0 장. 고정축에대한강체의회전 (otaton o a gd Object About a Fxed Axs) 0. 각위치, 각속도, 각가속도 0. 분석모형 : 각가속도가일정한강체 0.3 회전운동과병진운동의물리량 0.4 회전운동에너지 0.5 관성모멘트계산 0.6 토크 0.7 분석모형 : 알짜토크를받는강체 0.8 회전운동에서의에너지고찰 0.9 강체의굴림운동
o otatons o gd Bodes - 바퀴, 회전톱날, 선풍기등의회전 : - 각질점들은각각의다른운동! - 그러나각질점들의운동의모양은한가지! c) Dyanmc Quanttes n a otatonal Poblem : Foce F Toque τ Mass M Moment O neta Momentum p Angula Momentum L 0. 각위치, 각속도, 각가속도 (Angula Poston, Velocty and Acceleaton) 바퀴처럼부피를갖는물체가한축을중심으로회전할때는, 물체를하나의입자로취급하여그운동을분석할수없다. 물체의각부분들이주어진시각에각각다른선속도와선가속도를갖기때문이다. 회전하는물체를다룰때그물체를강체라가정하면분석이아주단순화된다. 강체 (gd body) 는변형이없는물체를말한다.
각변위 - 물체의회전운동 각질점은원운동 - P 점의위치 [x(t), y(t)] [, θ(t)] - 이경우 은고정된다 Dene adan - 질점 P 가움직인거리 = 호의길이 S s s 단위 : 라디안 (adan) [ L] [ L] [] 각 θ 의 Unt (Dmenson) = ( 단위가없다, Dmensonless) - Dene) adan : = s θ = ad (adan) ad = 원궤적의반지름 과호의길이가같아질경우이루어지는각
o adan.vs. Degee - 한바퀴 : 원주의길이 = π, 한바퀴도는각도 = 360 S 360 ( ad) ( ad) 360 ad ( ad) (deg) 80 57.3 30 30 ( ad) 60 60 ( ad) 80 6 80 3 45 45 ( ad) 90 90 ( ad) 80 4 80 80 80 ( ad) 80
기준선으로부터각 θ 만큼이동하면강체에속한모든다른입자들도같은각도 θ 만큼회전한다. 각입자와마찬가지로전체강체에각 θ 를부여할수있으므로, 회전하는강체의각위치 (angula poston) 를정의할수있다. 이때각변위는 평균각속력 : (aveage angula speed) 순간각속력 : (nstantaneous angula speed) t t lm t 0 t t d dt 단위 : ad/s 또는 s -
평균각가속도 (aveage angula acceleaton) 순간각가속도 (nstantaneous angula acceleaton) avg t t t lm t0 d t dt o 강체내의각질점의각가속도 : - 고정축에대한강체내의모든질점들은같은크기의각속도와각가속도를가진다. 강체가고정축에대하여회전할때, 물체위의모든입자는주어진시간간격동안에같은각만큼회전하고같은각속력과같은각가속도를갖는다. 보다일반적인회전운동에서각속도와각가속도는벡터량이다. 동일한강체가회전축이바뀌면회전운동의형태도바뀌기때문이다.
