 0.196466 Mean dependen var 3.980680 Adjused R-squared 0.171355 S.D. dependen var 0.338123 S.E. of regression 0.307793 Akaike info crierion 0.538245 Sum squared resid 3.031571 Schwarz crierion 0.628031 Log likelihood -7.150159 Hannan-Quinn crier. 0.568864 F-saisic 7.824072 Durbin-Wason sa 1.168987 Prob(F-saisic) 0.008653 47
9.4 자기상관에대한검정 사탕수수예 : AR(1) 추정결과 Dependen Variable: LNA Mehod: Leas Squares Dae: 04/24/11 Time: 22:34 Sample (adjused): 2 34 Included observaions: 33 afer adjusmens Convergence achieved afer 7 ieraions Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 3.898771 0.092165 42.30197 0.0000 LNP 0.888370 0.259299 3.426048 0.0018 AR(1) 0.422140 0.166047 2.542284 0.0164 R-squared 0.277777 Mean dependen var 3.999309 Adjused R-squared 0.229629 S.D. dependen var 0.325164 S.E. of regression 0.285399 Akaike info crierion 0.416650 Sum squared resid 2.443575 Schwarz crierion 0.552696 Log likelihood -3.874725 Hannan-Quinn crier. 0.462425 F-saisic 5.769216 Durbin-Wason sa 1.820560 Prob(F-saisic) 0.007587 48
9.4 자기상관에대한검정 Durbin-Wason es 의임계치 y =β +β x + e 1 2 H 0 : ρ = 0, H1 : ρ > d ( ρˆ ) 21 0 e =ρ e + v 1 교과서 (2 판 ) < 표 5> 이용, 두개의임계치이용하여검정함 - d < 이면, H : ρ 0 기각하고 H : ρ 0 채택함 d LC 0 = - d > 이면, H : ρ 0 기각하지않음 d UC 0 = 1 > - d < d < 인경우에는결론을내리지못함 LC d UC 49
9.4 자기상관에대한검정 Durbin-Wason es 의결정규칙 f (d) 기각역미결정채택역미결정기각역 L d U d 4 d ) 4 d ) ( U ( L 0 2 4 d 50
9.4 자기상관에대한검정 51
사탕수수재배면적사례의 Durbin-Wason es 9.4 자기상관에대한검정 DW 임계치표에서 T=34, K*=1 을찾으면 d LC 1.393, d = 1,514 = UC OLS 추정결과에서 DW 통계량계산값은 ln ( ) ln ( ) A =β +β P + e 1 2 d =1.1689 d( = 1.1689) < d LC ( = 1.393) 이므로, H 0 : ρ = 0 를기각함 유의수준 5% 에서사탕수수재배면적모형에는자기상관이존재한다고결론내릴수있음 AR(1) 모형의경우 DW 통계량계산값은 d =1.8206 자기상관없다고결론내릴수있음 52
9.4 자기상관에대한검정 DW es 와 LM es 비교 DW es 검정결과와 LM es 검정결과가다를수있음 - LM es가제2종오류를범했을가능성이높음 ( 검정력약함 ) DW es는오차항이정규분포할경우소표본에도적용가능, LM es는대규모표본일때적용가능 설명변수에시차종속변수 y 1 DW es 는부적절, LM es 사용해야함 e, 2 e 3 가포함되는경우는 등고차적시차를포함하는자기상관구조를검정하기 위해서는 F- 검정을이용하여 LM es 사용해야함 53
9.5 자기회귀모형 AR(p) 를이용한예측 자기회귀 (auoregressive: AR) 구조의모형은이제까지동태적인오차항을모형화하는데사용되었지만, 어떤시계열 y 의관찰값을모형화하는데도사용됨 AR(p) model y =δ+θ y +θ y + +θ y + v v ~ 1 1 2 2 p p iid 오차 ARDL model (9.7 에서다룸 ) VAR model (13 장에서다룸 ) ARMA, ARIMA, ARFIMA,. model 54
9.5 AR(p) 모형에서의예측 사례 : 미국인플레이션율예측 현재시점을 2006년 5월이라고할때, 향후 3개월각각에서미국인플레이션율을예측하려고함 자료 : 1983. 12~2006. 5 (270개월별관찰값 ) CPI CPI 1 y = ( ln( CPI) ln( CPI 1) ) 100 100 CPI 1 AR(p) 모형에서시차 p의길이를결정하는방법 - 오차항 v 가자기상관되지않도록함 (v ~iid 만족되는시차 ) - AIC, BIC (SC) 등의값을최소화시키는시차 - AIC 값이비슷하다면시차를적게포함시키는모형이선호됨 55
