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주현 운
6 years ago
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1 韓國電磁波學會論文誌第 19 卷第號 8 年月論文 FMM 에의한프랙탈안테나고속해석 Fast Analysis of Fractal Antenna by Using FMM 김요식 이광재 김건우 * 오경현 * 이택경 이재욱 Yo-Sik Kim Kwang-Jae Lee Kun-Woo Kim* Kyung-Hyun Oh* Taek-Kyung Lee Jae-Wook Lee 요약 본논문에서는 FMM(Fast Multipole Method) 을적용하여평면형다층구조인마이크로스트립프랙탈안테나구조에대한고속해석을구현하였다. 우선 FMM 알고리즘에이용되는적분식인 MPIE(Mixed Potential Integral Equation) 을풀기위해서실수축적분방법 (RAIM: Real-Axis Integration Method) 으로부터정확한공간영역그린함수를구한다. 구해진그린함수를 MoM(Method of Moment) 을이용하여계산할경우, 연산과메모리요구량 O(N ) 이소요되는데, 이를거대구조의해석에대해적용할때나높은정확성을위한셀 ( 미지수 N) 수의증가하는경우계산량이기하급수적으로증가하여구조해석에문제가된다. FMM은이와같은연산과메모리요구량의문제점을해결하기위하여개발되었다. FMM은그린함수의가법정리 (addition theorem) 를이용하여행 1.5 렬-벡터곱의복잡성을줄여연산과메모리요구량을 O(N ) 으로줄인다. 시어핀스키 (sierpinski) 프랙탈안테나의구조에대해 MoM과 FMM를적용, 상용툴과계산결과의정확성, 계산시메모리크기, 해석시간등을비교하여효율성을보여주었다. Abstract In this paper, we present a fast analysis of multilayer microstrip fractal structure by using the fast multipole method (FMM). In the analysis, accurate spatial green s functions from the real-axis integration method(raim) are employed to solve the mixed potential integral equation(mpie) with FMM algorithm. MoM's iteration and memory requirement is O(N ) in case of calculation using the green function. the problem is the unknown number N can be extremely large for calculation of large scale objects and high accuracy. To improve these problem is fast algorithm FMM. FMM use the addition theorem of green function. So, it reduce the complexity of a matrix-vector multiplication and reduce 1.5 the cost of calculation to the order of O(N ). The efficiency is proved from comparing calculation results of the moment method and Fast algorithm. Key words : FMM, Fractal, MOM, MPIE, RAIM Ⅰ. 서론프랙탈 (fractal) 구조는복잡한형태의집합체이지만기하학적구조상으로자기상사성 (self-similarity) 또는자기아파인성 (self-affinity) 의특성을지니고있 는구조를나타내며, 은하, 구름형상, 산맥, 해안선, 눈송이등의복잡한자연형상을모델링하는데이용된다. 이러한형상을공학적으로이용하기위하여다양한형태의프랙탈이고안되고있다 [1]. 안테나에활용되는프랙탈구조의종류로는 Sier- 이연구는 6 년도삼성탈레스 ( 주 ) 의 MRBA 개발사업의연구비의지원으로연구되었음. 한국항공대학교항공전자및정보통신공학부 (School of Electronics, Telecommunication and Computer Engineering, Korea Aerospace University) *( 주 ) 삼성탈레스 (Samsung Thales Co., Ltd.) 논문번호 : S 수정완료일자 : 8 년 월 19 일 11

韓國電磁波學會論文誌第 19 卷第號 8 年月 pinski gasket, Koch snowflake, ternary tree, Hilbert curve 등이있으며, 이들을응용한구조와새로운프랙탈구조들이계속해서개발되고있다. 프랙탈구조를이용한안테나는단계의진화에따라여러개의공진주파수를나타낼수있으므로다중주파수또는광대역설계를하는데유리하며, 소형화를구현할수있는장점이있다.

