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이현 기
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1 고대수학자들은사각형의면적 밑변 높이, 삼각형면적 밑변 높이 평행사변형의면적 Euclid gomtry 밑면 높이, 사다리꼴의면적 윗변 + 아래변 * 높이 를이용하여구하였다. 이를이용하여왼쪽의다각형면적은구할수있으나오른쪽의곡선의면적은어떻게구할것인가? Archimds 는곡선의면적을이미알려진다각형, 삼각형의면적으로근사시켜구하는방법을생각하였다. 이것이면적에대한현재정의의근간이된다. 통계학에있어서적분이이용되는곳은확률계산이다. 다음은표준정규분포를따르는확률변수 X 에서 전체면적은 이다. 확률의정의를생각해보라. 우리가원하는구간 a, 의확률을계산하기할때적분이이용된다. f p{ } π σ f F! F f 만약함수의모든정의역에서이라면함수는의역-미분 antidrivativ 이라한다. 이처럼적분은미분의역이다. 적분의결과를미분하면적분함수 만약함수 f 가미분가능하다면, 함수 f 의모든역-미분함수를함수 f 의 에대한부정적분 indfinit intgral with rspct to 이라하고 d 로표시한다. intgral 은적분기호이며, d 의의미는함수 f 를 에대해적분한다는것이다. 부정적분을구하는방법은다음과같다.

2 d F + c c는임의의상수 : 기본개념 k d k d 상수항곱의규칙 [ ± g ] d d ± g d 합과차의규칙 함수 의부정적분 d 구하시오. d + c. 역-미분 을미분하면 이다. 5 함수 의부정적분 5 6 d + c d + 5 d c 적분결과를미분하면적분하려는원함수와같음 <> 적분은역 - 미분 anti-drivativ 개념 연습문제 다음함수의부정적분 cos

3 정적분은 면적 부정적분 역 - 미분함수 과는다른접근방법이다. 그러나이두개념은 7 세기경에 Nwton-Liniz 에의해서로연결되었고이를적분 intgral 이라하였다. 구간 [ a, ] 의함수 f 아래면적은어떻 게구할까? 구간 [ a, ] 을아래와같이여러구간으로나눈후얻은직사각형의면적의합을함수의면적으로생각할수있다. 함수와 축으로이루어진공간의면적을정적분이라한다. 아래그림에서정적분 실제면적 : 함수 f 와 축사이면적 은왼쪽보다는크고오른쪽보다는적을것이다. 구간 [ a, ] 의함수 f Rimann Intgral 면적 은 S r n k f c Δ k k

4 구간을더좁게나눌수록실제면적과 Rimann 적분의차이는줄어든다. 나눈구간의넓이가매우좁아지면 우측그래프 Rimann 면적과실제함수의면적은같아질것이다. 면적을구하기위하여함수의구간을나누고구간의넓이를 으로근사하여야하는가? 그렇지는않다. 단지정적분개념을설명하기위함이다. 다음절에나온규칙들을이용하여정적분을구하면된다. a d a [ 통계 : 연속확률변수의한점에서확률은 이다 ] a d d a 구간의순서가바뀌면부호반대 k d k kf d a a k 는임의의상수 4 [ ± g ] d f d g d a ± a a 합과차 5 만약구간 [ a, ] 에서 g 이면 d g d a a domination 6 만약구간 [ a, ] 에서 d 이면 a

5 f d f d f d 7 + a a 8 cd a c c a c d F F a Nwton-Liniz은 a 임을보였다. 구하려는구간 [ a, ] 에서 인 값을구한다. 인 값에의해구간 [ a, ] 에의해서브 su 구간을나눈다. 구간을나누는곳은함수값 y 의부호가바뀌는곳이다. 위의예제함수에서는함수값이바뀌는구간이없으나아래예제함수의경우 에서부호가바뀐다. 서브구간의적분을구한다. 4 구한적분값에절대값을취한후합해정적분을구한다. 구간에서 y 4 과정적분 y 4 +,, 에서함수값이바뀌므로 [,] 과 [,] 두개의서브구간으로나눈다. 적분을구한다. 4 면적은 이다. 4 4 d ] d ] 4 4 매번함수값이 인경우를생각해야되나? 통계학에서는그럴필요가없다. 통계학에서는확률밀도함수와같이함수값 확률 이 이상인경우에만관심을갖기때문이다. 4

6 범위가 인경우 inf 입력하면된다. 연습문제 다음함수의정적분 + d 4 d 6 + d 4 5 d π 5 sin d 6 d 4 7 s + ds 8 d 연습문제 빗금친부분의면적 4

