장. 만유인력 (Unvesal Gavtaton). 뉴턴의만유인력법칙. 자유낙하가속도와중력. 케플러의법칙과행성의운동.4 중력장.5 중력위치에너지.6 행성과위성의운동에서에너지관계
Ncolaus Copencus ( 폴란드, 47-54) 54 년 월 일 천구의회전에관하여, 기존의천동설을뒤엎고지동설주장 Tycho Bahe ( 덴마크, 546-60) Copencus 의지동설을반박하기위해서별에대한약 0 년동안의방대한관찰기록을남김. 당시에수학에뛰어난능력을보인 Keple 를초빙하여같이연구, Bahe 가일찍죽는바람에 년정도의공동연구수행 Johannes Keple ( 독일, 57-60) 천문학과점성술에관심, Tycho Bahe 와공동연구 ( 조수 ) 를하며 Bahe 의방대한관측자료분석, 609 년행성운동에관한제, 법칙, 69 년행성운동에관한제 법칙을발표 Galleo Galle ( 이탈리아, 564-64) 실험물리학자, 성당의램프가흔들리는것을보고진자의주기가길이에만관계됨을증명, 자유낙하운동, 망원경, Copencus 의지동설을뒷바침하는책출간 (6 년 ), 6 년종교재판에회부 Issac Newton ( 영국, 64-77) Keple 의법칙을증명하기위해서 - 만유인력의법칙, Newton 의운동법칙
. 뉴턴의만유인력법칙 (Newton s Law o Unvesal Gavtaton) ) Galleo 는물체를떨어뜨리면지면에힘을가하는현상을연구 - 땅에나무못을세우고돌을떨어뜨리면나무못의들어가는깊이는돌의질량에비례한다. F g c) 같은 ( 질량의 ) 돌을사용하여높이를증가시키면, 나무못이더깊이들어간다. P = gh 의개념 ) Newton 은자신의제 법칙 ( 작용반작용의법칙 ) 을적용 - 사과나무에서떨어진사과가땅에떨어질때의자유낙하운동에서의반작용은지구가사과에미치는힘이다. - 떨어진돌이나무못에힘을가하여지면에들어갈때에지면은 ( 지구는 ) 나무못에같은크기의힘을반작용한다. - ) 에의하여지구의반작용력은지구의질량에비례 F g ath = ) ) 에서 F g
) 달의지구에대한원운동 ( 공전 ) 구심력 - 사과의낙체운동이지구와사과와의상호작용에의한것이고, 나무에달린사과가지구와함께자전한다면 - 달이지구를도는원운동 ( 공전 ) 도달과지구와의상호작용력 (Inteacton) 이다. - 달의공전지구중심에서달까지의거리 : = 85,000 k =.85 0 8 달의공전주기 : T = 7. 일 (= 7. 일 4h 600sec =,58,70sec =.4 0 6 sec) - 달의지구에대한구심가속도 이때지구의반경 R 6400 k이므로 =60R a C F g
), ), ) 에서 Newton's Law o Unvesal Gavtaton (Newton 의만유인력의법칙 ) F g 비례계수 G : Unvesal Gavtatonal Constant ( 만유인력상수 ) ˆ = 지구의중심방향 = 지상에서 -y 축방향 "-" sgn ˆ 만유인력의법칙 : 우주의모든입자는다른입자와두입자의질량의곱에비례하고그들의거리의제곱에반비례하는힘으로서로잡아당긴다. F g G whee, G ˆ 6.670 F g N G / kg "- sgn 은인력을의미한다. c) I F 가 "+" sgn 을가지면 a > 0 ("+" sgn) v > 0 ("+" sgn) postve 운동을한다. 궤도에서이탈하게된다. tot K P 0 c) 공전궤도를유지하기위해서는이어야한다. ˆ ˆ
F G ˆ F G ˆ c) 만유인력상수 G 값 : - 00년후영국의 Heny Cavendsh에의해측정 - G = 6.6759(85) 0 - N / kg - G 의단위 (Unt) : G F [ N][ ] [ Kg ] x) 질량 8 kg인공두개가 50 c떨어져있다면? F 6.670 8Kg 8Kg 8 G.70 (0.5) N
x ) 해와달이지구에미치는 Net 만유인력? - 지구가받는최대인력 - 조수의간만등가장큰영향을미친다. - Gand Coss에서가장큰값을가진다. oon = 7.6 0 kg ath = 5.98 0 4 kg R =.85 0 8 Sun =.99 0 0 kg R S =.5 0 F G.980 0 N F S G S 4.50 S 0 N F S F F S 0.98 4.5 0 N 4.790 0 N c) 다른행성의경우대체로 0 4 정도작은영향을미친다. Gand Coss 는무의미하다. 0 F.980 tan 0 F 4.50 사이각 : 0. 455 θ 4.5 S
중력은두물체에무슨물질이끼어있든지항상작용하는장힘 (eld oce) 이다. 임의의모양을가진물체와입자사이에작용하는만유인력을구하려면물체의미소질량이입자에작용하는미소힘을구한후이들의합력을구해야한다. 유한한크기의구형대칭으로생긴질량덩어리가그밖에놓인입자에작용하는중력은마치그덩어리의질량전체가그물체의중심에놓여있다고가정했을때와같다. ( 중력에대한 Gauss 법칙 ) 지구를구로근사하면지구표면에위치한물체에대해지구가작용하는중력은 Fg G R
예제. 누구, 당구칠래요? 세개의 0.00 kg 짜리당구공이당구대의구석에서직각삼각형을형성하고있다. 당구대의두변의길이는 a=0.400, b=0.00, c=0.500 이다. 다른두공이큐공 ( 질량 ) 에작용하는중력의크기와방향을구하고벡터로나타내라. 풀이 G F (6.67 0 j N / kg (0.00kg )(0.00kg ) ) (0.400) j.75 0 jn G F F F (6.670 6.670 N N / kg (0.00kg)(0.00kg) ) (0.00) F (6.67.75j) 0 F F F 7.65 0 N (.75) (6.67) 0 N N Fy F.750 N tan F F 6.670 N x tan (0.56) 0.56 9.
