영역 2007 교육과정 2009 교육과정 집합 학년 집합의개념을이해하고 집합을표현할수있다 두집합사이의포함관계를이해한다 집합의연산을할수있다 수학적과정 학년 비고 이동 현행 집합을고등으로이동 수와연산 자연수의성질 학년 거듭제곱의뜻을안다 소인수분해의뜻을알고 자연수를소인수분해할수있다 최대공약수와최소공배수의성질을이해하고 이를구할수있다 최대공약수와최소공배수를활용하여여러가지문제를해결할수있다 십진법과이진법의원리를이해하고 자연수를십진법과이진법의전개식으로나타낼수있다 십진법과이진법사이의관계를이해한다 소인수분해 학년 거듭제곱의뜻을안다 소인수분해의뜻을알고 자연수를소인수분해할수있다 최대공약수와최소공배수의성질을이해하고 이를구할수있다 최대공약수와최소공배수를활용하여여러가지문제를해결할수있다 의사소통 3 추론 문제해결 영역명변경 학습내용의특성을잘보여주기위해 현행 삭제 학습량축 감 정수 학년 정수의개념을이해한다 정수의대소관계를이해한다 정수의사칙계산의원리를이해하고 그계산을할수있다 유리수 학년 유리수의개념을이해한다 유리수의대소관계를이해한다 유리수의사칙계산의원리를이해하고 그계산을할수있다 정수와유리수 학년 정수와유리수의개념을이해한다 정수와유리수의대소관계를이해한다 정수와유리수의사칙계산의원리를이해하고 그계산을할수있다 문제해결 영역통합 유리수와순환소수 학년 순환소수의의미를이해한다 유리수와순환소수 학년 순환소수의의미를이해한다
영역 2007 교육과정 2009 교육과정 수학적과정 학년 비고 용어와기호 유리수와순환소수의관계를이해한다 유리수와순환소수의관계를이해한다 근삿값 학년 근삿값과오차의의미를이해하고 근삿값에대한참값의범위를구할수있다 근삿값의표현방법을안다 제곱근과실수 학년 제곱근과실수 학년 제곱근의뜻을알고 그성질을 제곱근의뜻을알고 그성질이해한다 을이해한다 무리수의개념을이해한다 무리수의개념을이해한다 수직선에서실수의대소관계 실수의대소관계를이해한다 를이해한다 근호를포함한식의계산 학 근호를포함한식의계산 학년 년 근호를포함한식의사칙계산 근호를포함한식의사칙계산을할수있다 을할수있다 집합 원소 원소나열법 조건제시법 유한집합 무한집합 공집합 부분집합 진부분집합 서로같다 벤다이어그램 합집합 교집합 전체집합 여집합 차집합 소수 합성수 거듭제곱 지수 밑 소인수 소인수분해 서로소 십진법 이진법 진법의전개식 양수 음수 양의정수 음의정수 정수 수직선 양의유리수 음의유리수 유리수 절댓값 교환법칙 결합법칙 분배법칙 역수 양 의부호 음의부호 절댓값기호 유한소수 무한소수 순환소수 순환마디 참값 측정값 근삿값 오차 오차의한계 유효숫자 은양의정수 은 양의정수 제곱근 근호 무리수 실수 분모 의유리화 소수 합성수 거듭제곱 지수 밑 소인수 소인수분해 서로소 양의정수 음의정수 정수 수직선 양의유리수 음의유리수 유리수 양수 음수 절댓값 교환법칙 결합법칙 분배법칙 역수 유한소수 무한소수 순환소수 순환마디 제곱근 근호 무리수 실수 분모의유리화 양의부호 음의부호 절댓값기호 순환소수표현 예 2 추론 삭제 학습량축 감 이동 고등 집합 원소 원소나열법 조건제시법 유한집합 무한집합 공집합 부분집합 진부분집합 서로같다 벤다이어그램 합집합 교집합 전체집합 여집합 차집합 삭제 십진법 이진법 진법의전개식서로같다 참값
영역 2007 교육과정 2009 교육과정 수학적과정 학년 비고 측정값 근삿값 오차 오차의한계 유효숫자 은양의정수 은양의정수 교수 학습상의유의점 집합의연산에서는두집합의연산을주로다룬다 약수와배수는자연수의범위에서만다룬다 유한소수를순환소수로나타내는것은강조하지않는다 순환소수를분수로고칠때공식화하는것은강조하지않는다 근삿값을다룰때과학이나실생활관련소재를사용한다 제곱근의근삿값이필요할때에는제곱근표나계산기를사용하고 제곱근풀이법은다루지않는다 약수와배수는자연수의범위에서만다룬다 유한소수를순환소수로나타내는것은다루지않는다 순환소수를분수로고치는것은순환소수가유리수임을이해할수있는정도로만다룬다 다양한상황을이용하여음수와무리수의필요성을인식하게한다 수의계산에서자신의풀이방법을설명하게한다 의사소통 의사소통
