제 8 장 일반함수모형의비교정태분석

제 8 장 일반함수모형의비교정태분석

u 일반함수모형 è 개요 (introduction) - 편도함수의정의는독립변수들간에어떤함수관계도 존재하지않는것을전제로함 ( 즉, 상호독립적 ). - 그러나일반함수형태가모형에포함되어어떤명시적 축약형의해를얻을수없을경우에는그렇게편리한 방법은기대할수없음. - 예를들어단순한국민소득모형에서 Y=C+I 0 +G 0 C=C(Y, T 0 ) [ 여기서 T 0 는외생변수로서의조세 ]

u 일반함수모형 - 앞의두모형은 Y* 를구하기위해하나의단일방정식 ( 하나의균형조건 ) 으로다음과같이축약할수있음. Y=C(Y, T 0 )+I 0 +G 0 - 그러나소비함수 C 가일반함수형태로주어져있어서 명시적인해를얻는것은불가능함. - 어떤균형해 Y* 가존재할때일정조건하에서 Y* 를 외생변수 I 0, G 0, T 0 의미분가능함수라면 Y*=Y*(I 0, G 0, T 0 ) - 다음의항등식이성립함 : Y*ºC(Y*, T 0 )+I 0 +G 0

u 일반함수모형 - 만약앞의식에서 Y*/ T 0 를구하고자한다면함수 C 에포함된두변수는서로독립적이지않음. - 왜냐하면이경우 T 0 는직접적으로 C 에영향을미칠 뿐만아니라 Y* 에대해서도간접적으로영향을미침. - 따라서편미분은이러한문제를해결할수없음. - 결과적으로이러한문제를해결하기위하여전미분 (total differentiation) 이라는편미분의대비개념이 필요함.

u 일반함수모형 - 전미분의과정은전도함수 (total derivative) 의개념과 관련됨. - 전도함수는 C(Y*, T 0 ) 와같은함수에서독립변수 T 0 가 다른독립변수 Y* 에영향을줄때변수 T 0 에관한 그함수의변화율의정도를나타냄.

u 미분 (differentials) è 미분과도함수 (differentials and derivatives) - 도함수 dy/dx=f (x) 는차분몫의극한임. dy lim y =f (x)= x 0 dx x - 따라서 y/ x 그자체는 ( x 0 의규정없이 ) dy/dx 와 동일하지않음. - 여기서이두몫의불일치를 δ 로나타내면 y dy y dy - =δ 또는 = +δ [ 단, x 0 에따라 δ 0] x dx x dx - x 가 0 에무한접근하면불일치항 δ 도 0 에무한접근

u 미분 (differentials) è 미분과도함수 (differentials and derivatives) - 앞의식을양변에 x 를곱하면다음과같음. dy y= x+δ x 또는 y=f (x) x+δ x dx - 이식은 x 의특정변화로인한 y 의변화 ( y) 를나타냄. - 여기서 x 가충분히작은수이면 δ 도충분히작은수가 되고, δ x 는더욱작은수가됨. - 따라서 f (x) x 는 y 의증분 y 의근사값으로사용할수있음.

u 미분 (differentials) è 미분과도함수 (differentials and derivatives)

u 미분 (differentials) è 미분과도함수 (differentials and derivatives) - [ 그림 8.1] 의 x 0 에서 x 0 + x 로변하면 y=f(x) graph 에서 점 A 에서점 B 로이동함. - 이때 y 는 CB 이고, 두거리의비율 (= 기울기 ) 은 CB/AC= y/ x 임. - 이를수식으로다시정리하면 y CB y= x= AC=CB x AC dy CD dy= dx= AC=CD dx AC

u 미분 (differentials) è 미분과도함수 (differentials and derivatives) - 여기서점 A 를지나는접선을그리고, CB 대신 CD 를 y 의근사값으로사용하면불일치또는근사값오차는 DB 가됨. - AD 의기울기는 f (x 0 ) 이므로 x 가감소함에따라 ( x 0) 점 B 에서점 A 로이동함. 이에따라불일치를줄이고 f (x 0 ), 즉 dy/dx 를 y/ x 에더가까운근사값으로만듬. - 따라서 x 가감소함에따라 dy 와 y 의차이도 0 에 접근

u 미분 (differentials) è 미분과도함수 (differentials and derivatives) - [ 그림 8.1] 에서접선 AD 의기울기는 dy/dx 가됨. - 따라서다음과같이정리할수있음. dy = 접선 AD 의기울기 =f (x) dx - 위식의양변에 dx 를곱하면 dy=f (x)dx 따라서 dx 의어떤특정값이주어지면, 그것에 f (x) 를 곱함으로써 y 의근사값으로서의 dy 를구할수있음. - 변화량 dy 와 dx 를각각 x 와 y 의미분이라함.

