90 經濟論集第 51 卷第 號 고한다. 이가치평가문제에대한해답을처음제시한사람은 Bachelier(1900) 이다. 그러나그의업적은오랫동안도서관에묻혀져있었고, 이를재조명한것은 1955년 P. amuelson이다. 이역사적사실에대해서는 aqqu(001), Boyle and

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1 89 Black-choles 식의다양한유도 (1) 최병선 이논문의목적은유럽형옵션의공정한가치를나타내는 Black-choles식을유도하는다양한방법들을소개하는것이다. 이서베이논문에서는격자나무와중심극한정리를바탕으로하는이항나무모형법, 포트폴리오와복제를바탕으로하는편미분방정식법, 헤징을이용하는편미분방정식법, 위험의시장가격을이용하는편미분방정식법, 제의금융파생상품을이용하는편미분방정식법, Radon-Nikodym정리를바탕으로하는위험중립가치평가법, Girsanov정리를사용해서위험중립가치평가식의계산을간단히하는마팅게일법, 기준재를치환하는동치마팅게일법, Feynman- Kac정리를사용해서 Black-choles방정식을유도하는방법, Kolmogorov의후향방정식을이용해서 Black-choles방정식을유도하는방법, Kolmogorov의전향방정식을이용해서유럽형콜옵션가치에대한새로운편미분방정식을유도하는방법, 지수형효용함수의기대값을최대화하는방법, 다변량 Girsanov정리를적용해서효용함수에관한기대값을간단히구하는방법, CAPM을이용하는방법, Hamilon-Jacobi- Bellman방정식을사용하는방법, 특성함수를이용하는방법, Plancharel-Parseval등식을사용하는방법, 엔트로피를최대화하는방법, Kullback-Leibler정보수를최소화하는방법, 그리고 LG전략을사용하는방법을적용해서 Black-choles식을유도한다. 이논문에서소개한방법들은 Black-choles식을유도하는데사용될뿐아니라금융공학이론을전개하는데사용되는핵심적인것들이다. 주제어 : Black-choles식, 편미분방정식, 이항나무모형, 위험중립, 마팅게일, 동치측도, Feynman-Kac정리, Kolmogorov방정식, 기준재, 효용함수, CAPM, 복소적분, 최대엔트로피, Kullback-Leibler정보량 1. 서론 대표적인금융파생상품인옵션은오래전부터미래의불확실성에동반되는위험 을헤징하기위한수단으로사용되어왔다. 그러나옵션의합리적가격을결정짓는 적절한이론이없었기때문에, 옵션매매자는경험을바탕으로옵션가격을정했다 (1) 본논문의초교를교정해준고정훈, 김지운, 노정호, 그리고변준석군에게감사의뜻을전한다.

2 90 經濟論集第 51 卷第 號 고한다. 이가치평가문제에대한해답을처음제시한사람은 Bachelier(1900) 이다. 그러나그의업적은오랫동안도서관에묻혀져있었고, 이를재조명한것은 1955년 P. amuelson이다. 이역사적사실에대해서는 aqqu(001), Boyle and Boyle(001) 그리고 Moore and Juh(006) 를참조하라. 그후로도옵션의가치평가문제는오랫동안풀기어려운문제로알려져왔으며, 1900년대말에들어와서 Black and choles(1973) 가이문제에대한해답을제시하였다. 그들이확률미적분에서다루는 Io-Doeblin보조정리를적용해서, 오늘날우리가 Black-choles식이라부르는옵션의가치평가식을발견한것은 1969년말이다. 그러나이논문은저명한 개의학술잡지들에서게재를거절당했다고한다. Derman(004) 에의하면, F. Black과 M. choles 는 Chicago대학의 M. Miller 교수에게부탁해서 1973년 Journal of Poliical Economy 에게재허락을받았다고한다. 같은해에시카고옵션거래소 (CBOE: Chicago Board Opions Exchange) 가개설되어주가나주가지수를원자산으로하는옵션이활발하게거래되기시작하였고, 이후옵션시장은눈부시게발전하였다. 만약 Black-choles식이없었다면, 이러한옵션시장의발전은없었을것이다. Meron(1973) 은헤징이나자기금융조건 (self-financing condiion) 과같은새로운재무적개념을도입해서 Black- choles식을설명하였고, 또한 Black-choles식을일반화시켜다른금융상품의가치평가에응용하였다. 그래서 Black-choles식을 Black-choles-Meron식이라부르기도한다. 금융파생상품의가치평가이론에관한업적으로 M. choles와 R. Meron은 1997년도노벨경제학상을수상하였다. 불행하게도 F. Black은암에걸려그보다 년전인 1995년 55세의나이로이세상을떠났다. Black and choles(1973) 그리고 Meron(1973) 이후금융파생상품의합리적가치를평가하는연구가활발히진행되고이를바탕으로금융위기를관리하는이론이발전됨으로써, 금융공학이라는새로운학문분야가꽃을피우게되었다. 다양한학문분야에서종사하던인재들이금융공학을연구하게됨으로써, 금융공학은다른어떤실용학문분야에못지않게폭이넓고깊이가깊게되었다. 가장대표적인결과가 Black-choles식을유도하는다양한방법들이제시되었다는것이다. 예를들어, Black-choles식을유도하는가장간단한방법이라고할수있는이항나무모형법, 편미분방정식을사용하는방법, 마팅게일을사용하는방법, Kolmogorov방정식이나 Feynman-Kac정리와같은편미분방정식과기대값사이의관계를이용하는방법, 효용함수나 CAPM을사용한균형이론적접근법, 특성함수나복소적분을이용하

3 Black-choles 식의다양한유도 91 는방법, 엔트로피나 Kullback-Leibler정보량등정보이론을바탕으로하는방법, 자기금융조건을부과하지않는 LG전략에의한방법, 그리고표준적미적분이아닌비표준적해석 (NA: nonsandard analysis) 을이용하는방법등이있다. Andreasen, Jensen, and Poulsen(1998) 은이중에서여덟가지방법을소개하였다. 본논문의목적은 Black-choles식을유도하는더많은방법들을조사하고정리함으로써금융공학에나타나는다양한기법들을소개하는데있다.. Black-choles 식 본논문에서우리가고찰하는시장모형은배당이없는주식, 이주식의주가를원자산으로하는유럽형콜옵션과유럽형풋옵션, 그리고무위험채권으로구성되어있다. 이시장모형은다음과같은조건들을만족하는완전시장을나타낸다고가정하자. 거래에는세금, 수수료, 매수호가와매도호가차이등과같은거래비용이존재하지않으며, 각금융상품을무한하게분할할수있고, 공매 (shor-selling) 에대한제약이없다. 즉, 이시장모형에는마찰이없다. 시점 u에서주가를 u 라하고, { u u 0} 가확률공간 (Ω, Ƒ, P) 에서정의되는증대정보계 (filraion) {Ƒ u u 0} 에적합하며다음확률미분방정식을만족한다고하자. (.1) d u = μ u du + σ u dw u, (u 0) 여기서추세모수 (drif coefficien) μ와변동성 (volailiy) σ는상수들이고, {W u u 0} 는 Brown운동이다. 식 (.1) 을만족하는확률과정 { u } 를기하Brown운동 (GBM: geomeric Brown moion) 이라한다. 이무위험채권의만기시점은 이고연속복리 (coninuously compounded) 로계산되는이자율이상수 r 이라고하자. 이무위험채권의시점 ( ) 에서가격 B(, ) 는다음과같다. (.) B (, ) = e r τ 여기서 τ 이다. 원자산이 u 이고만기시점 에서행사가격이 K 인유럽형콜옵 션과유럽형풋옵션의지불금액함수들 C 와 P 는각각다음과같다.

4 9 經濟論集第 51 卷第 號 (.3) C [ K] + (.4) P [K ] + 여기서 A + max{a, 0} 이다. 지금까지언급된모든조건들을만족하는시장모형을 Black-choles 환경하에있다고한다. 현재시점을 라하고, 각시점 u( [, ]) 에서원자산 α u 단위와무위험채권 β u 단위로포트폴리오를구성하자. 여기서무위험채권 1단위의가치는 1이라하자. 이포트폴리오의시점 u에서가치 V u 는다음과같다. (.5) V u = α u u + β u B(u, ) 만약투자전략 {(α u, β u ) u } 가다음식을만족하면, 이투자전략은자기금융조건을만족한다고한다. (.6) dv u = α u d u + β u db(u, ), ( u < ) 식 (.6) 에서알수있듯이, 자기금융조건을만족하는시장모형에서는각시점에서외부로자금이유출되거나외부로부터새로운자금이유입되지않는다. 자기금융조건하에서다음식이성립함을알수있다. (.7) u dα u + B(u, )dβ u = 0, ( u < ) 만약이포트폴리오의가치과정 {V u u } 가자기금융조건을만족하는동시에다음두조건들중하나를만족하면, 이포트폴리오에는재정기회 (arbirage opporuniy) 가존재한다고한다. (.8) V 0, P(V 0) = 1, P(V > 0) > 0 (.9) V < 0, P(V 0) = 1

5 Black-choles 식의다양한유도 93 어떤경제의균형상태에서는재정기회가존재할수없다. 따라서이시장모형은무재정조건을만족한다고가정하자. Black-choles 환경하에서주가 u 를원자산으로하고만기시점 에서행사가격이 K 인유럽형콜옵션과유럽형풋옵션의시점 에서무재정가치를각각 C 와 P 라고하자. Black and choles(1973) 는다음과같이이무재정가치들의해석해 (closed form soluion) 를제시하였다. 이해석해를 Black-choles식이라부른다. [ 정리.1] Black-choles 식 Black-choles 환경하에서유럽형콜옵션과유럽형풋옵션의무재정가치들 C 와 P 는 각각다음식을만족한다. C = N(d 1 ) Ke r τ N(d ) P = Ke r τ N( d ) N( d 1 ) 여기서 d 1, d 그리고표준정규분포함수 N(x) 는각각다음과같다. 다음식이성립함을쉽게증명할수있다. (.10) K = C P 유럽형옵션들은만기시점 전에권리를행사할수없다. 따라서각시점 u ( [, )) 에서좌변의가치와우변의가치가동일하지않으면, 재정기회가발생한다. 즉, 시점 에서다음식이성립한다.

6 94 經濟論集第 51 卷第 號 (.11) Ke r τ = C P 식 (.11) 을유럽형옵션들의풋콜패리티 (pu call pariy) 라부른다. [ 정리.1] 에서이풋콜패리티가성립함을확인할수있다. 풋콜패리티에대한좀더자세한내용은최병선 (009) 의제.1절을참조하라. 식 (.11) 에서알수있듯이, 유럽형콜옵션의무재정가치 C 를알면, 유럽형풋옵션의무재정가치 P 를알수있다. 따라서이후본논문에서는유럽형콜옵션의무재정가치 C 만을다루기로하자. 유럽형콜옵션의현재시점 에서무재정가치 C 를 [ K] + 와 C [ K] + 로나눌수있다. 이중에서, [ K] + 는시점 에서이유럽형콜옵션이행사되었다고가정하는경우가치로서내재가치 (inrinsic value) 라고한다. 그나머지인 C [ K] + 를시간가치 (ime value) 라고한다. 시간가치는유럽형콜옵션이미래시점에서추가적인이익을창출할가능성을반영한다. [ 정리.1] 의 Black-choles식을약간변형하면, 다른종류의원자산에대한유럽형옵션의무재정가치를구할수있다. Meron(1973) 은중간배당을하는주식의주가를원자산으로하는유럽형옵션의무재정가치를제시하였고, Garman and Kolhagen(1983) 은환율을원자산으로하는유럽형옵션의무재정가치를제시하였으며, Black(1976) 은선물을원자산으로하는유럽형옵션의무재정가치를제시하였다. Black-choles식을유도하기위해서는 Io보조정리라고도불리는 Io-Doeblin보조정리를알아야한다. 다음명제의증명은최병선 (004a) 의제7.6절을참조하라. [ 명제.1] Io-Doeblin 보조정리 함수 F(, ) 가변수 에대해서 C 급이며변수 에대해서 C 1 급이고, 확률과정 { } 가다음확률미분방정식을만족한다고하자. d = μ(, )d + σ(, ) dw, ( 0) 여기서 {W 0} 는표준 Brown 운동이고, μ μ(, ) 와 σ σ(, ) 는각각추세계 수와확산계수이다. 이러한조건하에서, 다음식들이성립한다.

