. 지수 거듭제곱과거듭제곱근 () 거듭제곱어떤수 a 를 n 번곱한것을 a 의 n 제곱이라하고, a n 으로나타낸 다. a n 에서 a 를밑, n 을지수라고한다. () 거듭제곱근 n 이 이상의자연수일때, n 제곱하여실수 a 가되는수, 즉 x n = a 를만족하는수 x 를 a 의 n 제곱근이라한다. (3) 제곱근중실수인것 함수 y = x n 의그래프와직선 y = a 의교점의 x 좌표는 a 의 n 제곱 근중실수인것이다. n 이짝수 n 이홀수 (4) 거듭제곱근의성질 a > 0, b > 0 이고 m, n 이 이상의양의정수일때 n a n b = n ab n n a b = n a b 3 ( n a ) m = n a m 4 m n a = m n a 수학 Ⅰ
지수의확장 () 정수지수 : a 0 =, a - n = a n q () 유리수지수 : a > 0이고, p, q가정수 (p ) 일때, a p = p a q (3) 지수법칙 a > 0, b > 0, m, n 는실수일때 a m a n = a n + n, ( a m ) n = a m n, ( ab ) m = a m b m, a m a n = a m - n (4) 거듭제곱근의대소비교 예제., 3, 5 의대소관계를정하라.. 3 5. 로그 로그와그성질 () 로그의정의 a > 0, a, b > 0 일때, a x = b x = log a b () 로그의성질 a >0, a, x > 0, y > 0 일때 log a = 0, log a a = 3 4 log a xy = log a x + log a y log x a y = log ax - log a y log a x n = n log a x (3) 로그의밑변환공식 log a b = log cb log c a (c > 0, c ) 예제. ( log 0 ) + log 00 log 5 0 의값을간단히하면? 수학 Ⅰ
상용로그 () 상용로그 log 0 A와같이 0 을밑으로하는로그를상용로그라고하며, 보통밑 0 을생략하여 log A 로나타낸다. () 상용로그의지표와가수양수 M 에대하여 M = a 0 n ( a<0, n 은정수 ) log M = n + log a 이때, 정수 n을 log M의지표, log a를 log M의가수라고한다. 정수 n 을 log M 의지표, log a 를 log M 의가수라한다. (3) 지표의성질 정수부분이 n + 자리인양수의상용로그의지표는 n, 소수점아래 n 번째자리에서처음으로 0이아닌 보다작은양수의상용로그 의지표는 - n 이다. 3 k 진법으로 n+ 자리수인양수 A 에대하여 log k A 의정수부분은 n 이다. (4) 가수의성질 숫자의배열이같고, 소수점의위치만다른두수의상용로그의가수는같다. log A와 log B의가수가같으면, log A log B는정수이다. 3 log A의가수 α가한자리양의정수 a에대하여 log a < α < log (a + ) 을만족하면 A의가장큰자리의숫자는 a이다. 진법과로그 예제 3. 3. 3 0 을 5진법으로나타내면 a자리수이고제일앞자리수는 b이며, 제일끝 자리수는 c이다. 이때 a + b + c의값을구하여라. ( 단, log 5 3 0.685 ) 3 수학 Ⅰ
. 행렬의연산 행렬의뜻과표현 () 행렬의꼴 m 행, n 열로이루어진행렬을 m n 행렬, 특히 m = n 인행렬을 정사각행렬이라한다. () ( i, j ) 성분과 a ij 행렬 A 의제 i 행과제 j 열이교차하는위치에있는성분을 (i, j) 성분이 라하고, a ij 로나타낸다. 행렬의연산 () 행렬의덧셈과뺄셈 A = ( a a a 3 a a a 3 ), B = ( b b b 3 b b b 3 ) 일때, A±B = ( a ±b a ±b a 3 ±b 3 a ±b a ±b a 3 ±b 3 ) () 행렬의실수배 : ka = ( ka ka ka 3 ka ka ka 3 ) (3) 행렬의곱셈 (4) 일반적으로행렬의곱셈에서는교환법칙이성립하지않는다 A B B A 예제 4. 행렬 A의각성분에대하여행과열의위치를바꾸어놓은행렬을 A t 로나타내 자. 예를들어 A = (, ) 이면 A t = 이고 A = 3 4 이면, At = 3 4 이다. 임의의행렬 A에대하여다음중항상연산이가능한것은? Ⅰ. A + A t Ⅱ. A A t Ⅲ. AA t + A t A 4 수학 Ⅰ
