AN INTRODUCTION TO PROBABILITY AND STATISTICS 확률과통계 개념핵심정리 + 필수문제 이슬비, 2018 이책을저작자의블로그이외의 다른사이트에서공유하는것을금지합니다. 이책은비상교육에서출판한 중학교교과서와고등학교확률과통계교과서의내용을 재구성하여제작되었습니다. 2018 년 5 월 30 일수정
머리말 수학은자연현상을추상화하고본질을분석하여숨어있는원리를발견하고미래를예측하는학문입니다. 특히확률과통계는우리의삶에나타나는현상을수학적으로분석하고경향성을파악하여그본질을찾아냄으로써자연과학뿐만아니라사회과학에서도그응용분야가넓은과목입니다. 이책은확률과통계의기초내용을담은교재로서, 학교수업과병행하여예습용또는복습용으로사용할수있습니다. 확률과통계의내용을 15개의주제로나누고, 각주제별로 개념핵심정리 와기초적인필수문제를선정하여실었습니다. 또한확률과통계를공부하기위해필요한 4개주제를함께실어이전학년도의수학지식이부족한경우에도이책을통해원활히학습할수있도록하였습니다. 이책이기초수학을공부하는많은분들께도움이되기를바랍니다. 이슬비
차례 _ Contents 01 순열과조합 10~27 쪽 01. 경우의수 10 02. 문자의사용과식의값 14 03. 순열 16 04. 조합 20 05. 식의계산 24 06. 이항정리 26 02 확률 28~39 쪽 07. 집합의연산 28 08. 확률의뜻 30 09. 확률의성질 32 10. 조건부확률 36 11. 사건의독립과종속 38 03 통계와확률분포 40~63 쪽 12. 자료의정리 40 13. 이산확률변수 44 14. 이항분포 48 15. 다항함수의미적분 50 16. 연속확률변수 54 17. 정규분포 56 18. 표본평균과표본비율 60 19. 모평균과모비율의추정 62 부록 64 쪽 표준정규분포표 64 참고문헌 [1] 김원경외 11인, 고등학교확률과통계교과서, 비상교육 (2014) [2] 김원경외 8인, 중학교수학교과서, 비상교육 (2014) [3] 이슬비, 고등학생을위한고급미적분학, 수학나라의앨리스 (2013) [4] 황선욱외 12인, 고등학교미적분과통계기본교과서, 좋은책신사고 (2009) 이책은비상교육에서출판한고등학교확률과통계교과서의내용을재구성하여제작되었습니다. 이책은네이버에서제공한나눔글꼴이사용되었습니다.
01 경우의수 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 경우의수 1 시행 : 같은조건에서반복할수있는실험이나관찰. 2 사건 : 시행에의하여나타나는결과. 3 경우의수 : 사건이일어나는가짓수. (2) 경우의수의계산 1 여사건 ( 반대사건 ) ( 사건 가일어나지않을경우의수 )( 전체경우의수 ) ( 사건 가일어나는경우의수 ) 2 합의법칙한번의시행에서두사건, 가동시에일어나지않을때, 사건 가일어나는경우의수가, 사건 가일어나는경우의수가 일때, ( 사건 또는사건 가일어나는경우의수 ) =. 3 곱의법칙두번의시행에서, 사건 가일어나는경우의수가, 그각각에대하여사건 가일어나는경우의수가 일때, ( 사건 와사건 가모두일어나는경우의수 ) =. 1 오른쪽그림과같이 부터 까지의자연수가각각적힌구슬 개가들어있는상자에서구슬한개를임의로꺼낼때, 다음경우의수를구하여라. ⑴ 의배수가적힌구슬이나오는경우의수 ⑵ 이하또는 이상인수가적힌구슬이나오는경우의수 ⑶ 짝수가아닌수가적힌구슬이나오는경우의수 2 제주도에있는올레길코스 개와한라산등반코스 개중에서한코스만을골라걷기로 하였다. 이때코스를고를수있는모든경우의수를구하여라. 10 고등학교확률과통계
3 오른쪽그림과같이 등분한서로다른원판두개에 부터 까지의수가각각적혀있다. 두원판이각각돌다가멈출때, 두원판의각바늘이가리킨수의합이 또는 가되는모든경우의수를구하여라. ( 단, 바늘이경계선을가리키는경우는생각하지않는다.) 4 주영이는매점에서파는간식중김밥, 샌드위치, 삶은달걀중에서 한가지와주스, 우유, 생수중에서한가지를선택하여사려고한다. 주영이가간식을선택할수있는모든경우의수를구하여라. 5 네개의숫자,,, 중에서숫자두개를동시에뽑아만들수있는두자리의자연수는 모두몇개인지구하여라. 6 네명의후보자중에서다음과같이 2 명을뽑는모든경우의수를구하여라. ⑴ 회장 1 명과부회장 1 명 ⑵ 대표 2 명 01. 경우의수 11
7 두개의주사위 A, B 를던질때 A 또는 B 에서홀수의눈이나오는경우의수를구하여라. 8 한개의주사위를던질때나온눈의수가짝수이면서동시에 3 의배수인경우의수를구하여라. 9 크기가서로다른두개의주사위를동시에던질때, 나오는눈의수의합이 또는 인경우의 수를구하여라. 10 부터 까지의자연수중에서 의배수또는 의배수의개수를구하여라. 12 고등학교확률과통계
11 선아는주머니속에 원짜리동전 개, 원짜리동전 개, 원짜리동전 개를가지고있 다. 이동전을사용하여 원짜리음료수한개를사려고할때, 지불할수있는모든방법의수 를구하여라. 12 오른쪽그림과같은도로가있다. 집에서출발하여문구 점을거쳐도서관까지가는모든경우의수를구하여라. ( 단, 같은지점을두번이상지나지않는다.) 13 다음수의약수의개수를구하여라. ⑴ ⑵ Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 01. 경우의수 13
02 문자의사용과식의값 복습내용 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 곱셈기호의생략 1 수와문자사이의곱에서는곱셈기호 를생략하고수는문자앞에쓴다.,,, 2 문자와문자의곱에서는곱셈기호 를생략하고, 문자는보통알파벳순서로쓴다. 3 같은문자의곱에서는곱셈기호 를생략하고, 거듭제곱으로나타낸다. 4 괄호가있는곱셈에서는곱해지는수나문자를괄호앞에쓴다., (2) 나눗셈기호의생략 : 나눗셈기호 를생략할때에는분수의꼴로나타낸다., (3) 식의값 : 문자를포함한식에서문자대신수를바꾸어넣는것을대입이라고부르며, 문자에수를대입하여계산한결과를식의값이라고부른다. 식 에 를대입하면식의값은 이다. 1 다음을곱셈기호를생략하여간단하게나타내어라. ⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑵ ⑷ ⑹ ⑻ 2 다음을나눗셈기호를생략하여간단하게나타내어라. ⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑵ ⑷ ⑹ ⑻ 3 다음을곱셈기호와나눗셈기호를생략하여간단하게나타내어라. ⑴ ⑶ ⑵ ⑷ 14 고등학교확률과통계