u 미분 (differentials) è 미분과점탄력성 (differentials and point elasticity) - 수요함수 Q=f(P) 의가격탄력성은 ( Q/Q)/( P/P) 로 정의됨. - 위식에서근사값을사용하면독립적변화 P 와종속적 변화 Q 는 dp 와 dq 로바꿀수있음. - 따라서 ε d (elasticity 를나타내는그리스문자 epsilon) 로표현되는수요의점탄력성 (point elasticity) 이라는 근사값으로서의탄력성척도를얻음.

u 미분 (differentials) è 미분과점탄력성 (differentials and point elasticity) - 수요의점탄력성다음과같이정리할수있음. dq/q dq/dp 한계함수 (marginal function) ε d = = = dp/p Q/P 평균함수 (average function) - 수요의점탄력성은평균함수에대한한계함수의비율 - 위식에서 = >1 ε d =1 일때수요는 <1 =0 완전탄력적 (perfectly elastic) 탄력적 (elastic) 단위탄력적 (unitary elastic) 비탄력적 (inelastic) 완전비탄력적 (perfectly inelastic)

u 미분 (differentials) è 미분과점탄력성 (differentials and point elasticity) - 수요함수 Q=100-2P 일때수요의점탄력성 (ε d )? dq dp Q =-2 및 = P 100-2P P - 평균함수에대한한계함수의비율인점탄력성은 dq/dp 100-2P -P ε d = =-2/ = Q/P P 50-P - 이처럼탄력성은 P 의함수로주어짐. 따라서특정 가격이주어지면점탄력성의크기가결정됨.

u 미분 (differentials) è 미분과점탄력성 (differentials and point elasticity) - 예를들어 P=25 일때 ε d =-1 또는 ε d =1 이므로수요는 이가격 ( 점 ) 에서단위탄력적임. - P=30 일때 ε d =1.5 이므로수요는이가격에서탄력적임. - 만약 25<P<50 일때 ε d >1 이므로수요는탄력적이고, 0<P<25 일때 ε d <1 이므로수요는비탄력적임. - 여기서만약 P=50 이라면 ε d = ( 완전탄력적 ) 가되고, P=0 라면 ε d =0( 완전비탄력적 ) 이됨.

u 미분 (differentials) è 미분과점탄력성 (differentials and point elasticity) - 공급함수 Q=P 2 +7P 일때공급의점탄력성 (ε s )? dq dp Q P =2P+7 및 = 2 +7P =P+7 P P - 평균함수에대한한계함수의비율인점탄력성은 dq/dp 2P+7 ε s = = Q/P P+7 - 여기서 P=2 일때공급탄력성의값은 11/9(>1) 임. 따라서공급은 P=2 에서탄력적 (elastic) 임.

u 미분 (differentials) è 미분과점탄력성 (differentials and point elasticity)

u 미분 (differentials) è 미분과점탄력성 (differentials and point elasticity) - 앞의 [ 그림 8.2] 에서두경우모두곡선상의점 A 에서 ( 또는정의역 x=x 0 에서 ) 한계함수의값은접선 AB 의 기울기로측정됨. - 한편, 평균함수의값은직선 OA( 원점에서곡선상의 점 A 를연결한직선 ) 의기울기로측정됨. - 따라서점 A 에서점탄력성은평균함수와한계함수의 기울기수치의비교로알수있음. - 점 A 에서 의경우비탄력적, 의경우탄력적임.

u 미분 (differentials) è 미분과점탄력성 (differentials and point elasticity)

u 미분 (differentials) è 미분과점탄력성 (differentials and point elasticity) - 점탄력성은두기울기수치의비교로측정할수있기 때문에비교되는두기울기는두각 (θ m 과 θ a ; 하첨자 m 과 a 는한계와평균을의미 ) 의크기에의존함. - 따라서두기울기를비교하는대신에이에상응하는 두각을비교해도무방함. - [ 그림 8.2] 는 (θ m <θ a ) 비탄력적, 는 (θ m >θ a ) 탄력적 - [ 그림 8.3] 에서는 와 기울기의두각이모두같음 (θ m =θ a ). 즉, 주어진곡선상의점 C 에서단위탄력적임.

u 미분 (differentials) è 미분과점탄력성 (differentials and point elasticity) - 지금까지살펴본기하학적방법은함수 y=f(x) 의종속 변수 y 가세로축에표시되고있음을유의해야함 ( 왜냐하면경제학에서는정반대로표시하기때문 ). - 따라서수요와공급의점탄력성을구하고자할때 종속변수인수요 (Q d ) 와공급 (Q s ) 이가로축에위치하면 점탄력성을구하는방법은정반대로수정되어야함.

u 미분 (differentials) è 전미분 (total differentials) 의개요 - 미분의개념은독립변수가둘이상인다변수함수에 대해서도확장할수있음. - 함수 z=f(x, y) 에서 x 와 y 의증분을각각 x, y 라면 z=f(x+ x, y+ y)-f(x, y) - 위식의우변에서 f(x, y+ y) 를빼고더하면 z=[f(x+ x, y+ y)-f(x, y+ y)]+[f(x, y+ y)-f(x, y)] - 첫번째대괄호안에서 x 는변하고 y 는고정되어있고, 두번째대괄호안에서 y 는변하고 x 는고정되어있음.