오늘날지구상에는아직도수를표현하는방법으로 하나, 둘, 많다 라는것만사용하는종족이있다고한다. 이들은개수를헤아리는단위로서하나와그것의짝이되는수두개와많다는것밖에알지못하고있는것이다. 이것으로미루어볼때, 1과 2는인류에의해이해된최초의수개념이라볼수있다. 이런흔적은여러나라의수관련언어에서도찾아볼수있다. 수메르인의언어에서 1, 2, 3을지칭하는말은 게슈 (gesh), 민 (min), 에슈 (esh) 인데게슈는 1을지칭하기도했고, 남자를뜻하기도했다. 이와유사하게 민 은 2를지칭하기도했고여성을뜻하기도했다. 그리고 에슈 는 3 또는많다는것을의미했다. 고대라틴어에서유래된영어의 three는 3이라는뜻이외에도많다는의미로쓰이기도했다. 고대중국에서는나무의그림자를세번반복함으로써 숲 을표현했고, 사람의형상을세번재현하여군중을뜻하기도했다. 이렇게고대각민족의수역사의시초를살펴보면숫자를직접적으로인지하는인간의능력이 4를넘어서지못하였음을알수있다. 그런데이런출발에도불구하고오늘날무한의수까지사용할수있게된것은 일대일대응 이라는방법을인간이사용할수있었기때문이다. 자연수는물건의개수를세거나순서를정할때일상적으로흔히사용될뿐아닐수학의가장기초가되는개념이다. 자연수는직관적으로 1에서차례로증가하는수의계열로이해할수있지만, 이러한직관적인개념만으로는수학이론을엄밀하게전개해나갈수가없다. 19세기에페아노 (Peano, G. ; 1858 ~ 1932) 는자연수를공리적으로엄밀하게정의하였는데, 이에따르면자연수는다음의 5가지공리를만족하는집합 N의원소이다. 1 1은 N의원소이다. 2 이 N의원소이면 도 N의원소이다.( 여기서 은 의후자 (successor) 이다.) 3 1과 2의과정에서얻어진것만이 N의원소이다.( 수학적귀납법의원리 ) 4 N의어떤원소에대해서도 은 1과같지않다. 5 N의두원소 에대하여 이면 이다. 위의 5 개공리를자연수에대한 페아노공리 라고한다. 페아노공리를만족하는집합 N 을자연수의집합 이라하고, 그원소를자연수라고한다. 이때 1, 후자 (successor), 집합 N 등은기본적인개념으로서별도 의정의가없는무정의용어로취급한다. 소수는 1보다큰자연수중에서 1과자기자신만을약수로가지는수 라는정의는유클리드 (Euclid, 기원전 330?-275?) 의원론에처음으로등장했다. 13권으로이루어진유클리드의원론중제VII, VIII, IX권은기초적인수론을다루고있다. 제VII권은짝수, 홀수, 소수, 합성수등과같은기본적인용어에대한정의로시작하며, 두자연수의최대공약수를구하는유클리드의호제법이소개되어있다.
제IX권에는수론에서중요한정리를많이찾아볼수있는데, 특히소수와관련된정리로자연수의소인수분해는소수를나열하는순서를제외하면유일하다는 산술의기본정리 ( 명제 14) 가있다. 산술의기본정리에의하여, 소수는곱셈과정을통해다른모든자연수를구성하는기초적인요소가된다. 그리고자연수를소인수분해하면, 그수의수학적성질을파악할수있는중요한정보를얻게된다. 이런점에서, 소수는화학의원소나물리학의소립자에비유되며, 그와같은중요성을수학에서가진다. 소인수분해를이용하면, 주어진자연수의구조를한눈에파악할수있으며, 큰자연수의약수를빠뜨리지않고쉽게찾을수있는이점이있다. 그리고자연수들의최대공약수와최소공배수도착오없이거의기계적으로구할수있다. 어떤자연수의소수여부를판정하는가장알기쉽고확실한방법은주어진수보다작은자연수로차례로나누어보는것이다. 물론, 모든자연수로나누어볼필요는없으며, 소수만으로나누어보면충분하다. 예를들어자연수 이 2로나누어떨어지면, 은합성수이다. 한편, 이 2로나누어떨어지지않으면, 4로도나누어떨어지지않는다. 또, 이 2와 3으로나누어떨어지지않으면, 6으로도나누어떨어지지않는다. 그러므로합성수인 4나 6으로나누어볼필요가없다. 실제로는 보다작거나같은소수로나누어보면충분하다. 왜냐하면 이합성수이면 1과 사이의두장녀수 와 가존재하여 이고, 와 중에서적어도하나는 보다클수없기때문이다. 이와같은원리를이용한것이바로 에라토스테네스의체 이다. 에라토스테네스 (Erarosthenes, 기원전 275-194) 는젊은시절아테네에서연구했으며, 약 40세때알렉산드리아로초빙되어왕자의개인교수와알렉산드리아박물관의책임자로근무했다. 그는소수를찾는방법뿐아니라, 지구의둘레를최초로매우정확하게측정했고지도를만들기도했다. 그런데앞에서설명한방법을이용하면작은자연수의소수여부를쉽게판정할수있지만, 수가커지면적용하기가매우어려워진다. 예를들면, 슈퍼컴퓨터를사용하더라도 20자리의수는약 1시간, 50자리의수는약 10억년, 100자리의수는약 1035년이걸린다고한다. 오늘날암호학에서는 50자리에서 100자리정도의소수가이용되고있다. 현재거대한자연수의소수판정에이용되는가장훌륭한방법으로 APRCL 판정법 이있다. 슈퍼컴퓨터에서이방법을이용하면, 20자리의수는 10초미만, 50자리의수는 15초미만, 100자리의수는 40초미만이걸린다고한다. 