<BFACB1B8B0FAC1A62D372E687770>

Transcription

1 연구조사자료 금리시나리오생성모델연구 김석영 보험개발원 보험연구소

2 머리말 국내금융시장은 IMF 외환위기를통하여이자율의급속한변동을목격하였고, 3% 대의저금리상황이이어지고있다. 이과정에서금리역마진으로인한보험회사들의이차손이중요한문제로서제기되고있으며, 이차손부담은앞으로도계속적으로이어질것으로예상되어진다. 이는상품개발시금리의향후예측을다양하게점검하지못한것에기인한다고생각할수있다. 그래서최근많은보험회사들이이차역마진의문제점과현재의저금리상황에효과적으로대처하기위해서많은노력을기울여왔으며, 그중하나로서 ALM 시스템및계리소프트웨어를도입하여활용하고있다. 이러한노력을통하여향후발생할수있는금리리스크를비롯한다른리스크에도효과적으로대응할수있게되었다. 이러한노력의가운데에는금리시나리오의사용이있는데, 현재많은보험회사들이 Ho-Lee, Hull-White, CIR 모델등을사용하고있다. 금리시나리오를보다효과적으로생성, 사용하기위해서는 ALM이나계리소프트웨어에서사용되는금리시나리오생성모델및여러가지제반사항에대한정확한이해와사용이필수적이라고할수있다. 관련업무담당자들이결정론적시나리오와확률론적시나리오의비교에서부터시장균형모델, 무차익모델의비교에이르기까지폭넓은이해를바탕으로금리시나리오를사용하였을때가장효과적으로리스크에대처할수있기때문이다. 이에본보고서는금리시나리오생성모델의사용에필요한수익률곡선의추정방법, 금리시나리오및모델의종류, 금리시나리오생성모델의종류, 가치평가까지의기초적지식을체계화하였다. 본보고서가국내보험산업에적합한금리시나리오를생성하여활용하는데기초자료로서역할을할것으로생각한다. 마지막으로본보고서의내용은연구담당자개인의의견이며, 우리원의공식적인견해가아님을밝혀둔다 년 3 월 보험개발원 원장김창수

3 < 요약 > Ⅰ. 서론 금리시나리오모델에대한정확한이론적이해의부족으로실제업무 에서사용하는데있어한계가있음. 이보고서는금리시나리오생성모델의정확한이해와사용을위하여 전반적인기초및전문지식을조사하는것에목적을두고있음 Ⅱ. 금리시나리오모델의필요성 생명보험의예정이율은생명보험계약의특성인장기성으로인해서여러가지요소를감안하여설정되지만향후전개되어지는금리의변동에대해서항상안정적인것은아님. 따라서금리의변동에대한시나리오를만들어서다양한분석이필요함. 금리시나리오모델을활용하기위해서는수익률곡선추정, 금리시나리오생성모델의선택그리고 Calibration 작업으로이어지는일련과정이필요함. Ⅲ. 수익률곡선의개념및추정방법 정부가발행한무이표채들의만기와만기수익률의관계를나타내는곡 선을만기수익률곡선 (Yield Curve) 혹은수익률곡선이라고함. 수익률곡선은다양한형태를나타내며대표적인형태는상향수익률곡선, 하향수익률곡선, 수평수익률곡선, 그리고언덕형수익률곡선이며상향수익률곡선이가장보편적으로나타남. 실제시장에서는모든만기의채권들이거래되지않기때문에 - i -

4 Bootstrap 방법을사용해서존재하지않는만기의만기수익률을계산함. 수익률곡선은다양한형태를가지고있으며, 그형태를결정짓는요인에 대한여러가지이론이있음. 순수기대가설 : 수익률곡선의형태는투자자들이미래에예상하는단기금리의기대값에의해결정된다는가설임. 유동성선호가설 : 투자자들이만기가긴채권일수록장기간투자하는대가로서미래기대금리이외에프리미엄을더요구한다는가설임. 단기기대가설 : 순수기대가설의특별한경우로상이한만기를가지는모든채권에대한단기간의기대투자수익률이모두같아지도록현물금리가결정된다는가설임. 시장분할가설 : 장기금리는장기채권에대한수요와공급에의하여결정되며, 단기금리는단기채권의수요와공급에의해서따로결정되기때문에장기금리와단기금리사이에특별한관계가존재하지않는다는가설임. 선호시장가설 : 투자자들은선호하지않는만기채권에투자하지않지만적절한프리미엄이제시되는경우에는투자할수있다는가설임. 실제시장에서는동일한잔존만기를가지는여러종류의채권이다양한 이표를가지고유통되고있음. 이러한복잡한데이터로부터현물금리 곡선을모델화하는방법에는통계적방법과이론적방법이있음. 통계적방법 : 한시점 에서의할인함수 혹은현물금리함수 가만기 ( τ) 의함수임을이용하여만기에대한일반화된함수를이용하여근사치를구하는방법. 대표적인예로는 Nelson & Siegel 방법, 3차스플라인 (cubic spline), 지수스플라인 (exponential spline), B- 스플라인 (B-spline) 방법등이있음. 이론적방법 : 수익률곡선에영향을미치는요인의동적모델을바탕으 - ii -

5 로시장에서무차익거래이익이발생하지않도록하는채권가격의모델 을찾는방법임. Ⅳ. 금리시나리오및생성모델의종류 금리는시간이지남에따라여러가지형태로계속적으로변해가기때 문에금리관련금융상품의가치평가를위해서는적절한금리시나리오 가필요하며결정론적시나리오와확률론적시나리오로분류됨. 결정론적시나리오 : 시간에따른금리의변화를과거의경험에기초하여미리정해놓는것으로서금리변화에따른민감도분석 (Sensitivity Analysis), 극단상황분석 (Stress Test) 등에효과적으로사용될수있음. New York 7 시나리오가대표적임. 확률론적시나리오 : 금리는위너과정 (Wiener Process) 을한다는가정하에서과거경험데이터로부터모수를정하여시나리오를생성하는것으로 Ho-Lee, Vasicek, CIR 모델이널리사용되고있음. 금리모델은금리의미래변화를예측하는것으로서두가지측면즉무차익거래와실제값과의일치를요구함. 그러나두가지조건을동시에만족시키는것은한계가있기때문에일반적으로금리모델은크게무차익모델과시장균형모델로구분되어짐. 시장균형모델 : 시장의경제적변수에대한가정을바탕으로한모델로서시장의기초적인움직임을묘사함. 따라서실제시장데이터와는다른수익률곡선을만들수있음. 이모델의대표적인것으로 CIR 모델, Vasicek 모델등이있음. 무차익모델 : 시장의실제수익률곡선과일치하도록시나리오를만드는모델로시장균형모델과는달리순간금리의편미분방정식에서추세부분이항상시간에관한함수로표현됨. 이모델의대표적인것으로 Ho-Lee 모델, Hull-White 모델등이있음. - iii -

6 모든투자에는시간에따른시장리스크 (market risk) 가존재하고있기때문에투자자들은무위험이자와함께시장리스크 (market risk) 에대한기간프리미엄 (term premium) 을요구하나위험중립가정 (risk neutral) 가정에서는기간프리미엄 (term premium) 이사라지기때문에채권이나기타금융상품을평가할때에는단지무위험이자만이고려됨. 위험중립및무차익모델 : 시장정보가충분또는신뢰할수있는경우에사용. 위험중립및시장균형모델 : 시장정보가불충분하거나신뢰할수없는경우에사용. 비위험중립및무차익모델 : 기간프리미엄 (term premium) 의정확한산출이불가능하므로비현실적임. 비위험중립및시장균형모델 : stress test 또는 VaR 산출용으로적합함. Ⅴ. 금리시나리오모델 금리의수익률곡선은랜덤하게움직이지만주성분분석 (Pricipal Component Analysis) 를하여보면대체적으로 3개월, 6개월, 1년만기수익률에의해서전체수익률곡선의움직임이대체적으로설명이됨. 따라서수익률곡선의설명요소로서 1-2 개의요소를택한금리시나리오모델이널리사용되어지고있음. Affine 모델 : 다루기가쉽기때문에가장널리사용되어지는모델로서채권가격이순간금리 (short rate) 에대해서선형으로표현되는모델로서 Ho-Lee 모델, Vasicek 모델등이있음. HJM 모델 : 순간금리 (short rate) 를설명변수로갖는대신모든만기의선도금리 (forward rate) 가설명변수가되는모델임. 이모델에서는선도금리 (forward rate) 의확률미분방정식추세부분이변동성에의해서완전히결정되며 Ho-Lee 모델, Vasicek 모델등이이에해당됨. - iv -

7 Consol 모델 : 장기금리의예측에사용되어진모델로 Brennan - Schwartz 모델이있음. Positive Interest rate 모델 : 시장에서관찰되는금리는거의항상양수이기때문에양수의금리를생성하는모델의필요성에의해서만들어진모델로대표적인모델로서는 Black-Derman-Toy 모델, Black-Karasinski 모델이있음. 금리시나리오모델은어느모델이더우수하고더정확하다고할수없기때문에모델선택시시나리오사용목적에가장적합한모델을선택하여야함. 그러나일반적으로금리시나리오모델에서요구되어지는것은시장정보에얼마나잘맞는지에대한적합성, 다양한시나리오를생성할수있는지에대한다양성, 그리고다루기가얼마나편리한가에대한편리성임. 그러므로이세가지기준에따른비교와사용목적에맞추어서모델을선택하여야할것임. Ho-Lee, Vasicek 그리고 CIR 등금리시나리오모델에있는모수들을 시장의정보를이용해서결정하는것을 Calibration 이라고하는데이때 다음과같은사항이고려되어짐 채권의이론가격과실제시장가격이맞추어지도록모수를결정. 모델의모수의개수보다시장에서유통되어지는만기의개수가더많기때문에실제적으로값을일치시킬수없음. 그러나이런문제점을해결하기위해서모수를시간의함수로표현함으로서모수의개수가무한히많아져서문제를해결할수있음. Ⅵ. 가치평가 금리시나리오모델의사용목적중의하나는파생상품의가치평가를 위한것임. 파생상품의가치를평가하는방법으로 finite difference 방 - v -

8 법, Monte Carlo 방법그리고 Lattice 방법이널리사용되어지고있음. Finite Difference 방법 : 수치해석학적인접근을통해서미분에대한근사값을구해서문제를해결하는방법임. Monte Carlo 방법 : 현재널리사용되어지고있는방법으로 random number를이용한시뮬레이션 (simulation) 을통해서가치를산출하는방법임. Lattice 방법 : 이자율트리에확률을주어서이를바탕으로가치를산출하는방법. Ⅶ. 향후과제및시사점 금리시나리오생성모델에대한수학적통계학적연구가보다심층적으로수행되어야함. 금리시나리오생성모델의변수선정을위해서한국금융시장에서금리의변동요인에대한분석및연구가이루어져야할것임. 시장상황에따른적절한모델의사용을위해서실제자료들을바탕으로모델별비교분석이필요하다. - vi -

9 < 목차 > Ⅰ. 서론 1 1. 연구배경 1 2. 선행 연구 2 3. 연구 범위 3 Ⅱ. 금리시나리오모델의필요성 6 1. 보험회사의필요성및현황 6 2. 금리시나리오생성모델의개요 8 Ⅲ. 수익률곡선의개념및추정방법 수익률곡선의개념 수익률곡선산출 수익률곡선결정에관한이론 통계적수익률곡선추정방법 1 7 Ⅳ. 금리시나리오및생성모델의종류 금리시나리오의종류 시나리오선택 금리모델의종류 2 9 Ⅴ. 금리시나리오모델 기초개념 A f f i n e 모델 H J M 모델 Consol 모델 P o s i t i v e I n t e r e s t r a t e 모델 기타모델들 금리시나리오모델선택및비교 C a l i b r a t i o n 6 4 Ⅵ. 가치평가 F i n i t e D i f f e r e n c e 방법 M o n t e C a r l o 방법 L a t t i c e 방법 78

10 Ⅶ. 시사점및향후과제 시사점 향후과제 86 참고문헌 8 8 [ 부록 ] 9 2 Ⅰ. 금리모형에사용되는주요정리 W e i e r s t r a s s ' A p p r o x i m a t i o n T h e o r e m G i r s a n o v ' s T h e o r e m I t o ' s f o r m u l a 채권가격에대한미분방정식 9 3 Ⅱ. 금리시나리오생성모델의증명 H o - L e e 모델 V a s i c e k 모델의 a f f i n e 모델증명 H J M 모델에서추세와변동성의관계 H J M 모델의 N o n - M a r k o v i a n 증명 1 0 2

11 표목차 < 표 Ⅲ - 1 > 만기별금리 1 2 < 표 Ⅳ - 1 > 모델의사용용도 3 5 < 표 Ⅳ - 3 > B l a c k - K a r a s i n s k i 모델의예 3 5 < 표 Ⅴ - 1 > G a u s s i a n a f f i n e 모델들 4 6 < 표 Ⅴ - 2 > C I R a f f i n e 모델들 4 7 < 표 Ⅴ - 3 > T h r e e f a c t o r a f f i n e 모델들 4 8 < 표 Ⅴ - 4 > 금리모델비교 6 4 < 표 Ⅵ - 1 > 만기별금리및채권가격예 8 5 그림목차 < 그림 Ⅱ - 1 > 금리시나리오 사용 흐름 9 < 그림 Ⅲ - 1 > 수익률 곡선 종류 1 1 < 그림 Ⅲ - 2 > 다항스플라인 방법 2 1 < 그림 Ⅳ - 1 > 뉴욕 7 금리 시나리오 2 8 < 그림 Ⅴ - 1 > 국고채 Y i e l d C u r v e 3 7 < 그림 Ⅴ - 2 > H o - L e e 모델 4 9 < 그림 Ⅴ - 3 > B l a c k - K a r a s i n s k i 모델 5 9 < 그림 Ⅵ - 1 > 금리와 시간의 격자점 6 9 < 그림 Ⅵ - 2 > 일차미분 ( 접선 ) 의 3 가지 근사값 7 0 < 그림 Ⅵ - 3 > E x p l i c i t m e t h o d 에서 격자점을 통한 계산방향 7 2 < 그림 Ⅵ - 4 > I m p l i c i t m e t h o d 에서 격자점을 통한 계산방향 7 3 < 그림 Ⅵ - 5 > 이항 및 삼항모델 7 9 < 그림 Ⅵ - 6 > 삼항모델의 3 가지 형태 7 9