3 행렬의곱셈법칙 () 결합법칙 ( A B )C = A ( B C ) () 분배법칙 A ( B + C ) = A B + A C, ( B + C )A = B A + C A (3) ( ka )B = A ( k B )= kab (4) A E = E A = A ( E 는단위행렬 ) 4 행렬의곱셈에서주의할점 () A B/= B A ( 일반적으로교환법칙이성립하지않는다.) () A B = O A = O 또는 B = O ( A/= O, B/= O 이고 A B = O 인행렬 A, B 를영인자라한다.) (3) A/= O, A B = A C B = C (4) A = O A = O 5 케일리 - 해밀턴의정리 행렬 A = a b ( ) c d 에대하여 A - ( a + d )A + ( a d - b c )E = O 가성립한다.. 역행렬과연립일차방정식 역행렬의정의 정사각행렬 A 에대하여 A X = X A = E ( E 는단위행렬) 를만족하는 정사각행렬 X 가존재하면 X 를 A 의역행렬이라하고, A - 로나타 낸다. 즉, A A - = A - A = E 예제 5. A = A 이고 A E이고 A E일때, (A + E) = pa + qe이다. 이때 8pq 의값을구하여라. 5 수학 Ⅰ
이차정사각행렬의역행렬 A = ( a b ) c d 에서 D = ad - bc 라고할때, D 0 이면 A - 가존재하고 A - = D = 0 이면 A - 는존재하지않는다. d - b D ( ) - c a 3 역행렬의성질 차정사각행렬 A, B의역행렬이모두존재할때, () AB = E BA = E () ( A - ) - = A, E - = E, ( A n ) - = ( A - ) n (3) A, B 가존재하면, (AB) 도존재하고 ( A B ) - = B - A - (4) k 0 일때 (ka) = k A (5) A = PBP 일때 A n = PB n P 예제 6. 두이차정사각행렬 A 와 B 에대하여 A B + A = E 일때, < 보기> 에서옳은것을모두고르면? ( 단, E 는단위행렬이다.) < 보기> ㄱ. 행렬 A 의역행렬은 B + E 이다. ㄴ. A B = B A ㄷ. 행렬 A 가역행렬을갖지않는다. ㄱ ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄴ, ㄷ 6 수학 Ⅰ
4 연립일차방정식과행렬 ax +by = p () 연립방정식 { A = ( a b ) c d a b x cx +dy = q 를 ( c d ) ( y ) = p ( q ), X = ( x ) y, B = p ( ) A - 가존재하면 X = A - B = q 라하면 A X = B 이다. 로나타내고 d - b a d - b c ( ) p - c a ( ) A - 가존재하지않으면연립방정식의해는부정또는불능이된다. q () 연립방정식 ax +by = 0 cx +dy = 0 을 a b c d x 0 0 y = 으로나타내고 ad bc 0 이면 x = y = 0 만해이다. ad bc = 0 이면부정 (x = y = 0 이외의해를갖는다.) (3) 이차정사각행렬 A, B와 X = x y 그리고상수 k 에대하여 AX = kx 이 x = y = 0 이외의해를갖는다. (A ke)x = 0 이 x = y = 0 이외의해를갖는다. A ke 의역행렬이존재하지않는다. 7 수학 Ⅰ
. 등차수열과등비수열 등차수열 첫째항이 a 이고, 공차 d 인등차수열 {a n } 에서 () a n + - a n = d ( 일정) () a n = a+ ( n - )d, S n = n ( a + a n ) = n { a + ( n - )d } (3) a, b, c 가이순서대로등차수열 b = a + c 등비수열 첫째항이 a 이고, 공비가 r 인등비수열 {a n } 에서 () a n + = r a n () a n = a r n -, S n = { n a ( r = 일때 ) a ( - r n ) ( r 일때 ) - r (3) a, b, c 가이순서대로등비수열 b = a c 3 수열의합과일반항사이의관계 () S n = a + a + a 3 + + a n 이라하면, { a = S a n = S n - S n - ( n ) () P n =a a a 3 a n { a = P 이라하면, a n = P n ( n ) P n - 4 등비수열의응용 원리합계, 반감기등일정한비율로증가또는감소하는것에대한문제 예제 7. 총인구에서 65 세이상인구가차지하는비율이 0 % 이상인사회를 초고 령화사회 라고한다. 000 년어느나라의총인구는 000 만명이고 65 세 이상인구는 50 만명이었다. 총인구는매년전년도보다 0.3 % 씩증가하고 65 세이상인구는매년전년도보다 4 % 씩증가한다고가정할때, 처음으로 초고령화사회 가예측되는시기는? ( 단, log.003 = 0.003, log.04 = 0.070, log = 0.300) 048 년 ~ 050 년 038 년 ~ 040 년 3 08 년 ~ 030 년 4 08 년 ~ 00 년 5 008 년 ~ 00 년 8 수학 Ⅰ