그런데주어진자연수의소수판정에비해, 소인수분해는훨씬더어렵다. 그리고소인수분해하는방법이있지만, 컴퓨터를사용해도큰수의경우는매우오랜시간이걸린다. 이와같이소인수분해의어려움을이용하는암호화방법으로현재널리사용되고있는 공개열쇠암호체계 가있다. 유클리드의원론제IX권에는소수가무한히많다는정리 ( 명제 20) 도있다. 이에대한증명은참고문헌의 정수론 을보라. 무수히많은소수를한개의공식을나타낼수있다면, 매우편리할것이다. 이에따라많은수학자는그와같은공식을찾으려고시도했다. 예를들면, 페르마 (Pierre de Fermat, 1601?-1665) 는다음과같은공식으로얻는 페르마수 는항상소수가된다고주장했다. (n=0, 1, 2, 3, 4, )
실제로, 처음다섯개의페르마수는소수이다. F 0 =2, F 1 =5, F 2 =17, F 3 =257, F 4 =65537 페르마수는지수도 2의거듭제곱이기때문에, 의값이커짐에따라그값이급격하게증가해서소수여부의판정이매우어려워진다. 페르마의주장은 1732년오일러 (Leonhard Euler, 1707-1783) 에의하여거짓으로밝혀졌다. F 5 는다음과같이소인수분해되는합성수이다. F 5=4294967297=641 6700417 F 5 부터 F 23 까지의모든페르마수를포함해서그속성이밝혀진 100여개의페르마수는모두합성수이다. 이에따라, 처음다섯개를제외한나머지모든페르마수는합성수일것이라고추측되고있다. 페르마수는몇가지의경우를관찰하고일반적인결과를주장할수없음을보여주는훌륭한예로활용되고있다. 그렇다면소수만을그리고모든소수를값으로가지는공식이있을까? 그런공식들이있기는하지만, 약간복잡하거나활용가치가높지않다. 한개의예를들겠다. 임의의자연수 m과 n에대하여다음과같이 k를정하자. 그리고다음을계산하자. 그러면 p의값은언제나소수이고, 모든소수는 m과 n의적당한값에대한 p의값으로나타난다. 무수히 많은 m과 n에대하여 p=2가되고, 다른소수는단한가지의 m과 n의값에대하여 p의값이된다. 예를 들면다음과같다. m=1, n=2 p=3 m=5, n=4 p=5 m=103, n=6 p=7 m=329891, n=10 p=11
π π π 소수는무한히많기때문에, 가장큰소수는없고현재까지발견된소수보다더큰소수가언제나존재 한다. 이에따라더큰소수를찾기위한경쟁이치열하게진행되고있다. 그렇지만컴퓨터를사용해도거대한수의소수판정이쉽지않고시간이많이걸린다. 그래서효율적인 알고리즘으로소수여부를쉽게판정할수있는특별한형태의수들을선택한다. 그와같은수로다음과 같이정의되는 메르센수 가있다. M n=2 n -1 메르센수는프랑스의메르센 (Marin Mersenne, 1588-1648) 의이름을따서부르고있다. 메르센은 1644년이런수가 n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257에대하여소수이고, 257보다작은다른 모든 n에대해서는합성수라고말했다. 메르센의말은탁상용계산기가출현한 1947년에이르러서야진위 여부가판명되었는데, 그는다섯가지실수를범했다. M 67 과 M 257 은소수가아니고, M 61, M 89, M 107 은소수 이다. 소수인메르센수를 메르센소수 라고하는데, 그동안가장큰소수의기록을유지했던수는대부분메 르센소수였다. 메르센소수는위에서말한 12개를포함해서현재 (2012 년 2월 ) 까지 47개가발견되었다. 가장최근에발견된메르센소수는지난 2009년 6월에발견된 이고, 지금까지발견된가장 큰메르센소수는지난 2008년 8월에발견된 이다. 다음표는메르센소수 7개를가장큰것 부터나열한것이다. 소수 자리의수 발견연도 12978189 2008 12837064 2009 11185272 2008 9808358 2006 9152052 2005 7816230 2005 7235733 2004
거듭제곱의뜻을알게한다. 소수 ( 素數 ; prime number) 의뜻을알게한다.
소인수분해의방법을알고, 주어진자연수를소인수분해하게한다. 년마다반복되는하늘과땅의조화 최대공약수의성질을이해하고소인수분해를이용하여최대공약수를구하게한다.
소인수분해를이용하여 과 의최대공약수를구하여라. 또, 공약수를모두구하여라. 최소공배수의성질을이해하고소인수분해를이용하여최소공배수를구하게한다. 소인수분해를이용하여 과 의최소공배수를구하여라. 또, 공배수를구하여라. 풀이 최소공배수 공배수 최대공약수와최소공배수를활용하여여러가지문제를해결하게한다.
