논문 5-3-C-5 한국통신학회논문지 '5- Vol.3 No.C 레일리감쇄채널에서차분문턱값검정을쓴 M 진주파수편이변조신호검파 정회원김홍직 *, 준회원강현구 **, 종신회원김선용 ***, 준회원권형문 **, 정회원방만원 ****, 종신회원송익호 ** Detection of M-FSK Signals with Difference hreshold est in Rayleigh Fading Channels Hong Jik Kim* Regular Member, Hyun Gu Kang** Associate Member, Sun Yong Kim*** Lifelong Member, Hyoungmoon Kwon** Associate Member, Man-Won Bang**** Regular Member, Iickho Song** Lifelong Member 요 약 차분문턱값검정에서는 (difference threshold test: D 에너지검파기출력들가운데가장큰출력과둘째로큰출력의차이가문턱값을넘지않으면심벌을잃음으로본다. 변조크기와다양성차수가유한하면, M진주파수편이신호를검파할때차분문턱값검정이비율문턱값검정보다 (ratio threshold test: R 성능이좋다는것을보이고, 변조크기와다양성차수가무한히클때의점근성능을알아본다. 차분문턱값검정을쓰거나비율문턱값검정을쓰거나잘못없이통신할수있는가장작은신호대잡음비는같다는것을보인다. Key Words:difference threshold test, diversity. Ratio hreshold est, frequency shift keying, Reed-Solomon coding, ABSRAC he difference threshold test (D declares erasures whenever the difference between the largest and second largest energy detector outputs does not exceed a given threshold. We show that the D outperforms the ratio threshold test (R for finite modulation size and diversity order in the detection of M-FSK signals. he asymptotic performance for infinite modulation size and diversity order is then investigated. It is shown that the minimum signal-to-noise ratio required to achieve error-free communication for the D is the same as that for the R. Ⅰ. 머리말 비율문턱값검정에서는에너지검파기출력들가운데가장큰출력과둘째로큰출력의비율이 문턱값보다작으면잃음으로본다 []. 한편, 베이스 (Bayesian 검정은 [] 비율문턱값검정보다성능이꽤좋지만, 알고리즘이복잡하고, 채널상태정보를 (channel state information: CSI 알아야쓸수있 * LG 전자네트워크연구소 (hongjikkim@kaist.ac.kr ** 한국과학기술원전자전산학과 ({khg, kwon}@sejong.kaist.ac.kr, i.song@ieee.org *** 건국대학교전자공학부 (kimsy@konkuk.ac.kr, **** 목포대학교전자공학과 (mwbang@chungkye.mokpo.ac.kr 논문번호 :KICS4--33, 접수일자 :4 년 월 일 이논문은과학기술부에서지원하고한국과학재단이주관하는국가지정연구실사업의지원을받아연구한것입니다. Copyright (C 5 NuriMedia Co., Ltd. 999