12

13 서론 1 Ⅰ. 서론 1. 연구배경 국내금융시장은 1997년사상초유의외환위기를지나면서시장금리의급속한변동을목격하였다. 연 20% 이상의초고금리에서빠른속도로하락하기시작하여이제는사상초유의 3% 대의저금리시대가이어지고있으며, 물가상승률을감안할경우마이너스금리시대이다. 그리고이상태가어느정도계속될것으로전망되고있다. 한편으로생명보험사의예정이율은완전자유화되어서보험사는자사경쟁력및시장상황을고려해서자율적으로설정할수있게되었다. 1) 따라서현재의금리하락에맞추어효율적으로대처할수있는환경이조성되었다. 그러나과거에판매된상품의경우현재와같은금리하락을예상하지못한상태에서고금리보장하에판매되어현재이차역마진으로보험사에큰부담으로존재하게되었다. 자유화된이후에판매된상품들도최근수준의금리하락을예상하지는못하여서그에따른대비책이충분치못한상황이다. 따라서최근들어각보험사들은이차역마진의문제점과현재의저금리에효과적으로대처하고보험상품의정확한가치평가를위해서 ALM 시스템, ALFA, MOSES 등과같은계리소프트웨어등을도입, 운영하기시작하였다. 그리고 ALM 시스템과계리소프트웨어등에서미래가치의현가계산을위해서금리시나리오의생성및사용이필요하게되었다. 따라서기존의획일적인금리시나리오가정에서벗어나다양한금리시나리오를가정함으로서향후에일어날상황을예측하고그에따른손익을전망할수있게되었다. 그러나실질적으로금리시나리오를생성및사용에있어서여러가지어려움이존재해서대부분의보험회사들은시스템에내장된함수들로서금리시나리오를생성해서사용하던가아니면 New York 7 같은결정론적시나 1) 예정이율의공시체계는 년 5 월부터자율공시체계로전환되어생명보험회사는기준금리를각생명보험회사의재무상태및경영전략에맞추어설정할수있음.

14 2 리오를사용하고있는형편이다. 현재여러가지금리시나리오생성모델들이알려져있고그중어떤모델들이시스템에내장되어있지만그모델들에대한충분한이론적배경과활용방안에관한이해가없다면사용상에있어서한계가있을수밖에없다. 금리시나리오의사용목적에맞게시장균형모델을사용할것인지무차익거래모델을사용할것인지등모델의특성을파악해서선택하여야한다. 그리고더나아가서현재시장상황을정확히시나리오생성에반영하지못한다면여기서생성되는시나리오를바탕으로미래의여러가지상황을예측한결과는사용상에한계가있다. 더나아가 2004년 6월합의된 BASEL Ⅱ 협약에의해서금융회사들은자신들의기준에따른시나리오분석에의한리스크관리를해야한다. 특정한시나리오생성모델에관한기준은따로없지만금융회사들은자신들의상황에가장적합한선택하여금리시나리오를생성해서리스크관리를하여야하기때문에금리생성모델은합리적인미래예측뿐만아니라여러가지위기상황에따른분석도가능하게하도록선택되어야한다. 그러므로금리시나리오생성모델에관한이론적바탕과활용방안에관한연구가필요하다. 본보고서현재알려진금리생성모델에대한이해를돕고나아가효율적이고과학적인활용을위해서금리생성모델의기초가되는채권에서부터금리모델에이르기까지금리시나리오생성모델에관련된전체적인자료를조사, 분석하였다. 2. 선행연구 금리시나리오모델에관한연구는 80년대에들어서면서부터국외에서본격적으로연구되기시작하여 90년대에들어서다양한연구결과들이나오고있다. Vasicek (77년), Ho 와 Lee(1986), Hull 과 White(1990) 등에의해서초창기모델들이소개된이후오늘날다양한모델들이계속연구되어지고있다. 국내에서는 IMF 금융위기를겪으면서부터금리시나리오에대한인식의변화가이루어져관련연구가진행되고있다. 류건식, 김은주 (1998) 은생명보험

15 서론 3 회사의예정이율리스크를최소화하기위해금리예측의필요성을언급하였다. 그리고김광빈 (1998) 은적정예정이율설정과손익관리를위한시나리오기법을소개하였다. 특히자산과부채의현금흐름분석을위해미국뉴욕주법제 126조의결정론적시나리오와변형된로그정규모델 (Jetton 모델 ) 에의한확률론적시나리오로금리생성을시도하였다. 류건식 (2001) 은예정이율리스크의측정을위한다양한금리시나리오생성을위해대수정규모델, Jetton 모델, CIR 모델등을활용하였다. 박준용 오규택 이창용 (2001) 은국내단기금리 ( 콜금리, CD 금리, 회사채수익률등 ) 를중심으로모수적 비모수적확산모형에의해모형화한후단기간의금리예측을시도함으로써확산모형으로서 CIR 모형을제안하였다. 그동안의많은연구자들의연구성과의축적으로인해서국외에서는금리모델에대한책들이출간되고있다. J. Hull(1999) 의 Options, Futures, & Derivatives 와같은책에서일부언급되었지만금리자체만을다룬책은아니었다. 그러나 J. James 와 N. Webber(2000) 의 Interest rate modelling, A. Cairns(2004) 의 Interest rate models 등과같은금리모델만을전문적으로다룬책들이출간되면서모델을다루고이용하는실무자들에게많은도움을주고있다. 그러나국내에서는한국산업은행 (2000) 의 한국의채권시장과수익률곡선 등과같은책에서통계적수익률곡선추정방법에관해서자세한설명을하고있지만금리모델에있어서는 Visicek, CIR 모델등에관해서만설명하고있다. 3. 연구범위 현재업계에서는기존에알려진모델들 Ho-Lee, Hull-White, CIR, 그리고 Black-Karasinski 모델등을사용하고있다. 그러나이에대한충분한이론적검토와비교없이사용되어지고있는형편이다. 따라서이번조사보고서에서는향후에는우리의금융실정에맞는금리시나리오모델의개발과활용을위해서우선적으로기존금리모델의이해와활용을도울수있도록구성되었다.

16 4 본보고서는금리시나리오생성모델을이해하고응용하기위해서필요한기초적인지식들을조사및비교분석을하였다. 금리시나리오를이해하기위해서먼저금리에관한이해가필요할것이고더나아가서금리에관한이해를위해서채권에관한이해가선행되어야할것이다. 따라서본보고서에서는채권에관한기초상식에서부터금리모델의 calibration까지순차적으로다음과같이고찰하였다. 제 Ⅱ장에서는보험회사의금리시나리오모델필요성에관해서살펴보았다. 그리고금리시나리오모델의활용을위해서필요한전반적인작업과모델의일반적인개요를살펴보았다. 제 Ⅲ장에서는수익률곡선의개념및곡선의산출방법에관해서살펴보았다. 그리고수익률곡선의다양한형태를설명하는이론적가설들을살펴보았다. 그리고실제현장에서사용되어지는수익률곡선추정방법에관해서살펴보았다. 금리시나리오모델에현재시장의만기별수익률을입력자료로서사용해야할경우시장의데이터로부터수익률곡선을어떻게추정하는지 5가지수치해석학적인방법론을살펴보았다. 제 Ⅳ장에서는금리시나리오의종륭및선택방법에관해서살펴보았다. 확률론적시나리오와더불어여전히많이사용되어지고있는결정론적시나리오에관해서살펴보았다. 제 Ⅴ장에서는제 Ⅳ장에서언급된확률론적시나리오를생성하는금리모델들에대한기본개념관해서살펴보았다. 시장균형모델과무차익거래모델에대한설명과비교를통하여모델선택시주의해야할점을살펴보았다. 그리고금리시나리오모델에대한개념과각각의모델에관해서살펴보았다. 금리시나리오모델의기본이되는확률미분방정식, 위험가격 (market price of risk) 등을먼저살펴보았다. 그리고현재널리사용되어지고있는금리시나리오모델을크게 4가지분류로나누어서살펴보았다. 그리고금리시나리오모델의선택기준을통해서비교분석해보았다. 또한마지막으로실제데이터를사용해서모수를결정하는방법에관해서살펴보았다. 금리시나리오모델이보다실제값과가깝게시나리오를산출하게하기위한작업과문제점을살펴보았다. 제 Ⅵ장에서는파생상품의가치를평가하는방법을살펴보았다. 금리시나

17 서론 5 리오모델의목적중하나는금융상품의가치를평가하는것인데이를 finite difference 방법, monte carlo simulation 방법, 그리고 lattice 방법을통해서 살펴보았다. 마지막으로금리모형에대한기초지식, 중요한수학적정리및공식들은증 명과함께부록에첨부하였다.

18 6 Ⅱ. 금리시나리오모델의필요성 1. 보험회사의필요성및현황 보험상품을설계할때기본적으로들어가는가정에는예정위험률과함께예정이율이있다. 보험에서예정이율이라함은보험의가격을산정하는데사용되는할인율의하나이다. 생명보험계약은기본적으로수지상등의원칙을근거로하고있다. 보험계약이후유입될수입보험료의현재가치와지급될보험금의현재가치가동일하여야한다는것이다. 이때보험료와보험금을현재가치화하기위하여적용하는할인금리가바로보험의예정이율이다. 보험계약에서특히생명보험계약에서예정이율의중요성이강조되는이유중의하나는생명보험계약이장기계약이고, 영업보험료에저축보험료가포함되어있기때문이다. 즉영업보험료중의위험보험료및사업비를제거한나머지부분은예정이율로보험기간동안에준비금형식으로부리해야하기때문이다. 이처럼예정이율은보험료산출의기초가되는예정기초율중의하나로서, 보험회사는예정이율수준이상의자산운용수익율을올려야만계약자에게급부를지급할수있는최소한의필요자금을마련할수있다. 우리나라생명보험산업에서는보험판매에따른준비금적립에대한평가방식이발생연도방식이기때문에, 생명보험의예정이율은회사가보증하는이율이며, 향후금리가변동되더라도계약종류시까지는변동되지않는다. 따라서금리변동, 주가하락, 부동산변동등에의한자산운용수익률의감소로역마진이발생할경우에도보험회사가이를전부부담하게된다. 이와같은특성으로인해생명보험의예정이율은생명보험계약의특성인장기성을고려하여장기적인경제여건, 금리변동추이, 배당률과타금융상품과의가격경쟁력등을종합적으로감안하여안정적이고또한보수적인이율로정하는것이일반적이다. 이렇게결정된예정이율이지만실제적으로향후전개되어지는금리의변동에대해서항상안정적인것은아니다. 과거의금리변동추이가미래의금리

19 금리시나리오모델의필요성 7 변동을완전히설명하는것은아니기때문이다. 따라서보험회사는여러가지미래금리변동에대한시나리오를필요로하게된다. 여러시나리오를통해서보험상품이안정적으로운영될수있는지를점검할수있고나아가서예정이율의적정성을재점검을할수있다. 따라서보험회사는금리시나리오및시나리오생성모델을필요로하게된다. 현재시장에서향후에발생할수있는금리의변동을생성하는합리적인모델없이는합리적인예정이율설정및손익전망을할수가없게된다. 수백수천가지의시나리오분석을통해서보험회사는보험상품의손익분포를파악할수있고그에따른리스크관리를할수있다. 신계약출시상품의손익전망과더불어현재보유계약의미래가치를평가하는데있어서도필수적이다. 고정된금리에의해서만들어지는보유계약의가치의정합성은수백수천가지시나리오에의해서만들어지는보유계약의가치에비해서떨어지는것은당연하다. 현재많은보험회사들은 IMF 금융위기이후 ALM 시스템을구축및활용하고있으며 ALFA, MOSES 그리고 Prophet 등과같은계리소프트웨어를사용하고있다. ALM 시스템및계리소프트웨어를활용하여직접또는간접적으로시나리오를생성운영함으로서상품의손익분포및보유계약의가치분포를파악하고있다. 널리사용되어지고있는금리시나리오및금리시나리오생성모델로서는 New York 7 시나리오와함께많은회사들이 CIR 모델, Hull-White 모델, Ho-Lee 모델, 그리고 Vasicek 모델등을기본적으로사용하고있으며일부회사에서는 Black-Karasinski 모델을사용하고있다. 그러나보험회사에서모델들을실제사용하는데있어서많은어려움이있다. 모델들의정확한특성의파악없이사용함으로서목적과부합되지않는시나리오를생성 사용할수있다. 더나아가서환율, 미국국채금리등시장의금리변동요인에의해서금리의변동이심한우리나라시장상황에서시장의과거경험에근거한모수결정으로장래의금리를예측함으로서현실과부합되지못하는면이많이있다. 따라서실제사용에있어서는사용자의주관적의사결정에의해서모델의모수들이결정되기도한다. 금리시나리오의일반적사용목적이미래현금흐름의적정성과수익성을여러가지시나리오측면에서보고자하는것이목적이기때문에실제금리의현상과부합되는것

20 8 이중요하기보다는다양한금리시나리오의생성에더의미를부여할수도 있을것이다. 그래서현업에서는발생가능한다양한금리시나리오의생성 에더의미를두고있는형편이다. 2. 금리시나리오생성모델의개요 금리시나리오는결정론적인방법과확률론적인방법으로만들수있다. 그러나일반적으로금리시나리오생성모델에관해서언급할때는확률론적모델을말한다. 확률론적시나리오생성모델을사용해서시나리오를생성하는것은단순히모델만을사용해서시나리오를생성하는것이아니다. 시나리오를생성하기위해서그전에여러가지작업들이선행되어야한다. 첫째, 시장의값을반영하기위해서시장의데이터를이용해서만기별수익률을구하여야한다. 그러나실제시장에서는같은잔존만기를가지는여러종류의채권이다양한이표를가지고유통되고있고그리고모든만기에대해서채권이유통되고있지는않다. 따라서주어진자료를바탕으로수치해석학적인방법 (Numerical Analysis Method) 으로근사함수를구하여산출한다. 이에대해서는제 3장에서자세히언급하였다. 둘째, 금리시나리오의사용목적에맞는모델을선택하여야한다. 모델은크게시장균형모델과무차익모델두종류로구분되어진다. 시장의경제적변수에대한기초적인가정을바탕으로금리의기초적인움직임을시나리오로만들것인가아니면현재의실제수익률곡선과일치하는시나리오를만들것인가에따라서모델을선택하여야한다. 각모델에의해서생성되는시나리오는다른특징을가지게된다. 이에대해서는제 4장과 5장에서자세히언급하였다. 셋째, 모델을통해서생성되는시나리오와실제시장의데이터를비교해서모델에입력되는모수의값을결정하여야한다. 이를 Calibration 이라고부르는데이작업을통해서모델의정확한모수가결정된다. 즉모수를조정하여서시나리오와실제데이터의값이일치하도록하여서최종적인모수값을결정하게된다. 이에대해서는제8장에서자세히언급하였다.

