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통계청 통계연구 제 10 권제 1 호, 2005, pp. 165-188 몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 조성일 * 최종수 ** 1) < 요약 > 이연구에서는몬테카를로실험 (Monte Carlo Experiment) 을통하여 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력을측정하였다. 컴퓨터시뮬레이션을통한자료생성과정에있어서상수항과시간추세의포함여부에따라세가지형태를가정하였다. 이는관찰가능한현실의시계열에대하여단위근검정을적용할때그시계열의자료생성과정을알수없다는점을반영한것이다. 한편이러한시도는기존의연구에서상수항과시간추세가없는자료생성과정만을가정한것과차별화된다. 자료생성과정에서자기회귀항의모수는 1.00부터 0.80까지다양하게부여하였다. 연구의결과비록검정력은흔히우려하는것처럼낮지는않으나주어진유의수준하에서검정력을높이기위해서는자료생성과정에잘부합하는검정모형을선택하는것이가장중요하다는점이확인되었다. 특히시간추세가포함된자료생성과정이나자기회귀항의모수가 1에가까운준단위근 (near unit-root) 의상태에서는적절하지못한검정모형을사용할경우검정력이급속히감소함을확인하였다. 핵심주제어 : ADF 단위근검정, 검정력, 몬테카를로실험. * 전주대학교경제학과겸임조교수 (email: csieco99@yahoo.com, 전화번호 : 017-212-1986) - 제 1 저자 ** 전주대학교경제학과부교수 (email: jongsooc@yahoo.com, 전화 : 063-220-2714) - 공동저자

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 Ⅰ. 서론 이미널리알려진바와같이단위근검정 (unit root test) 란어떤시계열이안정적 (stationary) 시계열인지불안정적 (nonstationary) 시계열인지판단하기위한분석방법이다. 미국의대표적인거시및금융변수 14개의시계열중실업율을제외한 13개의시계열이단위근을가진불안정적시계열이라는 Nelson and Plosser (1982) 의연구이후시계열자료를이용한대부분의실증분석에서단위근검정은필수불가결한요소로자리잡게되었다. 이연구의목적은단위근검정에서가장일반적으로사용되는기본적인검정방법인 Augmented Dickey-Fuller ( 이하, ADF) 단위근검정법의검정력이어느정도인가를알아보고자하는것이다. 특히국내의연구에서도근래거시경제학이나금융경제학의대부분실증적연구는단위근의문제를연구에적용시키고있다. 그러나단위근검정의중요성이나사용빈도에비하여그검정력에관한고찰은거의연구된바없는실정이다. 해외의연구에서도자료생성과정 (data generating process, 이하 DGP) 에서오차항이자기상관이나이동평균혹은이분산의특징을보이고있을때각종단위근검정법의검정력을비교하는방식의연구가주로수행되었다. 1) ADF 검정법은오차항의자기상관을보정하기위하여 Dickey-Fuller 검정법을보완한것이다. Phillips-Perron 검정법 2) 도 Dickey-Fuller 단위근검정법에서오차항에내재하고있을지도모를자기상관과이분산의문제를해결하기위하여검정통계량을비모수적으로조정한것이다. 또한, 단위근의부재를귀무가설로하는 KPSS 검정법 3) 도결국은 Dickey-Fuller 검정법의검정력에대한비판에서파생되었다. 그러나여러가지단위근검정법은검정력 (power of test) 에있어서나름대로의문제점이있는것으로알려져있다. 1) 예컨대 Schwert (1989), DeJong et al. (1992), Cochrane (1991), Gonzalo and Lee (1996) 2) Phillips (1987), Phillips and Perron (1988) 3) Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, and Shin (1992)

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 검정력이란통계적의사결정에있어서귀무가설 (null hypothesis) 이거짓인경우이를기각하는가능성을의미한다. 4) 만약검정력을높이고자하면되도록주어진귀무가설을빈번하게기각해야하는데이렇게된다면귀무가설이참인경우에도이를기각하는오류또한빈번하게나타날것이다. 흔히 단위근의존재 를귀무가설로하는검정법의경우검정력이낮다고알려져있으며또한이러한점은단위근검정을적용하는실증적연구에서도종종인용되곤한다. 즉실제로는단위근이없는데도불구하고단위근이존재한다는그릇된귀무가설을잘기각시키지못한다는것이다. 따라서단위근이없는시계열에대해서도단위근이존재하는것으로그릇된통계적결정을내리게되는오류을범할가능성이높다는것이다. 실제로많은실증적연구에서단위근검정을수행하는경우대상이되는시계열자료의생성과정 (DGP) 을알고있는경우는거의없다. 그러나이연구에서는컴퓨터시뮬레이션을통하여가상의시계열자료들을생성하여 ADF 단위근검정법을적용하여봄으로서 5) 과연그검정력이어느정도인지알아보고실제 ADF 단위근검정법을수행할때검정력을높일수있는시사점을도출하고자한다. 거시경제학이나금융경제학에서시계열자료를이용하여실증분석을실시하는경우이용하는자료가안정적시계열인가불안정적시계열인가를판단하는것은매우중요하다. 왜냐하면불안정적시계열들에대하여회귀분석등의전통적인계량분석방법을적용하는경우가성적회귀 (spurious regression) 의문제를야기시켜그릇된통계적추론을할수있기때문이다. 따라서단위근검정법의검정력과한계를명확하게이해하는것은대부분의거시및금융시계열분석에있어중요한선결과제이다. 4) 한편검정력은유의수준 (significance level) 과밀접한관계에있음은잘알려진사실이다. 유의수준이란귀무가설이참임에도불구하고이를기각하는오류를범할가능성인데흔히제1종오류혹은 α 오류라고표시하고있다. 반대로귀무가설이거짓임에도불구하고이를수락하는오류는흔히제2종오류혹은 β 오류라고한다. 따라서검정력이란결국 (1-β ) 라고할수있다. 5) 이처럼컴퓨터모의실험 (simulation) 을통하여자료를생성하는경우연구자자신은통계적검정결과와는별개로이미자료생성과정 (data generating process, DGP) 와모수를모두알고있으므로통계적결정이옳았는지틀렸는지를판단할수있게된다.

