2010 학년도중등교사신규임용후보자선정경쟁시험 수 학 1 차시험 2 교시 ( 전공 ) 40 문항 80 점시험시간 120 분 문제지전체면수가맞는지확인하시오. 문항의배점이 1.5점과 2.5점인문항에는배점이표시되어있습니다. 나머지문항은 2점입니다. 각문항의정답을컴퓨터용흑색사인펜을사용하여 OMR 답안지에표시하시오. 1. 년개정수학과교육과정에서기하영역과관련된교육내용및교수 학습상의유의점으로옳은것을 에서모두고른것은? [1.5 점 ] ㄱ. 중학교 학년에서점, 선, 면, 각, 원에대한성질은직관적으로탐구한다. ㄴ. 중학교 학년에서삼각형과사각형의성질은증명없이직관적으로이해하는정도로다룬다. ㄷ. 중학교 학년에서피타고라스정리의역은증명없이문제상황을통해간단히다룬다. ㄹ. 고등학교의 기하와벡터 에서공간도형의성질은관찰과직관에의해이해한후증명을하도록한다. 3. 라카토스 (I. Lakatos) 의수리철학에대한 의설명중옳은것을모두고른것은? ㄱ. 수학은증명과반박을통해확증된다. ㄴ. 증명분석은이론적개념을생성하는도구이다. ㄷ. 연역적추측은수학적발견의수단이될수있다. ㄹ. 수학적발견에있어서직관과귀납의역할을강조하였다. 1 ㄱ, ㄴ 2 ㄴ, ㄷ 3 ㄴ, ㄹ 4 ㄱ, ㄷ, ㄹ 5 ㄴ, ㄷ, ㄹ 4. 다음은학생의수학학습에대한정의적태도평가를위한교사용관찰점검표이다. 에서적절한설명을모두고른것은? 정의적태도관찰점검표 1 ㄱ, ㄴ 2 ㄱ, ㄷ 3 ㄱ, ㄴ, ㄷ 4 ㄱ, ㄷ, ㄹ 5 ㄴ, ㄷ, ㄹ 항목 세부관찰항목 매우그렇다그렇다 학생이름 : 보통이다 그렇지않다 매우그렇지않다 2. 다음의학습원리를명시적으로제시한수학교육자에대한설명중적절하지않은것은? 수학에대한흥미와호기심 수학시간에즐거워한다. 수학적개념이나원리를알려고한다. 활동적 ( 능동적 ) 학습의원리 : 학습자는주어진상황에서배워야할내용을스스로발견해야한다. 최선의동기유발의원리 : 학습자는배울내용에대해서흥미를가져야하며학습활동에서즐거움을찾을수있어야한다. 비약없는단계의원리 : 효과적인학습은탐구단계를지나언어화와개념형성단계로나아가야하며학습자의정신적태도의통합과형성에기여해야한다. 1 수학교육을통한인성교육에도관심을기울였다. 2 데카르트의사고규칙을참조하여자신의이론을체계화하려하였다. 3 교사는소크라테스대화법의산파로서의역할을해야한다고하였다. 4 귀납보다는전형적인예에의한예제적접근을대표적인개념학습방식으로제시하였다. 5 새수학 (New Math) 운동에반대하며그대안으로수학지도에있어서역사발생적방법에주목할것을주장하였다. 수학에대한자신감 과제집착력과의지 어려운수학문제를잘풀수있다고생각한다. 주어진문제를끝까지해결한다. 모르는점은교사와친구에게질문하여알려고한다. ㄱ. 위의관찰점검표는교사가평가를위해관찰해야할학생의행동목록을제공하므로기록한자료의분석을수월하게한다. ㄴ. 발견술에대한지식을많이가지고있다 는정의적태도평가를위한세부관찰항목으로적합하다. ㄷ. 위의관찰점검표는학생이자신의수학적태도를스스로자기평가하는데에도활용될수있다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 수학 (12 면중 1 면 )
5. <A> 와 <B> 에대한설명으로적합하지않은것은? [2.5 점 ] <A> 실수전체의집합을 R라하고, R일때, 함수 R, 라하자. 임의의 에대해서적당한 가존재하여 인모든 에대해서 이면, 는 에서연속이라고한다. <B> 함수 가실수 에대하여 (ⅰ) 함숫값 가정의되고, (ⅱ) 극한값 lim 가존재하며, (ⅲ) lim 를만족할때, 함수 는 에서연속이라고한다. 1 <A> 에대한토론활동에교사가개입하는것은적절하지못하다. 2 본질로정리되어야할현상이 <A> 에서먼저제공되어반교수학적전도가일어날가능성이있다. 