현대물리학: Novmb 6, fo ml 6 ml. 해답 : Eq. (6.5)을 통해서, π Φ ml Φml dφ π Ai(ml ml )φ dφ πaδml ml whn ml 6 ml. 문제 6.8: () Wht is Scho ding s qution fo pticl of

현대물리학: Novmb 6, 숙제 6 풀이 문제 6.: Why is it ntul tht th quntum numbs ndd to dscib n tomic lcton (pt fom lcton spin)? 해답 : 전자의 운동을 기술하는데에는 x, y, z의 세 좌표가 필요하며 이는, θ, φ의 구면좌표계로도 쓸 수 있다. 전자의 파동함수를 기술하기 위해서는 역시 같은 수의 pmt가 필요하며 이에 따라 가지의 양자수를 사용하면 된다. (전자의 스핀은 전자 내부의 문제이기 때문에 제외한다.) 문제 6.: Show tht R () / / 6 is solution of Eq. (6.) nd tht it is nomlizd. 해답 : 위에 주어진 식을 Eq. (6.)에 직접 대입해 보자. (n 그리고 l 을 대입.) m l(l ) d dr E R d d ~ π dr d R m E R d d ~ π m me R. π ~ ~ 그런데, Eq. (6.6)과 단원에서 얻은 결과를 살펴보면, E m π ~ nd m π ~ 이므로 앞서 계산한 식은 다음과 같이 정리할 수 있다. m me S S R S S R. π ~ ~ S S 문제 6.5: In Excis of Chp. 5 it ws sttd tht n impotnt popty of th ignfunctions of systm is tht thy othogonl to on noth, which mns tht ψn ψm dv n 6 m Vify tht this is tu fo th zimuthl wv functions Φml of th hydogn tom by clculting π Φ ml Φml dφ

현대물리학: Novmb 6, fo ml 6 ml. 해답 : Eq. (6.5)을 통해서, π Φ ml Φml dφ π Ai(ml ml )φ dφ πaδml ml whn ml 6 ml. 문제 6.8: () Wht is Scho ding s qution fo pticl of mss m tht is constind to mov in cicl of dius R, so tht ψ dpnds only on φ? (b) Solv this qution fo ψ nd vlut th nomliztion constnt. (Hint: Rviw th solution of Scho ding s qution fo th hydogn tom.) (c) Find th possibl ngis of th pticl. (d) Find th possibl ngul momnt of th pticl. 해답 : () Scho ding s qution에서, θ π/ 을 대입하여 입자의 움직임을 제한시키자. (는 상수) 그러면 Eq. (6.)으로부터 ψ ψ ψ m θ Eψ. θ θ φ ~ 여기서 ψ는 오직 φ의 함수가 된다. (포텐셜은 입자가 에 고정되어 있다고 가정했기 때문에, 무시하는 것이 좋다. 그렇지 않으면 입자가 고정될 수 없기 때문에 가정하기를, 를 제외한 모든 영역에서 포텐셜이 무한대라고 생각하면 된다.) (b) Scho ding s qution을 정리해보면, ψ k ψ, φ wh k m E ~ 이므로 pticl in box와 같은 형태의 해를 얻을 수 있다. 다만 경계조건이 piodic 해야 하기 때문에, ψ Aikφ ik(φπ), 위와 같이 쓸 수 있으며 주어진 조건을 만족하기 위해서는 k가 또는 정수이어야 한다. 그리고 상수 A를 구하기 위해서 앞선 문제를 이용하면, Dlt function에 의해서 A / π가 되어야 함을 쉽게 알 수 있다. (c) 위에서 파동함수를 구하면서 k값에 대한 조건이 주어졌다. 그런데 k가 에너지와 밀접하게 관련 되어 있기 때문에 Ek 를 구하면, ~ k Ek. m (d) 각운동량과 에너지 사이의 관계는 /I E이므로, 각운동량 또한 양자화 되어있고 그 값은, IE ~k. 문제 6.: ist th sts of quntum numbs possibl fo n n hydogn tom. 해답 : l,,, 이 가능하고 각각의 경우에 대해 ml l,, l 이 가능하다. 총 가능한 양자수들의 집합은 5 7 6개로 n 6과 일치한다.