. 여러가지수열 기호의정의및성질 () n k = () n k= (3) n k = a k = a + a + a 3 + + a n (a k ±b k ) = n ca k = c n k= a k k = a k ± n b k k= 자연수의거듭제곱의합 () n k = () n k = (3) n k = k = n ( n + ) k = n( n + )( n + ) 6 k 3 = { n(n + ) } 3 계차수열 수열 {a n } 의제 계차수열을 {b n } 이라하면 () a n + - a n = b n n () a n = a + - b k ( n ) k = 4 여러가지수열의합 () n k = () n k = n (3) Σ k = k(k + d ) = n k = d ( k - k + d ) k ( k + )! = n k = ( k! - ( k + )! ) n = k + + k Σk = ( k + k) 8 예제 8. k Σ( k + ) 의값을구하여라. = k + + k 9 수학 Ⅰ
5 수열의규칙성찾기 일정한규칙에따라나열된수열에서그규칙성을찾아내는문제가자주출제된다. 6 군수열의풀이 () 주어진수열을적당한군으로나눈다. () 각군에서의항들의규칙성과각군의항의개수의규칙성을파악한다. (3) 각군의첫째항들로된수열을생각한다. (4) 구하는항이제몇군의몇번째항인지알아본다. (5) n 군의합을 A n 이라하면, 군부터 n 군까지의합은 S n = n A k k = 이다. 예제 9. 한변의길이가각각, 3, 5,, n -, 인정사각형의변과꼭지점에 아래그림과같이일정한간격으로자연수가규칙적으로배열되어있다. 이때, 각정사각형에서 은왼쪽아래꼭지점바로위에놓여있다. 각정사각형의네꼭지점에놓이는자연수를성분으로하는이차정사각행렬 을차례로 A, A, A 3,, A n, 이라하자. 예를들면, A = ( 4 3 ), A = ( 3 6 9 ) 이다. 행렬 A 5 의모든성분의합을구하여라. 0 수학 Ⅰ
3. 수학적귀납법과순서도 수학적귀납법 자연수에대한어떤명제가모든자연수 n 에대하여성립한다는것을 증명하는방법으로수학적귀납법이있다. 명제 P ( n) 이모든자연수 n 에 대하여성립함을증명하려면다음, 를증명하면된다. n = 일때, 명제 P ( n) 이성립한다. n = k 일때, 명제 P ( n) 이성립한다고가정하면 P ( n) 은 n = k + 일 때에도성립한다. 수열의귀납적정의 첫째항 a 과이웃하는두항 a n, a n + 사이의관계식이주어지면수열 {a n } 의모든항 a, a, a 3, 이정해진다. 이와같이수열을정의하 는방법을수열의귀납적정의라하고, 두항사이의관계식을점화식이 라한다. () a n + - a n = d ( 일정) 공차 d 인등차수열 () a n + a n = r ( 일정) 공비 r 인등비수열 (3) a n + = a n + a n + 이면 a n + - a n = a n + - a n + 등차수열 (4) ( a n + ) = a n a n + 이면 a n + a n = a n + a n + 등비수열 (5) = + a n + a n a n + 이면 a n + - a n = a n + - a n + 조화수열 수학 Ⅰ
예제 0. 다음은모든자연수 n 에대하여부등식 n + i = n + i = n + + n + + + 3n + > 이성립함을수학적귀납법으로증명한것이다. < 증명> 자연수 n 에대하여 a n = n + + n + + + 3n + 이라할때, a n > 임을보이면된다. () n = 일때 a = + 3 + 4 > 이다. () n = k 일때 a k > 이라고가정하면 n = k + 일때 a k + = k + + k + 3 + + 3k + 4 = a k + ( 한편, (3k+) (3k+4) 3k+ + 3k + 3 + 3k+ 4 )- 3k+ + 3k+4 > (3k+3) 이므로 그런데 a k > 이므로 a k + > a k + ( 3 k + 3 + ( 다) ) - ( 가) > 그러므로 (), () 에의하여모든자연수 n 에대하여 a n > 이다. 위의증명에서 ( 가), ( 나), ( 다) 에알맞은것은? 3 4 5 ( 가) ( 나) ( 다) k+ > k+ < k+ < k+ > k+ < ( 나) 3k+3 3k+3 4 3k+3 4 3k+3 k+ ( 다) ( 가) 수학 Ⅰ
3 기본적인점화식 () a n + = a n + f ( n ) n 에,, 3,, ( n - ) 을대입하여변끼리더한다. () a n + = f ( n ) a n (3) a n + = p a n + q n 에,, 3,, ( n - ) 을대입하여변끼리곱한다. a n + - α = p ( a n - α ) 수열 { a n - α} 는공비 p 인등비수열 (4) p a n + + qa n + + ra n = 0 ( 단, p + q + r = 0 ) a n + - a n + = r p ( a n + - a n ) 계차수열이공비 r p 인등비수열 예제. 수열 {a n } 이모든자연수 n 에대하여 a n + = a n + + a n 00 을만족할때, 다음중 a k k= 와같은것은?( 단, a 0, a 0 ) a 0 - a a 0 - a 3 a 0 +a 4 a 0 - a 5 a 0 +a 4 순서도 () 알고리즘유한횟수의반복조작으로주어진조건에알맞은계산이나문제해결에필요한처리과정을체계적이고논리적인순서로나타낸것을알고리즘이라한다. () 순서도 알고리즘의내용을그림으로나타낸것을순서도라한다. 3 수학 Ⅰ