21 금리시나리오모델의필요성 9 한편으로는금리와금리변동에대한이해가필요하다. 현재시장에서유통되어지는채권의종류와보험회사의예정이율및자산운용수익률에영향을미치는채권과금리에대한이해가선행되어야할것이다. 그에대한이해를바탕으로위에서언급된작업들이순차적으로실행되어야보다효율적으로금리시나리오생성모델을활용할수있을것이다. < 그림 Ⅱ - 1> 금리시나리오사용흐름 만기만기수익률수익률산출산출 통계적수익률곡선추정방법으로산출 모델선택모델선택 금리시나리오사용목적에맞는모델선택 모수결정모수결정 시장과모델값의일치를위해모델모수를결정 금리금리시나리오시나리오생성생성 통계적수익률곡선추정방법으로산출 금리금리시나리오시나리오적용적용 ALM, 상품개발등에서미래현가계산등에적용 금리시나리오생성모델은 one-factor 모델의경우기본적으로추세와변동성두부분으로구별되어서설명되어진다. 추세부분은금리의전반적인추세를의미하는것으로장기적으로상승혹은하락을결정짓는부분이다. 모델에따라서평균회귀성질을가지는것도있는데이는금리가일반적인추세를벗어난경우평균적인값으로회귀하는것이다. 변동성은금리가불규칙하게변하는것을구현하기위한것이다. 즉금리는브라운운동을하는것으로간

22 10 주되고따라서이를랜덤변수 (random variable) 를이용해서표현한부분이변동성부분이다. 그러므로금리시나리오생성모델은추세와변동성두부분을어떻게정하느냐의해서구별되어진다. 이에대해서는제 5장에서언급하였다.

23 수익률곡선의개념및추정방법 11 Ⅲ. 수익률곡선의개념및추정방법 1. 수익률곡선의개념 정부가발행한무이표채들의만기와만기수익률의관계를나타내는곡선을만기수익률곡선 (Yield Curve) 혹은줄여서수익률곡선이라고한다. 즉만기에따른현물금리들을그래프로보여준것을말한다. 이곡선은또한기간 ( 만기 ) 에따른금리 ( 수익률 ) 값의수준을나타낸다는의미에서 금리기간구조 (the term structure of interest rates)" 라고도불린다. < 그림 Ⅲ - 1> 수익률곡선종류 금리는당시의실질금리, 예상인플레이션뿐만이아니라만기의차이나지급불능위험에따른프리미엄등에의해결정된다. 따라서만기와함께상승또는하락을하기도하기때문에여러가지다양한형태를나타낸다. 그러나일반적으로볼때가장대표적으로나타나는형태는상향수익률곡선, 하향수익률곡선, 수평수익률곡선그리고언덕형수익률곡선형태로요약할수있다. 상향수익률곡선은역사적으로가장보편적인수익률곡선의형태이지만

24 12 시장의상황에따라다른 3 가지형태로변형되기도한다 년말외환위기 발생초기에는장기금리가단기금리보다낮아져서하향수익률곡선형태가 나타났었다. 2. 수익률곡선산출 수익률곡선은현물금리들을그래프로서나타낸것이지만실제시장에서현물금리들이다주어지는것이아니다. 수익률곡선을구성하는다양한만기의채권들이시장에서거래되고있으면현물금리들을시장에서바로구할수있지만실제시장에서는다양한만기의채권들이거래되지않고있다. 따라서시장에서값을구할수없을경우단기상품의현물금리 (spot rate) 과이표채의현재가를이용하는 Bootstrap 방법을사용한다. Bootstrap 방법을사용하여수익률곡선 (yield curve) 을구하는방법을알아보자. 시장에서거래되는만기 1, 2, 3, 4년의액면가채권의액면금리가다음 < 표 Ⅲ-1> 과같이주어지고이자지급은연간 1회이고모든채권의액면가는 100으로가정한다. < 표 Ⅲ-1> 만기별금리 만기 (t) 액면금리 % % % % 이때동일한만기의현물금리들을구하여보자. 먼저액면금리 3.0% 의만 기 1 년액면가채권으로부터 1 년현물금리 을구하여보자 이식으로부터 의값 3.0% 를구할수있다. 다시 를구하기위해서 만기 2 년액면가채권을이용하여보면다음과같은 ( 수식 1) 를구할수있다. ( 수식 1)

25 수익률곡선의개념및추정방법 13 ( 수식 1) 과위에서구한 값을이용하면 = 3.51% 가산출된다. 다음 을구하기위해서만기 3 년의액면가채권을이용하면같은방법으로구 할수있다. 3. 수익률곡선결정에관한이론 수익률곡선의형태는다양하게나타날수있는데, 이러한형태를결정짓는요인에관해서설명하려는다양한노력들이고전학파로부터케인즈에이르기까지다양하게제기되어왔다. 여기서는대표적인네가지의가설들을소개하기로하겠다 2). 가. 순수기대가설 (Pure Expectations Hypothesis) 가장널리알려진가설중하나인이가설에따르면, 미래시점의예상 ( 현물 ) 금리값에따라현재의장기현물금리값이결정된다는것이다. 수익률곡선의형태와관련하여이가설이뜻하는바는, 수익률곡선의형태는투자자들이미래에예상하는단기금리의기대값에의해결정된다는것이다. 예로서장기현물금리가단기현물금리보다높다면이는미래단기금리들이현재의단기금리수준보다상승한다고투자자들이예상하기때문이라는것이다. 반면하향수익률곡선이관찰되면, 이는미래의단기금리들이현수준보다하락할것이라는투자자들의예상혹은기대가반영되었기때문이다. 결론적으로이가설이주장하는것은, 시장의투자자들의미래금리수준에대한예상이반영되어모든장기현물금리가결정되며또이예상만이장기현물금리를결정하는유일한요인이라는것이다. 이가설의내용을수식으로표현하면다음과같다 2) 유진, 채권과금리파생상품, 서울 : 경문사, 2003, pp.75~124.

26 14 여기서, : 현재시점에서의미래금리에대한기대값 : 년만기현물금리 : 년후의만기 1년현물금리의확률변수순수기대가설에따르면장기현물금리는전적으로미래단기금리의기대값에의하여결정되므로, 이기대값에따라상향, 하향, 수평및언덕형수익률곡선이모두실현될수있다. 나. 유동성선호가설 (Liquidity Premium Hypothesis) 순수기대가설은이론적으로명쾌한가설이기는하지만시장의투자자들이위험을회피하는속성을간과했다는단점이있다. 위험을회피하는투자자들은자신의투자기간보다긴장기채권에투자하기를꺼리게된다. 왜냐하면투자기간종료시자신에게귀속될미래가치가불확실하기때문이다. 예로서목표투자기간이 1년인투자자가 5년만기채권에투자한다면, 1년후 4년만기채권이되는이채권의미래가격을현재로서는알수없으므로투자자로서는위험을부담하게된다. 즉금리위험을부담하게되는것이다. 한편이투자자가 1년만기무이표채에투자한다면투자기간이끝나는시점인 1년후이채권은확정된액면가를지급하며소멸되므로투자자는금리위험을부담하지않는다. 그러므로투자기간이단기인투자자들이장기채권에투자하기위해서는, 자신들이부담하는위험에대한추가적인보상, 즉위험프리미엄이채권가격에반영될경우에한해서만투자를실행하게된다. 결과적으로이가설에의하면장기채권에대한현물금리는시장에서예상하는미래단기금리의기대값에일정한위험프리미엄이가산된값으로결정된다. 따라서유동성선호가설은투자자들이만기가더긴채권일수록장기간투자하는대가로서기대미래금리이외에프리미엄을더요구한다는이론이다. 이는현실적으로장기채권이단기채권에비하여투자원금및이자지급에대한위험이더크고미래금리의변화에따른미래채권가격의불확실성이커짐에따라이를보상할프리미엄이요구된다는것이다. 이가설의내용을수식으로표현하면다음과같다

27 수익률곡선의개념및추정방법 15 여기서, : 미래시점 의단기금리에대한위험프리미엄 > 0 이다. 이가설에따르면선도금리및장기현물금리는미래단기금리의기대값과위험프리미엄에의하여결정되므로, 이기대값과위험프리미엄의크기에따라상향, 하향, 수평, 및언덕형수익률곡선이모두실현될수있다. 다. 단기기대가설 (Local Expectations Hypothesis) 이가설은순수기대가설의특별한경우로상이한만기를가지는모든채권에대한단기간의기대투자수익률이모두같아지도록현물금리가결정된다는것이다. 예로서단기간을 1년으로정의하면만기 5년의무이표채를매입하여 1년동안보유할때의기대수익률이 1년만기무이표채를매입하여 1년동안보유할때의수익률과같아지도록현물금리의값들이결정된다는것이다. 이가설이이론적으로중요하게취급되는이유는, 채권투자의차익거래를허용하지않는유일한가설이라는점이다. 즉다른가설들은이론적으로입증하기어려운, 금리기간구조에대한주관적인견해에불과하지만, 이가설만은 무차익원칙 (no arbitrage principle)" 이라는이론으로입증되는가설이라는것이다. 라. 시장분할가설 (Segmented Markets Hypothesis) 이가설은장기금리는장기채권에대한수요와공급에의하여또단기금리는단기채권의수요와공급에의해서결정되기때문에장기금리와단기금리사이에특별한관계가존재하지않는다는가설이다. 그이유는채권시장의각투자자마다자신이선호하는만기의채권에만주로투자하기때문이

28 16 다. 예로서은행이채권에투자할경우에는투자자금의원천인예금의만기를감안하여매입채권을결정하여야한다. 투자신탁회사의공사채형펀드를운용하는펀드매니저들도그펀드의취지및약관에맞추어매입채권의만기를제한할필요가있다. 연기금펀드의매니저는주로장기채권에투자하게된다. 이경우수익률곡선의형태는장단기금리의유기적관계에의해서가아니라각만기별로독립적인채권시장에서의수요와공급에의하여결정된다. 그러므로시장분할가설에따르면상향, 하향, 수평, 그리고언덕형수익률곡선이모두실현될수있다. 그러나독립성가정은일부만기채의수익률상승이상이한만기채들의수익률상승을유발하지않기때문에과거채권시장에서나타난상이한만기채들이같은유형으로움직이는현상을설명하지못하는약점을갖고있다. 마. 선호시장가설 (Preferred Habitat Hypothesis) 기대가설과시장분할가설은모두다양한형태의수익률곡선유형을이론적으로설명해준다는장점은가지고있지만동시에두이론은과거실제시장에서나타난일부현상을설명하지못한다는약점도지니고있다. 선호시장가설은이런두이론의약점을보완한것이다. 즉선호시장가설에의하면장기채의수익률은그채권의만기동안에발생하는단기수익률의평균에동채권에대한수요와공급요인을반영한유동성프리미엄을더한것과같다. 즉이가설은투자자들은선호하지않는만기의채권에투자하는것에대해위험을느끼기때문에기본적으로자신이선호하는만기의채권에투자한다는가설이다. 그러나자신이선호하지않는만기의채권이라도적절한위험프리미엄이제시되는경우에는투자할수있다는점에서시장분할가설과는다르다. 또투자자가선호하는채권시장이단기채권시장인경우선호시장가설과유동성선호가설은동일한결론에이르게된다. 이러한면에서유동성선호가설은선호시장가설의특별한경우라고할수있다. 선호시장가설에따르면상향, 하향, 수평및언덕형수익률곡선이모두실현될수있다.

29 수익률곡선의개념및추정방법 통계적수익률곡선추정방법 3) 앞에서우리는간단한채권의유통자료로부터 yield curve를구하는 bootstrap 방법을살펴보았다. 그러나실제유통되는채권을살펴보면같은잔존만기를가지는여러가지채권이존재하고, 이러한채권들은다른가격으로거래되는것이일반적이다. 따라서 yield curve를이표채의만기수익률을이용하여표시하지못하는주된이유는동일한만기기간을가진이표채라하더라도만기수익률이시장에서의금리수준뿐만아니라특정채권의이표에따라달리계산되어지기때문이다. 그러므로이절에서는이러한복잡한데이터로부터 yield curve를추정하는방법에관해서살펴보자. 가. 추정의기본원리 금리기간구조 (term structure of interest rates) 추정의기본전제는一物一價의法則 (law of one price) 이채권시장에서성립한다는것이다즉채권에서지급하기로약속한이자 (Coupon) 와원금 등의현금흐름 (cash flow) 을갖는이표채의가격이동일한현금흐름을발생하게만든무이표채의포트폴리오의가격과동일해야한다는것이다이것이의미하는바는채권의가치가화폐의시간가치를나타내는현재가치요인에의해서만결정되고유동성이나세금과같은비현재가치요인에의해서는영향을받지않음을의미한다. 따라서일물일가의법칙하에서채권가격과현물금리는불가분의관계를이루고있다. 따라서채권가격은현물금리혹은할인함수를이용하여표현할수있으며일반적으로수익률곡선은할인함수혹은현물금리곡선함수를모델화해서구한다. 할인함수혹은현물금리함수를모델화하는접근방법은크게통계적방법과채권가격의모델을찾는이론적방법두가지로나눌수있다. 첫번째통계적방법은한시점 에서의할인함수 혹은현물금리함수 3) 한국산업은행, 한국의채권시장과수익률곡선, 2000, pp. 85~118.