4 다음을기호, 를생략한식으로나타내어라. ⑴ 자루에 원인연필한자루의값 ⑵ 원짜리동전 개와 원짜리동전 개를합한금액 ⑶ 쪽인책을하루에 쪽씩 일동안읽었을때, 남은쪽수 5 다음을구하여라. ⑴ 일때, 의값 ⑵ 일때, 의값 6 일때다음식의값을구하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 7, 일때, 다음식의값을구하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 02. 문자의사용과식의값 15
03 순열 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 계승 : 부터 까지의자연수를차례로곱한것을 로나타낸다. ( 팩토리얼 ) 단, 인것으로약속한다. (2) 순열 : 서로다른 개의물건중 개를택하는경우의수를순열이라고부르며 P 로나타낸다. 1 P 2 P 3 P P P (3) 여러가지순열 1 원순열 : 서로다른 개의물건을원형으로배열하는방법의수는. 2 중복순열 : 서로다른 개의물건에서 개를택하는중복순열의수는. 3 같은것이있는순열 : 개중에서같은것이각각,, 개씩있을때 개를모두일렬로 배열하는순열의수는. ( 단, ) 1 경훈이는 4 종류의아이스크림 A, B, C, D 중에서서로다른두종류를골라 콘위에순서대로얹으려고한다. 이때얹는모든방법의수를구하여라. 2 다음값을구하여라. ⑴ ⑶ ⑵ ⑷ 3 다음값을구하여라. ⑴ P ⑵ P ⑶ P ⑷ P 16 고등학교확률과통계
4 다음경우의수를구하여라. ⑴ 10 명의후보중에서반장, 부반장, 총무를각각 1 명씩선출하는모든방법의수 ⑵ 서로다른 8 개의상자에서로다른 5 개의공을넣을때, 각상자에많아야한개의공을 넣는모든방법의수 5 원탁회의는 6 세기무렵영국의아서왕이기사들과상하구별없이원탁 에앉아회의를한것에서유래되었다고한다. 4 명의기사 A, B, C, D 가 회의를할때, 원탁에둘러앉는방법의수를구하여라. 6 다음경우의수를구하여라. ⑴ 다섯종류의놀이기구중에서중복을허락하여 3 개를순서대로타는모든방법의수 ⑵ 서로다른 6 개의어항에서로다른 4 마리의물고기를넣는모든방법의수 03. 순열 17
7 중복을허락하여 5 개의숫자 0, 1, 2, 3, 4 로만들수있는다섯자리자연수중에서짝수의개수 를구하여라. 8 5 개의문자 를일렬로배열하는모든경우의수를구하여라. 9 모양과크기가같은빨간깃발 2 개, 파란깃발 3 개, 노란깃발 2 개를모두일렬로배열하여만들 수있는신호의수를구하여라. 10 부모와아들 1 명, 딸 3 명이원탁에둘러앉을때, 아들양옆에부모가앉는모든방법의수를구하 여라. 18 고등학교확률과통계
11 오른쪽그림과같은도로망이있다. 지점 P 에서지점 Q 까지가는 최단경로의수를구하여라. 12 오른쪽그림과같은도로망이있다. 지점 P 에서지점 R 를거쳐 지점 Q 까지가는최단경로의수를구하여라. 13 6 개의문자 C, O, F, F, E, E 를일렬로배열할때, 문자 C 가짝수번째에오는모든배열의수를 구하여라. Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 03. 순열 19
04 조합 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 조합 : 서로다른 개의물건에서순서를생각하지않고 개를택하는경우의수를조합이라고 부르며 C 로나타낸다. 1 C P 2 C C C (2) 중복조합 : 서로다른 개에서중복을허락하여 개를택하는조합을중복조합이라고부르며 H 로나타낸다. 중복조합은 H C 로계산한다. (3) 분할 1 집합의분할 : 원소의개수가 인집합을 개의부분집합으로분할할때, 이분할의수를기호로 로나타낸다. 2 자연수의분할 : 자연수 을 개의자연수로분할할때, 이분할의수를기호로 로나타낸다. 1 다음값을구하여라. ⑴ C ⑵ C ⑶ C ⑷ C 2 다음을구하여라. ⑴ 명의학생중에서임원 3 명을선출하는모든방법의수 ⑵ 서로다른 8 개의상자에똑같은 5 개의공을넣을때, 각상자에많아야한개의공을넣는 모든방법의수 20 고등학교확률과통계
3 남학생 7 명과여학생 3 명중에서학생 4 명을뽑아봉사활동을 가려고할때, 다음을구하여라. ⑴ 학생 4 명을뽑는경우의수 ⑵ 남학생 2 명과여학생 2 명을뽑는경우의수 4 오른쪽그림은큰직사각형을작은정사각형 12 개로등분한것이다. 이그림에있는선분만을이용하여만들수있는사각형중에서정사 각형이아닌직사각형의개수를구하여라. 5 다음값을구하여라. ⑴ H ⑵ H 6 다음방법의수를구하여라. ⑴ 다섯종류의과일중에서중복을허락하여 3 개를택하는모든방법의수 ⑵ 서로다른 6 개의상자에똑같은 5 개의공을넣는모든방법의수 04. 조합 21
7 방정식 에대하여다음을구하여라. ⑴ 음이아닌정수해의개수 ⑵ 양의정수해의개수 8 1 부터 20 까지의자연수중에서서로다른 3 개의자연수를뽑을때, 홀수와짝수가모두포함되는 경우의수를구하여라. 9 다음값을구하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 22 고등학교확률과통계
10 똑같은 3 개의상자에똑같은 10 개의공을넣을때, 빈상자가없도록넣는모든방법의수를 구하여라. 11 다음값을구하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 12 똑같은 4 개의상자에서로다른 6 개의공을넣을때, 빈상자가없도록넣는모든방법의수를 구하여라. Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 04. 조합 23
05 식의계산 복습내용 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 지수법칙 : 수, 와자연수, 에대하여다음이성립한다. 1 3 2 4 5 (2) 단항식의계산 1 문자와차수가같은항을동류항이라고부른다. 2 동류항끼리더하거나뺄때에는계수만더하거나뺀다. 3 단항식의곱셈과나눗셈은지수법칙을이용하여계산한다. (3) 다항식의계산 1 3 5 7 2 4 6 8 1 다음을계산하여라. ⑴ ⑶ ⑵ ⑷ ⑸ ⑹ 2 다음을계산하여라. ⑴ ⑶ ⑸ ⑹ ⑵ ⑷ 3 다음식을간단히하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 24 고등학교확률과통계