o 각속도 ( ) 의방향 : 오른손의법칙을따른다 반시계방향 ˆ 시계방향 ẑ ˆ ẑ
t t t ) ( t ) ( 0. 분석모형 : 각가속도가일정한강체 (Analyss Model: The gd Object Unde Constant Angula Acceleaton) 0. 분석모형 : 각가속도가일정한강체 (Analyss Model: The gd Object Unde Constant Angula Acceleaton) 고정축을중심으로회전하는강체의운동은각가속도가일정한경우가많다. 따라서 각가속도가일정한강체 라고하는회전운동에대한분석모형을만들자. 이모형은등가속도선운동의경우와유사하다. 각가속도 α 가일정한경우,
예제 0. 회전바퀴 바퀴가 3.50ad/s 의일정한각가속도로회전하고있다. (A) 만일 t =0 에서바퀴의각속력이.00ad/s 라면,.00 초동안이바퀴가회전한각변위를구하라. 풀이 t t t=.00s 일때 (.00ad/s)(.00초).0 ad (.0ad)(57.3 ev 70 (3.50ad/s /ad) 630 )(.00초) (B) 이시간간격동안에바퀴는몇바퀴회전하였는가? ev 630.75ev 360 (C) t =.00s 에서바퀴의각속력을구하라. t.00ad/s (3.50ad/s 9.00ad/s )(.00초)
0.3 회전운동과선운동의물리량 (Angula and Tanslatonal Quanttes) 강체가고정축에대해서회전할때이강체의모든입자들은회전축을중심으로원운동을한다. v ds dt d dt v 속도에대한식을미분하면 a t dv dt d dt a t a c v a a t a 4
0.4 회전운동에너지 (otatonal Knetc Enegy) 강체를작은입자들의집합으로생각하고, 이강체가고정된 z-축을중심으로각속력 ω 로회전한다고가정하자. 먼저, 질량 m 인입자가회전축으로부터 떨어진점에서접선속력 v 로운동하는경우 K m 전체운동에너지는 K K K v m v K m v m m 회전운동에너지 관성모멘트 (otatonal neta, o Moment o neta)
회전운동에너지는새로운형태의에너지가아니다. 강체를이루는입자들의각각의운동에너지의합으로부터유도하였으므로일반적인운동에너지이다. 예제 0.3 회전하는네개의물체 네개의작은구가 xy 평면에서질량을무시할수있는두막대의끝에묶여있다. 구의반지름은막대기의크기에비해아주작다고가정한다. (A) 계가 y 축을중심으로 ω 의각속력으로회전할때, 이축에대한관성모멘트와회전운동에너지를구하라. 풀이 K y m Ma Ma Ma y ( Ma ) Ma (B) 이계가 O 를관통하는축 (z 축 ) 을중심으로 xy 평면에서회전한다고가정하자. 이축에대한관성모멘트및회전운동에너지를구하라. K z m Ma Ma mb mb Ma mb ) z ( Ma mb ) ( Ma mb
0.5 관성모멘트계산 (Calculaton o Moments o neta) 강체의관성모멘트 (Moments o neta o gd Body) - 질량소 Δm 0 : m 여기서, lm m dv m 0 여기서 은위치벡터가아니라회전축으로부터의직선거리이다. da dl c)? - 밀도 ( 질량밀도 : Densty O Mass) 체 ( 적 ) 밀도 : 단위체적 ( 부피 ) 당의질량 m dv V dv lm V 0 면 ( 적 ) 밀도 : 단위면적당의질량 m A da lm A 0 선밀도 : 단위길이당의질량 m L dl dx lm L 0 da dx dv da dx
평행축정리 (paallel-axs theoem) 삼차원물체를평평한물체로압축 시킨다고가정하면 ( x y ) O 좌표계에서질량중심의좌표가 ( x, y,0) 이라면 x x' x, y y' y, z z' 0 이므로 [( x [( x) x ) ( y) ( y y ] x ) ] x y y ( x y ) MD D 6
평행축정리 (The Paallel-Axs Theoem) - 임의의축에대한관성모멘트 ( 계산시유용하게사용 ) = 질량중심에대한관성모멘트 ( ) + 과의거리 d에대한관성모멘트 (') c ) ' d Md Asde) o Poo o the Paallel-Axs Theoem Md M " 평행축정리 (The Paallel-Axs Theoem)"