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 이연구의구성은다음과같다. Ⅰ장의서론에이어 Ⅱ장에서는실험의설계와방법에관해서언급하고있다. Ⅲ장에서는검정모형과귀무가설그리고임계치의선택에관한문제를다룬다. Ⅳ장에서는모의실험의결과를살펴보고해석한다. Ⅳ장에서는연구의결론과더불어실제 ADF 단위근검정을수행할때검정력을높이기위한시사점을언급하고자한다.

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 Ⅱ. 실험의설계및방법 이연구에적용된몬테카를로실험은다음과전형적인컴퓨터시뮬레이션절차에의거하였다. <1> 특정한 DGP를가정한다. 구체적으로상수 (constant) 와확정적시간추세 (trend) 의포함여부에따라다음과같은세가지형태의 DGP를가정한다. 상수와확정적시간추세에대한모수는 0.3으로가정하였다. DGP1 y t =0.3+0.3t + ρ y t -1 + u t (1) DGP2 y t = 0.3+ρ y t -1 + u t (2) DGP3 y t = ρ y t -1 + u t (3) 식 (1) 은상수와확정적시간추세를모두가지고있는경우이며, 만약 ρ <1 이라면추세안정적인경우이다. 식 (2) 는상수만포함하고있는경우이다. 식 (3) 은시간추세는물론상수도포함하고있지않은경우이다. 만약 ρ =1 이라면순수무작위보행과정 (random walk) 이다. <2> 특정한자기회귀모수 (ρ ) 을부여한다. 이연구에는 1.00, 0.95, 0.90, 0.85, 0.80을차례대로가정하였다. 여기서 ρ =1.00 인경우가단위근이존재하는불안정적인시계열인경우이다. <3> 교란항 u t 를 300 개생성한다. 교란항 u t 의분포는상호독립적 이고자기상관이없고, 평균이 0 이며, 시간과관계없이분산이 1 로일정하 다. 6) ( u t iid (0,σ 2 ), σ 2 =1 ) <4> 위 <2>, <3> 단계에서주어진 DGP 와주어진자기회귀모수 6) 단위근검정이유효하기위하여반드시정규분포일필요는없다.

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 (ρ ) 에대하여세번째단계에서생성된교란항을이용하여축차대입함으로써 300개의관측치를생성한다. 7) <5> 상수와시간추세의유무에따른세가지검정모형을적용하여검정통계량을얻는다. 구체적으로다음과같은검정모형을적용한다. 검정모형 1 : 상수항과확정적시간추세를포함하는경우 y t = α+βt + γ y t -1 + p i =1 y t - i + e t (4) 검정모형 2 : 상수항만포함하는경우 y t = α + γ y t -1 + p i =1 y t - i + e t (5) 검정모형 3 : 상수항과확정적시간추세가모두없는경우 y t = γ y t -1 + p i =1 y t - i + e t (6) <6> 위의세번째부터다섯번째까지의과정을 1,000번반복한다. 결국어떤특정한 DGP와특정한자기회귀모수 (ρ ) 에대하여 300개의관측치를가진 1,000개의자료 (series) 를생성하는셈이다. 1,000개의자료들각각대하여세가지~ 식 (6) 의단위근검정모형을모두적용시켜본다. 단위근이존재한다는귀무가설 ( ρ =1) 을 10%, 5% 그리고 1% 의유의수준하에대하여 1,000번중에서기각되는횟수를계산한다. 7) 세가지형태의 DGP 에대하여 ρ = 1.00, 0.95, 0.80 으로가정한대표적인실현치 (realization) 의시계열그림이 < 그림 1-a>~< 그림 1-c> 에제시되어있다.