4 다음덧셈과뺄셈을계산하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 5 지수법칙을이용하여다음을간단히하여라. ⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑵ ⑷ ⑹ ⑻ 6 다음식을전개하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 7 다음식을전개하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 05. 식의계산 25
06 이항정리 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 이항정리 : 이자연수일때다음이성립한다. C C C C 위식에서 C 를이항계수라고부른다. (2) 파스칼의삼각형 1 의전개식을구하여라. 2 의전개식을구하여라. 3 의전개식을구하여라. 4 의전개식에서상수항을구하여라. 26 고등학교확률과통계
5 의전개식에서 의계수를구하여라. 6 의전개식에서상수항을구하여라. 7 파스칼의삼각형을이용하여 의전개식을구하여라. 8 이자연수일때, 다음등식이성립함을보이려고한다. 빈칸에알맞은내용을써넣어라. C C C C 이항정리를이용하여 을전개하면다음과같다. 이식의양변에을대입하면다음과같다. C C C C Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 06. 이항정리 27
07 집합의연산 복습내용 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 집합의뜻 1 집합 : 명백하게구분되는대상을모아놓은것. 2 원소 : 가 에속할때기호로 로나타낸다. 이때 를 의원소라고부른다. 3 원소나열법 : 와같이원소를나열하여집합을나타내는방법. 4 조건제시법 : 와같이조건을제시하여집합을나타내는방법. 5 부분집합 : 집합 의원소가모두 에도속할때 는 의부분집합이다 라고말하고, 기호로 로나타낸다. 6 공집합 : 원소를가지고있지않은집합을공집합이라고부르며 으로나타낸다. 7 원소의개수 : 집합 의원소의개수를 로나타낸다. (2) 집합의연산 1 합집합 : 또는 2 교집합 : 그리고 3 차집합 : 그리고 (3) 전체집합과여집합 1 전체집합 : 대상이되는영역의부분집합을생각할때, 대상이되는영역을전체집합이라고부른다. 2 여집합 : 에속하지않는원소들의모임을 의부분집합이라고부르며 로나타낸다. 즉전체집합이 일때, 이다. 유리수가아닌수는무리수이다 라고말할때전체집합은모든실수의집합이다. 1 세집합,, 에대하여다음을구하여라. ( 단, 전체집합은모든자연수의집합이다.) ⑴ ⑶ ⑵ ⑷ 2 집합 { 은 미만의소수 } 의부분집합을모두구하여라. 3 집합 에대하여, 을만족시키는집합 의개수를 구하여라. 28 고등학교확률과통계
4 두집합, 에대하여 일때, 실수 의 값을구하여라. 5, 일때, 집합 의부분집합의개수를구하여라. 6 전체집합 의두부분집합, 에대하여 일때, 다음중옳지않은것은? 1 2 3 4 5 7 공집합이아닌두집합, 가있을때, 다음중 과같은집합은? 1 2 3 4 5 8 명의학생에게 A, B 두문제를풀게하였더니 A 를푼학생은 명, B 를푼학생은 명, A 와 B 중하나도풀지못한학생은 명이었다. 이때 A 만푼학생의수를구하여라. Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 07. 집합의연산 29
08 확률의뜻 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 시행과사건 1 시행 : 동일한조건아래에서여러번반복할수있으며그결과가우연에의하여결정되는실험이나관찰. 2 표본공간 : 어떤시행에서나올수있는모든결과들의집합. 3 사건 : 표본공간의부분집합. 4 근원사건 : 표본공간의부분집합중에서한개의원소로이루어진사건. (2) 확률 1 확률의표현 : 어떤시행에서사건 가일어날확률을기호로 P 로나타낸다. 2 수학적확률 : 어떤시행의표본공간 가유한집합이고각근원사건이일어날가능성이모두 같을때, 사건 가일어날확률은다음과같다. 사건 의원소의개수 P 표본공간 의원소의개수 3 통계적확률 : 어떤시행을 번반복할때사건 가 번일어났다고하자. 이때 을한없이크게 함에따라상대도수 이일정한값 에가까워지면 를사건 가일어날통계적확률이라고 부른다. 1 주사위한개를던져나오는눈의수를확인하는시행에서다음을구하여라. ⑴ 표본공간 ⑵ 짝수의눈이나오는사건 ⑶ 근원사건 2 어느실험연구에의하면빛만비추었을때토종민들레는씨앗 개중에서 개가발아한다고 한다. 이실험과같은조건에서토종민들레씨앗이발아할확률을구하여라. 3 모양과크기가같은카드 장에오른쪽그림과같이봉사 활동내용이적혀있다. 이중에서카드한장을임의로 뽑을때, 재능기부가적힌카드가뽑힐확률을구하여라. 30 고등학교확률과통계
4 서로다른두개의주사위를동시에던질때, 나오는두눈의수의 합이 일확률을구하여라. 5 두명의학생이가위바위보를한번할때, 비길확률을구하여라. 6 세명의학생이가위바위보를한번할때, 승부가나지않을확률을 구하여라. 7 다음두학생의대화에서옳지않은부분을찾고, 그이유를설명하여라. Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 08. 확률의뜻 31
09 확률의성질 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 확률의기본성질 1 임의의사건 에대하여 P. 2 표본공간 에대하여 P. 3 절대로일어나지않는사건 에대하여 P. (2) 배반사건과여사건 1 배반사건 : 서로동시에일어날수없는사건을배반사건이라고부른다. ( 즉 일때두사건 와 를배반사건이라고부른다.) 2 여사건 : 어떤사건 에대하여, 가일어나지않는사건을 의여사건이라고부른다. ( 즉 를 의여사건이라고부른다.) 3 여사건의확률 : 사건 에대한여사건 의확률은 P P. (3) 확률의덧셈정리 1 두사건, 에대하여 P P P P. 2 두사건, 가서로배반사건이면 P P P. 1 주사위한개를던지고나온눈의사건을확인하는시행에서다음사건을집합으로나타내고, 서로배반사건인것을구하여라. ⑴ 짝수의눈이나오는사건 ⑵ 의약수의눈이나오는사건 ⑶ 홀수의눈이나오는사건 ⑷ 의배수의눈이나오는사건 2 부터 까지의자연수가각각적힌공 개가들어있는주머니에서임의로공한개를꺼낼때 다음물음에답하여라. ⑴ 공에적힌수가 의배수인사건 를구하여라. ⑵ 공에적힌수가 의배수인사건 를구하여라. ⑶ 와 가배반사건인지확인하여라. ⑷ 의여사건과 의여사건을각각구하여라. 32 고등학교확률과통계
