180-196 통계청 통계분석연구 2001 년가을 ( 제 6 권제 2 호 ) 비중심위사르트분포의왜도 ( 歪度 ) 에 관한연구 강철 * 박상돈 ** 비중심 (non-central) χ 2 -분포의다변량버전 (version) 인비중심위사르트 (non-central Wishart) 분포는다변량통계분포에서중요한역할은한다. 이논문에서는이러한비중심위사르트분포의중요한특성인왜도 ( 歪度 ) 의완전한공식을계산해주었다. < 차례 > Ⅰ. 서론 Ⅱ. 용어와몇가지알려진성질들 Ⅲ. 행렬의이차형의성질과위사르트분포 Ⅳ. 비중심위사르트분포의왜도 * 국립한경대학교컴퓨터정보수리학과조교수 ** 국립한경대학교컴퓨터정보수리학과부교수 *** 본연구는한경대학교 1999 년도학술연구조성비의지원에의한것임
비중심위사르트분포의왜도 ( 歪度 ) 에관한연구 181 I. 서론 양반정치행렬 (positive semidefinite matrices) Σ와 Φ와각각 (p p), (n n) 크기를가질때, (p n) 확률행렬 (random matrix) Y가다변량정규분포 N p, n (M, Σ, Φ ) 을따른다고하자. 이때 Y의평균행렬은 E(Y )=M 이고 Y의벡터화 (vectorizing), vecy의분산-공분산행렬 (variance-covariance matrix) 은 Cov ( vecy, vecy )=Φ Σ 이된다. 여기에서등장하는기호 vec 와 는 Ⅱ장에서자세히설명하기로하자. 한편, 이후이논문에서언급되는확률행렬 Y는 Φ = I n ( (n n) 단위행렬 ) 인경우를의미하며이때, 확률행렬 YY ' 가, 자유도 (degree of freedom) 가 n이고척도행렬 (scale matrix) Σ를가지는비중심위사르트분포를따른다고한다. 특히, Y의평균행렬 M이영행렬 (zero matrix) 인경우에는확률행렬 YY' 가위사르트 (Wishart) 분포를따른다고하고이때는 XX' 라고하자. 즉, Y N p, n (M, Σ, Φ ) (M 0) 이고 X N p, n (0, Σ, Φ ) 이다. 이제확률행렬 Y와 X에관련된연구과정의역사를살펴보자. Von Rosen(1988) 은행렬의이차형 (matrix quadratic form) XAX ' 의 2차적률 (moment) 을이용하여확률행렬의임의의고차적률 (higher moment) 을계산하였다. 여기에서 A는임의의 (n n) 상수행렬 (non-random matrix) 이다. 그리고 Neudecker와 Wansbeek(1987) 는첫째 E(XAX'CXBX' ), 둘째 Cov ( vecxax ',vecxax' ), 셋째 E(X X X X ) 와같은세가지주요결과를계산하였다. 또한, Tracy 와 Sultan(1993) 은교환행렬 (commutation matrix) 와 Kronecker 곱 (product) 의성질과 X의 6차적률을이용하여 XAX' 의 3차적률을유도하였다. 이후 Kang과 Kim(1996-a) 은행렬의이차형 XAX' 의임의의고차적률과위사르트분포의첨도 ( 尖度 ) 를구하였다. 또, Kang과 Kim(1996-b) 은비중심위사르트분포의임의의고차적률의벡터화
182 통계분석연구 2001년가을 ( 제6권제2호 ) (vectorizing) 를해결하였다. 이논문의 2장에서는교환행렬, Kronecker 곱, vec-operator 등의정의와이와관련한몇가지기본적인사실들을정리하였고, 3장에서는위사르트분포와그의적률과관련한사실들을서술하였다. 이는, 4장에서언급될이논문의주요결과를돌출하기위한전제작업이기도하다. 마지막으로, 4장에서는이논문의주요결과인비중심위사르트분포의왜도의완전한형태 ( 벡터화형태가아닌 ) 와이와관련된몇가지사실들을나열하였다. II. 용어와몇가지알려진성질들 이장에서눈다변량통계에서자주등장하는교환행렬, Kronecker 곱, vec-operator의정의를살펴보고이들과관련된여러가지밝혀진성질들을고찰하고자한다. Definition 2. 1 (m n) 행렬 A =(a ij ) 와 (p q) 행렬 B =(b ij ) 에대 하여두행렬 A, B 의 Kronecker 곱 A B 은아래와같이정의한다. 그 리고이행렬 A B 의크기는 ( mp nq) 이다. A B = a 11 B a 12 B a 1n B a 21 B a 22 B a 2n B a m1 B a m2 B a m3 B a mn B. Definition 2. 2 (p n) 행렬 A 에대하여, a i 가 p- 벡터일때 A =[a 1, a 2,, a n ] 라고하면 A 의벡터화 vec A 는다음과같이정의 한다. 그리고이벡터의크기는 ( pn 1) 이다.