30 18 가만기 ( τ) 의함수임을이용하여만기에대한일반화된함수를이용하여근사치 (approximation) 를구하는방법들이다. 대표적인예로는 3차스플라 인 (cubic spline), 지수스플라인 (exponential spline), B- 스플라인 (B-spline) 방 법등을들수있다. 두번째채권가격의모델을찾는이론적방법은수익률 곡선에영향을미치는요인 (factor) 의동적모델 (dynamics) 을바탕으로시장에 서무차익거래이익이발생하지않도록하는채권가격의모델을찾는방법이 다. 이의대표적인예로 Cox, Ingersoll, Ross(1985) 의모델을들수있다. 이론적접근법과통계적접근법은할인함수혹은현물금리함수를모델화 한다는점에있어서는동일한목적을가지지만다음과같은점에서차이를 가진다. 첫째통계적접근법은단지금리기간구조에대해서일반화된함수 를이용하여수익률곡선을추정하기때문에실제가격의대부분을설명해줄 수있는편리성을가졌다. 그러나이론적접근법은채권가격에영향을미치 는주요요인의동적모델에대해특정한가정을전제로무차익 (no-arbitrage) 모델을유도한다는점에서는우수하나동적모델의현실성에문제점이있다. 둘째, 통계적접근법은이론적접근법에비해서실제가격과좀더잘부합되 지만변화에대해서일관성있는설명을할수없는단점을가진반면에, 이 론적접근법은비록실제가격에대한정합성에서통계적접근법에비해떨어 지지만변화에대해서일관성있는설명을할수있다는장점이있다. 일반적으로이론적접근법과통계적접근법은상호보완적이며외국의채권 시장에대한연구에서는통계적접근법을이용하여매일의수익률곡선을구 한후, 이를바탕으로소수의모수 (parameter) 를가지는이론적모델에대한 타당성을연구하는것이일반적인과정이다. 나. Nelson & Siegel 추정방법 Nelson & Siegel(1987) 은비스플라인 (Non-splines) 방법으로할인함수혹은수익률곡선을단순한 (parsimonious) 함수형태로추정하는방법을제안하였다. 순간선도금리가두개의같은해를갖는 2차차분방정식의해로가정함으로써 Nelson & Siegel은다음과같은선도금리함수를설정하였다.

31 수익률곡선의개념및추정방법 19 ( 수식 2) ( 수식 2) 에서추정해야할모수는 이며 τ 는선도계약 의결제일이다. 여기에서사용한채권데이터는단기의무이표채권에대한 데이터만을사용하였으며이데이터를이용하여할인함수의모수인 를채권가격오차에대한최소자승법을이용하여구한다. 이방법은 spline 방법을사용하지않았기때문에전체적인 yield curve 의모양 이 spline 방법을사용한것보다는굴곡이심하지않다는장점은있으나단기 의채권유통데이터로부터장기의 yield curve 를구해야한다는단점이있다. 이방법의특징은선도금리의함수를수준 (Level), 기울기 (slope), 그리고곡 도 (curvature) 의 3 가지요소로가정하고있는점이다. 일반적으로수익률곡선 의변화는수준, 기울기, 그리고곡도의 3 가지요인 (factor) 에의해대부분설 명되어지는것으로알려져있는바, Nelson & Siegel 방법이단순한함수형 태로도다양한수익률곡선을만들수있는이유는바로이 3 가지요인을모 델에포함하고있기때문이다. 즉우변의첫번째상수항 β 0 는선도금리의장기적수준을나타낸다. 즉결제일이무한히커짐에따라서순간선도금리 가 β 0 의값으로점근적으로 수렴한다. 이는선도금리곡선이 τ 가증가할수록점근적 (asymptotically) 으로 평탄한 (flat) 형태를가짐을의미한다. 둘째항 은선도금리의기울기 (slope) 를나타내는것으로 τ 가증가함에따라단조감소 ( 이음수일경우 에는단조증가 ) 하게된다. 셋째항 은곡도 (curvature) 를나타내는 것으로언덕형모양이나 U 자형 ( 가음수일경우 ) 의선도금리곡선을갖게한 다. Nelson & Siegel 모델에서 τ 가 0 으로수렴하는경우, f(0) 는순간현물금 리를의미하며 f(0) 의값은 으로수렴한다. 따라서 Nelson & Siegel 모 델에서 는선도금리의장기적수준 (level) 을, 은초단기금리를의 미하고, 와 은 0 보다큰값이어야한다. 그리고 이반드시양수

32 20 의값을가져야하는데이는장기선도금리가무한정으로증가하는것을방 지하기위해필요한제약이다. Nelson & Siegel 방법에서현물금리와할인함수는 ( 수식 3), ( 수식 4) 과같 이표현된다. ( 수식 3) ( 수식 4) 장기선도금리수준은 β 0 에해당되며, 기울기는수준과초단기금리의차이 인 즉, 이된다. 그리고곡도는 에해당된다. 현물금리 함수즉수익률곡선함수 를수준 (level:l), 기울기 (slope:s) 그리고곡 도 (curvature:c) 로다시나타내면다음과같다. ( 수식 5) 다. 3 차다항스플라인방법 완만한 (smooth) 함수의근사치 (approximation) 를구하는데일반적으로스플라인함수가가장널리사용된다. 스플라인함수를많이사용하는이유는원하는수준의작은오차안에서일정한구간 (compact set) 에서연속함수의근사치를구할수있는함수군이존재한다는 Weierstrass' Approximation Theorem 4) 이있기때문이다. 이스플라인함수는 McCulloch(1975) 이래가장널리사용되고있는추정방법이다. 다항스플라인방법의원리를이해하기위하여다음의그림과같은형태의미지의함수에대한근사치를스플라인함수를이용하여구하는경우를고려해보자. < 그림 Ⅲ-2> 에서 X축은 을기점으로두개의구간으로나눌때, 은흔히마디점 (knot points) 이라한다. 마디점을이용하여구간별근사함수를 4) Robert G. Bartle, Introduction to Real Analysis, Hoboken : Wiley, 1999, pp.171.

33 수익률곡선의개념및추정방법 21 회귀모델의형태로나타내면다음과같다. < 그림 Ⅲ - 2> 다항스플라인방법 ( 수식 6) 여기에서 과 는일종의의사변수 (dummy variables) 를나타낸다. 마디점을이용한구간별근사함수를위와같이표현하는경우식에제약을하지않으면근사함수가마디점에서불연속적이며연속적이더라도부드러운연결이되지않아서 1차및 2차도함수역시불연속적이다. 따라서함수의연속성과 1차및 2차도함수들의연속성을보장해주기위해서는다음의세조건이필요하다. 1) 2) ( 수식 7) 3) ( 수식 7) 의 1) 에서 에서의연속성을보장하고 ( 수식 7) 의 2) 와 3) 에서 1차

34 22 및 2차도함수들의연속성을보장함으로서 ( 수식 7) 은근사함수를완만하게만드는역할을하고있다. ( 수식 6) 가 8개의계수를가지는회귀모델이지만 ( 수식 7) 에의해서계수,, 는나머지계수에의해서표현할수있다. 그러므로함수의연속성과 1차및 2차도함수의연속성을보장케하는 3개의제약조건을이용해 3 차다항스플라인모델은 5개의계수를갖는회귀모델이되므로 3차다항스플라인모델은제약조건을부과한 3차다항회귀식으로해석할수있다. 전술한논의를 개의마디점을갖는보다일반화된 3차다항스플라인함수의경우로나타내면다음과같이표현된다. ( 수식 8) 일반적으로 3 차다항스플라인함수를적용하는경우에는마디점의수와 마디점의위치선정문제를고려하여야한다. 마디점의수가많아질수록근 사함수가원래의함수를더잘근사한다는장점이있으나이경우근사함수 가 over-fitting 되어추정함수의형태가너무주름지는 (wiggly) 단점이있다. 마디점의위치는일반적으로는간격이같게되도록하는경우가있으나, 경 우에따라서는구간에놓여지는자료의수에따라간격을다르게할수도있 다. Cross-Validation 과같은통계적기준에따라마디점의수와위치를정할 수도있으나통상적으로는마디점의수와위치결정이자의적으로이루어지 는것이보통이다. 라. 지수스플라인방법 Vasicek과 Fong(1982) 은할인함수가기본적으로만기가증가함에따라지수적으로감소 (exponential decay) 하는양상을보인다는점에착안하여할인함수를지수스플라인 (exponential spline) 함수로근사할것을제안하였다. 지수스플라인은만기를변환하여변환된만기변수를이용하여할인함수를추

35 수익률곡선의개념및추정방법 23 정하는방법으로주어진채권의유통데이터를만족하는할인함수의모수를채권가격오차에대한최소자승법을이용하여구한다. 만기를변환한변환변수 는다음과같이표현된다. ( 수식 9) 만기까지의시간 에대하여다시쓰면다음과같다. ( 수식 10) 따라서할인함수 를 에관한함수 로다음과같이표현된다. ( 수식 11) 인경우즉 이면 이된다. 그리고 즉 인경우 이된다. 이는지수스플라인방법이현재의 1원의가치는 1이되고만기가무한히긴미래의돈의현재가치는 0이라는조건을자연스럽게충족함을의미한다. Vasicek과 Fong(1982) 의방법의이해를돕기위해할인함수 를 3차다항함수로근사하는경우각기의마디점구간사이에서의할인함수 의형태는다음과같이간단히표현할수있다. ( 수식 12) ( 수식 12) 와같이할인함수가지수스플라인으로정의되는경우 3차다항스플라인의경우에서와같이함수가마디점에서연속성을가져야하며함수가완만하기위해서는 1차및 2차미분값이마디점에서같아야한다는조건을부과할수있다. Wiseman(1994) 에의하면 J.P.Morgan에서는 ( 수식 12) 와유사한형태의함수를수익률곡선의추정에이용하고있다. 구체적으로 Wiseman은선도금리곡선을 ( 수식 12) 와같은지수함수를이용하여추정하였는데, 만기가길어짐에따라선도금리가유한한값에수렴한다는점에서는두가지방법이동일하나 Vasicek과 Fong은할인함수에, Wiseman은선도금리함수에지수함수를적용하고있다.

36 24 마. Maximum Smoothness 방법 Adam & van Deventer(1994) 는기존의스플라인방법이할인함수에적용 됨에따라선도금리가불안정하게얻어지는문제점을해결하기위하여최대 완만 (maximum smoothness) 선도금리방법을제시하였다. 즉 의관계식으로부터양변을 1 차및 2 차미분하면다음의 관계를알수있다. ( 수식 13) ( 수식 14) ( 수식 14) 에서알수있듯이선도금리곡선의 2차미분값이마디점에서같기위해서는할인함수의 3차미분값이마디점에서같다는조건이성립하여야한다. 하지만 3차다항스플라인방법을할인함수의추정에적용하는경우통상적으로 2차미분값의연속성만을보장하기때문에선도금리곡선은 2차미분가능한함수가되지못하며이에따라선도금리곡선은불안정하게추정된다. Adam & van Deventer(1994) 는수익률곡선의추정을위하여 4차다항스플라인을선도금리곡선의추정에적용하였는바, 이는선도금리곡선이 2차미분가능할뿐아니라, 연속적 (continuous) 이고 2차미분가능한함수중가장완만한 (smooth) 함수를얻기위해서이다. 즉 Adam & van Deventer는다음의정리가성립함을증명하였다. Adam & van Deventer 의정리 : 이주어져있을때, ( 수식 19) 의 4 차다항스플라인함수는 ( 수식 15) 의최대 완만성 (maximum smoothness) 기준을충족시키는선도금리곡선이다. ( 수식 15) ( 수식 16)

37 수익률곡선의개념및추정방법 25 여기서 ( 수식 19) 의 의계수들인,,,, 는다음의조건식들을 만족하여야한다. 와 은만기가각각 와 인무이표채의가격이다. 첫번째조건식은함수의마디점에서의연속성을보장하기위한조건이고나머지조건식들은함수의 1차, 2차, 3차미분값이마디점에서연속성을충족하기위한조건이다. 마지막의조건식은 의조건식으로부터실제관측하게되는무이표채의가격 와 을이용하여얻을수있는다음의조건으로부터얻어진다. 바. B- 스플라인방법 3차다항스플라인을이용하여수익률곡선을추정하는경우다항식의항들에사이에상관관계가높아다중공선성 (multi-colinearity) 의문제가발생하고추정치가수치적으로불안정할수있기때문에이문제점을해결하기위한방안으로 B-스플라인방법이고안되었다. 기존의다항스플라인방법은단항식들의일종의선형결합 (linear combinations) 으로간주할수있는데이단항

38 26 식들을베이시스 (basis) 로삼아근사함수를얻는방법이 B- 스플라인방법이다. 사. 추정시고려사항 수익률곡선을추정하기위한여러방법들이소개되었는데실제수익률곡선의추정시고려하여야할사항들을요약하면다음과같다. 1) 근사함수 : 수익률곡선의추정을위해서는위에서언급된여러가지방법을이용해서할인함수혹은선도금리함수혹은로그-할인함수를추정할수있다. 일반적으로어떤함수를근사할것인가는수익률곡선을추정하는이유에따라달라질수있으며, 어느경우에좀더합리적인경계조건을부과할수있는지를고려하여야한다. 특히할인함수를 3차다항스플라인을이용하여근사하는경우음의선도금리문제가발생하여무의미한수익률곡선을얻는경우가있다. 2) 마디점의수와위치 : 3차다항스플라인을적용하는경우마디점의수와마디점의위치선정이중요한과제로남는데마디점의수는추정하여야할모수의갯수를결정한다는점에서추정시중요한과제이다. 만약마디점의수가많으면자료를좀더정확히근사할수있으나수익률곡선이합리적으로기대할수있는경우에비해너무주름지는 (wiggly) 경향이있다. 그리고자료와너무일치시키는경우선도금리가부의값을가지게되거나혹은선도금리곡선이너무불안정해지는문제점이있다. 마디점의위치는통상적으로등간격을사용하나주어진자료의만기에따라마디점의위치를바꾸기도한다. 일반적으로마디점의위치가변곡점이되는경우가가장좋은것으로되어있으나사전에이를알수없기때문에이는시행오차 (trial and error) 에의해결정할수도있다. 마디점의수나위치선정의자의성을줄이기위해 cross-validation과같은통계적기준을적용할수도있다.