. 수열의극한 극한값의성질 lim a n = α, lim b n = β n n 일때, () () (3) (4) lim ka n = k lim a n = k α n n ( 단, k 는상수 ) lim (a n ±b n )= lim a n ± lim n n n b n = α±β ( 복호동순) lim a n b n = lim a n lim b n = αβ n n n a lim n = n b n lim a n n = α lim b n β ( 단, β 0) n (5) a n >b n 이면 lim a n lim b n, n n 즉 α β (6) a n <p n <b n 이고, lim a n = lim b n = α n n 이면 lim p n = α n 예제.. 다음보기중옳은것을모두고르면? ( 가) { a n - b n} 이수렴하고 {b n } 이수렴 {a n } 이수렴 ( 나) lim a n = α n lim a n = α n ( 다) {a n } 이발산하고 {b n } 도발산 {a n b n } 이발산 ( 가) ( 나) 4 ( 가), ( 나) 5 없다. 3 ( 다) 무한등비수열의수렴, 발산 무한등비수열 () r> 일때, () r = 일때, (3) - <r < 일때, (4) r - 일때, {r n } 의극한값은공비 r 에따라 lim r n = n : 발산 lim r n = n : 수렴 lim r n = 0 n : 수렴 lim n r n 은발산 예제 3. 무한등비수열 { x(x - ) n } 이수렴하는 x 의값들중에서정수의개수는? 없다 개 3 개 4 3 개 5 4 개 4 수학 Ⅰ
3 수열의극한계산 () lim n c n = 0 ( c 는상수 ) () 꼴의분수식의극한값 분모의최고차항으로분모, 분자를각각나눈다. (3) - 꼴의극한값 무리식의극한 다항식의극한 : 분자또는분모를유리화한다. : 최고차항으로묶어낸다. 4 점화식으로주어진수열의극한 a n + = pa n +q 에서 p < 이면 lim a n = n q p 이다 예제 4. lim n log (n 4 + n) log (n 의극한값을구하여라. + 6n) 예제 5. 첫째항이 이고모든항이양수인수열 {a n } 이있다. 다음이차방정식은 모든자연수 n 에대하여중근을갖는다. x - a n x + ( a n + - ) = 0 이때, 극한 lim n a n 의값은? 0 3 3 4 5 4 3 5 수학 Ⅰ
. 무한급수 무한급수의수렴, 발산 무한급수 a n n = 의제 n 부분합 S n 을일반항으로하는수열 {S n } 에대하여 () lim S n = S n 인유한값 S 가존재하면무한급수 a n n = 은수렴한다. 이때 S 를이무한급수의합이라한다. () 수열 {S n } 이발산하면무한급수 n = a n 은발산한다. 무한급수에대한기본정리 () n = a n = A, n = b n = B 일때, k a n = k A n = ( 단, k 는상수 ) ( a n ±b n ) = A ±B n = ( 복호동순) () 무한급수 a n n = 이수렴하면 lim a n = 0 n ( 단, 그역은성립안함) 대우 : lim a n 0 이면 n 무한급수 n = a n 는발산한다. 예제 6. 수열 {a n } 에대하여 n = ( a n - )= 3 일때, lim n a n 의값은? 3 3 4 4 5 5 6 6 수학 Ⅰ
3 무한등비급수의수렴, 발산 무한등비급수 a = 0 () a = 0 일때, S = 0 () - < r < 일때, a r n - = a + ar+ ar + + ar n - + n = 은 또는 - <r < 일때만수렴하고그합 S 는 S = a - r 4 무한등비급수의도형에의응용 각도형이닮음일때, 닮음비가 : r ( 0 < r < ) 이면 길이의비는 : r ( 0 < r < ), 넓이의비는 : r ( 0 < r < ) 이다. () 닮음인각도형에서첫째항과공비의값을찾는다. () 무한등비급수의합의공식을이용한다. 예제 7. 아래그림과같이한변의길이가 인정사각형에서한변의길이가 인정사각형을잘라낸후남은 이가 은 4 인정사각형에서한변의길이가 모양의도형을 A 이라하자. 한변의길 8 인정사각형을잘라낸후남 모양의도형 개를 A 의위쪽두변에각각붙인도형을 A 라 하자. 한변의길이가 6 인정사각형에서한변의길이가 3 인정사 각형을잘라낸후남은 모양의도형 4 개를 A 의위쪽네변에각각 붙인도형을 A 3 이라하자. 이와같은과정을계속하여얻은 n 번째도형 을 A n 이라하고그넓이를 S n 이라하자. p + q 의값을구하시오.( 단, p 와 q 는서로소인자연수이다.) lim n S n = q p 라할때, 7 수학 Ⅰ