비중심위사르트분포의왜도 ( 歪度 ) 에관한연구 183 vec A =[a 1 ', a 2 ',, a n ']' Definition 2. 3 교환행렬 I m, n 는크기가 (mn mn) 이고, (m n) 행렬 들의 mn 개의블록 (block) 으로구성되어진다. 또한 ( ij ) 번째블록으로구 성되어진 (m n) 행렬의원소는 (ji) 번째원소만 1 이고나머지원소는 모두 0이다. 그리고 I m, n 는때때로 I m, n = n i =1 m ( H ij H ij ' ) 와같이 j =1 표시되기도한다. 이때, H ij 는 (ij) 번째원소는 1이고나머지원소는모 두 0 인 n m 행렬이다. 예를들면 I 3, 2 = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 이다. 위에서정의한 3가지개념과관련한몇가지중요한성질들을살펴보자. P1. I m 가 ( m m ) 항등행렬 (identity matrix) 일때, I m I n = I mn 이다. P2. I -1 m, n = I ' m, n = I n, m. P3. ( I n I n, n I n )(I n I n I n, n )(I n I n, n I n ) =(I n I n I n, n )(I n I n, n I n )(I n I n I n, n ). P4. (m n ) 행렬 A 에대하여 I n, m vec A =veca' 이다. P5. 행렬 A, B 가다음의연산이가능한크기일때, (A B )' = A' B' 이다.
184 통계분석연구 2001년가을 ( 제6권제2호 ) P6. 다음의연산이가능한행렬 A, B, C, D에대하여 (A+B ) (C+D )=(A B )+(A D )+(B C )+(B D ) 이다. P7. 행렬 A, B가다음의연산이가능한크기일때, vec'a' vec B =tr(ab) 이다. tr 는대각행렬 의대각원소들의합을의미한다. P8. (m n ) 행렬 A와 (p q ) 행렬 B에대하여 vec (A B )=(I n I m, q I p )(veca vecb) 이다. P9. 적당한크기의행렬 A, B, C에대하여 vec (ACB )=(B' A)vecC이다. P10. 적당한크기의행렬 A, B, C, D에대하여 (AB ) (CD )=(A C)(B D ) 이다. P11. (m n ) 행렬 A와 ( p q ) 행렬 B에대하여 I m,p (A B )=(B A ) I n, q 이고 I m,p (A B ) I q, n = B A이다. P12. (m n ) 행렬 A, ( p q ) 행렬 B와 (r s ) 행렬 C에대하여 A B C = I r, mp (C A B ) I qn, s = I pr, s ( B C A ) I n, sq 이다. P13. (m n ) 행렬 A, ( p q ) 행렬 B와 (r s ) 행렬 C에대하여 vec(a B C ) =(I n I m, qs I pr )(I mnq I p, s I r )(veca vecb vecc ) 이다. P1부터 P13까지의자세한증명은 Magnus와 Neudecker(1979), Neudecker와 Wansbeek(1983) 그리고 Tracy와 Sultan(1993) 의논문을참조하면된다. 그리고 Neudecker와 Wansbeek(1983) 의문에서언급된고차의교환행렬과관련한성질을살펴보면 P14와같다.