2 韓國電磁波學會論文誌第 19 卷第號 8 年月 pinski gasket, Koch snowflake, ternary tree, Hilbert curve 등이있으며, 이들을응용한구조와새로운프랙탈구조들이계속해서개발되고있다. 프랙탈구조를이용한안테나는단계의진화에따라여러개의공진주파수를나타낼수있으므로다중주파수또는광대역설계를하는데유리하며, 소형화를구현할수있는장점이있다. 앞에서언급한여러가지의프랙탈안테나를해석하기위해서가장일반적인해석방법인 MoM(Method of Moment) 의경우 MPIE(Mixed Potential Integral Equation) [] 을풀기위해실수축적분방법 [3] (RAIM: Real-Axis Integration Method) 으로부터정확한공간영역그린함수를구하게된다. 구해진그린함수를 MoM에적용하여계산할경우, 연산과메모리요구 량이미지수 N에대하여 O(N ) 이소요되는데, 프랙탈구조의경우하나의소자에매우복잡한형태를포함하고있으며, 구조의정확한해석을위해셀 ( 미지수 N) 의수를증가시켜야한다. 이경우, 계산량이기하급수적으로증가하여구조해석에문제가생기게되며, 또한배열안테나를구성할경우구조의해석이불가능하게될수도있다. FMM [4] 은이와같은연산과메모리요구량의문제점을해결하기위하여개발되었다. FMM은그린함수의가법정리 (addition theorem) 를이용하여행렬-벡터곱의복잡성을줄이는데이때의연산과메모리요구량을 O(N 1.5 ) 으로줄일수있다. 본논문에서는시어핀스키 (Sierpinski) 프랙탈안테나의구조에대해 MoM과 FMM를적용하여해석하였다. 상용툴 (CST MWS) 과계산결과를비교하여해석결과의정확성을검증하였고, MoM과 FMM을이용하여계산시각각의방법에따른메모리크기, 해석시간등을비교하여 FMM의효율성을보였다. Ⅱ. 프랙탈안테나구조및해석 -1 MoM 을이용한평면형안테나의해석 그림 1. 일반적인마이크로스트립구조해석 Fig. 1. The analysis of microstrip structure. 분식 MPIE(Mixed Potential Integral Equation) 는평면형다층구조의특성을구하기위한방법으로공간영역에서의 full-wave 해석에이용된다 []. z $ inc z j 1 A ds G ds E = $ ω G J s s s qe s jω J (1) MPIE는식 (1) 과같으며, MoM 기법을적용시효율적이고안정된계산결과를얻을수있다. 마이크로스트립을삼각형요소로나누고, 전류는삼각형기저함수를이용하여전개하며 [5], 갤러킨방법 (Galerkin's method) 을적용하여행렬식을구하면 Z I = V, N j =1 Z iji j = V i, ( i = 1,,3,,N ) 이된다. 여기서임피던스행렬 Z 는 Z ij = j ω T i T j [ f i ( r) f j ( r') G A ( r, r')- 1 ω ( f i ( r )) () ( ' f j ( r')) G qe ( r, r')]dr'dr (3) 과같으며, MoM 기법을위한적분방정식형태로나 타낼수있다. f i 와 f j 는각각가중함수 [6] 와기저함수로표현된다. 마이크로스트립구조에대한그린함수는식 (4) 와같이된다. G A, qe ( r, r')=g sw A,qe + G ci A,qe+G ri A,qe 일반적인마이크로스트립해석을위해그림 1에서보는것처럼표면에분포하는표면전류 J s 와표면전하 q es 에의한각영역내의벡터포텐셜 A( r ) 과스칼라포텐셜 φ e ( r ) 이함께포함되어있는적 여기서, = p a p H () ( k ρ( p) ρ )+ q b q e - jk r q r q + n c n sin (k r n ) r n (4) 1

