. Fourier Series, Itegrl, d Trsorms Bog-Kee ee Chom Ntiol Uiversity. Fourier Series 주기함수 (periodi utio) 함수 (), 모든실수 에대하여정의주기 (period) 어떤양수 p가존재하여, 모든 에대하여 ( + p)=() 주기함수 (periodi utio) 예. si, ( 주기 π) 주기함수가아닌예.,,, e, h, l 등 주기함수의성질 함수 () 의주기가 p 이면, 모든 에대하여 ( + p) = () (=,,, ) () 와 g() 의주기가 p 이면, ()+bg() 의주기도 p 이다. (, b: 임의의상수 )
. Fourier Series 삼각급수 (trigoometri series) 삼각함수계 (trigoometri system) 주기 π 인함수들로이루어진계,,si,,si,,,si, 삼각급수 (trigoometri series) b si 계수 (oeiiet) b si b si 삼각급수가수렴할경우, 그합은주기가 π 인주기함수 b si 푸리에급수 (Fourier series). Fourier Series 푸리에급수 (Fourier series) b si 푸리에계수 (Fourier oeiiets) 푸리에급수의계수들 오일러공식 (Euler ormuls) 에의하여결정할수있음 b,,, si
. Fourier Series 푸리에급수 (Fourier series) E. 주기적인직사각형파 (retgulr wve) & si si si si si si si b. Fourier Series 푸리에급수 (Fourier series) si si si si si si si eve odd eve odd eve odd b b b
. Fourier Series 푸리에급수 (Fourier series) 삼각함수계의직교성 (orthogolity) 삼각함수계는구간 π π 에서직교한다. m si si m si m 푸리에급수에의한표현 m m m or m 함수 () 에대하여, : 주기가 π 인주기함수 & 구간 π π 에서구분연속 (pieewise otiuous) & 각점에서좌도함수 (let-hd derivtive) 와우도함수 (right-hd derivtive) 를가짐 함수 () 의푸리에급수는수렴한다. : () 가불연속인점을제외한모든점에서의급수합 = () : 불연속인점에서의급수의합 = () 의좌극한값과우극한값의평균. Futios o Ay Period p= 임의의주기 (p=) 을가지는함수 주기가 π 인함수를주기가 인함수로단순히주기의척도만을변화시킴 b si b,,, si
. Futios o Ay Period p= 임의의주기 (p=) 을가지는함수 E. 주기적인직사각형파 & p,7,,,,9, eve si si si si. Futios o Ay Period p= 임의의주기 (p=) 을가지는함수 E. 주기적인직사각형파 b b 7 7 7 7 si si si si
. Eve d Odd Futios. Hl-Rge Epsios 푸리에코사인급수 & 푸리에사인급수 푸리에코사인급수 (Fourier ie series) 주기가 인우함수 (eve utio; g(-)=g()) 의푸리에급수,,,, 푸리에사인급수 (Fourier sie series) 주기가 인기함수 (odd utio; h(-)=-h()) 의푸리에급수 b si b si,,,. Eve d Odd Futios. Hl-Rge Epsios 푸리에코사인급수 & 푸리에사인급수 합과스칼라곱 함수의합인 + 의푸리에계수는 과 각각에해당하는푸리에계수의합과같다. 함수 의푸리에계수는 의해당푸리에계수에 를곱한것과같다. E. 톱니파 (swtooth wve) & &
. Eve d Odd Futios. Hl-Rge Epsios 푸리에코사인급수 & 푸리에사인급수 : odd utio b si :, b si b si b si si si si si si si si si si. Eve d Odd Futios. Hl-Rge Epsios 반구간전개 (hl-rge epsios) 주어진함수 () 를주기적인함수 ( 주기 ) 로확장 주기적인우함수로확장 (eve periodi etetio) 주기적인기함수로확장 (odd periodi etetio) 함수 는길이 의주기구간의반구간범위내에서주어짐 주어진함수 ( ) 주기가 인우함수로확장 주기가 인기함수로확장
. Eve d Odd Futios. Hl-Rge Epsios 반구간전개 (hl-rge epsios) E. si si. Eve d Odd Futios. Hl-Rge Epsios 반구간전개 (hl-rge epsios) b b si si si 8 si 8 si 8 si 8 si 8 si si si si si si 6 6 6 6 6 6 6