한국통신학회논문지 '5- Vol.3 No.C 다. 차분문턱값검정에서는에너지검파기출력들가운데가장큰출력과둘째로큰출력의차이가문턱값보다작으면잃음으로본다 [3]. 차분문턱값검정은베이스검정을어림한것이지만, 베이스검정과거의같은성능을보인다. 더욱이, 차분문턱값검정은채널상태정보를쓰지않으며, 비율문턱값검정보다구현하기쉽다. 그러므로, 차분문턱값검정은비율문턱값검정을쓰는어떤시스템에도쉽게쓸수있다. 한편, [4] 에서는채널이하나일때와채널이여럿일때리드- 솔로몬부호를쓴 M 진직교주파수편이변조신호에적용된비율문턱값검정의한계성능을알아보았다. 변조크기 M 이무한히클때의점근성능을알아봄으로써잘못없이통신할수있는가장작은신호대잡음비를얻었다. 이논문에서는채널이여럿일때 L 차다양성수신과리드- 솔로몬부호를쓴비동기 M 진직교주파수편이변조신호에알맞은차분문턱값검정을알아본다. 변조크기 M 과다양성차수 L 이유한할때차분문턱값검정이비율문턱값검정보다성능이좋음을보인다. 또한차분문턱값검정의점근성능을알아보고, M이무한히클때, 차분문턱값검정에서잘못없이통신할수있는가장작은신호대잡음비와비율문턱값검정에서잘못없이통신할수있는가장작은신호대잡음비가같음을보인다. Ⅱ. 시스템모형 이논문에서생각하는송신기, 채널, 수신기모형을그림 에보였다. 리드-솔로몬부호와 [5] L차다양성수신을쓴비동기 M 진직교주파수편이변조신호를생각해보자. 부호길이가 n = M- 이고, 부호율이 r = k/n 인 (n,k 리드- 솔로몬부호로정보원을부호화한다고두자. 이상적으로바꿔넣기를끝낸뒤, log M 비트로이루어진부호심벌을직교신호 M 개가운데하나인 s i (t A cos (πf i t 로바꾼다. 여기서, i =,,, M-이고 t 이다. 이식에서 A 는신호의진폭, f i 는 i 째톤주파수, 그리고 는심벌간격이다. 톤주파수 { f i } 를신호 {s i (t} 가 i =,,, M-일때 f i + -f i =/가되도록, 곧비동기직교로고른다. 그림. 시스템모형 : 송신기, 채널, 그리고수신기 주파수비선택적이고느리게바뀌는레일리감쇄를겪는독립채널 L개를생각해보자. 신호 s (t 를보냈을때, l 째다양성가지가받은신호 r l (t 는 r l (t=g l Acos(πf t+θ l +n l (t ( 이며, 여기서, l =,,, L - 그리고 t 이다. 한편, g l 과 θ l 은각각 l 째다양성채널이일으킨진폭과위상을나타내며, n l (t 는한쪽전력밀도가 N 인흰빛정규잡음이다. 심벌간격동안 {gl } 과 { θ l } 은바뀌지않고, g l 은레일리 [6] 확률변수이며, θ l 은 [, π 사이에고르게퍼져있다고둔다. 다양성채널마다에너지검파기 M 개가이루는비동기수신기를생각해보자. 그러면, l째다양성가지의 m 째에너지검파기출력은 Z m, l = ( r l (t cos(πf m tdt + ( r l (tsin(πf m tdt = ( A g l cosθ l + n c,,l + ( A g l sinθ l + n s,,l, m =, (n c, m, l +(n s, m, l, m 이다. 여기서, n c, m, l = ( n l (t cos(πf m tdt 이고 n s, m, l = n l (t sin(πf m tdt이며, 이 둘은모두 m =,,,M 일때평균이, 분산이 N / 인독립정규확률변수이다. 여기서, g l cosθ l 과 g l sinθ l 은평균이 이고분산이 E[g l ]/인독립정규확률변수임을새겨두자 [7]. 평균채널전력이득 {E[g l ]} 은모든다양성가지에서 [8] 같으며, l =,,,,L - 일때 E[g l ]=/L 이라둔다. Copyright (C 5 NuriMedia Co., Ltd.