3 귀납에의한개념획득을강조해야하므로 <A> 에가능한많은예를제시하는것이중요하다. 4 <B> 가 <A> 에서주어진현상을정리할수단이므로 <B> 가먼저제시되어야한다. 5 <B> 는더높은수준에서는정리되어야할현상으로다루어질수있다. 1 <A> 는해석학의산술화결과로만들어진함수의연속성에대한정의이다. 2 <B> 는 <A> 를학생의사고와실제적상황을고려하여탈개인화 (depersonalization) 및탈배경화 (decontextualization) 한결과이다. 3 <A> 를 <B> 로변환하는과정에서는교사, 학생, 지식사이의삼원적관계속에서교수상황을고려해야한다. 4 <B> 는 의값이변화함에따라 의값이변화해가는과정에초점을맞춘다. 5 <A> 는한점근방에서근접성을보존한다는아이디어를개념화한것이다. 7. 학생들이다음문제를풀때겪을수있는장애에대한설명 중적절한것은? < 문제> 원점과 사분면을지나는 모든직선은적어도하나의 격자점 ( 좌표와 좌표가 양의정수인점 ) 을지나는가? ( 예, 아니오 ) < 문제> 길이가다른두종류의막대 A 와 B 가있다고하자. 동일출발선에서막대를계속이어붙여막대 A 를늘어놓은전체길이와막대 B를늘어놓은전체길이가같게되도록하는것이항상가능한가? ( 예, 아니오 ) 6. 김교사는 <A> 에대한토론활동후 <B> 를지도하는수업계획을세웠다. 김교사의수업계획과관련된의견중수학화교수 학습이론의관점에서적절한것은? <A> 오늘최저기온은 이고최고기온은 였다. 오늘기온이 인순간이있었을까? 오늘보니우리딸의키가나보다크다. 나와우리딸의키가같은순간이있었을까? <B> 함수 가폐구간 에서연속이고, 일때, 와 사이의임의의값 에대하여 ( 단, ) 인 가적어도하나존재한다. 1 유리수에대한유추적모델을가지고있는경우에는발생하지않는다. 2 유리수의조밀성을이해하면극복할수있는장애이다. 3 정수에대한스키마를유리수에대한스키마로재구성하면극복된다. 4 직선을직접그어보거나, 막대를계속이어붙여보는활동을통해극복된다. 5 이런장애는직관이수학적사고를방해할수있음을보여주는예이다. 수학 (12 면중 2 면 )
[8-9] 다음은주어진수를이진법으로나타내는알고리즘을지도하기위한김교사의수업계획과수업을한후어느학생을평가한내용이다. 이를보고물음에답하시오. [ 가 ] 수업계획 <1단계 > 주어진수를 의합으로나타내고, 이를이진법으로나타내는활동을한다. <2단계 ><A> 와 <B> 를관련시키면서, 수를이진법으로나타내는알고리즘을설명하고적용하는활동을한다. <A> <B> 9. [ 나 ] 에서예은이가범한오류에대한 의설명중적절한것을모두고른것은? ㄱ. 예은이는 [ 나 ] 에서 번의 에대한답으로 이라고할가능성이많다. ㄴ. 예은이의오류를교정하기위해서는 <2단계 > 활동에대한반성보다 <1단계 > 활동을연습시키는것이필요하다. ㄷ. 예은이가 [ 나 ] 에서 번의 () 에서정답을맞힌것은주어진수의특성에기인한것으로보인다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ [ 나 ] 예은이의성취도평가답안지 8. [ 가 ], [ 나 ] 에대한설명중가장적절한것은? 1 <단계 > 는딘즈 (Z. Dienes) 의개념형성과정중자유놀이단계에해당한다. 2 딘즈에따르면, 지각적으로다양한상황은혼란을제공하므로 <단계 > 에서한가지지도수단을사용하는것이효과적이다. 3 <1단계 > 에서는오수벨 (D. Ausubel) 의통합조정의원리가적용되고있다. 4 <단계 > 에서김교사는스켐프 (R. Skemp) 가말하는도구적이해를의도하고있다. 5 김교사가사용한지도수단이 [ 나 ] 에서평가의대상이되는현상을볼수있다. 10. 