. Comple Fourier Series 복소푸리에급수 (omple Fourier series) 푸리에급수 b si b,,, si e e it it t i si t t i si t it it t e e it it si t e e i e e,,, 복소푸리에급수 e,,, i 복소푸리에급수 ( 주기 인함수 ) i e i. Comple Fourier Series 복소푸리에급수 (omple Fourier series) E. e & i i sih i i sih i i i i i e e e e e i e e e si i e sih i i e i i i 복소푸리에급수 (omple Fourier series)
. Comple Fourier Series 복소푸리에급수 (omple Fourier series) i ie i i si i ie i i si i i ie ie si i e e sih sih sih sih i i e sih si i i si si i i si si si si si 실푸리에급수 (rel Fourier series). Fored Osilltios 강제진동 E. my'' y' y r t y''.y' y r t r t t t t & r t t rt Fourier oeiiets : b, r t t t t t rt t,,, y''.y' y t,,,
. Fored Osilltios 강제진동 y''.y' y t y A y t stedy y p t y A t B si t y ''.y ' y., B, D. D t D t stedy y p t y y y y,,, : y y y h p 특성방정식의모든근이음수또는음의실수부를가짐 ( 안정성 ) y p 미정계수법 s t.6 Approimtio by Trigoometri Polyomils 근사이론 (pproimtio theory) 푸리에급수의주된응용분야의하나 어떤함수의근사값을단순한함수로표현 기본개념 (): 주기가 π 인푸리에급수로표현가능한주기함수 N 차부분합 : () 에대한근사값 b si N b si N 차의삼각다항식 (N 고정 ) 을이용하여최적으로함수 를근사화 F N A A B si
.6 Approimtio by Trigoometri Polyomils 근사이론 (pproimtio theory) 제곱오차 (squre error) 구간 π π 에서함수 F 의함수 에관한제곱오차 최소제곱오차 E F 구간 π π 에서 F의 에관한제곱오차는 F의계수가 의푸리에계수이면최소가된다. N E* b N 이증가함에따라 의푸리에급수부분합은제곱오차관점에서점점더 를잘근사화하게됨.6 Approimtio by Trigoometri Polyomils 근사이론 (pproimtio theory) Bessel 의부등식 (Bessel s iequlity) b Prsevl 의정리 (Prsevl s theorem) b
.7 Fourier Itegrl E. 주기가 인함수에서주기가 가될경우 b si si : eve utio & otherwise lim.7 Fourier Itegrl E. si si & 진폭스펙트럼 (mplitude spetrum)
.7 Fourier Itegrl 푸리에적분 (Fourier itegrl) w b si w w w vdv w v wvdv si w v vdv w w v wvdv si w w v lim w v wvdv si w v w A w Aw w Bw w v wvdv & Bw v si w vdv si wvdvdw si wvdv si w vdv si w dw 푸리에적분 (Fourier itegrl).7 Fourier Itegrl 푸리에적분 (Fourier itegrl) Aw w Bwsi w Aw v wvdv & Bw vsi wvdv 모든유한구간에서구분연속 모든점에서좌도함수와우도함수가존재 아래적분의유한한극한이존재 ( 절대적분가능, bsolutely itegrble) b lim lim b () 는푸리에적분으로표현이가능 (() 가불연속인점에서의푸리에적분값은그점에서 () 의좌극한값과우극한값의평균과같음 ) dw
