2018 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학, 해석학, 복소해석, 위상수학, 정수론, 선형대수, 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사 1

8 년수학임용고시기출풀이 ( 대수학 해석학 복소해석 위상수학 정수론 선형대수 미적분학 ) - 하이어에듀 - 구준모강사

8년 수학 임용고시 기출풀이 (안내) 제가 작성한 8년 수학 임용시험 기출 풀이 참고 답안입니다. 8년 임용 시험을 치르신 분들과 앞으로 준비 하시는 분들께 참고가 되었으면 좋겠습니다. 혹시 풀이에 오류가 있다면 제 이메일(junmomath8@gmail.com) 로 알려주시면 감사하겠습니다. **참고** : 풀이 끝에 Review 박스 안에 들어간 내용들은 제 강의에서 다룬 내용으로써 그것들은 따로 증명하지 않고 풀이에 인용하였습니다. Page of??

8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(A형). 위수(order) 가 각각 과 n인 두 순환군 Z 과 Zn 의 직접곱(direct product) Z Zn 이 순환군이 되도록하는 이상이고 이하인 자연수 n의 개수를 구하라. [점] Proof. Z Zn 이 순환군이 될 필요충분 조건은 gcd(n ) = 그리고 과 은 둘 다 소인수가 5 로 같으니까 이것은 다시 gcd(n ) = 와 동치 이하의 자연수 중에서 과 서로소인 개수 φ() 인데 우리는 이상 이하의 자연수만 카운트 하고 있으므로 φ() φ() = 4 4 = 36 이 답 문제(A형) 3. 자연수 n에 대하여 함수 fn : [ ) R 을 fn (x) = max{ ( x n )} n n 으로 정의할 때 Z Z fn (x)dx + lim n lim fn (x)dx n 의 값을 구하라. [점] Proof. x의 범위를 나누어 f (x) 를 써보면 다음과 같다. x<n ( x ) n x < n f (x) = n n x n x < 3n n (3 n ) 3n x R 따라서 모든 x [ ) 에 대해 limn fn (x) = 이고 그래프를 그려보면 모든 자연수 n에 대해 fn (x)dx = R R 임을 쉽게 안다. 따라서 limn fn (x)dx = limn fn (x)dx = 이 되어 답은 문제(A형) 4. 좌표 평면에서 영역 A가 A = {(x y) R x y x + y 3} 일 때 변수 변환 x = u + v y = u v 를 사용하여 중적분 x y e x+y dxdy A x+y 의 값을 구하시오. [점] Proof. 행렬 M 를 M= 라고 두자. 그럼 x u =M 이고 det(m ) = 이므로 A 에 대응되는 영역 B를 y v B = {(u v) R u 3 u v u} 라고 둔다면 치환 적분법에 의해 A x y e x+y dxdy = x+y B v e u dudv u Z 3 가 된다. 그리고 B v e u dudv = u 이므로 따라서 답은 e e Z 3 Z u u v e u dv du = u (e )du = (e ) e e 3 Page 3 of??

8년 수학 임용고시 기출풀이 [치환적분법] U W Rn 이고 G : U W 가 C 인 전단사 함수라고 하고 G 의 역함수인 G 도 C 이라고 하자. 만일 f : W R 이 연속함수이면 다음이 성립한다. f (Y )dy = f (G(X)) detg (X) dx W U Remark. 이 문제에서 우리는 G 를 행렬 M 에 대응하는 선형사상 LM 으로 두었다. 그럼 LM 의 야코비안 행렬은 원래 행렬 M 과 같아져 detg (X) = 임을 안다. 문제(A형) 5. 확장된 복소 평면 (extended complex plane) C { } 에서 정의된 일차 분수 변환 (선형 분수 변환) T 가 T () = T () = i T ( ) = 를 만족할 때 T (i) 의 값을 구하여라. [점] Proof. T 가 선형변환이라고 했으므로 T (z) = 처음 두개의 조건으로부터 b d = a+b c+d az+b cz+d 라고 둘 수 있다. (단 a b c d C) 그럼 문제에 나와있는 a+ zb 라고 c+ d z a+b 이므로 c+d = = i를 얻을 수 있고 T (z) = a c 둔 후에 limz 를 취하면 세번째 조건으로부터 = 를 얻는다. 그럼 b = d a = c i 에 대입하면 c = id 를 iz+ 얻는데 이제 a b c 를 모두 d 에 관하여 표현한 뒤 분자랑 분모에 있는 d를 약분면 T (z) = iz+ 임을 알 수 있다. 따라서 T (i) = 3 (확장된) 복소 평면에서 정의된 일차 분수함수는 세 점의 함수값에 의해 완전히 결정된다. 문제(A형). f () = f () = 인 함수 f : R R 에 대하여 함수 g 를 ( f (x) cos( x ) x 6= g(x) = x= 로 정의하자. 그랬을 때 함수 g 가 x = 에서 미분 가능함을 보이고 g () 의 값을 구하시오. [4점] Proof. f () = f () = 이므로 f () = lim x f (x) f () f (x) = lim = x x x 이고 따라서 limx f (x) x = 한편 x 6= 일 때 f (x) cos( x ) g(x) g() g(x) = = x x x 이고 cos( x ) 이므로 g(x) g() f (x) x x 4 Page 4 of??