2007년개정수학과교육과정에제시된교수 학습방법과관련된내용중, 다음의수업계획에서알수있는것과가장거리가먼것은? [1.5 점 ] < 역동적기하소프트웨어를활용한수업계획 > <단계 > 삼각형의각변의중점을연결하여새로운삼각형을만들고두삼각형넓이의비를알아본다. <단계 > 넓이의비가항상 이되는이유를각자생각해보고모둠별토의를거쳐서각모둠에서학생한명이모둠의의견을발표한다. <단계 > 사각형의각변의중점을연결하여새로운사각형을만들고두사각형넓이의비를알아본다. <단계 > 넓이의비가항상 이되는이유를생각해보고모둠별토의를거쳐서각모둠에서학생한명이모둠의의견을발표한다. <단계 > 다른다각형에대해서도, 각변의중점을연결하여새로운다각형을만들고두다각형넓이의비에대해탐구한다. 1 탐구학습, 협동학습등다양한교수 학습방법을사용한다. 2 구체적조작활동과탐구활동을통하여원리와법칙을발견하게한다. 3 귀납, 유추등을통해서학생스스로수학적사실을추측하게하고, 이를정당화하거나증명해보도록한다. 4 수학적의사소통능력을신장하도록한다. 5 학생개인의학습능력과수준을고려한다. 수학 (12 면중 3 면 )
11. 다음문제에대한학생 A 와학생 B 의풀이사례와관련하여 에서옳은것을모두고른것은? < 문제 > 수열 이 을만족하면, 수열 의일반항이 임을보이시오. 12. 가을, 봄이, 설빈이가각이겹치지않게하면서삼각형의세꼭짓점이한변에서만나도록접는방법에대해이야기하고있다. 학생들의대화에대한설명중옳은것은? 가을 : 정삼각형의각이겹치지않으면서세꼭짓점이한변에서만나게접는방법을보여줄게. 이렇게접으면돼. < 학생 A 의풀이 > 인경우, 에 을대입하면 이므로성립한다. 일때, 이성립한다고가정하자. 일때, 이므로, 이를이용하면 이되어주어진점화식이만족된다. 따라서모든자연수 에대하여 이다. < 학생 B 의풀이 > 주어진점화식을만족하는수열의항을몇개구해보면 이다. 이때, 이므로 수열 의계차수열 은첫째항이 이고공비가 인 등비수열이다. 계차수열을이용하여 을구하면 이다. 따라서모든자연수 에대하여 이다. ㄱ. 학생 A 는연역적증명을시도하였다. ㄴ. 학생 A 는전제조건과증명해야할것을혼동하고있다. ㄷ. 학생 B 의풀이는확실성을보장할수있는방식이다. 봄이 : 그런데어떤삼각형이라도그렇게접을수있는일반적인방법이있어? 설빈 : 접는방법을찾아보는것이어때? 삼각형 ABC를그려서접은상태를생각해보자. 그러니까세꼭짓점이한변에서만났다고해보자. 점 은접히는지점을나타내고, 점 은세꼭짓점이모이는지점이라고하자. 그러면, 이고 이되잖아. 그러면, 점 은변 의중점이되고, 점 은변 의중점이네. 가을 : 방금, 삼각형의세꼭짓점이한변에서만나게되는것을증명했네. 봄이 : 아직증명이마무리된건아니야. 1 가을이는증명의필요성을제기하고있다. 2 가을이는분석법의한계를지적하고있다. 3 가을이는연역적으로증명하였다. 4 봄이는증명의일반성에대해잘못이해하고있다. 5 설빈이는필요조건을찾아가는분석법을구사하였다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 수학 (12 면중 4 면 )
13. 다음은학생들의수학적의사소통능력을신장시키기위해 만든문제 [ 가 ] 와학생들의대화 [ 나 ] 이다. [ 가 ] 와 [ 나 ] 에대한설명중가장적절한것은? 14. 다음은피타고라스정리를지도하는예시이다. 이를반힐레 (P. M. van Hiele) 의교수 학습단계이론에비추어설명한 의내용중적절한것을모두고른것은? [2.5 점 ] [ 가 ] 문제 <A> 는어떤두학급의수학성적을각각 점미만인집단과 점이상인집단으로나누어비교한것이다. 이로부터추론해낼수있는것을말해보시오. 반집단별평균학급평균 점미만 점이상 점미만 점이상 <A> 반과 반의수학성적비교 [ 나 ] 학생들의대화예리 : ᄀ두집단의평균이모두높은 반이오히려학급평균은 반보다낮다는것은불가능해. 