비중심위사르트분포의왜도 ( 歪度 ) 에관한연구 185 P14. I xy, z =(I x, z I y )(I x I y, z )= (I y, z I x )(I y I x, z ), I x, yz =(I y I x, z )(I x, y I z )= (I z I x, y )(I x, z I y ). I p, p 2 I p, p 2 = I, p 2, p I p, p 2 I p, p 2 = I. p 2, p P15. Von Rosen(1988) 에의하면확률행렬 X N p, n (0, Σ,Φ ) 에대하여 X 의임의의 N 차적률은 E ( r X ) = r 이다. i=2 P(p, i, r ) ( vec Σ vec 'Φ E( r -2 X ))P(n, i, r ) ' 위에서 r 2, E ( 0 X ) =1, P ( a, b, c) =[(I a b -2, a I a )I a 2, a b -2] I a c - b 이다. III. 행렬의이차형의성질과위사르트분포 본 III장에서는행렬의이차형인 XAX' 과위사르트분포의적률에관한연구과정을살펴보고그것에관련된여러가지기호와결과들을간략히살펴본다. Notation. P k, l ; m = I p k, p l I p m, N k, l ; m = I n k, n l I n m P k ; l, m = I p k I p l, p m, N k ; l, m = I n k I n l, n m. Von Resen(1988) 은, 행렬의이차형 XAX' 의 2차적률의연구결과를이용하여확률행렬 X의임의의고차적률을처음계산하였다. 그한해전에 Neudecker와 Wansbeek(1987) 은행렬의이차형 YAY' 의 2차적률을계산한바가있다. 이제 Tracy와 Sultan(1993) 에의해연구되어진 XAX' 와위사르트분포의 3차적률에대하여살펴보도록하자. Tracy와
186 통계분석연구 2001년가을 ( 제6권제2호 ) Sultan(1993) 은 X N p, n (0, Σ, Φ ) 일때, XAX' XBX' XCX' 의벡 터화된기대값을다음과같이구하였다. vec E(XAX ' XBX' 'XCX' ) =(P 1;1,2 I p 2 )(P 3;1,1 I p )E( 6 X )(veca vec B vec C ). 이것을풀어서완전한형태로정리하면아래와같이전개된다. E(XAX ' XBX' XCX' )= tr(φa )tr(φb)tr(φc)( 3 Σ )+tr(φa'φb )tr(φc)v +tr(φbφa )tr(φc)q( 3 Σ ) +tr(φc'φbφa )QPVP +tr(φcφbφa )PQ ( 3 Σ )+tr(φc'φb )tr(φa)qpvpq +tr(φb'φcφa )QPV +tr(φbφcφa )QP ( 3 Σ ) +tr(φc'φbφa )VP +tr(φcφbφa )VPQ +tr(φbφc )tr(φ A )P ( 3 Σ )+tr(φa'φcφb)pv +tr(φbφc'φa )PVPQ +tr(φc'φa )tr(φb)pvp +tr(φc'φa )tr(φb)qpq ( 3 Σ ) (1) 식 (1) 에서 A, B, C 는임의의 (n n ) 상수행렬이고 V =(vecσ vec'σ ) Σ, P = P 1;1,1 = I p I p, p, Q = P 1, 1 ;1 = I p, p I p 이다. 또한, 그러므로 I 2 p, p = PQ이고 I = QP p 이다. 2, p 식 (1) 에서 A=B=C=I n 을대입하고 P15 를이용하면위사르트분포 의 3 차적률 E ( 3 XX') 은다음과같이전개된다. tr(i n )tr(i n )tr(i n )( 3 Σ )+ tr(i n )tr(i n )V +tr(i n )tr(i n ) Q ( 3 Σ ) +tr(i n )QPVP +tr(i n ) PQ( 3 Σ )+ tr(i n )tr(i n )QPVPQ +tr(i n )QPV