7 Black-choles 식의다양한유도 95 F df d F ( d, ) = σ F d F df(, ) = + 1 σ F + F + F µ d σ dw 여기서각등호는 L 공간에서성립한다. 다음명제들은 Black-choles 식을도출하는데매우유용하다. 이명제들의증명에 대해서도최병선 (004a) 의제 7.6 절을참조하라. [ 명제.] 확률과정 { 0 } 가다음확률미분방정식을만족한다고하자. d = μ d + σ dw, (0 ) 여기서 μ 와 σ 는상수들이고, {W 0} 는 Brown 운동이다. 이러한조건하에서, 다음 식들이성립한다. 1 = W + 0 exp µ σ σ, ( 0 ) d 1 ln ~ N µ σ 0, σ, ( 0 ) [ 명제.3] 상수들 ν 와 σ 그리고 Brown 운동 {W 0 } 에대해서, 확률과정 { = exp(ν + σw ) 0 } 는다음식을만족한다. 1 E ( s) = s exp ν[ s] + σ [ s],( 0 s< ) 3. 이항나무모형 이항나무모형 (binomial ree model) 을사용하면, Black-choles 식을쉽게유도할수 있다. Cox, Ross, and Rubinsein(1979) 이처음으로이항나무모형을사용해서옵션가

8 96 經濟論集第 51 卷第 號 치를평가한것으로알려져있으나, Rendleman and Barer(1979) 도같은해에동일한결과를발표하였다. 그러나그보다훨씬전에 Bachelier(1901) 가이항나무모형을재무이론에적용하였다. Higham(00) 은이항나무모형을사용한옵션의가치평가에대해자세히설명하고있다. 이절에서는이항나무모형을사용해서 Black-choles식을유도하기로하자. 이항나무모형를사용해서금융파생상품의가치를평가하는첫번째단계는원자산의움직임을이항나무로표현하는것이다. 이유럽형콜옵션의만기시점이 이고잔존기간은 τ 이다. 다음상수들을정의하자. (3.1) τ, M k k M k +, ( =01,,, ) 여기서 M 은자연수이다. 제k 기의시작점 k 에서원자산은 k 이다. 소구간 [ k, k +1 ] 에서원자산이상승하면시점 k +1 에서원자산이 k u이고, 원자산이하락하면시점 k +1 에서원자산이 k d 라고하자. 이상수들 u와 d가다음과같은조건을만족한다고가정하자. (3.) u > 1 + rδ > d 또한, 다음과같은재결합조건 (recombining condiion) 이만족된다고가정하자. (3.3) ud = 1 시간구간 [ 0, k ] 에서원자산이상승하는횟수를 j 그리고하락하는횟수를 k j 라고 하면, 시점 k 에서원자산 k, j 는다음과같다. (3.4) k, j 0 u j d k j = 0 d k j = 0 u j k 여기서두번째와세번째등호들은식 (3.3) 에의해서성립한다. 현재시점이 k 라고하고, 원자산이 u 이고만기시점 k +1 에서행사가격이 K k +1 인유 럽형콜옵션의가치평가에대해서생각해보자. 시점 k +1 에서경제상태에따른유럽형

9 Black-choles 식의다양한유도 97 콜옵션가치들을각각 C u k +1 과 C d k +1 이라하면, 다음식들이성립한다. (3.5) C u k +1 = [ k u K k+1 ] +, C d k +1 = [ k d K k+1 ] + 시점 k 에서무위험채권을 θ 1 만큼공매하는동시에원자산 θ 단위를매입하면, 이포 트폴리오 [ θ 1, θ ] 의시점 k 에서가치 V k 는 θ k θ 1 이고, 시점 k +1 에서가치 V k +1 은 경제상태에따라각각다음과같다. (3.6) V u k +1 = θ k u [1 + rδ]θ 1, V d k +1 = θ k d [1 + rδ]θ 1 이포트폴리오 [ θ 1, θ ] 가유럽형콜옵션 1 단위를복제한다고하면, 시점 k +1 에서다 음식들이성립한다. (3.7) C u k +1 = [1 + rδ]θ 1 + θ k u (3.8) C d k +1 = [1 + rδ]θ 1 + θ k d 식 (3.7) 과식 (3.8) 로이루어진연립방정식을풀면, θ 1 과 θ 는각각다음과같다. u d u d C d C u 1 C C 1 k+ 1 k+ 1 k+ 1 k+ 1 (3.9) θ1 = θ = [ u d] [ 1+ r ], [ u d] k 이시장모형이무재정조건을만족하므로, 시점 k 에서도이포트폴리오의가치와유 럽형콜옵션의가치 C k 는같아야한다. 즉, 다음식이성립한다. (3.10) C k = θ k θ 1 식 (3.9) 를식 (3.10) 에대입하면, 다음과같은유럽형콜옵션의가치평가식을얻는다. (3.11) C 1 [ 1+ r ] d u u r = C + [ 1 + ] C 1 + r u d u d d k k+ 1 k+ 1

10 98 經濟論集第 51 卷第 號 다음상수를정의하자. (3.1) r d q [ 1+ ] u d 식 (3.) 에서알수있듯이, q 는구간 (0, 1) 에속한다. 따라서 q 를확률로간주할수 있다. 이 q 에대응하는확률측도를 Q 로표기하자. 식 (3.1) 를식 (3.11) 에대입하면, 다음과같은유럽형콜옵션의가치평가식을얻는다. (3.13) C 1 u d = qc + 1 qc r { [ ] } k k k 가치평가식 (3.13) 을다음과같이쓸수있다. (3.14) C 1 r E Q = C ( ) k k k 식 (3.14) 에서알수있듯이, 원자산의상승확률을 q로해서미래시점 k +1 에서유럽형콜옵션가치의기대값을구한다음, 이기대값을무위험이자율 r로할인한값이현재시점 k 에서무재정가치이다. 시점 k +1 에서경제상태에따른원자산을각각 u k +1 과 d k +1 이라하면, 다음식이성립한다. (3.15) 1 u d = q + 1 q r { [ ] } k k k 식 (3.15) 를다음과같이쓸수있다. (3.16) 1 r E Q = ( ) k k k 식 (3.14) 와식 (3.16) 에알수있듯이, 확률측도 Q하에서유럽형콜옵션의기대수익률과원자산의기대수익률은무위험이자율 r과같다. 따라서 q를위험중립확률 (riskneural probabiliy), 그리고 Q를위험중립확률측도 (risk-neural probabiliy measure) 라고한다. 또한, 이위험중립확률측도 Q하에서계산된기대값을위험중립기대값

11 Black-choles 식의다양한유도 99 (risk-neural expecaion value) 이라부른다. 각 k(= 0, 1,, M 1) 에대해서식 (3.13) 이성립하므로, 만기시점 에서행사가격 이 K 인유럽형콜옵션의현재시점 에서무재정가치 C 는다음과같다. (3.17) C 1 [ 1 r ] M M j= 0 M j M j j M j q [ 1 q] [ u d K] j = + ( ) + 식 (3.17) 을다음과같이쓸수있다. (3.18) C 1 Q + = E ([ K]) [ 1 + r ] M 식 (3.18) 을위험중립가치평가식 (risk-neural pricing formula) 이라부른다. 식 (3.17) 을사용해서유럽형콜옵션의현재시점 에서무재정가치 C 를계산하기위해서는모수들 u, d 와 q 를알아야만한다. 원자산과정 { u } 가기하Brown운동을하므로, [ 명제.] 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. 1 (3.19) ln ~ N µ σ τ, σ τ,( ) 0 식 (3.4) 에서알수있듯이, 각 j(= 0, 1,, M ) 에대해서 M, j = u j d M j 이다. 따라서다음식들이성립한다. M, j (3.0) ln = jln u+ [ M j]ln d = [ j M]ln u 또한, 원자산이 M, j 일확률은 ( M j ) p j [1 p] M j 이다. 확률변수 J 가모수들이 M 과 p인이항확률분포를따른다면, 다음식들이성립한다. (3.1) E(J) = Mp, Var(J ) = Mp[1 p] 식 (3.0) 과식 (3.1) 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다.

12 300 經濟論集第 51 卷第 號 (3.) M, j E ln = M[ p 1]ln u (3.3) M, j Var ln = 4Mp[ 1 p]ln u 여기서아래첨자 는현재시점 까지정보가주어졌다는조건하에서기대값을의미 한다. 식 (3.19), 식 (3.), 그리고식 (3.3) 에서알수있듯이, 다음과같은적률방정 식들이점근적으로성립해야한다. (3.4) M[ p 1]ln u = µ τ (3.5) 4Mp[1 p] ln u = σ τ 식 (3.3), 식 (3.4) 와식 (3.5) 로구성된연립방정식의해가다음과같음을알수있다. r σ σ e d (3.6) u = e, d = e, q = u d [ + r ] d 1 u d 식 (3.17) 에중심극한정리를적용하면, 다음식이성립함을알수있다. (3.7) lim C = N(d 1 ) Ke r τ N(d ), (0 ) M 식 (3.7) 의유도에관한자세한내용은최병선 (007) 의제.1 절을참조하라. 식 (3.7) 의우변은 [ 정리.1] 에기술한유럽형콜옵션의가치평가식인 Black-choles 식 이다. 4. 편미분방정식 4.1. Black-choles 법 Black and choles(1973) 가제시한편미분방정식 (PDE: parial differenial equaion)

13 Black-choles 식의다양한유도 301 을유도하고, 이로부터 Black-choles 식을유도하는방법을살펴보자. 원자산과정 { u } 가다음확률미분방정식을만족한다고하자. (4.1) d u = μ( u, u)du + σ( u, u)dw u, (u 0) 여기서 {W u u 0} 는표준Brown운동이고, μ u μ( u, u ) 와 σ u σ( u, u ) 는각각추세계수와확산계수이다. 확률미분방정식 (4.1) 은확률미분방정식 (.1) 을확장한것이다. 원자산이 u 인금융파생상품의무재정가치 F = F( u, u) 가원자산 u 에대해서 C 급이고또한시점 u에대해서 C 1 급이라고하자. Io-Doeblin보조정리를사용하면, 다음식을얻는다. (4.) df( u, u) = F( u, u) du + Fu( u, u) du + 1 F ( u, u) σ udu 식 (4.1) 과식 (4.) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (4.3) 1 df(, u) = F + F + F du F dw µ σ + σ u u u u u u 식 (4.1) 과식 (4.3) 에서알수있듯이, 다음식을만족하는자기금융과정 {(α u, β u ) u } 가존재한다. (4.4) F( u, u) = α u u + β u B(u, ), ( u ) 다음식들이성립한다. (4.5) df( u, u) = α u d u + β u db(u, ) = [α u μ u + β u rb(u, )]du + α u σ u dw u 여기서첫번째등호는식 (4.4) 와자기금융조건 (.6) 에의해서, 그리고두번째등호 는식 (4.1) 에의해서성립한다.

14 30 經濟論集第 51 卷第 號 식 (4.3) 과식 (4.5) 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다. (4.6) F u = = (, ) u α u F u 1 (4.7) β rb( u, ) = σ F + F u u u 또한, 식 (4.4) 와식 (4.6) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (4.8) 1 F u = F u (, ) (, ) u Bu (, ) u β u u u 식 (4.7) 과식 (4.8) 에서알수있듯이, 이금융파생상품의현재시점 에서가치 F(, ) 는다음편미분방정식을만족한다. (4.9) + F (, ) F (, ) 1 F (, ) rf(, ) + r + σ = 0 편미분방정식 (4.9) 를 Black-choles방정식또는자산가치평가 (asse pricing) 의근본적편미분방정식 (fundamenal PDE) 이라부른다. Black-choles방정식 (4.9) 를풀기위해서는경계조건 (boundary condiion) 이있어야한다. Black-choles방정식에해당하는경계조건은각금융파생상품의지불금액함수이다. 유럽형콜옵션의경우에는식 (.3) 이경계조건이다. 엄격히말하면, 식 (.3) 은경계조건이라기보다는말기조건 (erminal condiion) 이다. 그러나 Black- choles방정식 (4.9) 를후향으로 (backward) 푸는경우가일반적이기때문에, 이말기조건을초기조건 (iniial condiion) 이라부르기도한다. 편미분방정식과경계조건 (.3) 으로이루어진경계값문제를직접풀어서해석해를구할수있는경우는드물다. 원자산과정 { u } 가확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동을하면, Black-choles방정식 (4.9) 를다음과같이쓸수있다. (4.10) + F (, ) F (, ) 1 F (, ) rf(, ) + r + σ = 0

15 Black-choles 식의다양한유도 303 식 (4.10) 은원자산이기하 Brown 운동을하는 Black-choles 방정식이다. 제 4.5 절에 서알수있듯이, 편미분방정식 (4.10) 과말기조건 (.3) 으로이루어진경계값문제의 해가 [ 정리.1] 에기술한유럽형콜옵션의 Black-choles 식이다. 4.. Meron법 Meron(1973) 이제시한유럽형콜옵션을원자산으로헤징하는방법을사용해서 Black-choles방정식을유도하기로하자. 원자산과정 { u } 가확률미분방정식 (4.1) 을만족한다고하자. 또한, 원자산이 u 인금융파생상품의무재정가치 F = F( u, u) 가원자산 u 에대해서 C 급이고또한시점 u에대해서 C 1 급이라고하자. 시점 에서이금융파생상품 θ 1, 단위와원자산 θ, 단위로구성된포트폴리오의가치 V 는다음과같다. (4.11) V = θ 1, F(, ) + θ, 이포트폴리오가자기금융조건 (.6) 을만족하면, 다음식이성립한다. (4.1) dv = θ 1, df(, ) + θ, d 식 (4.) 를식 (4.1) 에대입하면, 다음식을얻는다. (4.13) 1 dv = θ1, F + F d F d σ + [ θ1, + θ, ] 식 (4.11) 에서 θ 1, 값과 θ, 값을임의로정할수있으므로, 다음값들을선택하자. (4.14) θ 1, = 1, θ, = F 식 (4.14) 를식 (4.13) 에대입하면, 다음식을얻는다. (4.15) 1 dv = F + F d σ