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 <7> 특정한자기회귀모수 (ρ) 대하여여섯번째까지의분석이끝나면다시 <2> 단계로돌아가또다른특정한자기회귀모수 ( ρ) 를부여한다. 8) 가정했던자기회귀모수 (ρ) 전부에대하여 <2> 단계부터 <6> 단계까지반복한다. 이때 DGP는일정한형태를계속유지하게된다. 따라서자기회귀모수 ( ρ) 의차이에따른검정력의차이만을고려할수있게된다. ρ 가 1인경우를제외한나머지경우, 즉 ρ = 0.95, 0.90, 0.85, 0.80 의경우에대하여, 단위근이있다 는귀무가설을기각하는횟수가바로검정력이된다. <8> 앞의 <1> 단계에서제시된식 (1)~ 식 (3) 의세가지의 DGP 모두에대하여 <7> 단계까지의과정을적용시킨다. 이상의과정을다시한번요약하면다음과같다. 식 (1) 의 DGP에서 ρ 를 1로부여하여 1,000개의자료 (series) 들를생성한다. 그리고생성된 1,000개의각각의자료들 9) 에대하여~ 식 (6) 의세가지검정모형을모두적용하여단위근검정을실시한다. 여기서귀무가설이기각되는횟수를계산한다. 그리고동일한과정을 ρ =1 대신 ρ = 0.95, 0.90, 0.85, 0.80 을차례대로부여하여반복한다. 식 (1) 의 DGP에대하여분석이끝나고식 (2) 와식 (3) 의 DGP에대해서도동일한절차를수행한다. 이로서서로다른세가지형태의 DGP와서로다른다섯가지크기의 ρ 에대하여세가지검정모형에의한 ADF 단위근검정법의검정력을알아볼수있다. 8) 즉, 1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 의순서로자기회귀모수 ( ρ) 를부여한다. 9) 즉특정한 DGP와특정한 ρ 에대하여 300개의관측치를가진 1,000 개의자료 (series) 들의집합인 ensemble 이구성된다. 즉, 한개의 ensemble, y i 에서 t i =1,...,1000, t = 1,...,300 이다. 이연구에서는 3가지형태의 DGP와 5가지의값의 ρ 를가정하였으므로총 15개의 ensemble 이실험의대상이된다. 각각의 ensemble 은 1,000 개의자료 (series) 들로이루어져있다. 따라서 1개의 ensemble 에대하여단위근검정을 1,000번수행하게된다.

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 Ⅲ. 검정모형과귀무가설및임계치 위의~ 식 (6) 에서살펴보았듯이 ADF 단위근검정을위한검정모형 (test model) 은상수 (constant) 와시간추세 (trend) 의포함여부에따라세가지로구별할수있다. 각각의검정모형과검정통계량그리고귀무가설과대립가설은다음 < 표1> 과같다. τ τ, τ μ, τ 통계량은계산된검정통계량 (test statistic) 이임계치보다작은경우귀무가설 (null) 을기각하고대립가설 (alternative) 을받아들인다. 귀무가설은단위근을포함하는불안정적시계열이라는것이며대립가설은단위근이존재하지않는안정적시계열이라는것이다. 한편 Φ i 통계량은 F-검정으로단위근의존재이외에도상수항이나시간추세의유무에대한결합가설을검정한다. 귀무가설과대립가설은역시 < 표1> 에제시된바와같다. 검정통계량에대한임계치, τ τ, τ μ, τ 은 Fuller (1976) 에보고되어있다. 그러나 Fuller (1976) 의경우사용할수있는관측치의개수가제한적이라는단점이있다. 10) 따라서실제관측치의개수가 Fuller (1976) 의경우와상이할경우관측치의개수를근사적으로準用하여사용해야하는어려움이있다. 이러한문제점을해결하기위하여 MacKinnon (1991) 은표면반응회귀분석 (surface response regression) 방법에의하여임계치를직접계산할수있는방법을제시하였다. MacKinnon의임계치는관측치 T의개수에따라다음과같이계산된다. CV (T )=α+ β 1 T + β 2 T 2 (7) 여기서 CV 는임계치이며 T 는관측치의개수이다. 그리고세가지검정 모형에대한 α, β 1, β 2 의값은 MacKinnon (1991) 의 <Table1> 에제시 10) 관측치가 25, 50, 100, 250, 300, 인경우의임계치가각각 1%, 5%, 10% 수준의유의수준하에서제시되어있다.

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 되어있다. < 표 1> 검정모형과검정통계량및귀무가설과대립가설 검정모형 통계량귀무가설대립가설 τ τ γ =1 γ <1 α=β=0 & γ =1 β=0 & γ =1 α 0, β 0, γ <1 중적어도하나에해당 β 0, γ <1 중적어도하나에해당 τ μ γ =1 γ <1 α=0 & γ =1 α 0, γ <1 중적어도하나에해당 식 (6) τ γ=1 γ <1 한편 MacKinnon의임계치는 Cheung and Lai (1995) 에의하여더욱정밀하게보완되었다. Cheung and Lai 임계치를계산하기위한추정모수는 MacKinnon 임계치와동일하게표면반응회귀분석방법에의하여구해질수있는데다음과같이관측치의개수 ( T ) 이외에 1차차분자기회귀항의차수 (lag order) p 에도영향을받도록다음과같이수정되었다. 11) CV (T,p )=α+ β 1 T + β 2 T 2 +w 1 ( p-1 T )+w 2( p-1 T ) 2 (8) T 는관측치의개수이고 p 는검정모형의회귀식에포함되는 1 차차분 11) 단위근검정모형에 1 차차분된자기회귀항이포함되는이유는잔차항에자기상관이있는경우를보정하기위한것이다.