u 전미분 (total differentials) è 전미분 (total differentials) 의개요 - 한편, 앞의식은다음과같은식이성립함. f(x+ x, y+ y)-f(x, y+ y) =f x (x, y)+δ 1 x f(x, y+ y)-f(x, y) =f y (x, y)+δ 2 y - 여기서각각 x, y 를양변에곱하고다시정리하면 다음과같음. z=f x (x, y) x+f y (x, y) y+δ 1 x+δ 2 y - 위에서 f x 와 f y 는각각의편도함수 (partial derivatives) 임.

u 전미분 (total differentials) è 전미분 (total differentials) 의개요 - 한편, 앞의식에서 x 와 y 가각각 0 에무한접근하면 각각의불일치항인 δ 1 과 δ 2 도 0 에무한접근함. - 따라서 δ 1 x 와 δ 2 y 도더욱더작은수가되므로 z 의 총변화 (dz) 는근사값으로다음과같이미분됨. z z dz= dx+ dy 또는 dz=f x (x, y)dx+f y (x, y)dy x y - 위식에서 dz 는두원천으로부터발생하는변화의합 이기때문에이것을 dz 의전미분이라함.

u 전미분 (total differentials) è 전미분 (total differentials) - 예를들어저축함수 S=S(Y, i); 여기서 S 는저축, Y 는 국민소득, i 는이자율임. - 여기서각각의편도함수 S/ Y 는한계저축성향 (MPS), S/ i 는이자율변화에대한저축변화정도를나타냄. - 따라서 Y 의미세변화 dy 에따른 S 의변화는근사값 ( S/ Y)dy 로 i 의미세변화 di 에기인하는 S 의변화는 근사값 ( S/ i)di 로나타낼수있음.

u 전미분 (total differentials) è 전미분 (total differentials) - 그러면저축 S 의총변화는다음과같이미분으로근사 할수있음. S S ds= dy+ di 또는 ds=s Y dy+s i di Y i - 만약 i 는일정한데 Y 만변한다면이경우 di=0 이되고, 전미분은 ds=( S/ Y)dY 로되고, 양변을 dy 로나누면 S ds = Y dy - 따라서편도함수 S/ Y 는독립변수 i 가일정하다는전제 하에두미분 ds 와 dy 의비율과같음.

u 전미분 (total differentials) è 전미분 (total differentials) - n 개의독립변수로구성된일반함수형태의효용함수 U=U(x 1, x 2,L, x n ) - 위함수의전미분은다음과같이표현할수있음. U U U du= dx 1 + dx 2 +L+ dx x n 1 x 2 x n 또는 du=u 1 dx 1 +U 2 dx 2 +L+U n dx n = U i dx i - 위식에서우변의각항은어떤하나의독립변수가 미세변화할때초래되는총효용변화의근사값임.

u 전미분 (total differentials) è 전미분 (total differentials) - 다른함수와마찬가지로점탄력성을구할수있음. - 그러나각탄력성은여러개의독립변수중오직어떤 하나의독립변수변화에대한종속변수변화로정의됨. - 따라서앞서저축함수는두개의탄력성이정의될수 있고, 효용함수는 n 개의탄력성이정의될수있음. - 이때각각의독립변수변화에대한종속변수변화는 편도함수가되고, 이들의탄력성을편탄력성 (partial elasticity) 이라함.

u 전미분 (total differentials) è 전미분 (total differentials) - 앞에서의저축함수에대한편탄력성은다음과같음. S/ Y S Y S/ i S i ε SY = = ε Si = = S/Y Y S S/i i S - 효용함수에대한 n 개의편탄력성은다음과같음. U/ x ε Uxi = i U x = i (i=1, 2,L, n) U/x i x i U

u 전미분 (total differentials) è 전미분 (total differentials) - 예 1 : U(x 1, x 2 )=ax 1 +bx 2 ( 여기서 a, b>0) U U =U 1 =a =U 2 =b x 1 x 2 du=u 1 dx 1 +U 2 dx 2 =adx 1 +bdx 2 - 예 2 : U(x 1, x 2 )=x 12 +x 23 +x 1 x 2 U U =U 1 =2x 1 +x 2 =U 2 =3x 22 +x 1 x 1 x 2 du=u 1 dx 1 +U 2 dx 2 =(2x 1 +x 2 )dx 1 +(3x 22 +x 1 )dx 2

u 전미분 (total differentials) è 전미분 (total differentials) - 예 3 : U(x 1, x 2 )=x 1a x 2b ( 여기서 a, b>0) U ax =U 1 =ax a-1 1 x 2b = 1a x b 2 x 1 x 1 U bx =U 2 =bx 1a x b-1 2 = 1a x b 2 x 2 x 2 ax du=u 1 dx 1 +U 2 dx 2 =( 1a x b 2 bx a )dx 1 +( 1 x b 2 )dx 2 x 1 x 2