. 지수함수 y =a x (a > 0, a ) () 정의역은실수전체의집합 R 이다. () 치역은 {y y>0} 이다. (3) a > 일때증가함수이고, 0< a< 일때감소함수이다. (4) x축 ( y = 0 ) 을점근선으로한다. (5) 그래프는점 ( 0, ) 을지난다. y a > y 0< a< O x O x (6) y = a x 의그래프와 y = ( a ) x 의그래프는 y 축에대하여대칭이다. y = ( a ) x y y = a x O x 예제 8. 그림은두함수 y = a x, y = b x 의그래프이다. 적당한두양수 p, q 에대하여두함수 y = a p x, y = b qx 의그래프가일치할때, p, q의대소관계는? y y = b x y = a x O x 8 수학 Ⅰ
. 로그함수 y = log a x (a > 0, a ) () 정의역은 {x x>0} 이다. () 치역은실수전체의집합 R 이다. (3) a > 일때증가함수이고, 0 < a < 일때감소함수이다. (4) y축 ( x = 0 ) 을점근선으로한다. (5) 그래프는 (, 0 ) 을지난다. y a > y 0 < a < O x O x (6) y = a x 의그래프와직선 y = x 의그래프에대하여대칭이다. 예제 9. 방정식 log x + x - 4 = 0 과 log 4 x + x - 4 = 0 의실근을각각 α, β 라할 때, α, 의대소관계는? 3. 지수방정식및부등식 지수방정식 () 밑을같게하여지수를비교한다. a> 0, a 일때, a f ( x ) = a g ( x ) f ( x ) = g( x ) () a x = X ( a> 0, a, X> 0 ) 로치환하여 X 의방정식으로변형하여 X 의값을먼저구한다. 9 수학 Ⅰ
지수부등식 () 밑을같게하여지수의대소를비교한다. a>일때, a f (x) >a g (x) f (x) >g (x) 0<a<일때, a f (x) >a g (x) f (x) <g (x) () a x = X ( a > 0, a, X> 0 ) 로 치환하여 X 의 부등식으로 변형하여 X 의 범위를먼저구한다. 4. 로그방정식및부등식 로그방정식 a > 0, a 일때 () log a f ( x) = log a g( x) f ( x) = g ( x), f ( x)>0, g (x) >0 () log a f ( x ) = b f ( x ) = a b (3) lo g a x = X ( X 는실수) 로치환하여 X 의방정식을푼다. (4) 양변에로그를취해본다. 로그부등식 () a> 일때, log a f (x)> log a g(x) f (x)> g (x) >0 () 0<a< 일때, log a f (x)> log a g(x) 0<f (x)<g (x) (3) lo g a x = X ( X 는실수) 로치환하여 X 의부등식을푼다. 로그방정식또는로그부등식을풀때, 반드시밑조건과진수조건을만족하는 범위에서해를구해야한다. 예제 0. 0. 다음방정식의모든해의곱을구하여라. ( log x) log x + = 0 0 수학 Ⅰ
. 경우의수와합및곱의법칙 경우의수 경우의수를구할때에는다음과같은방법으로한다. () 빠짐없이중복되지않게헤아린다. () 전체를배반인몇가지경우로나누어서헤아린후그결과를더한다. (3) 수형도나사전식배열을이용한다. 수를세는법칙 () 합의법칙 A 또는 B가일어나는경우의수 n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) - n (A B ) 특히, A, B가동시에일어나지않을때 n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) () 곱의법칙한사건 A 가일어나는경우의수가 m 이고, 그각각에대하여다른사건 B 가 n 가지씩일어날때, A, B 가동시에일어나는경우의수는 m n 이다. 예제.. 그림과같은정육면체의꼭지점 A에서출발하여변을따라꼭지점 G까지 가려고한다. 한번지나간꼭지점은다시지나가지않는다고할때, 가는길 의모든경우의수를구하여라. 수학 Ⅰ