3 개의숫자,,, 가각면에적힌정사면체한개를두번던질때, 바닥과닿은면에 적힌수의합이 인사건을, 수가모두홀수인사건을 라하자. 다음물음에답하여라. ⑴ 두사건, 가서로배반사건인지판별하여라. ⑵ 의여사건을구하여라. 4 바구니안에모양과크기가같은포도맛사탕 개와딸기맛사탕 개가들어있다. 이바구니에서사탕한개를임의로꺼낼때, 다음을구하여라. ⑴ 포도맛사탕이나올확률 ⑵ 오렌지맛사탕이나올확률 ⑶ 포도맛또는딸기맛사탕이나올확률 5 흰공 개와검은공 개가들어있는주머니에서임의로공 개를동시에꺼낼때, 다음을 구하여라. ⑴ 흰공이 개나올확률 ⑵ 검은공이 개이상나올확률 6 어느회사의제품 개중에는불량품 개가들어있다고한다. 이들제품중에서제품한개를 임의로고를때, 합격품이나올확률을구하여라. 7 농구동아리회원인장훈이의자유투성공률은 라고한다. 장훈이가자유투를던질때, 실패할확률을구하여라. 09. 확률의성질 33
8 서로다른두개의동전을동시에던질때, 적어도한개는 앞면이나올확률을구하여라. 9, 로답하는시험에서두문제의답을임의로선택할때, 두문제중에서적어도한문제는맞 힐확률을구하여라. 10 오른쪽그림과같이서로다른주머니두개에,,,, 의수가각각적힌공 개가들어있다. 두주머니에서각각공한개를임의로꺼낼때, 꺼낸공에적힌수가서로다를확률을구하여라. 11 게임카드 장중에는 K 카드 장, Q 카드 장이들어있다. 이 카드를잘섞어한장을임의로뽑을때, K 또는 Q 카드가뽑힐 확률을구하여라. 12 어떤오디션프로그램에서두참가자 A, B 가본선에진출할확률이각각, 일때, 참가자 A 만본선에진출할확률을구하여라. 13 주머니속에파란구슬 개와흰구슬 개가들어있다. 이주머니에서 구슬한개를꺼내색을확인하고주머니에다시넣은후다시한개를 꺼낼때, 두구슬의색이서로다를확률을구하여라. 34 고등학교확률과통계
14 흰공 개와노란공 개가들어있는주머니에서임의로공 개를동시에꺼낼때, 적어도한 개가노란공일확률을구하여라. 15 현아, 보검, 백진의생일은모두 월이다. 이세연예인중생일이같은사람이있을확률을구하 여라. 16 일기예보에따르면어느지역에서토요일에비가올확률은 이고, 일요일에비가올확률은 라고한다. 이지역에서토요일에는비가오고, 일요일에는비가오지않을확률을구하여라. 17 은정이가문제 A 를풀확률이, 문제 B 를풀확률이 일때, 두문제중에서적어도한문제 를풀확률을구하여라. 18 세번의경기중에서두번을먼저이기면승리하는게임이있다. 한경기에서 A 팀이 B 팀을이길 확률이 라고할때, A 팀과 B 팀의게임에서 A 팀이승리할확률을구하여라. ( 단, 비기는경우 는없다.) Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 09. 확률의성질 35
10 조건부확률 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 조건부확률 : 사건 가일어났다는조건아래에서사건 가일어날확률을사건 가일어났을때 의사건 의조건부확률이라고부르고, 기호로 P 로나타낸다. ( 단, P 일때 ) P P P (2) 확률의곱셈정리 : 두사건, 가동시에일어날확률은 P P P PP. 1 각면에 부터 까지수가적인정십이면체주사위한개를던져 나오는눈의수를확인하는시행에대하여다음물음에답하여라. ⑴ 표본공간을구하여라. ⑵ 짝수의눈이나오는사건 를구하여라. ⑶ 의배수의눈이나오는사건 를구하여라. ⑷ P 와 P 를각각구하여라. ⑸ P 와 P 를각각구하여라. 2 서울과제주간을운항하는어느항공사의비행기가정시에출발하는사건을, 정시에도착하는 사건을 라고하면 P, P 이라고한다. 이비행기가정시에출발하였다고 할때, 정시에도착할확률을구하여라. 3 어느학급학생전체의 이일손돕기봉사활동에참여하는데참여하는남학생이학급학생 전체의 라고한다. 이학급에서임의로뽑은학생한명이일손돕기봉사활동에참여하는 학생이었을때, 그학생이남학생일확률을구하여라. 36 고등학교확률과통계
4 어느분식점손님전체의 이학생이라고한다. 그리고손님전체의 이여자이고, 이여자 이거나학생이라고한다. 이분식점에서임의로뽑은손님한명이여자이었을때, 그손님이 학생일확률을구하여라. 5 당첨제비 개를포함하여제비 개가들어있는통에서수종이와종현이가 차례로제비를한개씩뽑는다고한다. 한번뽑은제비는다시넣지않을때, 수종이와종현이가모두당첨제비를뽑을확률을구하여라. 6 검은바둑돌 개와흰바둑돌 개가들어있는통에서임의로바둑돌을한개씩 두번꺼내려고한다. 한번꺼낸바둑돌은다시넣지않을때, 꺼낸바둑돌이 모두검은바둑돌일확률을구하여라. 7 어느회사는두공장 A, B 에서각각전체제품의, 를생산하는데두공장 A, B 의 불량률이각각, 라고한다. 두공장에서생산된제품중에서임의로고른제품한개가 불량품이었을때, 이제품이 A 공장에서생산되었을확률을구하여라. Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 10. 조건부확률 37
11 사건의독립과종속 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 사건의독립과종속 1 두사건, 에대하여 P P 일때, 두사건, 는서로독립이라고한다. 2 두사건이서로독립이아닐때, 두사건은서로종속이라고한다. (2) 사건이독립일조건 : 사건 와사건 가서로독립이기위한필요충분조건은 P P P. ( 단, P, P 일때.) (3) 독립시행 : 어떤시행을반복할때, 각시행마다일어나는사건이서로독립이면이와같은시행을독립시행이라고부른다. 동전이나주사위등을여러번반복하여던지는경우 (4) 독립시행의확률 : 어떤시행에서사건 가일어날확률이 일때, 이시행을 번반복하는독립시행에서사건 가 번일어날확률은 C. ( 단, ) 1 주사위한개를던질때, 짝수의눈이나오는사건을, 소수의눈이나오는사건을, 이하의 눈이나오는사건을 라고하자. 이때두사건 와, 두사건 와 가서로독립인지종속인 지를각각말하여라. 2 남학생 명, 여학생 명으로구성된상민이네반에서애완동물을기르는남학생과여학생은각각 명, 명이라고한다. 이반학생중에서임의로학생한명을뽑을때, 그학생이여학생인사건을, 애완동물을기르는학생인사건을 라고하자. 이때두사건 와 가서로독립인지종속인지를말하여라. 3 표본공간 의두사건, 에대하여 P P 일때, 두사건 와 가서로독 립인지종속인지를말하여라. ( 단, P, P ) 38 고등학교확률과통계
