계량재무분석 I Chapter 6 & 7 Probability Distribution II 경영대학재무금융학과 윤선중 0 Objectives 확률변수 이산확률분포 (Discrete Random Variables): 셀수있는확률변수 연속확률분포 (Continuous Random Variables): 셀수없는경우의수 이산확률변수 분포의대표값 기대치 (Expected Value), 분산 (Variance), 표준편차 (Standard Deviation) 이변량확률분포 (Bivariate Distribution) 이항분포 (Binomial i Distribution) ib i 와포아송분포 (Poisson Distribution) ib i 1
Objectives (2) 연속확률변수 무한개의값을가질수있으므로어느하나의값과같을확률은 0 임의의구간의확률 확률밀도함수 (Probability Density Function) 의면적 정규확률변수 (Standard Normal Distribution) 정규확률분포표의사용 지수분포 (Exponential Distribution) Student t 분포 카이제곱분포 (Chi squared Distribution) 2 I. Binomial Probability Distribution 3
Binomial Experiment 베르누이시행 (Bernoulli trial) 확률실험에서결과가오직두가지로구분 각시행에서성공할확률은 p, 실패할확률은 1 p 로일정 각각의시행은서로독립 예시 동전던지기 주사위를던졌을때, 짝수 / 홀수관찰 내일의주가의상승 / 하락 이항실험 베르누이시행을고정된횟수 (n) 만큼반복하여시행 예시 동전던지기 10 회 주사위를 10 회던져서짝수 / 홀수관찰 공화당 / 민주당두후보에대한선거 100 일간일별주가의상승 / 하락관찰 4 Binomial Random Variable 이항확률변수 예시 이항실험에서나타나는성공또는실패횟수 이산확률변수의일종 동전을 3 회던질때, 앞면이나타나는횟수 100 명이민주당 / 공화당후보에게투표한다고할때, 민주당후보의득표수 100 일간주가의일별수익률을관찰할때, 주가의상승일수 계량재무분석수업을들은학생중 F 학점을받은학생의수 5
Calculation of Probability 이항확률분포 이항확률변수의값과그확률을나타내는표, 그래프, 또는공식 예제 총두문제의 5지선다객관식시험을치르는 A A씨가맞추는문제의개수를이항확률변수 X라고정의하면 X의확률분포는? 이항확률변수의확률 성공확률 p, 실패확률 1 p, 총시행횟수 n 번인이항실험에서, 총성공횟수를 X 라고 하면 X: 이항확률변수 ; X~ B(n, p) 교제 Appendix B 참조 6 Expected Value & Variance 이항확률변수의기대값과분산 X ~ B(n, p) 일때, E(X)=np, V(X)=np(1 p) 앞의예제에서총 5 문제의문제를푼다고하면, 정답을맞출횟수의기대값과분산은? 엑셀의활용 X~ B(n, p) 일때, BINOMDIST(x,n,p,false): 이항확률변수의확률값 BINOMDIST(x,n,p,true): 이항확률변수의누적확률값 7
Expected Value & Variance 예제 6.9: 10 문제의 5 지선다형문제에서정답의개수를 X라고하면, n=10 & P(success) = 1/5 =.20 8 Expected Value & Variance 누적확률분포 P(X 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) 9
Exercise (1) 보험계약 보험회사직원이과거경험으로볼때, 고객을만나계약을맺을확률 =0.1 하루에 50 명의고객을만난다고하면, 10 건의계약이성사될확률은? 하루에성사될계약의기대값과분산은? (2) 품질관리 A 제품의품질을검사하기위해서는 10 개의표본을추출하여검사 이중불량품이 2 개를초과하지않아야제품전체가품질검사를통과 제품전체의불량률이 10% 라고하면, 제품전체를합격으로판정할확률은? 10 Exercise (3) 항공예약 A 항공사는예약후나타나지않는고객들로인한손실을막기위하여일반적으로정원을초과하여예약을받음 평균적으로좌석을예약한고객의 5% 가나타나지않는다고함 정원 10 명의좌석에 12 명의예약을받았다고하면, (4) 시험 나타난손님의수가정원을초과할확률은? 비행기를타기위하여나타난손님의수의기대값과분산은? 시험에패스하기위해서는총 10 문제중 7 문제이상을맞추어야함 개별문제를맞출확률은모두 0.8로같다고함 총 100명의학생들이시험을본다면, 60 명이상의학생들이패스할확률은? 패스하는학생수의기대값과분산은? 11