예제 0.4 균일한강체막대 길이가 L 이고, 질량이 M 인균일한강체막대가있다. 막대에수직이고질량중심을지나는축 (y 축 ) 에대한관성모멘트를구하라. 풀이 M L dx M L m l L / L / ML x dl L / M L L / dx x dx M L dx M L dx 3 x 3 L / L / ML
o 막대의한끝 (y) 에대한관성모멘트 끝 끝 3 ML 0 L x M L dx M L 0 L x dx M L 3 x 3 L 0 c) 예제 0.6 - 은막대의중심에위치 : - 막대의한끝에서의관성모멘트 : 평행축정리의이용 에서막대의끝까지의거리 : L ' M 4 ML 4 ML d ' ML ML ML L 3 ' 3 Md ML
o 얇은고리, 굴렁쇠 (Hoop) : 두께를무시 - z-축에대한관성모멘트 z z c) Hoop 에서의반경 은고정된값 M o 원판 (Dsk) c ) M A m A da z 0 da da d ( ) d z 4 4 0 d 4 M 3 d
o ( 도넛 ) 내부반경이, 이면, z da da d ( ) d z d 3 d 4 4 ( 4 4 ) ( )( ) - 도넛의질량 : M A ( ) M ( ) z
예제 0.5 균일하게속이찬실린더 반지름은, 질량이 M 그리고길이가 L 인속이찬균일한실린더가있다. 중심축 (z 축 ) 에대한관성모멘트를구하라. 풀이 dv Ld z L M V 0 M AL 3 d (L d) M L L 4 이므로 z M 4 L M L
수직축이론 (Pependcula-Axs Theoem) - xy 평면에서대칭을이루는강체의경우 - p) c) 대칭성이있는강체 : ex) Hoop y x z y x y x y x z z y x M z M y x
0.6 토크 (Toque) o Toque : 물체를회전시키는힘의능력 c) 원운동 접선성분의힘만작용 Toque τ = 접선성분의힘 힘의작용점까지의거리 () 축이고정되어있는강체에힘을작용하면, 강체는그축에대하여회전하려한다. 이와같이어떤축에대하여물체를회전시키고자하는힘의능률을토크 ( 또는돌림힘, toque) 라하며벡터량이다. ex) wench에작용하는 Toque : Wench는원운동 접선성분의힘만작용 (F snφ) d F sn Fd 단위 : Nm (Joule 이아님 ) sn : 팔의길이 τ = 힘 기준점에서의수직거리 ( 팔의길이 )
Toque 는기준점 ( 작용점 ) 이정해져야만적용할수있다 - Toque 에서 τ 는두개의 Vectos, F 의곱이고결과가벡터이므로 둘이상의힘이한물체에작용할때각힘이물체에토크를작용한다. 토크는벡터량이므로회전방향을고려해야한다. Net o Net Toque : F whee Φ : 와 F 와의사이각 "Vecto Poduct" o "Coss Poduct" c) Toque Sgn! F sn ( 방향) F d Fd 반시계방향 (Counte Clockwse) : "+" 시계방향 (Clockwse) : "-" Sgn
예제 0.7 원통에작용하는알짜토크 큰원통에서가운데부분이튀어나온 단실린더가있다. 실린더는중심축에대하여자유롭게회전하고있다. 그림과같이힘 T 및 T 가작용한다. (A) 회전축 (z 축 ) 에대하여실린더에작용하는알짜토크를구하라. 풀이 두힘이실린더를각각시계방향과반시계방향으로회전시키려하므로토크의방향도반대방향이다. 반시계방향을 (+) 방향으로정하면 T T (B) T =5.0N, =.0m 이고, T =5.0N, =0.50m 라고하자. 회전축에대한알짜토크를구하라. 그리고정지상태에서시작하였다면어느방향으로원통이회전하겠는가? (.0m)(5.0N).5N m (0.50m)(5N) Toque 의단위 : [τ]=[nm] c) 일의단위 : W = Fd = [Nm] - Toque 는일 (Wok) 과같은단위를가진다. - Toque 는힘 (Foce) 이아니다
0.7 분석모형 : 알짜토크를받는강체 (Analyss Model: gd Object Unde a Net Toque) - 토크와각가속도사이의관계 : 토크에대한뉴턴의제 법칙 - 강체에대한돌림힘과각가속도 외력의영향을받아고정된점을중심으로원을따라회전하는입자의경우를생각해보자. 접선방향의알짜힘과지름방향의알짜힘에의하여반지름 인원주위를회전하는질량 m인입자의경우 Ft ma t a t 이므로 Fc ma c Ft ( mat ) ( m) ( m ) ( ma) F 입자에작용하는알짜토크는각가속도에비례하고, 그비례상수는관성모멘트이다.