4 모터 개가독립적으로작동하는어떤기계가있다. 각모터가작동할확률은 라고할때, 다음 을구하여라. ⑴ 모터 개가작동할확률 ⑵ 적어도 개의모터가작동할확률 5 어느양궁선수가 점영역을맞힐확률은 이라고한다. 이선수가화살을 번쏘았을때, 다음을구하여라. ( 단, 화살을쏘는시행은독립이다.) ⑴ 점영역을 번맞힐확률 ⑵ 적어도한번 점영역을맞힐확률 6 사건 와사건 가서로독립이고 P, P 일때, P 를구하여라. 7 두프로야구팀 A, B 가경기를할때, A 팀이이길확률은 이다. 번의경기를할때, A 팀 이 회이상이길확률을구하여라. ( 단, 비기는경우는없다.) Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 11. 사건의독립과종속 39
12 자료의정리 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 대푯값과산포도 1 대푯값 : 자료를대표하는값. 많이사용하는대푯값으로는평균, 중앙값, 최빈값이있다. 2 산포도 : 자료가흩어져있는정도를하나의수로나타낸값. 가장많이사용되는산포도는 표준편차, 평균편차, 사분편차가있다. (2) 도수분포표에서의평균 1 도수분포표 : 변량으로나타난자료를계급, 도수를이용하여표로나타낸것. 계급값 도수 의총합 2 도수분포표에서의평균 : ( 평균 ) 도수의총합 (3) 상대도수 그계급의도수 1 상대도수 : ( 어떤계급의상대도수 ) 도수의총합 2 상대도수를이용한평균 : ( 평균 ){( 계급값 ) ( 상대도수 ) 의총합 } (4) 분산과표준편차 1 편차 : 자료의값에서평균을뺀값. 편차 자료의값 평균. 편차 의합 2 분산 : 자료의편차의제곱의평균. ( 분산 ). 자료의개수 3 표준편차 : 분산의음이아닌제곱근. ( 표준편차 ) 분산. 편차와표준편차는변량과동일한단위를쓴다. 분산은단위를쓰지않는다. 1 다음도수분포표는우리나라의 개국립공원에속해있는산의높이를조사하여나타낸것이다. 이도수분포표에서산의높이의평균을구하여라. ( 단, 소수점아래둘째자리에서반올림한다.) 높이 (m) 산의수 ( 개 ) 계급값 ( 계급값 ) ( 도수 ) 600 이상 800 미만 2 800 1000 3 1000 1200 2 1200 1400 1 1400 1600 3 1600 1800 2 1800 2000 2 합계 15 40 고등학교확률과통계
2 다음도수분포표는학생 명의일주일동안인터넷사용시간을조사하여나타낸것이다. 인터넷 사용시간의평균을구하여라. 사용시간 ( 시간 ) 상대도수 계급값 ( 계급값 ) ( 상대도수 ) 0 이상 5 미만 0.24 5 10 0.34 10 15 0.18 15 20 0.14 20 25 0.06 25 30 0.04 합계 1 3 다음자료의분산과표준편차를구하여라. ⑴,,,, ⑵,,,, ⑶,,,, ⑷,,,, 4 다음은정연이네반학생 10명의사물함속에있는메이크업도구의개수를조사한것이다. 이자 료의평균, 분산, 표준편차를구하여라. 메이크업도구의개수 ( 개 ) 1 2 3 4 5 사람수 ( 명 ) 1 2 4 2 1 5 오른쪽상대도수의분포표는태연이네반학생들의 m 달리기기록을조사하여나타낸것이다. ⑴ 전체학생수를구하여라. ⑵ 표의빈칸을알맞게채워라. ⑶ 태연이네반학생중한명을임의로택했을때이학생의기록이 14초미만일확률을구하여라. 기록 ( 초 ) 학생수 ( 명 ) 상대도수 12 이상 13 미만 2 13 14 0.25 14 15 12 15 16 16 17 6 17 18 4 0.1 합계 12. 자료의정리 41
6 아래도수분포표는준호네반학생들의수학점수를조사하여나타낸후, 이도수분포표를히스토 그램으로나타낸것이다. 수학점수 ( 점 ) 학생수 ( 명 ) 50 이상 60 미만 2 60 70 A 70 80 10 80 90 B 90 100 C 합계 30 ⑴ A, B, C 의값을각각구하여라. ⑵ 준호네반학생중한명을임의로택했을때, 이학생의점수가 점이상일확률을구하여라. ⑶ 준호네반학생들의수학점수의평균을구하여라. 7 오른쪽도수분포표는어느고등학교 3학년학생들의하루동안의운동시간을조사하여나타낸것이다. 하루동안 분이상운동하는학생이전체의 % 일때, 의값을구하여라. 운동시간 ( 분 ) 학생수 ( 명 ) 0 이상 10 미만 12 10 20 20 30 54 30 40 40 50 30 50 60 합계 8 다음표는학생수가각각 명인 개반의체험활동시간의평균과표준편차를나타낸것이다. 이표에대한설명중에서옳은것을모두찾아라. ( 단위 : 시간 ) 반 평균 표준편차 1 체험활동시간이가장적은반은 반이다. 2 체험활동시간이가장많은학생은 반에있다. 3 체험활동시간의분산이가장큰반은 반이다. 4 체험활동시간이평균에가장가까이몰려있는반은 반이다. 5 반과 반의체험활동시간의총합이서로같다. 42 고등학교확률과통계
9 다음 개자료의평균이 이고 일때,, 의값을각각구하여라.,,,,,,,,, 10 자료,, 의평균이 이고, 표준편차가 이다. 자료,,,,, 에대하여다음물음에 답하여라. ⑴ 이자료의평균을구하여라. ⑵ 이자료의분산을구하여라. 11 다음표는어느학교의학생 명을대상으로일주일동안사이버학습센터에로그인한횟수를 조사하여나타낸것이다. 로그인횟수 ( 회 ) 학생수 ( 명 ) ⑴ 로그인한횟수의평균과분산을각각구하여라. ⑵ 로그인한횟수가 평균 표준편차 보다많고 평균 표준편차 보다적은학생은 전체의몇 인지말하여라. Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 12. 자료의정리 43