비중심위사르트분포의왜도 ( 歪度 ) 에관한연구 187 +tr(i n )QP( 3 Σ )+ tr(i n )VP +tr(i n )VPQ +tr(i n )tr(i n ) P ( 3 Σ ) +tr(i n )PV +tr(i n )PVPQ +tr(i n )tr(i n )PVP +tr(i n )tr(i n )QPQ( 3 Σ ) 그리고 tr(i n )=n 임을이용하면아래와같이정리될수있다. E ( 3 XX') = n [(P + QP )V +(I p 3 + QP )VP +(I p 3 + P )VPQ +(PQ + QP )( 3 Σ )] + n 2 [V + PVP + QPVPQ +(P + Q + QPQ )( 3 Σ )]+n 3 ( 3 Σ ) (2) Ⅳ. 비중심위사르트분포의왜도 이제우리는 Kronecker 곱과 vec-operator의몇가지성질과 III 장에서언급한사실들을이용하여비중심위사르트분포의 3차적률과왜도의완전한형태를구하고자한다. 우선이작업을원활히시작하기위하여 I 장에서언급한 X와 Y에대하여 S X = XX', S Y = YY ' 라고하자. 그러면 S X 와 S Y 는각각위사르트분포와비중심위사르트분포를따른다. 또한, S X 와 S Y 는 S Y = S X + XM ' + MX' + MM' 인관계가있다. 이제우리가원하는결과를유도하기위하여몇개의 Lemma를증명해보자. Lemma 4. 1 확률행렬 Y 가 Y N p, n ( M, Σ, I n ) 이면 S Y 의기대값 은 E(S Y )=n Σ + MM ' 이다. Proof. 참고문헌 (6) Mardia, Kent, Bibby(1979) 를참조하여라. 그러므로비중심위사르트분포의평균은 n Σ + MM ' 이된다.
188 통계분석연구 2001년가을 ( 제6권제2호 ) Lemma 4. 2 확률행렬 Y가 Y N p, n (M, Σ, I n ) 이고 U =vec Σ vec'i n 이면비중심위사르트 ( 분포의 2차적률은 E( 2 S Y )=n( vec Σ vec' Σ )+U(M M )' +(M M ) U'+( 2 MM' ) + n 2 ( 2 Σ )+ni p, p ( 2 Σ ) 이된다. Proof. 참고문헌 (1) Kang(1996) 을참조하여라. Theorem 4. 3 확률행렬 Y가 Y N p, n (M, Σ, I n ) 이고 V =(vec Σ vec'σ ) Σ, P = I p I p, p, Q = I p, p I p 이면비중심위사르트분포의 3차적률은 E( 3 S Y )= n [ (P + QP ) V +(I p 3 + QP ) VP+(I p 3 + P ) VPQ+(PQ + QP )( 3 Σ ) ] + n 2 [V + PVP + QPVPQ +(P+Q+QPQ )( 3 Σ ) ] + n 3 ( 3 Σ )+( 3 MM ' ) 이된다. Proof. 먼저 S Y = S X +XM '+MX'+MM ' 이므로 같이전개된다. E( 3 S Y ) 은아래와 E( 3 S Y ) =E[ 3 (S X +XM '+MX'+MM ')] =E( 3 S X )+E [ 3 (XM ')]+E [ 3 (MX')]+E [ 3 (MM ')] (3) 이제식 (3) 의각네부분을각각정리해보기로한다. Part 1 : 식 (2) 에의하여 E( 3 S X ) 은쉽게구할수있다. Part 2 : E[ 3 (XM ')] = E[ ( 3 X )( 3 M )] = [ E( 3 X )]( 3 M') 이고
비중심위사르트분포의왜도 ( 歪度 ) 에관한연구 189 P15 에의하여 E( 3 X )=0 (0 행렬 ) 이므로두번째항 E[ 3 (XM ')] 은 0 행렬이된다. Part 3 : Part 2 와유사한이유로세번째항 E[ 3 (MX ')] 도 0 행렬이된다. Part 4 : 3 MM' 이상수행렬이므로 E( 3 MM') = 3 MM' 이된다. 위의네가지부분의계산으로이정리의증명은마무리된다. 이제이논문의최종목표인비중심위사르트분포의왜도의완전한식을구해보자. 이를위하여비중심위사르트분포의왜도인 E[ 3 (S Y -ES Y )] 을구성하는요소를따로따로구해보자. 앞으로혼돈의여지가없다면 E(S Y ) 을 E S Y 로표기하기로하자. 그리고 3 (S Y -ES Y ) 은아래와같이전개된다. 3 (S Y -ES Y ) =( 3 S Y )-(S Y S Y ES Y )-(S Y ES Y S Y ) +(S Y ES Y ES Y )-( ES Y S Y S Y ) +(ES Y S Y ES Y )+( ES Y ES Y S Y )-( 3 ES Y ). 그러므로 E[ 3 (S Y -ES Y )] =E( 3 S Y )- E(S Y S Y ES Y )-E(S Y ES Y S Y ) +E(S Y ES Y ES Y )- E( ES Y S Y S Y ) +E(ES Y S Y ES Y )+ E(ES Y ES Y S Y )- E( 3 ES Y )