Binomial Table n = 10 k 001 0.01 005 0.05 01 0.1 02 0.2 025 0.25 03 0.3 04 0.4 05 0.5 06 0.6 07 0.7 075 0.75 08 0.8 09 0.9 095 0.95 099 0.99 0 0.9044 0.5987 0.3487 0.1074 0.0563 0.0282 0.0060 0.0010 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1 0.9957 0.9139 0.7361 0.3758 0.2440 0.1493 0.0464 0.0107 0.0017 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 0.9999 0.9885 0.9298 0.6778 0.5256 0.3828 0.1673 0.0547 0.0123 0.0016 0.0004 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 3 1.0000 0.9990 0.9872 0.8791 0.7759 0.6496 0.3823 0.1719 0.0548 0.0106 0.0035 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 4 1.0000 0.9999 0.9984 0.9672 0.9219 0.8497 0.6331 0.3770 0.1662 0.0473 0.0197 0.0064 0.0001 0.0000 0.0000 5 1.0000 1.0000 0.9999 0.9936 0.9803 0.9527 0.8338 0.6230 0.3669 0.1503 0.0781 0.0328 0.0016 0.0001 0.0000 6 1.0000 1.0000 1.0000 0.9991 0.9965 0.9894 0.9452 0.8281 0.6177 0.3504 0.2241 0.1209 0.0128 0.0010 0.0000 7 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9984 0.9877 0.9453 0.8327 0.6172 0.4744 0.3222 0.0702 0.0115 0.0001 8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9983 0.9893 0.9536 0.8507 0.7560 0.6242 0.2639 0.0861 0.0043 9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9990 0.9940 0.9718 0.9437 0.8926 0.6513 0.4013 0.0956 P(X = 2) = P(X 2) P(X 1) =.6778.3758 =.3020 P(X = k) = P(X k) P(X [k 1]) P(X k) = 1 P(X [k 1]) 12 Poisson Distribution 정의 이항확률변수와같이유사하게성공이라부르는사건의발생횟수 일정한시간동안또는일정한공간에서발생하는성공횟수 1 시간동안에도착하는자동차의수 한필지의옷감에있는흠집의수 고속도로에서발생하는사고의수 포아송실험의특성 임의의일정한시간구간에서발생하는성공횟수는다른시간구간과독립 한번의성공이발생할확률은모든시간에서동일 한번의성공이발생할확률은시간구간의크기와비례 성공확률은시간이 0 에가까워오며 0으로근접 13
Poisson Distribution 포아송분포 14 II. Continuous Probability Distributions 확률밀도함수 이산확률변수와는다르게연속확률분포에는무한히많은수의수가존재 무한한수의값이있기때문에임의의한점의확률은 0 이다. 연속확률과정의확률을계산하기위해서는 값의구간 (range of values) 가필요 주사위를던질때 X=5 가의미가있지만, 연속확률하에서정확히 5 는의미가 없다. : P(X=5)=0 f(x): 확률밀도함수, f(x)>=0, a 와 b 사이의구간의합 ( 확률 ) 은항상 1 임. f(x) a area=1 b x 15