u 전미분 (total differentials) è 전미분 (total differentials) - 예 4 : z=2x+5xy+y z z =z 1 =2+5y =z 2 =5x+1 x y dz=z 1 dx+z 2 dy=(2+5y)dx+(5x+1)dy - 예 5 : z=2x 2 +y 2 z z =z 1 =4x =z 2 =2y x y dz=z 1 dx+z 2 dy=4xdx+2ydy

u 전미분 (total differentials) è 전미분 (total differentials) - 예 6 : u=xy 2 z 3 u =u 1 =y 2 z 3 u =u 2 =2xyz 3 u =u 3 =3xy 2 z 2 x y z du=u 1 dx+u 2 dy+u 3 dz=y 2 z 3 dx+2xyz 3 dy+3xy 2 z 2 dz x 1 - 예 7 : y= x 1 +x 2 y x =y 1 = 2 y -x =y 2 = 1 x 1 (x 1 +x 2 ) 2 x 2 (x 1 +x 2 ) 2 x 2 -x dy=y 1 dx 1 +y 2 dx 2 = dx 1 + 1 dx (x 2 1 +x 2 ) 2 (x 1 +x 2 ) 2

u 미분연산법칙 (rules of differentials) è 함수 y=f(x 1, x 2 ) 의전미분 dy 를구하는간단한방법은 편도함수 f 1 과 f 2 를구하고다음식에대입하는것임. dy=f 1 dx 1 +f 2 dx 2 - 그러나다음과같은미분법칙을적용하는것이편리함. - 여기서 k 는상수이고, u, v 는변수 x 1, x 2 의함수임. è [ 법칙 1] dk=0 ( 상수함수의미분법칙 ) è [ 법칙 2] d(cu n )=cnu n-1 du ( 멱함수의미분법칙 ) è [ 법칙 3] d(u±v)=du±dv ( 합과차의미분법칙 ) è [ 법칙 4] d(uv)=vdu+udv ( 곱의미분법칙 )

u 미분연산법칙 (rules of differentials) u 1 è [ 법칙 5] d( )= (vdu-udv) ( 몫의미분법칙 ) v v 2 è [ 법칙 6] d(u±v±w)=du±dv±dw è [ 법칙 7] d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw è 이상의법칙들이응용되는실례를살펴보기로함. - 예 1 : y=5x 12 +3x 2 이함수의편도함수 f 1 =10x 1 및 f 2 =3 이므로구하고자 하는미분은 dy=f 1 dx 1 +f 2 dx 2 =10x 1 dx 1 +3dx 2 그러나 u=5x 12 과 v=3x 2 로놓고, 미분법칙을적용하면 dy=d(5x 12 )+d(3x 2 )=10x 1 dx 1 +3dx 2

u 미분연산법칙 (rules of differentials) - 예 2 : y=3x 12 +x 1 x 2 2 편도함수 f 1 =6x 1 +x 22 와 f 2 =2x 1 x 2 이므로구하고자하는 미분은 dy=f 1 dx 1 +f 2 dx 2 =(6x 1 +x 22 )dx 1 +2x 1 x 2 dx 2 u=3x 12 과 v=x 1 x 22 로놓고, 미분법칙을적용하면 dy=d(3x 12 )+d(x 1 x 22 )=6x 1 dx 1 +x 22 dx 1 +x 1 d(x 22 ) =(6x 1 +x 22 )dx 1 +2x 1 x 2 dx 2

u 미분연산법칙 (rules of differentials) x - 예 3 : y= 1 +x 2 2x 2 1 -(x 편도함수 f 1 = 1 +2x 2 ) 1 와 f 2 = 이므로구하고자 2x 1 3 2x 1 2 -(x 하는미분은 dy=f 1 dx 1 +f 2 dx 2 = 1 +2x 2 ) 1 dx 1 + dx 2 2x 1 3 u=x 1 +x 2 와 v=2x 12 으로놓고, 미분법칙을적용하면 dy=(1/4x 14 )[2x 12 d(x 1 +x 2 )-(x 1 +x 2 )d(2x 12 )] =(1/4x 14 )[2x 12 (dx 1 +dx 2 )-(x 1 +x 2 )4x 1 dx 1 ] =(1/4x 14 )[-2x 1 (x 1 +2x 2 )dx 1 +2x 12 dx 2 ] -(x = 1 +2x 2 ) 1 dx 1 + dx 2 2x 1 3 2x 1 2 2x 1 2

u 미분연산법칙 (rules of differentials) - 예 4 : y=3x 1 (2x 2-1)(x 3 +5) 위식의편도함수 f 1 =3(2x 2-1)(x 3 +5), f 2 =2(3x 1 )(x 3 +5), f 3 =3x 1 (2x 2-1) 이므로구하고자하는미분은 dy=f 1 dx 1 +f 2 dx 2 +f 3 dx 3 =3(2x 2-1)(x 3 +5)dx 1 +2(3x 1 )(x 3 +5)dx 2 +3x 1 (2x 2-1)dx 3 u=3x 1, v=2x 2-1, w=x 3 +5 으로놓고, 미분법칙을적용 dy=(2x 2-1)(x 3 +5)d(3x 1 )+3x 1 (x 3 +5)d(2x 2-1) +3x 1 (2x 2-1)d(x 3 +5) =3(2x 2-1)(x 3 +5)dx 1 +2(3x 1 )(x 3 +5)dx 2 +3x 1 (2x 2-1)dx 3