현대물리학: Novmb 6, 문제 6.5: In Sc. 6.7 it is sttd tht th most pobbl vlu of fo s lcton in hydogn tom is th Boh dius. Vify this. 해답 : s에 해당하는 파동함수는 아래와 같이 주어진다 (Tbl 6.): ψ / /. π 그러면 이를 통해서 확률함수를 구하고, 확률함수의 방향 미분에 대해서 이 되는 지점을 찾으면 가장 크거나 작은 확률을 가지는 점을 찾을 수 있고 한 번 더 미분하여 앞서 구한 위치에서의 두 번 미분한 값이 음수인지를 확인하면 최대 확률을 가지는 것임을 확인할 수 있다. 먼저 확률함수 P () 이 어떻게 주어지는지 보면, ψ θddθdφ π ψ d P ()d. 그러면 이 확률함수를 이용하여 xtmum을 찾아보면, ψ P () / 8 π π /. π 이 때 가능한 값은,, 그리고 이다. 한 번 더 미분하고 각 값들을 대입해보자. P () 8 8 / /. 여기서 일 때에 확률함수의 차 미분값은 양수가 되고 일 때는 이 된다. 음수가 될 수 있는 값은 오직 에서만 가능하고 이 경우가 바로 확률이 최대가 되는 값이 된다. 문제 6.8: Accoding to Fig. 6., P d hs two mxim fo s lcton. Find th vlus of t which ths mxim occu. 해답 : s에 해당하는 파동함수는 아래와 같이 주어진다 (Tbl 6.): ψ /. / π 앞선 문제와 같이 확률함수 P ()의 미분을 통해 xtmum을 찾아보면, " # ψ P () π / 8 / 8 6 / 8 5 5 /. 8 이 때 가능한 값은, 5,, 5 그리고 이다. 이전 문제와 같이 미분하여 알아보기 어려우므로, 각 xtmum 들 사이의 임의의 값들을 넣어 경향을 살펴보면 아래와 같이 손쉽게 최대값을 가지는 지점을 알 수 있다.

현대물리학: Novmb 6, / P ()/ P () 5 mximum % & minimum % 5 mximum & 문제 6.: In Sc. 6.7 it is sttd tht th vg vlu of fo s lcton R in hydogn tom is.5. Vify this sttmnt by clculting th xpcttion vlu hi ψ dv. 해답 : s에 해당하는 파동함수는 아래와 같이 주어진다 (Tbl 6.): ψ / /. π 이를 이용해서 주어진 계산을 해보면, π hi ψ dv / / θdφdθd d π / d Γ()!. π 문제 6.: Accoding to Fig. 6., s lcton in hydogn tom is mo likly tht p lcton to b clos to th nuclus thn (tht is, to b btwn nd ). Vify this by clculting th lvnt pobbilitis. 해답 : s와 p에 해당하는 파동함수는 아래와 같이 주어진다 (Tbl 6.): ψ / / π / θ±iφ ψ± / 8 π / θ ψ / π fo s fo p with m ± fo p with m 이제 각각의 경우에 대해서 전자가 보다 가까운 곳에서 발견된 확률을 구해보자. 먼저 s의 경우: / Ps ψ dv d 8 / d 8 y y y y dy 8 # " y y y y dy 8.%, 8 8

현대물리학: Novmb 6, 그리고 p의 경우: Ppm± Ppm π / θdθd 5 π y y θ θ θ dθ dy 8 8 π / θ θdθd 5 6 π y y θ θdθ dy 6 6 65.6%, 65.6%. 이와 같이 p의 경우는 각각의 자기 양자수에 대해서 관계 없이,.6%를 얻을 수 있다. 이는 s의 경우인.%에 크게 못미친다. 즉, s에 있는 전자가 더 원자핵에 가깝게 위치할 확률이 크다. (m에 상관 없이 결과가 같다는 것으로부터 전체 파동함수 대신에 R을 이용해서 계산해도 됨을 알려준다. 즉, P () R 이라 하여도 크게 문제가 없다.) 문제 6.: Unso ld s thom stts tht fo ny vlu of th obitl quntum numb l, th pobbility dnsitis summd ov ll possibl stts fom ml l to ml l yild constnt indpndnt of ngls θ o φ; tht is, l Θ Φ constnt ml l This thom mns tht vy closd subshll tom o ion (Sc. 7.6) hs sphiclly symmtic distibution of lcton chg. Vify Unso ld s thom fo l, l, nd l with th hlp of Tbl 6.. 해답 : l과 m이 같은 경우에 Θ와 Φ가 같다는 것을 Tbl 6.에서 볼 수 있다. 그래서 n 인 경우만 살펴보아도 다른 경우와 같은 결과를 줄 것이다. 먼저 l 인 경우: l ml l Θ Φ π constnt, π 그리고 l 인 경우: l ml l Θ Φ 6 θ θ θ constnt, π π 5