초콜릿 개와사탕 개를되도록많은주머니에나누어담으려고한다. 모든주머니에들어있는초콜릿의개수와사탕의개수를각각같게하고초콜 릿이나사탕이남지않게하려면주머니가몇개있어야하는가? 풀이 운동장한바퀴를도는데은정이는뛰어서 초가걸리고현정이는자전거를타고 초가걸린다. 두사람이동시에같은곳에서출발하여같은방향으로돌때, 처음으로두사람이동시에출발한곳으로돌아오는것은몇초후인가? 또, 그때까지은정이는운동장을몇바퀴돌게되는가? 풀이 초, 바퀴
Goldbach C
가장큰소수는...? 가장큰소수는존재하지않는다 유클리드는그의원론제권명제 에서소수는무한히많으며 따라서가장큰소수는존재하지않음을다음과같이증명했다 소수가유한개있고그중가장큰소수를 이라가정하자 까지의모든소수들의곱을 라고하면 은소수이거나합성수이다 만약 이합성수라면 이하의소수중하나로나누어져야하지만 이것은불가능하므로 은소수이어야한다 그러나이것은 이가장큰소수라는가정에모순이다 따라서소수는무한히많고 가장큰소수는존재하지않는다 주의 위의증명에서 은합성수가아니지만 그렇다고항상소수인것도아니다 예를들어 은소수이지만 는소수가아니다 1000 이하의소수목록 더많은소수의목록을볼수있는사이트 http://www.math.utah.edu/~pa/math/primelist.html n 이하의소수를모두찾으려면 에라토스테네스의체에라토스테네스의체를이용하여 이하의소수를찾으려면 보다작은소수들의배수를모두지우면된다 예를들어 이하의소수를모두찾으려면 이하의소수중가장큰소수인 의배수까지지우면된다 에라토스테네스의체를직접실행해볼수있는사이트 http://math.utah.edu/~alfeld/eratosthenes.html 거듭제곱의위력고대인도의왕자살라는체스게임에매료된나머지체스의발면가세타를불러상을내리겠다고했다 세타는국왕에게다음과같이아뢰었다 체스판은모두 칸으로되어있습니다 저에게쌀을주시되첫째칸에는한알 둘째칸에는두알 셋째칸에는네알 이렇게다음칸에는바로앞칸의두배가되도록 칸까지계산해서그것들을주실수있나요 뭐그정도쯤이야 내그렇게상을내리리라 살라는세타의소박한바램을흔쾌히허락했다 그런데과연살라는세타의소원을들어줄수있었을까 세타의소원대로쌀을주면
째칸에는 알 째칸에는 알 째칸에는 알 쌀 알이약 이므로 째칸이면약 또는 톤이된다 즉 번째칸까지채우게될쌀의양은어마어마한양이었던것이다 약수와인수 약수 는나눗셈에서 인수 는곱셈에서비롯된용어이지만 소인수분해와관련된내용을다룰 때는통상적으로약수보다는인수라는용어를사용한다 소인수분해의유일성 를여러가지방법으로소인수분해하게한뒤 자연수를어떤방법으로소인분해해도소인수들을곱하는순서를고려하지않으면그결과는오직한가지뿐이라는사실을알게한다 이것을 산술의기본정리 혹은 소인수분해의유일성 이라고한다 자연수 을소수에서제외시킨것은소인수분해의유일성과관련이있다고볼수있는데 만약 을소수로취급하면다음과같이소인수분해의결과를여러가지로나타낼수있게된다 자연수를소수들의합으로 - 골드바흐의추측 보다큰모든자연수는소수들의곱으로나타낼수있고 이를소인수분해라고한다 그렇다면자연수를소수들의합으로도나타낼수있을까 이와관련된문제중의하나인 골드바흐의추측 은소수와관련하여아직해결되지않은미해결문제중하나로 보다큰모든짝수는두개의소수의합으로나타낼수있다는것이다 예를들어 까지의짝수는다음과같이두개의소수의합으로나타낼수있다 그러나모든짝수에대해서가능한지는아직까지증명도반증도되지않았다 소인수분해의활용 _ 약수의개수와총합자연수 이두소수 와 로 와같이소인수분해될때 의약수는 의 개이고 의약수는 의 개이다 따라서 의약수의개수는 이고 의약수의총합은 이다 자연수 이 개이상의소인수들의거듭제곱의곱으로소인수분해되는경우에도마찬가지방법으로약수의개수와총합을구할수있다 예를들어 의약수의개수는 이고 약수의총합은 이다
수준별활동 상 약수의개수가홀수인자연수는어떤수일지생각해보게하고 이하의자연수중에서이런수를모두찾아보게한다 풀이 어떤자연수의약수의개수가홀수라는것은각소인수의지수에 을더한결과가모두홀수임을의미한다 따라서주어진자연수의각소인수는모두짝수이고 각소인수의지수가모두짝수인자연수는제곱수이다 최대공약수의성질두자연수의공약수는모두이두수의최대공약수의약수임을다음과같이보일수있다 두자연수 와 의최대공약수를 라하면 다음을만족시키는서로소인두자연수 와 가존재한다 두자연수 와 의공약수중에서 의약수가아닌공약수가존재한다고가정하고 그수를 라하자 는 와 의공약수이면서 의약수는아니므로 의소인수중에서 와 의공약수이지만 의약수가아닌수 가존재한다 즉 소수 는 와 의공약수이고 의약수는아니다 