Derivation of Black-Scholes equation 블랙 - 숄즈방정식유도과정 Hoon Song Independent Study Advised by Prof. Heung-No Lee, GIST. Introduction : Option, Option pricing and Black-Scholes equation 옵션은기초자산 으로부터나온파생상품으로콜옵션 (Call Option) 과풋옵션 (Put Option) 이있다. 콜옵션 은미리정해진가격으로살수있는권리를말하고풋옵션은특정가격으로팔수있는권리를말한다. 가장간단한유럽형콜옵션의예를들어보자. 유럽형콜옵션은특정날짜에미리정해진특정가격에살 수있는옵션이다. 현재기초자산의가격이 $00 이라고하였을때, 한투자자가 6 개월뒤기초자산을 $0 에살수있는유럽형콜옵션을 $C 에샀다고하자. 만약 6 개월뒤기초자산의가격이 $50 이되었 다면, 옵션을행사하여 $0 에사고, 그즉시팔아 $30 C 의차익을얻을수있다. 반대로만기일의기 초자산의가격이 $90 가되었다면옵션을행사하지않고 $C 만잃으면된다. 위의예에서옵션은기초자 산의가격이 $0 밑으로기초자산의가격이내려갔을때위험성을없앴고 $0 이상으로기초자산의가격 이올라갔을때차익은남겼다. 즉, 옵션구매자는옵션을구매함으로위험성을없애고이익만을남길수 있는 Position 을취하였다. 이렇듯옵션은투자자로하여금위험을 Hedging 하는목적으로사용될수있는 파생상품이다. 앞에서옵션구매자의입장에서논의했지만이번에는같은옵션을판매한옵션판매자의 이야기를해보자. 옵션판매자의경우만기일의기초자산의가격이 $0 보다낮으면옵션구매자가옵션 을행사하지않아이익이 $C 이고, $0보다높은 $50이면옵션구매자가옵션을행사하여 $(30 C) 의 손해를보게된다. 옵션가격이 $0 이라생각했을때의옵션구매자와판매자의 Payoff 그래프는그림 과 80 Buyer payoff 80 Seller payoff 60 60 40 40 0 0 Payoff($) 0-0 Payoff($) 0-0 -40-40 -60-60 같다. -80 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 Terminal Price($) -80 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 Terminal Price($) 그림 기초자산은대표적으로주식, 채권, 통화, 주가지수등. 경제적현상속에서합리적인방법에의하여가격이평가되는자산을말 한다.
INFONET 옵션판매자는옵션의가격이낮아져야많은이익을취할수있고, 옵션구매자는옵션의가격이높아져야많은이익을취할수있다. 위의예에서알수있듯이, 옵션판매자와구매자모두가동의할수있는옵션에대한가격이결정되어야한다는것이다. 그렇지않으면한쪽에게손해를가져다줄가능성이커져공정하지않은가격이된다. 옵션가격결정에대한문제는 973년도에 Black과 Scholes에의해개발된 Black-Scholes equation에의해해결되었다. 옵션에대한가격결정을한블랙숄즈모델은옵션상품의가격결정에많은발전을이끌어왔다. 우리는앞으로 Black Scholes 방정식이어떻게유도될수있는지를이토과정에기초한기초자산모델을통해살펴볼것이다.. Wiener process, Generalized Wiener process and Ito Process -.Wiener process and Generalized Wiener process 앞으로유도하게될블랙-숄즈방정식은기초자산이이토과정을따른다는가정하에만들어진방정식이다. 이토과정을이해를돕기위해간단한확률과정인위너프로세스에대해소개한다. 위너프로세스를따르는확률변수 z 는다음을만족한다.. t 후에변하는 z 의양, 규분포를말한다. z = N(0, ) t 이다. 여기서 N (0, ) 은평균이 0 이고, 분산이 인정. 겹치지않은어떤두작은시간구간 t 를택하더라도, z 는서로독립적이다. 즉, 마르코프과정이다. 3. 조금더확장해, 일반화된위너프로세스 를따르는확률변수 x 는다음과같이표현된다. dx = adt + bdz () where lim (0, ) x 0 dz = N dt, a and b are constant. 위식에서 x 의변화량은 adt 와 bdz 의합이다. dx = adt 를풀어보면우리가익히알고있는일차방정식 이고, dz 는위너프로세스를따르는변수이다. 따라서변수 x 는 dt 후에, 평균이 adt 이고분산이 정규분포를따르는확률변수이다. 즉, dx = N( adt, b dt) 가된다. b 인 위너프로세스와일반화된위너프로세스의흐름을비교하여보자. Central-Limit Theorem 을증명하는데바탕이되는 Levy s Theorem 으로증명가능하다. ( 자세한내용은 reference[5] 참고 )