현대물리학: Novmb 6, 마지막으로 l 인 경우: l Θ Φ ml l π π 5 5 5 5 θ θ θ θ θ θ θ 6 6 6 5 8 5 θ θ θ θ θ θ constnt. 6 6 6 π π 즉, Unso ld s thom이 성립하는 것을 알 수 있다. 문제 6.: A hydogn tom is in th p stt. To wht stt o stts cn it go by diting photon in n llowd tnsition? 해답 : Slction ul에 의해서 l ±이 만족해야 하고, 또한 에너지 레벨은 줄어들어야 하므로 가능한 경우는 s, s, s 그리고 d의 경우만 가능하다. 문제 6.6: Th slction ul fo tnsitions btwn stts in hmonic oscillto is n ±. () Justify this ul on clssicl gounds. (b) Vify fom th lvnt wv functions tht th n n tnsition in hmonic oscillto is fobiddn whs th n n nd n n tnsitions llowd. 해답 : () 고전적으로 hmonic oscillto와 같은 계에서 방출되거나 흡수하는 빛의 진동수는 hmonic oscillto의 진동수와 일치한다. 즉, 흡수되거나 방출되는 빛은 hmonic oscillto의 상태를 하나만 높이거나 낮추는 역할을 하게 되므로 n ±이 된다. (b) Hmonic Oscillto에서 파동함수는 다음과 같이 주어진다. ψn (x) 그러면, xψn ψm dx n xn n xn x /. cnm xnm cnm xnm x dx, 이므로 위의 적분이 살아남기 위해서는 x의 차수가 반드시 짝수이어야 한다. 그렇지 않으면 전체적으 로 odd 함수가 되어 적분 결과는 이 된다. 이제 m을 Tnsition이 일어난 후의 stt라고 가정하면 m n n 이라고 쓸 수 있다. 앞서 말한 조건을 생각해보면, n m n n 이고 이 때, n 은 짝수가 되어야 하므로, n은 반드시 홀수이어야 한다. 그러면 n n 의 경우는 불가능하고 n n 와 n n 인 경우는 가능하다. 좀 더 복잡한 이야기로 들어가면, ψn 은 이미 othogonl한 bsis이기 때문에 m 6 n인 경우, ψn ψm dx δnm 이 된다. 그렇다면 x를 하나 곱하는 것은 hmonic oscillto의 파동함수의 특성상 Hn (x)에서 n 을 하나 올려주는 것과 비슷한 역할을 한다. 왜냐하면 파동함수에서 Hn (x)는 x의 polynomil로 주어지기 때문에 x를 하나 곱해줌으로써 polynomil의 차수를 올리는 역할을 하면서 Hn (x)에 6

현대물리학: Novmb 6, 비례하는 (계수가 다르기 때문에) 항을 만들게 된다. 그러면 이 때의 파동함수는 ψn 에 비례할 것이다. 이를 통해서 앞서 계산했던 결과를 다시 간단하게 살펴보면, ψn ψm dx δn,m δn,m ψn ψm dx b xψn ψm dx 을 만족하게 된다. 이 조건에 의해서 n은 반드시 홀수일 뿐만 아니라 오직 ±만 가능하게 된다. 문제 6.7: Vify tht th n n tnsition fo th pticl in box of Sc. 5.8 is fobiddn whs th n n nd n n tnsitions llowd. 해답 : Eq. (6.)를 이용해보자. nπx mπx x dx (n m)πx (n m)πx x dx (n m)πx (n m)πx dx (n m)π (n m)π (n m)πx (n m)πx (n m) π (n m) π 위 결과에서 n 6 m 그리고 n 6 m인 것을 알 수 있다. 이제, m을 Tnsition이 일어난 후의 stt 라고 가정하자. 그러면, m n n 이라고 쓸 수 있다. 이제 이 조건들을 이용해서 앞선 결과를 정리해보면, nπx 6 (n m) π (n m) π 그러면 n은 홀수여야 한다. 이 때문에, n n 의 경우는 불가능하고 n n 와 n n 의 경우는 가능하다. 문제 6.: Exmpl.7 considd muonic tom in which ngtiv muon (m 7m ) plcs th lcton in hydogn tom. Wht diffnc, if ny, would you xpct btwn th mn ffct in such toms nd in odiny hydogn toms? 해답 : mn ffct에 의해서 자기 양자수에 따라 입자가 방출하는 스펙트럼 라인의 진동수가 질량에 반비례하여 달라지므로, 전자가 뮤온으로 대체될 경우에 mn ffct가 전자의 경우보다 훨씬 작게 일어난다고 볼 수 있다. 즉, Boh mgnton의 크기가 /7배가 된다. 7