u 전도함수 (total derivatives) è 합성함수의전미분 (total differentials of composite function) - 합성함수의일반적함수형태가다음과같음. y=f(x, w), 여기서 x=g(w) - 함수 f 와 g 는다음과같이합성함수로결합될수있음. y=f[g(w), w] - 여기서세변수 y, x, w 간의상호관계는 [ 그림 8.4] 의 경로도 (channel map) 에나타내고있음. - 이그림에서알수있듯이변화를일으키는궁극적인 원인변수인 w 는두경로를통해 y 에영향을줌.

u 전도함수 (total derivatives) è 합성함수의전미분 (total differentials of composite function) - 우선, 간접적으로함수 g 를거친후, 함수 f 를통하여 y 에영향을주고 ( 직선의화살표 ), 그리고직접적으로함수 f 를통하여 y 에영향을줌 ( 곡선의화살표 ).

u 전도함수 (total derivatives) è 합성함수의전미분 (total differentials of composite function) - y 에대한 w 의직접효과는편도함수인 f w (= y/ w) 로 나타낼수있음. - y 에대한 w 의간접효과는합성함수의연쇄법칙인 dx 두도함수의곱, 즉 f x (= y dx ) 로표현됨. dw x dw - 이두효과를합하면 w 에관한 y 의전도함수를얻음. dy dx y dx y =f x +f w = + dw dw x dw w

u 전도함수 (total derivatives) è 합성함수의전미분 (total differentials of composite function) - 앞의전도함수는다른방법으로도얻을수있음. - 우선, 함수 y=f(x, w) 를전미분하면 dy=f x dx+f w dw - 이제양변을 dw 로나누면다음의결과를얻음. dy dx y dx y =f x +f w = + dw dw x dw w - 어떤방법이든전도함수 dy/dw 를구하는과정을 w 에 관한 y 의전미분연산이라함. - 여기서 dy/dw 는전도함수이고, y/ w 는편도함수임.

u 전도함수 (total derivatives) è 합성함수의전미분 (total differentials of composite function) - 예 1 : y=f(x, w)=3x-w 2 이고, 단 x=g(w)=2w 2 +w+4 일때 전도함수 dy/dw dx f x =3, f w =-2w, =4w+1 이므로 dw dy dx =f x +f w =3(4w+1)+(-2w)=10w+3 dw dw - 함수 g 를함수 f 에대입하면 y=3(2w 2 +w+4)-w 2 이고, 이를다시정리하면 y=5w 2 +3w+12 이므로 dy/dw=10w+3

u 전도함수 (total derivatives) è 합성함수의전미분 (total differentials of composite function) - 예 2 : 효용함수가 U=U(c, s) 이고 ( 여기서 c 는커피소 비량, s 는설탕소비량 ), 또다른방정식 s=g(c) 임. 이두재화가보완관계라면효용함수는다음과같은 합성함수로나타낼수있음. U=U[c, g(c)] 위식으로부터다음과같은전도함수 du/dc 를얻음. du dc U U = + g (c) c g(c)

u 전도함수 (total derivatives) è 논제의한변환 (a variation on the theme) - 함수 y=f(x 1, x 2, w), 여기서 x 1 =g(w), x 2 =h(w) 임. - 이경우변수 w 는세경로를통하여 y 에영향을줌 : ⑴ 간접적으로함수 g 를거친후함수 f 를통해, ⑵ 또한간접적으로함수 h 를거치고함수 f 를통해, ⑶ 직접적으로함수 f 를통해 y 에영향을줌. y dx - 이세효과는각각 1 y dx, 2 y, 로나타낼 x 1 dw x 2 dw w 수있음.

u 전도함수 (total derivatives) è 논제의한변환 (a variation on the theme) - 이들세가지효과를합하면, 다음의전도함수를얻음. dy y dx = 1 y dx + 2 y + dw x 1 dw x 2 dw w dx =f 1 dx 1 +f 2 2 +f w dw dw

u 전도함수 (total derivatives) è 논제의한변환 (a variation on the theme) - 생산함수 Q=Q(K, L, t), 여기서 t 는시간변수임. - 이경우시간 t 의경과에따라기술의변화를반영할 수있음. 따라서동태적생산함수라고할수있음. - 시간의경과에따라자본량과노동량도변화하므로 K=K(t), L=L(t) Q=Q[K(t), L(t), t] - 그러면시간에관한산출량변화율은전도함수공식에 dq Q dk Q dl Q 따라 = + + dt K dt L dt t =Q K K (t)+q L L (t)+q t