효진 :<A> 에서학급평균이아니라최빈값을구한것은아닐까? 예리 : 만일모든학생의성적이다르면최빈값이 이지. 그러니까최빈값으로두반을비교하는것은의미가없어. 효진 : 어떤점수에해당하는학생수가가장많으면그학생수가최빈값이니까최빈값은여러개가있을수있어. 그래서최빈값으로두반의성적을비교하는것이의미가없지. 예리 : 그럼 <A> 에서학급평균이아니라중앙값을구한것은아닐까? 효진 : 잘모르겠다. 교사 : ᄂ 반에서 점이상인학생들과 점미만인학생들중어느쪽이더많을까요? 예리 : 학급평균이역전될수있겠네요! 반의학생들중 점이하가절반이넘으면돼요. 효진 : 그렇구나. 그렇다면, 반에서는학생들중 점이상이절반이넘겠네요. 1 [ 가 ] 는수학적추론을요구하므로의사소통능력신장을위한문제로적합하지않다. 2 [ 가 ] 의정보가부족하여 [ 나 ] 에서학생들이ᄀ의옳고그름을정확히판단하지못하였다. 3 [ 나 ] 에서학생들이거꾸로풀기전략을이용하여산포도를구하고있다. 4 [ 나 ] 의ᄂ에서는학생들이해야할생각을교사가대신하여주르뎅효과 ( 죠르단식외면치레, Jourdain effect) 가나타났다. 5 [ 나 ] 에서예리와효진이모두최빈값에대한오개념을드러내고있다. <단계 > 학습할주제를학생들에게소개한다. <단계 > 직각삼각형을만들고이삼각형의밑변, 높이, 빗변을한변으로갖는각각의정사각형을만든다. 그리고각각의정사각형넓이를구한다. ( 단, 밑변의길이와높이는양의정수 ) <단계 > 다른직각삼각형을몇개더만들어보고각각의삼각형에 <단계 > 를실시한다. <단계 > 결과를모두다음과같이표에기록한다. 직각밑변의높이 ( 가 ) 의넓이 ( 나 ) 의넓이 ( 다 ) 의넓이삼각형길이 <단계 > 표를보고정사각형넓이사이의규칙성을찾아본다. <단계 > 직각삼각형의밑변의길이, 높이, 빗변의길이를각각 라 하고그각각의변을한변으로갖는정사각형 넓이사이의규칙성을식으로표현한다. <단계 > 역동적기하소프트웨어를사용하여다양한 직각삼각형에대해서 이성립하는지알아본다. ㄱ. <단계 > 부터 <단계 > 는학습주제를탐구하고구조를점진적으로파악하는안내된탐구단계 ( 제한된탐구단계, directed orientation) 이다. ㄴ. <단계 > 는학습한아이디어를명확하게하는발전 / 명료화단계 (explicitation) 이다. ㄷ. <단계 > 는다양한해결방법을찾은후새로운관련성을찾는자유탐구단계 (free orientation) 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 수학 (12 면중 5 면 )
15. 정수전체의집합을 Z 라하고모든자연수 에대하여집합 과 을다음과같이정의하자. Z, Z 에서옳은것을모두고른것은? [1.5 점 ] ㄱ. ㄴ. Z ㄷ. Z 17. 실수전체의집합 R위에서 R를기저 (base) 로하는위상을 이라하자. 집합 에대하여다음과같이정의된함수 R 를생각하자. 함수 에의해서만들어진 위에서의상위상 (quotient topology) 을 라할때, 위상공간 에서열린집합 (open set) 의총개수는? ( 단, R 이다.) 1 2 3 4 5 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 16. 실수전체의집합 R 위에서여가산위상 (countable complement topology) 를다음과같이정의하자. R R 는가산집합 에서옳은것을모두고른것은? ㄱ. 위상공간 R 는 -공간이다. ㄴ. 위상공간 R 는분리 ( 분해 ) 가능공간 (separable space) 이다. ㄷ. 