16 304 經濟論集第 51 卷第 號 식 (4.15) 에서알수있듯이, 이포트폴리오 (θ 1,, θ, ) 는무위험이다. 무재정조건이만족되기위해서는, 시간구간 (, + d] 에서무위험채권가격의증분과이무위험포트폴리오가치 V 의증분 dv 는같아야한다. 즉, 시간구간 (, + d] 에서이무위험포트폴리오의수익은다음과같다. (4.16) dv = rv d 식 (4.15) 와식 (4.16) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (4.17) rvd = Fd + 1 Fσ d 식 (4.11) 과식 (4.14) 를식 (4.17) 에적용하면, 다음편미분방정식을얻는다. (4.18) 1 rf + F + rf + Fσ = 0,( 0 ) 편미분방정식 (4.18) 이식 (4.9) 에서기술한 Black-choles방정식이다 위험의시장가격위험의시장가격 (marke price of risk) 이라는개념을이용해서, Black-choles방정식을유도하기로하자. 원자산과정 { u } 가확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동을한다고하자. 유럽형옵션의시점 에서가치 F = F(, ) 에 Io-Doeblin보조정리를적용하면, 다음식을얻는다. (4.19) df F = µ d + σ dw F F 여기서 μ F 와 σ F 는각각다음과같다. (4.0) µ 1 F µ σ F F F 1 F (, ) + (, ) + (, )

17 Black-choles 식의다양한유도 305 (4.1) σ 1 F σ F F (, ) 자기금융조건 (.6) 을이용하면, 원자산과이유럽형옵션에투자하는비율을 θ 대 1 θ로하는포트폴리오의시점 에서가치 V 가다음식을만족함을알수있다. (4.) dv V d = θ + [ 1 θ] df F 식 (4.19) 를식 (4.) 에대입하면, 다음식을얻는다. (4.3) dv V = { θµ + [ 1 θµ ] } d + { θσ + [ 1 θσ ] } dw F F 식 (4.3) 에서알수있듯이, 이포트폴리오가무위험이기위해서는다음식이성립 해야한다. (4.4) σ θ = F σ σ F 다음식들이성립함을알수있다. (4.5) dv V µσ σ σ F = + F µσ F σ σ F d = rd 여기서첫번째등호는식 (4.3) 과식 (4.4) 에의해서, 그리고두번째등호는무재 정조건에의해서성립한다. 식 (4.5) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (4.6) µ r µ = F r σ σ F 식 (4.6) 에서알수있듯이, 원자산의위험 1단위당초과수익률과이유럽형옵션의위험 1단위당초과수익률은같다. 이위험 1단위당초과수익률을위험의시장가격이라부른다. 식 (4.0) 과식 (4.1) 을식 (4.6) 에대입하면, 다음편미분방정식을얻는다.

18 306 經濟論集第 51 卷第 號 (4.7) + F (, ) F (, ) 1 F (, ) rf(, ) + r + σ = 0 편미분방정식 (4.7) 은원자산이기하Brown운동을하는 Black-choles방정식 (4.10) 이다 Heson법 Heson(1993) 이확률변동성모형의해석해를구하는데사용한방법을응용해서 Black-choles방정식을유도하기로하자. 원자산과정 { u } 가확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동을한다고하자. 원자산이 u 인금융파생상품 A의매도포지션을헤지하기위해서, 동일한원자산에대한다른금융파생상품 B를사용하기로하자. 금융파생상품 A 1단위의시점 에서가치를 V A V A (, ) 라하고, 금융파생상품 B 1단위의시점 에서가치를 V B V B (, ) 라하자. 금융파생상품 A 1단위의매도포지션과금융파생상품 B Δ B 단위의매입포지션으로이루어진포트폴리오의가치 Π는다음과같다. (4.8) Π = V A + V B Δ B 식 (4.8) 에 Io-Doeblin 보조정리를적용하면, 이포트폴리오가치 Π 의시간구간 (, + d] 에서변화량이다음과같음을알수있다. (4.9) VA V dπ = + 1 σ VA B A V B d d + B VB VB + 1 σ d 이확률증분 d Π 에서확률성을제거하기위해서는다음식이성립해야한다. VA (4.30) B = VB

19 Black-choles 식의다양한유도 307 식 (4.30) 을식 (4.9) 에대입하면, 다음식을얻는다. (4.31) VA V dπ = + 1 σ A d + B VB VB + 1 σ d 식 (4.31) 이성립한다면, 이포트폴리오의수익률은무위험이자율 r 과같다. 즉, 다음 식들이성립한다. (4.3) dπ = rπd = r[ V A + V B Δ B ] d 여기서첫번째등호는무재정조건에의해서, 그리고두번째등호는식 (4.8) 에의 해서성립한다. 식 (4.30)- 식 (4.3) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (4.33) 1 V 1 + A VA σ rva V A 1 VB 1 = V + B σ V B rvb 식 (4.33) 의좌변이나우변은금융파생상품의종류로부터자유롭다. 따라서식 (4.33) 의양변은, σ, 그리고 만의함수이어야하므로, 다음식을만족하는 c = c(,, σ) 가 존재한다. (4.34) 1 V 1 + A VA σ rva = c VA 원자산 u 로만구성된포트폴리오도식 (4.34) 을만족해야하므로, 다음식이성립한다. (4.35) + 1 σ r = c

20 308 經濟論集第 51 卷第 號 따라서다음식이성립한다. (4.36) c = r 식 (4.36) 을식 (4.34) 에대입하면, 다음식을얻는다. (4.37) + VA + V rva r A 1 V + σ A = 0 편미분방정식 (4.37) 은원자산이기하 Brown 운동을하는 Black-choles 방정식 (4.10) 이다 Black-choles방정식의해원자산이기하Brown운동을하는 Black-choles방정식 (4.10) 과말기조건 (.3) 으로이루어진경계값문제를여러가지방법들을사용해서풀수있다. 이에관한자세한내용은최병선 (013) 의제3.1절을참조하라. 이절에서는가장일반적인방법인 Fourier변환을사용해서이경계값문제를푸는방법을살펴보자. 이방법에대한자세한내용은최병선 (004a) 의제9장을참조하라. 첫째로, 원자산이기하Brown운동을하는 Black-choles방정식 (4.10) 의계수들에서 를제거하기로하자. 다음변수들을정의하자. (4.38) y y K vy 1 K F ln, (, τ ) (, ) 식 (4.38) 을편미분방정식 (4.10) 에대입하면, 다음식을얻는다. (4.39) v = 1 v 1 v σ + y r σ y rv τ 편미분방정식 (4.10) 과달리, 식 (4.39) 는계수들이상수들인편미분방정식이다. 둘째로, 식 (4.39) 에서 v 항과 v/ y 항을소거해서열전도방정식의형태로나타내기 로하자. 다음함수를정의하자.

21 Black-choles 식의다양한유도 309 αy βτ (4.40) w(y, τ) v(y, τ)e 여기서 α 와 β 는각각다음과같다. (4.41) 1 σ [ k + 1] α [ k 1], β 8 단, k r/σ 이다. 식 (4.41) 을식 (4.39) 에대입하면, 다음식을얻는다. (4.4) w = 1 w σ τ y 식 (4.4) 를열전도방정식 (hea ransfer equaion) 또는확산방정식 (diffusion equaion) 이라부른다. 식 (4.38), 식 (4.40), 그리고 (4.41) 에서알수있듯이, 유럽형콜옵션의 말기조건 (.3) 을다음과같이쓸수있다. (4.43) 셋째로, Fourier 변환을적용해서편미분방정식 (4.4) 와말기조건 (4.43) 으로이루 어진경계값문제를풀면, 그해는다음과같다. (4.44) 1 [ y u] wy (, τ ) = wu (, 0) exp πσ τ στ du 식 (4.44) 의유도에대해서는 Evans(1998) 의제.3 절을참조하라. 넷째로, 식 (4.43) 를식 (4.44) 에대입해서 w(y, τ) 를구하기로하자. 다음식이성립 한다. (4.45) w(y, τ) = I 1 I 여기서 I 1 과 I 는각각다음과같다.

22 310 經濟論集第 51 卷第 號 (4.46) (4.47) 1 1 [ y u] I1 exp [ k + 1] u exp 0 πσ τ στ 1 1 [ y u] I exp [ k 1] u exp 0 πσ τ στ du du 정규확률밀도함수의성질을이용해서, 다음식들을유도할수있다. (4.48) (4.49) 1 1 I1 = exp [ k + 1] y+ [ k +1] στ Nd ( 1) I = exp [ k 1] y+ [ k 1] στ Nd ( ) 8 다섯째로, 정적분들 I 1 과 I 를사용해서유럽형콜옵션가치 C 를표현하자. 식 (4.38), 식 (4.40), 식 (4.41), 그리고식 (4.45) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (4.50) 1 σ [ k + 1] C = Kexp [ k 1] y 8 τ [ I1 I] 식 (4.38) 과식 (4.48) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (4.51) 1 σ [ k + 1] KI1 exp [ k 1] y 8 τ = N ( d1) 식 (4.49) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (4.5) 1 σ [ k + 1] KI exp [ k 1] y 8 τ = Ke rτ Nd ( ) 식 (4.51) 과식 (4.5) 를식 (4.50) 에대입하면, 원자산이기하 Brown 운동을하는유럽 형콜옵션의무재정가치를나타내는 Black-choles 식이다음과같음을확인할수있 다. (4.53) C = N(d 1 ) Ke rτ N(d )

23 Black-choles 식의다양한유도 마팅게일법 유럽형콜옵션의가치과정을마팅게일 (maringale) 로변환해서그가치를평가하는마팅게일법을살펴보자. 이방법을적용해서금융상품의가치를평가하기위해서는 Girsanov정리를알아야하고, Girsanov정리를이해하기위해서는동치확률측도 (equivalen measure) 라는개념을알아야한다. 이에대한자세한내용은최병선 (013) 의제4.9절을참조하라. [ 정의 5.1] 가측공간 (Ω, Ƒ) 에서정해지는확률측도들 P 와 Q 를살펴보자. 만약임 의의사건 A( Ƒ) 에대해서다음명제가성립하면, Q 는 P 에대해서절대연속 (absoluely coninuous) 이라고하고식 Q P 로표기한다. P(A) = 0 Q(A) = 0 만약 Q P 이고또한 P Q 이면, 두확률측도들 P 와 Q 는동치라고한다. Girsanov정리는어떤확률측도를동치확률측도로변환하는데사용하는주요한도구이다. 어떤기대값을계산해야하는경우에, 원래확률측도대신에동치확률측도를사용해서이기대값을계산하는것이편리한경우도있다. 이러한경우에 Girsanov정리는매우편리한도구이다. [ 정리 5.1] Girsanov정리확률공간 (Ω, Ƒ, P) 에서정의된연속시간형확률과정 {θ 0 } 가증대정보계 {Ƒ 0 } 에대해적합이라고하자. 여기서 는고정된상수이다. 또한, {W 0 } 는확률측도 P 하에서 Brown운동이다. 다음확률변수들과함수를정의하자. 1 ξ exp θudwu θudu, ( 0 ) 0 0 Q W W + θ du,( 0 ) 0 Q(A) E P (1 A ξ ), (A Ƒ ) u

24 31 經濟論集第 51 卷第 號 여기서 1 A 는집합 A 상에서 1 을취하고, 그렇지않으면 0 을취하는지시함수이다. 만 약확률과정 {θ } 가 Novikov 조건 E( 0 θ u ξ u du) < 을만족하면, 다음식이성립한다. E(ξ ) = 1 즉, Q 는확률측도이다. 또한, {W Q 0 } 는확률측도 Q 와증대정보계 {Ƒ 0 } 에대한 Brown 운동이다. [ 정리 5.1] 의확률측도 Q 는원래확률측도 P 와동치이다. 또한, 각가측집합 A( Ƒ ) 에대해서다음식이성립함은명백하다. (5.1) QA ( ) ξ dp( ω) A 식 (5.1) 을만족하는 ξ 가존재한다는것이 Radon-Nikodym정리이다. 또한, 이 ξ 를확률측도 Q의확률측도 P에대한 Radon-Nikodym밀도라고한다 위험중립가치평가위험중립가치평가법에서는다양한구적법들 (quadraures) 과시뮬레이션기법들을적용할수있다. 위험중립가치평가법을처음연구한것은 Cox and Ross(1976) 로알려져있다. 그러나위험중립확률이상태가격이란점을고려한다면, Debreu(1959) 와 Arrow(1964) 로부터위험중립가치평가법이연구되기시작했다고할수있을것이다. 그후, Harrison and Kreps(1979) 와 Harrison and Pliska(1981) 가위험중립가치평가식을정교한이론으로발전시켰다. 이절에서는위험중립가치평가법을사용해서유럽형콜옵션의 Black-choles식을유도하기로하자. 원자산과정 { 0 } 가확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동을하고, 식 (4.6) 에서정의한위험의시장가격을 λ로표기하자. 즉, 다음식이성립한다. µ r (5.) λ = σ

25 Black-choles 식의다양한유도 313 각시점 ( [0, ]) 에서다음확률변수를정의하자. (5.3) 1 ξ exp λw λ 또한, 다음함수를정의하자. (5.4) QA ( ) ξ dp( ω), (A Ƒ ) [ 명제.3] 을이용해서, 다음식들이성립함을증명할수있다. A (5.5) Q( Ω) = ξ dp( ω ) = 1, Q( A) 0 (A Ƒ ) Ω 즉, Q는확률측도이다. 확률측도 Q가확률측도 P와동치임은자명하다. 따라서, 확률측도 Q는확률측도 P의동치마팅게일측도 (equivalen maringale measure) 이다. 다음확률변수를정의하자. (5.6) W Q W +λ, (0 ) [ 정리 5.1] 의 Girsanov정리에서알수있듯이, {W Q 0 } 는동치확률측도 Q와증대정보계 {Ƒ 0 } 에대한 Brown운동이다. 식 (.1), 식 (5.), 그리고식 (5.6) 에서알수있듯이, 원자산과정 { } 는다음확률미분방정식을만족한다. (5.7) d = r d + σ dw Q, (0 ) 식 (5.7) 과 [ 명제.] 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (5.8) 1 Q = r W + 0 exp σ σ, ( 0 ) 식 (5.8) 과 [ 명제.3] 에서알수있듯이, 다음식이성립한다.