39 금리시나리오및생성모델의종류 27 Ⅳ. 금리시나리오및생성모델의종류 금리는금리관련금융상품이나미래현금흐름의현가계산을위해서필수적이다. 그러나금리기간구조의형태는시간이지남에따라상향에서하향또는수평등으로여러가지형태로계속변하는것이일반적이다. 그러므로현재의금리기간구조가알려져있다고하더라도그형태로서계속유지되는것이아니기때문에현재의금리기간구조로평가한금융상품의가치가계속맞는것이아니다. 따라서향후금리의변화를추정하는금리모델또는금리시나리오가필요하다. 1. 금리시나리오의종류 금리시나리오는결정론적시나리오 ( 혹은비확률론적시나리오 ) 와확률론적시나리오 (Stochastic Scenario) 로구분되어진다. 결정론적시나리오는시간에따른금리의변화를미리정해놓는것으로서과거의경험에기초하여여러가지상황을가정한다. 확률론적시나리오는금리는위너과정 (Wiener Process) 을한다는가정하에서시작한다 가. 결정론적시나리오 금리시나리오의결정론적시나리오는분석가또는관련업무종사자의요구에맞게여러가지상황을설정하는것이다. 단설정시낙관적인상황과비관적인상황그리고중간에해당하는평균적인상황등을고려한다. 더나아가서과거의경험에비추어서금리가올라가다가내려가던가혹은내려가다가올라간다는여러가지상황을설정할수있다. 특히과거의경험에기초해서변동성을고려한다. 그리고급격한금리의변동등을포함으로서 Stress Test를시행하기도한다. 그러나이방법은시나리오를결정하는사람의주관성이너무많이결과에반영됨으로써신뢰도에한계를가진다. 그리고각각의시나리오를결정해야하는번거로움도단점으로지적된다. 그러나금리변화에따른민감도분석 (Sensitivity Analysis), 극단상황분석

40 28 (Stress Test) 등에효과적으로사용될수있기때문에현재미국뉴욕주규정제 126조 (New York regulation 126) 의 7개의금리시나리오 ( 일명 NY 7 시나리오 ) 가대표적으로예로서사용되고있다. 현재업계에서사용되고있는많은계리소프트웨어 ( 예 : ALFA, MOSES 등 ) 에는 NY 7 시나리오가내장되어있다. NY 7 시나리오는 1) 변화없음, 2) 향후 10년동안매년 0.5%p 증가, 3) 향후 10년동안매년 0.5%p 감소, 4) 향후 5년동안매년 1.0%p 증가한후 5년동안매년 1.0%p 감소, 5) 향후 5년동안매년 1.0%p 감소한후 5년동안매년 1.0% p 증가 6) 초년도 3.0%p 증가후일정하게유지 7) 초년도 3.0%p 감소후일정하게유지로구성되어있다. < 그림 Ⅳ - 1> 뉴욕 7 금리시나리오 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S 나. 확률론적시나리오 (Stochastic Scenario) 최근컴퓨터의발달로많이사용되어지고있는방법론으로서결정론적시나리오에비해복잡하지만다양한금리시나리오가생성가능하다는장점을가지고있다. 확률론적시나리오생성과정에서나오는모수들은과거경험자료를바탕으로산출되어진다. 모수들이일단결정되어지고나면위너과정

41 금리시나리오및생성모델의종류 29 (Wiener Process) 을통해서다양한금리시나리오가생성되어진다. 그러나변동성과추세에의해서만들어지는금리시나리오는비현실적인금리가생성될수있다. 일부확률론적시나리오생성모델은음의금리를생성하기도한다. 비록최근일본에서마이너스금리가일시적으로발생하였지만심각한고려대상이아닌상황에서는음의금리시나리오는원래시나리오를분석하는목적에어긋날수도있다. 따라서이러한여러가지상황을고려해서여러가지형태를가진확률론적시나리오생성모델들이연구되어왔다. 마이너스금리생성의문제점을해결하는모델에서부터비정상적인금리생성을제거하는평균회귀특징을가지는모델까지연구되어지고있다. 대표적인확률론적시나리오생성모델로서는 Ho-Lee 모델, Vasicek 모델, CIR 모델등이있다. 2. 시나리오선택 결정론적시나리오는일관성있는분석이가능하다는장점이있다. 시나리오가한번결정되면그시나리오에따라분석하기때문에매번분석시과거의분석과비교가용이하다는장점이있다. 단지위에서언급되었듯이결정론적시나리오는다양한시나리오를분석할수없다는단점이있다. 이에반해확률론적시나리오는다양한시나리오를분석할수있지만결정론적시나리오에비해많은시간이소요된다는것이다. 그리고확률론적시나리오생성을위해서다소복잡한작업과이를위한소프트웨어의지원이필요하다는문제점이있지만최근들어컴퓨터등장비의발전에의해서많은개선이이루어지고있다. 채권의가치평가또는미래의현금흐름등을분석할시분석의목적에맞추어서결정론적시나리오나확률론적시나리오를선택하여야할것이다. 결정론적시나리오를통해서도 Stress Test 등을수행할수있기때문에확률론적시나리오가절대적으로우수한것은아니다. 3. 금리모델의종류 금리모델은금리의미래의변화를표현한것이다. 그러나최근의금리는과

42 30 거보다더불확실성을가지고움직이고있다. 그러므로금리모델은이불확실성에대한예측이주요관건이될것이다. 금융시장에서요구하는금리모델은이불확실성의예측에있어서두가지측면을요구한다. 첫째는무차익거래이다. 무차익거래란다른두가지방법으로하나의금융상품의가격을평가했을때같은가격을가져야한다는것으로일반적으로차익거래가발생하게되면필요자본없이이익을얻을수있기때문에실제금융시장에서는차익거래가발생하면곧바로많은시장참여자들에의해서사라지게된다. 그러므로금리모델에서도이러한성질이반영되어져야할것이다. 둘째는실제금융시장에서거래되고있는실제값과일치하여야하는것이다. 실제값과괴리가발생한다면실제시장에서사용하는데한계가발생하기때문이다. 따라서금리모델이무차익거래와실제값과의일치조건을만족시키지못한다면일반적인문제해결에있어서신뢰성이떨어지게되고아주제한된범위내에서만이사용되게될것이다. 그러나두가지조건을동시에만족시키는것은한계가있기때문에일반적으로금리모델은크게무차익모델 (No Arbitrage Model) 과시장균형모델 (Equilibrium Model) 로구분되어진다. 가. 시장균형모델 (Equilibrium Model) 시장균형모델 (Equilibrium Model) 은경제적변수에대한가정을가지고시작한다. 즉금리의함수로서 ( 혹은상태변수 (state variable)) 시장의기초적인움직임을묘사하는것이다. 따라서시장에서주어지는실제정보와는무관하게독립적으로 Yield Curve를생성하게된다. 따라서모델을통해추정된현재의 Yield Curve는실제 Curve와다를수있으며현재시장에서형성되고있는채권의가격과상당히다른채권의가격이나올수도있다. 그러므로실제시장참여자들에게있어서이모델을사용하는데제약을가지게된다. 그러나시장균형모델은시장에서거래되는채권들의적정가격을제시한다는장점을가지고있다. 실제거래되고있는가격과무관하게적정가격을제시함으로써과대혹은과소계산되었는지를평가를할수있는것이다. 그리고일반적으로과거금리기간구조의변화를잘설명하는것으로알려져있다. 더나아가서현재시장의정보가부족하거나신뢰도가떨어질경우과거

43 금리시나리오및생성모델의종류 31 의경험으로부터산출되어지는시장균형모델이선호될수있다. 이모델의대표적인것들로 CIR 모델, Vasicek 모델을들수있다. 나. 무차익모델 (No Arbitrage Model) 무차익모델 (No Arbitrage Model) 은현재의 Yield Curve와정확히일치하게하는기법이다. 즉모델을통해서산출된채권가격과실제채권시장에서거래되는채권의가격이일치하도록설계된모델이다. 그러나시장균형모델 (Equilibrium Model) 과는반대로채권의적정가격을결정하는데큰도움을주지못한다는단점이있다. 시장균형모델 (Equilibrium Model) 과무차익모델 (No Arbitrage model) 의가장큰차이점은시장균형모델에서는오늘의 Yield Curve를결과물로서생성되지만무차익모델 (No Arbitrage Model) 에서는입력자료로사용되어진다는것이다. 시장균형모델 (Equilibrium Model) 에서는순간금리 (short rate) 의추세부분은시간에관한함수가아니지만무차익모델 (No Arbitrage Model) 에서는시간에관한함수로서표현된다. 이모델의대표적인것으로 Ho-Lee 모델, Hull-White 모델등이알려져있다. 다. 모델의비교 일반적으로무차익모델 (No Arbitrage Model) 과시장균형모델 (Equilibrium Model) 을논하는데있어서함께언급되어지는부분은위험중립 (Risk Neutral) 이다. 그러나실제시장은항상위험중립인것은아니다. 그러므로위험중립가정이들어갈때와들어가지않을경우를비교해서살펴볼필요가있다. 위에서도언급되었듯이모델간의절대적인우위의비교가없는상황에서모델의선택은모델의사용목적에달려있다. 그리고사용목적이위험중립을필요할수도있고아닐수도있는것이다. 그러므로이절에서는위험중립의가정과함께무차익모델 (No Arbitrage Model) 과시장균형모델 (Equilibrium Model) 을비교해서살펴보고자한다. 5)

44 32 1) 위험중립 (risk neutral) 가정우리가채권에아주짧은시간동안만투자를한다면거의위험부담이없을것이다. 즉순간에적용되는무한히짧은시간에투자한다면위험부담이없이순간금리를얻을수있다. 그러나실질적으로그러한짧은시간은존재하지않으므로모든투자에는시간에따른 market risk가생기게된다. 즉투자시간동안채권또는금융상품의가격이오르거나내려갈가능성이있는것이다. 그러므로투자자들은무위험 (risk free) 이자와함께 market risk에대한 term premium을요구하게되는것이다. 즉특정기간동안에현물금리는무위험금리 (risk free rate) 에금리변동에대한투자자에대해서투자자가위험을감수한것에대한보상으로 term premium을더한것으로구성되어진다. 시점 에순간금리 (short rate) 가주어졌을때만기 에 1원을지불하는할인채권의가격을 로표기하자. 그리고 를현재시점 에서기간이 인현물금리라고하자. 그리고 를기간 동안투자자가요구하는 term premium이라고하자. 그러면우리는할인채권의가격 를다음과같이표현할수있다. ( 수식 17) 이식의마지막항에서기대값계산부분은기간 동안순간금리 (short rate) 로연속적으로계속투자를한것을나타낸다. 여기서적분기호를사용한것은순간금리가연속적으로계속변화하기때문이다. 그리고마지막항의나머지부분은투자자가요구하는 term premium을나타낸다. 여기서우리가알수있는사실은할인채의가격을계산하기위해서는순간금리와함께모든기간에대한 term premium을알아야한다. 그러나위험중립 (risk neutral) 가정하에서는다르게계산되어진다. 위험중립에서는 term 5) Frank J. Fabozzi, Interest rate, term structure, and valuation modeling, Hoboken : WIley 2002, pp.27~38.

45 금리시나리오및생성모델의종류 33 premium이사라지게되므로채권이나기타금융상품을평가할시에는단지순간금리만이필요하게된다. 그리고미래현금흐름의현가를계산하기위해서매기간에대한현물금리 (spot rate) 에서 term premium을구별해낼필요는없다. 대신위험조정금리모델 (risk adjusted interest model) 을사용한다. 위험조정금리모델이란순간금리 (short rate) 의확률분포를변경함으로써만들어진다. 6) 이렇게만들어진순간금리는더이상기존의금리가아니고위험조정순간금리 (risk adjusted short rate) 이다. 2) 위험중립 (risk neutral) 과무차익 (No Arbitrage) 가정위험중립 (risk neutral) 이면서무차익 (No Arbitrage) 가정은금리모델링에서사람들에게가장선호되는가정이다. 이가정에서만들어진모델은과거경험데이터를사용하기보다는현재시장의정보를이용해서모수들을추정하므로현재시장의값에정확히일치한다. 그리고금융상품또는채권의가격을평가하기위해서리스크를조정한다. 3) 위험중립 (risk neutral) 과시장균형 (Equilibrium) 가정무차익모델 (No Arbitrage) 에서는시장의정보를사용하는데이시장의정보가모두정확하다고는할수가없고또한일부정보는특별한조건에따른정보일수있지만그것이모든것에대한정보로서무차익모델 (No Arbitrage) 에서사용되어진다. 반면에시장균형모델 (Equilibrium Model) 에서는시간의경과에따른시장의전반적인형태를관찰하기때문에무차익모델에서발생할수있는특별한경우는작은오류 (Noise) 로서무시할수있다. 따라서위험중립과시장균형을가정한모델은현재시장정보가부족하거나신뢰하기힘들때많이사용되어진다. 4) 비위험중립 (realistic world) 과무차익 (No Arbitrage) 가정 6) 부록 Ⅰ.2 Girsanov's Theorem 참조.

46 34 비위험중립과무차익가정의경우금리모델은먼저현재시장의값에정확히일치시킨후위험을고려한금리를전개하는것이다. 이런종류의모델은초기현재시장의값에정확히일치하기때문에포트폴리오전략이나헷지전략에서매우중요하게사용할수있다. 그러나이모델의문제점은 term premium과모델오차를정확히분류하는것이불가능하다는것이다. 모델이실제 term structure를정확히묘사하지못한다면 term premium을결정할수가없다. 그러므로비위험중립과무차익가정을고려한모델은현실적이지못한단점을가지고있다. 5) 비위험중립 (realistic world) 과시장균형 (Equilibrium) 가정위에서언급한바와같이비위험중립과무차익가정의모델이현실적이지못하기때문에 Stress Test, VaR 등을계산하기위해서비위험중립과시장균형가정의모델을사용하여야한다. 그러나시장균형모델에서언급된바와같이여기에서산출되어지는초기 curve는시장의실제값과일치하지않기때문에비현실적일수있다. 그러나시장균형모델의사용이시나리오전개에있어서초기값으로현실과다른값을사용하여야할필요는없다. 오히려실제시장값을초기값으로사용하고향후전개되는값을모델을통해서예측할수있다. 시장균형모델은 term structure의통계적인모델이기때문에이렇게하는것이일관성측면에서문제가되지않는다. 오히려정확히시장값과예측값이어느정도의오차를보이는지명확히관찰할수가있다. 6) 모델비교앞절에서무차익거래와시장균형모델의위험중립의측면에서비교해보았다. 이를 Black-Karansinski 모델을통해서 < 표 Ⅳ-2> 와같이요약정리하였다. < 표 Ⅳ-2> 에서보는바와같이비위험중립모델의가장큰차이점은 term premium 의존재여부이고무차익거래와시장균형모델의가장큰차이점은시간에관한함수로서모수가표현되는것이다.