위상공간 R 의부분집합 가콤팩트 (compact) 이기위한필요충분조건은 가유한집합인것이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄱ, ㄷ 18. 자연수전체의집합을 N이라하자. 집합 N 의각원소 에대하여 는 의약수 라하고, 를 기저로하는 위에서의위상을 라하자. 다음중옳지않은것은? [2.5 점 ] 1 집합 은열린집합이다. 2 소수전체의집합은열린집합이다. 3 소수전체의집합은 에서조밀 (dense) 하다. 4 집합 의모든원소 에대하여 의폐포 (closure) 는 N이다. 5 함수 을 로정의할때, 는 에서연속이다. 여기서 은 위에서의이산위상 (discrete topology) 이다. 수학 (12 면중 6 면 )
19. 차원유클리드공간 R 에서곡선 를두곡면 R, R 의교선이라하자. 이때 위의점 에서의 의 접선벡터와수직이고점 를포함하는평면에속하는점은? 1 2 3 4 5 21. 에서옳은것을모두고른것은? ㄱ. 부정방정식 의정수해가존재한다. ㄴ. 합동식 의정수해는법 에대하여 개뿐이다. ㄷ. 합동식 의정수해가존재한다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 20. 차원유클리드공간 R 에서두곡면 R, R 의교선을 라하자. 이때곡면 위에놓인곡선으로서 의측지곡률 (geodesic curvature) 의절댓값은? 1 2 3 22. 정수 는법 에대한원시근 (primitive root) 이다. 보다 크거나같고 보다작거나같은정수중합동식 의해를모두곱한값을 이라할때, 를만족시키는최소의양의정수 는? 1 2 3 4 5 4 5 수학 (12 면중 7 면 )
23. 행렬 것은? 에대한다음명제중옳지않은 1 의고유다항식 (characteristic polynomial) 은 이다. 2 는항등행렬이아닌두개의가역행렬 ( 정칙행렬 ) 의곱으로나타낼수있다. 3 의수반행렬 (adjoint matrix) 의행렬식 (determinant) 은 의행렬식의제곱과같다. 4 의모든고윳값 (eigenvalue, characteristic value) 들의합은 이다. 5 함수 : R R 를임의의 R 에대하여 로정의할때, 는정칙선형사상이다. 25. 군 가유한군 (finite group) 이고 와 가 의부분군일때, 다음명제중옳지않은것은? [1.5 점 ] 1 와 의부분군의개수가같으면 이다. 2 가아벨군 ( 가환군 ) 이면 는 의정규부분군 (normal subgroup) 이다. 3 의위수 (order) 가 이면 는단순군 (simple group) 이다. 4 가순환군 (cyclic group) 이면 와 는모두아벨군이다. 5 는 의부분군이다. ( 단, 는 의역원이다.) 24. 실수체 R 위에서정의된벡터공간 R 에관련된 의 명제중옳은것을모두고른것은? [1.5 점 ] ㄱ. 유리수전체의집합 Q에대하여 Q 는 R 의부분공간이다. ㄴ. R 의부분공간 에대하여 R 가 와 의직합 (direct sum) 와같게되는 R 의부분공간 가존재한다. ㄷ. 선형사상 : R R, 에대하여 의핵 (kernel) 의차원은 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄴ, ㄷ 26. 잉여군 (quotient group, factor group) 에관련된 의명제중옳은것을모두고른것은? [2.5 점 ] ㄱ. 군 의위수가 이면, 위수가 인정규부분군 와위수가 인잉여군 가존재한다. ㄴ. 군 Z Z 의잉여군의집합 은 의정규부분군 에속하며서로동형이아닌잉여군은모두 개이다. ㄷ. 정수의집합에서정의된덧셈군 Z 의부분군 Z에의한잉여군 ZZ 는모두 개의부분군을갖는다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄷ 수학 (12 면중 8 면 )
