Intensive Math Class I 공간기하벡터 강사최석호 1. 단면은수직으로 A, B 두평면사이각의코사인값을구하시오. 1. 2. 3.
4. 5. 6.
2. 꾹누르기 1. 그림과같은정육면체 ABCD EFGH에서모서리 BF를 로내분하는점을 I, 모서리 DH를 로내분하는점을 J라하자. 면 IGJ와 밑면 EFGH가이루는예각의크기를 라할때, cos 이다. 이때, 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [level 3 60s] 답 : 17 2. 그림과같이정사면체 ABCD 가있다. 선분 AC의삼등분점중에서점 A에가까운점을 E 선분 AD 의삼등분점중에서점 D 에가까운점을 F라하자. 두삼각형 BEF와 BCD 가이루는예각의크기를 라고할때, cos 이다. 서로소인두자연수 에대하여 의값을구하시오. [level 3 90s] 답 : 26
3. 좌표잡아내적으로 1. 오른쪽그림과같이한모서리의길이가 인정육면체 ABCD EFGH에서선분 AC와선분 BH가이루는각의크기를 라할때, sin 의값은? [level 3 90s] 1 4 2 5 3 답 : 5 2. 그림과같이한변의길이가 인정육면체에대하여 BF CG 의중점을각각 MN 이라하자. 두직선 AN HM이이루는각의크기를 라할때, cos 의값은? [level 3 90s] 1 4 2 5 3 답 : 1 3. 그림과같은정육면체에서두평면 ABGH EFHD 가이루는각의크기를 라할 때, cos 의값은? [level 3 90s] 1 4 2 5 3 답 : 2
4. 그림과같이모든모서리의길이가같 은정육면체와 정삼각기둥이있다. 삼각형 EDG 를포함하는평면을 사각형 DIJH를포함하는평면을 라하자. 두평면 가이루는각을 라할때, cos 의값은? 단 [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 5 4. 빛그림자 1. 반지름의길이가 cm 인구가지면에놓여있다. 태양이지면과 의각도로구를비출때, 지면에생긴구의그림자의넓이는? [level 3 90s] 1 cm 3 cm 5 cm 2 cm 4 cm 답 : 4 2. 그림과같이반지름의길이가 인반구모양의입체가바닥에놓여있다. 이입체의평평한면은바닥면에평행하고, 바닥면과 의각을이루도록빛을비추었을때, 바닥면에생기는이입체의그림자의넓이는 이다. 자연수 의값을구하시오. [level 4 120s] 답 : 24
3. 서로수직인두평면 의교선을 이라하자. 반지름의길이가 인원판이두평면 와각각한점에서만나고교선 에평행하게놓여있다. 태양광선이평면 와 의각을이루면서원판의면에수직으로비출때, 그림과같이평면 에나타나는원판의그림자의넓이를 S라하자. S의값을 라할때, 의값을구하시오. ( 단, 는자연수이고원판의두께는무시한다.) [level 5 150s] 답 : 34 5. 평행수직꼬인위치 1. 공간에서서로다른세직선 과서로다른세평면 에대하여 [ 보기 ] 의설명중옳은것만을있는대로고른것은? [level 3 120s] [ 보기 ] ㄱ 이고 이면 또는 이다. ㄴ 이고 이면 이다. ㄷ 이고 이면 또는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱㄷ 5 ㄴㄷ 답 : 2
2. 그림과같은정팔면체 ABCDEF 에대하여옳은것만을 [ 보기 ] 에서있 는대로고른것은? [level 4 120s] [ 보기 ] ㄱ 평면 ABC 와평면 FDE 의교선이존재한다. ㄴ 평면 FCB 와평행한모서리의개수는 이다. ㄷ 모서리 CD 와꼬인위치에있는모서리의개수는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ ㄴ 4 ㄱ ㄷ 5 ㄴ ㄷ 답 : 5 6. 종이접기 1. 그림과같이정삼각형 ABC에서변 AB를삼등분하는점중에서 B에가까운점을 D 라하고, 선분 DC를접는선으로하여꼭짓점 A의 BCD 위로의정사영이선분 BC위의점이되도록접을때, 두평면 ACD 와 BCD 가이루는예각의크기를 라하자. cos 일때, 서로소 인두자연수 에대하여 의값을구하시오. [level 5 150s] 답 : 29
2. 그림과같이 AB BC 인직사각형 ABCD 를대각선 AC 를접 는선으로하여평면 ABC 와평면 ACD 가수직이되도록접을때, 점 D 에서직선 AB 까지의거리는? [level 5 150s] 1 2 3 4 5 답 : 2 3. 그림과같이두정삼각형 ABC 와 ABD 는서로각이 를이루는 두평면위에각각놓여있다. CAD 라고할때, cos 의값은? [level 4 120s] 1 3 2 4 5 답 : 몰라 7. 정사면체특성 1.