26 314 經濟論集第 51 卷第 號 (5.9) E Q (e r s ) = e rs s, (0 s < ) 식 (5.9) 에서알수있듯이, 할인된원자산과정 {e r 0 } 는동치확률측도 Q 하에서마팅게일이다. 금융파생상품가치 V(, ) 의확률적움직임의원인은원자산이다. 따라서이금융파생상품을원자산과무위험채권으로복제할수있다. 즉, 다음식을만족하는자기금융과정 {(α, β ) 0 } 가존재한다. (5.10) V(, ) = α + β B(, ), (0 ) 식 (5.10) 에 Io-Doeblin 보조정리, 자기금융조건, 그리고식 (.1) 을적용하면, 다음식 을얻는다. (5.11) dv(, ) = [α μ + β rb(, )]d + α σ dw Io-Doeblin 보조정리와식 (5.11) 을사용해서, 다음식을유도할수있다. (5.1) d[e r V(, )] = e r [α μ + β rb(, ) rv(, )]d + e r α σ dw 식 (5.) 와식 (5.6) 을식 (5.1) 에적용하면, 다음식을얻는다. (5.13) d[e r V(, )] = σα e r dw Q 식 (5.13) 에서알수있듯이, {e r V(, ) 0} 는동치마팅게일측도 Q 하에서마팅게 일이다. 즉, 다음식이성립한다. (5.14) V(, ) = e rτ E Q (V(, )) 식 (5.14) 를위험중립가치평가식 (risk-neural pricing formula) 이라부른다. 식 (5.14) 에서알수있듯이, 유럽형콜옵션에대한위험중립가치평가식은다음과

27 Black-choles 식의다양한유도 315 같다. (5.15) C = E Q (e rτ [ K] + ), (0 ) 원자산 의위험중립확률측도 Q 하에서확률밀도함수를 f Q ( ) 로표기하면, 식 (5.15) 를다음과같이쓸수있다. rτ + Q (5.16) C = e [ K] f ( ) d = I I 여기서 I 3 과 I 4 는각각다음과같다. rτ Q (5.17) I e f ( ) d 3 (5.18) I rτ Q 4 Ke f ( ) d 식 (5.18) 을다음과같이쓸수있다. K K (5.19) I 4 = Ke rτ Q( > K) 다음과같은확률변수를정의하자. (5.0) z 1 σ ln r τ σ τ 식 (5.8) 에서알수있듯이, 확률변수 z 는위험중립확률측도 Q 하에서표준정규분포를 따른다. 따라서다음식들이성립한다. (5.1) r r 1 K 1 τ τ I4 = Ke Q( > K) = Ke Q z > ln r σ τ σ τ rτ 1 K 1 = Ke 1 N ln r σ τ = Ke r τ N( d ) σ τ

28 316 經濟論集第 51 卷第 號 식 (5.0) 의확률변수 z 를이용하면, 정적분 I 3 을다음과같이쓸수있다. (5.) σ I3 = exp zσ τ τ n( zdz ) d 다음식들이성립한다. (5.3) 1 1 I3 = exp z dz Nd N d d [ σ τ] = ( + σ τ) = ( 1) π 식 (5.1) 과식 (5.3) 을식 (5.16) 에대입하면, 유럽형콜옵션의 Black-choles 식이 다음과같음을확인할수있다. (5.4) C = N(d 1 ) Ke rτ N(d ) 5.. Girsanov정리와정적분 Girsanov정리를사용해서식 (5.17) 의정적분 I 3 를간편하게계산해서, 유럽형콜옵션의 Black-choles식을유도하기로하자. 원자산과정 { u } 가확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동을한다고하고, 각 ( ) 에대해서다음확률변수를정의하자. (5.5) U Q 1 ξ exp σw σ [ 명제.3] 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다. (5.6) E(ξ U ) = 1, (0 ) ( 0 u ) = 0 u ( ) < U Q (5.7) E σ [ ξ ] du E σ exp( σw σ u ) du 식 (5.7) 에서알수있듯이, Novikov 조건이만족된다. 다음함수를정의하자.

29 Black-choles 식의다양한유도 317 A ( ) (A Ƒ ) U U (5.8) Q ( A) ξ dq ω, 식 (5.6) 과식 (5.8) 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다. (5.9) (A Ƒ ) 즉, Q U 는확률측도이다. 다음과같은확률과정 {W U 0 } 를정의하자. (5.30) W U W Q σ, (0 ) Girsanov 정리에서알수있듯이, {W U } 는확률측도 Q U 와증대정보계 {Ƒ 0 } 에대한 Brown 운동이다. 식 (5.7) 과식 (5.30) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (5.31) d = [r + σ ] d + σ dw U 식 (5.31) 과 [ 명제.] 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (5.3) 1 = r + W + 0 exp σ σ U 식 (5.8), 식 (5.5), 그리고식 (5.8) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (5.33) dq = e τ dq U r 식 (5.33) 을위험중립가치평가식 (5.14) 에대입하면, 다음식을얻는다. (5.34) V(, ) U Q V(, ) = E 즉, 동치마팅게일측도 Q U 하에서 {V(, )/ 0 } 는마팅게일이다. 따라서유럽

30 318 經濟論集第 51 卷第 號 형콜옵션의시점 에서무재정가치 C 는다음식을만족한다. (5.35) C U Q = E [ K] + 정적분 I 3 는다음과같다. (5.36) Q U rτ Q U I3 = E e 1( K E 1 K Q K > ) = ( { = > > }) ( ) 다음확률변수를정의하자. (5.37) z U 1 σ ln r + τ σ τ 식 (5.3) 에서알수있듯이, 동치마팅게일측도 Q U 하에서확률변수 z U 는표준정규분 포를따른다. 따라서다음식들이성립한다. (5.38) U U 1 K 1 I3 = Q ( > K) = Q zu > ln r + σ τ σ τ = 1 K 1 1 N ln r + N d1 σ τ = ( ) σ τ 식 (5.1) 과식 (5.38) 을식 (5.16) 에대입하면, 유럽형콜옵션의 Black-choles 식이 다음과같음을확인할수있다. (5.39) C = N(d 1 ) Ke rτ N(d ) 5.3. 기준재기준재 (numéraire) 를바꾸어서옵션가치를평가하는기본적아이디어는의외로간단하다. 예를들어, 금융파생상품가치 V(, ) 를무위험채권가치 B(, ) 로나눈상대가치과정 {V(, )/B(, )} 를마팅게일로만드는동치마팅게일측도 Q를찾아내어, V(, ) 의무재정가치를평가하는것이위험중립가치평가이다. 이무위험채권과같이상대가치를만드는기준으로사용되는금융상품을기준재라고한다. 금융파생상품가

31 Black-choles 식의다양한유도 319 치 V(, ) 를새로운기준재의가치 N 로나눈상대가치과정 {V(, )/N 0 } 를마팅게일로만드는동치마팅게일측도 Q N 을찾아낼수있다면, 이로부터새로운가치평가식을유도할수있다. 직관적으로보아, 식 (5.34) 는원자산을기준재로하는동치마팅게일가치평가식이다. 이절에서는기준재라는개념을사용해서상대가치과정 {V(, )/ } 가마팅게일이되는동치마팅게일측도 Q 를구하고, 이를사용해서유럽형콜옵션의 Black-choles식을유도하기로하자. 이러한목표를달성하기위해서는다음과같은 변량 Io-Doeblin보조정리가필요하다. [ 명제 5.1] 확률벡터과정 {[x, y ] 0} 가다음연립확률미분방정식을만족한다고 하자. dx = μ x d + σ x dw dy = μ y d + σ y dw 여기서 {W 0} 는 Brown 운동이다. 만약함수 F = F(x, y, ) 가 에관해서 C 1 급이 고또한 x 와 y 에대해서 C 급이면, 다음식이성립한다. F df( x, y, ) = x dx F + y dy F + d F x F + [ ] + 1 x y F y σ σσ + [ σ ] x xy y d 확률미분방정식 (.1) 를만족하는기하 Brown 운동 { u } 를원자산과정으로하는금 융파생상품의시점 에서무재정가치를 V(, ) 라하자. 무위험채권가격과정 {B(, ) 0 } 가다음확률미분방정식을만족하는것은명백하다. (5.40) db(, ) = rb(, )d + 0 B(, )dw Q 다음식들이성립한다.

32 30 經濟論集第 51 卷第 號 (5.41) d B (, ) db B (, ) = 1 (, ) d B(, d ) + 1 σ 3 B (, ) Q = σ[ dw σd] 여기서첫번째등호는 [ 명제 5.1] 의 변량 Io-Doeblin 보조정리에의해서, 그리고두 번째등호는식 (.1) 과식 (5.40) 에의해서성립한다. 다음확률변수들을정의하자. (5.4) dw dw Q σd (5.43) Q 1 ξ exp σw σ [ 명제.3] 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다. (5.44) E(ξ ) = 1, (0 ) ( 0 u ) = 0 u ( ) < (5.45) E σ [ ξ ] du E σ exp( σw Q σ u ) du 식 (5.45) 에서알수있듯이, Novikov 조건이만족된다. 다음함수를정의하자. (5.46) Q ( A) ξ dq( ω), A( Ƒ ) A 식 (5.44) 와식 (5.46) 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다. (5.47) Q ( Ω) = ξ dq( ω ) = 1, Q ( A) 0, A( Ƒ ) Ω 즉, Q 는확률측도이다. Girsanov 정리에서알수있듯이, {W 0 } 는확률측도 Q 와증대정보계 {Ƒ 0 } 에대한 Brown 운동이다. 식 (5.41) 과식 (5.4) 에서 알수있듯이, 다음식이성립한다.

33 Black-choles 식의다양한유도 31 (5.48) d B (, ) B (, ) dw = σ 따라서다음식이성립한다. (5.49) E Q u B (, ) Bu (, ) =, ( u ) u 즉, 동치마팅게일측도 Q 하에서확률과정 {B(, )/ 0 } 는마팅게일이다. 이시장모형이완비이므로, 시점 에서가치가 V(, ) 인금융파생상품을원자산과무위험채권으로복제할수있다. 즉, 식 (5.10) 을만족하는자기금융과정 {(α, β ) 0 } 가존재한다. 이 V(, ) 는다음식들을만족한다. (5.50) d V ( B d d d B, ) (, ) (, ) = + + α β β 1 = [ d B (, ) α + Bd (, ) β] β σdw B (, ) = β σdw 여기서첫번째등호는 Io-Doeblin보조정리에의해서, 두번째등호는식 (5.48) 에의해서, 그리고세번째등호는자기금융조건 (.7) 에의해서성립한다. 식 (5.50) 에서알수있듯이, {V(, )/ 0 } 는동치마팅게일측도 Q 하에서마팅게일이다. 즉, 다음식이성립한다. (5.51) E Q u V(, ) V( u, u) =,( u < ) u 식 (5.51) 은식 (5.34) 와일치한다. 이시장모형은완비이므로, 식 (5.34) 의동치마팅게일측도 Q U 와식 (5.51) 의동치마팅게일측도 Q 는같다. 식 (5.51) 에서알수있듯이, 만기시점 에서행사가격이 K인유럽형콜옵션의시점 에서무재정가치 C 는다음식을만족한다.