이결과를고정축을중심으로회전하는임의의모양의강체에관해확장하자. 강체는아주작은크기의질량요소 이무한히많이모여있는것으로생각할수있다 df ( ) t a t d df t a t d ( ma) Net F 강체에작용하는알짜토크는각가속도에비례하고, 그비례상수는강체전체의관성모멘트이다.
예제 0.8 회전하는막대 길이가 L 이고질량이 M 인균일한막대의한쪽끝이마찰이없는회전축에연결되어있고, 수직인평면에서이회전축에대하여자유롭게회전한다. 막대가수평위치에서가만히놓여진다. (A) 막대의처음각가속도와막대의오른쪽끝의처음선가속도를구하라. 풀이 회전축을통과하는축에대한토크에기여하는유일한힘은막대에작용하는중력 Mg 뿐이다. F sn Mg L 각가속도는오른쪽끝점에대하여고려하여야한다 끝 ML 3 Mg( L / ) 3g ML L 3 a t L 3 g g 막대의모든점에대하여각가속도는같다 오른쪽끝에서의 ( 접 ) 선가속도
(b) 막대의 에서의접선가속도는? at L 3g L 3 4 g g (c) 막대한끝에동전을올려놓은후, 막대를놓으면어떻게될까? 동전이막대에계속붙어있을까? 앞에서가속도가 g 보다크므로막대의끝은동전보다빨리떨어진다. 따라서동전은막대에붙어있지않는다. 계속붙어있을수있는점을구하면 ( 접선가속도 = g 인위치 ) 3g a t L 3g a t g L 3 L
예제 0.0 바퀴의각가속도 반지름, 질량 M 그리고관성모멘트가 인바퀴가마찰이없는수평축에설치되어있다. 바퀴에감긴가벼운줄에질량 m인물체가달려있다. 바퀴의각가속도, 물체의선가속도, 줄에걸린장력을구하라. 풀이 회전축을통과하는축에대한토크에기여하는유일한힘은바퀴에작용하는중력 mg 뿐이다. ) 각가속도 α : F =T, =, T F T Tzˆ () T ) ( 접 ) 선가속도 a t : F T mg Net ma t a t mg T m ) Also a t : a t 3 mg g T, a, ( m / ) t ( / m ) a t T mg T m a g ( / m)
0.8 회전운동에서의에너지고찰 (Enegy Consdeatons n otatonal Moton) 회전운동의에너지의관점에서접근해보자. 힘 F 가작용하여회전축 O 에대해작은거리 ds=dθ 만큼회전시킬때한일은 dw F ds ( F sn) d F sn 이므로 dw d dw dt d dt P dw dt 강체가고정축에대해서회전할때, 외부힘이한일은회전운동에너지의 변화와같다 : 회전운동에대한일 - 운동에너지정리 d dt d d d dt d d Chan ule d dw d ( dw d )
W d 회전운동에대한일 - 운동에너지정리 (wok-knetc enegy theoem o otatonal moton)
예제 0. 회전하는막대다시보기 길이가 L 이고질량이 M 인균일한막대의한쪽끝이통과하는마찰이없는핀을중심으로회전하고있다. 정지상태에있던이막대를수평위치에서놓는다. (A) 막대가가장낮은위치에도달했을때각속력을구하라. 풀이 에너지보존법칙에따라 K U K U 0 0 Mg( L) MgL MgL 3g ML L 3 (B) 수직위치에있는경우, 질량중심의접선속력과막대의가장낮은점의접선속력을구하라. L v 3gL v v 3gL
예제 0. 에너지와애트우드기계 도르래를통하여줄로연결된서로다른질량 m 과 m 를가진두실린더를생각해보자. 도르래의반지름은 이고, 관성모멘트는 이다. 줄은도르래에서미끄러지지않고전체계는정지상태에서시작하였다. 실린더 가거리 h 만큼내려왔을때, 각실린더의선속력을구하고, 이때도르래의각속력도함께구하라. 풀이 에너지종류를보면 E Tot PE KE PE KE KE 에너지보존법칙에따라 m gh m gh m v m c) 실린더 가내려올때 은올라간다 m m v m v v m v v v ( m m ) gh m m / / v ( m m ) gh m m / / c) 도르래의회전운동의무시한예제 (5.9) 와비교해보라.