.7 Fourier Itegrl 푸리에적분 (Fourier itegrl) E. Aw bbw v v wvdv wvdv si wv w si wvdv si wvdv wv w si w w v v v v si w w Aw w Bwsi wdw wdw wsi w dw w wsi w dw w wsi w dw w Dirihlet 의불연속인자 (disotiuous tor).7 Fourier Itegrl 푸리에적분 (Fourier itegrl) wsi w dw w si w u si w dw w w 사인적분 (sie itegrl) dw Siu wsi w wsi w dw dw w w si t si t dt dt Si t t Si si w w siw w dw w w dw
.7 Fourier Itegrl 푸리에적분 (Fourier itegrl) Aw w Bw v wvdv& Bw v A w 푸리에코사인적분 (Fourier ie itegrl) () 가우함수일때의푸리에적분 A 푸리에사인적분 (Fourier sie itegrl) () 가기함수일때의푸리에적분 Aw & Bw vsi wvdv Bwsi wdw si w dw si wvdv w v wvdv & Bw Aw wdw.7 Fourier Itegrl 푸리에적분 (Fourier itegrl) E. 라플라스적분 e, v v wvdv e wvdv w w Aw wdw dw e w w dw e 라플라스적분 w v w v wvdv e si si wvdv w wsi w Bwsi wdw dw e w wsi w dw e 라플라스적분 w Aw bbw
.8 Fourier Cosie d Sie Trsorms 적분변환 (itegrl trsorm) 주어진함수를다른변수에종속하는새로운함수로만드는적분형태의변환 ( 예. 라플라스변환 ) 푸리에코사인변환 (Fourier ie trsorm) 우함수인 () 에대하여, & A A w wdw w v wvdv v wvdv ˆ w F ˆ w ˆ w wdw w 푸리에코사인변환 푸리에코사인역변환.8 Fourier Cosie d Sie Trsorms 적분변환 (itegrl trsorm) 푸리에사인변환 (Fourier sie trsorm) 기함수인 () 에대하여, Bwsi wdw & B F ˆ s s w si w 푸리에사인변환 ˆ s w si wdw 푸리에사인역변환 w vsi wvdv vsi wvdv ˆ s w
.8 Fourier Cosie d Sie Trsorms 적분변환 (itegrl trsorm) E. ˆ ˆ s w w w si w w si w si w w w w si w w w w.8 Fourier Cosie d Sie Trsorms 적분변환 (itegrl trsorm) 선형성 도함수의코사인및사인변환 (): 연속이며 축상에서절대적분가능 (): 모든유한구간에서구분연속 일때, () F ' wfs F ' wf s F F F s bg F bf g bg F bf g '' w F ' F '' w F w s s s s s
.8 Fourier Cosie d Sie Trsorms 적분변환 (itegrl trsorm) E. e ' e & '' e '' F F F '' w F ' w F w F w F e.9 Fourier Trsorms. Disrete d Fst Fourier Trsorms 푸리에변환 (Fourier trsorm) 푸리에코사인변환 & 푸리에사인변환 : 실수변환 푸리에변환 : 복소수변환 복소푸리에적분 (omple Fourier itegrl) iwv ve dvdw 푸리에변환 ˆ iw w e ˆ F 푸리에역변환 (iverse Fourier trsorm) iw - ˆ we dw F ˆ
.9 Fourier Trsorms. Disrete d Fst Fourier Trsorms 푸리에변환 (Fourier trsorm) 푸리에변환의존재 () 가 축상에서절대적분가능이고모든유한구간에서구분연속 () 의푸리에변환이존재함 E. ˆ w F e iw otherwise iw e iw e iw iw iw e e i si w si w iw iw w iw e e iw si w w iw.9 Fourier Trsorms. Disrete d Fst Fourier Trsorms 푸리에변환 (Fourier trsorm) 선형성 도함수의푸리에변환 bg F bf g (): 축상에서연속 (): 축상에서절대적분가능 일때, () F F F ' iwf '' w F
.9 Fourier Trsorms. Disrete d Fst Fourier Trsorms 푸리에변환 (Fourier trsorm) E. e F e e ' e ' F e ' F e ' iwf e iw e w iw e w 합성곱 (ovolutio) * g pg pdp pgp 합성곱정리 () 와 g() 가구분연속이고유계 (bouded) 하며, 축상에서절대적분가능한경우, * g F g * g ˆ wgˆ F F dp w e iw dw