190 통계분석연구 2001년가을 ( 제6권제2호 ) 이된다. 또, E S Y 는상수행렬 (constant matrix) 이므로 E(S Y ES Y ES Y )= 3 ES Y, E( ES Y ES Y S Y )= 3 E S Y, E( ES Y S Y ES Y )= 3 E S Y 이되어 E[ 3 (S Y -ES Y )] =E( 3 S Y )- E(S Y S Y ES Y )-E(S Y ES Y S Y ) -E(ES Y S Y S Y )+2( 3 E S Y ) 으로정리된다. 이식의완전한전개를위하여다섯개의항을각각유도해보자. 우선첫번째항 E( 3 S Y ) 은 Theorem 4. 3에서증명하였고나머지네개의항을해결하면된다. Lemma 4. 4 V = ( vec Σ vec'σ ) Σ 이고 U =vec Σ vec'i n 일때, E(S Y S Y ES Y ) 은아래와같다. E(S Y S Y ES Y ) = n 2 V + n (vecσ vec'σ ) (MM' )+n[u (M M )'] Σ +(U M )( 3 M )'+n [(M M )U'] Σ +( 3 M )(U M )' + n (MM ' MM' Σ )+( 3 MM' )+n 3 ( 3 Σ ) + n 2 (Σ Σ MM' )+n 3 (I p, p I p )( 3 Σ )+n(i p, p I p )(Σ Σ MM'). Proof. ES Y 이상수행렬이므로 E(S Y S Y ES Y )= E( 2 S Y ) ES Y 이다. 또한 Lemma 4. 2의결과 E( 2 S Y )=n( vec Σ vec'σ )+U(M M )' +(M M )U'+( 2 MM' ) + n 2 ( 2 Σ )+ni p, p ( 2 Σ ) 과 Lemma 4. 1의결과를이용하면 E(S Y S Y ES Y ) 은다음과같이전개된다. 즉, E(S Y S Y ES Y )
비중심위사르트분포의왜도 ( 歪度 ) 에관한연구 191 =[n (vec Σ vec'σ )+U(M M )' +(M M )U'](n Σ + MM ') 이된다. 이제이를일일이정리하고 II 장에서의성질들을이용하면위와같은결과가유도된다. Lemma 4. 5 V = ( vec Σ vec'σ ) Σ 이고 U =vec Σ vec'i n 일때, E(S Y ES Y S Y ) 은아래와같다. E(S Y ES Y S Y ) =(I p I p, p ) V (I p I p, p )+(MM ') (vecσ vec ' Σ )+Σ [U (M M )'] + I p, p 2(U M )( 3 M ) 'I p 2, p + Σ (M M ) U' + I p, p 2( 3 M )(U M )'I +( p Σ 2, p MM ' MM' )+( 3 MM ' )+( 3 Σ ) +(Σ MM ' Σ )+(I p I p, p )( 3 Σ )+(Σ Σ MM' )(I p I p, p ). Proof. II 장의성질 P12 를이용하면 S Y ES Y S Y = I p, p 2( S Y S Y ES Y ) I p 2, p 이므로 E(S Y ES Y S Y )=I p, p 2 E( S Y S Y ES Y ) I p 이다. 그리고 2, p I p, p 2 =(I p I p, p )(I p, p I p ) 과 I p 2, p =(I p, p I p )(I p I p, p ), Lemma 4. 4 을이용하여정리하면 Lemma 4. 5 의증명은끝이난다. Lemma 4. 6 U =vec Σ vec'i n 일때, E( ES Y S Y S Y ) 은아래와 같다. E( ES Y S Y S Y ) = nσ ( vecσ vec'σ )+Σ [U (M M )']+Σ [ (M M )U'] +(Σ MM' MM' )+( 3 Σ )+(I p I p, p )( 3 Σ ) + n (MM ') (vecσ vec 'Σ )+(M U )( 3 M )' +( 3 M )(M U )'