3 FMM 에의한프랙탈안테나고속해석 그림. 복소 k z 평면에서의적분경로 Fig.. The integration path on the complex k z plane. 그림 3. FMM 에서의그룹간좌표관계 Fig. 3. The coordinate system used for the FMM. r q = r-( r'-j zβ q ), r n = r-( r'+ zt n ), β q =qd, t n = (n-1) π k (5) 와같이표현할수있다. 식 (4) 에서볼수있는것처럼그린함수는 pole에의한표면파형태, complex image [7] 합의형태그리고마지막 real image 합의형태등총 3개항의합으로표현된다. 공간영역그린함수를구하기위해서는실수축적분방법 (RAIM: Real Axis Integral Method) 을사용한다 [3]. k ρ 평면에서 k ρ = k 일때만 branch point가 존재하지만 k ρ = k 의 branch point 지점에서 dg' dk ρ 는발산하기때문에위그림 에서같이 k z 평면의 함수로바꾸어 branch point를제거한후, 근사를통해공간영역그린함수를구한다. C 구간에서는데이터를추출하여 GPOF(Generalized Pencil-of-Function) 방법을적용하여지수함수로근사화하고, C 1 구간은삼각함수로근사화한다. - FMM 을이용한평면형안테나의고속해석 --1 차원의 FMM 그림 3에선 FMM을이용하기위해서, 전체구조를 G m (m =1,,,M) 으로표기되는그룹으로나누었다. ρ m 은그룹 G m 의중심이고, ρ i 는이그룹에서관측점이며, ρ m' 은그룹 Gm' 의중심이고, ρ j 는이그룹에서의전원점이다. 따라서이를이용하여다음과같은식을얻을수있다. 그림 4. FMM 에서의벡터관계 Fig. 4. The relation vector in the FMM. ρ ij = ρ i - ρ j =( ρ i - ρ m )+( ρ m - ρ m' ) +( ρ m' - ρ j )= ρ im + ρ mm' + ρ m ' j (6) 행렬과벡터곱에 FMM 기법을적용하기위해서먼저식 (4) 의첫번째항인 pole에의한표면파형태성분을가지는 Hankel 함수에가법정리 [8] 를적용하여세단계로분해한다. Bessel 함수의가법정리를이용하면식 (4) 의 Hankel 함수는그림 4와같이전개할수있다 [9]. 이러한가법정리는어떤좌표계의장을다른좌표계의장으로표현할수있도록한다. 관측점과전원점과의거리를몇단계로구분하기위하여 Hankel 함수에서 k ρ( p) ρ = k D+ d 로표현하면 Hankel 함수는식 (7) 과같이된다. H () ( k D + d ) = J n(kd )e jn(φ D - φ d ) () H n ( kd ) n =- 두단위벡터의값은 cos ( φ D -φ d )= d D 이다. 여기서 d 와 D 는두공간벡터를의미하며, 가법정 (7) 13

4 韓國電磁波學會論文誌第 19 卷第號 8 年月 리를위해서는 d<d여야한다. 식 (7) 의베셀함수를적분형태로표현하면식 (8) 과같고, jn( φ ) 1 D φ n d jkd cosa jn[ a ( D d) ] Jn ( kd) e π φ φ = da( j) e e π (8) 이를이용하여식 (7) 을식 (9) 와같이표현된다. 1 H k D d da j e n jkd cos a π n= jn a ( φd φd) ( ) n π ( ) ( + ) = ( ) e H ( kd) (9) 한편, 각각의코사인함수는 cos α = k d, cos (α-(φ D -φ d )) = k D으로표현된다. 또한 n이무한대로접근할때주어진식은빠르게수렴하므로무한의합을유한의합으로근사화할수있게되어, 식을다시쓰면 1 ( ) ( ) H k D d dae j H kd e 1 ˆ ˆ ( π L ) jkd cos a n jncos k D ( + ) ( ) ( ) n π n= L 1 ˆ jkd dk e a (, ˆ ˆ L kd k D) π 이고, α L 은식 (1) 에서유한개의합부분으로써다음과같이나타낼수있다. α L = H () ( kd )+ L l =1 (-j ) l H () l ( kd ) cos l( cos -1 ( k D )) (11) sw 그린함수 G 는다음과같이된다. A G sw A ( r i, r j )=- μ 4 p a ph () (k ρ(p) ρ) - μ 8π a p p dke - j k r im α L e j k r (1) 식 (1) 를식 (4) 에대입하여행렬과벡터곱을정리하면다음과같다. Z sw ij = ωμ j8π N TE p=1 a p dkβ im ( k) α L ( k r mm' ) β * ( k) - 1 j8πωε N TE, TM p=1 ( k) α L ( k r mm' ) γ * ( k) β im ( k) = e - j k r im f i dr (1) a p dkγ im (13) (14) γ im ( k) = e - j k r im { f i } dr (15) 먼저 β * 와 γ* 는전류원으로부터전류원이속 한그룹으로모이는집합단계, 두번째 α L 은자신과인접한그룹을제외한나머지그룹과그룹간의변환단계, 세번째 β im, γ im 은 β *, γ * 의 complex conjugate 관계로써그룹에서관측점으로가는분해단계 이다. 여기서 α L 는그룹간의상호작용을나타내는대각행렬 [1] 이다. 이때방향이다를경우에대해서는상호작용이생기지않으므로각그룹간의행렬부분은대각행렬이된다. 행렬과벡터곱에필요한계산시간을살펴보면, 먼저 β * 에대해서는 N/M 개의 QxM 서브행렬 [11] 로이루어져있으므로시간은 (N/M) QM에비례하고, 역시 β im 는 β * 의역 순이므로 (N/M) QM에비례하게된다. α L 는위그림과같이 (N/M) 개의 QxQ 대각행렬로이뤄져있으므로계산시간은 (N/M) Q에비례한다. 즉, 소요계산시간은 T = C 1 N M QM+C ( N M ) Q+C 3 N M QM (16) 이다. 여기서 Q 는 M 에비례하므로계산시간은 T = C 1 NM+ C N M (17) 으로볼수있다. 식 (17) 을최소로하는 M 은 M= C C 1 N 이며, 이때총계산시간은 O(N 1.5 ) 가된다 차원의 FMM 행렬과벡터곱에 FMM 기법을적용하기위해서식 (4) 의지수함수나사인함수에가법정리를적용하여세단계로분해해야한다. 식 (4) 의두번째항인구면파형태의 complex image에대한가법정리는식 (18) 과같이전개할수있다. e - jk D + d D + d T Lc ( k r mm' )= =-jk (-1) p (p +1)j p p = ( kd) h () p ( kd) P p ( d D ) L (18) (-j) l (l +1)h () l l = (kr mm' ) P l ( k r mm' ) (19) 14