8년 수학 임용고시 기출풀이 따라서 이 부등식의 양변에 limx 을 취해주면 lim x g(x) g() = x 가 되고 이로부터 g(x) g() = x 임을 안다. 따라서 g 는 에서 미분 가능하고 g () = lim x 문제(A형). 위상공간 (R Ju ) 의 부분공간 A = {(x y) R x +y < 4}와 집합 X = { 3 3} 에 대하여 함수 f : A X 를 f (x y) = [x + y ] 으로 정의하자. 집합 X 위의 위상 J 를 J = {U X f (U ) Ju } 로 정의할 때 3을 원소로 갖는 X 의 모든 열린 집합의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또 위상공간 (X J) 에서 집합 B = { }의 도집합(derived set) B 을 구하시오. [4점] (단 Ju 는 Rn 의 보통위상이고 [x] 는 x 를 넘지않는 최대 정수이다) Proof. i = 3 일 때 f (i) = {(x y) R i x + y < i + } 이고 i = 3 일 때 f (i) = 따라서 우리는 J 의 정의로부터 i = 3 일 때 Bi = {i} 가 i 를 포함하는 (X J) 의 가장 작은 open set (i.e. i 의 local basis) 임을 알고 j = 3 일 때 j 을 포함하는 가장 작은 (X J) 의 open set (i.e. j 의 local basis) 은 Bj = { j}임을 안다. 따라서 P 를 { 3} 의 멱집합(power set)으로 둔다면 3 을 포함하는 (X J) 의 열린집합들은 {{ 3} U U P } 따라서 3을 포함하는 (X J) 에 있는 열린집합들의 개수는 P = 8 한편 a B 일 필요충분 조건은 Ba {B {a}} = 6 인데 이를 만족하는 a 는 3 밖에 없으므로 B = { 3} 5 Page 5 of??

8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(A형) 3. 합동식 xn+5 xn x5 + (mod 3) 의 법 3 에 대한 해의 개수가 5가 되도록 하는 3 이하의 자연수 n 의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점] Proof. An = {x Z3 xn (mod 3)} 이라고 하자. xn+5 xn x5 + = (x5 )(xn ) 이고 3 은 소수이므로 따라서 합동식 xn+5 xn x5 + (mod 3) 의 해의 개수는 A5 An 합동 방정식 xn (mod 3) 는 항상 이라는 해를 가지고 3 은 소수이므로 φ(3) = 3 이 되어 아래 첫번째 정리에 의해 A5 = 5 An = gcd(n 3) 따라서 A5 An = A5 + An A5 An = 5 가 되려면 An = A5 An 가 되어야 하는데 A5 An An 이므로 An A5 가 되는 n 들을 찾자. 만약 어떤 자연수 n 이 이 조건을 만족한다면 A5 An 는 모두 (Z3 ) 의 부분군들이므로 An A5 여야 하니까 gcd(n 3) = or 5 만약 gcd(n 3) = 이라면 An = 이어야 하는데 An 이므로 An = {} 이고 은 또한 A5 원소이므로 An A5 만약 gcd(n 3) = 5 라면 An =5 한편 5 n 이므로 아래 두번째 정리에 의해 A5 An 인데 A5 = An = 5 이므로 A5 = An 가 되어 An A5 를 만족시킨다. 따라서 부터 3 까지의 자연수 n 중에서 gcd(n 3) = or 5 를 만족시키는 자연수 n 의 개수는 φ(3) + φ(6) = 6 이므로 이 문제의 답은 6 [합동 방정식 xn a (mod m) 에 관한 정리] 만약 합동식 xn a (mod m) 이 해를 가진다면 이 방정식의 해의 개수는 총 gcd(n φ(m)) 개 n k 이면 합동방정식 xn (mod m) 의 해는 합동방정식 xk (mod m) 의 해가 된다. 6 Page 6 of??