9.5 AR(p) 모형에서의예측 AR(3) 모형의 OLS 추정결과 INFLN =.1883 +.3733 INFLN.2179 INFLN +.1013INFLN 1 2 3 (se) (.0253) (.0615) (.0645) (.0613) 잔차의상관도표 - 대부분 0과유의하게다르지않음 - 6기, 11기, 13기, 14기시차에서는유의하지만심하지는않음 - AR(3) 모형을사용해도큰문제없음 56
9.5 AR(p) 모형에서의예측 AR(3) 모형의 OLS 추정결과 Dependen Variable: INFLN INFLN =.1883 +.3733 INFLN.2179 INFLN +.1013INFLN Mehod: Leas Squares Dae: 05/19/11 Time: 16:13 (se) (.0253) (.0615) (.0645) (.0613) Sample (adjused): 1984M04 2006M05 Included observaions: 266 afer adjusmens 1 2 3 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 0.188335 0.025290 7.446877 0.0000 INFLN(-1) 0.373292 0.061481 6.071690 0.0000 INFLN(-2) -0.217919 0.064472-3.380029 0.0008 INFLN(-3) 0.101254 0.061268 1.652641 0.0996 R-squared 0.129295 Mean dependen var 0.253389 Adjused R-squared 0.119325 S.D. dependen var 0.210185 S.E. of regression 0.197247 Akaike info crierion -0.393799 Sum squared resid 10.19345 Schwarz crierion -0.339912 Log likelihood 56.37528 Hannan-Quinn crier. -0.372150 F-saisic 12.96851 Durbin-Wason sa 2.000246 Prob(F-saisic) 0.000000 57
9.5 AR(p) 모형에서의예측 AR(3) 모형을이용한예측 1 기간후예측 y =δ+θ y +θ y +θ y + v 1 1 2 2 3 3 y =δ+θ y +θ y +θ y + v T+ 1 1 T 2 T 1 3 T 2 T+ 1 1 개월후인플레이션율의예측 yˆ =δ+θ ˆ ˆ y +θ ˆ y +θˆ y T+ 1 1 T 2 T 1 3 T 2 =.1883 +.3733.4468.2179.5988 +.1013.3510 =.2602 2개월후인플레이션율의예측 yˆ =δ+θ ˆ ˆ yˆ +θ ˆ y +θˆ y T+ 2 1 T+ 1 2 T 3 T 1 =.1883 +.3733.2602.2179.4468 +.1013.5988 =.2487 58
9.5 AR(p) 모형에서의예측 AR(3) 모형을이용한구간예측 1기간후예측오차 u = y yˆ = ( δ δ ˆ ) + ( θ θ ˆ ) y + ( θ θ ˆ ) y + ( θ θ ˆ ) y + v 1 T+ 1 T+ 1 1 1 T 2 2 T 1 3 3 T 2 T+ 1 예측오차계산방법 ( 교과서, pp. 342-343) 향후 3개월간인플레이션율의점예측치, 예측오차, 구간예측치 (95%) 59
9.5 AR(p) 모형에서의예측 AR(3) 모형을이용한구간예측 AR(3) 모형을 OLS 추정후, Proc-Forecas 클릭, Mehod 에서 Saic Forecas 클릭 60
9.6 유한시차분포 경제적인과관계의시차효과 x 변화는여러기간에걸쳐종속변수에영향을미칠수있음 y x y, y+1, y+ 2, 는 x, x 1, x 2, 의값에영향을받는다고말해도됨 y = f ( x, x 1, x 2, ) 61
9.6 유한시차분포 시차효과의예 금융및재정정책이효과를나타내기위해서는 6~8개월의시간이소요되며, 정책효과가경제전반에영향을나타내는데는 12~18개월이걸림 개인의소비는현재소득뿐만아니라과거소득의크기에영향을받음 기업의자본량은현재투자뿐만아니라과거투자의크기에의존함 임금인상이인플레이션에영향을미치는데는시간이소요됨 62
9.6 유한시차분포 시차의길이 시차효과를모형화할경우시차의길이를얼마로설정하는것이좋은가? 무한시차분포모형 (infinie disribued lag models) - 일반적인경제이론은시차효과가영원히지속된다고봄 - 시차효과가얼마나지속될지에관한의문을피할수있음 - 자유도부족때문에추정이불가능 유한시차분포모형 (finie disribued lag models) - 설명변수의변화가일정기간에만종속변수에영향을미친다고가정함 63
9.6 유한시차분포 유한시차길이 (n) 의선택 먼저생각할수있는최대값의시차길이 N 선택함 y =α+β x +β x +β x +β x + +β x + e 0 1 1 2 2 3 3 N N 다양한 n N 모형의적합도 (goodness-of-fi) 비교 2 2 - 통상적인측도인 R and R 는유용하지않다고알려져있음 Akaike s AIC 기준 AIC SSEn 2( n + 2) = ln + T N T N Schwarz s SC 기준 ( ) SSE n+ 2 ln( T N) n SC( n) = ln + T N T N 최소의 AIC 혹은 SC 값을가지는시차가최적의시차 64