34 3 經濟論集第 51 卷第 號 (5.5) C Q = E [ K] + 식 (5.5) 는식 (5.35) 와동일하다. 따라서식 (5.39) 에서알수있듯이, 유럽형콜옵션 의 Black-choles 식이다음과같다. (5.53) C = N(d 1 ) Ke rτ N(d ) 6. Feynman-Kac 정리와 Kolmogolov 방정식 6.1. Feynman-Kac정리 Feynman(1948) 과 Kac(1951) 에의해제시된 Feynman-Kac정리를사용해서, 유럽형옵션의 Black-choles방정식을유도하기로하자. Feynman-Kac정리는양자역학이나통계물리에나타나는편미분방정식의해를양자역학적진화 (evoluion) 로보는 Feynman의관점에서다루는도구이다. 다음정리의증명은최병선 (013) 의제5.7절을참조하라. [ 정리 6.1] Feynman-Kac 정리 확률과정 { u u 0} 가다음확률미분방정식을만족한다고하자. d u = μ( u, u)du + σ( u, u)dw u 고정된 와주어진 ( [0, ]), 그리고 Borel 가측인함수 h(y) 에대해서다음함수를 정의하자. g(x, ) E x (h( )) 여기서 E x ( ) 는시점 에서 = x 라는조건하에서기대값연산자이다. 또한, 각 x 에대 해서다음식이성립한다고가정하자.

35 Black-choles 식의다양한유도 33 E x ( h( ) ) < 이러한조건하에서, g(x, ) 는다음편미분방정식을만족한다. gx (, ) gx (, ) 1 gx (, ) + µ ( x, ) + σ ( x, ) = 0 x x 또한, 말기조건은다음과같다. g(y, ) = h(y) 원자산과정 { u } 가확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동이라고하면, 이 { u } 는위험중립확률측도 Q하에서확률미분방정식 (5.7) 을만족한다. 식 (5.7) 과 [ 정리 6.1] 의 Feynman-Kac정리에서알수있듯이, 함수 g(, ) = E Q ([ K] + ) 는다음확률미분방정식을만족한다. (6.1) g (, ) g (, ) 1 g (, ) + r + σ = 0 유럽형콜옵션가치 C 의위험중립가치평가식은다음과같다. (6.) C = e rτ E Q ([ K] + ) = e rτ g(, ) 식 (6.) 를식 (6.1) 에대입하면, 다음편미분방정식이성립함을알수있다. (6.3) + C + C rc r 1 C + σ = 0 편미분방정식 (6.3) 은 Black-choles 방정식 (4.10) 과같다. 즉, 위험중립가치평가식 (6.) 에의해계산된유럽형콜옵션가치 C 는원자산이기하 Brown 운동을하는 Black- choles 방정식을만족한다.

36 34 經濟論集第 51 卷第 號 6.. Kolmogorov의후향미분방정식 Kolmogorov의후향미분방정식을사용해서, 유럽형옵션의 Black-choles방정식을유도하기로하자. 다음정리는 Kolmogorov의후향미분방정식에관한것이다. 이정리의증명과이에대한자세한내용은최병선 (013) 의제5.7절을참조하라. [ 정리 6.] Kolmogorov 의후향미분방정식 다음확률미분방정식을살펴보자. d u = μ( u, u)du + σ( u, u)dw u, (u 0) 여기서 {W u u 0} 는 Brown 운동이다. 확률과정 { u u 0} 의추이확률밀도함수를 p(, ; x, y) 라고하고, 다음식이성립한다고가정하자. p(, ; x, y) = 0, (0 < and y 0) 이러한조건하에서, 추이확률밀도함수 p(, ; x, y) 는다음편미분방정식을만족한다. p (, ; x, y) p (, ; x, y) 1 = µ ( x, ) + σ ( x, ) x p (, ; x, y) x 이편미분방정식에서 와 x 는변수들로 와 y 는상수들로간주된다. 이 와 x 를후행 변수들 (backward variables) 이라고한다. 원자산과정 { u } 가확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동이면, 이 { u } 는위험중립확률측도 Q 하에서확률미분방정식 (5.7) 을만족한다. 식 (5.7) 과 [ 정리 6.] 의 Kolmogorov의후향미분방정식에서알수있듯이, Borel가측인함수 h(y) 에대해서다음식이성립한다. 1 (6.4) hy ( ) q(, ;, y) + rq (, ;, y) + q (, ;, y) σ dy = 0 0

37 Black-choles 식의다양한유도 35 여기서 q(, ; x, y) 는위험중립확률측도 Q 에해당하는추이확률밀도함수이다. 식 (6.4) 에서알수있듯이, 함수 ĥ(, ) E Q (h( )) 는다음식을만족한다. (6.5) 만기시점 에서지불금액함수가 V(, ) 인유럽형옵션의시점 에서무재정가치는 V(, ) = e rτ E Q (V(, )) 이다. 식 (6.5) 에함수 ĥ(, ) = e rτ V(, ) 를대입하면, 다음 편미분방정식을얻는다. (6.6) 1 rv (, ) + V(, ) + rv (, ) + σ V (, ) = 0 편미분방정식 (6.6) 은원자산이기하Brown운동을하는 Black-choles방정식 (4.10) 과같다 Kolmogorov의전향미분방정식 Kolmogorov의전향미분방정식을사용해서, 유럽형콜옵션의 Black-choles식을유도하기로하자. Kolmogorov의전향미분방정식을 Fokker-Planck방정식이라고도부른다. 다음정리는 Kolmogorov의전향미분방정식에관한것이다. 이정리의증명과이에대한자세한내용은최병선 (013) 의제5.7절을참조하라. [ 정리 6.3] Kolmogorov 의전향미분방정식 다음확률미분방정식을살펴보자. d u = μ( u, u)du + σ( u, u)dw u, (u 0) 여기서 {W u u 0} 는 Brown운동이다. 확률과정 { u u 0} 의추이확률밀도함수를 p(, ; x, y) 라고하고, 다음식이성립한다고가정하자. p(, ; x, y) = 0, (0 < and y 0)

38 36 經濟論集第 51 卷第 號 이러한조건하에서, 추이확률밀도함수 p(, ; x, y) 는다음편미분방정식을만족한다. = p (, ; x, y) 1 [ µ ( y, ) p (, ; x, y)] + [ σ ( y, ) p (, ; y y x, y)] 여기서 와 x 는상수들로 와 y 는변수들로간주된다. 이 와 y 를선행변수들 (forward variables) 이라한다. 원자산과정 { u } 가확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동이라고하면, 이 { u } 는위험중립확률측도 Q하에서확률미분방정식 (5.7) 을만족한다. 현재시점 에서원자산 가주어진조건하에원자산 의위험중립확률측도 Q하에서확률밀도함수를 f Q ( ) 라하자. [ 정리 6.3] 에서알수있듯이, 확률밀도함수를 f Q ( ) 는다음과같은 Kolmogorov의전향미분방정식을만족한다. (6.7) Q f ( ) + = r f Q 1 Q [ ( )] [ σ f ( )] 0 이편미분방정식의초기조건은다음과같다. (6.8) f Q ( ) = δ( ) 즉, 시점 에서추이확률밀도함수 f Q 는점 에모든질량이모여있는 Dirac 델타함수 이다. Black-choles 환경하에서다음식들이성립한다. Q (6.9) lim r f ( ) = 0 Q (6.10) lim σ f ( ) = 0 (6.11) Q lim [ σ f ( )] = 0

39 Black-choles 식의다양한유도 37 식 (6.7) 의양변을구간 [y, ) 에서 에대해적분한다음, 식 (6.9) 와식 (6.11) 을적용하면, 다음식을얻는다. (6.1) y Q Q 1 Q f ( ) d + ryf ( y) [ σ y f ( y)] = 0 y 식 (6.1) 의양변을구간 [K, ) 에서 y 에대해적분한다음, 식 (6.10) 을적용하면, 다음식을얻는다. (6.13) K y Q Q 1 Q f ( ) ddy + r f ( d + Kf K = K ) σ ( ) 0 Fubini정리나부분적분을사용하면, 유럽형콜옵션의시점 에서무재정가치 C 가다음식을만족함을알수있다. rτ Q (6.14) ec= f ( ) ddy 식 (6.14) 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다. K y (6.15) K y Q f ( ) d dy = e C τ + re C rτ r Q Q (6.16) f ( d f d dy e K ) = K K ( y ) = 위험중립가치평가식 (5.16) 에서알수있듯이, 유럽형콜옵션의시점 에서무재정가치 C 는다음식을만족한다. rτ C K rτ Q Q (6.17) e C = f ( ) d K f ( ) d 식 (6.16) 을식 (6.17) 에대입하면, 다음식을얻는다. K K Q rτ (6.18) f ( ) d = e C Ke K rτ C K

40 38 經濟論集第 51 卷第 號 식 (6.16) 의각변을 K 에대해서미분하면, 다음식을얻는다. (6.19) f ( K)= e C K Q rτ 유럽형콜옵션의무재정가치 C 를행사가격 K와만기시점 의함수로보고, C(K, ) 로표기하자. 식 (6.15), 식 (6.18), 그리고식 (6.19) 를식 (6.13) 에대입하면, 다음편미분방정식을얻는다. (6.0) CK rk CK (, ) (, ) 1 CK (, ) + σ K = 0 K K 이편미분방정식의초기조건은다음과같다. (6.1) C(, ) = [ K] + 편미분방정식 (6.0) 와초기조건 (6.1) 로이루어진경계값문제의해가 [ 정리.1] 에기술한유럽형콜옵션의가치평가식인 Black-choles식이다. 식 (6.0) 은 Dupire(1994) 가제시한것이다. 이식에서알수있듯이, 변동성 σ를행사가격 K와만기시점 의함수인 σ (K, ) 로간주할수있다. 이 σ (K, ) 를국소변동성 (local volailiy) 이라한다. 국소변동성은시장에서옵션의가치를평가하는데중요한역할을한다. 7. 효용함수와 CAPM 7.1. 지수형효용함수 Rubinsein(1976) 은지수형의효용함수를갖는대표적투자자가존재한다는가정하에 Black-choles식을유도하였다. 이방법에대해서살펴보자. 완비시장에 N개의금융상품들이존재하고, 시점 u( [, ]) 에서이들의가치를 (1) u, () u,, (N) u 이라하고, 이들로이루어진확률벡터를 u [ (1) u, () u,, (N) u ] 라고하자. 어떤투자자가시점 에서제i번째상품을 x (i) 단위보유하고있다고하면, 이투자자의시점 에서포트폴리오는 x = [x (1) x () x (N) ] 이다. 이투자자가시간구간 (, ]

41 Black-choles 식의다양한유도 39 에서포트폴리오를재구성하지않는다고가정하면, 이투자자의초기시점 에서부 (wealh) 는 v = x 이고, 말기시점 에서부는 v = x 이다. 이투자자의말기시점 에서효용함수를 u(v ) 로표기하고, 이효용함수의기대값 E P (u(v )) 를최대화하기로하자. 여기서제약조건은초기시점 에서부 v 가주어진것이다. 즉, 이최적화문제를다음과같이쓸수있다. (7.1) ma x x E P (u(x )) s.. x = v 최적화문제 (7.1) 을풀기위해서, 다음 Lagrange 함수를정의하자. (7.) L E P (u(x )) + λ[v x ] 최적화의 1 차조건은다음과같다. 1 P (7.3) = E ( u ( x ) ) λ 이시장모형이완비이므로, 만기시점 에서가치가 1인무위험채권의시점 u에서가치를 α u 로나타낼수있는포트폴리오 α가존재한다. 따라서다음식들이성립한다. (7.4) ) ) 여기서두번째등호는식 (7.3) 에의해서성립한다. 식 (7.3) 과식 (7.4) 에서알수있 듯이, 다음가치평가식이성립한다. (7.5) rτ P u ( v ) = e E P E ( u ( v )) 대표적투자자가다음과같은지수효용함수를갖는다고가정하자. (7.6) 1 1+ ux ( )= x 1 + γ γ

42 330 經濟論集第 51 卷第 號 여기서 γ 는 ( 1, 0) 에속한다. 이효용함수는 HARA 함수 (hyperbolic absolue risk aversion funcion) 이다. HARA 함수에대해서는최병선 (004b) 의제 5.4 절을참조하라. 원자산과정 { u } 가다음확률미분방정식을따르는기하 Brown 운동이라고하자. (7.7) d u u = µ du + σ dw,,( u 0) u 또한, 대표적투자자의부 (wealh) v u 는다음확률미분방정식을만족한다고하자. (7.8) dv v u u = µ du + σ dw,,( u 0) v v vu 여기서 Brown 운동들 {W, u } 와 {W v, u } 는다음식을만족한다고하자. (7.9) Corr(dW, u, dw v, u ) = ρdu 식 (7.7) 과 [ 명제.] 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.10) 1 = exp W W µ σ τ + σ [,, ] 또한, 식 (7.8) 과 [ 명제.] 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.11) 1 v = v exp v v v Wv Wv µ σ τ + σ [,, ] 식 (7.6) 과식 (7.11) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.1) γ 1 = + u ( v) v exp γ µ v σv γσ v[ Wv, Wv, ] 식 (7.1) 와 [ 명제.3] 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.13) P γ E ( u 1 1 ( v)) = v exp γ v v v µ σ τ + γστ