5 FMM 에의한프랙탈안테나고속해석 여기서 T Lc (kd, k D ) 는변환행렬이고, d k 는단위구면의적분 [8] 을나타낸다. 거리 r q 는아래와같다. r q = r i -( r j -j zβ q ) = r im + r mm' - r m'j +j z β q = ( r i - r m )+( r m - r m' ) +( r m' - r j )+j zβ q = r im + r mm' - r +j z β q () 식 (18) 에서의벡터 D, d 는 D = r mm' 이고 d = r im -r +j zβ q 이므로그린함수 G ci 는 A G ci A( r i, r j ) - jk 4π d k N q b qe k z β qe - j k ( r im + r ) T Lc ( k r mm' ) q= (1) 과같으며, 가법정리를적용하여식 (3) 에대입하여행렬과벡터곱을정리하면식 () 와같이된다. V ci ij = ω k μ 8 π d k S ci ( k ) U im ( k ) T Lc ( r mm', k ) U * ( k ) I ij 여기서 - k 8 π ωε d k S ci ( k ) V im ( k ) T Lc ( r mm', k )V * ( k) I ij () U im ( k) = e - j k r im f i dr (3) 로행렬과벡터곱을정리하면 V ri ij = ω k μ 8 π d k S ri ( k ) U im ( k ) T Lr ( r mm', k ) U * ( k ) I ij k - 8 π ωε d k S ri ( k ) V im ( k ) T Lr ( r mm', k )V * ( k) I ij 와같다. 행렬과벡터곱에필요한계산시간을표면 * 파 FMM과마찬가지로살펴보면, 먼저 U 에대해 서는 N/M개의 KxM 서브행렬로이루어져있으므로시간은 (N/M) KM에비례하고, 역시 U im 는 U * 의역순이므로 (N/M) KM에비례하게된다. T Lc ( r mm', k ) 는 (N/M) 개의 KxK 대각행렬로이뤄져있으므로계산시간은 (N/M) K에비례하므로총계산시간은 T = C 1 N M KM+C ( N M ) K+C 3 이다. 여기서 K 는 M 에비례하므로 T = C 1 NM+ C N N M KM (7) M (8) C 이다. 위식을최소로하는 M은 M = N 이되 C 며, 이때총계산시간은 O(N ) 가된다. Ⅲ. 수치해석결과 (6) 그림 5는자유공간상에놓인마이크로스트립사각패치안테나에 3-stage sierpinski gasket 구조를 V im ( k) = e - j k r im { f i} dr (4) N q S ci ( k) = b q e j k zβ q q = (5) 가된다. 식 () 에서 complex conjugate 값은분해단계의계산을따로계산하지않고집합단계의계산을이용하여전개하기위하여나타낸것이다. 이와마찬가지로식 (4) 의세번째항인 real image에대해서도사인함수에대한가법정리를적용하여그린함수 G ri A 및임피던스행렬을구할수있다. 이를바탕으 그림 5. 마이크로스트립사각 fractal 패치안테나 (3-stage) Fig. 5. Microstrip rectangular fractal antenna(3-stage). 15