그러므로 는 와 의공약수이다 소수 는 보다크므로이것은 와 가서로소라는가정에모순이다 따라서두자연수 와 의공약수중에서 의약수가아닌공약수는존재하지않는다 즉 두자연수의공약수는모두이두수의최대공약수의약수이다 두수의최대공약수를구하는다른방법 와 의최대공약수는 이고 이는 와 의최대공약수인 와같다 이와같이 인두자연수 와 의최대공약수는 와 의최대공약수와같다 이성질을여러번반복해서사용하면두자연수의최대공약수를쉽게구할수있다 예를들어두자연수 와 의최대공약수를 라하면 다음이성립한다 따라서 와 의최대공약수는 과 의최대공약수와같고 과 의최대공약수는 이므로결국 와 의최대공약수는 이다 두자연수의최대공약수를구하는이런방법을유클리드의호제법 이라한다 유클리드의호제법을이용하면공약수를찾아나누어보거나소인수분해를하지않고도두자연수의최대공약수를구할수있다 두수혹은세수의최대공약수를구할수있는사이트 두자연수 와 의최대공약수를 라할때 다음을만족시키는두정수 와 가존재한다 특히두자연수 와 가서로소이면 을만족시키는두정수 와 가존재하고 따라서임의의자연수 에대하여 을만족시키는두정수 와 가존재한다 예를들어서로소인두자연수 와 에대하여 가성립한다 이식으로부터 갤런짜리물통을 번채우고 갤런짜리물통을 번비우면 개런의물을남길수있음을알수있다 이를 5갤런짜리물통과 3갤런짜리물통을이용하여 4갤런의물을담아내는과정에대응시켜살펴보면다음과같다. ➊ 우선 5 갤런통을가득채운후 3 갤런통에따라내어 2 갤런이남도록한다. --> 5 갤런짜리물통을 1 번채운다. ➋ 3 갤런통을비운후 5 갤런통에남아있는 2 갤런의물을붓는다. 이제 3 갤런통에는 1 갤런이더들어갈수있다.
--> 3 갤런짜리물통을 1 번비운다. ➌ 5 갤런통을가득채운후 2 갤런이들어있는 3 갤런통을가득채우면, 5 갤런통에는 4 갤런의물이남게된다. --> 5 갤런짜리물통을 1 번채우고, 3 갤런짜리물통을 1 번비운다. 그러나 6갤런짜리물통과 3갤런짜리물통으로 4갤런의물을담아내는것은불가능하다. 왜냐하면 6갤런과 3갤런짜리물통두개를가득채우고비우는과정을반복하는것은 6과 3을서로더하고빼는과정을반복하는것과같고, 이과정을반복해서담을수있는물의양은 3갤런, 6갤런, 9갤런, 과같이 (3의배수 ) 갤런중하나인반면 4는 3의배수가아니기때문이다. 나누어보지않고도알수있는배수판정법모든자연수는 1의배수이다. 2의배수인동시에 3의배수인자연수는 6의배수이다. 주어진자연수가 2의배수인지아닌지혹은 3의배수인지아닌지판정하려면그수를 2와 3으로직접나누어보면된다. 그러나다음과같이나눗셈을직접해보지않고도주어진자연수가어떤수의배수인지아닌지를판단하는방법이있다. 두수혹은세수의최소공배수를구할수있는사이트 두수의최대공약수와최소공배수의관계두자연수 와 의최대공약수를 라하면 다음을만족시키는서로소인두자연수 와 가존재한다 이때두자연수 와 의최소공배수를 이라하면다음이성립한다 위사실로부터두수의최대공약수와최소공배수사이에다음의관계가있음을알수있다 이다 즉 두자연수의곱은그두수의최대공약수와최소공배수의곱과같다 이면 즉 이므로 이다 즉 두자연수의최대공약수와최소공배수가같다면그두수는같은수이다 이면 이다 즉 두자연수의곱이최소공배수와같다면그두수는서로소이다 고전암호 전치암호와이동암호 (1) 전치암호암호는기원전고대그리스시대부터사용되었는데, 그중가장먼저나타난암호는문자의위치를바꾸는전치암호이다. 전치암호는고대그리스의스파르타에서사용되었는데, 전쟁에나간군대와본국에남아있는군대가같은굵기의원통형막대를나누어가지고, 이막대에폭이좁고긴양피지를감고평문을가로로쓴뒤풀어놓으면, 문자가뒤
섞여같은두께의막대가있지않으면암호를풀수가없게된다. 전치암호는댄브라운의소설 다빈치코드 에도들어있다. 암호문 : O DRACONIAN DEVIL ( 오, 드라코같은악마여 ) 평문 : LEONARDO DA VINCI ( 레오나르도다빈치 ) (2) 이동암호 일명시저라고도하는로마의황제카이사르 (Julius Caesar, BC 100~ BC 44) 는브루투스에게암살당하기전 QHYHUWUXVWEUXWXV 라는암호문을키케로에게보냈다. 무슨내용일까? 암호문 : QHYHUWUXVWEUXWXV 평문 : Q 를 N 으로 H 를 E 로바꾸는식으로알파벳을세자리씩앞당겨올라가는규칙을적용해카이사르가보낸암호를풀면 NEVER TRUST BRUTUS 가된다. 이렇게암호의키를푸는단서를 키 라한다. 여기서는키가 3 이다. 이와같이알파 벳을일정한간격으로이동하여적는방식의암호를이동암호라고한다.