8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(A형) 4. 다음 두 조건을 만족시키는 유한체 (finite field) Z5 위의 다항식 환 Z5 [x] 의 아이디얼(ideal) I 의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점] (가) 잉여환(quotient ring) Z5 [x]/i 의 위수(order) 는 5 (나) Z5 [x]/i 의 극대 아이디얼 (maximal ideal) 의 개수는 Proof. Z5 는 field 이므로 Z5 [x]는 PID 따라서 Z5 [x] 의 모든 ideal I 는 I = (fi ) 로 표현이 된다. (단 여기서 fi 는 Z5 [x] 의 원소이고 (fi ) 는 fi 로 generate 되는 I 의 아이디얼) Z5 [x] 의 ideal I가 있다고 하자. 그리고 I = (f ) for some f Z5 [x] 로 쓰자. 만약 f 가 Z5 의 원소라면 Z5 [x]/(f ) = or 만약 f 가 차 이상의 다항식이라면 Z5 [x]/(f ) 는 Z5 위에서 정의된 { x xn } 를 기저로 가지는 차원이 n 인 Z5 -벡터공간으로도 생각할 수 있으므로 Z5 [x]/(f ) = 5n 따라서 아이디얼 (f ) 가 조건 (가) 를 만족할 필요충분 조건은 f 가 Z5 위에서 정의된 이차 다항식인 것 한편 Z5 [x]/i 의 maximal ideal 들이 두개가 되려면 f 는 이 되어서는 안된다. 또한 Z5 [x]/i 의 maximal ideal 들은 I 를 포함하는 Z5 [x] 의 maximal ideal 들과 일대일 대응이 되고 PID 의 non-zero maximal ideal 의 generator 는 irreducible element 이므로 조건 (나) 는 fi f in Z5 [x] 인 monic irreducible polynomial fi 가 딱 두 개 존재하는 것과 동치 따라서 I 를 I = (f ) for some monic polynomial f Z5 [x] 로 unique 하게 표현했을 때 I 가 위의 두 조건을 동시에 만족할 필요충분 조건은 f 가 Z5 [x] 에 있는 서로 다른 두 monic 일차식 f 과 f 의 곱으로 표현되는 것 그리고 Z5 [x] 에 있는 monic 일차식은 {x x + x + x + 3 x + 4} 이렇게 5개 밖에 없으므로 따라서 이 중에서 서로 다른 두개의 monic 일차 다항식을 고르는 방법의 개수가 바로 위 두 조건을 만족하는 아이디얼 5 I 의 개수 따라서 답은 =. F 가 field 이면 F [x] 는 PID 유한 생성 F -module 은 유한 차원 벡터 공간 Ring R 이 있고 I 가 R 의 ideal 이라고 하자. 그랬을 때 quotient ring R/I 의 아이디얼들의 집합은 I 를 포함하는 R 의 ideal 들의 집합과 일대일 대응을 이루고 이 대응은 maximality 를 보존한다. 만약 ring R 가 PID 일 때 R 의 어떤 ideal J 를 J = (f ) 로 표현하자. 만일 f 6= 이라면 J 가 R 의 maximal ideal 일 필요충분 조건은 f 가 R 의 irreducible element 인 것 7 Page 7 of??

8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(B형) 3. 실수체 R 위의 벡터공간 R3 의 기저(basis) {v v v3 } 에 대하여 세 벡터 {v +v v +v3 v +v3 } 이 일차독립임을 보이시오. 또 모든 성분이 실수인 (3 3) 행렬 A 가 (A I)(v + v ) = (A I)(v + v3 ) = (A 3I)(v + v ) = 3 을 만족시킬 때 A 의 행렬식 det(a) 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점] (단 I 는 (3 3) 단위행렬) Proof. 집합 B 를 R3 의 기저 B = {v v v3 } 라고 하자. u = v + v u = v + v3 u3 = v + v3 라고 둔 후에 선형사상 L : R3 R3 을 L(v ) = u L(v ) = u L(v3 ) = u3 를 만족시키는 선형사상으로 정의하자. 기저 B 에 관하여 선형사상 L 을 표현하면 [L]B = B det([l]b B) 인데 = 6= 이므로 L 은 linear isomorphism 그리고 Linear isomorphism 은 basis 를 basis 로 보내므로 L(B) 또한 R3 의 basis 이고 따라서 {u u u3 } 는 일차독립 한편 문제에 주어진 조건에 의해 세 벡터 u u u3 는 각각 3 에 대응하는 행렬 A 의 eigen-vector 들이므로 이 벡터들을 column vector 들로 가지는 행렬을 U = (u u u3 ) 로 정의하면 U AU = 3 이고 따라서 det(a) = 6 선형사상은 기저의 상(image)에 의해서 유일하게 결정된다. 선형사상 L 을 벡터공간의 기저를 이용해서 행렬 A 로 표현했을 때 L 이 isomorphism 이 되는 것과 A 가 가역행렬이 되는 것은 동치 8 Page 8 of??