400 Simple Wiener and General Wienerprocess 350 300 50 Z Value(z) 00 50 00 50 0-50 0 000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 0000 time(t) 그림 그림 에서도알수있듯이, 확률변수 x 의흐름은일차함수에위너프로세스를더한형태이다. 전 체적인경향은일차함수의기울기를결정하는요소인 a (Drift rate) 가결정하고, 변동성에대한부분은상 수 b (Variance rate) 가결정하는것이다. -.Ito process and Ito s lemma 이토과정은일반화된위너프로세스에서의 Drift rate(a) 과 Variance rate(b) 이상수가아닌 x 와 t 에관한함수인확률과정이다. 우리가앞으로모델링할기초자산의흐름또한이토과정을따르는데이토과정을풀이하는방법은이토적분이라는복잡한수학체계를따라야한다. 하지만우리는복잡한이토적분없이 Ito s lemma 3 라는유용한정리를이용해그과정을우회하여풀이할것이다. Ito s lemma: 함수 G 가확률변수 x 와시간변수 t 에대한함수이고, 확률변수 x 가 Ito Process dx = a(,) x t dt + b(,) x t dz 를따르면, G 의변화량은 현된다. G G G G dg = a + + b dt bdz. + x t x x 로표 3. Underlying asset modeling u 의 expected return 을갖는기초자산을가정해보자. 다른변수가없을때기초자산의가격은다 음과같이표현된다. 4 St ( ) St ( ) e udt + = () i i 3 Appendix.:Ito s lemma 증명참조. 4 Appendix.: Continuously compounded interest rate 참조. 3
INFONET 이식의지수함수부분을테일러전개하여고차항을무시한다면, 기초자산의가격은 S( ti+ ) = S( ti)( + udt) 로표현할수있다. 따라서 dt 동안의기초자산의가격변화는 S( t + ) S( t ) = ds = S( t ) udt (3) i i i 가된다. 이방정식을풀어보면지수함수그래프가나온다. 하지만실제주가의흐름은무위험자산의흐름과같지않다. 자산시장에서가격결정은투자자들의수요와공급에의해서결정이되는데, 투자자들은자산에대한서로다른견해를가지고자산을사기도하고팔기도한다. 실제로기초자산의그래프를보면바로다음날의가격조차도예측불가능해보인다. 즉, 실제기초자산의그래프에는 예측불가능한변동성 이존재한다. 이변동성이기초자산의가격에비례한다고가정하여수식에넣어보면다음과같다. ds = S() t udt + σ S() t dz (4) 여기서 σ 는변동성이고, z 는위너프로세스를따르는변수이다. 여기서변동성의확률변수를정 규분포로택한것은중심극한정리 (Central-Limit Theorem) 덕분이다. 기초자산의흐름을연속적으로나눌것임으로각각의미시수준의시간구간에서는정규분포의변동성을갖는다고생각한것이다. 위식 (4) 을보면 drift rate 과 variance rate이상수가아니기때문에 S가이토과정을따르는것을확인할수있다. 이토과정을기반으로한기초자산모델을분석적으로기초자산모델을분석하기에앞서과연이미분방정식이어떤의미를갖는지 Discrete-time수준에서생각해보자. Discrete time 에서 (4) 를써보면, S= Stu () + t σ St () z S = + = + S (5) or, u t σ z u t σn(0, ) t 으로표현된다. 예를들어변동성이 0%/ 년이고, 기대수익률이 0%/ 년인기초자산이있다고하면일 년에비해아주작은시간인한주간기초자산의변화량은다음과같이표현된다. S = 0.0 0.09 + 0.0ε 0.09 = 0.009 + 0.077ε S 예를들어기초자산의가격이현재 $00라고가정하면 S = 0.9 +.77ε 이기때문에일주일뒤 의가격은 S = 00 + 0.9 +.77ε 로표현된다. ε 가정규분포이기때문에평균값은 0.9 이지만, 실제로우리가갖는값은변동성의영향이큰것을알수있다. 그림 3 은 MATLAB 으로시뮬레이션한 기초자산흐름이다. 파란색그래프의변동성 σ 이더큰값이다.
