만점을위한 수학전문가남언우
- 벡터 1강 _ 분점의위치벡터 2강 _ 벡터의일차결합 3강 _ 벡터의연산 4강 _ 내적의도형적의미 5강 _ 좌표를잡아라 6강 _ 내적의활용 7강 _ 공간도형의방정식 8강 _ 구의방정식 9강 _2014년수능최고난도문제
좌표공간에 orbi.kr 1 강 _ 분점의위치벡터 01. 1) 두점 A B 이있다. 평면 에있는점 P 에대하여 PA P B 의최솟값은? 1 2 3 4 5 02. 2) 그림은모든모서리의길이가 인두개의정사각뿔 O ABCD, O DCEF 에대하 여모서리 CD 를일치시킨도형을나타낸것이다. OB OF 의값을구하시오. ABCD 와면 DCEF 는한평면위에있다.) ( 단, 면
03. 3) 밑면의반지름의길이가, 모선의길이가 이고꼭지점이 O 인 직원뿔이있다. 밑면의둘레위의한점 A 에서출발하여원뿔의옆면을 한바퀴돌아점 A 로되돌아오는최단경로를 이라하자. 위를움직 이는점 P 에대하여점 B 가 AB AO AP 를만족시킬때, 점 B 의자취의길이는? 1 2 3 4 5 04. 4) 그림과같이평면 위에한변의길이가 인정삼각형 가있고, 를중심으로 하고반지름의길이가 인구 가점 에서평면 와접한다. 선분 AD 가구 의지름일때 AB DC 의값을구하시오. 진정한수학전문가남언우선생님
orbi.kr 2 강 _ 벡터의일차결합 01. 1) 그림과같이각변의길이가 인직육면체 ABCD EFGH 에서 AX AD CF ( 단, ) 를만족시키는점X 가나타내는자취의길이는? 1 2 3 4 5 02. 2) 좌표공간의세정점 에대하여도형 {P OP = OA OB, } 의길이를구하시오.
03. 3) ABC 의내부의점 P 가 P A P B P C 을만족한다. ABC 와 ABP 의넓이의비가 : 이되는양의정수 의값은? 1 2 3 4 5 04. 4) 삼각형ABC 와같은평면위에있는점P 가 OP OA OB OC 를만족한다. 를만족할때 P AB 의넓이가 일때 ABC 의넓이는? 1 15 2 18 3 21 4 24 5 30 진정한수학전문가남언우선생님
타원 orbi.kr 3 강 _ 벡터의연산 01. 1) 의두초점을 F F 이라하자. 이타원위의점 P 가 OP OF 을만족시킬때, 선분 PF 의길이는 이다. 의값을구하시오. ( 단, O 는 원점이다.) 02. 2) 두점 와타원 위를움직이는점 에대하여, 가최대가되는점 에서의접선의방정식은 이다. 의값을 구하시오
03. 3) 그림과같이자연수 에대하여직선 와포물선 가제 사분면에서만나는점을 A 라하자. 포물선 의초점을 F, 점 A 에서준선에내린수선의 발을 B 라할때, A F A B 의값은? 1 35 2 33 3 30 4 28 5 25 04. 4) 쌍곡선 의두초점을 F F 이라하자. 이쌍곡선위의점 P가 OP OF 를만족시킬때, 선분 PF 의길이를구하시오. ( 단, O 는원점이다.) 진정한수학전문가남언우선생님
orbi.kr 4 강 _ 내적의도형적의미 01. 1) 오른쪽그림은한변의길이가 인정팔면체이다. 모서리 BF 의중점을 M, 모서리 AD 를 :로내분하는점을 N 이라할때, AM AN 의값은? 1 2 3 4 5 02. 2) 한변의길이가 4인정사각형 ABCD에서변 AB와변 AD에모두접하고점 C를지나는 원을 라하자. 원 위를움직이는점 X 에대하여두벡터 의내적 의최댓값은 이다. 의값을구하시오. ( 단, a 와 b 는자연수이다.)