8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(B형) 4. 정함수 (entire function) f (z) 가 모든 복소수 z 에 대하여 부등식 f (z) ez 을 만족시킨다. f () = 일 때 f () 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점] (**) 다음 정리는 필요하면 증명없이 사용할 수 있다. 양수 r 에 대하여 영역 {z ( C < z a < r} 에서 함수 g(z) 가 해석적이고 유계이면 limz a g(z) g(z) < z a < r 가 존재하고 함수 h(z) = 는 z = a 에서 해석적 limw a g(w) z=a Proof. 각각의 정수 n 에 대해서 D (πi n ) = {z C < z πi n < } 라고 하자. 그리고 함수 hn : D (πi n ) C 를 f (z) hn (z) = z e 로 정의하면 hn 은 모든 정수 n 에 대해 D (πi n ) 에서 해석함수 한편 문제의 조건에 의해 hn (z) for all z D (πi n ) 이므로 제시된 정리에 의해 lim z πi n hn (z) 는 존재하고 함수 hn : C C 를 hn (z) = ( hn (z) limw πi n hn (w) z D (πi n ) z = πi n 로 정의하면 제시된 정리에 의해 hn 는 D(πi n ) = {z C z πi n < } 에서 정의된 해석함수 이제 함수 h : C C를 다음과 같이 정의하자. ( f (z) z 6= πi n for n Z z h(z) = e hn (z) z = πi n for each n Z. 그럼 h 는 entire function 한편 임의의 n Z 에 대해 z D (πi n ) 라면 h(z) = efz(z) 이고 h(z) 그런데 h 는 연속함수이 므로 h(πi n) = lim h(z) z πi n 이고 z 6= πi n for any n Z 일 땐 h(z) = efz(z) 임을 알고 있으므로 h 는 복소평면 전체에서 유계인 entire function () 따라서 h 는 상수함수인데 h() = fe = e 이므로 h(z) = e for all z C 이로부터 f (z) = z ez for all z C {πi n n nz} 임을 아는데 f 는 연속함수이므로 모든 z C 에 대해서 f (z) = ee e 따라서 f () = e (리우빌 정리) 복소평면에서 정의된 유계인 정함수는 상수함수 9 Page 9 of??