논문 / 레일리감쇄채널에서차분문턱값검정을쓴 M 진주파수편이변조신호검파 채널이득을모르고, 감쇄 {g l } 이독립레일리확률변수일때가장알맞다고알려진, 이득같이모음을 (equal gain combining: EGC 생각해보자 [4]. 이득같이모음의 m 째결정통계량은다양성가지의에너지검파기출력 { Z l, m } 를모두더한것이며 m =,,, M 일때 L Z m = - Z (3 m, l l = 이다. 그러면, Z m 은자유도가 L 인중심카이-제곱확률변수이다 [6]. 이제, s (t 를보냈을때 Z m 의조건부확률밀도함수 f Z m (z 과조건부누적분포함수 F Z m (z 은각각, z 일때, 와 f Z m (z = F Z m (z = -e (σ m L (L-! z L - - z σ e m (4 - z σ m L - l= l! ( z σ m l (5 이다. 여기서, 다양성채널하나에서받은부호심벌에너지의평균을 E s = E[g l ]A = A L 라할때, m =이면 σ m = E s +N 이고, m 이면 σ m = N 이다. 부호화율이 r = k/n 인리드 -솔로몬부호를썼기때문에, 받은정보비트에너지의평균은 E b = LE s r log M 이다. Ⅲ. 성능분석 리드- 솔로몬부호의잘못됨및잃음으로보는복호화에서 [9] 잃음으로보는방법으로차분문턱값검정을쓴다고하자. 차분문턱값검정은에너지검파기출력들가운데가장큰출력과둘째로큰출력의차이가문턱값보다크지않으면검파된심벌을잃음으로본다. 그러므로, s (t 를보냈을때, 차분문턱값검정은 γ, m {,,, M} 일때 max Z k Z m < max Z k+γn (6 k m k m Z m max k m Z k+γn (7 이면심벌잘못됨이일어나며, Z max k Z k+γn (8 이면심벌을바르게얻는다. 여기서, 성능이 E b 와 N 따로따로에의존하는것이아니라 E b /N 에의존하도록문턱값 γn 를정했다. 널리알려진굳은판정은 γ =일때제안한시스템과같음을새겨두자. 신호들의대칭성때문에, 신호들을같은확률로보낸다면심벌을바르게얻을확률, 심벌을잘못얻을확률, 심벌을잃음으로볼확률은보낸신호와독립이다. 그러므로, s (t 를보내었다고둘수있다. 그러면, {Z m, m=, 3,, M} 은서로독립이고분포가같은확률변수이므로문턱값이 γ일때, 심벌을바르게얻을확률은 p c (γ=pr ( Z max k Z k + γ N = Pr γn ( max = Z γn 심벌을잘못얻을확률은 p e (γ= Pr ( M k Z k z - γn f Z (z dz (z-γn f Z (z dz, m = Z m max k m Z k+γn = (M- Pr γn ( max f (z dz k Z k z-γn =(M- F Z (z-γn F M - γn (z - γn f (z dz, 그리고, 심벌을잃음으로볼확률은 (9 ( p er (γ=-p c (γ-p e (γ ( 이다. 곧, (n,k 리드- 솔로몬부호시스템이그르게복호할확률 P E 는 이면잃음으로보고, m 일때 Copyright (C 5 NuriMedia Co., Ltd.
한국통신학회논문지 '5- Vol.3 No.C 이다. n - k - e n e = t = ( e,t [ p er(γ] e ( [p e (γ] t [p c (γ] n - e - t P E = - n - k 그림 4. 라이스감쇄채널에서 L = 이고, (7,3 리드 - 솔로몬부호를쓸때, 굳은판정, 비율문턱값검정, 그리고차분문턱값검정이그르게복호할확률 그림. 레일리감쇄채널에서 (7,3 리드 - 솔로몬부호를쓸때, 굳은판정, 차분문턱값검정, 그리고비율문턱값검정이그르게복호할확률 주었다. 라이스인수 K 는라이스감쇄채널의반사성분과확산성분의비율이며다양성채널 L 개에서모두같다고두었다. 이때, K =이면레일리감쇄채널임을새겨두자. 이그림에서, K =,.3 (3 db, 그리고.6 (6 db 일때차분문턱값검정이비율문턱값검정보다성능이뛰어남을볼수있다. 라이스감쇄채널은라이스인수 K 가클수록정규잡음채널에가까워지기때문에, K가클수록성능이득은작아진다. Ⅳ. 점근성능분석 그림 3. 레일리감쇄채널에서 (7,3 리드 - 솔로몬부호를쓸때, 비율문턱값검정과차분문턱값검정의최적문턱값 그림 는 (7,3 리드- 솔로몬부호를쓴시스템에서 P E 를 E b /N 의함수로보여준다. 차분문턱값검정은비율문턱값검정보다성능이좋지만 M 과 L 이클수록성능이득이줄어든다. 이논문에서는, 그림 3에보인것처럼, 차분문턱값검정과비율문턱값검정의문턱값을 E b /N 마다수치방법으로최적값을얻어썼다. 한편, P E 는수치적분법으로계산하였다. 그림 4는라이스감쇄채널에서 L = 이고, (7,3 리드 - 솔로몬부호를쓸때, 차분문턱값검정과비율문턱값검정이그르게복호할확률을견 4. 변조크기가클때점근성능분석이제, M이무한히클때점근확률 lim p c (γ, M lim p e(γ 와 M lim p er (γ 를얻어보자. 결정통계 m 량의조건부확률밀도함수 (4 와조건부누적분포함수 (5 를 (9 에넣고 u=z/ σ 라하면 p c (γ= γn /σ 이고, N =σ 이기때문에 - C(u= -e ( σ σ C(u u L - e - u (L-! du (3 u-γ L - l = l! ( σ σ u - γ 이다. 이제, χ M = σ u-γ 라두면 (4 는 σ M - l (4 Copyright (C 5 NuriMedia Co., Ltd.