13 이산확률변수 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 확률변수 : 어떤시행에서표본공간의각근원사건에단하나의수를대응시킨관계. 1 이산확률변수 : 확률변수가취하는값을일일이셀수있을때. 취하는값이주사위를던졌을때나오는눈, 물건의개수등일때. 2 연속확률변수 : 확률변수가어떤범위에속한모든실수값을취할때. 취하는값이길이, 무게, 부피등일때. (2) 이산확률변수의확률분포 1 P : 확률변수 가어느한값 를취할확률을나타내는기호. 2 P : 확률변수 가 이상 이하의값을취할확률을나타내는기호. P 는 를변수로갖는함수가되는데, 이때 P 를 의확률질량함수라고부른다. (3) 이산확률변수의기댓값과산포도 : 가이산확률변수이고 P 일때다음이성립한다. 1 평균 : E 2 분산 : V E ( 단, 은평균 ) 3 표준편차 : V 1 다음과같은시행에서확률변수가이산확률변수인것은 이, 연속확률변수인것은 연 을괄호안에 써넣어라. ⑴ 동전한개를계속던지는시행에서처음으로앞면이나올때까지던진시행횟수 ( ) ⑵ 길이가 인선분 AB 위의한점 C를임의로잡는시행에서선분 AC의길이 ( ) ⑶ 어느지역 구급대에하루동안걸려오는전화수 ( ) ⑷ 울릉도에일년동안내리는적설량 ( ) ⑸ 개문항의 OX 시험에서답을임의로고를때, 맞힌문항수 ( ) ⑹ 은행에서번호표를뽑은후, 차례가될때까지걸리는대기시간 ( ) 2 동전두개를함께던지는시행을한다. 앞면이나오는동전의개수를확률변수 라고할때, 다 음을구하여라. ⑴ P ⑵ P ⑶ P ⑷ P 44 고등학교확률과통계
3 남학생 명과여학생 명중에서임의로대표 명을뽑을때, 뽑힌남학생의수를확률변수 라 고하자. 다음을구하여라. ⑴ P ⑵ P ⑶ P ⑷ 남학생이적어도 명뽑힐확률 4 윤목은조선시대때사용하던윷의일종으로서오각기둥모양의막대의각모서리에눈금으로숫자 를나타낸다. 윤목을던질때, 각숫자가나올확률은같다고한다. 윤목을두번던져나오는숫자중에서작지않은숫자를확률변수 라고할때, 다음을구하여라. ⑴ P ⑵ P ⑶ P 5 어느재래시장에서는사은행사로 명의고객에게오른쪽표와같은경품권을준다고한다. ⑴ 각순위별당첨확률을구하여라. ⑵ 경품권한장당받을수있는금액의기댓값을구하여라. 순위금액 ( 만원 ) 매수확률 등 등 등 등 합계 13. 이산확률변수 45
6 모양이비슷한열쇠 개중에서현관문에맞는열쇠가한개있다. 이중에서어느열쇠가현관문에맞는지몰라차례로하나씩골라현관문을여는시도를하고있다. 현관문이열릴때까지시도한횟수를확률변수 라고할때, 다음물음에답하여라. ( 단위 : 회 ) ⑴ 다음표를완성하고, 확률질량함수 P 를구하여라. 합계 P ⑵ 현관문이열릴때까지시도한횟수의평균을구하여라. 7 원짜리동전한개와 원짜리동전두개를동시에던질때, 앞면이나오는동전의금액을상금으로받는다고하자. 이때상금의 기댓값을구하여라. 8 우리반학생들이가지고있는수학교재의수를확률변수 라하고, 의확률분포를조사한결 과는다음표와같다. 의분산과표준편차를구하여라. ( 단위 : 권 ) 합계 P 46 고등학교확률과통계
9 오른쪽시는김소월의 진달래꽃 중의일부이다. 이문장에서한 어절을임의로뽑을때, 뽑은어절의글자수를확률변수 라고 하자. 의분산을구하여라. 10 확률변수 의평균이, 분산이 일때, 다음을구하여라. ⑴ 의평균과표준편차 ⑵ 의평균과표준편차 11 어느시험에서전체응시자의시험점수 이평균이, 표준편차가 일때, 확률변수 의평균, 분산, 표준편차를구하여라. Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 13. 이산확률변수 47
14 이항분포 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 이항분포 : 일반적으로한번의시행에서어떤사건 가일어날확률이 일때, 번의독립시행에서사건 가일어나는횟수를확률변수 라고하면 가취하는값은,,,, 이다. 이때 의확률질량함수는독립시행의확률에의하여다음과같다. P C ( 단, ) 이와같은확률질량함수를갖는확률분포를이항분포라하고, 기호로 B 로나타낸다. (2) 이항분포의기댓값과산포도 : 확률변수 가이항분포 B 에따를때다음이성립한다. 1 평균 : E 2 분산 : V ( 단, ) 3 표준편차 : 1 축구승부차기에서각선수가골을넣을확률은 이고, 공을차는시행은독립시행이라고한다. 선수 명이승부차기에서넣은골의수를확률변수 라고할때, 의확률질량함수를구하여라. 2 점슛성공률이 인어느농구선수가 점슛 개를던질때성공한횟수를확률변수 라 하고, 의확률분포와확률질량함수를구하여라. ( 단, 점슛을던지는시행은독립시행이다.) 3 개가강아지 마리를낳을때수컷강아지의수를확률변수 라하자. 이때 의확률분포와확 률질량함수를구하여라. ( 단, 수컷강아지를낳을확률은 이다.) 48 고등학교확률과통계
4 오지선다형 문항으로이루어진시험에서문항당점수는 점이고, 시험점수가 점미만이면 불합격이라고한다. 모든문항의답을임의로고른다고할때, 불합격할확률을구하여라. ( 단, 소 수점아래넷째자리에서반올림한다.) [ 계산기사용 ] 5 어느음식점에서예약한사람이아무연락없이오지않을확률은 라고한다. 예약좌석 개가있는이음식점에서 명의예약을받은경우실제로예약좌석이부족할확률을구하여라. ( 단,, 로계산한다.) 6 발아율이 인씨앗 개를심었을때발아된씨앗의개수를확률변수 라하고, 의평균과 분산을구하여라. 7 흰공 개와빨간공 개가들어있는주머니에서임의로공한개를꺼내어공의색깔을확인한 다음공을다시주머니에넣는시행을 번반복한다. 흰공이나온횟수의평균이 회일때, 의 값을구하여라. 8 확률변수 가이항분포 B 에따를때, 확률변수 의평균과분산을구하여라. Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 14. 이항분포 49
15 다항함수의미적분 복습내용 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 미분 : 함수 에대하여다음과같이정의한다. 1 순간변화율 : 극한 lim 가존재할때, 는 에서미분가능하다 라고말하며, 극한값 를 에서 의순간변화율이라고부른다. 는함수 의그래프위의점 에서이그래프에접하는접선의기울기와같다. 2 도함수 : 함수 를 의도함수라고부른다. (2) 미분의기본성질 : 와 가 에서미분가능할때다음이성립한다. 1 가상수일때, 는 에서미분가능하고, 이함수의도함수는 이다. 2 는 에서미분가능하고, 이함수의도함수는 이다. 3 는 에서미분가능하고, 이함수의도함수는 이다. 4 이자연수일때 의도함수는 이다. (3) 적분 : 함수 가연속함수일때다음과같이정의한다. 1 임의의 에대하여 일때, 두직선, 와그래프 로둘러싸인부분의넓이를 로나타낸다. 이값을구간 에서 의적분이라고부른다. 2 의그래프가 축보다위쪽에있는부분과 축사이의넓이를, 그래프가 축보다아래쪽에있는부분과 축사이의넓이를 라고할때 로정의한다. (4) 미적분의기본정리 : 가연속함수이고 일때다음이성립한다. 1 함수 가다음과같을때도함수 를구하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2 곡선 위의점 에서의접선의방정식을구하여라. 50 고등학교확률과통계