43 Black-choles 식의다양한유도 331 식 (7.1) 와식 (7.13) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.14) u ( v ) 1 = exp γσ W W P v[ v, v, ] γστ v E ( u ( v )) 식 (7.5) 에식 (7.14) 를대입하면, 다음식을얻는다. (7.15) rτ P 1 = e E exp γσ [ W, W, ] γστ v v v v 식 (7.10) 과식 (7.15) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.16) P E (exp( γσ [ W W ] + σ [ W W ])) v v, v,,, 1 1 exp r γσ v + µ σ τ 1 = 평균벡터가 μ 이고분산공분산행렬이 Σ 인정규확률벡터 x 의적률모함수는다음과같 다. (7.17) 식 (7.9) 와식 (7.17) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. P E (exp( γσ v[ Wv, Wv, ] + σ [ W, W, ])) (7.18) τ exp [ γσ = v + γσ v σ ρ + σ ] 식 (7.18) 을식 (7.16) 에대입하면, 다음식을얻는다. (7.19) r γσ = v µ σ [ γσv γσ vσρ σ ] 0 식 (7.19) 를정리하면, 다음과같다. (7.0) µ r = γσ vρ σ

44 33 經濟論集第 51 卷第 號 식 (7.0) 은어떤금융상품에대해서도성립한다. 따라서 γσ v ρ는위험의시장가격이다. 시장모형이완비이므로, 만기시점 에서지불금액이 K인유럽형콜옵션의시점 u 에서가치 C u 를 β u 로쓸수있는포트폴리오 β가존재한다. 식 (7.5) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.1) 즉, 이유럽형콜옵션의시점 에서무재정가치 C 는다음과같다. (7.) rτ P u ( v ) C = e E C P E ( u ( v )) 식 (7.14) 를식 (7.) 에대입하면, 다음식들이성립함을알수있다. r P (7.3) C = e τ 1 E exp γσ v[ Wv Wv ] γστ v [ K] + I =,, 5 I 6 여기서 I 5 과 I 6 는각각다음과같다. (7.4) (7.5) r P 1 I5 e τ E exp γσ [ W W ] γστ 1 v v, v, v { K} r P 1 I6 e τ E exp γσ [ W W ] γστ K1 v v, v, v { K} 정적분들 I 5 와 I 6 를계산하기위해서, 다음확률변수들을정의하자. 1 1 (7.6) z [ W, W, ], zv [ Wv, Wv, ] τ τ 식 (7.9) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.7) z z v d 0 N 1 ~, 0 ρ ρ 1

45 Black-choles 식의다양한유도 333 따라서확률벡터 z = [z z v ] 의확률밀도함수는다음과같다. (7.8) fz( z) = 1 1 exp z zzv zv [ ] [ + ] ρ π 1 ρ 1 ρ 식 (7.10) 과식 (7.6) 에서알수있듯이, 다음명제가성립한다. (7.9) 1 1 K z ln + K µ σ τ σ τ 식 (7.0) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.30) 1 1 ln + µ σ τ d, γρσ v τ σ τ K = 여기서 d, 는다음과같다. (7.31) d 1 1, ln + r σ τ σ τ K 식 (7.9) 와식 (7.31) 에서알수있듯이, 다음명제가성립한다. (7.3) K z [ d, γρσv τ] 식 (7.5), 식 (7.8), 그리고식 (7.3) 에서알수있듯이, 정적분 I 6 를다음과같이쓸수있다. (7.33) rτ 1 I6 = Ke v zv v 1 z d + exp γσ τ γ στ ({ γρσ v τ}, ) 1 1 exp [ ] [ + ] z ρ z z z dz dz π 1 ρ 1 ρ v v v 식 (7.33) 의우변을 z v 에대해서적분하면, 다음식을얻는다. (7.34) rτ 1 1 I6 = Ke exp [ z γρσ v τ] π 1({ z d + γρσ τ}), v dz

46 334 經濟論集第 51 卷第 號 식 (7.34) 의우변의정적분에변수변환 x = z γρσ v τ 을적용하면, 다음식들이성립함을알수있다. (7.35) I = rτ 1 Ke 1 r 6 x dx Ke N d d τ = π exp ( ),, 식 (7.10), 식 (7.4), 그리고식 (7.6) 에서알수있듯이, 정적분 I 5 를다음과같이쓸수있다. rτ 1 1 (7.36) I5 = e exp γστ v + J µ σ τ 여기서 J 3 는다음과같다. 3 P (7.37) J E (exp( γσ τz + σ τz )({ 1 z d + γρσ τ })) 3 v v, v 따라서다음식이성립한다. (7.38) 1 = exp [ + + ] 1 π 1 ρ J3 τσ ρσ γσ v γσv 1 exp ρ + 1 ρ γσ τ [ 1 ρ ] [ z { z [ ] }] dz 1 1 exp { z [ ργσv + σs ] τ } π 1({ z d + γρσ τ}) dz, v v v v 식 (7.38) 의우변을 z v 에대해서적분하면, 다음식을얻는다. (7.39) J 3 1 = exp τσ [ + ρσ γσ v + γσv] 1 1 1({ z d +, γρσv τ}) exp { z [ ργσ + σ ] τ } dz π v s

47 Black-choles 식의다양한유도 335 식 (7.39) 의우변의정적분에변수변환 y = z [ργσ v + σ s ] τ 를적용하면, 다음식을 얻는다. (7.40) J = + v + v exp τσ [ ρσ γσ γσ] y d exp, 1 π dy 여기서 d, 1 은다음과같다. (7.41) d d + σ τ, 1, 다음식들이성립함을알수있다. (7.4) I 5 = e rτ exp([μ + ργσ σ v ]τ)n(d, 1 ) = N(d, 1 ) 여기서첫번째등호는식 (7.36) 과식 (7.40) 에의해서, 그리고두번째등호는식 (7.0) 에의해서성립한다. 식 (7.35) 와식 (7.4) 를식 (7.3) 에대입하면, 다음식을얻는다. (7.43) C = N(d, 1 ) K exp( rτ)n(d, ) 식 (7.43) 의우변이 [ 정리.1] 에기술한유럽형콜옵션의가치평가식인 Black-choles 식이다. 7.. 다변량 Girsanov정리와정적분다변량 Girsanov정리를사용해서식 (7.4) 의정적분 I 5 와식 (7.5) 의정적분 I 6 를간편하게계산함으로써유럽형콜옵션의 Black-choles식을유도하기로하자. 다변량 Brown운동과다변량 Girsanov정리를살펴보자. 이에대한자세한내용은최병선 (013) 의제4.6절을참조하라. [ 정의 7.1] 확률공간 (Ω, Ƒ, P) 에서서로독립인 Brown 운동과정들 {W (1) }, {W () },, {W (d) } 에대해서다음과같은확률벡터를정의하자.

48 336 經濟論集第 51 卷第 號 W [W (1), W (),, W (d) ], ( 0) 다변량확률과정 {W 0} 를표준적 d 변량 Brown 운동이라한다. [ 정리 7.1] 다변량 Girsanov정리고정된 와 (< ) 에대해확률공간 (Ω, Ƒ, P) 에서연속시간형확률과정 {θ u u } 가증대정보계 {Ƒ u u } 에대해적합이라고하자. 또한, {W u u } 는확률측도 P하에서표준적 d변량 Brown운동이라고하고, 다음확률변수들과함수를정의하자. u 1 u ξu exp θvdw θ v v dv, ( u ) W Q u W u + u θ dv,( u ) Q(A) E P (1 A ξ ), (A Ƒ ) v 확률과정 {θ u } 가다음과같은 Novikov 조건을만족한다고가정하자. E θ ( u ξ du u ) < 이러한조건하에서, 다음식이성립한다. E(ξ ) = 1 즉, Q 는확률측도이다. 또한, {W u Q u } 는확률측도 Q 와증대정보계 {Ƒ u } 에대한표준적 d 변량 Brown 운동이다. 각 u( ) 에대해서, 다음확률변수들을정의하자. (7.44) U Wu, + WVu, Wu, WVu, U, u 1 [ ], + ρ 1 [ ρ] 1, u

49 Black-choles 식의다양한유도 337 확률벡터 U u =[U 1, u U, u ] 는다음식을만족한다. d (7.45) U u ~ N( 0, ui) 여기서 I 는 차원단위행렬이다. 식 (7.45) 에서알수있듯이, {U u u 0} 는표준적 변량 Brown 운동이다. 식 (7.44) 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다. (7.46) W u, = 1+ ρ 1 ρ U U 1, u, u (7.47) W Vu, = 1+ ρ 1 ρ U U 1, u, u 식 (7.10) 과식 (7.4) 에서알수있듯이, 정적분 I 5 는다음과같다. (7.48) P 1 I5 = E exp d V V [ σ + ρσγσ + γ σ ] + [ σ dw, u + γσ V dw V, u ] { K } 1 다음확률벡터를정의하자. 1+ ρ 1+ ρ () (7.49) θ 1 u σ 1 1 ρ ρ γσv 다음식들이성립한다. (7.50) [θ u (1) ] du u = σ dw, u + γσ V dw V, u () (7.51) 1 = σ + ρσγσ + γ σ θ u V V

50 338 經濟論集第 51 卷第 號 다음과같은확률변수, 함수그리고확률벡터를정의하자. (7.5) () 1 () 1 1 () 1 ξ exp [ θ u ] duu u du, ( 0 ) 0 θ 0 (7.53) Q (1) (A) E P (1 A ξ (1) ), (A Ƒ ) ( 1) Q () 1 (7.54) W U + θ u du,( 0 ) 0 식 (7.50) 과식 (7.51) 을식 (7.5) 에대입하면, 다음식을얻는다. () 1 1 (7.55) ξ = exp [ σ + ρσ γσ γσ σ γσ V + V ] du + [ dw, u + VdWVu, ] 식 (7.51) 과식 (7.55) 에서알수있듯이, 다음과같이 Novikov조건이만족된다. ( 0 u u ) < (7.56) E () [ () θ 1 1 ] ξ du Q 다변량 Girsanov정리에서알수있듯이, {W (1) 0 } 는확률측도 Q (1) 과증대정보계 {Ƒ 0 } 에대한표준적 변량 Brown운동이다. 식 (7.48) 과식 (7.55) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.57) I 5 = E P (ξ (1) 1 { K}) 식 (7.53) 과식 (7.57) 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다. (7.58) I 5 = E Q (1) (1 { K}) = Q (1) ( K) 식 (7.46), 식 (7.49), 그리고식 (7.54) 를식 (7.7) 에대입하면, 다음식을얻는다. (7.59) d u u = [ µ + ργσ σ + σ ] du + σ + ρ 1 ρ dw ( ) 1 1 Q V u

51 Black-choles 식의다양한유도 339 식 (7.59) 에식 (7.0) 을대입하면, 다음식을얻는다. (7.60) d u u + 1 ρ 1 ρ = [ r + σ ] du+ σ dw ( 1) Q u [ 명제.] 에서알수있듯이, 확률미분방정식 (7.60) 으로부터다음식을얻을수있다 ρ 1 ρ ( 1) ( 1) Q Q (7.61) = exp rτ + στ + σ [ W W ] 확률측도 Q (1) Q 하에서 {W (1) } 가표준적 변량 Brown운동이므로, 다음식이성립한다. (7.6) 1+ 1 d ρ ρ ( 1) ( 1) Q Q [ W W ]~ N ( 0, τ ) 식 (7.61) 과식 (7.6) 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다. (7.63) () 1 Q ( > K) () K 1 = Q ln r + ln r σ τ > + σ τ σ τ σ τ 1 1 = N ln + + σ τ r σ τ K = Nd (,1) 식 (7.58) 과식 (7.63) 에서알수있듯이, 식 (7.4) 의정적분 I 5 는다음과같다. (7.64) I 5 = N(d, 1 ) 같은방법으로, 식 (7.5) 의정적분 I 6 가다음과같음을증명할수있다. (7.65) I 6 = Ke rτ N(d, ) 식 (7.64) 와 (7.65) 를식 (7.3) 에대입하면, 다음식을얻는다.

52 340 經濟論集第 51 卷第 號 (7.66) C = N(d, 1 ) K exp( rτ)n(d, ) 식 (7.66) 의우변이 [ 정리.1] 에기술한유럽형콜옵션의가치평가식인 Black-choles 식이다 CAPM Black and choles(1973) 는자본자산가치평가모형 (CAPM: capial asse pricing model) 을이용해서 Black-choles식을유도하였다. 이절에서는이방법을살펴보자. 이에관한좀더자세한내용은 eele(000) 의제10.4절을참조하라. CAPM이론에의하면, 시간구간 [, + Δ] 에서원자산의수익률은다음식을만족한다. (7.67) M E r = β E M r 여기서 M 는시점 에서시장포트폴리오의가치이고, β 는다음과같다. (7.68) β 1 M Var M M Cov, M 식 (7.67) 을다음과같이쓸수있다. (7.69) M E( ) = r + β E M r Io-Doeblin 보조정리에서알수있듯이, 원자산을 u 로하는금융파생상품의시점 에 서가치 F F(, ) 는다음식을만족한다. (7.70) F (, ) = F(, ) + F(, ) + 1 F (, ) σ 식 (7.69) 와식 (7.70) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다.