. 순열 순열의수 서로다른 n개의원에서 r개를뽑아서순서대로나열하는방법의수를 n개에서 r개뽑는순열의수라하고 n P r로나타낸다. np r = n ( n - )( n - ) ( n - r + ) = n! ( n - r )! 인접순열 () 인접할때 : 인접하는것을하나로묶어서생각하고묶인부분의자체내에서 의순열의수를곱한다. () 인접하지못하는것이있을때 : 인접해도좋은것을먼저배열하고그사이 에인접하지못하는것들을배열하는순열의수를곱한다. 3 같은것이있는경우의순열 n개중에같은것이각각 p 개, q 개, r개있을때이 n개를모두택하여 만든순열의수는 4 순서가정해진순열 n! p!q!r! 같은것이있는경우의순열로생각 5 중복순열 : n Π r = n r 6 원순열 () 서로다른 n 개의원순열의수는 ( n - )! () 서로다른 n 개에서 r 개를택하여만든원순열의수는 n P r r r 예제.. 오른쪽그림과같은정삼각형에서각변의중점을이어서 합동인 4 개의정삼각형을만든후, 빨강, 파랑, 주황, 검 정의 4 가지색을칠하여구별하려고한다. 전부다른색 을쓸때칠하는방법의수는? 4 6 3 8 4 0 5 수학 Ⅰ
3. 조합 조합의수 n r 일때, n C r = np r r! = n! r! ( n - r )! = n C n - r n + C r = n C r + n C r - 조나누는방법 () 분할( 조가구별되지않는경우) 서로다른 n개의물건을 p 개, q 개, r개로나누는방법의수 ( 단, p + q + r = n ) p, q, r이서로다르면 nc p n - p C q p, q, r 중어느두개만같으면 n C p n - p C q 3 p=q=r 이면 n C p n - p C q 3! () 분배( 조가구별되는경우) 서로다른 n개의물건을 p 개, q 개, r개로나누어서 A, B, C 세명에게주 는방법의수 = 분할의수 3! 예제 3. 3. 해외에 5개의지사를가진회사가있다. 이회사에서 7명의사원을 명, 명, 3 명의 3 개의조로나누어 3 개의지사로파견하는방법의수는? 00 400 3 5700 4 6300 5 600 3 수학 Ⅰ
3 함수의개수 X = { a, a,, a r }, Y = { b, b,, b n } 일때, f : X Y 인함수 f 에대하여 () 함수의개수 : n r () 일대일함수의개수 : n P r ( r n ) (3) 일대일대응의개수 : n! ( n = r ) (4) 치역과공역이일치하는함수의개수 : 분배이용 (5) X 에속하는모든 a i, a j 에대하여 a i <a j 이면 f ( a i )<f ( a j ) 를만족하는함수의개수 : n C r 4. 이항정리 이항정리 () 이항정리 () n 이양의정수일때 ( a + b ) n = r + s = n nc r a r b s = n r = 0 n C r a r b n - r = n r = 0 n C r a n - r b r 항수 = n + 특히 ( + x ) n = n r = 0 n C r x r () 이항정리 () n r = 0 n C r a n - r b r = n r = 0 n C r a r b n - r = ( a + b ) n n p r nc r a n - r b r = n r = 0 r = 0 n C r a n - r ( p b ) r = ( a + p b ) n 예제 4. 0 k = 0 0! k! ( 0 - k )! 0 - k 을간단히하면? 3 3 3 0 4 3 0 5 3 0 4 수학 Ⅰ
이항계수의성질 () n C r = n C n r (0 r n) () n C r - + n C r = n + C r (Pascal 의삼각형이되는원리 ) (3) n C 0 + n C + n C + + n C n = n (4) n C 0 + n C + = n C + n C 3 + = n - (5) n C + n C + 3 n C 3 + + n n C n = n n - 7 예제 5. A = Σr= 5C r 일때 log A의값을구하여라. 0 5 수학 Ⅰ
. 확률 확률의정의 () 수학적확률 : 어떤시행에서표본공간의원소의개수가 n( U ) 이고, 사건 A 의원소의개수가 n ( A ) 일때, 사건 A 가일어날수학적확률 은 P ( A ) = n ( A ) n ( U ) () 확률의기본성질 : 임의의사건 A 에대하여 0 P (A), P ( U ) =, P ( φ ) = 0 확률의덧셈정리 두사건 A, B 에대하여 () P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B ) () A, B 가서로배반사건이면, P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) (3) P ( A c ) = - P ( A ). 조건부확률 확률이 0 이아닌두사건 A, B 에대하여사건 A 가일어났다는조건아래 사건 B 가일어날확률을사건 A 가일어났을때사건 B 의조건부확률이라고 하고, P (B A) 로나타낸다. P ( B A ) = P ( A B ) P ( A ) ( 단, P ( A ) 0 ) 예제 6. 4 6. 다음표는어느회사전체직원 9 명의주요통근수단과통근 거리를조사한것이다. 이회사 에서임의로선택된직원의통근 거리가 5 km 이상일때, 그직원의주요통근수단이대중교통일확률은? 83 9 83 8 5 8 9 3 83 3 통근수단통근거리 대중교통 자가용 계 5 km 미만 45 5 97 5 km 이상 83 49 3 계 8 0 9 3 9 6 수학 Ⅰ