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 자기회귀항의차수 (lag order) 이다. 물론 α, β 1, β 2, w 1, w 2 의값은 Cheung and Lai (1995) 의 <Table1> 에제시되어있으므로주어진관측치개수와산택된래그 (lag order), p 하에서임계치를직접계산할수있다. 관측치 T =250 의경우임계치는다음 < 표2> 과같이계산되었다. 12) 임계치를살펴보면 τ τ, τ μ, τ 통계량모두 Dickey-Fuller, MacKinnon, Cheung-Lai 모두의경우에큰차이가없음을알수있다 13). 그러나 Cheung-Lai 임계치는관측치의개수 ( T ) 뿐만아니라 1차차분된자기회귀의차수 (lag order) 인 ( p) 도함께고려하여자유롭게계산될수있는장점이있다. 따라서이연구에서의임계치는 Cheung-Lai의임계치를사용하고자한다. 14) Ⅳ. 실험의결과와해석 모든실험의결과는 < 표3-a>~< 표3-c> 및 < 표4> 에보고되어있다 15). 먼저 < 표4> 에서각각의 DGP에대하여 ρ =1 인경우, 즉단위근이존재하는경우를살펴보자. 첫번째는 DGP에상수와추세가포함된경우이다. τ τ, τ μ 통계량의경우단위근이존재한다는귀무가설을기각하는오류를범할경우는없었다. 그러나상수와추세가없는검정모형을적용 12) < 표2> 의 Cheung and Lai (1995) 임계치의경우에는시차 ( p) 가 2인경우로가정하여계산되 었다. 13) 그이유는관측치의개수를 250로동일하게유지했으며시차 p =2 로계산했기때문이다. 만 약시차 p 가커질수록임계치는서로다르게나타날것이다. 14) 한편이상의모든임계치는다음과같은 DGP하에서 (α, β, ρ )=(0,0,1) 이라는제약이 주어진가운데계산된것이다. y t = α + β t+ ρ y t -1 + u t, u t iid (0,σ 2 ) 통계학에서모든임계치는주어진귀무가설, 즉일정한제약하에서계산된다. 위의 DGP에서 α 혹은 β 의값에대한제약이달라지면 ρ =1 이라는귀무가설에대한임계치도변하게된다. 15) 실험의추정과정에서관측치는 250개로하였다. 실제로생성된자료의관측치는 300개이지만추정상의초기효과를제거하기위하여처음 50개의자료는제외하였다.

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 한 τ 통계량의경우 10% 의유의수준하에서 1,000번중에서 308번기각되는오류를나타내었다. 두번째는 DGP에상수만포함된경우이다. τ μ, τ 통계량의경우단위근이있다는귀무가설을기각하는잘못된결정을내릴가능성은매우낮은것으로나타났다. 그러나상수와추세가포함된검정모형을적용시킨 τ τ 통계량은 10% 유의수준하에서단위근이있다는귀무가설을 1,000번중에서 120번기각시켰다. 세번째는 DGP에상수와추세가없는경우이다. 즉순수무작위보행과정을검정대상으로하고있다. 이경우에는어떤검정모형을적용시키는가에무관하게 τ τ, τ μ, τ 통계량모두비교적양호한결과를보이고있다. 즉단위근이있다는귀무가설을기각하는오류를범할확률이 10% 유의수준하에서각각 9.9%, 10.2%, 11.4% 에불과하다. < 표3-a>~< 표3-c> 는각각의 DGP에대하여 ρ <1 인경우, 즉 DGP 에단위근이존재하지않는 ρ = 0.95, 0.90, 0.85, 0.80 인경우를살펴보자. 실험의결과다음과같은결론을얻을수있다. 첫째, 유의수준이 10% 5% 1% 로낮아질수록검정력은감소하였다. 이는유의수준과검정력은상충관계에있음을고려할때당연한결과이다. 둘째, DGP에서 ρ 값의크기가작아질수록단위근이존재한다는귀무가설을기각시키는검정력이증가하였다. 여기서 ρ 1 인이른바준단위근 (near unit-root) 의상황에서는단위근검정의검정력이급격하게감소하여통계적판단이쉽지않음을알수있다. 셋째, 어떤 DGP를막론하고실제 DGP와동일한검정모형을적용하는경우가그렇지못한경우보다검정력이증가한다. 따라서주어진유의수준하에서검정력을증가시키려면검정모형에상수나시간추세를포함할것인가제외할것인가여부를고려하는것이중요하다는시사점을얻을수있다. 특히 DGP에상수와시간추세가포함된경우에는비록 ρ =0.8 로서단위근과는커다란차이가있다고해도시간추세가제외된검정모형을적용하는 τ μ 통계량은 10% 의유의수준하에서도단위근이있다는귀무가설을전혀기각할수없는결과를초래하였다. 이는추세안정적시계열과차분안정적시계열의차이를극명하게나타내는예로볼수