논문 / 레일리감쇄채널에서차분문턱값검정을쓴 M 진주파수편이변조신호검파 L - C(u= ( -e - χ M l = χ { l M l! exp β u ( χ M +γ-u } - (5 로쓸수있는데, 여기서, β= LN ln 이다. 식 (3 에서 C(u 는오직 M 에의존하는식임을새겨 두자. 르베그의지배수렴정리와 [], lim (γn /σ M =을쓰면, 심벌을바르게얻을점근확률은 lim M p c (γ= [ lim C(u] u L - e - u M (L-! du (6 이다. 이제, b가확장된실수계일때, limg(x/h(x x b =이면 limf(xg(x= limf(x h( x 임을새기 x b x b 고, lim{ln(+x}/x =을쓰면, M 일때 χ M x 이므로, 같다. lim lnc(u= M C(u 의자연대수의극한은아래와 β lim [e u ( χ M +γ-u -] M L - ln(-e - χ M l = = lim M [ ( β - e u - χ M χ l M l! L - l = χ l M l! ] = { -, β/u >,, < β/u <. 그러므로, C( u 의극한은 (7 lim C(u=I(u> β (8 M 이며, 여기서, I( 은 x 가참이면 I(x=, 그렇지않으면 I(x= 인지시함수이다. 그러면, (6 에서심벌을바르게얻을점근확률은아래와같다. lim p c(γ= M ( L -! 여기서, P(α,x= Γ(α u L - e - u du β. = -P ( L, LN ln x (9 t α - e - t dt는불완전감 마함수이며, Γ(α= t α - e - t dt는감마함수이다. 차분문턱값검정을쓸때심벌을바르게얻을점 근확률은문턱값 γ와독립이라는점을새겨두자. 또한, L =로두면, (9 는채널이하나일때의결과임을새겨두자. 한편, 비율문턱값검정을쓸때에심벌을바르게얻을점근확률은아래와같다 [4]. lim p c, M R(γ=-P( L, γ RLN ln. ( 여기서, γ R 는비율문턱값검정에서의문턱값이다. 이식에서문턱값이클수록심벌을바르게얻을점근확률은작아진다는것을알수있다. 이제, ( 에 f (z+γn = f (z e - γ (+γn /z L - 을넣으면, 심벌을잘못얻을확률은 p e (γ= = e - γ F Z (z (M -F M - (z f (z+γn dz F Z (z ( + γ N z L - d dz { (z }dz = e - γ F Z (z ( + γ N z L - -e - γ f Z (z ( + γ N z L - + e - γ (z (z dz F Z (z (L - ( + γ N z L - γ N z (z dz ( 이된다. 위식에서마지막단계에는부분적분을 - 썼다. 식 ( 의오른쪽에서, 첫항은 γ e 이됨을쉽게알수있다. 다음에, f Z (z = f Z (z+ γn exp(γn /σ (+γn /z -(L- 을 ( 의둘째식에넣으면 - e ( N σ =-e ( N σ 가되는데, 은 - e - γ - γ (z f Z (z+γn dz - γ p c (γ ( lim (γn /σ M =이므로, ( 의극한 lim p c (γ 이다. 끝으로실수 z 가어떤 M Copyright (C 5 NuriMedia Co., Ltd. 3