3 곡선 위의점 에서의접선의방정식을구하여라. 4 어느다이빙선수가수면으로부터의높이가 m 인다이빙대에서뛰어오른지 초후의수면으로 부터의높이 m 는 이라고한다. 다음에답하여라. ⑴ 뛰어오른지 초후속도를구하여라. ⑵ 이선수가가장높은곳에도달할때까지걸린시간과그때의높이를구하여라. ⑶ 이선수가수면에닿는순간의속도를구하여라. 5 함수 의도함수가다음과같을때 를구하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 6 함수 가다음과같을때 를만족시키는함수 를구하여라. ⑴ ⑵ ⑶ 15. 다항함수의미적분 51
7 다음적분을계산하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 8 다음적분을계산하여라. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 9 곡선 과 축으로둘러싸인도형의넓이를구하여라. 52 고등학교확률과통계
10 곡선 와 축및두직선 과 로둘러싸인도형의 넓이를구하여라. 11 직선 과곡선 로둘러싸인도형의넓이를 구하여라. 12 지상 m 의높이에서 m/ 초의속도로똑바로위로쏘아올린물체의 초뒤의속도가 (m / 초 ) 일때, 다음을구하여라. ⑴ 발사하고 초뒤물체의지면으로부터의높이 ⑵ 지면에떨어질때까지움직인거리 Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 15. 다항함수의미적분 53
16 연속확률변수 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 확률밀도함수 : 가연속확률변수일때다음세조건을모두만족시키는 함수 를 의확률밀도함수라고부른다. 1 모든 에대하여 2 3 P (2) 연속확률변수의기댓값과산포도 : 연속확률변수 의확률밀도함수가 일때다음이성립한다. 1 평균 : E 2 분산 : V E ( 단, 은평균 ) 3 표준편차 : V (3) 평균, 분산, 표준편차의성질 : 임의의두상수 에대하여다음이성립한다. ( 단, ) 1 E E 2 V V 3 1 확률변수 의확률밀도함수가 일때, 다음을구하여라. ( 단, ) ⑴ 상수 의값 ⑵ P 2 확률변수 의확률밀도함수가 일때, P 을구하여라. ( 단, 이고 는상수 ) 3 확률변수 의확률밀도함수 의그래프가오른쪽그림과같을때, P 을구하여라. ( 단, ) 54 고등학교확률과통계
4 확률변수 의확률밀도함수가 일때, 다음을구하여라. ( 단, ) [ 미적분이용 ] ⑴ 상수 의값 ⑵ P 5 확률변수 의확률밀도함수가 일때다음을구하여라. ( 단, ) [ 미적분이용 ] ⑴ 상수 의값 ⑵ P 6 확률변수 의확률밀도함수가 일때, 의평균과분산을구하여라. ( 단, ) [ 미적분이용 ] 7 확률변수 의확률밀도함수가 일때, 의평균과분산을구하여라. ( 단, ) [ 미적분이용 ] Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 16. 연속확률변수 55
17 정규분포 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 정규분포와표준정규분포 1 정규분포 : 일반적으로연속확률변수 의확률밀도함수 가 일때, 의확률분포를정규분포라고부르고, 기호로 N 으로나타낸다. N 은평균이 이고표준편차가 인연속확률분포가된다. 2 표준정규분포 : 확률변수 가정규분포 N 에따를때, 의표준화변수 은표준정규분포 N 에따른다. 이때임의의양수 에대하여확률 P 를표로나타낸것이표준정규분포표이다. (2) 큰수의법칙 : 어떤시행에서사건 가일어날수학적확률이 일때, 번의독립시행에서사건 가일어날횟수를확률변수 라고하면상대도수 는 이한없이커질수록 에가까워진다. (3) 이항분포와정규분포의관계 : 확률변수 가이항분포 B 에따를때, 이충분히크면 는 정규분포 N 에가까워진다. ( 단, ) 1 확률변수 가표준정규분포 N 에따를때, 표준정규분포표를이용하여다음확률을구하여라. ⑴ P ⑵ P ⑶ P ⑷ P ⑸ P ⑹ P 2 확률변수 가표준정규분포 N 에따를때, 표준정규분포표를이용하여다음을만족시키는 상수 의값을구하여라. ⑴ P ⑵ P 56 고등학교확률과통계
3 확률변수 가표준정규분포 N 에따를때, P 을구하여라. 4 확률변수 가표준정규분포 N 에따를때, 다음확률을구하여라. ⑴ P ⑵ P 5 명을모집하는어느대학교수학과의수시모집에 명이응시하였다. 응시자의내신점수와면접점수를더한총점은평균 점, 표준편차 점인정규분포에따른다고한다. 모집정원의 배를 차합격자로선발한다고할때, 다음물음에답하여라. ⑴ 총점이 점이상 점이하인응시자는전체응시자의몇 인지구하여라. ⑵ 차합격자의커트라인을구하여라. ( 단, P 로계산한다.) 6 다음표는광수네반학생들의국어, 영어, 수학점수의평균과표준편차및인표의점수를나타낸 것이다. 각과목의점수는정규분포에따른다고할때, 광수가반학생들보다상대적으로점수가 높은과목부터순서대로말하여라. ( 단위 : 점 ) 과목 구분 평균 표준편차 인표의점수 국어 영어 수학 17. 정규분포 57
7 지능지수 (I.Q.) 검사는개인의지적발달수준을나타내는척도로써천재, 영재등을구분하는도구로사용되기도한다. 지능지수검사의점수가평균 점, 표준편차 점인정규분포에따를때, 다음물음에답하여라. ⑴ 지능지수검사의점수가 점이상이면천재라고할때, 천재는전체의몇 인지구하여라. ⑵ 지능지수검사의점수가상위 이내에드는사람을영재라고할때, 영재집단의지능지수 검사의최저점수를구하여라. ( 단, P 로계산한다.) 8 우리나라사람중에서스스로중산층이라고생각하는사람의비율은 라고한다. 우리나라사 람중에서 명을임의추출하였을때, 스스로중산층이라고생각하는사람이 명이상 명 이하일확률을구하여라. 9 어느고등학교에서안경을쓴학생의비율이 라고한다. 이학교에서 임의로학생 명을뽑을때, 다음을구하여라. ⑴ 안경을쓴학생이 명이상일확률 ⑵ 안경을쓴학생이 명이상 명이하일확률 58 고등학교확률과통계