$韓國電磁波學會論文誌第 19 卷第號 8 年月 그림 6. 안테나의셀분할및그룹형성 Fig. 6. Division and groupping of cell in the rectangular fractal antenna. 적용하여나타낸안테나이다. L 1 =1.45 mm, L =4.15 mm, L 3 =1.38 mm, W 1 =16 mm, W =5.$

6 韓國電磁波學會論文誌第 19 卷第號 8 年月 그림 6. 안테나의셀분할및그룹형성 Fig. 6. Division and groupping of cell in the rectangular fractal antenna. 적용하여나타낸안테나이다. L 1 =1.45 mm, L =4.15 mm, L 3 =1.38 mm, W 1 =16 mm, W =5.33 mm, W 3 =1.78 mm, ε r =., t=.789 mm 구조이며, 유전체기판은 x-y평면에무한히넓은것으로가정한다. 기판은비자성물질로서임의의비유전율을가지며, 도체는두께가영인 PEC(Perfect Electric Conductor) 로가정한다. 또한, port 1의급전부에전류전원 I 1 (.45 mm) 을인가해준다. 그림 6은패치안테나의패치부분에대하여셀을나눠준상태로써유한한삼각형셀로나누고 x, y 방향의전류는삼각형기저함수의합으로전개한다. 그룹형성과정중각그룹의크기에대한설정은 FMM 기법이정확한값을도출하는데매우중요한요소중하나이다. 그림 7은식 (18) 의지수함수에대한가법정리결과이다. 이를통하여그룹크기를일정거리이상으로설정하면오차가발생하지않음을알수있다. 위와같은사항등을고려하여 FMM 기법을적용시그림 8과같은행렬식 Z ij 를구할수있다. 식 () 와식 (3) 의행렬과벡터 곱의계산에사용되는행렬식 Z ij 는임의의관측점 (observation) 에대하여모든전원점 (source) 으로부터오는전류성분의영향을더하여계산한결과값을의미한다. 그러나 FMM에서는행렬-벡터곱이포함되어있기때문에 Z ij 대신 Z 1j 를구하여 MoM에서구한 Z 1j 값을비교해봄으로써데이터값이일치하는지확인할수있다. 다시말해, Z I = V 에대 하여 a11 a1 L a1 N x1 b1 a1 a L a N x b = M M M M M a a L a x b N1 N NN N N 와같을때 [,,..., ] x x x N 1 의각각의값에모두 1을넣어 Z 1j 를구하게된다. 그림 8은 MoM을이용하여구한행렬식 Z 1j 와 FMM을이용하여구한행렬식 Z 1j 을비교한결과이며, MoM과 FMM의데이터가정확히일치함을알수있다. 이를바탕으로 CGM(Conjugate Gradient Method) 기법을적용하여패치상에흐르는전류값을구하면그림 9와같은결과를얻을수있다. 이결과또한그림 8의행렬식 Z 1j 을비교한결과와마찬가지로 MoM과 FMM의전류값이대부분일치함을알수있다. 그림 1은급전선에서 GPOF 방법을통해구해진입사파와반사파를이용하여계산된반사계수로써설계시뮬레이션툴인 CST MWS 와 MoM 기법및 FMM 기법을이용하여구한결과값을나타낸다. 공진주파수의계산결과는매우잘일치하며, 공진주파수에서반사계수의크기는약간의차이를나타내고있다. 공진주파수에서반사계수의크기는상대적으로매우적은값을나타내므로데시벨수치로확 T 그림 7. 자유공간의그림함수와가법정리결과의실수값 Fig. 7. Addition theorem about real part of exponential function and green function. 그림 8. MoM 과 FMM 의 Z ij 의실수값비교 Fig. 8. The real part of Z ij in MoM and FMM. 16