47 금리시나리오및생성모델의종류 35 < 표 Ⅳ-1> 모델의사용용도 무차익거래 (No Arbitrage) 시장균형 (Equilibrium) 위험중립 (Risk Neutral) 비위험중립 (Real World) 시장정보가충분또는신뢰 term premium의정확한산출할수있는경우불가능으로비현실적 시장정보가불충분하거나 Stress Test, VaR 산출용신뢰할수없는경우 < 표 Ⅳ-2> Black-Karasinski 모델의예 위험중립 (Risk Neutral) 비위험중립 (Real World) 무차익거래 (NoArbitrage) 시장균형 (Equilibrium) 는순간금리 (short rate) 의순간변동성을나타내고 는평균회귀율을나타낸다. 는장기적인평균회귀수준을나타내고그리고 는 term premium을나타낸다. Peter Fitton과 James F. McNatt의논문에서언급된것처럼무차익모델은한장의동물사진을가지고사진과똑같이생긴동물로봇을만드는것이고시장균형모델은동물의행동을관찰하고동물로봇을만드는것과같다. 따라서동물처럼보이는것은전자일것이고동물처럼행동하는것은후자일것이다. 동물처럼생기기만한로봇을원하는사람은전자의로봇을선호할것이고동물처럼행동하기를원하는사람은후자의로봇을선호할것이다. 금리모델도마찬가지로원하는목적에따라서무차익모델또는시장균형모델을선택하면될것이다.

48 36 Ⅴ. 금리시나리오모델 1. 기초개념 가. 금리기간구조 시장에서거래되는무이표채권의수익률을계산해보면만기별로채권은다른수익률을가지는데이렇게지급불능위험및세금등채권의수익률에영향을미치는여러가지요인중에서모든것은다똑같고잔존만기만다른경우만기까지의기간과채권의수익률과의관계를나타낸것이채권수익률의금리기간구조 (Term Structure) 라고한다. 그리고채권수익률의기간구조를그래프로나타낸것을수익률곡선 (Yield Curve) 이라고부른다. 금리의예측은주가처럼한개의값을예측하는것이아니라만기별로금리예측을해야하는어려움이있다. 즉수익률곡선전체가어떻게시간에따라변하게될것인가를예측해야한다. 이것은수익률곡선의형태를예측하여야한다는것이다. 수익률곡선은각시점별로수익률과일대일대응 (One to One Correspondence) 한다. 현재시점의수익률곡선과 1년후시점의수익률곡선은다르기마련이다. 수익률곡선의형태는현재의경제상황이나미래의경제상황예측에따라다양하게나타난다. 동일한수익률곡선상의위치가시점에따라변화하게되고특정미래시점의금리수준에대한현재시점의예측치와 1년후의예측치가동일할수는없고그래서수익률곡선의형태도각시점별로변화하게된다. < 그림 Ⅴ-1> 에서보는바와같이우리나라국고채수익률곡선에서도한달동안에큰변화가있음을관찰할수있다. 금리기간구조는채권시장에서각만기별로기준금리의성격을가질뿐만아니라, 기업의실물투자결정이나정부의통화신용정책과관련하여서도중요한의미를지닌다. 기업이실물투자결정을하기위해서는투자안의현금흐름을미래의각시점별로추정하여현재가치로전환시키는과정이필요한데, 이때기간구조는미래의각시점별현금흐름에적용되어야할할인율의기준금리를제공한다.

49 금리시나리오모델 37 < 그림 Ⅴ-1> 국고채 Yield Curve 자료 : 한국채권평가원 ( 나. 금리변동요인분석금리 위에서언급하였듯이금리의수익률곡선은랜덤하게움직인다. 각각만기에서의금리들은랜덤하게움직이는확률변수로서파악할수있는데, 서로다른만기의금리들은서로완전한상관관계를가지고움직이는것은아니다. 모든만기에대한금리의상관관계를분석할수는없다. 따라서보통대표적인만기의금리에대해서상관관계를분석하게되는데이경우에사용되어지는것이주성분분석 (Principal Component Analysis) 이다. 이분석을통하여금리곡선전체의움직임을지배하는요소를찾아볼수있을것이다. Nun과 Webber는 1988년부터 1995년까지의영국의자료를가지고분석을하였다. 만기는 3개월, 6개월, 1년, 2, 3, 4, 5, 7, 그리고 10년의 swap rate를사용하였다. 그결과 3개월, 6개월, 그리고 1년이전체변동성의약 90% 를설명하였다. 1994년부터 2000년까지의미국국채만기 6개월, 1년, 2, 3, 5, 7, 그리고 10년자료를가지고똑같은분석을하였을경우처음 3가지요소즉 6 개월, 1년, 2년이변동성의 97% 이상을설명하였다. 따라서전체수익률곡선 (Yield Curve) 의움직임을설명하기위해서정보의손실이거의없이변수의갯수를줄일수가있다. 불확실성을나타내는변수의수를한개로해서만든금리모델을 one-factor 모델이라한다. 이방법에서는모든만기의금리가완전한상관관

50 38 계를가진다는가정이다. 그러나실제로는모든만기의금리가완전한상관 관계를가지지않기때문에필요에따라서는 two-factor 또는 multi-factor 모 델을고려한다. 다. 금리시나리오의변동성및원칙 금리의변동은불규칙하게변하는것으로간주하여랜덤변수를이용하여산출하지만그러나일반적으로시장에서관찰되는몇가지특징이있다. 첫째, 금리는평균회귀의성질을가진다는것이다. 현재시장의금리가장기금리또는일반시장에서생각하는평균적인금리보다큰차이를보일경우금리는평균값으로회귀하는성질을가진다는것이다. 둘째, 서로다른만기의금리는양의상관관계를가진다는것이다. 그렇지만완전한상관관계를가지는것은아니다. 금리시나리오모델링에서 one-factor 모델을사용할경우는모든만기는완전한상관관계를가진다는가정을전제하고있다. 셋째, 금리는음수가될수없다. 최근일본에서일시적으로음의금리가형성되었지만일반적으로금리는음수가될수가없다. 그러나금리시나리오의사용목적에따라서음의금리가의미를가진다고판단될경우에는음의금리를생성하는모델을사용할수있을것이다. 대표적인모델로서는 Ho-Lee 모델이음의금리를생성시킨다. 넷째, 금리의변동성은금리의수준에비례한다. 높은수준의금리일경우그만큼금리의변동성은커질것이다. 과거외환위기당시급격한금리의변동을통해서실증되었다. 금리의변동에대한이러한 4가지특징을바탕으로금리시나리오모델을생성할경우다음과같은 4가지원칙을지켜야만한다. 첫째, 실제상황에서발생가능한모든상황을포함하여야한다 (Flexibility). 모델을통해서생성되는시나리오가특정형태의시나리오만을생성한다면시나리오를통해서다양한상황을분석하려는의도에어긋나게되는것이다. 둘째, 적절한시간내에산출이가능하도록간단해야한다.(Simplicity) 최근의컴퓨터의발전으로시간적으로많이개선되었지만그러나여전히수백, 수천가지의시나리오를생성할경우상당한시간이걸리는것이현실이다. 따라서모델의복잡성으로인해서산출하는데너무많은시간이걸린다면사용하는데한계가있을수밖

51 금리시나리오모델 39 에없을것이다. 셋째, 시나리오산출에필요한입력정보가명확하여야한다.(Specification) 입력정보가명확하게정의되지못한다면매번시나리오산출을위해서데이터를입력할경우에심한편차를보일것이고따라서결과에신뢰성을가질수없을것이다. 넷째, 결과값은현실적이어야한다.(Reality) 시나리오생성모델을통해서산출되어진시나리오들이현실적으로불가능한모습으로, 예를들어지나치게높은금리를생성한다면사용하는데한계를가질수밖에없을것이다. 라. 확률미분방정식 금리시나리오는확률미분방정식 (SDEs, Stochastic differential Equations) 을 이용하여모델링되어진다. 따라서금리시나리오의모델을다루는데있어서 중요한개념인순간금리 (short rate), 선도금리 (forward rate), 그리 고채권가격 을확률미분방정식의측면에서살펴보자. 여기에서는모든확률변수는확률공간 ( Ω, F, P ) 에서정의되어지고 를이확률공간에의브라운 (Brown) 운동이라고하자. 그러면순간금리, 선도금리그리고채권가격은다음과같은확률미분방정식으 로표현될수있다. 순간금리 : ( 수식 18) 선도금리 : ( 수식 19) 채권가격 : ( 수식 20) 마. 마팅게일측도 앞에서다룬확률미분방정식은확률측도 P에서정의되어졌다. 이확률측도 P에는어떤조건도부가되지않았다. 그러나자산이나파생상품의가격을계산하기위해서시장에차익거래가없다는가정을하게된다. 채권시장이무차익거래시장이라는가정을했을때모든만기의채권가격을마팅게일로만들어주는확률측도 Q가존재하는데이를위험중립확률측도 (risk neutral masure) 또는마팅게일측도 (martingale measure) 라고부른다. 금리

52 40 기간구조에서차익거래가없게될필요충분조건은마팅게일확률측도 Q가존재하는것이다. 확률측도 P에서채권가격의확률미분방정식은 ( 수식 20) 에서표현되었다. 이를마팅게일확률측도 Q에대해서표현하면다음과같이표현된다. ( 수식 21) 여기서 는 Q- 브라운운동이다. 또한순간금리 (short rate) 도확률측도 Q 에대해서표현하면다음과같이표현된다. ( 수식 22) 역시마찬가지로 는 Q-브라운운동이다. Girsanov 정리에의해서주어진확률측도 P의브라운운동의 로부터 의계수 ( 추세부분, drift) 를조정하여새로운확률측도 Q에대한브라운운동 를만들어낼수있다. 또한새로운확률측도 Q에대해서만기 를갖는채권의가격 는다음과같은미분방정식을만족한다. ( 수식 23) 여기서 는순간금리 (short rate) 의확률미분방정식 ( 수식 18) 로부터나온다. 바. 위험가격 (Market Price of Risk) 만기 T를갖는무이표채권의가격 P(t, T ) 가가격을생각하는시점 t, 채권의만기 T, 순간금리 (short rate) r(t ) 에의해서만결정된다고가정하자. 서로다른만기 T1 과 T 2 ( T 1 < T 2 ) 인두개의채권을생각해볼때두채권가격의불확실성은둘다 r(t ) 로부터나오기때문에두채권의상관관계는 1이된다. 즉 T1 과 T2 를임의로택할수있으므로, 모든만기의채권은가격을생각하는시점 t 를고정시킨다면모두완전한상관관계를가지는것이

53 금리시나리오모델 41 다. 따라서두채권으로구성되어있는무위험포트폴리오 ( 즉램덤요소가없는 ) 를만들수있다. Ito's formula 7) 에의해서채권가격 는 일때다음과같이나타낼수있다. dp =[ P t +a P r b 2 2 P r 2 ]dt +b P r dw ( 수식 24) 또는 dp = P(t, T, r)[ m( t, T, r) dt +S( t, T, r)dw ] ( 수식 25) 이다. 여기서 ( 수식 26) 이다. 시점 t 에서의포트폴리오가두개의채권으로만기 T1 인채권은 -V 1 (t), 만기 T2 인채권은 만큼가지고있는것으로가정하자. 그럼시간이 t 에서 t +dt 로변할때순간투자이익은 ( 수식 27) 이다. 단, 각각의 i =1, 2 에대해서 와 이다. 이포트폴리오가불확실성을갖지않도록하기위해서는모든 t 에관해서 램덤 (random) 요소인 ( 수식 27) 의 dw 앞에있는항 V 2 S 2 - V 1 S 1 이 0 7) 부록 Ⅰ.3 Ito's formula 참조.

54 42 이라고가정하면된다. 즉 그리고 V 1 (t) V 2 (t) = S(t,T 2, r(t)) S(t,T 1, r(t)) = S 2 S 1 ( 수식 28) ( 수식 29) 그러면이포트폴리오의순간투자이익은불확실성이사라진 V( m 2S 1 -m 1 S 2 )dt 이다. 한편, 채권시장에서무차익거래 (No-arbitrage) 가정에 S 1 -S 2 의해서이포트폴리오의수익률은무위험금리인순간금리 (short rate) r t 가 되어야한다. 즉짧은시간 dt 동안의이포트폴리오의수익률은 r t dt 가되 고다음과같은식이성립한다. m 2 S 1 -m 1 S 2 S 1 -S 2 = r t 또는 m 1 -r S 1 = m 2-r S 2. ( 수식 30) 이것은임의의두만기 T 1, T 2 에관해서항상성립한다. 따라서임의의 T 에대해, 만기 T 를갖는채권의가격 P(t, T ) 에대해확률미분방정식을다 음과같이쓴다면 ( 수식 31) 다음식은만기 T 와관계없이일정한값이어야한다. ( 수식 32) 따라서모든 T 에대해일정한값을갖는이값을우리는위험가격 (market price of risk) γ(t, r(t)) 라고하고이의존재를증명하였다.

