미분기하학 II-16 복소평면의 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 Ø 'x! xxñ 2007 년 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 1 / 26
자, 이제 H 2 의등장사상에대해좀더자세히알아보자. Definition 선형분수변환이란다음형식의사상을뜻한다. Example f (z) = az + b, 단, ad bc 0. cz + d f (z) = z + 1 z 1, f (z) = z, f (z) = 1 z,. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 2 / 26
Theorem 선형분수변환의 'ê. 1 f 의정의역 = {z C : z d c } if c 0, C if c = 0. 2 f 의치역 = {w C : w a c } if c 0, C if c = 0. 자, 이제 f 는일대일인가? 먼저 f 가전사함수인지알아보자. 즉, 임의의복소수 w C 에대해 w = az + b cz + d 인 z 가있나? 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 3 / 26
만약에있다고가정하면, 따라서 z = ( d)w + b cw + ( a). wcz + wd = az + b, (wc a)z = b wd. 따라서 c가 0이아니고 w가 a ( d)w + b 가아니면, z = c cz + d 인 z가반드시있고또딱하나있다. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 4 / 26
c가 0이아니라는조건, w가 a 가아니라는조건은거추장스럽다. 저런 c 조건이왜생기는것일까? 이를극복하는한가지방법으로서수학자들은복소평면 C 에다가 무한원점 ( ) 을첨가한 Ĉ = C { } 을선형분수변환의정의역과치역으로본다. 이러면 f (z) = az + b cz + d 는 C의모든점에서정의가되며1, 또한 Ĉ에서 Ĉ로가는전단사함수가된다. 1 f ( d c ) =, f ( ) = a c. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 5 / 26
리만구면 C에다가 ( 무한원점 ) 을첨가한 Ĉ을리만구라고한다. Ĉ은사실은우리가알고있는평범한구와대응을시킬수있는데그방법은여러가지가있지만가장보편적인방법은다음의입체사영이다. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 6 / 26
증명 Theorem 선형분수변환 f 는 C의직선이나원을 C의직선이나원으로보낸다. 이사실의증명은웬만한복소해석학교재에는다나와있는데한번살펴보기로하자. 먼저다음의보조정리로부터 ú 하자. Lemma f (z) = 1 z 일때, { 선, 원 } { 선, 원 }. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 7 / 26
증명 z 를 x + iy 라하면임의의선은 αx + βy + γ = 0, 임의의원은 (x α) 2 + (y β) 2 = γ 2 꼴로쓰여지는데이들을종합하면 A(x 2 + y 2 ) + Bx + Cy + D = 0 꼴이된다. 즉, 선이나원은반드시 A(x 2 + y 2 ) + Bx + Cy = 0 꼴의식으로표현되며, 거꾸로이런꼴의식은선이나 원을나타낸다. 이제 1 z 을 w라하고 z = x + iy, w = u + iv라하면 x = u y = v u 2 +v 2 임을쉽게얻는다. 따라서 이를정리하면, A(x 2 + y 2 f ) + Bx + Cy + D = 0 = u v u A{( u 2 + v 2 )2 + ( u 2 + v 2 )2 } + B( u 2 + v ) + C v 2 u 2 + v ) + D = 0 2 이식은선아니면원이다. A + Bu Cv + D(u 2 + v 2 ) = 0 u 2 +v 2, 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 8 / 26
이쯤에서우리는 f (z) = az + b bz + a 보다는 g(z) = cz + d dz + c 가더중요하다는것을강조하고싶다. 왜냐하면임의의 f 는항상적당한 2개의 g의 합성으로표현될수있으나, 어떤 g 든지적당한개수의 f 의합성으로 나타낼수가없다. 즉 g 를알면 f 를알수있지만 f 를안다고해서 g 를 안다고는볼수없다. 이는반사를알면사실은반사, 이동, 회전을모두 아는것이지만회전과평행이동을아무리합성해도반사는나오지 않는다는사실을수학적으로표현한것이다. [ 문제 ] 아무리 f 를합성해도 g 가나오지않음을보여라. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 9 / 26
[ 정리의증명 ] 먼저, f (z) = bz + a 가다음과같이표현됨을살피자. ( 편의상 c 0인 dz + c 경우를살피자.) f (z) = 1 c (ad bc) + a z d c. c 따라서이는다음함수들의합성으로생각할수있다. f 1 (z) = z d c, f 2(z) = cz, f 3 (z) = 1 z, f 4 (z) = (b ad c )z, f 5(z) = z + a c 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 10 / 26
이러면 f (z) = f 5 f 4 f 3 f 2 f 1 (z). 여기서 f 1, f 5 는평행이동이고 f 2, f 4 는 원점에대한등비변환이어서선을선으로원을원으로보낸다. 따라서, f (z) = bz + a 는선이나원을선이나원으로보낸다. dz + c C = 0인경우는숙제로남긴다. 자, 이제 g(z) = az + b cz + d 인경우를생각하자. g 1 (z) 를 g 1 (z) = bz + a dz + c 라고하면 g(z) = g 1 f 3 (z). 앞정리에의해서, g도선이나원을선이나원으로보낸다는것을알수 있다. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 11 / 26
참고 이증명을자세히보면일반적인선형분수변환 f 나 g 를여러반사의 합성으로표현하고있음을알수있다. f 4 f 3 f 2 (z) = 반사이다. 평행이동은두반사의합성이다. 1 (ad bc) c z 는 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 12 / 26
Theorem 다음함수 f 는상반평면을상반평면으로보낸다. 실수 a, b, c, d 가 ad bc 0 을만족할때, f (z) = az + b cz + d = az + b cz + d if ad bc > 0, if ad bc < 0. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 13 / 26