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 있다. 넷째, 그러나 DGP에상수만포함되어있거나상수도포함되어있지않은경우에는어떤검정모형을적용시키더라도검정력에있어서비교적큰차이가없는것으로나타났다. 비교적준단위근 (near unit-root) 에가까운 ρ = 0.95 의예을들어실험의결과를분석해보기로한다. 첫째, < 표3-a> 은 DGP에상수와추세가모두포함된경우이다. DGP에상수와추세가포함된검정모형을적용한 τ τ 통계량은단위근이존재한다는귀무가설을기각하는옳은결정을유의수준 10% 에서 1,000번중에서 519번얻을수있었다. 이는 ρ =1 인경우 1,000번중에서단 1번만기각하는것과비추어볼때그리불만스럽지않은검정력이라고할수있다. 그러나상수만포함된검정모형을적용한 τ μ 통계량이나상수도제외된검정모형을적용한 τ 통계량의경우에는 1,000번중에서단한번도귀무가설을기각할수없는결과를초래하였다. 이러한결과는시간추세가포함된자료에대하여시간추세가포함되지않은검정모형을적용시키는경우검정력이급격하게감소함을의미한다. 둘째, < 표3-b> 는 DGP에상수항만이포함되어있는경우이다. 10% 유의수준을가정할때, 검정모형에상수만포함시킨 τ μ 통계량의경우에는단위근이있다는귀무가설을기각시키는검정력은 65.6% 이다. 또 한 τ τ, τ 통계량의검정력은각각 43.8% 와 10.8% 이다. 셋째, < 표 3-c> 은 DGP 에상수항과시간추세가포함되어있지않은경우이다. 10% 의유 의수준에서 τ τ, τ μ, τ 통계량은각각 44.1%, 63.7% 97.7% 의검정력을 보이고있다. < 표1> 에서제시된바와같이 F-검정인 Φ i 통계량은각각의검정모형 에서단위근이존재한다는귀무가설이외에상수항과시간추세의유무를 동시에귀무가설로하는결합가설을검정하기위한통계량이다. 통계 량과 통계량은시간추세와상수항이포함된검정모형을대상으로하고 있다. 통계량은단위근의존재및시간추세와상수항의부재를동시에 귀무가설로하는검정통계량이다. 또한 통계량은단위근의존재와시

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 간추세의부재를동시에귀무가설로하는검정통계량이다. 통계량은상수항만이포함된검정모형을대상으로하여단위근의존재와상수항의부재를동시에귀무가설로하는검정통계량이다. Φ i 통계량을이용하여적정한검정모형을선택할수있다. Φ i 의검정력을알아보기위하여각각의 DGP에서단위근이존재하는 ρ =1 인경우를다시 < 표4> 에서살펴보기로한다. 16) 첫번째는 DGP에상수와시간추세가포함된경우이다. 통계량과 통계량은 1% 의유의수준하에서도 100% 의검정력이나타내고있다. 통계량은 10% 의유의수준하에서 84.5% 의기각력을 보이고있다. 두번째는상수만포함된 DGP를대상으로하고있다. 통계량과 통계량은 10% 의유의수준에서각각 95.5% 와 11.1% 의기각력을보이고있는데이는각통계량의귀무가설에비추어볼때매우만족할만한수준이다. 왜냐하면 통계량은시간추세는물론상수항의부재도귀무가설로삼고있기때문에당연히기각되어야한다. 그러나 통계량은상수항이존재한다는가정하에서시간추세의부재를귀무가설로삼고있기때문에기각하지않는것이옳은결정이기때문이다. 통계량은 98.1% 의높은기각률을보여주고있다. 세번째는상수항이나시간추세가포함되지않은 DGP를대상으로한경우이다.,, 각각의통계량은 10% 의유의수준에서단지 9.3%, 8.8%, 11.4% 의기각률을보이고있다. 이는어떠한귀무가설도기각하지않는것이옳은결정이라는점에미루어보았을때만족할만한결과이다. Ⅴ. 결론및시사점 16) 단위근이존재하는 DGP 를대상으로하였기때문에만약 Φ i 검정이기각된다면이는 γ =1 이라는귀무가설때문이아니라 α =0 혹은 β =0 이라는귀무가설때문이다. 따라서 α, β 에대한 Φ i 검정의검정력을판단할수있다.