55 금리시나리오모델 43 ( 수식 32) 에서 γ(t, r(t)) 는 m(t, T, r(t)) -r(t) 를분자로가진다. 여기서 m(t, T, r(t)) 는만기 T 채권의단위수익률이다. 그리고 r(t) 는무위험자산의수익률이다. 따라서두값의차이 m(t, T, r(t)) -r(t) 는만기 T 채권의무 위험금리에대한초과분으로이채권에대한위험프리미엄 (risk premium) 으 로생각할수있다. 이것은차익거래를제거하기위해서시장에서요구되어 지는만기 T 의위험채권에대한초과수익률을의미한다. 는 를분모로가지는데이것은만기 T 채권의변동성 (volatility) 을 의미한다. 그러므로 market price of risk 는단위변동성에대한 위험보험료 (risk premium per unit of volatility) 를의미한다. 위에서보였듯 이시장에 arbitrage 가없을때, 모든만기의채권은같은 market price of risk 를갖는다. 8) 2. Affine 모델 가. 개요 확률측도 Q에대해서순간금리 (short rate) 은일반적인형태는다음과같이표현된다. ( 수식 33) ( 수식 33) 의 μ 와 가순간금리 (short rate) r t 에대한일차식으로표현될때, 그모델은일반적으로계산하기좋은구조를가지게된다. 여기서는그런특성을가지는모델에대해서살펴보겠다. 정의 : 만기 T 인채권가격 가다음의형태로표현되면 affine 모델이라고한다. ( 수식 34) 실제로는지수가선형이므로지수선형 (exponential affine) 모델이라고부르 기도한다. 여기서 와 는 t 와 T 에관한함수이다. 채권의 8) 정확히는모든채권에동일한확률측도를적용할경우에성립함.

56 44 가격 를알고있으면, 이것으로부터현물금리 (spot rate) 는채 권가격 과의관계식 ( 수식 35) 으로부터다음과같이표현할수있다. ( 수식 36) affine 모델은오래전부터연구되어왔다. Vasicek (77년), Longstaff and Schwartz (92), 그리고 Hull and White (93) 등이대표적인모델이다. affine 모델이널리사용되는이유는다루기가쉽다는것과그리고응용력이뛰어나다는것이다. Longstaff and Schwartz 모델과같은경우채권과채권옵션의가격을정확히산출해낼수있다. 그리고금리모델이 affine 구조를갖고있으면, 채권가격에대한식이정해지므로계산하기가편리해진다. 그래서 affine 모델은 Brown 과 Schaefer (94년) 에의해처음으로하나의유형으로분류되어연구되어지기시작했고 Duffie와 Kan (94년) 에의해서일반이론이연구되어졌다. 그리고 ( 수식 36) 이 affine 모델이되기위한 μ 와 σ 에대한충분조건이알려져있다. 정리 : 마팅게일확률측도 Q 와 Q-브라운운동 W(t) 를사용해만든다음과같은순간금리 (short rate) 모델에대해 dr(t) = μ(t, r(t))dt + σ(t,r(t))dw(t) ( 수식 37) μ 와 σ 가다음과같은형태이면 ( 수식 38) 그러한모델은 affine term structure를갖는다. 즉채권의가격 는적당한 t 와 T 의함수 와 에대해, 다음과같이표현될수있다.

57 금리시나리오모델 45 P(t,T) =e -A(t,T) -B(t,T)r t ( 수식 39) 증명 : 먼저채권의가격에대한편미분방정식을생각하자. ( 수식 40) 여기에 ( 수식 42) 를대입하기위해서먼저다음과같은계산을한다. ( 수식 41) 이것을 ( 수식 40) 에대입하면, e -A(t, T)-B(t,T)r t 은 0이될수없으므로약분하고나면다음과같이정리될수있다. ( 수식 42) 이식에 μ 와 σ 에관한식을대입하면다음과같은식을얻을수있다. 이수식을 r 에관해서정리를하면, 다음을얻을수있다. 모든, T 와 r 에대해서이수식이성립해야하므로다음을만족한다.

58 46 ( 수식 43) ( 수식 40) 으로부터 ( 수식 43) 의미분방정식의초기조건값 ( 수식 46) 을구할수있다. 따라서주어진 에대해먼저 를구하고그다음에 를구할수있다. 즉채권가격 가 ( 수식 39) 를만족하는 와 가존재함을알수있고따라서 affine 모델이됨을알수있다. 시간함수인 에대해, 를구하는것은일반적으로해석적인 (Analytical) 방법으로구하는것은쉽지않다. 그러나 가상수일때는정확한값을구할수있다. 나. Affine 모델의종류 1) Gaussian affine 모델 < 표 Ⅴ-1> Gaussian affine 모델들 개발자 ( 개발년도 ) factor 수 Vasicek (77) 1 Hull and White (90) 1 Steeley (91) 2 Chen and Yang (96) 3 Beaglehole and Tenney (91) n Babbs (93) n Babbs and Nowman(99) n Nunes (98) n Gaussian affine 모델은다음과같은모델을가진다. dr =(ur +v)dt +σdz ( 수식 47)

59 금리시나리오모델 47 단, σ 는상수또는시간 t 의함수이다. Gaussian affine 모델은다루기가쉽지만음 ( ) 의금리를가지는약점을가지고있다. 그래서실제적용에있어서음 ( ) 의값이발생했을경우강제적으로 0의값을대입하는것과같은방법으로사용하기도한다. 다음은대표적인 Gaussian affine 모델들이다 2) CIR Affine 모델 CIR affine 모델은다음과같은모델을가진다 dr =(ur +v)dt +σ rdz ( 수식 48) 단, σ 는상수또는시간 t 의함수이다. CIR affine 모델은 Gaussian affine 모델보다는다루기가쉽지가않다그러나 Gaussian affine 모델과달리음 ( ) 의값을가지지않는장점을가지고있다. 3) Three Factor Affine 모델 Gaussian 모델과 CIR 모델을혼합한형태의모델들로서다음의 3 가지 factor 에관해서모델을가진다. < 표 Ⅴ-2> CIR affine 모델들 개발자 ( 개발년도 ) factor 수 CIR (85) 1 Hull and White (90) 1 Jamshidian (95) 1 Pelsser (96) 1 Maghsoodi (96) 1 Longstaff (90) 1 Feldman (93) 1 Richard (78) 2 Longstaff and Schwartz (92) 2 Chen and Scott (92) 2 Nielsen and Saa-Requejo (93) 2 순간금리 (short rate) : ( 수식 49)

60 48 추세 (drift) : ( 수식 50) 변동성 (Volatility) : ( 수식 51) < 표 Ⅴ-3> Three factor affine 모델들 개발자 ( 개발년도 ) factor φ Sorensen (94), 0 Balduzzi, Das, Foresi, Sundaram (96), 0 Fong and Vasicek (91), ~ Chen (96),, 1/ 2 Rhee (99),, 1/ 2 다. one-factor affine 모델들 금리의변동요인을하나의요소로서가정함으로써모든만기의금리는완전한상관관계를가진다고가정한다. 변동요인을한개의요소로서파악함으로써다루기가간단한장점을가지고있다. one-factor affine 모델은일반적으로다음과같은미분방정식을일반적으로만족한다. ( 수식 52) 단, γ = 0 또는 1/2 이다. 1) Ho-Lee 모델널리사용되고있는 Ho-Lee 모델은 one factor affine 모델로서 Ho 와 Lee 에의해서 1986년에제안된최초의무차익거래 (No-arbitrage) 모델이다 9). Ho 와 Lee는두개의모수즉순간금리 (short rate) 의표준편차와시장가격 (market price) 을가지고채권가격을이항모델 (binomial tree) 을통해서모델을구현하였다. 연속모델은상수변동성 (volatility) σ 와추세함수 로구성되어있고 ( 수식 52) 에서 γ = 0 이다. 9) 부록 Ⅱ.1 H o-le e 모델참조.

61 금리시나리오모델 49 ( 수식 53) 여기서변동성 (volatility) σ 는순간금리 (short rate) 의순간표준편차이고상수이다. 그리고추세함수 는초기금리기간구조와모델을일치시키는시간함수 (function of time) 이다. 추세함수 는시간에따른금리 r 의움직임의평균적인방향을제시한다. 이것은금리 r 의수준과는무관하게움직이는단점을가지고있다. Ho and Lee 모델은다루기가쉬운무차익거래 (no-arbitrage) 모델이다. 그래서금리의실제기간구조에정확히맞도록만들기가쉽다. 그러나이모델의단점은음 (-) 의금리를가질수있다는것과그리고평균회귀현상 (mean reversion) 을가지고있지않다는것이다. 그리고 ( 수식 53) 에서볼수있는것처럼어느순간의금리가높던낮던그에상관없이항상같은평균적인방향을제시한다. 그래서실제응용에있어서는임의적인조정즉예를들어 r:=max(r,0) 같은방법으로조정하기도한다. 그러나이럴경우채권및옵션가격에어느정도의영향을미칠수가있을것이다. < 그림 Ⅴ-2> Ho-Lee 모델 % % % % % % % 95.00% 90.00% 그러나항상금리가양수일필요가없고그리고실제시장에서가끔목격되

62 50 어지는음 ( ) 의금리가의미가있다고판단된다면그런경우에대비해서 Ho-Lee 모델의사용은의미를가질수있을것이다. < 그림 Ⅴ-2> 는 Ho-Lee 금리시나리오에의해서 100 개의시나리오를그린것이다. 보는바와같이 는음의값을생성하였고그래서임의적으로 0 으로처리하였다. 그리고 Ho-Lee 모델은평균회귀성질이없기때문에 < 그림 Ⅴ-2> 에서보는바와같 이시나리오들이넓게퍼지는것을볼수있다. 한편 Ho-Lee 모델은현물금리 (spot rate) 은정확하게계산할수있는장점 이있다. ( 수식 54) 2) Vasicek 모델 Vasicek 모델은 Vasicek(1977) 에의해서개발된모델로서다음과같은미분방정식을만족한다. ( 수식 55) 단,, 그리고 σ 는항상양의상수이다. 이모델도 affine term structure를갖고있으며따라서이모델하에서도채권의가격은선형의형태로서표현된다. 10) 이것은 Ornstein-Uhlenback Process라는이름으로알려져있기도하다. 이모델의특징은 1) 평균회귀성질을가지고있고그리고 는 r 의평균회귀속도를나타내고 2) 는위험중립 (risk-neutral) 장기평균금리를나타내고 3) σ 는단기금리의변동성을나타낸다. 그리고시간 t 에서의 r(t) 이주어졌을때시간 t +s 에서의 r(t +s) 는평 균 μ+(r(t)-μ)e -αs 와분산 를가지는정규분포를이룬다. s 가충분히큰값으로주어질때즉장기로갈경우 r(t) 의장기표준편차 (long-term standard deviation) 은 이다. Ho-Lee 모델처럼금리의수준 10) 부록 Ⅱ.2 Vasicek 모델의 affine 모델증명참조.

63 금리시나리오모델 51 에상관없이변동성이일정하다는단점을가지고있다. Ho-Lee 모델에서와같이 Vasicek 모델에서도현물금리 (spot rate) 을정확하 게계산할수있다. ( 수식 56) 여기서 이며 는장기금리를의미한다. 3) CIR 모델 Cox, Ingersoll, & Ross 에의해서제안된 CIR 모델에서는순간금리의확률미분방정식이다음과같이주어진다. ( 수식 57) 이확률미분방정식은 Ornstein-Uhlenback Process에서와같이 는단기금리의평균회귀속도를나타내고 는단기금리의안정상태의장기평균금리를나타낸다. 그리고 σ 는단기금리의변동성을나타낸다. Ornstein-Uhlenback Process과의차이점은금리의변동성이금리수준에상관없이일정한것이아니라금리가증가하면금리의변동성역시증가하는것을의미한다. 이를흔히금리의수준효과라고하는데제곱근모델에서는금리의분산이금리수준에따라선형관계를가지면서증가한다고가정한다. CIR 모델의큰특징중하나는평균회귀현상을가진다는것과함께음의 값을만들지않는다는것이다. ( 수식 57) 양변에 식을얻을수있다 를곱하면다음과같은 ( 수식 58) ( 수식 58) 에곱에대한미분공식을적용하면다음과같이변형된다. ( 수식 59) 그리고양변을적분하여정리하면

64 52 ( 수식 60) 이다. 따라서 에관해서정리하면다음과같다. ( 수식 61) ( 수식 61) 의우변의첫번째항은항상양의값을가진다. 그리고둘째항도 가양수이고 가시간이므로항상양수이므로둘째항도항상양의값을가진다. 그리고셋째항도적분인자들이항상양수이기때문에적분값도양수가된다. 따라서 CIR 모델은항상양의금리를생성한다. CIR 모델에서의채권가격은다음과같이나타낼수있다. 여기서 ( 수식 62) ( 수식 63) 이다. 4) Hull-White(Extended Vasicek) 모델 Hull과 White에의해서발표된 Vasicek 모델의확장형으로기존의 Vasicek 모델과달리이모델은무차익거래 (No-Abitrage) 모델이다. 따라서시장의수익률곡선에정확히맞출수있는장점이있다. Hull-White 모델의확률미분방정식은다음과같다. ( 수식 64) 여기서 와 는상수이다. Ho-Lee 모델과유사하지만 Ho-Lee 모델과달리

65 금리시나리오모델 53 평균회귀성질을가진다. 따라서만약 이면 Ho-Lee 모델이된다. Hull-White 모델에서의채권가격은다음과같이나타낼수있다. 여기서 ( 수식 65) ( 수식 66) 이다. 3. HJM 모델 앞에서는순간금리 (short rate) 를유일한설명변수로갖는금리모델들에관해서살펴보았다. 그러나실질적으로채권시장전체가하나의설명변수에의해서설명되지않고있으므로이러한불합리한상황을극복하기위해서 one-factor 모델대신 two factor 또는 multi-factor 모델을사용하기도한다. 그러나이에따른반대급부로서모델자체가복잡하게됨으로써사용하기에어려움을가져오게되었다. 그래서이에대한대안으로서 Heath, Jarrow, Morton은모든만기의 forward rate들이설명변수가되는 HJM 모델을제안하였다. 이모델은무차익거래 (No-arbitrage) 가정하에서적용된다. 따라서마팅게일모델링에대해서만고려하면된다 11). HJM 모델에의해서만들어지는순간금리 (short rate) 은 path-dependent 또는 Non-Markov이다. 12) 즉미래의짧은시간동안의금리 의확률론적행태 (stochastic behavior) 를알려면우리는단지지금의 값뿐만이아니라이값에도달하게된경로도알아야만한다. 가. one-factor 모델 11) No-Arbitrage 와 Martingale 측도가존재한다는것은동일한개념임. 12) 부록 Ⅱ.4 HJM 모델의 Non-markovian 증명참조.