27. 정수환 Z에관련된다음명제중옳지않은것은? 1 Z의부분환은무한히많이존재한다. 2 Z와 Z의부분환 Z는환동형 (ring isomorphic) 이다. 3 Z의부분환 Z는 Z의극대아이디얼 (maximal ideal) 이다. 4 Z의주아이디얼 (principal ideal) 은무한히많이존재한다. 5 Z의원소 가소원 (prime element) 이면, 는기약원 (irreducible element) 이다. 29. 상수수열이아닌실수열 에대한 의명제중옳은 것을모두고른것은? [1.5 점 ] ㄱ. lim 이면수열 은수렴한다. ㄴ. 집합 은자연수 가단하나의극한점 ( 집적점, limit point, cluster point, accumulation point) 을가지면수열 은수렴한다. ㄷ. 수열 은수렴하는부분수열을갖는다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 28. 체 Q 는유리수체이고 Q 는다항식환이다. 체 를다항식 Q의분해체 (splitting field) 라하자. 체 의부분체와관련된 의명제중옳은것을모두고른것은? [2.5 점 ] ㄱ. 원소 를첨가한단순확대체 (simple extension field) Q에속하는모든원소는 Q 위에서대수적 (algebraic) 이다. ㄴ. 체 Q 위에서체 Q의차수 (degree) QQ 가 보다큰홀수가되는원소 가존재한다. ㄷ. 차수 Q가 인원소 가존재한다. 30. 실수전체의집합을 R 라할때, 에서균등연속함수 (uniformly continuous function) 를모두고른것은? [1.5 점 ] ㄱ. R ㄴ. R ㄷ. R 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄱ, ㄷ 수학 (12 면중 9 면 )
31. 실수전체의집합을 R, 복소수전체의집합을 C 라하자. 집합 가 R 또는 C일때, 미분가능한함수 가상수함수가될충분조건으로옳은것을 에서모두고른것은? ㄱ. R일때 ( ) ㄴ. C일때 ( ) ㄷ. R일때 ( ) ㄹ. C일때 ( ) ( 단, 이고 은 의 계도함수이다.) 33. 실수전체의집합을 R 라하자. 자연수 에대하여함수 R 와 R 를각각, 로정의할때, 함수열 과 에대한 의명제중 옳은것을모두고른것은? [2.5 점 ] ㄱ. 과 은모두균등수렴 ( 평등수렴, 고른수렴, uniform convergence) 한다. ㄴ. 의극한함수를 라하면수열 는 1 ㄱ, ㄷ 2 ㄱ, ㄹ 3 ㄴ, ㄷ 4 ㄴ, ㄹ 5 ㄴ, ㄷ, ㄹ 로수렴한다. ㄷ. 의극한함수를 라하면 은 으로점별수렴 (pointwise convergence) 한다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 32. 실수전체의집합을 R라하자. 미분가능한함수 R R와 R R에대한 의명제중옳은것을모두고른것은? [2.5 점 ] ㄱ. 이단조함수 (monotone function) 이면 은연속함수이다. 34. 차원공간 R 에서영역 R 일때, 다음삼중적분의값은? [1.5 점 ] ㄴ. R 일때, lim 이면 1 2 3 lim 이다. 4 5 ㄷ. 어떤점 R 에서 이라하자. 그러면적당한양수 가존재해서임의의 에대하여 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄴ, ㄷ 수학 (12 면중 10 면 )