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 음함수 (implicit function) - 지금까지함수는대부분 y=f(x) 의형태로나타냈음. 여기서 x 는독립변수, y 는종속변수로명확하게표현 할수있음. 즉, 변수 y 가 x 의함수로명시적으로표시 되기때문에이러한함수를양함수 (explicit function) 라고함 ( 예 : y=f(x)=3x 4 ). - 그러나이함수가동일한의미를갖는다른형태, 즉 y-3x 4 =0 여기서변수 x, y 는독립변수와종속변수가뚜렷하지않음.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 음함수 (implicit function) - 이와같이 x, y 의관계가명확하지않고포괄적으로 나타난함수를음함수 (implicit function) 라고함 ( 예 : y-3x 4 =0). - 일반적으로음함수는 F(y, x)=0 으로나타냄 (y 는 x 의 음함수라고함 ). 여기서음함수는함수 f 와구별하기위해대문자 F 를 사용함.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 음함수 (implicit function) - 앞의예에서함수 F 는두독립변수 y 와 x 를가지는 반면, 양함수 f 는오직하나의독립변수 x 만가짐. - 함수 F 는둘이상의독립변수가존재할수있음. - 한편, 양함수 y=f(x) 는 f(x) 식을등호의좌변으로이항 하면방정식 F(y, x)=0 형태로항상변환이가능함. 그러나그역의변환은항상가능한것이아님. 즉, 음함수를정의하지못할수도있음.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 음함수 (implicit function) - 예 : 방정식 F(y, x)=x 2 +y 2-3 2 =0 는원점중심으로반지름이 3 인원이고, y 를 x 에대하여풀어쓰면 y=±(3 2 -x 2 ) 1/2 임.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 음함수 (implicit function) - 방정식 F(y, x)=x 2 +y 2-3 2 =0 는함수가아니라하나의 관계에불과함. - 왜냐하면하나의원을나타내기때문에 x 의각값에 대응하는 y 값이유일하게존재하지않음. - 그러나 y 값이비음 ( 양 ) 이면 y=+(3 2 -x 2 ) 1/2 ( 원의상반분 ), y 값이비양 ( 음 ) 이면 y=-(3 2 -x 2 ) 1/2 ( 원의하반분 ) 을구성 - 한편, 원의왼쪽이나오른쪽반분은그어느것도함수가 될수없음.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 음함수 (implicit function) - y=+(3 2 -x 2 ) 1/2 [ 원의상반분 ] y=-(3 2 -x 2 ) 1/2 [ 원의하반분 ] - 즉, F(y, x)=0 가 y=f(x) 를정의해줄때 y 는 x 의음함수 (implicit function) 라고함.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 음함수의도함수 (derivative of implicit function) - 음함수 F(y, x)=0 에대하여 x 에대한 y 의도함수 (dy/dx) 는우선양변을 x 에관하여미분하면 dy dy F F x +F y =0 따라서 =- x (F y ¹0) dx dx F y - 앞의예 F(y, x)=x 2 +y 2-3 2 =0 에서 dy 2x x F x =2x, F y =2y 이므로 =- =- 임. dx 2y y - 결국, 음함수의구체적형태를알지못해도음함수의 도함수는 F 함수의한쌍의편도함수들의비율에음 (-) 의부호를붙인것이됨.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 음함수의도함수 (derivative of implicit function) - 예 1 : 방정식 F(y, x)=y-3x 4 =0 의도함수 (dy/dx) dy F =- x -12x =- 3 =12x 3 dx F y 1 한편, 주어진방정식을 y 에대해서풀면 y=3x 4 임. 따라서위의도함수와동일함. - 예 2 : 방정식 F(y, x, w)=y 3 x 2 +w 3 +yxw-3=0 의도함수 y F =- x 2y =- 3 x+yw x F y 3y 2 x 2 +xw 만약점 (1, 1, 1) 에서이도함수의값은 -3/4 임.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 음함수의도함수 (derivative of implicit function) - 예 3 : 방정식 F(Q, K, L)=0 은묵시적으로생산함수 Q=f(K, L) 로정의하면한계실물생산 MPP K 및 MPP L? Q F MPP K º =- K Q F 및 MPP L º =- L K F Q L F Q 이밖에도방정식 F(Q, K, L)=0 에서다음과같은편도 함수를얻을수있음. K F =- L L F K

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 음함수의도함수 (derivative of implicit function) - 앞에서다룬 K/ L 의경제적의미는무엇인가? 편미분기호는다른변수 Q 가고정되어있음을의미함. - 그러므로이것은등량곡선 (isoquant curve) 을따라 이동하는변화의형태를갖게됨. - 따라서도함수 K/ L 는등량곡선의접선의기울기 ( 기울기값은보통음 (-) 의값을가짐.) - 한편, K/ L 의절대값은기술적한계대체율 (marginal rate of technical substitution : MRTS LK ) 임.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 등량곡선 (isoquant curve) K K L Q=Q 1 0 L