9.6 유한시차분포 유한시차분포모형 과거 q 기간까지의임금변화가인플레이션에영향미친다면, y=α+β 0x+β 1x 1+β 2x 2 + +β qx q+ v, = q+ 1,, T 가정 : Ev = v =σ v v = 2 ( ) 0, var( ), and cov(, s) 0 T 개의표본이있지만, q개는 x, x,, x 를만드는데사용, 1 2 q (T-q) 개의완벽한관찰값만이추정에이용될수있음 시차분포가중치 (disribued lag weigh) - 다른기간의임금인상이일정할때, 과거임금인상변화 x s가 현재의기대인플레이션율에미치는영향 E( y ) x s = β s 65
9.6 유한시차분포 충격과승수 y =α+β x +β x +β x + +β x + v 0 1 1 2 2 q q s 기간지연승수 (s-period delay muliplier): β s - x 가 1 단위증가하고나서원래수준으로돌아갈때, s 기간후 y 는 β s 만큼증가하게됨 충격승수 (impac muliplier): k 기간잠정승수 (s-period inerim muliplier): - x 가 1 단위증가하고나서이후그수준으로유지되는경우, (+k) 기에나타나는총효과 총승수 (oal muliplier): - x 가 1 단위증가하고나서이후그수준으로유지되는경우, q 기간이지난후유지되고있는최종효과 β 0 ( β +β +β + +β q ) 0 1 2 ( ) β 0 +β 1 +β 2 + +β k 66
9.6 유한시차분포 인플레이션율사례의추정결과 (q=3 경우 ) DL(3) model - 임금이 1% 인상될경우, 인플레이션이해당기간에 0.16% 증가 ( 충격승수 ) - 1개월후 0.11%, 2개월후 0.05%, 3개월후 0.20% 증가함 ( 지연승수 ) - 임금이 1% 인상되어지속될경우, 3개월후인플레이션율이 0.51% 증가하게됨 ( 총승수 ) (0.1561+0.1075+0.0495+0.1990=0.5121) 67
9.6 유한시차분포 인플레이션율 =f( 임금상승률 ) 유한시차분포모형추정결과 (q=3 경우 ) Dependen Variable: INFLN Mehod: Leas Squares Dae: 05/19/11 Time: 17:18 Sample (adjused): 1984M04 2006M05 Included observaions: 266 afer adjusmens <Table 9.3> DL(3) Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 0.121873 0.048655 2.504862 0.0129 PCWAGE 0.156089 0.088502 1.763684 0.0790 PCWAGE(-1) 0.107498 0.085055 1.263861 0.2074 PCWAGE(-2) 0.049485 0.085258 0.580418 0.5621 PCWAGE(-3) 0.199014 0.087885 2.264475 0.0244 R-squared 0.048435 Mean dependen var 0.253389 Adjused R-squared 0.033851 S.D. dependen var 0.210185 S.E. of regression 0.206597 Akaike info crierion -0.297475 Sum squared resid 11.14009 Schwarz crierion -0.230116 Log likelihood 44.56421 Hannan-Quinn crier. -0.270415 F-saisic 3.321216 Durbin-Wason sa 1.382599 Prob(F-saisic) 0.011241 68
9.6 유한시차분포 인플레이션율사례의승수 (q=3 경우 ) 승수의계산결과는예측에활용됨 0.1561+0.1075 +0.0495+0.1990 =0.5121 지연승수 : x 가 1 단위증가하고나서원래수준으로돌아가는경우 잠정승수 : x 가 1 단위증가하고나서이후그수준으로유지되는경우 69
9.7 자기회귀시차분포모형 (auoregressive disribued lags model: ARDL model) ARDL(1,1): y =δ+δ x +δ x +θ y + v 0 1 1 1 1 ARDL(p,q): 설명변수의시차가 p, 종속변수의시차가 q y =δ+δ x +δ x + +δ x +θ y + +θ y + v 0 1 1 q q 1 1 p p ARDL(1,1) 모형만으로도무한한시차를표현할수있음 - 무한시차모형으로변형가능 (p. 362 참고 ) - 유한시차모형의단점 ( 시차의길이결정 ) 극복가능 y =δ+δ x +δ x +θ y + v 0 1 1 1 1 =α+β x +β x +β x +β x + + e 0 1 1 2 2 3 3 =α+ β x + e s= 0 s s 70
9.7 자기회귀시차분포모형 ARDL model은유한시차분포모형의두번째단점인자기상관오차의문제를피할수있음 시차종속변수가모형에포함되면자기상관문제가크게완화됨 < 유한시차분포모형의 OLS 잔차의상관도표 > - 1 시차에서자기상관이심한것을볼수있음 71
9.7 자기회귀시차분포모형 < 자기회귀시차분포모형 ARDL(2,3) 의 OLS 잔차의상관도표 > INFLN =.0989 +.1149 PCWAGE +.0377 PCWAGE +.0593PCWAGE 1 2 (se) (.0288) (.0761) (.0812) (.0812) +.2361 PCWAGE +.3536 INFLN.1976 INFLN 3 1 2 (.0829) (.0604) (.0604) - 자기상관문제가 완화된것을알수있음 72