66 54 채권시장에마팅게일측도 Q가주어졌을때 one-factor HJM 모델은선도금리 (forward rate) 에대해서다음과같은확률미분방정식을가정한다. 각각의 에대해서, ( 수식 67) 여기서 는 Q- Brown 운동이다. 그리고 는 Sample 공간 의한 원소이다. ( 수식 67) 을적분하면다음과같은식을얻을수있다. ( 수식 68) 그리고선도금리와순간금리의관계에의해서현물금리 (spot rate) 과채권가 격의식들을얻을수있다. ( 수식 69) ( 수식 70) 채권가격은위에서보인것처럼선도금리 (forward rate) 로표현할수있다. 따라서선도금리 (forward rate) 을정하는것은채권가격을정하는것과같아진다. 그리고이식들을이용해서순간금리 (short rate) 의확률미분방정식을다음과같이유도할수있다. ( 수식 71)

67 금리시나리오모델 55 따라서순간금리 (short rate) 는다음과같이표현된다. ( 수식 72) 나. 추세 (drift) 와변동성 (volatility) 의관계 Heath, Jarrow, 그리고 Morton은추세와변동성에대해서다음과같은놀라운결과를밝혀냈었다. 즉선도금리 (forward rate) 의확률미분방정식 ( 수식 67) 의두모수 와 의관계를살펴보면다음과같은결과를가진다. 13) ( 수식 73) 즉 는위와같이 에관한식으로표현된다. 이것은 는 만정해주면된다는것을의미한다. 값만정해지만 값은유일하게결정된다. 확률미분방정식에서확률측도를바꿀때추세 (drift) 항만바뀔뿐변동성 (volatility) 항은변하지않는다. 이것은 는관측측도 P 에대해생각하든, 마팅게일측도 Q에대해생각하든변함이없다는것을의미한다. 즉, 가 에의해서결정되므로 HJM 모델에서는확률측도에영향을받지않는다는것을의미한다. 다. HJM 모델예 : Ho-Lee 모델 l 최초의무차익거래 (No-arbitrage) 모델인 Ho-Lee 모델도 HJM 모델의한예임을알수가있다. HJM 모델의선도금리 (forward rate) 에관한식 ( 수식 74) 13) 부록 Ⅱ.3 HJM 모델에서추세와변동성의관계참조.

68 56 에서변동성 (volatility) 를상수 로함으로서 Ho-Lee 모델을만들수있다. 무차익거래 (No-arbitrage) 조건하에서주어진상수변동성 (volatility) 에대해서항상 가다음과같이존재한다. ( 수식 75) 그럼 의양변을적분을하면 ( 수식 76) 이다. 그리고 ( 수식 72) 에의해서순간금리 (short rate) 을구할수있다. ( 수식 77) 라. HJM 모델또다른예 : 기타함수형들 ( 수식 73) 에의해서 HJM모델은 에의해서전적으로결정이된다. 따라서여러가지종류의 들이연구되어졌고다음과같은함수들에대해서많은연구가이루어졌다. 1) 상수이함수의경우는위에서살펴본 Ho-Lee 모델에해당이된다. 2),, 상수 이함수의경우는 Vasicek 모델에해당이된다. 3),, 상수 이함수의경우는 CIR 모델에해당이된다. 4. Consol 모델

69 금리시나리오모델 57 Consol 모델은금리시나리오모델에장기금리를포함하려는시도에근거 한다. Affine 모델에서현물금리를구할수있어서지금은 affine 모델에서장 기의만기현물금리를이용함으로써장기금리에대한예측을가능하게하지만 affine 모델이나오기전에는 Consol 모델에의해서장기금리를예측하였다. 원래 consol 은영구채 (consol bond) 에기원한다. 즉원금은상환하지않고 일정한쿠폰이자만을영구히지급하는채권이다. 유명한 consol bond 로서는 Elsken Jorisdochter 이 1624 년 Lekdyk Bovendams 로부터구입한영구채이다. 3 백년이지난시점까지계속이자를지급하고있다. 모델링을위해서몇가지이상적인가정이필요하다. consol 금리 (consol rate) 는 단위기간당고정금리 로연속복리로이자 (coupon) 를지급하 는 Non-callable 인영구채권 (perpetual) 의만기수익률로가정한다. 그러면이 상적인 Consol 의현재가격은다음과같이표현된다. ( 수식 78) 로가정하자. 그러면 는단지 하나만의함수로서표현되고따 라서 의위험가격 (Price of risk) 를구할수있다. 최초의 Consol 모델은 Brennan 과 Schwartz 그리고 Schaefer 와 Schwartz 에 의해서만들어졌으나 Hogan 은그의논문에서 Brennan 과 Schwartz 의어떤 특정모델의경우에는 100% 확률로금리가무한대로증가함을지적하였다. 가. Brennan-Schwartz 모델 Brennan-Schwartz Consol 모델은두변수, 를가지는것으로확률측도 Q 에서다음과같이표현되었다. ( 수식 79) 이모델에의한파생상품의가격은다음의 2- 변수편미분방정식을만족한다.

70 58 여기서 은상관계수 를가지는 와 의공분산 이다. 그리고 과 은각각순간금리와 Consol rate 의위험가격이다. 는 를변수로가지는함수이므로 Ito's Lemma 에의해서다음과같 은식을만족한다. 나. Schaefer-Schwartz 모델 이모델은 two factor 모델이지만 Brennan-Schwartz Consol 모델과달리변수로서순간금리 (short rate) 를가지고있지않다. 여기서는 Consol rate 와순간금리과장기금리의차이 를변수로서사용한다. 이 factor들에대한식은확률측도 Q에서다음과같이표현된다. ( 수식 80) 여기서 와 는상관관계가없는것으로가정한다. 이모델에의한채권가격은다음과같은편미분방정식 (PDE) 를만족시킨다. 여기서임계값조건은 이다. 그리고 는순간금리 와장기금리의차이 의리스크를감안한평균회귀수준 (risk-adjusted mean reversion level) 이다. 5. Positive Interest rate 모델 시장에서관찰되는금리는거의항상양수로서관찰된다. 예외적인상황이

71 금리시나리오모델 59 발생하기도하지만거의무시할수있는수준이기때문에많은종류의금리모델에서양의금리를생성하게한다. rational log-normal 모델, Square gaussian 모델, log-r 모델등이예가될것이다. Black-Derman-Toy 모델과 Black-Karasinski 모델이현재시장에서널리사용되어지고있는데이유는양의금리를생성해서라기보다는 lattice 방법론이쉽기때문이다. 오히려다른 positive interest rate 모델의경우는널리사용되어지지못하고있다. 가. log-r 모델 log-r 모델에서는순간금리 (short rate) 는상태변수 (state variable) 의지수형태로서표현된다. 그러므로순간금리 (short rate) 는 항상양의값만을가지게된다. 대표적인 log-r 모델은 Black, Derman, 그리고 Toy에의해서제안된일명 BDT 모델과 Black 과 Karasinski에의해서제안된일명 BK 모델이다. 특히이두모델은 lattice 사용에있어서매우편리하기때문에널리사용되고있다. 또한 Dothan 과 Courtadon의모델들이초창기에만들어졌었다. < 그림 Ⅴ-3> Black-Karasinsk 모델 % % % % % % % 95.00% 90.00% 년 Black 과 Derman, 그리고 Toy 는금리 tree 이항구조를만드는과정

72 60 을제안했는데이것은 lognormal short-rate 과정과동일한것이었다. ( 수식 81) 이과정은모든금리가항상양수가되도록하고있다. 그리고이것은 Black-Karasinski 모델의특수형이고추세항 (drift) 에서 의계수는 lattice 에서변동성 (volatility) 의기간구조 (term structure) 를정의하는과정에서나온형태이다. Black & Karasinski 모델은상태변수 가 Hull-White 모델의미분방정식을만족하는것이다. ( 수식 82) 평균회귀성질과항상양의값을가진다는장점으로인해서최근에널리사용되어지고있는모델이다. < 그림 Ⅴ-3> 은 Black-Karasinski 모델의 100가지시나리오를그린것이다. 평균회귀성질에의해서그래프들이 < 그림 Ⅴ-2> 에서보여준 Ho-Lee 그래프에비해서중간으로모이는성질을보여주고있다. 또한향상양수임을확인할수있다. 나. Square Gaussian 모델 이모델은 Beaglehole, Tenney, Jamshidian, 그리고 Pelsser 등에의해서연구되어진모델로서순간금리 (short rate) 을상태변수 (state variable) 의제곱으로표현한것이다. one-factor 의경우 ( 수식 83) 로정의하고

73 금리시나리오모델 61 ( 수식 84) 을가정하면 ( 수식 85) 이 Gaussian 이된다. 이모델에서의채권가격은다음과같이나타낼수있다. ( 수식 86) 여기서 ( 수식 87) 이다. 6. 기타모델들 앞에서언급된모델들외에도여러가지형태의모델들이있다. Market 모델, Price Kernel 모델, Marsh & Rosenfeld 모델, Demmel 모델, Longstaff/Beaglehole/Tenney 모델등이알려져있다. 특히 Market 모델은최근에시장에서많은주목을받고있는모델이다. 그리고시장에서목격되

74 62 어지는금리의급격한변동을모델에서구현하기위한노력으로 Jump 모델 이연구되어지고있다. 7. 금리시나리오모델선택및비교 금리시나리오는학문적인측면에서의접근못지않게중요한것은시장에서의실용성이다. 이론적으로아무런결점이없다고할지라도시장에서이것이받아들여지지못한다면아무런소용이없게되어버린다. 시장에서잘받아들여진다는것은시장에서필요로하는목적에부합된다는것이다. 그리고시장에서요구하는기본적인사항을만족하여야할것이다. 시장에서요구되어지는기본적인사항으로서는첫째, 시장의자료에잘맞아야하고둘째, 다양한시나리오의생성이가능해야하고, 셋째, 다루기가쉬워야하는것이다. 가. 적합성 시장의자료가주어졌을때는금리모델은모델이모수 (parameter) 들을조절하여시장의자료에모델이맞도록한다. 따라서모수는시장의자료에의해서결정되어지는것이다. 그러나실제적으로시장의모든자료에완벽하게맞출수는없다. 따라서시장의자료중에서필요로하는것들에맞게끔모수들을조절할것이다. 일반적으로현재의수익률곡선, 채권가격, 변동성등의시장자료에모델들을맞춘다. HJM 모델, Hull-White 모델등이현재의수익률곡선에잘맞는것으로알려져있다. 나. 다양성 현재의시장정보는단지하나의통계적인정보일뿐이다. 따라서모델은시간의흐름에따라금리가변해가는모습도잘맞아야한다. 즉시장에서다양하게전개되어지는금리의모습처럼모델도이론적으로다양한형태의시나리오산출이가능하여야한다. 그러므로시장금리의평균회귀속도, 변동성등이고려되어야할것이다.

75 금리시나리오모델 63 다. 편리성 금리모델이사용되어지기위해서는계산가능한답을제시하여야한다. 시장에서널리사용되어지고있는모델들은특정금융파생상품들에관해서정확한계산이가능한답을제공하던가아니면 lattice와같은방법론을통해서답을제공하고있다. 물론모든금융파생상품에대해서답을제공하는모델은없다. 그러므로여러종류의파생상품에관해서얼마나정확한계산이가능한가를고려하여야할것이다. 금리모델은일반적으로기본적인채권, 옵션, Caplets 등에관해서정확한답을제시할수있고, 그리고 American 옵션또는 Path-dependent 파생상품과같은복잡한금융파생상품에관해서간단하고근사적인답을제시할수있기를시장은원한다. 실제적으로여전히시장에서는일부모델이사용상더편리함에도불구하고 finite difference 방법이나 Monte Carlo 방법을사용하고있다. 라. 비교 모든측면에서우수한금리모델은존재하지않는다. Hull-White 모델은시장의수익률곡선에정확히맞출수있는장점이있다. 그리고이것은파생상품의가격평가시 lattice를이용해서매우간단하게계산할수있는장점이있다. 그러나두개이상의요소에의존하는파생상품의가격평가시에는 one-factor 모델이기때문에부적절하다. 이렇게모델은여러가지목적에따라서다르게평가될수있다. < 표 Ⅴ-4> 는적합성, 다양성, 그리고편리성에관해서비교한것이다. 여기서다양성은순간금리와수익률곡선의두가지측면에서따로비교하였으며편리성은간단한금융파생상품 (Simple) 예를들면채권, Caplet 등을다룰때와복잡한금융파생상품 (Complex) 예를들면 American 옵션또는 Path-dependent 파생상품같은경우를다룰때로나누어서비교하였다. 14) 14) Jessica James, Nick Webber, Interest rate modelling, West Sussex : John

76 64 < 표 Ⅴ-4> 금리모델비교 모델 Hull-White 모델 Affine 모델 HJM 모델 적합성 Exact Good Exact 다양성순간금리수익률곡선 Good No OK Good - Excellent 편리성 Simple Complex Good OK OK OK - - 시장의경험자료를바탕으로했을때는다른형태의비교가가능할것이 다. 그러므로모델의선택에있어서사용목적에맞게그리고시장의경험을 고려해서모델이선택되어져야할것이다. 8. Calibration 가. 개념 Ho-Lee, Vasicek, 그리고 CIR 등금리시나리오모델을살펴보면결정되어야할모수 (parameter) 들이있다. 이값들이어떻게결정되는지에따라금리시나리오에의해서생성되는시나리오들의모습은많은차이를보이게된다. 예를들어 Vasicek 모델을살펴보자 여기서평균회귀속도를나타내는 와그리고장기적으로수렴해갈평균금리인 그리고변동성의크기를나타내는 를결정하여야한다. 평균회귀속도가지나치게크다던가아니면지나치게작다면그에따른금리시나리오는전혀다른형태로나타날것이다. 그러므로적절한모수들을선택함으로써금리시나리오에서만들어지는금리시나리오는현실적이어야할것이다. 적절한모수들을선택하는방법으로써시장에서의과거의경험데이터를사 Wiley & Sons, 2000, pp.73~75.