10 어느가게에서만드는호두과자한봉지의무게는평균 g, 표준편차 g인정규분포에따르고, 한봉지의무게가 g 이상 g 이하이면판매한다고한다. 이가게에서호두과자 봉지를만들었을때, 판매할수있는호두과자는몇봉지인지구하여라. ( 단, P 로계산한다.) 11 승률이 인어느농구팀의선수들은경기에서이길때마다 시간의휴식시간을추가로받는 다고한다. 올해 번의경기를할때, 휴식시간을추가로 시간이상받을확률을구하여라. 12 어느미술관의 개의부스에 점의조각작품을각부스에한점씩전시하려고한다. 작품이 운반도중훼손될확률이 이어서추가로 점을합하여모두 점의작품을운반한다고 할때, 빈부스가없을확률을구하여라. Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 17. 정규분포 59
18 표본평균과표본비율 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 모평균과표본평균의뜻 1 모집단에서조사하고자하는특성을나타내는확률변수 의평균, 분산, 표준편차를각각모평균, 모분산, 모표준편차라하고, 각각기호로,, 로나타낸다. 2 모집단에서임의추출한크기 인표본,,, 의평균, 분산, 표준편차를각각표본평 균, 표본분산, 표본표준편차라하고, 각각기호로 로나타낸다. (2) 표본평균의확률분포의성질 : 모평균, 모분산 인모집단에서크기 인표본,,, 을 임의추출할때, 표본평균 에대하여다음이성립한다. 1 E, V 2 모집단의확률분포가정규분포 N 일때, 는정규분포 N 에따른다. 3 모집단의확률분포가정규분포가아닐때도표본의크기 이충분히크면 는근사적으로정규 분포 N 에따른다. (3) 모비율과표본비율의뜻 1 모비율 : 모집단전체에서어떤특성을갖는사건의비율 2 표본비율 : 모집단에서임의추출한표본중에서어떤특성을갖는사건의비율 모비율을 로나타내면표본비율은 로나타낸다. (4) 표본비율의계산 : 크기 인표본에서어떤특성을갖는사건의개수를확률변수 라고하면표본 비율은 로계산한다. (5) 표본비율의분포 : 모비율이 이고표본의크기 이클때, 표본비율 은근사적으로정규분포 는근사적으로표준정규분포 N 에따른다. ( 단, ) N 에따르고, 1 다음조사가전수조사인지표본조사인지를말하여라. ⑴ 징병신체검사 ⑵ 음식의맛을보기위한시식검사 ⑶ 수질오염도조사 ⑷ 투표후의유권자들에대한출구조사 2 어느양계장에서생산되는달걀한개의무게는평균 g, 표준편차 g 이라고한다. 이양계장에서생산되는달걀중에서 개의표본을 임의추출하였을때, 표본평균의평균과분산을구하여라. 60 고등학교확률과통계
3 어느피자가게에서피자를배달할때걸리는시간은평균 분, 표준편차 분인정규분포에따른다고한다. 상규가이가게에서피자를주문하여배달시간을 번측정하였을때, 평균배달시간이 분이상일확률을구하여라. 4 어느학교학생 명중에서 명을임의추출하여혈액형을조사하였더니 A 형인학생이 명 이었을때, A 형인학생의표본비율 을구하여라. 5 시민 명을임의추출하여어느방송프로그램을시청한시민을조사하였더니 명이었을때, 표 본시청률 을구하여라. 6 지하철승객의 가지하철안에서휴대전화로게임을한다고한다. 어느지하철에탑승한승 객 명중에서 명이상이휴대전화로게임을할확률을구하여라. Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 18. 표본평균과표본비율 61
19 모평균과모비율의추정 풀이 118 쪽 개념핵심정리 (1) 추정 : 표본에서얻은자료를이용하여모평균또는모비율등과같은모집단의참값을추측하는것. (2) 모평균의신뢰구간 : 모집단의확률분포가정규분포 N 일때, 크기 인표본으로부터얻은 표본평균 의실제관측값을 라고하면모평균 에대한신뢰구간은다음과같다. 1 신뢰도 의신뢰구간 : 2 신뢰도 의신뢰구간 : (3) 모비율의신뢰구간 : 모집단에서크기 인표본으로부터얻은표본비율의실제관측값을 이라고하면 이클때, 모비율 에대한신뢰구간은다음과같다. 1 신뢰도 의신뢰구간 : 2 신뢰도 의신뢰구간 : ( 단, ) 1 맥박수는나이, 성별등에따라달라진다. 세학생 명을임의추출하여분당맥박수를측정 하였더니평균이 회이었고, 세학생의분당맥박수는모표준편차 회인정규분포에따른다 고한다. 세학생의분당맥박수의평균 에대한신뢰도 의신뢰구간을구하여라. 2 어느논에심은벼의이삭한개당낱알의개수는모표준편차 개인정규분포에따른다고한다. 벼의이삭한개당낱알의개수를추정하기위해서이삭 개를임의추출하여낱알의개수를세었더니표본평균이 개이었다. 이논에심은벼의이삭한개당낱알의평균개수 에대한신뢰도 의신뢰구간을구하여라. 3 어느공장에서생산되는제품의무게는모평균 g, 모표준편차 g인정규분포에따른다고한 다. 모평균 을신뢰도 로추정할때, 신뢰구간의길이 가 이하가되게 하려면표본의크기 은최소얼마로해야하는지구하여라. 62 고등학교확률과통계
4 니트 (Not in Education, Employment or Training ; NEET) 족이란직장이없는데도취업이나진학할생각을하지않으면서직업훈련조차받지않는 세 세의청년을말한다. 우리나라니트족의비율을추정하기위해서청년 명을임의추출하여조사한결과 명이니트족이었다고할때, 우리나라니트족의비율 에대한신뢰도 의신뢰구간을구하여라. ( 단, 소수점아래넷째자리에서반올림한다.) 5 블라인드테스트 (Blind test) 란눈을가린채로미각, 후각, 촉각등으로제품의맛, 냄새, 품질등을판별하는검사방법이다. 어느두회사 A B에서생산한주스에대한선호도를조사하기위해서소비자 명을임의추출하여블라인드테스트를실시하였더니이들중에서 명이 A 회사주스를선호하는것으로나왔다. 전체국민중에서 A 회사주스를선호하는비율 에대한신뢰도 의신뢰구간을구하여라. ( 단, 소수점아래넷째자리에서반올림한다.) 6 어느종묘회사에서생산하는볍씨의발아율을신뢰도 로추정할때, 신뢰구간의최대길이 이 이하가되게하려면표본의크기 은최소얼마로해야하는지구하여라. Self Check! 공부한날짜는 20 년월일복습한날짜는 20 년월일 공부한내용은 쉬웠어요! 보통이었어요! 어려웠어요! ( 어려운내용은꼭복습합시다!) 꼭기억하고싶은내용을아래에적어봅시다. 19. 모평균과모비율의추정 63
부록 표준정규분포표 수 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995 3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 64 고등학교확률과통계