한국통신학회논문지 '5- Vol.3 No.C 값이더라도 F Z (z (+γn /z L - γn /z B 를만족시키는실수 B 가존재하므로 ( 의마지 - 막항은 e γ B (z dz보다작거나같다. 여기서, 실수 z 가어떤값이더라도 F (z < 이므로지배수렴정리를쓰면 ( 의마지막항은 M 이무한히클때 이된다. 그러므로, 심벌을잘못얻을점근확률은다음과같다. lim p e (γ=e - γ P ( L, LN ln M. (3 곧, 변조크기 M 이무한히커지더라도차분문턱값검정에서심벌을잘못얻을확률은 이아니라는것이다. 이와달리, 비율문턱값검정에서의심벌을잘못얻을점근확률은아래와같으며 [4], lim p e, R( γ= M { P ( L, LN ln, γ R =,γ R > (4 문턱값이 보다크면 이된다. 한편, p er (γ=-p c (γ-p e (γ 이므로, 심벌을잃음으로볼점근확률은 (9 와 (3 에서 lim p er(γ=(-e - γ P LN ln M (L, (5 이다. 한편, 비율문턱값검정에서심벌을잃음으로볼점근확률은아래와같다 [4]. lim p e, R(γ= M {, γ R = P ( L, γ RLN ln, γ R > (6 4. 다양성차수가클때점근성능분석먼저, M 이고 L 일때, 심벌을바르게얻는점근성능을살펴보자. 식 (9 에 t = u/l 을넣고다시쓰면, 심벌을바르게얻을점근확률은아래처럼나타낼수있다. lim p c(γ= M I (t > N ln t L - e - t/(/l (/L L (L-! dt. (7 식 (7 의적분안에있는함수의뒷부분은자유도 L, 평균 L(/L= 인카이- 제곱확률밀도함수이므로, L이무한히클때충격함수 δ(t- 이된다. 따라서심벌을바르게얻을점근확률은 lim lim p c (γ=i L M ( E b > ln N r (8 이다. 곧, r =이면다양성차수와변조크기가무한히클때의성능은점근적으로덧셈꼴흰빛정규잡음채널에다가간다. 이제, 문턱값을바르게선택했다면, M이무한히클때의차분문턱값검정과비율문턱값검정의점근성능은같아짐을보이자. 먼저, t+e n- k 의관계를만족시킬때, (n,k 리드-솔로몬부호는잘못된심벌 t 개와잃은심벌 e 개를바로잡을수있다. 한편, M 일때블록길이는무한하므로, 조건 r < - lim M p er (γ- lim M p e (γ (9 를만족시키면 [4] 차분문턱값검정에서잘못없이통신할수있다. 이조건에서, 잘못없이통신할수있는가장작은신호대잡음비 E b /N 를얻을수있다. 점근확률 (3 과 (5 를써서 (6 을다시나타내면 r < -(+e - γ P ( L, LN ln (3 이다. 식 (3 을써서, 잘못없이통신할수있는가장작은 E b /N 를수치적으로계산할수있다. 한편, E b /N 가수렴하도록 γ 를충분히크게골랐 다고두면, E b /N 의수렴값 ( E b /N min 을얻을 수있다. 곧, (3 에서 γ =라하면, ( E b /N min 은 r < -P ( L, LN ln 에서얻을수있는데, 이것은비율문턱값검정에서와같은결과이다 [4]. 그러므로, 차분문턱값검정의점근확률은비율문턱값검정과다르지만, 차분문턱값검정에서잘못없이통신할수있는가장작은신호대잡음비와비율문턱값검정에서잘못없이통신할수있는가장작은신호대잡음비는같다. 4 Copyright (C 5 NuriMedia Co., Ltd.