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 연립방정식의집합이다음과같음. F 1 (y 1, y 2,L, y n ; x 1, x 2,L, x m )=0 F 2 (y 1, y 2,L, y n ; x 1, x 2,L, x m )=0 LLLLLLLLLLLLL F n (y 1, y 2,L, y n ; x 1, x 2,L, x m )=0 - 위식에대응하는음함수들의집합은다음과같음. y 1 =f 1 (x 1, x 2,L, x m ) y 2 =f 2 (x 1, x 2,L, x m ) LLLLLLLL y n =f n (x 1, x 2,L, x m )

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 앞의연립방정식과이에대응하는음함수의존재를 보장하려면다음의음함수관계가성립해야함. ⑴ F 1, F 2,L, F n 은모두 y 와 x 에대하여연속적인편도 함수를가져야하며, ⑵ 한점 (y 10, y 20,L, y n0 ; x 10, x 20,L, x m0 ) 에서음함수의 연립방정식을만족한다면다음의야코비행렬식은 0 이아님.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 야코비행렬식 (Jacobian determinant) 이 0 이아니면, 즉 F 1 / y 1 F 1 / y 2 L F 1 / y n (F J º 1,L,F n ) F º 2 / y 1 F 2 / y 2 L F 2 / y n ¹0 (y 1,L,y n ) LLLLLLLLLLLL F n / y 1 F n / y 2 L F n / y n 이때한점에서변수 y 1, y 2,L, y n 은변수 x 1, x 2,L, x n 의함수가됨 ( 즉, 음함수가존재함 ). y 10 =f 1 (x 10, x 20,L, x m0 ) y 20 =f 2 (x 10, x 20,L, x m0 ) LLLLLLLLL y n0 =f n (x 10, x 20,L, x m0 )

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 단일방정식의경우와같이각항등식의양변을전미분 하면다음과같음. F 1 F dy 1 +L+ 1 F dy n + 1 F dx 1 +L+ 1 dx m =0 y 1 y n x 1 x m F 2 F dy 1 +L+ 2 F dy n + 2 F dx 1 +L+ 2 dx m =0 y 1 y n x 1 x m LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL F n F dy 1 +L+ n F dy n + n F dx 1 +L+ n dx m =0 y 1 y n x 1 x m

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 앞의식 dx i 항들을등호의우변으로이항하면다음과 같음. F 1 F dy 1 +L+ 1 F dy n =- 1 F dx 1 +L+ 1 dx y m 1 y n x 1 x m F 2 F dy 1 +L+ 2 F dy n =- 2 F dx 1 +L+ 2 dx y m 1 y n x 1 x m LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL F n F dy 1 +L+ n F dy n =- n F dx 1 +L+ n dx y m 1 y n x 1 x m

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 여기서변수 x 1 만변화한다면 (dx 1 ¹0; dx 2 =L=dx m =0), 그리고양변을 dx 1 으로나누면다음과같음. F 1 y F +L+ 1 F =- 1 1 y n y 1 x 1 y n x 1 x 1 F 2 y F +L+ 2 F =- 2 1 y n y 1 x 1 y n x 1 x 1 LLLLLLLLLLLLL F n y F +L+ n F =- n 1 y n y 1 x 1 y n x 1 x 1

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 여기서는변수 x 1 만변수 y 1, y 2, L, y n 에영향을미치는 것이므로미분몫은모두편도함수로바뀌어야함. 이를행렬로나타내면다음과같음. F 1 F 1 F L 1 y F - 1 1 y 1 y 2 y n x 1 x 1 F 2 F 2 F F L 2 y = - 2 2 y 1 y 2 y n x 1 x 1 LLLLLLLL L L F n F n F L n y F - n n y 1 y 2 y n x 1 x 1

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 앞에서의식을행렬과벡터로규정하면연립방정식의 표현은 Jx=d 로간단히표현할수있음. - 여기서계수행렬의행렬식은음함수정리의조건에서 0 이아니라고했던것은야코비행렬식 J 이며 비동차방정식체계이므로유일한해가존재함.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 이해는크래머의공식 (Cramer s rule) 을이용하여 다음과같이나타낼수있음. y j J = j (j=1, 2,L, n) x 1 J - 이과정을적절히조정하면그음함수의다른변수, 즉 x 2,L, x m 들의변화에대한편도함수들도구할수있음.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 예 1 : 세개의방정식이다음과같음. xy-w=0 F 1 =(x, y, w; z)=0 (z 는외생변수임.) y-w 3-3z=0 F 2 =(x, y, w; z)=0 (z 는외생변수임.) w 3 +z 3-2zw=0 F 3 =(x, y, w; z)=0 (z 는외생변수임.) - 위식은점 P 에서성립함. 즉, (x, y, w; z)=(1/4, 4, 1, 1) - 야코비행렬식 J 가점 P 에서 0 이아니면음함수정리를 이용하여비교정태도함수 x/ z 를구할수있음.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 이도함수를구하기위해방정식체계를전미분하면 ydx+xdy-dw=0 dy-3w 2 dw-3dz=0 [ ydx+xdy-dw=0] [ dy-3w 2 dw=3dz] (3w 2-2z)dw+(3z 2-2w)dz=0 [ (3w 2-2z)dw=(2w-3z 2 )dz] - 외생변수의미분항을우변으로이항, 행렬로나타내면 y x -1 0 1-3w 2 0 0 (3w 2-2z) dx dy dw 0 = 3 dz (2w-3z 2 )