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 다른모든통계적의사결정과마찬가지로단위근검정에있어서도역시그통계적의사결정이오류일가능성을배제할수는없다. 따라서일정한유의수준하에서검정력또한완전할수가없음은물론이다. 그러나 ADF 단위근검정법이이를적용하는많은실증적연구에서인용하고있는것처럼검정력이낮은것은아닌것으로여겨진다. 문제는일정한유의수준하에서검정력을최대한높이도록하는것이다. ADF 단위근검정법의검정력을높이기위한방법은다음과같다. 첫째, 적절한임계치를사용하는것이다. 기존에제시된 Fuller (1976) 의임계치는관측치의개수가주어져있는데반하여 MacKinnon (1991) 이나 Cheung and Lai (1995) 의임계치는실제사용되는자료의개수에따라자유롭게임계치를계산할수있는장점이있다. 더우기 Cheung and Lai (1995) 의경우에는오차항의자기상관을조정하기위하여포함되는 1차차분자기상관항의차수에대하여도임계치를조정할수있는장점이있으므로 ADF 검정에있어더욱정확한임계치를제시한다고할수있다. 17) 둘째, Perron (1988) 및 Dickey and Rossana (1994) 와 Dolado et al. (1990) 18) 에따르면단위근검정의절차가중요하다고한다. 본연구에서도 DGP의성격에가장잘부합하는검정모형을적용했을때 19) 검정력은보다높아지며특히준단위근 (near unit-root) 의상황에서는더욱그러하다는점이확인되었다. 단위근검정의절차는다음과같이제시되어있다. 첫단계에서는가장덜제약적인, 즉상수항과시간추세가포함된검정모형을적용한다. 만약여기서단위근이존재한다는귀무가설이기각되면안정적인시계열로간주한다. 그러나만약귀무가설을기각할수없다면, 통계량을이용하여 20) 시간추세의존재유무를결정하여야한다. 여기서시간추세가존재하는것으로나타난다면정규분포의임계치를이용 17) Phillips-Perron 검정법도동일한임계치를사용한다. 18) 예를들면, Dolado, Jenkinson, and Rivero (1990) 의 pp.255 19) 실제단위근검정을실시하기전에대상시계열에대한그림을그려봄으로서 DGP 에대한단서를얻을수있다. 20) 상수항이나시간추세의유무에대한가설검정은결합가설이아니라개별적인가설에대해서도직접판단할수있다. Dickey and Fuller (1981) 의 table1, table2, table3 은단위근이존재하는상태에서상수항의부재와시간추세의부재라는귀무가설에대한임계치를제시하고있다.

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 하여단위근검정을다시수행한다. 만약시간추세가없는것으로나타난다면둘째단계로이행한다. 둘째단계에서는상수항만이포함되는검정모형을적용한다. 만약단위근의존재를기각할수있다면안정적인시계열로판단할수있다. 그러나기각할수없는경우에는 통계량을이용하여상수항의존재유무에대하여판단하여야한다. 상수항이존재하는것으로나타나면다시정규분포의임계치에따라다시단위근검정을실시해야한다. 21) 만약상수항이유의하지않은것으로판단되는경우에는상수항과시간추세가모두포함되지않은검정모형을적용하는세번째단계로이행한다. 셋째, 단위근의존재를귀무가설로하는검정법과단위근의부재를귀무가설로하는검정법을동시에교차적으로적용해볼수있다. 그러나이경우도마찬가지로두가지검정법이서로일치하는않은결과를도출하는경우도충분히있을수있음을염두에두어야한다. 22) 이연구에서는몬테카를로실험을통하여 ADF 단위근검정법의검정력을알아보고검정력을높이기위한시사점을도출해보았다. 그러나 ADF 검정법을포함한모든단위근검정법에있어서실제로는단위근이존재하지않는안정적시계열임에도불구하고단위근이존재한다는귀무가설을기각하지못하는오류를범할가능성은존재하기마련이다. 따라서개별실증분석에서단위근검정을적용하는경우단위근검정의한계와검정력을정확하게이해하는것이중요하며주어진유의수준에서검정력을최대한높이기위하여단위근검정의절차를세심하게고려하는것이필요하다. 21) West (1988) 에의하면 α 0 이거나 β 0 인경우 ρ =1 이라는귀무가설에대한임계치는점근적 (asymptotically) 으로정규분포를따르게된다. 또한 Hyllberg and Mizon (1989) 에따르면 α 0 이고 β 0 인경우에는 ρ =1 이라는귀무가설에대한임계치는 α 의크기에는영향을받지않으며 β 의크기에만영향을받고역시점근적 (asymptotically) 으로정규분포를따르게된다. 22) 예를들면 Dickey-Fuller 검정에서도 단위근이존재 한다는귀무가설을기각하지못하였으나 KPSS 검정에서도역시 단위근의부재 라는귀무가설을기각하지못하는경우이다.