35. 다음은주어진문제의풀이를단계별로제시한것이다. ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ), ( 라 ) 에알맞은것은? [2.5 점 ] < 문제 > 복소수전체집합을 C라하자. C 이고, 함수 C가 에서해석적 (analytic) 이라하자., 이고 이며모든 에대해서 일때, 의값은? < 풀이 > <단계 > 함수 가 에서해석적이므로 이 36. 복소평면에서곡선 가 로 나타내지는단위원일때, 다음복소적분값 에대하여 의값은? 1 4 2 5 3 되고, 따라서 ( 가 ) 의꼴이다. ( 단, 는 에서해석적이며 이다.) <단계 > 인 에대하여 일때 ( 나 ) 이성립한다. 여기서최대절댓값정리 (maximum modulus theorem) 를적용하면 일때 ( 나 ) 이다. 이명제는임의의 에대하여성립하므로 모든 에대하여 ( 다 ) 이다. <단계 > 위의결과와 를사용하여 를 구할수있고, 이를이용하면 ( 라 ) 임을알수있다. ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) ( 라 ) 1 2 3 4 5 37. 빨간색, 노란색, 파란색구슬이각각 개씩들어있는바구니 에서 개의구슬을한꺼번에꺼낸다고하자. 꺼낸구슬중빨간색, 노란색, 파란색구슬의개수를각각 라할때, 서로다른 모든순서쌍 의개수는? 1 2 3 4 5 수학 (12 면중 11 면 )
38. 단순평면그래프 (simple planar graph) 에대한 의명제중옳은것을모두고른것은? ㄱ. 완전이분그래프 는평면그래프가아니다. ㄴ. 모든꼭짓점의차수 (degree) 가 이상인평면그래프가존재한다. ㄷ. 꼭짓점의개수가 인평면그래프를변 (edge) 이교차하지않게평면에그렸을때, 하나의면 (face) 만사각형이고나머지면은모두삼각형이면변의개수는 이다. ( 단, 여기서삼각형 ( 사각형 ) 이라함은 개의변으로둘러싸인면을의미하고, 외부영역 (unbounded region) 도면으로간주한다.) 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 40. 과거조사에의하면어느지역의초등학교 학년학생들의신장은평균 cm 이었다. 줄넘기운동이또래아이들의신장발육에도움이되는지를알아보고자체육활동에서이운동을적극권장하여실시하여왔다. 이운동을꾸준하게실시한또래아이들중임의로추출한 명의신장을조사한결과평균 cm, 표준편차 cm 이었다. 줄넘기운동이아이들의신장발육에도움이된다고할수있는지를유의수준 로다음단계와같이검정할때 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것은? ( 단, 이지역아이들의과거와현재의생활환경과영양섭취등은같고, 아이들의신장은정규분포를따른다고가정한다.) <단계 > 가설설정귀무가설 에대한대립가설 ( 가 ) <단계 > 검정통계량과분포표본의크기가 로충분히크므로귀무가설 가참이라는가정하에서검정통계량 는표준정규분포 에 39. 이산형확률변수 의적률생성함수 (moment generating function) 가다음과같다. 근사한다. ( 단, 는표본평균, 는모평균, 는표본표준편차이다.) <단계 > 유의수준 에대한기각역은 ( 나 ) <단계 > 검정통계량의관측값을구한다. <단계 > 결론검정통계량의관측값을기각역과비교한결과줄넘기운동이신장발육에 ( 다 ) 이때확률변수 의평균과분산은? 는실수 참고 : 일때,, 이다. 평균 분산 ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 1 2 1 도움이된다고할수있다. 2 도움이된다고할수있다. 3 도움이된다는충분한증거가없다. 3 4 도움이된다는충분한증거가없다. 4 5 도움이된다는충분한증거가없다. 5 - 수고하셨습니다 - 출제 : 한국교육과정평가원 수학 (12 면중 12 면 )