± ± ± ± ± ± ± ± ± ± 19 세기에페아노 (Peano, G. ; 1858 ~ 1932) 는자연수를공리적으로엄밀하게정의하였는데, 이에따르면 자연수는다음의 5 가지공리를만족하는집합 N 의원소이다.
1 1은 N의원소이다. 2 이 N의원소이면 도 N의원소이다.( 여기서 은 의후자 (successor) 이다.) 3 N의어떤원소에대해서도 은 1과같지않다. 4 N의두원소 에대하여 이면 이다. 5 ~ ~ ~ ~
자연수를확장하여정수의개념을이해하게한다.
유리수의개념을이해하게한다. 유리수 양의유리수 양수 음의유리수 음수 정수의절댓값을이해하게한다. 수직선을이용하여정수와유리수의대소관계를알게하고, 정수의대소관계와절댓값사이의관계를이해하게한다. 정수의 대소관계 정수와유리수의덧셈과뺄셈방법을이해하고그계산을능숙하게한다.
정수의덧셈 정수의뺄셈 정수와유리수의곱셈과나눗셈방법을이해하고그계산을능숙하게한다.
정수의곱셈 정수의나눗셈 유리수의나눗셈은어떻게할까?
정수와유리수에대하여덧셈및곱셈의교환법칙, 결합법칙, 덧셈에대한곱셈의분배법칙이성립함을이해하게한다. 셋이상의수의사칙계산을능숙하게한다.
생활속의음의부호 - 열차도착예정시각 열차도착안내전광판의맨오른쪽에는열차가정시에도착하지못하고지연되는시간이표시되어있다 탐구 ➊ 위전광판의맨오른쪽에있는숫자 이무엇을의미하는지말해보자 탐구 ➋ 위전광판의맨오른쪽에있는숫자 과 는각각무엇을의미하는지말해보자 탐구 ➋ 위의탐구 ➊ 과탐구 ➋ 에서살펴본세열차의도착예정시각을각각말해보자 유럽의로비층은 1층이아닌 0층유럽에서엘리베이터를타면건물의층수때문에혼란을일으킬때가있다 건물로비에서엘리베이터를타고한층을올라갔는데도내려보면다시 층이어서어리둥절하게된다 우리나라에서는건물로비가있는층이 층인데 유럽에서는 층이기때문이다 건물의층수표기는크게유럽식과미국식으로나눌수있는데 유럽식은지상층 의시작을숫자 으로표시하는반면 미국식은지상층 을숫자 로표시한다 따라서유럽에서는지면에서바로정문을통과하면그층이 층이고한층위가 층이된다 반대로지하로내려갈경우음수로표시하므로 층 층 층 층 층 등과같은방식으로표현된다 반면미국식은 을뺀 층이바로 를의미한다 즉 층 층 층 층 과같은순서이다 수학적으로는유럽식이더합리적일수있다 우리나라에서는지하 층에서네층을올라가면지상 층이되지만 유럽에서는지상 층이된다 지하층을 마이너스 로 지상층을 플러스 로나타낼때 유럽의방식이수의계산과일치한다 방정식을이용한음의정수도입서로반대되는양을나타내기위해음의부호를도입하고 이를통해음의정수를도입하는방법이외에방정식풀이를위해음의정수를도입할수도있다 이를위해학생들에게다음과같은방정식을제시하고 해를찾아보게한다 그러나학생들이초등학교에서배운자연수 분수 중에는위의방정식을만족시키는 의값을찾을수없다 이로부터위의방정식을만족시키는 의값즉 과더해서 이되는수는 와더해서 이되는수는 과더해서 이되는수는 임의의자연수 에대하여 이되는수즉 과더해서 이되는수는 으로나타내기로하고 이렇게정의한수와자연수 그리고 을통틀어정수라고정의한다 이때새롭게정의한수를음의정수라부르기로하고 기존의자연수는음의정수와구분하여양의부호를붙여나타내고양의정수라부르기로한다
방정식을이용한음의유리수도입 음의유리수도음의정수와마찬가지로방정식을이용하여도입할수있다 이를위해학생들에게다음과같은방정 식을제시하고 해를찾아보게한다 그러나학생들이초등학교를포함하여이전시간까지배운정수와분수중에는위의방정식을만족시키는 의값을 찾을수없다 이로부터위의방정식을만족시키는 의값즉 과더해서 이되는수는 과더해서 이 되는수는 을만족시키는수즉 분모와분자가모두자연수인임의의분수 와더해서 이 되는수는 로나타내기로하고 이렇게정의한수와초등학교에서배운분모와분자가모두자연수인분수 그 리고정수를통틀어유리수라고정의한다 이때새롭게정의한수를음의유리수라부르기로하고 기존의분수는음 의유리수와구분하여양의부호를붙여나타내고양의유리수라부르기로한다 유리수 ( 有理數 ) 와유비수 ( 有比數 ) 유리수 는영어 를번역한것으로 비 로 나타낼수있는수 라는의미가있다 이런점에서유리수 를유비수 라번역하기도한다 실제로유리수는통상적으로분모와분자가모두정수인분수즉 두정수 와 의 비 