0.9 강체의굴림운동 (ollng Moton o a gd Object) - 움직이는축에대한강체의회전 - 강체의굴림운동의해석 (ollng Moton o a gd Body) 회전운동과병진운동을동시에하는경우를생각해보자. - 각 θ 회전시굴러간거리 S =θ - ( 질량중심 ) 의속도와가속도 : v ds dt d dt 미끄러지지않고수평면위에서굴러가고있는반지름 의원통을고려하면 a dv dt d dt
속력 v 으로구르는물체를따라움직이고있다고가정하면, 물체의질량중심은마치정지해있는것같다. - 접지점 P 점에서의해석 마지막그림에서물체는 P 점을중심으로회전운동하는것으로생각할수있으므로 K P K K P M ( 평행축정리 ) M Mv 전체운동에너지 = 질량중심의회전운동에너지 + 질량중심의병진운동에너지
경사면을굴러가는원통의해석 ( 미끄러짐이없는경우 ) - 높이 h 에서의원통의 PE =mgh - Enegy 보존을고려하면 : PE=KE total 구르는물체의전체운동에너지는질량중심에대한회전운동에너지와질량중심의병진운동에너지의합이다 순수굴림운동의경우 v =ω 이므로 K Mv v Mv K M v 구가경사면바닥에있을때중력위치에너지가영이라고하면 K U K U M v 0 0 Mgh v ( gh / M ) / 구르지않고미끄러지는경우보다느리다!
- 원통의경우 : KE Mgh 원통 M M v M M v 3 4 Mv 4 v 3 gh - 구의경우 : 구 KE Mgh M 5 M v 5 M M v 7 0 Mv 0 v 7 gh 경사면을구르는굴림운동의경우, 질량과반경에무관하게, 구르는물질의형태에따라속도가정해진다.
c) 미끄러지는경우 : - 마찰이없다면구르지를못하고미끄러지게된다. - Mv Mgh - v 미끄러짐 > v 굴림 v gh o 굴림운동시마찰에의한일 : - 매순간마다접촉점이달라진다. - 접촉점의방향은접촉면에수직이다. - 접촉점에서정지마찰력에의한일 W F d F d cos90 0 - 굴림운동시정지마찰력에의한일은 0 이다. - 굴림마찰 ( 력 o 계수 ) 에의해서만마찰이작용
예제 0.4 둥근실패당기기 실패가마찰이있는수평탁자위에정지해있다. 반지름 인축에감긴질량이없는줄을손으로잡고, 수평방향으로크기 T 인일정한힘을사용하여오른쪽으로당기고있다. 그결과, 실패는굴림마찰이없는탁자를따라길이 L 만큼미끄러지지않고굴러간다. (A) 실패의질량중심의나중선속력을구하라. 풀이 에너지보존법칙에따라, 손이한일 W 는 W K K K tans 축이회전한호의전체길이는 ot 손이당기는힘의작용점이움직인거리는 L L L( / ) W TL TL mv TL v mv ( v / )
(B) 마찰력 의값을구하라. 정지상태에서출발하여등가속도로운동하는입자의경우, 질량중심의평균속도가나중속도의절반임을알수있다. TL / m( / m ) 3 v 4 ( T ) t m( v mv 0) 5 t v L, avg L v L ( T ) mv v T mv L T m L TL( / ) m( / m ) T T ( / ) ( / m ) T ( / ) ( / m )