8년 수학 임용고시 기출풀이 문제(B형) 6. 유리수체 Q 위의 기약다항식(irreducible polynomial) f (x) 의 Q 위의 분해체(splitting field) K 에 대하여 갈루아 군 G(K/Q) 이 아벨군(abelian group) 이 때 G(K/Q) 의 위수(order) 가 f (x)의 차수 deg(f (x)) 와 같음을 보이시오. 또 deg(f (x)) = 8 일 때 K 의 모든 부분체(subfield) 의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. (참고 : 8 = 9 이고 9 는 소수) [5점] Proof. f (x) 의 한 근 α를 고정하고 β 를 f 의 임의의 근이라고 하자. 그럼 f 가 Q 위의 기약다항식이므로 σ(α) = β 인 어떤 σ G(K/Q) 가 존재한다. 그럼 σ(q(α)) = Q(β) 이므로 G K/Q(β) = σ G K/Q(α) σ 인데 지금 G(K/Q) 가 abelian group 이므로 G K/Q(β) = G K/Q(α) 따라서 갈루아 정리에 의해 Q(α) = Q(β) 인데 여기서 β 는 f 의 임의의 한 근이므로 Q(α) 는 f 의 모든 근을 포함하고 있는 f 의 splitting field K 따라서 G(K/Q) = G(Q(α)/Q) = deg(irr(α Q)) = deg(f (x)) 한편 위수가 8 인 아벨군은 순환군 Z8 밖에 없으므로 G(K/Q) = Z8 그리고 갈루아 정리에 의해 K 의 모든 subfield 들은 G(K/Q) 의 subgroup 과 일대일 대응이 되는데 Z8 의 부분군들의 개수는 8 의 약수의 개수와 같으므로 K 는 총 4개의 subfield 를 가진다. f F [t] 가 중근을 갖지 않는 않는다고 하고 F 안에 있는 f 의 근들의 집합을 S 라고 두자. 그럼 다음에 나오는 두 조건은 서로 동치 () f 는 기약 다항식 () f 의 Galois group Gf 는 S 에 transitively act 한다. F E K 일 때 임의의 σ Aut(K/F ) 에 대해 Aut(K/σE) = σ Aut(K/E) σ K/Q 가 Galois extention 일 때 K 의 subfield 들과 G(K/Q) 의 subgroup 들은 일대일 대응을 이룬다. p q N 가 서로 다른 소수일 때 위수가 pq 인 아벨군은 순환군 Zpq 밖에 없다. n = pe pekk 일 때 Zn 의 부분군들의 개수는 Qk i= (ei + ) ( K = Q(α) 의 다른 증명) Proof. G(K/Q) 가 아벨군이므로 G(K/Q) 의 임의의 subgroup 는 normal subgroup 따라서 f (x) 의 의의 한 근을 α 라고 하면 G(K/Q(α)) / G(K/Q) 이므로 Q(α)/Q 는 normal extension 따라서 Q(α) irr(α Q) 의 모든 근들을 포함하는데 f (x) 가 α 를 근으로 가지는 Q 위의 기약다항식이므로 Q(α) 는 f (x) 모든 근들을 다 포함한다. 따라서 Q(α) 는 f (x) 의 splitting field K 임 는 의 Page of??

8년 수학 임용고시 기출풀이 P 문제(B형) 7. 함수항 급수 n= n tan ( nx ) 가 실수 전체 집합 R 에서 점별 수렴(pointwise convergence) P 함을 보여라. 또 함수 f (x) = n= n tan ( nx ) 는 균등 연속 (uniformly continuous) 함을 보여라. [5점] π (단 여기서 tan : R ( π ) 는 탄젠트 함수의 역함수) Pn Proof. 실수 전체에서 정의된 함수열 {fn } 을 fn (x) = k= k tan ( xk ) 이라고 하고 임의의 양수 r > 에 대해 함수 fn : [ r r] R 을 fn 의 정의역을 [ r r] 로 제한시킨 함수라고 하자 그럼 fn () = 이므로 P n 수열 {fn ()}은 으로 수렴한다. 또한 fn 은 미분 가능한 함수이고 (fn ) (x) = k= x +k 인데 x + k k X < k k= {(fn ) } 이므로 바이어슈트라스 판정법에 의해 은 구간 [ r r]에서 고르게 수렴한다. 따라서 아래 두번째 정리 에 의해 fn 은 [ r r] 에서 고르게 수렴하는데 r 은 임의의 양수이므로 fn (x) 은 실수 전체에서 f 로 수렴함을 알 수 있다. P 한편 아래 두번째 정리에 의해 f 는 [ r r] 에서 미분가능하고 f (x) = k= x +k 인데 x + k k 이므로 f (x) X < k k= X k for all x [ r r] k= 그리고 여기서 r 은 임의의 양수니까 f 은 실수 전체에서 미분 가능하고 유계 따라서 아래 세번째 정리에서 I = R 이라고 두면 f 는 균등연속임을 알 수 있다. (바이어슈트라스 판정법) 함수열 < fn : X R > 이 있을 때 각 자연수 n 에 대해 fn < Mn 인 양수 P P Mn 이 있다고 하자. 만일 무 한급수 Mn 이 수렴하면 함수항 급수 fn (x) 가 렴한다. 실수의 유계 닫힌 구간 I = [a b] 에서 정의된 함수열 < fn > 이 다음 조건을 만족한다고 하자. (가) 각각의 fn 들이 구간 I 에서 미분 가능하다. (나) 적당한 x I 에 대해 실수열 < fn (x ) > 가 수렴한다. (다) 함수열 < fn > 이 고르게 수렴한다. 그럼 < fn > 은 고르게 수렴하고 이 극한함수를 f 라고 두자. 그럼 f 는 I 에서 미분 가능하고 관계식 f (x) = lim fn (x) n x I 가 성립한다. f : I R R 이 미분가능하고 f 이 유계라면 f 는 I 에서 균등연속 Page of??