2. 한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD 에서 BK CL CM BN 가 되도록 네 점 K L M N 을 각각 네 선분 AB AC CD BD 위에 잡을 때, 사각형 KLMN 의 넓이를 라 하자. 이 때, 함수 의 도함수 에 대하여 의 값을 구하시오. [level 5 150s] 답 : 20 8. 내접 구 9. 정사형 길이
10. 내적떨구기 1. 내적떨구기개념 2. 그림은 BC 이고 BCA 인삼각형 ABC 와이삼각형의한 변 BC 를공유하는정사각형 BDEC 를나타낸것이다. 선분 AB 위를움직 이는점 P 에대하여내적 DC DP 의최댓값과최솟값의합은? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 3 3. 그림과같이중심이 O 이고반지름의길이가 인구위의정점 A 와동 점 P 에대하여 OA OP 일때, 점 P 가나타내는도형의길이는? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 4
4. 그림과같이한변의길이가 인정삼각형 ABC 에내접하는원이 있다. 원이선분 AB 에접하는점을 D, 원위의임의의점을 P 라할때, 두벡터 AC DP 의내적 AC DP 의최댓값은? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 5 5. 그림과같이원점 O 를중심으로하고반지름의길이가 인원위의네 점 A B C D 가 AB AD AC AD 를만족시킨다. 이때, AD의값은? ( 단, ) [level 5 120s] 1 2 3 4 5 답 : 2
11. 내적최대최소 1. 그림과같이반지름의길이가 이고중심각의크기가 인부채꼴 OAB 가있다. 호 AB 위를움직이는두점 PQ 에대하여 [ 보기 ] 에서옳은 것을모두고른것은? [level 4 120s] ㄱ OP OQ의최댓값은 이다. ㄴ OP OQ의최댓값은 이다. ㄷ OP OQ 의최댓값은 이다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ ㄴ 4 ㄱ ㄷ 5 ㄱ ㄴ ㄷ 답 : 5 2. 제 사분면에서곡선 위를움직이는두점 P Q 에대하여 OPQ 의넓이를 라할때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ( 단, O 는원점이다.) [level 4 120s] ㄱ lim OP OQ ㄴ OP OQ ㄷ lim [ 보기 ] 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ ㄴ 4 ㄴ ㄷ 5 ㄱ ㄷ 답 : 3
3. 그림과같이한모서리의길이가 인정사면체 A BCD 에서모서리 AD 위를움직이는점 P 에대하여두벡터 BP 최솟값은? [level 4 120s] CP 의내적 BP CP 의 1 2 3 4 5 답 : 1 4. 중심이 O 이고반지름의길이가 인구를점 O 를지나는평면 로잘 랐을때, 구와평면의교선위의임의의두점을 PQ 라하자. 평면 에 수직이면서점 O 를지나는직선이구와만나는두점을각각 AB 라할 때, 벡터 AP [level 4 120s] BQ 의내적 AP BQ 의최댓값과최솟값의합은? 1 2 3 4 5 답 : 1 12. 벡터그려서 1. 그림과같이한변의길이가 인정삼각형 ABC 에서 BC CA, AB 라할때, 벡터 의크기는? [level 4 90s] 1 2 3 4 5 답 : 4