03. 3) 그림과같이평면위에정삼각형 와선분 를지름으로하는원 가있다. 선분 위의점 를 가되도록정한다. 점 가원 위를움직일때, 두벡 터 의내적 의값이최소가되도록하는점 를점 라하자. 일때, 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) 04. 4) 중심이 C 이고반지름의길이가 인구와구위의한점 A 가있다. 구밖의한점 B 를 AB 이고 CB 가되도록잡는다. 점 P 가이구위를움직일때, 두벡터 BA BP 의내적 BA BP 의최댓값을구하시오. [4 점 ] 진정한수학전문가남언우선생님
orbi.kr 5 강좌표를잡아라 01. 5) 그림과같이한모서리의길이가 인정육면체 ABCD EFGH에서모서리 AE, CG 의중점을각각 L, M 이라하자. 점 P 가모서리 AB 위의점일때, PL PM 의최솟값 은? 1 2 3 4 5 02. 6) 모든모서리의길이가 인정사면체 OABC 와정사각뿔 O DCEF 를아래그림과 같이두모서리 BC 와 CE 가한직선위에오도록나란히붙여놓았다고하자. 두벡터 OC 와 OC 가이루는각의크기를 라할때, cos 의값은?( 단, 삼각형 ABC 와사각형 DCEF 는한평면위에있다.) 1 4 2 5 3
03. 7) 오른쪽그림과같이점 P 가반지름의길이가 인원위를움 직일때, 정사각형 ABCD 의한변의길이가 라고하면, PB P C 의최댓값과최솟값의곱을구하시오. 04. 8) 타원 의두초점을 F F 라고할때, 타원위의동점 P 에대하여두벡터 P F 와 PF 의내적 PF PF 의최솟값과최댓값의합을구하시오. 진정한수학전문가남언우선생님
orbi.kr 6 강 _ 내적의활용 01. ㅜㅏ 1) 평면에서그림의오각형 가,, 를만족시킬때, 옳은것만 을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? [ 보기 ] ㄱ. 선분 의중점 에대하여 와 은서로평행하다. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 02. 2) 평면에서그림과같이 이고 인직사각형 와정삼각형 가있다. 점 가선분 위를움직일때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ㄱ. 의최솟값은 이다. ㄴ. 의값은일정하다. ㄷ. 의최솟값은 이다. [ 보기 ] 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ
03. 3) 그림과같이점 O를중심으로하고, 길이가 인선분 AB를지름으로하는반원이 있다. 이반원의내부에 AC 인점 C를잡고, ABC의내접원의중심을 O 이라하자. 선분 AO 의연장선과선분 BC의교점을 N 반원과의교점을 P라하고, 선분 BC의중점을 M 선분 AM의연장선과선분 BP의교점을 Q라하자. 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? [ 점 ][2010 년 11 월대전교육청 ] ㄱ. AN BQ ㄴ. AN AB AC ㄷ. AQ AM [ 보기 ] 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 04. 4) 좌표공간에점 A 과구 이있다. 점 A 에서구에그은접선들이 평면과만나서생기는도형 는타원이된다. 타원의넓이를 라할때 의값구하시오. 이 진정한수학전문가남언우선생님
orbi.kr 7 강 _ 공간도형의방정식 01. 1) 좌표공간에서직선 와 평면 가점 A 에서수직으로만난다. 평면 위의점 B 와직선 위의점 C에대하여삼각형 ABC가이등변삼각형일때, 점 C에서원점까지의거리는 이다. 의값을구하시오. [4 점 ][2013 년 9 월평가원 ] 02. 1) 좌표공간에서정사면체 ABCD 의한면 ABC 는평면 위에있고, 꼭짓 점 D 는평면 위에있다. 삼각형 ABC 의무게중심의좌표가 일때, 정사면체 ABCD 의부피는? 1 4 2 5 3
03. 2) 1) 좌표공간에서삼각형 ABC 가다음조건을만족시킨다. ( 가 ) 삼각형 ABC 의넓이는 이다. ( 나 ) 삼각형 ABC 의 평면위로의정사영의넓이는 이다. 삼각형 ABC 의평면 위로의정사영의넓이의최댓값은? 1 2 3 4 5 04. 2) 좌표공간에서네점 O, A, B, C 를꼭짓점으로하 는사면체가있다. 보기에서옳은것만을있는대로고른것은? [ 보기 ] ㄱ. 삼각형 OAB의넓이는 이다. ㄴ. 벡터 은평면 OAB의법선벡터이다. ㄷ. 사면체 OABC의부피는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 진정한수학전문가남언우선생님
orbi.kr 8 강 _ 구의방정식 01. 그림과같이좌표공간에서직선 와중심이원점 O 이고반지름의 길이가 인구가서로다른두점 A, B 에서만나 고있다. 구위의점 P 에대하여 일때, 점 P 가그리는도형의넓이는? AP AB AB 1 2 3 4 5 02. 1) 두구, 을각각 S S 라하자. 두구 S, S 가만나서생기는원위의한점을 P 라하고, 점 P 의 평면위로의정사영을 P 이라하자. 구 S 과 축이만나는점을각각 Q R 라할때, 사면체 PQP R 의부피의최댓값구하시오.
좌표공간에서 03. 2) 구 와평면 α 가만나서생기는원 을 라하자. 원 위의점 A 에대하여원 의지름의양끝점 P, Q 를 AP AQ 가되도록잡고, 점 P 를지나고평면 α 에수직인직선이구 와만나는또다른 점을 R 라하자. 삼각형 ARQ 의넓이를 라할때, 의값을구하시오. 04. 3) 좌표공간위의세점 P Q R 을포함하는평면을, P QR 의외접원을 C 이라하자. 또한, 반지름이 이고중심의좌표가 F 인 구 에대하여, 평면 와구 가만나서생기는원을 C 라하자. 두원 C 과 C 는서로 외접할때, 의값을구하시오. 진정한수학전문가남언우선생님
orbi.kr 9 강 _2014 년수능최고난이도문제 01. 1) 좌표공간에서구 위를움직이는두점 P Q 가있다. 두점 P Q 에서 평면 에내린수선의발을각각 P Q 이라하고, 평면 에내린수선의 발을각각 P Q 라하자. PQ P Q P Q 의최댓값을구하시오.
정답
orbi.kr 1 강 _ 분점의위치벡터 1 3 2 12 3 4 4 43 2 강 _ 벡터의일차결합 1 5 2 6 3 3 4 1 3 강 _ 벡터의연산 1 15 2 21 3 35 4 14 4 강 _ 내적의도형적의미 1 4 2 80 3 17 4 44 5 강 _ 좌표를잡아라 1 4 2 3 3 5 4 23 6 강 _ 내적의활용 1 5 2 5 3 ⓹ 4 72 7 강 _ 공간도형의방정식 1 7 2 2 3 ⓵ 4 5 7 강 _ 공간도형과정사영및내적 1 7 2 2 3 ⓵ 4 5 8 강 _ 구의방정식 1 5 2 84 3 15 4 27 9 강 _2014 년수능최고난도문제 1 24