500 Underlying Asset model when Volatility Change 000 S Value(s) 500 0 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 time(t) 그림 3 이제 ds = usdt + σ Sdz 를따르는주식가격을 Ito s lemma를이용하여분석해볼것이다. 특별하게도 Geometric Brownian Motion 이라이름붙여진이과정은 Ito s lemma 를사용하면치환한변수가일반화된 위너프로세스를따르게된다. Ito s lemma 를이용하기위해 S 에로그를취한 ln S 를 G 라하자. ( G = ln S ) G 는 S 의함수이기때문에 Ito s lemma를이용할수있다. Ito s lemma에의해 G 의변화량은 G G G G dg = ( µ S + + σ S ) dt + σsdz S t S S (6) 이고, G = ln S 임으로 S S S S t G G G =, =, = 0 (7) 이다. (7) 을 (6) 에대입하면 이다. µ 와σ 를상수로두었기때문에확률변수 G dg = ( µ σ ) dt + σdz (8) = ln S 가일반화된위너프로세스를따르는것을알수 σ 있다. 즉, G 는 Drift rate이 µ, Variance rate이 σ 인일반화된위너프로세스이다. 각각의과정이 독립적이기때문에, ln S 가시간이 0에서 T로갈때변화량을생각해보면 σ + (9) ln ST ~ N[ln S0 ( µ ) T, σ T] 이다. 이토과정을따르는기초자산의로그를취한함수가이토과정보다더강력한조건인위너프로세스를 따르는것은이례적인일이다. 이것이가능했던이유는식 (6), (7) 에서보듯이로그의미분성질에의해 S 와 S 이소거되어없어졌기때문이다. 5
INFONET 4. Ito s lemma and Black-Scholes Equation 본격적으로 Black-Scholes equation 을구하기위해, 옵션에대한가격함수 f 를도입하자. f 는기초자산에 기초를하고있음으로반드시기초자산에대한변수 S 를독립변수로갖는다. 또한, 옵션의구매시점에따라가격이달라짐으로시간변수 t 또한독립변수로갖는다는것을예상할수있다. 즉, 옵션에대한가격 함수는 f( St,) 이고, Ito s lemma를이용해 f 에대한표현식을얻으면, f f f f f = ( µ S + + σ S ) + t σs z S t S S (0) 이다. 또, 우리는기초자산의가격 S 가 (4) 를따름을알고있다여기서두가지포트폴리오를구성해보자. 포트폴리오 A: 옵션하나를팔고, f S 만큼의기초자산을구매 포트폴리오 B: 포트폴리오 A 의가치에해당하는현금을무위험자산에맡긴다. 이두포트폴리오의가치는 f Π= f + S S () t 라는짧은시간뒤, 만약포트폴리오A와포트 이다. 여기서 no arbitrageur principle를이용하여보자. 폴리오B의가치가다르다면어떤일이벌어질까? 만약차익거래자가있다면두가지의포트폴리오중하나를구성하여짧은시간뒤에팔아차익을남길것이다. 그렇다면우리가설정한옵션가격함수 f 가적절하지않은것이된다. 따라서 f 는짧은시간동안무위험자산과수익율이같아야한다. 즉, Π = rπ t () 를만족하여야한다. 포트폴리오의가치변화 Π 는 f Π = f + S S (3) 이다. 위의두공식 (4), (0) 를 () 에넣으면 f f Π = ( S ) t t S σ (4) 식 () 에식 () 과 (4) 를대입하여정리하면,
f f f + rs + S = rf t S S σ (5) 가된다. 식 (5) 가바로 Black-Scholes equation 이다. Future work 완성된 Black-Scholes equation은편미분방정식의형태로주어졌다. 이방정식은확산방정식으로여러이색옵션의조건들을대입하여옵션가격을결정해볼수있다. 심화과제로는 Black-Scholes 방정식으로결정된옵션가격과 Monte-Carlo와 Binomial method를이용해구한가격을비교하는것을할수있다. 이논문의초기목적이심화과제의내용이었으나방정식의해를구하는과정이많은수학적지식을요구하여실패하였다. 