7 치환적분은미분의연쇄법칙의반대개념이다. 이해를돕기위하여예를들어설명하기로하 n+ n u 자. u 가미분가능한 u du + c 의함수일경우 n + 이다. 5 + d 5 만약 u + 라놓으면 du d + d 이고 + d 는 u 5 du 이다. 그러므로 u + u du + c + c d 만약 u + 라놓으면 du d + d 이고 + d u du 는이다. 그러므로 u + u du + c + c * 연쇄법칙의역으로생각한다면, + 의안을미분하면다른항 가나타나므로우선 + 을시작으로미분을하여계수를맞추는작업을한다.. + 을미분하면 + 이나오게된다.. + 을미분하면 +. 이결과와적분안의함수를비교하여차이를보정하면된다. 항이더있네? 그렇구 나. 그러면 으로나누어주면되겠구나. 즉 + 위의방법을치환 sustitution 적분방법을정리하면다음과같다. f g g" d f u du u g, du g! d F u + c F g + c

8 ! 삼각함수적분 cos udu sin u + c sin udu cos u + c sc udu tan u + c 4 csc udu cot u + c 5 sc u tan udu sc u + c 6 csc u cot udu csc u + c cos7 + 5 d du 만약 u 라놓으면 du d d 이고 cos d cos u 는 7 이다. du cos u cos udu sin u + c sin c 그러므로 d! + + d u du u + c 6 u +, du + d + + c 6 연습문제 다음함수의정적분 87 d d 8 d 4 d d 4 d + 5 d + y y dy 4 dy 4 y + y s + s5s + ds

9 연습문제 다음에대해답하시오. d f d f 함수가연속일때 임을보이시오. d d 만약 일때다음의경우 a f 가우함수 vn function f 가기함수 odd function,h odd _ fn h d a 임을보이시오. hd,h vn du u + c 정의 kdu ku + c, k 는상수, 상수항곱 du ± dv du ± dv u ± v 합과차 n n+ u du u + c 4 n + 단 n du ln u + c 이면 u 승 5 삼각함수 cosudu sin u + c sin udu cosu + c tanudu ln scu + c 6 지수함수 d + c a d a + c ln a 참고 f!, a f! a ln a

10 7 특별한함수 d ln >,ln < du tan u + c + u du sin u + c u + d d + d + ln d + c u u d du c c u du d + + 그러므로 d du tan u + c 이므로가장유사한방법은 + u 이다. c d du u + c + + 위와같은방법으로 + + tan tan + u 연습문제 다음 ln d + d 6 d 8 +

11 d uv udv + vdu 이공식은에서양변을적분하면얻게된다. d uv udv + vdu udv uv vdu cos d u, dv cos d 라하자. 그러면 du d, dv cos d v sin cos d sin sin d sin + cos + c udv uv vdu 이용 ln d u ln, dv d 라하자. du d 그러면 *, dv d v ln d ln d ln + c 이용 udv uv vdu u d a [ 연속사용 ], dv d 라하자. 그러면 du d, 한번더 u, dv d 라하자. 그러면 du d, dv d v d d udv uv vdu 이용 dv d v d d [ d 그러므로 d a + ] d] udv uv vdu 이용 a

12 g d f g 의형태이면서는계속미분하면 이되고는적분가능하다면 예 d 미분한값이 일될때까지미분열은계속미분하고, 적분열은계속적분한다. 어느항을미분혹은적분으로놓을것인가는미분할경우차수가작아져마침내 이되는항을하게된다. 그러 k 므로일반적으로 항을미분으로 와같이적분하면동일형태가반복되는항을적분열에둔다. 미분항이 이될때까지미분열은미분, 적분열은적분한다. 그런후미분항에하나아래적분항을곱하고부호를 +, - 번갈아합하는과정을거치게된다. 즉,, 순으로곱하여번호옆의부호를붙이면다음과같다. d + ] + * 만약미분한번만한다면순서 는아래오른쪽이없으므로대응적분항을곱하고적분을 하면된다. 즉다음과같다. d 을구해보자. d ] d 방법 d ] ] ] d ] d 방법 d ] d

13 ln ln d 을구하시오 표적분이용 을적분할수없다. 그렇다면 과 ln 개의항의곱으로생각하여부분적분적용한다. f ln g ln g 대각선아래로가지못하는경우에는화살표는수평으로하고그항을적분하면된다. 즉위의경우적분결과는 d + c ln d ln + c 이전과동일 연습문제 다음함수의적분 sin d ln d d 4 d 확률변수 random varial 표본공간의각결과 원소 에실수 ral numr 값을대응시키는규칙 함수 을 확률 변수라한다. 즉표본공간이 S인확률실험에서각표본공간원소에오직하나의실수값을대응하는함수 X를확률변수라혹은변수한다. 기호로는 X s 이다. 확률분포 확률밀도함수 확률변수가가질수있는값들을정의역, 각값들의확률을치역으로한함수를 확률 분포함수 dnsity function 혹은확률밀도함수, proaility dnsity function 라하고 f 이산형변수일경우는 p 사용하기도한다 로나타낸다. 확률분포함수조건은다음과같다. 확률변수 X의임의의값 의확률값은 이상이다. or p