로나타낼수있는수로정의한다 이에따르면 은양의유리수 과같고 은 음의유리수 과같다 그러나초등학교에서부터분수 는분자 를분모 로나눈몫과같은것으로지도해왔으므 로 이런맥락에서분수 의개념을지도하려면음수를포함한두수의나눗셈을먼저지도하여야 한다 따라서분모와분자가모두정수인분수로나타낼수있는수로서의유리수개념정의는두수의나눗셈을지도한후에 다룬다 한점으로부터의거리가일정한점들의모임과절댓값수직선에서원점으로부터의거리가 인점은 과 에대응하는두점이고 이점들은절댓값이 인수를나타낸다 이와같이직선의한점으로부터같은거리에있는그직선의점은 개뿐이다 그러나평면의한점에서같은거리에있는그평면의점은무수히많고 이점들을모두모으면원이된다 그리고공간의한점에서같은거리에있는그공간의점을모두모으면공모양의도형인구가된다 결국수직선에서절댓값이같은두점은평면에서의원과공간에서의구에해당하는도형이다 실제로구를그중심을지나는 평면으로자르면그단면은원이고 이원을다시중심을지나는직선으로자르면그단면은중심으로부터거리가같은두점 이다 이때중심을수직선의원점이라하면주어진구와원의반지름의길이는이들두점의절댓값이다
와 의차이점두수의크기를비교할때등호인 는두수가같음을나타내고 부등호인 는왼쪽의수가오른쪽의수보다작음을나타낸다 일반적으로집합위의어떤관계 가다음세조건을만족할때 이관계 를동치관계 라한다 임의의원소 에대하여 이다 반사적 이면 이다 대칭적 이고 이면 이다 추이적 두수의같음을나타내는 는위의세조건을모두만족하므로일종의동치관계이다 그밖에집합의상등 도형의합동 닮음 등도모두동치관계이다 그러나왼쪽의수가오른쪽의수보다작음을나타내는관계 는추이적이지만 반사적이지도대칭적이지도않으므로동치관계가아니다 집합에서왼쪽의집합이오른쪽집합의진부분집합임을나타내는관계 도 와같은이유로동치관계가아니다 부분순서와대소관계유리수전체의집합에서대소관계 는다음을만족한다 임의의유리수 에대하여 이다 반사적 이고 이면 이다 추이적 이고 이면 이다 반대칭적 집합 위의관계 가반사적 추이적 반대칭적일때 이관계 를부분순서 반순서 라하고 부분순서 가정의된집합 를부분순서집합이라한다 그러므로유리수전체의집합 에서대소관계 는부분순서이고 대소관계가정의된유리수전체의집합 는부분순서집합이다 한편 부분분서집합 의임의의원소 에대하여 또는 일때 를완전순서 라하고 순서쌍 를완전순서집합이라한다 유리수전체의집합 는완전순서집합이다 즉 모든유리수는대소관계 에따라한줄로세울수있다 바둑돌을이용한두정수의덧셈수직선을이용한방법이외에바둑돌을이용하여두정수의덧셈의원리를직관적으로지도할수있다 먼저검은돌 은양의정수를나타내고 흰돌 은음의정수를나타내기로하자 그리고검은돌한개와흰돌한개는같이없앨수있다고하자 이를이용하여두정수의덧셈을다음과같이바둑돌을이용하여나타낼수있다 (1) 검은돌 2개에검은돌 2개를더하면검은돌 5개가된다. 즉, 이다. (2) 흰돌 2 개에흰돌 3 개를더하면흰돌 5 개가된다. 즉, 이다.
(3) 검은돌 2 개에흰돌 3 개를더하면흰돌 1 개가된다. 즉, 이다. (4) 흰돌 2 개에흰돌 3 개를더하면흰돌 5 개가된다. 즉, 이다. 귀납적인방법에의한두정수의덧셈 수직선이나바둑돌이외에다음과같이귀납적인방법으로두정수의덧셈의원리를직관적으로지도할수있다 먼저 양의정수와 정수의덧셈의원리를다음과같이귀납적으로이해시킬수있다 그러고나서 음의정수와정수의덧셈의원리를다음과같이귀납적으로이해시킬수있다 덧셈의교환법칙과결합법칙덧셈이정의된정수전체의집합과유리수전체의집합은가환군이다. 덧셈의결합법칙과교환법칙은가환군의공리중하나이다. 학생들에게는구체적인예를통해두수의덧셈에서두수의순서를바꾸어더해도그결과가같고, 세수의덧셈에서더하는순서를바꾸어도그결과가같음을확인하게한뒤, 이를각각덧셈의교환법칙과결합법칙이라함을알게한다. 이때교환법칙과결합법칙을혼동하지않도록유의한다. 즉, 교환법칙은두수의순서를바꾸는것이지세수의덧셈에서더하는순서를바꾸는것이아님을알게한다. 그러나이들법칙자체를지나치게강조하지는않는다. 한편, 덧셈은이항연산이므로세수이상의덧셈은두수의덧셈을여러번반복하는것이고, 이때괄호는먼저할덧셈을나타내기위한것이다. 그러나덧셈의결합법칙에의해어느두수의덧셈을먼저해도그결과는같으므로세수이상의덧셈을괄호를사용하지않고나타내기도한다.