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 < 그림 1-a> DGP : y t = 0.3+ 0.3 t + ρ y t -1 + u t 14000 DGP includes constant and trend 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 50 100 150 200 250 300 rho=1.0 rho=0.80 rho=0.95 < 그림 1-b> DGP : y t = 0.3+ ρ y t -1 + u t 120 DGP includes constant 100 80 60 40 20 0-20 50 100 150 200 250 300 rho=1.0 rho=0.80 rho=0.95 < 그림 1-c> DGP : y t = ρ y t -1 + ε t 8 DGP includes none 6 4 2 0-2 -4-6 50 100 150 200 250 300 rho=1.0 rho=0.80 rho=0.95

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 < 표 2> 여러가지임계치의비교 검정모형통계량귀무가설 임계치 (T=250) 10% 5% 1% t-test Dickey-Fuller (1976) * τ τ 단위근존재 -3.13-3.43-3.99 τ μ 단위근존재 -2.57-2.88-3.47 식 (6) τ 단위근존재 -1.62-1.95-2.58 MacKinnon (1991) ** τ τ 단위근존재 -3.138-3.429-3.998 τ μ 단위근존재 -2.573-2.873-3.458 식 (6) τ 단위근존재 -1.616-1.941-2.574 Cheung and Lai (1995) ** τ τ 단위근존재 -3.130-3.419-3.984 τ μ 단위근존재 -2.569-2.865-3.448 식 (6) τ 단위근존재 -1.609-1.935-2.574 F-Test : Dickey-Fuller (1981) * 시간추세 없음및 단위근존재시간추세와 Φ 상수없음 2 및단위근존재상수항없음식 (6) 및단위근존재 5.39 6.34 8.43 4.07 4.75 6.22 3.81 4.63 6.52 * Dickey and Fuller (1976, 1981) 에서각각옮김. ** 직접계산하여소수점 4 자리에서반올림. Cheung and Lai (1995) 에서시차는 2.

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 < 표3-a> 상수와시간추세를포함한안정적 DGP의경우 (DGP1) 귀무가설에대한기각률 (%) ρ = 검정모형통계량 기각률 (%) 10% 5% 1% τ τ 51.9 33.8 10.4 0.95 100 100 100 49.2 29.5 8.6 τ μ 0.0 0.0 0.0 100 100 100 식 (6) τ 0.0 0.0 0.0 τ τ 88.3 74.2 37.8 0.90 100 100 100 80.6 63.3 26.1 τ μ 0.0 0.0 0.0 100 100 100 식 (6) τ 0.0 0.0 0.0 τ τ 99.6 97.2 79.5 0.85 100 100 100 98.8 94.3 69.9 τ μ 0.0 0.0 0.0 100 100 100 식 (6) τ 0.0 0.0 0.0 τ τ 99.9 99.7 97.1 0.80 100 100 100 99.8 99.2 93.3 τ μ 0.0 0.0 0.0 100 100 100 식 (6) τ 0.0 0.0 0.0

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 < 표3-b> 상수항만을포함한안정적 DGP의경우 (DGP2) 귀무가설에대한기각률 (%) ρ = 검정모형통계량 기각률 (%) 10% 5% 1% τ τ 43.8 26.5 9.4 0.95 25.3 15.2 3.4 34.6 19.8 5.9 τ μ 65.5 46.6 15.5 54.2 36.0 11.1 식 (6) τ 10.8 2.0 0.0 τ τ 89.1 74.8 40.6 0.90 72.5 55.8 22.8 83.5 66.1 29.1 τ μ 98.6 93.7 65.4 96.2 88.3 55.1 식 (6) τ 88.4 58.3 12.0 τ τ 99.7 96.7 78.9 0.85 96.1 90.3 61.7 98.4 94.5 69.7 τ μ 100 99.8 94.2 100 99.6 90.7 식 (6) τ 99.6 97.7 62.4 τ τ 100 99.8 96.1 0.80 99.7 98.8 89.2 100 99.6 92.6 τ μ 100 100 99.5 100 100 99.1 식 (6) τ 100 100 100

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 < 표3-c> 상수항이나시간추세가포함되지않은안정적 DGP 경우 (DGP3) 귀무가설에대한기각률 (%) ρ = 검정모형통계량 기각률 (%) 10% 5% 1% τ τ 44.1 26.6 8.5 0.95 24.8 14.6 3.3 35.0 19.4 4.8 τ μ 63.7 45.1 14.3 51.8 35.6 9.9 식 (6) τ 97.7 88.8 50.0 τ τ 89.2 74.5 37.5 0.90 72.1 51.6 21.1 81.7 62.7 28.0 τ μ 98.1 92.4 62.6 95.7 88.1 52.1 식 (6) τ 100 100 96.1 τ τ 99.0 95.5 76.4 0.85 94.9 87.3 57.2 97.9 92.5 66.3 τ μ 99.9 99.5 93.0 99.8 98.9 87.8 식 (6) τ 100 100 99.9 τ τ 99.9 97.7 96.1 0.80 99.7 98.3 88.2 99.8 99.1 93.0 τ μ 100 100 99.5 100 100 98.5 식 (6) τ 100 100 100

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 < 표 4> 단위근을포함한 ( ρ =1 ) 세가지형태의불안정적 DGP 에대한 가설검정 DGP 상수와시간추세포함 (DGP1) Test Model 기각율검정통계량옳은결정 10% 5% 1% τ τ 기각불가 0.1 0.0 0.0 기각 100 100 100 기각 100 100 100 τ μ 기각불가 0.0 0.0 0.0 기각 84.5 27.1 0.0 식 (6) τ 기각불가 30.8 2.30 0.0 τ τ 기각불가 12.0 6.0 1.2 상수만포함 (DGP2) 기각 97.5 95.7 82.2 기각불가 11.1 5.0 1.0 τ μ 기각불가 1.4 0.9 0.1 기각 98.1 95.3 84.8 식 (6) τ 기각불가 0.0 0.0 0.0 τ τ 기각불가 9.9 4.3 0.5 상수와시간추세모두없음 (DGP3) 기각불가 9.3 3.5 0.6 기각불가 8.8 3.8 0.5 τ μ 기각불가 10.2 4.9 0.7 기각불가 10.5 5.4 0.8 식 (6) τ 기각불가 11.4 5.6 0.7