. 자유낙하가속도와중력 (Fee-Fall Acceleaton and the Gavtatonal Foce) 지구표면근처에서자유로이낙하하는질량 인물체에작용하는힘의크기를생각해보자. g G g G R R 지구표면에서높이 h 만큼떨어진곳에있는질량 인물체의경우 F g G F ( R h) g ( R h)
. 케플러의법칙과행성의운동 (Keple s Laws and the oton o Planets) - Johanne Keple (57~60) - Tyco Bahe (546~60) 목성의운동을관찰 케플러의법칙 (Keple s laws). 타원궤도의법칙모든행성은태양을한초점에놓는타원궤도를따라서움직인다.. 면적속도일정의법칙태양에서행성까지를잇는반지름벡터는같은시간간격동안에같은넓이를쓸고지나간다.. 조화의법칙모든행성의공전주기의제곱은그행성궤도의평균반지름의세제곱에비례한다. T T 케플러의제 법칙 (Kelpe s Fst Law) 중력의거리제곱에반비례하는성질의결과이다. 원은타원의특별한형태로해석할수있다. [ 증명은생략 ]
케플러의제 법칙 (Kelpe s Second Law) 각운동량보존의결과로설명할수있다. 태양이행성에비해훨씬더큰질량을가지고있으면, 태양은움직이지않는다고가정한다. 태양이행성에작용하는중력은중심력이며, 태양을향하는반지름방향이다. τ Fg 0 이므로 L p p v 상수 오른쪽그림에서 da 의크기를계산하면 da d da dt L p vdt const. L p dt c) 점, 를지나는데걸린시간 = 점, 4 를지나는데걸린시간 c) 근일점에서속도가빠르고원일점에서는늦어진다.
제 법칙의증명 : (Angula oentu 보존 ) Asde) Angula oentu Consevaton o 태양주위를공전하는행성의태양으로부터근일점까지의거리가 p, 근일점에서의속도가 v p 이고, 또원일점까지의거리가 a 라면 원일점에서의속도 v a 는? sol) Angula oentu 보존을이용 - p점 ( 근일점 ) 에서 : L p =v p p - a점 ( 원일점 ) 에서 : L a =v a a - Angula oentu 보존 : v p p = v a a c) Snce a > p v a <v p va p a v p
케플러의제 법칙 (Kelpe s Thd Law) 행성이원운동할때행성의구심가속도를제공하는것이중력이므로, 등속원운동을하는물체에뉴턴의제 법칙을적용하면타원형궤도의경우 : G F p s g ˆ 주기 ) 이므로 : ( T T v 4 T T v s ) / 0.97 4, ( 9 s K whee S s 4 K a a T s s - 만유인력의법칙과행성의주기운동 - 원궤도운동을이용 ( 평균거리 = 원운동의반경 ) - 태양과행성간의만유인력 = 구심력 v a F p C p C ˆ const 4 s s K T o T T T T c) 태양으로부터의거리순서 : 일수금지화목토천왕해왕명왕성 (90 년 ) - Newton 은 Keple 의제 법칙증명후천왕성을예측 [ 증명은생략 ] 행성질량무시함
Asde) 정지위성보충 - 인공위성의운동 o 고도 A 에서지표에접선방향으로포사체발사 -,, 추락 - 4, 5, 6 궤도운동 - ~ 6 : 닫힌궤도 (Closed Obts) - 7, 8 열린궤도 (Opne Obts) : 궤도이탈 예제.5 지구정지궤도상에있는위성 지표면으로부터고도 h 에서지구주위를등속력 v 로원운동하고있는질량 인위성을생각해보자. (A) 위성의속력을 G, h, R ( 지구의반지름 ), ( 지구의질량 ) 으로나타내어라. 풀이 o 원궤도운동식 - 만유인력 = 구심력 F g () G v a C R h v ( 원형궤도 : 위성의궤도방정식 )
- 원궤도에서의주기 (B) 만일위성이지구정지궤도상에있다면 ( 즉, 지구상한점위에서고정되어있는것처럼보인다면 ), 이위성의속력을구하라. (T = 4 시간 =4 600 초 =86400 초 ) / 4 T T (6.67 0 4. 0 7 N v v c ) o 고도 00 k에서의중력장의세기 g : (6.670.070 / s / kg )(5.98 0 4 6.670 ( N / Kg ) 5.980 Kg g' (6.8 0.) 0 4 kg )(86400 s) N / kg )(5.980 7 4.0 4 9. sec 6 - 고도 00 k에서의인공위성의회전속도 : 만유인력 = 구심력 4 kg) / v (6.670 N / kg (680 00) 0 )(5.980 7.790 / s 8,000K/ h 4 kg)