3. 확률의곱셈정리 독립사건과종속사건 두사건 A,B 에대하여 P (B A ) = P ( B ) 이면사건 A 와사건 B 를독 립사건이라하고 P(B A ) P( B) 이면종속사건이라한다. 임의의두사건 A, B 에대하여 () P (A B ) = P ( A ) P ( B A ) = P ( B ) P (A B ) () 사건 A,B 가독립사건이면 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) 예제 7. 두개의주머니 A, B 가있다. A 에는흰공 개검은공, 개, B 는 흰공 3 개, 검은공 개가들어있다. A 에서공을한개꺼내어 B 에 넣은다음 B 에서한개의공을꺼낼때, 이공이흰공일확률은? 7 8 8 3 3 8 4 7 8 5 예제 8. 다음은어느회사에서전체직원 360 명을대상으로재직연수와새로운 조직개편안에대한찬반여부를조사한표이다. ( 단위: 명) 찬반여부재직연수 찬성 반대 계 0 년미만 a b 0 0 년이상 c d 40 계 50 0 360 재직연수가 0 년미만일사건과조직개편안에찬성할사건이서로독립일 때, a 의값을구하시오. 7 수학 Ⅰ
4. 독립시행의확률 () 주사위나동전을던질때와같이어떤시행을여러번반복할때매번일어나 는사건이모두서로독립인경우의시행을독립시행이라고한다. () 한번의시행에서사건 A 가일어날확률을 p 라하면 n 회의독립시행에서 사건 A 가 r 회일어날확률 P r 은 P r = n C r p r q n - r ( 단, q = - p ) 예제 9. 9. 오른쪽그림과같이한모서리의길이가 인정육면체가있다. 동점 P 가꼭 지점 A 를출발하여 초에 만큼모서리를따라움직일때, 3초후에꼭 지점 G 에도달할확률은? A D B C 3 3 4 4 9 5 4 9 F E G H 8 수학 Ⅰ
. 이산확률분포 이산확률변수의평균, 분산, 표준편차 평균 ( 또는기대값) m = E ( X ) = n i = x i p i 분산 σ = V ( X ) = n ( x i - m ) p i = n i = i = x i p i - m = E ( X ) - { E ( X )} 확률변수의성질 () E ( ax + b ) = ae ( X )+ b () V ( ax + b ) = a V ( X ) (3) σ( ax + b ) = a σ( X ) 예제 30. 30. 세자료 A : 부터 50 까지의자연수 B : 5부터 00 까지의자연수 C : 부터 00 까지의짝수 의표준편차를순서대로 a, b, c 라할때, a, b, c 의대소관계를바르게나 타낸것은? a = b = c a = b < c 3 a < b = c 5 a < c < b 4 a < b < c 예제 3. 주사위를계속해서 회던진다. 회째에홀수눈이나오면그수를 X 라하고, 짝수눈이나오면 회째에나온눈의수를 X 라할때, X 의 기대값을구하면? 7 4 3 9 4 3 4 5 3 4 9 수학 Ⅰ
3 이항분포 사건 A 가일어날확률이 p 인독립시행을 n 회반복할때, 사건 A 가일 어나는횟수 X 의확률분포 P ( X = r ) = n C r p r q n - r ( q = - p, r = 0,,,,n ) 을이항분포라하고 B ( n,p ) 로나타낸다. X 0 r n 계 P ( X = r ) nc 0 p 0 q n nc p q n - n C r p r q n - r n C n p n q 0 4 이항분포 B ( n,p ) 의평균, 분산, 표준편차 () 평균 E ( X ) = n p () 분산 V ( X ) = npq (3) 표준편차 σ ( X ) = npq ( 단, p + q = ) 예제 3. 3. 주사위를 7회던질때 의눈이나오는횟수를 X 라하자. Y = a X - 6 0 에대하여 Y 의기대값은 0 이고분산이 b 일때, a + b 의값은? 55 40 3 5 4 0 5 95 30 수학 Ⅰ
. 연속확률분포 확률밀도함수 확률변수 X 가어떤구간 [ α, β ] 의모든값을취하고, 이구간에서정의된함수 f( x) 가다음조건을만족할때 이함수 f( x) 를 X 의확률밀도함수라고한다. ( ⅰ) ( ⅱ) ( ⅲ) f( x) 0 y = f( x ) 의그래프와 x 축사이의넓이가 이다. 확률 P ( a X b ) 가그림의칠한부 분의넓이와같다. 예제 33. 폐구간 [ 0, ] 에서정의된확률밀도함수 f ( x ) =ax 가있다. 이구간안에서임의로택한수를 X라할때 P(X < ) 를구하여라. 3 수학 Ⅰ