군 (Group) 과가환군 (Commutative Group) 연산 * 이정의된집합 ( ) 에대하여다음의 (1) 이성립할때 (, *) 를반군 (semi group) 이라하고, (1) 과 (2) 가성립할때모노이드 (monoid) 라고하며, (1)~(3) 이모두성립할때군 (group) 이라고한다. 의임의의원소 에대하여 이다 의임의의원소 에대하여 인 의원소 가존재한다 의각원소 에대하여 인 의원소 가존재한다 특히군 에대하여다음의 (4) 가성립할때, 를가환군 (commutative group) 이라고한다. (4) G의임의의원소 와 에대하여 이다. 자연수전체의집합, 정수전체의집합, 유리수전체의집합을각각 라고할때, 와 는모두가환군이지만, 는반군이다. 한편 는모노이드이다. 귀납적인방법으로두수의뺄셈의원리추측하기 덧셈과뺄셈의역연산관계를이용하지않고 초등학교에서배운자연수의뺄셈과이전시간에배운음수를포함한두수의 덧셈을이용하여두수의뺄셈의원리학습을위한탐구활동을다음과같이제시할수도있다 두수의뺄셈에대한다음물음에답해보자 ➊ 다음 안에알맞은수를써보자 ➋ ➊ 와 를어떻게하면될지생각해보자 바둑돌을이용한두정수의뺄셈바둑돌을이용하여두정수의뺄셈의원리를직관적으로지도할수있다 앞에서와같이검은돌은양의정수를나타내고 흰돌은음의정수를나타내기로하자 그리고검은돌한개와흰돌한개는같이없앨수있다고하자 이를이용하여두정수의뺄셈을다음과같이바둑돌을이용하여나타낼수있다
귀납적인방법에의한부호가다른두정수의곱셈양의정수는자연수와같으므로 ( 양의정수 ) ( 양의정수 ) 의계산은초등학교에서배운 ( 자연수 ) ( 자연수 ) 의계산과같다. 이를이용하여 ( 양의정수 ) ( 음의정수 ) 의계산을다음과같이귀납적으로지도할수있다. (+3) (+2) = +6 = +(3 2) (+3) (+1) = +3 = +(3 1) (+3) 0 = 0 (+3) (-1) = = (3 1) (+3) (-2) = = (3 2) 마찬가지방법으로 ( 음의정수 ) ( 양의정수 ) 의계산도다음과같이귀납적으로지도할수있다. (+2) (+3) = +6 = +(2 3) (+1) (+3) = +3 = +(1 3) 0 (+3) = 0 (-1) (+3) = = (1 3) (-2) (+3) = = (2 3) 귀납적인방법에의한두음의정수의곱셈부호가다른두정수의곱셈즉, ( 양의정수 ) ( 음의정수 ) 와 ( 음의정수 ) ( 양의정수 ) 의계산을지도한뒤, 부호가같은두정수의곱셈즉, ( 음의정수 ) ( 음의정수 ) 의계산을다음과같이귀납적으로지도할수있다. (-3) (+2) = -6 = -(3 2) (-3) (+1) = -3 = -(3 1) (-3) 0 = (-3) (-1) = = (3 1) (-3) (-2) = = (3 2) 혹은 (+2) (-3) = -6 = -(2 3) (+1) (-3) = -3 = -(1 3) 0 (-3) = (-1) (-3) = = (1 3) (-2) (-3) = = (2 3) 복소수의곱셈을이용한 (-1) (-1)=1 의계산 -1은정수이기도하지만복소수이기도하다. 임의의복소수 에대하여 은좌표평면에서복소수 에대응하는점을원점을중심으로 회전시킨점이나타내는복소수이다. 그러므로 은복소수 1에대응하는좌표평면의점을원점을중심으로 회전시킨점이나타내는복소수이다. 복소수 1에대응하는좌표평면의점은 (-1, 0) 이고이점을원점을중심으로 회전시키면 (1,0) 이된다. 점 (1,0) 이나타내는복소수는 1이다. 따라서 이다.
언어속의분배법칙임직원 임원 직원교직원 교원 직원장차관 장관 차관남북한 남한 북한등하교 등교 하교상하행 상행 하행좌우측 좌측 우측 나눗셈에서 0으로나누지않는이유나눗셈에서나누는수는 이아닌수에한정한다 그이유를곱셈과나눗셈의역연산관계를이용하여살펴보면다음과같다 이아닌수를 으로나누는경우예를들어 라하고 곱셈과나눗셈의역연산관계를적용하면 는식 을만족시키는수이다 그러나이식을만족시키는 의값은존재하지않는다 을 으로나누는경우 라하고 곱셈과나눗셈의역연산관계를적용하면 는식 을만족시키는수이다 그러나이식은모든수에대하여항상성립한다 즉 의값이하나로정해지지않고무수히많다 역수개념및역수를이용한두수의나눗셈지도를위한탐구활동 곱셈과나눗셈의역연산관계를이용하지않고 초등학교에서배운분수의나눗셈과이전시간에배운음수를포함한두수의 곱셈을이용하여역수의개념및역수를이용한두수의나눗셈지도를위한탐구활동을다음과같이제시할수도있다 수의곱셈과나눗셈에대한다음물음에답해보자 ➊ 다음 안에알맞은수를써보자 ➋ 안에알맞은수를써보자 ➋ 와 을어떻게하면될지생각해보 자