Uniform Distribution 일양분포 (uniform distribution) f(x) a b x area = width x height = (b a) x = 1 16 Uniform Distribution 예제 71: 7.1: 가솔린판매량 최소값 : 2000, 최대값 : 5000 의일양분포 2500 갤런과 3000 갤런사이에속할확률은? f(x) 2,000 적어도 4000 갤론의가솔인을판매할확률은? f(x) 5,000 x 2,000 5,000 정확히 2500 갤런의가솔린을판매할확률은? x 17
III. Normal Probability Distribution 18 Introduction 정규확률변수 X: 평균이 mu, 표분편차가 sigma 인정규확률변수이면, X 는 ( inf, inf) 인모든실수 X 의확률밀도함수는다음과같이주어짐 정규분포의구간 : inf i f ~ inf 19
정규분포의표현 Two Parameters The normal distribution is fully defined by two parameters: 2 its standard deviation and mean X ~ N( μ, σ ) 20 Calculation of Probability 예제 72: 7.2: 정규분포를따르는가솔린판매량 평균 1000 갤런, 표준편차 100 갤런의정규분포 현재가솔린보유량 : 1,100 갤런 P(X < 1,100) 표준화 21
Standardization 표준화 X 예제 2 ~ N( μσ, ) X μ Z = Z ~(0,1) σ Z: 표준정규분포 (standard normal distribution) 평균 =0; 표준편차 =1 X ~ N(1000,100) X - μ 1100-1000 PX ( < 1,100) = P < = PZ ( < 1.00) σ 100 22 Standardization 표준화과정을통해 단지 1 개의 Table 만필요 표준정규분포표 Page 286 Table 7.1 23
Exercise 엑셀의활용 X ~ N(mu, sigma^2) NORMDIST (x, mu, sigma, true): 정규확률변수의누적확률 앞서예에서, P(45< X < 60)? =normdist(60, 50, 10, true)-normdist(45,50,10,true) (1) 투자수익률 투자의평균수익률은 10%, 표준편차가 5% 인정규분포를따른다고함 손실이발생할확률은? (2) 성적 계량재무분석의중간시험성적은평균 60 점, 표준편차 15 점인정규분포 상위 10% 안에포함되면 A+ 라고할때, A+ 를받기위해서는몇점이상? Table vs. Norminv(prob, mean, stdev) 24 Binomial vs. Normal 이항분포 vs. 정규분포 이항분포를따르는확률변수는시행횟수를무수히많이하게되면, 정규분포로수렴함 X ~ B(n, p): n 이커지면 X~N(np, np(1 p)) 예제 비행기를예약한고객의 10% 는실제탑승을하지않는다고함 100 명이예약하였을때, 탑승하지않는사람이 5 명이상 10 명이하일확률 (1) 이항분포확률로계산하면? (2) 정규분포확률로계산하면? 25
Student t Distribution 정의 표준정규분포와아주흡사한형태의확률분포 t_v(x) v: 자유도 (degree of freedom) 이며 2보다큼 t-분포의평균 =0, 분산 =v/(v-2) ν (nu): 자유도 (degree of freedom) Γ (Gamma function): Γ(k)=(k-1)(k-2) (2)(1) 26 Student t Distribution Determining Student t Values 10%, 5%, 2.5%, 1%, 1/2% 에대응하는임계치구하기 t.05,10 t.05,10=1.812 Area under the curve value (t A ) : COLUMN Degrees of Freedom : ROW 27
Exercise 예제 : X~t(5) P(X>1.476)=? (1) 엑셀의활용 : tdist (1.476, 5, 1) (2) 확률표의활용 28 Exponential Distribution 정의 확률변수 X 의확률밀도함수가 다음과같이주어지면 X 는지수분포 지수분포의평균과표준편차 29
Exponential Distribution 지수분포를따르는확률변수와관련된확률공식 예제 ) 알카라인배터리의수명은 λ =.05 인지수분포를따름. 평균과표준편차? 배터리의수명이 10 시간과 15 시간사이일확률? 수명이 30 시간이상일확률? Excel 함수 : expondist(x, lambda, true) 30