논문 / 레일리감쇄채널에서차분문턱값검정을쓴 M 진주파수편이변조신호검파 Ⅴ. 맺음말이논문에서는차분문턱값검정을쓴 M 진주파수편이변조신호검파를생각했다. 채널이여럿일때리드- 솔로몬부호와다양성모으기를쓴비동기 M 진직교주파수편이변조신호에차분문턱값검정을쓴것과비율문턱값검정을쓴것을견주었다. 변조크기와다양성차수가무한히클때차분문턱값검정의성능을알아보았다. 차분문턱값검정이비율문턱값검정보다성능이좋지만, 변조크기와다양성차수가클수록성능이득은줄어든다는것을보였다. 변조크기와다양성차수가무한히클때차분문턱값검정의점근성능을얻었다. 문턱값을알맞게고른다면, 차분문턱값검정에서잘못없이통신할수있는가장작은신호대잡음비와비율문턱값검정에서잘못없이통신할수있는가장작은신호대잡음비는같음을밝혔다. 참고문헌 [] I.-J. Su and J. Wu, Performance of BFSK FHMA systems with R side information over fading channels, IEEE rans. Commun., vol. 47, pp. 785-787, Dec. 999. [] S. D. Fina and G. E. Corazza, Bayesian approach for erasure insertion in frequency-hop multiple access-communications with selective fading, IEEE rans. Commun., vol. 48, pp. 8-89, Feb.. [3] I.-J. Su and J. Wu, Difference threshold test for asynchronous BFSK frequency-hopped multiple access systems over Rician channels, IEE Electron. Lett., vol. 35, pp. 5-53, Sep. 999. [4] J. D. Choi, D. S. Yoo, and W. E. Stark, Performance limits of M-FSK with Reed- Solomon coding and diversity combining, IEEE rans. Commun., vol. 5, pp. 787-797, Nov.. [5] 이정운, 양경철, 레일레이페이딩채널에서단축된리드- 솔로몬부호를사용한하이브리드재전송요구방식의성능분석, 한국통신학회논문지, 권, 73-736쪽, 996년 3월. [6] 박철훈, 송익호, 남동경, 확률과정, 서울 : 생능출판사, 4. Copyright (C 5 NuriMedia Co., Ltd. [7] A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, New York: McGraw Hill, 99. [8] 이주미, 송익호, 권형문, 김병윤, " 길쌈부호화 여러반송파직접수열부호분할다중접속시스 템의성능," 한국통신학회논문지, 7권, 5-58쪽, 년 3월. [9] 김정헌, 염창열, 송홍엽, 강구호, 김순태, 백세 현, 검출불능오류율을향상시키는 Reed- Solomon 적부호의이레이져복호방법, 한국통 신학회논문지, 6권, 47-436쪽, 년 4월. [] A. Browder, Mathematical Analysis: An Introduction, New York: Springer-Verlag, 996. 김홍직 (Hong Jik Kim 정회원 995년 월 포항공과대학교 전기및전자공학과공학사 997년 월 한국과학기술원 전자전산학과공학석사 5년 월 한국과학기술원 전자전산학과공학박사 년 9월 ~ 현재 LG전자네 크워크연구소선임연구원 < 관심분야 > 이동통신, 다중접속, 통신이론, 통신신 호처리 강현구 (Hyun Gu Kang 준회원 4년 8월고려대학교전자 및정보공학부공학사 4년 9월 ~ 현재한국과학기 술원전자전산학과석사과 정 < 관심분야 > 이동통신, 정보이 론, 검파와추정 김선용 (Sun Yong Kim 종신회원 한국통신학회논문지제3권 4C호참조 5
한국통신학회논문지 '5- Vol.3 No.C 권형문 (Hyoungmoon Kwon 준회원 년 월연세대학교기계전자공학부전기전자전공공학사 년 3월한국과학기술원전자전산학과공학석사 년 3월 ~ 현재한국과학기술원전자전산학과박사과정 < 관심분야 > 이동통신, 통계학적신호처리, 검파와추정 방만원 (Man-Won Bang 정회원 974년 월명지대학교공과대학전자공학과공학사 977년 월명지대학교전자공학과공학석사 987년 월명지대학교전자공학과공학박사 988년 3월 ~ 현재목포대학교전자공학과교수 < 관심분야 > 통신이론, 음성신호처리, 배열신호처리 송익호 (Iickho Song 한국통신학회논문지제3권 5C호참조 종신회원 6 Copyright (C 5 NuriMedia Co., Ltd.