7 FMM 에의한프랙탈안테나고속해석 그림 9. MoM 과 FMM 으로부터구해진전류값 Fig. 9. Total current by using MoM and FMM. 그림 1. 미지수개수에따른계산시간 Fig. 1. Calculation time along number of unknown. 그림 1. 상용툴과의반사손실결과비교 Fig. 1. Comparison of between MoM and FMM and others. 그림 11. 미지수개수에따른메모리크기 Fig. 11. Memory requirement along number of unknown. 대되어나타나며, 계산결과는허용될수있는오차의범위이내이다. 알수있다. 그림 11과그림 1는미지수의개수에따른메모리요구량및행렬-벡터곱 에대한계산시간을나타낸다. MoM에서 O(N ), 1.5 FMM에서는 O(N ) 로메모리요구량을보면 MoM 의경우약 4,여개의미지수에대해서 Z ij 의크기만대략 55 Mbyte에이르며, 전체메모리의크기는약 8 Mbyte를나타낸다. 이에반해 FMM의경우, 약 4,여개의미지수에대해약 5 Mbyte 정도의메모리크기를나타낸다. 계산을위한임시변수들까지생각하면 MoM에비하여 FMM을이용하였을경우수백 Mbyte 정도의크기를줄일수있다. 마찬가지로계산시간에있어서도 MoM의경우 O(N 1.5 ), FMM의경우 O(N ) 의기울기로나타나게된다. 미지수의개수가증가할수록 MoM에비하여 FMM을적용하였을경우계산속도를더절약할수있다. 달리말하면기존구조에비하여더큰거대구조를해석하게될경우도 MoM에비하여 FMM 을적용하였을경우, 더빠르고적은용량의메모리로구조를해석할수있다. 해석구조에있어그림 5와같은단순한사각형구조뿐만아니라 5-stage 이상의매우복잡한구조에도적용가능하며삼각형또는원형구조의프렉탈안테나의해석에도적용가능하다. Ⅳ. 결론 본연구에서는프랙탈안테나를해석함에있어 17

$참고문헌 [1] Douglas H. Werner, Suman Ganguly, "An overview of fractal antenna engineering research", IEEE Antennas and Propagation Magazine, vol. 45, no. 1, pp. 38-57, Feb. 3. [] Andrew F.$

8 韓國電磁波學會論文誌第 19 卷第號 8 年月 기존의방법에비해보다빠르고정확한고속해석알고리즘개발에대해언급하였다. RAIM을사용하여구한공간영역그린함수를바탕으로평면형안테나를해석하는알고리즘인 MoM 기법에대한해석이론을정립하였다. 또한, MoM 기법에대한계산량과메모리요구량을줄이는방법으로개발된 FMM 기법의기본이론과평면형안테나고속해석에적용하는과정을서술하였으며, FMM 기법을적용할경우그룹의크기에따라발생되는가법정리의오차를최소화하였다. 또한, FMM을사용하여계 1.5 산량과메모리요구량을 O(N ) 으로부터 O(N ) 으로줄임으로써소형컴퓨터에서도빠른속도로정확한전자파해석을할수있음을확인하였다. 참고문헌 [1] Douglas H. Werner, Suman Ganguly, "An overview of fractal antenna engineering research", IEEE Antennas and Propagation Magazine, vol. 45, no. 1, pp , Feb. 3. [] Andrew F. Peterson, Scott L. Ray, and Raj Mittra, Computational Methods for Electromagnetics, Piscataway, NJ: IEEE Press, [3] Y. -D. Kang, T. -K. Lee, "Accurate closed-form Green's function for coplanar waveguide from realaxis integration", IEICE Trans. Communications, vol. E86-B, no. 8, Aug. 3. [4] Ronald Coifman, Vladimir Rokhlin, and Stephen Wandzura, "The fast multipole method: A pedestrian prescription", IEEE Antenna Propagation Soc. Mag., vol. 35, no. 3, Jun [5] S. M. Rao, D. Wilton, and A. W. Glisson, "Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape", IEEE Trans. Antennas and Propagation, vol. AP-3, pp , May 198. [6] J. Van Bladel, Electromagnetic Fields, New York: McGraw-Hill, p. 5, [7] A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press Inc., Publishers, [8] Jian-Ying Li, Le-Wei Li, Ban-Leong Ooi, Pang- Shyan Kooi, and Mook-Seng Leong, "On the accuracy of the addition theorem for a scalar Green's function used in the FMM", Microwave Opt. Technol. Lett., vol. 31, no. 6, Dec. 1. [9] W. C. Chew, Waves and Fields in Inhomogeneous Media, New York: Van Nostrand, 199. [1] V. Rokhlin, "Rapid solution of integral equations of scattering theory in two dimensions", J. Comput. Phys., vol. 36, no., Dec [11] J. M. Song, W. C. Chew, "Multilevel fast-multipole algorithm for solving combined field integral equation of electromanetic scattering", Microwave Opt. Technol. Lett., vol. 1, pp , 김요식 6 년 월 : 한국항공대학교항공전자공학과 ( 공학사 ) 6 년 3 월 ~ 현재 : 한국항공대학교항공전자공학과석사과정 [ 주관심분야 ] 전자파수치해석, 안테나설계 이광재 7 년 월 : 한국항공대학교항공전자및정보통신공학부 ( 공학사 ) 7 년 3 월 ~ 현재 : 한국항공대학교항공전자공학과석사과정 [ 주관심분야 ] 소형 광대역안테나, 마이크로능 수동소자설계및분석 18