2. 그림은한변을공유하고한변의길이 가 인두정육각형을붙여나타낸것이다. 이때, AC EF BG 의값은? [level 4 90s] 1 2 3 4 5 답 : 4 13. 직선위에떨어지는벡터집합 1. OA OB AOB 인삼각형 OAB 가있다. 두실수 가 OP OA OB 를만족시킬때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? [level 5 180s] [ 보기 ] ㄱ 일때, 점 P 의자취의길이는 이다. ㄴ 일때, 점 P 가존재하는영역의넓이는 이다. ㄷ 일때, 점 P 가존재하는영역의넓이는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ ㄴ 4 ㄱ ㄷ 5 ㄴ ㄷ 답 : 2 2. 그림과같이 OA OB AOB 인삼각형 OAB 가있 다. 연립부등식 을만족시키는 에대하 여벡터 OP OA OB 의종점 P 가존재하는영역의넓이를 S 라할 때, S 의값을구하시오. [level 5 180s] 답 : 16
3. 그림과같이한모서리의길이가 인정육면체 가있다. 이때, AP AB AD AE, 를만족시키는점 P 에대하여 [ 보기 ] 중옳은것만 을있는대로고른것은? ( 단, ) [level 6 180s] [ 보기 ] ㄱ 이고 을만족하는점 P 가존재하는영역의넓이는 이다. ㄴ 을만족하는점 P 는한변의길이가 인정삼각형이다. ㄷ 을만족하는점 P 가존재하는영역의부피는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ ㄷ 4 ㄴ ㄷ 5 ㄱ ㄴ ㄷ 답 : 3 4. 한변의길이가 인정삼각형 ABC 에대하여점 P 가 AP AB AC 를만족시킬때, 점 P 가그리는도형의길이는? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 5 14. 벡터직선의교점 1. 그림과같은 OAB 에대하여 OA OB 를각각 로내분하는점 을각각 C D 라하고 AD 와 BC 의 교점을 P라하자. OP OA OB 라할때, 의값은? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 4
2. 그림과같은평행사변형 ABCD 에대하여 BC CD 의중점을 EF 라 하고 DE 와 AF 의교점을 G 라하 자. AG AB AD 일때, 의값은? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 4 3. 그림과같이한변의길이가 인정삼각형 OAB에서변 OB위에 OD 가되도록점 D 를잡는다. 꼭짓점 O 에서선분 AD 위에내린수선의발을 H라하자. OA OD OH 일때, 의값은? ( 단, 은서로소인자연수이다.) [level 5 120s] 1 2 3 4 5 답 : 5 4. 그림과같은 AD AD ADB 인평행사변형 ABCD 에서 AD AB 라놓는다. 꼭짓점 D 에서선분 AC 에내린 수선의발을 E 라할때, 벡터 AE 를만족시키는실수 의값 은? [level 5 120s] 1 2 3 4 5 답 : 2
5. 그림과같이 AB AD AE 인직육면체 ABCD EFGH 가있다. 대각선 AG 위를움직이는점 P 에대하여 EP CF의최솟값은? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 3 15. 벡터영역 1. 일정한범위를갖는변수 에대하여 A B 가그리는벡터의영억을그 리시오. 2. AB BC 이고 DAB 인평행사변형 ABCD 에대하여 AX AB BC 단 를만족하는점 X 가나타내는영역의넓이는? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 3
3. 그림과같은사면체 OABC에서 OA, OB OC 라할때, 다음중삼각형 OAB 의무게중심 G 를지나고, AC 에평행한벡터 를 나타낸것은? ( 단, 는실수 ) [level 5 120s] 1 3 2 4 5 답 : 2 4. 그림과같이 B 인직각이등변삼각형 ABC 에서 AB AC 라하자. ABC 의 내부및경계의임의의점 P 에대하여 AX AP 를만족하는점 가놓이는개형으로옳은것은? [level 5 120s] 1 2 3 4 5 답 : 5