< 유한시차분포모형 ARDL(0,3)=DL(3) 의 OLS 추정결과 > Dependen Variable: INFLN Mehod: Leas Squares Dae: 05/19/11 Time: 17:18 Sample (adjused): 1984M04 2006M05 Included observaions: 266 afer adjusmens 9.7 자기회귀시차분포모형 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 0.121873 0.048655 2.504862 0.0129 PCWAGE 0.156089 0.088502 1.763684 0.0790 PCWAGE(-1) 0.107498 0.085055 1.263861 0.2074 PCWAGE(-2) 0.049485 0.085258 0.580418 0.5621 PCWAGE(-3) 0.199014 0.087885 2.264475 0.0244 R-squared 0.048435 Mean dependen var 0.253389 Adjused R-squared 0.033851 S.D. dependen var 0.210185 S.E. of regression 0.206597 Akaike info crierion -0.297475 Sum squared resid 11.14009 Schwarz crierion -0.230116 Log likelihood 44.56421 Hannan-Quinn crier. -0.270415 F-saisic 3.321216 Durbin-Wason sa 1.382599 Prob(F-saisic) 0.011241 73
< 자기회귀시차분포모형 ARDL(2,3) 의 OLS 추정결과 > Dependen Variable: INFLN Mehod: Leas Squares Dae: 05/19/11 Time: 17:30 Sample (adjused): 1984M04 2006M05 Included observaions: 266 afer adjusmens 9.7 자기회귀시차분포모형 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 0.098877 0.046807 2.112438 0.0356 PCWAGE 0.114903 0.083390 1.377901 0.1694 PCWAGE(-1) 0.037734 0.081245 0.464440 0.6427 PCWAGE(-2) 0.059275 0.081174 0.730221 0.4659 PCWAGE(-3) 0.236130 0.082944 2.846862 0.0048 INFLN(-1) 0.353640 0.060411 5.853884 0.0000 INFLN(-2) -0.197561 0.060421-3.269733 0.0012 R-squared 0.167322 Mean dependen var 0.253389 Adjused R-squared 0.148032 S.D. dependen var 0.210185 S.E. of regression 0.194005 Akaike info crierion -0.415899 Sum squared resid 9.748260 Schwarz crierion -0.321596 Log likelihood 62.31455 Hannan-Quinn crier. -0.378014 F-saisic 8.674086 Durbin-Wason sa 1.930314 Prob(F-saisic) 0.000000 74
ARDL(2,3) 모형의추정치로부터 9.7 자기회귀시차분포모형 계산이가능함 INFLN =.0989 +.1149 PCWAGE +.0377 PCWAGE +.0593PCWAGE 1 2 (se) (.0288) (.0761) (.0812) (.0812) +.2361 PCWAGE +.3536 INFLN.1976 INFLN 3 1 2 (.0829) (.0604) (.0604) y =δ+δ x +δ x +δ x +δ x +θ y +θ y + v 0 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 y =α+β x +β x +β x + +β x + v 0 1 1 2 2 q q β s β ˆ =δ ˆ = 0.1149 0 0 β ˆ =θβ ˆ ˆ +δ ˆ = 0.3536 0.1149 + 0.0377 = 0.0784 1 1 0 1 β ˆ =θβ ˆ ˆ +θˆ β ˆ +δ ˆ = 0.0643 2 1 1 2 0 2 β ˆ =θβ ˆ ˆ +θˆ β ˆ +δ ˆ = 0.2434 3 1 2 2 1 3 β ˆ =θβ ˆ ˆ +θˆ β ˆ = 0.0734 4 1 3 2 2 75
9.7 자기회귀시차분포모형 ARDL(2,3) 모형의추정치로부터 β s 계산 임금이 1% 인상되면, 인플레이션율이당기에 0.11% 증가 ( 충격승수 ) 임금이 1% 인상되어유지되는경우, 인플레이션율에미치는총충격 ( 총승수 ) 은시차분포가중치의합계인 0.53% 76
< 과제 > 9.9 (vacan28.da 이용하세요 ) 9.18 (consumpion.da 이용하세요 ) Eviews oupu을출력하고, 출력물의빈여백에간단하게답을적으시오. 참고 : 필요한 daa 는사이버강의실에있음 77