증명 선형분수변환의일반적인 'ê 에 하여 f 에의한상반평면의 이미지는상반평면아니면하반평면이다. 이때, f (i) 를살펴보면 (ac + bd) + i(ad bc) f (i) = c 2 + d 2. f (i) 의허수부가 0보다크므로 f (i) 는상반평면에속한다. 따라서 결론이성립한다. 두번째경우는숙제. 자, 이제 f 의성질중우리관점에서가장중요한면을살피자. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 14 / 26
Theorem f 는쌍곡길이를보존한다. w = az + b dw + ( b) 라하자. 이러면 z = cz + d ( c)w + a. 따라서, ds 2 = dx2 + dy 2 y 2 = dz dz ( z z 2i )2 이때 z = aw + b dz 에서 cw + d dw = ad bc ( cw + z) 2. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 15 / 26
그러므로 ds 2 = ad bc ( cw + a) 2 dw ad bc ( cw + a) 2 dw dw b cw + a dw b. 2 cw + a 2i 이를정리하면 ds 2 = dw dw ( ) 2. w w 2i ds 2 을 w 로표현해도 z 로표현한것과같으므로길이는보존된다. 두 번째경우는숙제. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 16 / 26
결론 f 가다음과같이주어지면 f (z) = az + b, cz + d a, b, c, d R if ad bc > 0, = az + b, cz + d a, b, c, d R if ad bc < 0. f 는 H 2 에서 H 2 으로가는등장사상이다. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 17 / 26
예제 f (z) = z 1 은회전인가? 평행이동인가? 반사인가? z + 1 [ 풀이 ] f 의고정점이 1 개있으면회전, 없으면평행이동, 무한히많으면 반사다. 그러면고정점의개수를살펴보자. f (z) = z 라하면, z 1 z + 1 = z z 1 = z 2 + z z 2 = 1 z = i or i 이때, i 는상반평면에있지않으므로 z = i 다. 따라서, f 는 i 를중심 (-Ã) 으로하는회전이다. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 18 / 26
참고 1 b az + b cz + d = z + a d 1 이므로, f 1 (z) = 1 z + c z, f 2(z) = bz + a dz + c 라고하면 az + b cz + d = f 2 f 1 (z). 이때, f 1 은반사, f 2 는등장사상이므로 az + b 자체도등장사상이된다. cz + d 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 19 / 26
자, 이제쌍곡평면위의점 i 를중심으로하는원들은어떻게생겼는지 알아보자. 이를위해서 i 를중심으로하는회전운동이어떻게 표현되는지알아보자. Lemma f (z) = az + b, a, b, c, d R if ad bc > 0 cz + d 는 i 를중심으로하는회전이다. f (z) = cos θ z + sin θ sin θ z + cos θ, θ [0, π). 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 20 / 26
증명 ( ) f 는 i 를고정시켜야하므로 i = f (i) = ai + b ci + d. 따라서 c + di = ai + b, a, b, c, d 는실수이므로 d = a, b = c. 이러면 f (z) = az + b bz + a = 이제다음을만족하는 θ 가존재한다. a a 2 + b 2 z + b a 2 + b 2 z + b a 2 + b 2. a a 2 + b 2 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 21 / 26
그러므로 ( ) 어떤 θ 에대해서도 그러므로 는참이다. f (z) = f (z) = cos θ z + sin θ sin θ z + cos θ. cos θ i + sin θ sin θ i + cos θ = i. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 22 / 26
cos θ z + sin θ 이때, f θ (z) = 라하면, 어떤 θ R, sin θ z + cos θ z f θ (z) = f θ+π (z). C 에대해서도 자, 이제 0 과 i 사이의점 αi, 0 < α < 1 의이미지에대해생각해보자. f θ (αi) = cos αi + sin θ sin αi + cos θ = cos θ sin θ(1 α2 ) + iα cos 2 θ + α 2 sin 2. θ 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 23 / 26
α 를고정하고 θ 를 0 에서 π 까지변화시키면이는원이되리라믿고 있다. 이것이다시순허수가되기위해서는 cos θ sin θ = 0 즉, θ = nπ 이어야한다. n Z. 이때, f π 2 (αi) = 1 α i. 이러면원의중심은 αi + α 1 i = α + α 1 i가될것이다. 그리고반지름은 2 2 α 1 α 가될것이다. 자, 진짜로그렇다하는것을살피기위하여 2 u θ (αi) = f θ (αi), v θ (αi) = f θ (αi) 라하자. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 24 / 26
그러면 u θ (αi) = 이고다음이계산된다. cos θ sin θ(1 α2 cos 2 θ + α 2 sin 2 θ, v θ(αi) = (u θ (αi)) 2 + ( v θ (αi) α + α 1 2 α cos 2 θ + α 2 sin 2 θ ) 2 ( α 1 α = 2 즉, i 를중심으로하는회전은유클리드기하입장에서보더라도원이 된다. ) 2 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 25 / 26
[ 고난도연습문제 ] 1 H 2 ( 1) 의모든강체운동이반드시위의 f 와같이쓰여짐을보여라. 정답은 [And, Theorem 3.12] 에나와있다. 2 유클리드평면 E 2 의모든강체운동은어찌쓰여지는가? 3 유클리드공간 E 3 의강체운동은어떻게쓰여지는가? 정답은 [O Neill, p.100] 에나와있다. 김영욱 (ÑñÁ) 강의양성덕 (zû ) 의강의록 (Ø 'x!) 미분기하 II 2007 년 26 / 26