정규분포 () 연속확률변수 X 의확률밀도함수 f(x) 가 f( x ) = π σ e - ( x - m ) σ 일때, X 의확률분포를정규분포라고하며, N( m, σ ) 로나타낸다. 이때, 평균 m, 분산 σ 이고, f(x) 의그래프는그림과같이좌우대칭인모양이다. () X 가정규분포 N( m, σ ) 을따를때, Z = X - m σ 는표준정규분포 N(0, ) 을따른다. N(m, σ ) 표준화 N(0, ) 확률변수 X 에서의확률은표준정규분포로고쳐서구한다. 예제 34. 34. 어느고등학교 3학년학생의키는평균이 70cm이고표준편차가 5cm인 정규분포를따른다고한다. 길이가모두 0cm인다음의세구간 A, B, C 에속하는학생수를차례로 a, b, c 라고할때, a, b, c 사이 의대소관계를옳게나타낸것은? A = [ 65, 75] B = [63, 73] C = [69, 79] a b c a c b 3 b c a 4 c a b 5 c b a 3 수학 Ⅰ
3 이항분포와정규분포 확률변수 X 가이항분포 B ( n, p ) 을따를때, n 이충분히크면 X 는근사 적으로정규분포 N ( np, npq ) 을따른다. B (n, p) N(np, npq) N (0, ) 예제 35. 35. 다음은어느백화점에서판매하고있는등산화에대한제조회사별고객의 선호도를조사한표이다. 제조회사 A B C D 계 선호도 (%) 0 8 5 7 00 9 명의고객이각각한켤레씩등산화를산다고할때, C 회사제품을선택할고객이 4 명이상일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? 0.695 0.7745 3 0.856 4 0.833 5 0.843 z P (0 Z z ) 0.5 0.95.0 0.343.5 0.433.0 0.477 33 수학 Ⅰ
3. 통계적추정 표본평균의분포 () 확률변수 X 를갖는모집단에서 n 개의표본 X, X,, X n 의평균 X + X + + X n n 도확률변수로생각할수있고, 이확률변수를표본평 균 X 라고한다. () 모평균 m, 모분산 σ 인모집단에서표본의크기가 n 인표본을복원추출할 때표본평균 X 는 E ( X ) = m, V ( X ) = σ n (3) 표본의크기 n 이충분히크면 X 는근사적으로정규분포를따르고, 모집단 이정규분포이면 n 에관계없이정규분포이다. 모평균의추정 () 모평균 m, 모분산 σ 인모집단에서크기가 n 인표본평균 X 와표준정규 분포 Z 에서 P ( - k Z k ) = α 일때, X - k σ n m X + k σ n 을신뢰도 00α % 인모평균 m 의신뢰구간이라고한다. () 표본평균 X 는정규분포 N( m, σ P ( -.96 Z.96 ) = 0.95 로부터 P -.9 6 X - m.9 6 = 0.9 5 σ n n ) 을따른다. P ( X -.96 σ n m X +.96 σ n ) = 0.95 여기서 X -.96 σ n m X +.96 σ n 을신뢰도 95% 의모평균의신 뢰구간이라고한다. (3) 신뢰도 99% 의모평균의신뢰구간은 P ( -.58 Z.58 ) = 0.99 로부터 X -.58 σ n m X +.58 σ n 34 수학 Ⅰ
예제 36. 36. 정규분포를따르는모집단에서표본을임의추출하여모평균을추정하려고 한다. < 보기> 에서옳은것을모두고른것은? < 보기> ㄱ. 표본평균 X 의분산은표본의크기에반비례한다. ㄴ. 동일한표본을사용할때, 신뢰도 99% 인신뢰구간은신뢰도 95% 인신뢰구간 을포함한다. ㄷ. 신뢰도가일정할때, 표본의크기가작을수록신뢰구간이짧아진다. ㄱ ㄴ 3 ㄱ, 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄴ 예제 37. 37. 다음은신뢰구간, 신뢰도, 표본의크기의관계를설명한것이다. 정규분포 N ( m, σ ) 을따르는모집단이있다. 이모집단에서크기 n 인표본을임의추출하면표본평균은정규분포 ( 가) 을따른다. 이표본평균의분포를이용하여추정한모평균 m 에대한신뢰도 α 의신뢰구 간을 a m b 라하자. 표본의크기를 n 으로고정하고신뢰도를 α 보다높게한신뢰구간을 c m d 라할때, d - c 는 b - a 보다 ( 나). 한편, 신뢰도를 α 로고정하고표본의크기를 n 으로 한신뢰구간을 e m f 라할때, f - e 는 b - a 의 ( 다) 배가된다. 위의과정에서 ( 가), ( 나), ( 다) 에알맞은것은? N ( m, σ ) N ( m, σ ) 3 N ( m, 4 N ( m, 5 N ( m, ( 가) ( 나) ( 다) 크다 작다 σ n ) 크다 σ n ) 크다 σ n ) 작다 35 수학 Ⅰ
< 예제정답 >. 5 < < 5 3 3. 3. 7 4. Ⅱ 5. 8 6. 4 7. 8. 57 9. 90 0.. 4. 3. 4 4. 5. 5 6. 7. 3 8. p > q 9. α < 0. 6. 8가지. 3 3. 4 4. 4 5. 4 6. 5 7. 8. 50 9. 4 30. 3. 5 3. 33. 4 34. 35. 5 36. 3 37. 3 36 수학 Ⅰ