53 Black-choles 식의다양한유도 341 M (7.71) E( F) = F r + β E M 1 r + F + F σ 식 (7.70) 에서알수있듯이, 이금융파생상품의수익률은다음식을만족한다. (7.7) F F F F = F + F + 1 F σ F 원자산과정 { u } 가기하 Brown 운동을하면, 식 (7.7) 의우변에서첫번째항의차원 은두번째항의차원보다낮다. 따라서두번째항을오차항으로간주할수있다. 즉, 식 (7.7) 를다음과같이쓸수있다. (7.73) F F F = F + ε 여기서 ε 는평균이 0 이고분산이 [Δ] 에비례하는정규확률변수라고하자. 다음상 수를정의하자. (7.74) β F F (, ) β F (, ) 식 (7.68), 식 (7.73), 그리고식 (7.74) 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다. (7.75) 즉, β F 는옵션가치의베타계수이다. CAPM 이론에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.76) F M E r F E F = β M r 식 (7.75) 를식 (7.76) 에대입하면, 다음식을얻는다.

54 34 經濟論集第 51 卷第 號 (7.77) M E( F(, )) = rf(, ) + βf(, ) E M r 식 (7.71) 과식 (7.77) 을비교하면, 다음식이성립함을알수있다. (7.78) + + F (, ) F (, ) 1 F (, ) rf(, ) r + σ = 0 편미분방정식 (7.78) 은원자산이기하Brown운동을하는 Black-choles방정식 (4.10) 이다 Hamilon-Jacobi-Bellman방정식 Meron(1971) 은 Hamilon-Jacobi-Bellman방정식 (HJB equaion) 을이용해서금융시장에서증권들사이에발생하는일반균형관계를유도하였다. 이 Meron이론을바탕으로 Black-choles방정식을유도하기로하자. 이방법에대한자세한내용은 Ingersoll(1987) 을참조하라. 완비인시장모형에서 N개의중간배당이없는위험금융상품들이거래되고, 시점 s 에서이들의가치를 (1) s, () s,, (N) s 라하자. 또한, 이시장모형에서무위험수익율이 r인무위험채권이거래된다고하자. 이위험금융상품가치들로이루어진확률벡터과 (1) 정 { s = [ s () s (N) s ] s 0} 가다음확률미분방정식을만족한다고하자. (7.79) d s = A s [μds + Σ 1/ dw s ] 여기서 μ [μ (1) μ () μ (N) ] 는결정적열벡터이고, Σ = [σ i, j ] 는 N N 차원결정적행 렬이며, {W s } 는표준적 N 변량 Brown 운동이고, 대각행렬 A s 는다음과같다. (7.80) A s diag( s (1) s () s (N) ) 또한, 행렬 Σ의랭크가 N이라고가정하자. 시점 s에서투자자의소비액을 x s, 부 (1) (wealh) 를 w s, 그리고위험금융상품들에투자한포트폴리오를 a s [a s a () s a (N) s ] 라하자. 이투자자의부는다음과같은자기금융조건을만족한다고가정하자.

55 Black-choles 식의다양한유도 343 (7.81) dw s = a s d s + [w s a s s ]rds x s ds 시점 s에서이투자자가제n번째위험금융상품에투자하는비율을 θ (n) s 이라하면, 다음식이성립한다. n ( n) s a (7.8) θ s w 다음벡터를정의하자. ( ) ( n) s s (7.83) θ s [θ s (1) θ s () θ s (N) ] 식 (7.79) 를식 (7.81) 에대입하면, 다음제약조건을얻는다. (7.84) dw s = {w s θ s [μ r1] + rw s x s }ds + w s θ s Σ 1/ dw s 여기서 1은모든원소들이 1인열벡터이다. 투자자가시간구간 [, ] 에서효용함수 u의기대값을최대화한다고하자. 즉, 제약조건 (7.84) 하에서다음함수를구하기로하자. (7.85) J( w, ) max E ux (, sds ) ( s { θ u u } ) 여기서효용함수 u(x s, s) ( 0) 는시점 s에대해서가산적 (ime-addiive) 이고또한상태로부터독립 (sae-independen) 이라고가정하자. 다음식들을만족하는시간구간 [, ] 의분할 Π { = 0 < 1 < < M = } 을정의하자. (7.86), M j j M j +, ( = 01,,, ) 제약조건 (7.84) 를다음과같이이산화할수있다.

56 344 經濟論集第 51 卷第 號 (7.87) Δw j = {w j θ j [μ r1] + rw j x j }Δ + w j θ j Σ1/ ΔW j 여기서 ΔW j W j+1 W j 이다. 식 (7.87) 에서알수있듯이, 다음식들이성립한다. (7.88) E j (Δw j ) = {w j θ j [μ r1] + rw j x j }Δ + o(δ) (7.89) Var j (Δw j ) = w j θ j Σθ j Δ + o(δ) 식 (7.85) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.90) j J( w, ) max E + 1 ux ( s, sds ) + J( w, j ) { θ u j j + u j j+ } j aylor 정리에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.91) J J E J w J w w E w ( (, j )) ( j j, ) ( j ) + + = J + 1 Var ( w j ) + O([ ]) w 또한, 다음식이성립한다. (7.9) 1 j+ 1 j j E u( xs, s) ds = ux (, j) + o( ) j 식 (7.88), 식 (7.89), 식 (7.91) 과식 (7.9) 를식 (7.90) 에대입하면, 다음과같이이산 화된식을얻는다. (7.93) 0 = + J + J max ux (, ) { [ ] + } w w r rw x j θ µ 1 j j j j j 1 + J + w w O θ Σθ j j ( ) j 식 (7.93) 의양변에서극한 Δ 0 을취하고, 또한 s = j 라하면, 다음과같은 HJB 방정

57 Black-choles 식의다양한유도 345 식이성립한다. (7.94) = J J ux s s w w r rw x 1 J max ( s, ) { sθ s[ µ 1] s s} w sθsσθ s θs, x s s ws 식 (7.85) 에서알수있듯이, 이 HJB방정식의초기조건은다음과같다. (7.95) J(w, ) = 0 이산시간형 HJB방정식에대해서는최병선 (004b) 의제8장을참조하라. 식 (7.94) 와식 (7.95) 로구성된최적화문제를변분법 (calculus of variaions) 을사용해서풀기로하자. 식 (7.94) 의우변의최대값이존재한다고가정하면, 최대화의필요조건은다음과같다. (7.96) θ µ θ θs ux s J w w r rw x 1 J w w ( s, ) { s, s[ 1] s s} s sσθ s = 0 s s 식 (7.96) 에서알수있듯이, 식 (7.94) 의우변을최대화하는 θ s, 즉최적포트폴리오 θ s * 는다음과같다. (7.97) 식 (7.97) 을식 (7.94) 에대입하면, 다음식을얻는다. (7.98) 식 (7.95) 를초기조건으로해서편미분방정식 (7.98) 을풀면, J 를구할수있다. 그러 나이경계값문제의해를직접구하는것은그리쉬운일이아니다.

58 346 經濟論集第 51 卷第 號 지금부터 CAPM이론을적용해서식 (7.97) 로부터유럽형옵션의 Black-choles방정식을유도하기로하자. 시장포트폴리오 (marke porfolio) θ (M) 는최적포트폴리오 θ s* 이다. 이성질에대해서는최병선 (004b) 의제3.7절을참조하라. 따라서식 (7.97) 에서알수있듯이, 시점 에서시장포트폴리오 θ (M) 을다음과같이쓸수있다. (7.99) θ (M) = α Σ 1 [μ r1] 여기서 {α } 는 1 차원수열이다. 시장포트폴리오 θ (M) 의기대수익률 μ (M) 은다음식들 을만족한다. (7.100) μ (M) r = [μ r1] θ (M) = α [μ r1] Σ 1 [μ r1] 여기서두번째등호는식 (7.99) 에의해서성립한다. 시장포트폴리오 θ (M) 의수익률 분산 σ M 는다음과같다. (7.101) σ M = α [μ r1] Σ 1 [μ r1] 또한, 시장포트폴리오 θ (M) 의수익률과위험금융상품벡터 의수익률벡터의공분산 벡터 σ (M) 은다음과같다. (7.10) σ (M) [σ 1, M σ, M σ N, M ] = α [μ r1] 식 (7.67) 에서알수있듯이, 시장에존재하는어떤위험금융상품의시점 에서가치 가 이고이위험금융상품의기대수익률을 μ ; 라하면, 다음식이성립한다. (7.103) µ ; σ M, r = [ µ M ; r] σ M 여기서 σ, M 은이위험금융상품의수익률과시장포트폴리오의수익률의공분산이다. 이시장모형에원자산을 u 로하는유럽형옵션을도입하고, 이유럽형옵션의시점 에서무재정가치를 F = F(, ) 라하자. 시장모형의완비성에의해서다음식이성립

59 Black-choles 식의다양한유도 347 한다. (7.104) µ F ; σ FM, r = [ µ M ; r] σ M 여기서 μ F; 는이유럽형옵션의기대수익률이고, σ F, M 은시장포트폴리오 θ (M) 의수익률과이유럽형옵션의수익률의공분산이다. 식 (7.79) 에서알수있듯이, 원자산과정 { u } 는기하Brown운동을한다. 따라서 [ 명제 5.1] 의 변량 Io-Doeblin보조정리를사용해서, 다음식을유도할수있다. (7.105) σ F = σ F FM, M, 식 (4.0) 과식 (7.104) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (7.106) 1 F F 1 F + µ ; + σ F σ FM, r r = + [ µ M ; ] σ M 식 (7.103) 과식 (7.105) 를식 (7.106) 에대입하면, 다음식을얻는다. (7.107) + F + F rf r 1 F + σ = 0 편미분방정식 (7.107) 이원자산이기하 Brown 운동을하는 Black-choles 방정식 (4.10) 이다. 8. 복소함수 8.1. 특성함수 Heson(1993) 은확률변동성모형의해석해를구하는데특성함수를사용하였다. 이절에서는이방법을사용해서 Black-choles방정식을유도하기로하자. 원자산과정 { u } 가확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동을하면, 이원자산과정은식 (5.7) 을만족한다. 식 (5.7) 에 Io-Doeblin정리를적용하면, 확률과정 {x u ln u } 가다음확률미분방정식을만족함을알수있다.

60 348 經濟論集第 51 卷第 號 (8.1) 1 Q dxu = r du dwu u σ + σ,( 0) 즉, 위험중립확률측도 Q 하에서확률변수 x 의확률분포는다음과같다. (8.) d 1 x ~ N x + r, σ τ στ 식 (5.16), 식 (5.19), 그리고식 (5.36) 에서알수있듯이, 원자산이 u 이고만기시점 에서행사가격이 K 인유럽형콜옵션의현재시점 에서공정한가치 C 는다음과같다. (8.3) C = Q U (x > k) e rτ KQ(x > k) 여기서 k ln K이고, 식 (5.34) 에서알수있듯이 Q U 는원자산을기준재로하는동치마팅게일측도이다. 식 (8.) 에서알수있듯이, 위험중립확률측도 Q하에서확률변수 x 의특성함수 f Q (θ) 는다음과같다. Q Q στ (8.4) φ ( θ) E (exp( iθx)) = exp( iθ[ x + rτ])exp iθ 1 θ [ σ τ ] 식 (5.33) 에서알수있듯이, 동치마팅게일측도 Q U 의위험중립확률측도 Q에대한 Radon-Nikodym밀도는다음과같다. (8.5) U dq dq = exp( x x rτ ) 따라서동치마팅게일측도 Q U 하에서확률변수 x 의특성함수 f U (θ) 는다음과같다. (8.6) U Q Q φ ( θ) E (exp( iθx )) = E (exp( x x rτ)exp( iθ x )) U = exp( iθ [ x + r i τ θ στ 1 ])exp θστ 여기서두번째등호는식 (8.5) 에의해서, 그리고세번째등호는식 (8.4) 에의해서

61 Black-choles 식의다양한유도 349 성립한다. 확률측도들 Q 와 Q U 에해당하는확률밀도함수들을각각 q 와 q U 라고하면, 다음식 들이성립한다. 1 (8.7) qx ( ) = e i x Q d q U θ 1 ( ), ( x) = e i θ φ θ θ x U ( ) d π π φ θ θ Lévy(195), Gurland(1948), 그리고 Gil-Pelaez(1951) 등이식 (8.7) 로부터다음식들을유도했다. U U 1 1 exp( iθk) φ ( θ ) (8.8) Q ( x > k) = + Re dθ π 0 iθ Q 1 1 exp( iθk) φ ( θ ) (8.9) Qx ( > k) = + Re dθ π 0 iθ 식 (8.6) 과식 (8.8) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (8.10) U Q ( x > k) 1 1 = + Re exp i 1 στ 1 θ k + [ x + rτ] + θστ π 0 i θ dθ 복소적분을사용해서식 (8.10) 의우변을계산하면, 다음식을얻는다. (8.11) Q U (x > k) = N(d 1 ) 식 (8.7) 과식 (8.9) 에서알수있듯이, 다음식이성립한다. (8.1) Qx ( > k) 1 1 = + Re exp i 1 k + [ x + r ] i στ 1 θ τ θστ π 0 θ dθ 복소적분을사용해서식 (8.1) 의우변을계산하면, 다음식을얻는다.