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 여기서좌변의계수행렬야코비행렬식은다음과같음. F 1 x F 1 y F 1 w y x -1 J = F 2 x F 2 y F 2 w = 0 1-3w 2 =y(3w 2-2z) F 3 x F 3 y F 3 w 0 0 (3w 2-2z) 점 P 에서야코비행렬식의값은 J =4(¹0) 임. - 따라서음함수정리를적용하면다음과같음. y x -1 x/ z 0 0 1-3w 2 y/ z = 3 0 0 (3w 2-2z) w/ z (2w-3z 2 )

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 이제크래머의공식을적용하면다음과같은 x/ z 를 구할수있음. 0 x -1 3 1-3w 2 x (2w-3z = ) 0 (3w 2-2z) z = J 1/4-1 0 1 =0+(-3) +(-1) 4-3 -1 1 = + =- 16 16 4 1/4-1 1-3 4 0 1/4-1 3 1-3 -1 0 1 4

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 예 2 : 국민소득모형이다음과같음. Y-C-I 0 -G 0 =0 C-α-β(Y-T)=0 T-γ-δY=0 - 여기서내생변수 (Y, C, T) 를 (y 1, y 2, y 3 ), 외생변수와 파라미터 (I 0, G 0, α, β, γ, δ) 를 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) 라 하면각방정식의좌변은 F j (Y, C, T; I 0, G 0, α, β, γ, δ) 형태로 n=3 이고, m=6 인경우가됨.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 야코비행렬식 ( 내생변수의도함수들로만이루어진 행렬식 ) 은다음과같음. F 1 / Y F 1 / C F 1 / T 1-1 0 J = F 2 / Y F 2 / C F 2 / T = -β 1 β =1-β+βδ¹0 F 3 / Y F 3 / C F 3 / T -δ 0 1 - 따라서내생변수들의균형값을다음같이외생변수들과파라미터들로이루어진음함수를나타낼수있음.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 즉, Y*=f 1 (I 0, G 0, α, β, γ, δ) C*=f 2 (I 0, G 0, α, β, γ, δ) T*=f 3 (I 0, G 0, α, β, γ, δ) - 이제 G 0 를제외한모든외생변수와파라미터는고정. 그러면다음과같은방정식을얻음. 1-1 0 -β 1 β -δ 0 1 Y*/ G 0 C*/ G 0 T*/ G 0 = 1 0 0

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 연립방정식으로의확장 (extension to the simultaneous-equation) - 크래머의공식을적용하면다음과같은 Y*/ G 0 를 구할수있음. Y* G 0 1-1 0 0 1 β 0 0 1 1 = = [ 정부지출승수 ] J 1-β+βδ

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 분석절차의요약 (summary the procedure) ⑴ 연립방정식을구성하고있는각균형방정식에대해 전미분실시 ⑵ 내생변수에대한전미분은등호좌변, 외생변수에 대한전미분은우변에놓음. ⑶ 내생변수로구성된편도함수를행렬 (matrix) 로나타 내고, 야코비행렬식 (Jacobian determinant) 을구함. 여기서 J ¹0 이면함수적으로독립이므로비교정태 분석이가능하고, 유일한해가존재함.

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 분석절차의요약 (summary the procedure) ⑷ 특정외생변수의변화가내생변수에미치는효과를 보기위해다른외생변수들은상수로가정하고 ( 미분 을 0 으로놓고 ), 특정변수의미분 ( 이를테면 dx i ) 으로 등호양변에있는미분을나눔. ⑸ 크래머의공식 (Cramer s rule) 을이용하여외생변수가 내생변수에미치는효과를도출함. 외생변수가내생 변수에미치는효과는다음과같이구함. y j J = j (i, j=1, 2, L, n) x i J

u 음함수의도함수 (derivatives of implicit function) è 비교정태분석에의적용 - 비교정태분석 (comparative static analysis) 은최초의 균형상태에서외생변수또는파라미터가변할때 새로운균형상태의변화방향을분석 - 비교정태분석의기본수단은도함수가기본이며, 연립방정식체계에서야코비행렬식, 크래머법칙을 이용하여쉽게분석가능 - 음함수의경우도음함수정리에서요구되는조건들이 충족되면도함수가도출되어비교정태분석이가능

u 비교정태분석의한계 è 비교정태분석은본질적으로원래의균형에서새로운 균형으로가는조정과정과그조정과정에필요한 시간요소를무시함. è 결과적으로비교정태분석은모형에내재하는불안정성 으로인해새로운균형이달성될수없을수도있는데 이를무시함. è 조정과정그자체에대한연구는동태분석 (dynamic analysis) 의영역에속함.