192 통계분석연구 2001년가을 ( 제6권제2호 ) +( 3 MM' )+(MM ' Σ Σ )+(I p I p, p )(MM' Σ Σ ). Proof. ES Y 이상수행렬이므로 E( ES Y S Y S Y )= ES Y E( 2 S Y ) 이다. 그리고 E(S Y )=nσ + MM ', E( 2 S Y )=n( vec Σ vec'σ )+U(M M )' +(M M )U'+( 2 MM' ) + n 2 ( 2 Σ )+ni p, p ( 2 Σ ) 이므로 Lemma 4. 4와유사하게위의식으로정리될수있다. Lemma 4. 7 3 (ES Y ) 은아래와같다. 3 (ES Y )=n 3 ( 3 Σ )+n 2 (Σ Σ MM')+n 2 (Σ MM' Σ ) + n ( Σ MM' MM' )+n 2 ( MM' Σ Σ ) + n (MM ' Σ MM')+n (MM ' MM' Σ )+( 3 MM'). Proof. E(S Y )=n Σ + MM ' 이므로 3 (ES Y )=(n Σ + MM ') (n Σ + MM ') (n Σ + MM') 이다. 그리고이 식을정리하면쉽게정리된다. 이제위의 Lemma들의결과를이용하여비중심위사르트분포의왜도를구해보자. Theorem 4. 8 비중심위사르트분포의왜도 E[ 3 (S Y -ES Y )] 는 다음과같다. Proof. E[ 3 (S Y -ES Y )] =E( 3 S Y )- E(S Y S Y ES Y )- E(S Y ES Y S Y )
비중심위사르트분포의왜도 ( 歪度 ) 에관한연구 193 -E(ES Y S Y S Y )+2( 3 E S Y ) 이고각각의 다섯개항이 Theorem 4. 3과 Lemma 4. 4 ~ Lemma 4. 7에제시되어있으므로이를정리해보자. E[ 3 (S Y -ES Y )]= n [ (P + QP ) V +(I p 3 + QP ) VP+(I p 3 + P ) VPQ+(PQ + QP )( 3 Σ ) ] + n 2 [V + PVP + QPVPQ +(P+Q+QPQ )( 3 Σ ) ] + n 3 ( 3 Σ )+( 3 MM ' ) - n 2 V - n (vecσ vec'σ ) (MM' )-n[u (M M )'] Σ -(U M )( 3 M )'-n [(M M )U'] Σ -( 3 M )(U M )' - n (MM ' MM' Σ )-( 3 MM' )-n 3 ( 3 Σ ) -n 2 (Σ Σ MM ' )-n 3 (I p, p I p )( 3 Σ )-n (I p, p I p )(Σ Σ MM ') -(I p I p, p ) V (I p I p, p )-(MM ') (vecσ vec ' Σ )-Σ [U (M M )'] - I p, p 2(U M )( 3 M ) 'I p 2, p - Σ (M M ) U' - I p, p 2( 3 M )(U M )'I -( p Σ 2, p MM ' MM' )-( 3 MM ' )+( 3 Σ ) -(Σ MM ' Σ )-(I p I p, p )( 3 Σ )-(Σ Σ MM' )(I p I p, p ) - nσ ( vecσ vec'σ )-Σ [U (M M )']-Σ [ (M M )U'] -(Σ MM' MM' )-( 3 Σ )-(I p I p, p )( 3 Σ ) - n (MM ') (vecσ vec 'Σ )-(M U )( 3 M )' -( 3 M )(M U )' -( 3 MM' )-(MM ' Σ Σ )-(I p I p, p )(MM' Σ Σ ) +2 n 3 ( 3 Σ )+2n 2 (Σ Σ MM')+2n 2 (Σ MM' Σ ) +2 n ( Σ MM' MM' )+2n 2 ( MM' Σ Σ ) +2n (MM ' Σ MM')+2n (MM ' MM' Σ )+2( 3 MM'). 이제 II 장의성질 P5, P6, P10, P11, P12 을이용하고같은항끼리묶으
194 통계분석연구 2001년가을 ( 제6권제2호 ) 면다음과같이정리된다. E[ 3 (S Y -ES Y )] = ( ni p I p, p + ni )V + nv ( I p 2, p p I p, p + I 2 p, p )+ni V ( I p 2, p p I p, p ) + n( n -1) (I p I p, p ) VI p, p 2+n(n-1) I p 2, p VI 2+P p, p ( n) ( 3 Σ ) -n(vecσ vec'σ ) (MM ')-[U(M M )'+(M M )U'] (nσ+mm') +n (MM ' MM ' Σ )+[n 2 I p 3-n(I p, p I p )+(I p I p, p )](Σ Σ MM') -(n+1)(mm ' ) (vecσ vec'σ )-2 Σ [U (M M )'+(M M )U'] -I 2 p, p [{U(M M )'+(M M )U'} (MM ')]I p 2, p +2(n-1)(Σ MM' MM' )+(2n 2-1)(Σ MM' Σ ) -(MM ')[U (M M )'+(M M )U']+2n(MM ' Σ MM' ) +[(2n 2-1)I p 3-(I p I p, p )](MM ' Σ Σ ). 이때, P ( n)=ni p, p 2 + ni p 2, p + n( n -2)(I p I p, p )+n 2 (1-n)(I p, p I p ) + n 2 ( I p, p I p )I p, p 2 +2(n 3-1)I p 3 이다. 이로써비중심위사르트분포의왜도 를구하였다. E[ 3 (S Y -ES Y )] 의완전한형태