14 확률변수 X의모든값 or 의확률을더하면 이다. f d p 분포함수와확률계산 확률 변수 X의확률밀도함수를 f 라하자. 이에대해구간 [ a, ] 의확률 P a X 과 F 분포함수는다음과같이정의한다. P a X d a F P X d - 누적확률밀도함수 위로부터 P a < X F F a 임을알수있다. 이산형확률변수 X 의기대값은 E X p d 으로정의한다. E X p S 이고연속형확률변수 X의기대값은 주사위던지는게임에서주사위눈금을 X 라할때기대값 다른말로표현하면주사위의기대눈금은? E X P * + * + * + 4* + 5* + 6*.5 A

15 E u X u P X의함수 u E u u d 의기대값은 A 연속형 으로정의된다. u X X E X 만약인경우기대값을분산 varianc 이라하며분산은확률변수분포의흩어진정도를나타내는수치 관측치가얼마나변동이큰가? 이다. 분포가넓게퍼져있을수록분산이커진다. 이산형확률변수의분산 : 연속형확률변수의분산 : V X E X E X E X p V X E X E X E X d 분산을구하는간편식 : V X E X E X 확률변수 X 의확률밀도함수가! "# c,, othrwis 이다. 상수 c 구하시오. 확률밀도함수의조건을만족하려면 c >, 그러므로 c > 이어야한다. c d c ] [ ] c 그러므로 c, F 분포함수구하시오. t t F dt t ] 4 4 f 와 F 그리시오. 4 P < Y 구하시오., P Y P Y t t dt t ] 4 4 F F

16 5 E X 와 V X 구하시오. E X d d [ ] 6 E X d d [ ] 4 8 V X E X E X 9 연습문제 확률변수 X 의확률밀도함수가! "# c +,, othrwis 이다. 상수 c 구하시오. 분포함수 F 구하시오. P < X 구하시오. 4 P X > X >. 구하시오. 5 E X 와 V X 구하시오.! $ c, # 연습문제 확률변수 X 의확률밀도함수가!", othrwis 이다. 상수 c 구하시오. 분포함수 F 구하시오. P < X 구하시오. $,!! 8, < < F #! 6, < 4! 연습문제 확률변수 X 의분포함수가 ", 4 이다. 확률밀도함수를구하시오. 확률 P.5 < X 조건부확률 P X X

17 확률변수 X 전구수명, 기다리는시간 가모수가 모집단의특성치이며이값을알면 f 그래프를그릴수있음 인지수분포를따른다고하면 X ~ Ep 확률분포함수는, <, < 가확률밀도함수임을보이시오. > < 이면. d ] d. 가확률분포함수를구하시오. d ] F. X ~ Ep 인경우 EX 임을보이시오. E X d d [ 방법] 부분적분이용 : udv uv vdu dv d u, 라하면 du d dv d v E X d ] d d ]

18 !! [ 방법 ] 표적분이용하기 f!,!!! g g!!! d E X d [ ] 연습문제 X ~ Ep 일경우 V X V X E X E X 을이용하자. EX 임을 알고있으므로 E X 을구하면된다. E X 표적분을이용하여 f d 임을보이시오.

19 n n y dy n n 임을보이시오. u n y y, dv dy 라놓고부분적분하시오. y y dy 감마함수 에서 y 라고치환하면 d dy, y, y d 이므로 이다. d 양변에 을대입하면 이다., 이로부터 을확률밀도함수로사용할수있을것이다. X, X ~ Gamma,, 인 Gamma, 는모수가 인지수분포 Ep 이다. 감마분 포는서로독립인지수분포의합으로나타낼수있다. X iid i ~ Ep 이면 X i ~ Gamma, i 이다. 예를들어평균수명이 시간인지수분포 Ep 를따르는전구 개 가있다고하자. 첫전구를사용하다고장나면다음전구를사용한다고하자. 전구 개모두고장날때까지걸리는시간을확률변수 X 라하면 X ~ Gamma, 인분포를따른다.

20 Gamma 확률분포함수의평균구하기모수인감마분포의평균은에서부분적분을이용하자. 라하면 표적분이용, d d X E d, dv u β, d v d du + ] [ ]} {[ d d d d d!, f!!!!, g! + ] ] d d d d

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untitled Mathematics 4 Statistics / 6. 89 Chapter 6 ( ), ( /) (Euclid geometry ( ), (( + )* /).? Archimedes,... (standard normal distriution, Gaussian distriution) X (..) (a, ). = ep{ } π σ a 6. f ( F ( = F( f