또한수치적인방법에서이론적인결과물을얻어내는데어려움을겼었다. Appendix. : Ito s lemma 함수 G 가확률변수 x 와시간변수 t 에대한함수이고, 확률변수 x 가 Ito Process dx = a(,) x t dt + b(,) x t dz 를따르면, G 의변화량은 된다. G G G G dg = a + + b dt bdz. + x t x x 로표현 증명과정 ) Ito s lemma 의설명에앞서이변수함수에서의 Taylor expansion 에대해알아보자. 이변수함수 Gxy (, ) 가모든점에서연속이고미분가능하다면, 작은 x 와 y 의변화에대해 G G G Ω G G = x+ y+ x + x y+ y +... x y x xy y 이다. x 와 y 가극한으로영으로수렴한다고가정하면위식은고차항을무시하여 G G dg = dx + dy x y 이라할수있다. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- dx = a(,) x t dt + b(,) x t dz 를이산화시키면 7
INFONET x= axt (,) + t bxt (,) ε t 그리고어떤함수 G가 x, t 변수를갖는함수라면앞에서와같이 G G G Ω G G = + x + t x + + x t t +... x t x xt t 로표현된다. x 와 에의해 t 가극한으로 0으로수렴한다고하면고차항들은무시해도된다. 하지만 = + 가된다. x b ε t O( t ) x 부분은위의공식 x 을치환하여다시고차항을무시하면아래의식이된다. 여기에 dx = a(,) x t dx + b(,) x t dz 를대입하면 x t x G G G dg = dx + dt + b dt x t x G G G G = ( a + + b ) dt + bdz. x t x x G G G dg = ( adx + bdz) + dt + b dt Appendix. : Countinuously Compounded Interest 복리를계산하는방법은두가지방법이있다. 이산적인복리계산법과연속적인복리계산법이있다. 이산적인복리계산법은정해진시간이지나면그시간을기준으로이자를곱하는방법이다. 간단한예를 들어보자. 만약자금 $00 가있는데이산적인복리로 년에 0% 의이자를계산한다고하자. 그렇다면 0 년뒤에자금 $00 는 0 (.) $00 $69 가되어있는다. 연속적인복리계산법은 년에한번이자를샘하는것이아니라연속적으로이자를샘하는것이다. 자금 F 가연이율 r 인연속복리를취한다고하자. T 년뒤에자금 F 의가격이얼마일까? 공식을유도하기위해이자가곱해지는구간을 n 번으로나누었다고가정하자. T년후에금액은 ( + rt / n) n F 이다. 연속적인복리공식을위해 n 를하면, lim( + rt / n) n F = e rt F 가된다. n 첫번째예와같은조건이지만연속복리를쓴다고생각해서계산해보면, 0. 0 e $00 = $738 가된다.
Reference [] Fisher Black, ;Myron Scholes."The pricing of Options and Corporate Liagilities, The Journal of Political Economy, Vol.8,Issue 3(May-Jun.,973), pp.637-654. [] Desmond J. Higham."Black-Scholes For Scientific Computing Students", Computing in Science and Engineering Vol.6 Issue 6(November 004). pp 7-79. [3] John C. Hull. Option, Futures, and Other Derivatives, 8th ed. Prentice Hall, 0 [4] Desmond J. Higham.An introduction to Financial Option Valuation, Cambridge University Press, 004. [5] Salih N.Neftci. An introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, nd ed. Academic Press, 000. [6] 이준행. 금융공학모델링, 에프엔가이드, 0. [7] 성승제, 금융공학의수학적기초, 경문사, 00. 9