5. 와 를만족하는 의자취는? [level 4 120s] 6. 일때, 가이루는자취의영역을 그리시오. [level 5 120s] 16. 기준벡터잡기 1. 오른쪽그림과같이한모서리의길이가 인정사면체 O ABC 에서 AB 의중점을 M BC 를 로내분하는점을 N 이라할때, 내적 OM ON 이다. 이때, 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인 자연수이다.) [level 3 90s] 답 : 19 2. 정사면체 ABCD 에서두모서리 AC AD 의중점을각각 MN 이라하자. 직선 BM과직선 CN이이루는예각의크기를 라할때, cos 이다. 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인자연수이다.) [level 3 90s] 답 : 7
3. 오른쪽그림과같이 개의합동인정삼각형으로이루어진도형위에 네점 O P Q R 가있다. OR OP OQ 로나타낼때, 의값 은? ( 단, 는실수이다.) [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 1 4. 그림과같이크기가같은정육각형이서로겹치지않으면서평면을채 우도록놓여있다. 그림의점 OABP 에대하여 OA, OB 라하 고, OP 로나타낼때, 의값은? [level 5 120s] 1 2 3 4 5 답 : 2 17. 벡터식의미찾기 1. 평면위의점 P 와삼각형 ABC 에대하여 PA PB PC AB 일때, [ 보기 ] 중옳은것만을있는대로고른것은? [level 4 150s] [ 보기 ] ㄱ PC PA ㄴ 점 P 는선분 AC 를 로내분한다. ㄷ PAB PBC 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ ㄷ 4 ㄴ ㄷ 5 ㄱ ㄴ ㄷ 답 : 5
2. 네점 OABC 에대하여 OA OB OC 이성립한다. 직선 OA 가선분 BC 와만나는점을 D 직선 OC 가선분 AB 와만나는점을 E 라할때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? [level 5 150s] ( 단, 세점 ABC 는한직선위에있지않다.) [ 보기 ] ㄱ 점 E 는선분 AB 를 으로내분한다. ㄴ ABC 이면 OAB 이다. ㄷ ODC 이면 OAE 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ ㄴ 5 ㄴ ㄷ 답 : 5 3. 삼각형 ABC 의무게중심을 G 라하자. 점 P 가 AP BP CP CG 를만족시킬때, 삼각형 PAB 의넓이는삼각형 ABC 의넓이의 배이다. 실수 의값은? [level 4 150s] 1 2 3 4 5 답 : 5 18. 좌표잡기 1. 그림은모든모서리의길이가 인두개의정사각뿔 O ABCD O DCEF 에대하여모서리 CD 를일치시킨도형을나타낸 것이다. OB OF 의값을구하시오. [level 4 150s] ( 단, 몇 ABCD 와면 DCEF 는한평면위에있다.) 답 : 12
2. 그림은한모서리의길이가 인두정사면체 ABCD 와 BCDE 에대하 여면 BCD 를일치시킨도형을나타낸것이다. 두벡터 BA 와 DE 에대 하여 BA DE 의값을구하시오. [level 4 150s] 답 : 12 19. 단위벡터의자취 1. 오른쪽그림과같이중심이 축이에있고두직선 와각각한점에서만나는원위를움직이는점을 P 라하자. 이때, OQ OP 를만족시키는점 Q 가나타내는도형전체의길 OP 이는? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 2 20. 벡터합최대최소 1. 직사각형 ABCD 의두변 AB AD 의 길이는각각 이고변 BC 의중점을 E 라 한다. 변 AB 위의한점 P 에대하여 PD PE의최솟값을구하여라. [level 3 90s] 답 : 12