.4 중력장 (The Gavtatonal Feld) - 자유낙하의원인은만유인력 중력 = 지구와의만유인력 F g g G ˆ g G - g 는지구중심에서거리 되는구면의한점에 test ass kg을놓았을때의지구와의만유인력과같다. - test 질량이 kg이면 : 만유인력 F g = -g 에작용하는중력 - 지구중심에서거리 되는모든지점 (= 반경 인구의표면 ) 에서 g 는같다. - 중력가속도 g 가같은면 = Fled ( 장 ) Gavtatonal Feld ( 중력장 ) "Gavtatonal Feld ( 중력장 )" c) 편의상 "-" sgn 생략! c) 전하의상호작용에서는 Coulob Foce 보다는 lectc Feld 를중요시한다. F C Qq k ˆ q lectc Feld k g ˆ G ˆ Q ˆ
두물체가직접적으로상호작용을한다기보다는공간에퍼져있는장이물체에힘을작용한다고생각하는것을장이론 (eld theoy) 이라고한다. 중력장 (gavtatonal eld) 이공간의어느곳에나퍼져있다는개념을이용해서중력작용을매우다른시각으로보는방법이다. 중력장 g가있는곳에질량 인물체가놓여있으면이물체는 F g = g인힘을받는다. F g g 중력장 ( 정의 ) ( 예 ) 지구중심으로부터거리 만큼떨어진곳에서의중력장 g는다음과같다. Fg g ˆ o Cavendsh 에의한지구의질량 ( ) G = (6.670±0.004) 0 - N / kg R = 6.8 0 6 또 g=9.8/sec g gr G 9.8 / sec 6.670 6 6.80 ( N / Kg ) 5.980 4 Kg
Asde) 불완전하게회전하는지구 - 유효중력가속도 - 지구의자전 ( 회전 ) 에의한구심력에따른중력가속도크기의변화 - 지구가완전한구형이고, 남극과북극을중심으로자전 ( 회전 ) 한다면, - 자전 ( 회전 ) 이적도에서미치는영향 - 극 ( 북극또는남극 ) 에서의중력가속도 : g - 극지방에서의무게측정 : Weght W = g F net = W -g = 0 c) sgn 설정 : spng 이당기는힘 (=W ) 은 g 의반대방향 ( 반작용 ) - 적도에서의무게 (W ) 측정 : 구심력에작용 중력가속도에의한무게 + 구심력 v ' g' g ˆ R v - Dene) 유효중력가속도 g : g' g ˆ R W ( 구심력은지구의중심방향 ) c) 지구의자전속도 : v S t R 4hou 6.46.80 46060sec 4.640 v c) 지구에서의중력장차이 : g g' ac 0.07 / sec % R / sec
Asde) 우주에서의무중력지점 - 지구의질량은달의질량의 8 배 - 지구와달사이의거리 : R - 지구와무중력지점사이의거리 : - 무중력지점에 test ass 을놓으면 - 무중력지점 : 지구와 의만유인력 = 달과 의만유인력 F G G 8 G 8( R F G ( R ) G ( R ) ) ( 양변을 하면 ) 9(R ) = 9R =0 무중력지점 : 9 0 R
.5 중력위치에너지 (Gavtatonal Potental negy) (7장) 보존력이계내부에서한일과위치에너지의감소가같도록위치에너지함수 (potental enegy uncton) U를정의하였다. - 일 (Wok) : W =F ㆍ d dw = F ㆍ dl - 만유인력 ( 중력 ) 의방향 = 지구의중심방향 (-) - 만유인력에의해서물체가움직이는방향 = 지구의중심방향 (-) dl // dw - 만유인력에의한일 : dwg Fg g d F G - Gavtatonal Potental negy : 만유인력 F g 가할수있는일의능력 W 만유인력 P : g Fg d G d G P P Wg G c) 지구표면 ( =R ) 에서의만유인력 P : P R G Snce R R g d ˆ g P R gr
만유인력 P 와중력위치에너지 - 지상의고도 와 사이의만유인력 P d F U U U ) ( 이므로 ) ( F U U d U U 고도차 h = - = -( - ), Snce R >>, gh h U g - 중력위치에너지의경우, 높이의차이 h 에의한 P 의차 U = gh 가의미를가지므로중력위치에너지 P = gh 로주로사용한다.