FMM 에의한프랙탈안테나고속해석 김건우 년 : 금오공과대학교전자통신공학과 ( 공학사 ) 년 : 금오공과대학교전자통신공학과 ( 공학석사 ) 년 3월~현재 : 경북대학교전자공학과박사과정 7년 1월~현재 :

한국과학기술원전기및전자공학과 ( 공학박사 ) 199년 5월~1991년 4월 : Univ.

of Illinois, Urbana-Champaign, Associate Visiting Research Professor 199년 3월~현재 : 한국항공대학교항공전자및정보통신공학부교수 [ 주관심분야 ]

삼성탈레스연구원 7년~현재 : 아주대학교전자공학과석사과정 [ 주관심분야 ] 안테나설계, 안테나시스템설계 이재욱 199년 월 : 한양대학교전자공학과 ( 공학사 ) 1994년 월 :

9 FMM 에의한프랙탈안테나고속해석 김건우 년 : 금오공과대학교전자통신공학과 ( 공학사 ) 년 : 금오공과대학교전자통신공학과 ( 공학석사 ) 년 3월~현재 : 경북대학교전자공학과박사과정 7년 1월~현재 : 삼성탈레스기술연구소 [ 주관심분야 ] 전자파산란, 안테나설계 이택경 1983년 월 : 고려대학교전자공학과 ( 공학사 ) 1985년 월 : 한국과학기술원전기및전자공학과 ( 공학석사 ) 199년 월 : 한국과학기술원전기및전자공학과 ( 공학박사 ) 199년 5월~1991년 4월 : Univ. of Texas at Austin, Post-Doctoral Fellow 1991년 9월~199년 월 : 한국과학기술원정보전자연구소연구원 1년 7월~년 7월 : Univ. of Illinois, Urbana-Champaign, Associate Visiting Research Professor 199년 3월~현재 : 한국항공대학교항공전자및정보통신공학부교수 [ 주관심분야 ] 마이크로파, 안테나, 전자파해석, 레이다 오경현 1998년 : 아주대학교전자공학과 ( 공학사 ) 1998년~년 : 삼성전자연구원 년~1년 : 삼성톰슨CSF( 現삼성탈레스 ) 연구원 1년~현재 : 삼성탈레스연구원 7년~현재 : 아주대학교전자공학과석사과정 [ 주관심분야 ] 안테나설계, 안테나시스템설계 이재욱 199년 월 : 한양대학교전자공학과 ( 공학사 ) 1994년 월 : 한국과학기술원전기및전자공학과 ( 공학석사 ) 1998년 월 : 한국과학기술원전기및전자공학과 ( 공학박사 ) 1998년 3월~4년 월 : 한국전자통신연구원디지털방송연구단전파기반연구그룹 4년 3월~현재 : 한국항공대학교항공전자및정보통신공학부, 전자및항공전자전공, 조교수 [ 주관심분야 ] 마이크로파및밀리미터파능, 수동소자해석및설계, EMI/EMC 대책기술, 고출력증폭기및고출력안테나설계 19

PCB PCB. PCB P/G de-cap [2],[3]., de-cap ESL(Equivalent Series Inductance) [3],. P/G [4], P/G. de-cap P/G, PCB.. 단일비아를이용한 P/G 면공진상쇄 2-1 P/G 면공진현상 PCB

PCB PCB. PCB P/G de-cap [2],[3]., de-cap ESL(Equivalent Series Inductance) [3],. P/G [4], P/G. de-cap P/G, PCB.. 단일비아를이용한 P/G 면공진상쇄 2-1 P/G 면공진현상 PCB 韓國電磁波學會論文誌第 20 卷第 12 號 2009 年 12 月論文 2009-20-12-05 PCB Improved Characteristic of Radiated Emission of a PCB b Using the Via-Hole Position 김리진 이재현 Li-Jin Kim Jae-Hun Lee 요약 4 PCB(Printed Circuit Boards)