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 참고문헌 Cheung, Yin-Wong and Kon S. Lai (1995), "Lag Order and Critical Values of the Augmented Dickey-Fuller Test," Journal of Business and Economic Statistics : 13, 277-280 Cochrane, J.H., (1991), "A Critique of the Application of Unit Root Tests," Journal of Economic Dynamics and Control : 15, 275-284 DeJong, D.N, J.C. Nankervis, N.E. Savin, and C.H. Whiteman (1992), "The Power Problem of Unit Root Tests for Time Series with Autoregressive Errors," Journal of Econometrics : 53, 323-343 Dickey. D.A. and W.A. Fuller (1979), "Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root," Journal of the American Statistical Association : 74, 427-431 Dickey. D.A. and W.A. Fuller (1981), "Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root," Econometrica : 49, 1057-1072 Dickey, D.A. and R.J. Rossana (1994), "Cointegrated Time Series : A Guide to Estimation and Hypothesis Testing," Oxford Bulletin of Economics and Statistics : 5, 455-61 Dolado, Juan J., Tim Jenkinson, and Simon Sosvilla-Rivero (1990), "Cointegration and Unit Root," Journal of Economic Surveys : 4, 249-273 Fuller, W.A. (1976), Introduction to Statistical Time Series, New York, Wiely Gonzalo, J. and T.H. Lee (1996), "Relative Power of t-type Test for Stationary and Unit Root Process," Journal of Time Series Analysis : 17, 37-47 Kwiatkowski, D., P.C..B. Phillips, P. Schmidt, and Y. Shin (1992), "Testing the Null Hypothesis of Stationary against the Alternative of a Unit

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 Root," Journal of Econometrics : 54, 159-178 Hyllberg, S., and G.E. Mizon (1989), "A Note on the Distribution of the Least Squares Estimator of a Random Walk with Drift," Economics Letters : 29, 225-230 MacKinnon, James G. (1991), "Critical Values for Cointegration Tests," in R.F. Engle and C.W.J. Granger (eds), Long-Run Economics Relationships: Readings in Cointegration, Oxford University Press Nelson, C.R. and C.I. Plosser (1982), "Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series," Journal of Monetary Economics : 10, 139-162 Perron, P. (1988), "Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series: Further Evidence from New Approach," Journal of Economic Dynamics and Control : 12, 297-332 Phillips, P.C.B. (1987), "Time Series Regression with a Unit Root," Econometrica : 45, 463-485 Phillips, P.C.B. and P. Perron (1988), "Testing for a Unit Root in Time Series Regression," Biometrika : 75, 335-346 Schwert, G.W. (1989), "Tests for Unit Root: A Monte Carlo Investigation," Journal of Business and Economic Statistics : 7, 147-159 West, K.D. (1988), "Asymptotic Normality When Regression Have a Unit Root," Econometrica : 56, 1397-1417

통계연구 제 10 권제 1 호, 2005 A Monte Carlo Experiment on the Power of Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test Sung-il Cho*. Jong-Soo Choi** 2) < ABSTRACT > The empirical power of Augmented Dickey-Fuller unit-root test is investigated in Monte Carlo experiment framework. Data-generating process are specified into three types ; included drift and time trend, included drift only, and included none of them. The innovation term is drawn from independently and identically distributed standard normal with unity variance and zero mean. The values of parameter coefficients of autoregressive term are assumed to be 1.00, 0.95, 0.90, 0.85, and 0.80 in each data-generating process. To calculate the power of the test, three types of test model, suggested by Fuller (1976) and Dickey and Fuller (1979, 1981), are applied to each data-generating process with assumed value of parameter coefficients. Cheung and Lai (1995) critical value is adopted. At usual significant levels, it is counted that how many times the null of unit root is rejected among 1,000 realizations of each ensemble. As a result, the power of Augmented Dickey-Fuller unit-root test is not so poor as imagined as it would be usually expected. But choice of appropriate test model is still vital to increase the power of the test, especially when data-generating process contains near * Adjunct Assistant Professor, Department of Economics, Jeonju University (email: csieco99@yahoo.com, TEL : 017-212-1986) - First Author ** Associate Professor, Department of Economics, Jeonju University (email: jongsooc@yahoo.com, TEL : 063-220-2714) - Co-author

몬테카를로실험에의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근검정법의검정력에관한연구 unit-root and/or time trend. The step by step strategy for choosing proper test model is suggested in conclusion. Key Words : Augmented Dickey-Fuller, Unit Root Test, Power of Test, Monte Carlo Experiment.