비중심위사르트분포의왜도 ( 歪度 ) 에관한연구 195 참고문헌 (1) Kang, C. (1996), Higher Moments of Matrix Quadratic Form, Ph. D. Thesis, Korea Advanced Institute of Science and Technology, Department of Mathematics. (2) Kang, C. and Kim, B. C. (1996a), The N-th Moment of Matrix Quadratic Form, Statistics and Probability Letters, Vol. 28, 291-297. (3) Kang, C. and Kim, B. C. (1996b), The General Moment of Non-central Wishart Distribution, Journal of the Korean Statistical Society, Vol. 25, 393-406. (4) Kang, C. and Park, J. T. (1998), Some Results of Non-central Wishart Distribution, The Communications in Statistics, Vol. 5, No. 2, 531-538. (5) Magnus, J. R. and Neudecker, H. (1979), The Commutation Matrix : Some Properties and Applications, The Annals of Statistics, Vol. 7, 381-394. (6) Mardia, K. V., Kent, J. T. and Bibby, J. M. (1979), Multivariate Analysis, Academic Press. (7) Neudecker, H. and Wansbeek, T. (1987), Fourth-Order Properties of Normally Distributed Random Matrices, Linear Algebra and its Applications, Vol 97, 13-21. (8) Neudecker, H. and Wansbeek, T. (1983), Some Results on Commutation Matrices with Statistical Applications, The Canadian Journal of Statistics, Vol 11, 221-231. (9) Tracy, D. S. and Sultan, S. A. (1993), Third Moment of Matrix Quadratic Form, Statistics and Probability Letters, Vol 16, 71-76. (10) Von Rosen, D. (1988), Moments for Matrix Normal Variables, Statistics, Vol 19, 575-583.
196 통계분석연구 2001년가을 ( 제6권제2호 ) A Study on the Skewness of Non-central Wishart Distribution Chul Kang SangDon Park <Abstract> In general, non-central Wishart distribution play important role in multivariate statistics. Also, the skewness of the distribution is one of the basic properties of the distribution. We have obtained the exact form of the skewness of non-central Wishart distribution.