21. 직선기본 1. 직선의방정식기본 2. 두직선 되도록하는모든실수 의값의곱은? 가서로수직이 1 2 3 4 5 답 : 1 3. 두직선 에모두수직이고원점을지나는직선의방정식은? 1 2 3 4 5 답 : 4 4. 두점을지나는직선
5. 다음두직선을좌표공간에그리시오. 22. 직선응용 1. 두직선 와 의교점의좌표를 라할때, 의값은? 1 2 3 4 5 답 : 3 2. 점과직선사이의거리 3. 구 과직선 가만나는두점을 AB 라할때, 선분 AB 의길이는? 1 2 3 4 5 답 : 3
4. 좌표공간에서두점 A B 을지나는직선 이있다. 점 P 로부터직선 에이르는거리는? [level 2 60s] 1 2 3 4 5 답 : 1 6. 7. 직선 와평행하고점 A 을지나는직선 이라 하자. 두직선 사이의거리는? 1 2 3 4 5 답 : 1
8. 두직선 위의임 의의점을각각 PQ 라할때, PQ 의최솟값은? [level 5 150s] 1 2 3 4 5 답 : 3 23. 평면기본 1. 2. 좌표공간에서직선 에수직이고점 를지나는평면의방정식을 이라할때, 의값 을구하시오. 답 : 15 3. 다음두평면을좌표공간에그리시오.
4. 두평면사이의각도 5. 두평면 에수직이고원점 O 를지나는평면의방정식은 이다. 이때, 상수 의곱 의값은? 1 2 3 4 5 답 : 몰라 6. 과직선 이이루는예각의크기 를 라하면 sin 의값은? 1 2 3 4 5 답 : 2 7. 평면 과 축이이루는각의크기를 라할때, cos 의값을구하여라. 1 2 3 4 5 답 : 2
8. 세점을포함하는평면 9. 직선과평면의교점 24. 평면응용 1. 두직선을포함하는평면
2. 점과평면의거리 3. 좌표공간의두점 A B 와평면 위의임의의점 P 에대하여 PA PB 의최솟값은? [level 3 90s] 1 2 3 4 5 답 : 5 4. 5.
6. 평면에포함되는직선 평면 * 직선 ( ) * 직선 ( ) 7. 두평면의교선 8. 직선을포함하는평면 9. 직선과점을포함하는평면
10. 두평면의교선을포함하는평면 25. 공간응용 1. 구위의한점에서접하는평면 2. 좌표공간에서평면 과 평면, 평면, 평면으로 둘러싸인사면체에내접하는구의부피를 라고한다. 이때, 의 값을구하시오. [level 3 90s] 3.
4. 그림과같이평면 위의점 P 와평면 에의하여나누 어진두영역중같은영역에두점 A B 이있다. AP PB가최소가되는점 P 의 좌표는? [level 3 90s] 1 2 3 4 5 답 : 3 5. 좌표공간의두점 A, B 와 평면위의점 P, 평면위의점 Q 에대하여 AP PQ QB 의최솟값은? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 5 6. 두평면에정사형이주어진직선
7. 좌표공간에서선분 AB 의 평면, 평면, 평면위로의정사영의 길이가각각 일때, 선분 AB 의길이는? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 1 8. 좌표공간에두점 A B 와구 위를움직이는점 P 가있다. 세점 ABP 의평면위로의정사영을각각 A B P 이라할때, 삼각형 A B P 의넓이의최댓값은? [level 5 150s] 1 2 3 4 5 답 : 5 9. 구의평면에잘린단면식 10. 방향코사인활용 선 선 면 면 선 면 면 선 cos cos cos
11. 그림과같이 AB BF AD 인직육면체 ABCD EFGH 에 서대각선 AG 가세면 ABCD BFGC ABFE 와이루는각의크기를 각각 라고할때, cos cos cos 의값은? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 3 12. 좌표공간위의점 를지나고 축, 축, 축의양의방향 과각각 를이루는직선이점 를지날때, 의값은? [level 4 120s] 1 2 3 4 5 답 : 2