양자역학에의한자속양자화증명 Proof of magnetic flux quantization by quantum mechanics

양자역학에의한자속양자화증명 Proof of magnetic flux quantization by quantum mechanics

초록 양자역학에의한자기선속양자화증명 현재, 파동함수의위상인자가단일성을갖는다는추정에의해자기선속의양자값을계산하고있는데이는양자론적논리가결여되어보인다. 그리하여이논문에서이문제에양자역학논리를엄격하게적용해서자속양자단위값을도출하였는데그결과는 (hc/2e) 이다. 패러데이의전자기유도법칙과고전양자론으로부터얻어진것과정확히일치한다. abstract Proof of magnetic flux quantization by quantum mechanics At present, By the requirement that the phase factor of the wave function has unity, Quantum values of magnetic flux are calculated, which seems to lack quantum logic. Thus, in this paper, we apply the quantum mechanics logic strictly to this problem,the unit value is derived and the result is (hc/2e). It is exactly the same as that obtained by Faraday's law of electromagnetic induction and classical quantum theory. 1. 머리말필자는앞서페러데이의전자기유도법칙이나카노니컬운동량방정식에고전양자론을이용하여초전도체의고리구멍을통과하는자속양자단위값이 (hc/2e) 인것은전자 2개가짝을지어운동하는것이아니라전자 1개의운동에의한것임을보여주었다.[1] 그러나이는어디까지나고전양자론과고전역학에서얻어진결과이지양자역학적논리를이용해서얻어진것은아니다. 현재양자역학에서자속양자값은다음과같이유추하고있다. +V = E +V = E (1) (1) 식의 2 개의방정식에서다음식을이끌어낼수있다.[2]

= exp(- ) (2) (2) 식에서위상인자 exp(- ) 가닫힌경로안에자기장이 0 인경우 1=exp(- ) 을갖게 되는데자속이유한한값을가지는경우에도위상인자가 1 이되어야한다는필요성을 (single valued) 파동함수를놓고주장하는것이다.[3] 이렇게하면자속양자단위값은 (hc/e) 로나온다는것이다. 그런데이것은어디까지나추측이나주장이고양자역학논리가빈약해보인다. 물리학은엄격 한수학적논리로발전해왔다. 2. 본문 양자역학에서자기선속을찾아보면벡터포테셜 A 가포함된슈뢰딩거방정식이있다. 먼저벡터포텐셜 A 와관련된양자상태를시간독립슈뢰딩거방정식으로표시를한다. +V = E (3) ( A 는벡터포텐셜, V 는포텐셜, E 는전자의에너지준위, m 전자질량, e 전하량 ) 그러면 (3) 식과 (3) 식의 A=0 을놓아 2 개의슈뢰딩거방정식을만든다. +V = E +V = E (4) (4) 식의 2 개의방정식에서다음식을이끌어낼수있다.[2] = exp(- ) (5) (5) 식에복소수켤레를만들어보면다음식을얻을수있다. = exp(+ ) (6)

(5),(6) 식에서 A ds = Φ 로하고두식을곱하여쓴다. = exp(- Φ Φ ) exp(+ ) (7) (7) 식에서자속항 Φ 가사라져자속양자화에관한어떤내용도얻을수없다. 이러한결과는많은이들이시도해보았을것이고양자역학에선방법이없다고단정짖기에충분한내용이며그래서파동함수에서위상인자의단일성 (single valued, unity) 이란말을사용하여나름대로자기선속양자화를설명하려하지않았나싶다. 그러나, 페러데이전자기유도법칙에서고전양자론이해낸증명을양자역학이못한다기보다는분명히존재하는데아직찾아내지못했다고보는게온당하다. 이제어떤문제인지를알았으므로 (7) 식과같은상황을피해야한다. 1 개의양자상태를표시하는파동함수 는짝인켤레복소수파동함수 가존재하는데. 양자역학은또다른파동함수 Ψ = + 와 Ψ = + 를만들수있게허용한다. 그리고막스보른이처음제안한규칙따라 Ψ 와 Ψ 는규격화과정을거쳐서만들어진파동 함수라고하고다시표시하면이러하다. Ψ +VΨ = EΨ Ψ +VΨ = EΨ (8) 물론이파동함수는 Ψ = Ψ, Ψ = Ψ 라는특징을갖게되며 (4) 식에서 (5) 식을얻은것과 같은방식으로아래방정식을얻는다. Ψ = Ψ exp(- ) (9) 위의 (9) 식을양변을제곱해본다. ΨΨ = Ψ Ψ exp(- ) (10) 여기서 (9) 식에서 (10) 식으로넘어갈때절대로 ΨΨ 이런식으로하지않는것이아주중요하다. 그럴경우 (7) 식과같은무의미한경우가된다. Ψ와 Ψ 는각각의양자상태를뜻하는파동함수로위상인자와독립되어있는것으로생각하고처리하는것이다. 위상인자는어디까지나각각의양자상태를표시하는파동함수에의해 2차적으로결정된다고보는것이다. 그러니까 (9) 식을그대로가져다가제곱을하는것이다. 사실은이렇게사용하기위해동일한양자상태를표시하는또다른파동함수를만든것이다.

(10) 식의양변을모든공간에걸쳐적분한다. ΨΨ dx = Ψ Ψ dx exp(- ) (11) 초전도고리의어느경로를취하든감싸는자속의양이같으므로벡터 A 에대한선적분은 파동함수곱의모든공간에걸친적분에대해상수가되므로전개하면이러하다. 1=1 exp(- ) (12) Φ = (n=0,±1,±2,...) (13) 이제완벽하게양자역학논리로자속양자값이 (hc/2e) 의정수값임을보여주었다. 3. 마치는말 필자가자속양자화에관심을가진시기는 1990 년경으로기억하고있다. 당시에보았던자속양자화증명이이상하다고생각했다. 그래서이때부터제대로된 증명을해보고자시작했으나. 카노니컬운동량 (p= mv + (e/c)a) 공식이나페러데이법칙 ( 전기장E = - Φ ) 에서자속 양자화가유도된다는것을안것은많은시간이흐른뒤였다. 어쨌거나시간이 오래걸렸지만마침내마침표를찍게되었다. 인생은짧고물리는너무길다고해야하나그런생각이든다. 자연현상에대해알아야 하는내용이너무많았고왜이걸내가하고있지? 하는의문이들때도아주많았다. 누군가물리학에관심을가지려한다면정말말리고싶다. 이건아무리해도쌀이나오는것도아니고돈이생기는것도아니니말이다. 대신돈별로안들고심심하지는않았다는점이위안이기는했다. 참고문헌 [1] vixra:1305.0172 [2] Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics ( Wiley,Minnesota, 1974), p.218-219 [3] Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics (Wiley,Minnesota,1974) p.220