만유인력 P U ( ) U 는항상음 (-) 의값이며, 무한대떨어져있을때 0 이다. 따라서, 임의의두입자로이루어진계가갖는중력위치에너지는 G U 또임의의세입자로이루어진계의경우는, U total U U U G
위치에너지의변화예제.6 질량 인입자가지표면위에서수직으로작은거리 y 만큼이동한다. 이경우중력위치에너지의변화는우리에게친숙한 U=g y 임을보여라. 풀이 U () y y g y R U, R g whee ( y ) R R
.6 행성과위성의운동에서에너지관계 (negy Consdeatons n Planetay and Satellte oton) 계의역학적에너지는운동에너지와위치에너지의합이다. K v U v F g a K U v 양변에 을곱하고 로나누면 0 ( 원형궤도 ) 계의역학적에너지가음 (-) 이면물체는구속된운동을하게된다. ( 예 : 인공위성및달의운동, 원자핵에묶인전자의운동등 )
예제.7 위성의궤도수정 우주수송선이지표면에서고도 80 k의상공궤도를돌다가 470 kg인통신위성을분리시킨다. 위성에장착된로켓엔진이위성을지구정지궤도까지올려놓는다. 엔진은얼마만큼의에너지를소모하는가? 풀이 통신위성 : 고도 h =80 k, 질량 =470 kg 지구정지궤도 R h 예제.5 에서지구정지궤도의반경 : 6.67 0.9 0 670 k 80 k 6.65 0 0 J N 4. 0 7 / Kg 5.97 0 6 6.65 0 6 T 4 4 Kg 470 / 4.0 c) 휘발유 89 갤런 (=.7854 89l=6.90l) 의에너지 Kg 7
탈출속력 (scape speed) - 행성에서의탈출속도 - 질량 인물체가지구에서탈출한다고하면, ( 전체적으로고립계를이루므로 ) Total negy 보존 tot = K + P = K + P = K + P - 지구표면 : - 탈출후 : K K P v G R P v G - nal state에서 : ( 탈출후 은무한대로갈수있다 ) v 0 ( 최소탈출속도를원하므로탈출후 은더이상속도가필요없다.) K + P = tot 0 - ntal state 에서 : 지구의표면에서탈출한다면, 최소탈출속도 v esc v v esc, R tot K P esc v G R 0 vesc G R esc R ( 탈출속력은물체의질량과무관 ) v
예제.8 로켓의탈출속력 c) 지구표면에서의탈출속도 : K vesc P gr v esc gr.k/ sec 블랙홀 (Black holes) - 빛도못빠져나오는행성 v esc c =.999 0 8 /sec 0 8 /sec 이면 Black Hole이된다. v esc R c 이려면, R 小, 大 c) Schwazschld Radus ( 슈바르츠실트반지름 ) R c
핵의질량 < 태양질량의.4 배 백색왜성핵의질량 > 태양질량의.4 배 중성자별핵의질량 > 태양질량의 배 블랙홀 탈출속력이광속보다커지는경우를블랙홀. x) Sun 이 Black Hole 이되려면, sun =.989 0 0 kg 0 0 kg c =.999 0 8 /sec G = (6.670±0.004) 0 - N / kg 7 0 - N / kg R 0 9 70 0 80 0 8 6 c (0 ) 90 - 태양의반경이약 k로수축되면 Black Hole 이될수있다.
암흑물질 (Dak atte) o 행성의회전운동을고려하면 tot v - Fo Rotaton : t G v t v C I (, ) vc I G -Snce L I L L (, ) vc G V e L G
o o a Ccula oton : V e = 0 L G L 행성의접선속도 v t - 행성은태양에서멀어질수록느리게움직인다. - 수성, 금성의 v > 목성, 토성의 v Abell689 은하단 c) 나선은하의경우항성의회전속도가같다 : 마치강체의회전운동과같다 - 항성사이에보이지않는물질이있어서항성의회전속도를같게한다 암흑물질 (Dak atte) - 측정가능한우주물질 = 4%, 암흑물질 = 6%, 암흑에너지 = 70% 정도 c) 암흑에너지 : 우주의팽창을가속시키는에너지