62 350 經濟論集第 51 卷第 號 (8.13) Q(x > k) = N(d ) 식 (8.11) 과식 (8.13) 을식 (8.3) 에대입하면, 다음식을얻는다. (8.14) C = N(d 1 ) Ke rτ N(d ) 식 (8.14) 가 [ 정리.1] 에기술한유럽형콜옵션의 Black-choles 식이다. 8.. Plancharel-Parseval등식 Fourier변환은직교변환 (orhonormal ransform) 이므로, 상대적길이 (relaive lengh) 와각 (angle) 이보존된다. 이러한성질을나타내는것이 Plancharel-Parseval등식이다. 만약 f 를확률밀도함수라하고함수 g를옵션의지불금액함수라고하면, 만기시점에서옵션가치를 f (x)g(x)dx로나타낼수있다. 이절에서는이성질과 Plancharel- Parseval등식을이용해서유럽형콜옵션의 Black-choles식을구해보자. 이방법에대한자세한내용은 Carr and Madan(1999) 을참조하라. [ 명제 8.1] Plancharel-Parseval 등식 함수들 f (x) 와 g(x) 의 Fourier 변환을각각 fˆ(θ) 와 ĝ(θ) 라하자. 다음등식이성립한다. 여기서 α 는상수이다. 원자산과정 { u } 가확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동을하면, 위험중립확률측도 Q하에서확률변수 x = ln 의확률분포는식 (8.) 를만족한다. 이위험중립확률측도 Q에대응하는확률밀도함수를 f (x) 로표기하면, 유럽형콜옵션의현재시점 에서무재정가치 C 는다음과같다. rτ x k + (8.15) C = e [ e e ] f ( x) dx

63 Black-choles 식의다양한유도 351 여기서 k = ln K 이다. 확률밀도함수 f (x) 의 Fourier 변환 fˆ (θ) 는다음과같다. (8.16) 함수 g(x) = [e x e k ] + 의 Fourier 변환은다음과같다. (8.17) 식 (8.16), 식 (8.17), 그리고 [ 명제 8.1] 을식 (8.15) 에적용하면, 다음식을얻는다. (8.18) 여기서적분의궤적을결정하는자유모수 α 는이복소적분에서아주중요한역할을 한다. 식 (8.18) 을다음과같이쓸수있다. (8.19) C = I 1 I 여기서 I 1 과 I 는각각다음과같다. (8.0) (8.1) 복소적분을적용하면 I 1 과 I 가각각다음과같음을알수있다. (8.) I 1 = N(d 1 ), I = e rτ KN(d )

64 35 經濟論集第 51 卷第 號 식 (8.) 를식 (8.19) 에대입하면, 다음식을얻는다. (8.3) C = N(d 1 ) e rτ KN(d ) 식 (8.3) 이 [ 정리.1] 에기술한유럽형콜옵션의 Black-choles 식이다. 9. 정보이론 9.1. 최대엔트로피연속시간형확률밀도함수 {g(x)} 에대한엔트로피 (enropy) E g 를다음과같이정의한다. (9.1) E g g ( x )ln g ( xdx ) 주어진조건을만족하며엔트로피를최대화하는확률분포는주어지지않은 (unknown) 또는없어진 (missing) 정보에대해서가정을가장적게하는확률분포이다. 이러한확률분포를최대엔트로피확률분포 (maximum enropy probabiliy disribuion) 라하고, 이확률분포를사용해야편의 (bias) 가없다는것이최대엔트로피원칙 (maximum enropy principle) 이다. 최대엔트로피원칙에대해서는 Cover and homas(006) 를참조하라. 또한, 엔트로피를바탕으로한금융상품의가치평가에대해서는 Buchen and Kelly(1996), uzer(1996), 그리고 Gulko(1997) 를참조하라. 다음과같은확률변수를정의하자. (9.) z 1 r 1 ln σ τ σ τ 확률변수 z 는다음식들을만족한다고가정하자. (9.3) zf ( zdz ) = 0, z f( z) dz = 1 이러한조건하에서엔트로피를최대화하는확률밀도함수 f (z) 를구해보자. 즉, 조건

65 Black-choles 식의다양한유도 353 (9.3) 하에서다음과같은최적화문제를풀어보자. (9.4) f = argmax g z g zdz g ( )ln ( ) 다음과같은 Lagrange함수를정의하자. (9.5) L g( z)ln g( zdz ) [ + λ ] gzdz ( ) + λ zg( zdz ) + λ z gz ( )dz 여기서 λ 0, λ 1 와 λ 는 Lagrange 모수들이다. 확률밀도함수가 g(z) 에서 g(z) + δg(z) 으로 움직이는변동에의한 Lagrange 함수 L 의 1 차변분 (variaion) δl 은다음과같다. (9.6) δl= { ln g ( z ) 1 + [ 1 + λ ] + λ z+ λ z } 0 1 dz 만약다음식이성립하면, δl 이 0 이다. (9.7) ln g(z) = λ 0 + λ 1 z + λ z 즉, 변분법 (calculus of variaions) 에의해서 Lagrange함수의 1차조건이다음과같음을알수있다. (9.8) f( z) = exp( λ z+ λ z ) 1 exp( λ x+ λ x ) dx 1 식 (9.8) 에서알수있듯이, 최대엔트로피확률밀도함수 f (z) 는표준정규확률밀도함수이다. 즉, 최대엔트로피확률밀도함수는다음과같다. (9.9) 1 f( z) = exp 1 z n( z) π = 식 (5.0), 식 (9.), 그리고식 (9.9) 에서알수있듯이, 최대엔트로피확률측도는위 험중립확률측도 Q 이다. 즉, 엔트로피를최대화하는유럽형콜옵션가치는 E Q (e rτ [

66 354 經濟論集第 51 卷第 號 K] + ) 이다. 따라서제 5.1 절에서알수있듯이, 엔트로피를최대화하는유럽형콜옵션가 치는 Black-choles 가치 C 이다. 9.. Kullback-Leibler정보수확률변수 x의확률밀도함수 g(x) 와추가정보가주어졌을때, 이추가정보를만족하면서확률밀도함수 g(x) 에가까운확률밀도함수 f (x) 를구하는척도로서다음과같이정의되는 Kullback-Leibler정보량 (informaion number) 을사용하기도한다. (9.10) D ( f f x g ) f ( x )ln ( ) gx ( ) dx 이 D( f g) 를교차엔트로피 (cross-enropy) 또는상대엔트로피 (relaive enropy) 라고도부른다. Kullback-Leibler정보량에대해서는 Cover and homas(006) 의제장과 Con(010, pp , ) 를참조하라. 이소절에서는 Kullback-Leibler정보량을최소화하는유럽형콜옵션가치가 Black-choles식을만족함을보이자. 확률측도 P하에서확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동 { u u 0} 를살펴보자. 식 (.1) 에 Io-Doeblin보조정리를적용하면, 확률변수 y ln( / ) 가확률측도 P하에서평균이 [μ σ /]τ이고분산이 σ τ인정규분포를따른다는것을알수있다. 즉, 다음식이성립한다. 1 1 (9.11) 1 dp = exp y dy µ σ τ πτσ στ 다음제약조건을만족하는확률측도 A 를생각해보자. (9.1) E A d u u = rdu 우리의문제는조건 (9.1) 하에서 Kullback-Leibler정보량을최소화하는확률측도 B 를구하는것이다. 즉, 분할 Π = { = 0 < 1 < < M = } 의각소구간 [ k, k+1 ) 에서조건 (9.1) 하에다음역문제 (inverse problem) 를푸는것이다.

67 Black-choles 식의다양한유도 355 (9.13) db dp k k = argmin da k dp k da ( z) k dp z da z ln ( ) k ( ) k 여기서 P k, B k, 그리고 A k 는이소구간에서정의되는확률측도들이다. Csiszár(1975) 에서알수있듯이, 이역문제의해는다음과같은 Gibbs 정준밀도 (Gibbs canonical densiy) 또는 Esscher 변환밀도 (Esscher ransformed densiy) 이다. (9.14) 여기서 ζˆ 는다음과같다. (9.15) 식 (.1) 을식 (9.15) 에대입하면, 다음식들이성립함을알수있다. (9.16) 식 (9.16) 에서알수있듯이, ζˆ 는다음과같다. (9.17) 여기서두번째등호는식 (5.) 에의해서성립한다. 식 (9.17) 을식 (9.14) 에대입하 면, 다음식을얻는다.

68 356 經濟論集第 51 卷第 號 (9.18) db 1 k = dw k dp E(exp( dw )) exp( λ λ ) k k [ 명제.3] 을식 (9.18) 에적용하면, 다음식을얻는다. (9.19) db dp k k 1 = exp λdw λ [ k k + 1 k ] 따라서제약조건 (9.1) 를만족하면서 Kullback-Leibler 정보량을최소화하는확률측 도 B 는다음식들을만족한다. (9.0) db dp M 1 db M 1 k 1 = = exp λdw λ [ k k + 1 k ] k = 0 dp k = 0 k M 1 M 1 1 = exp λ λ [ ] exp = dw 1 k+ k λw τ λ τ k 1 k = 0 k = 0 여기서 τ = 이고, 두번째등호는식 (9.19) 에의해서성립한다. 식 (9.0) 에서알 수있듯이, 임의의가측집합 G 에대해서다음식들이성립한다. (9.1) db BG ( ) dp dp exp W 1 = = dp G G λ τ λ τ 식 (5.3), 식 (5.4), 식 (9.1), 그리고시장모형의완비성에서알수있듯이, 다음식이 성립한다. (9.) B(A) = Q(A) 식 (9.) 에서알수있듯이, Kullback-Leibler정보량을최소화하는확률측도는위험중립확률측도 Q이다. 즉, 최소상대엔트로피유럽형콜옵션가치는 E Q (e rτ [ K] + ) 이다. 따라서제5.1절에서알수있듯이, 이최소상대엔트로피유럽형콜옵션가치는 Black-choles가치 C 이다.

69 Black-choles 식의다양한유도 LG 전략 Carr & Jarrow(1990) 는국소시간 (local ime) 을이용해서 Black-choles식을유도하였다. 이소절에서는이방법에대해서살펴보자. 만약시점 s( ) 에서원자산인주가 s 가유럽형콜옵션의행사가격 K의할인가치 KB(s, ) = Ke r [ s] 보다높다면, 시점 s에서무위험채권을 KB(s, ) 어치공매하고주식 1단위를매입하는포지션을취한다. 만약시점 u(> s) 에서주가 u 가행사가격 K 의할인가치 KB(u, ) = Ke r [ u] 아래로떨어지면, 시점 u에서이주식 1단위를파는동시에공매했던무위험채권을청산 (clearing) 한다. 이러한전략을 LG전략 (LG sraegy: he sop-loss sar-gain sraegy) 이라한다. 각시점 u( [, ]) 에대해서, 다음함수들을정의하자. (10.1) α u 1 {u > KB(u, )} (10.) β u 1 {u > KB(u, )}K 시점 u 에서 LG 전략에의한포트폴리오 (α u, β u ) 의가치 V u 는다음과같다. (10.3) V u = [ u KB(u, )] + 식 (10.3) 에서알수있듯이, 만기시점 에서다음식이성립한다. (10.4) V = [ K] + 즉, LG전략은만기시점 에서유럽형콜옵션을복제한다. 반면에, 만약현재시점 에서주가 가행사가격 K의할인가치 KB(, ) 보다낮으면, 이 LG전략에서는아무런매매가일어나지않으므로비용이들지않는다. 따라서만약 LG전략이자기금융적이라면, Black-choles경제에서재정기회가존재한다. 원자산과정 { u } 가확률미분방정식 (.1) 을만족하는기하Brown운동을한다고하자. 식 (5.8) 에서알수있듯이, 만기시점이 인무위험채권을기준재로하는원자산

70 358 經濟論集第 51 卷第 號 의시점 u 에서가치, 즉선도가치 (forward value) F u, = u e r[ u] 는다음식을만족한다. (10.5) 1 Q Q Fu, = F, exp σ [ u ] + σ[ Wu W ], ( u ) 여기서 {W Q } 는위험중립확률측도 Q하에서 Brown운동이다. 따라서시점 의상태 F, 에서시점 u의상태 F u, 로가는추이확률밀도함수 (ransiion probabiliy densiy) p(, u; F,, F u, ) 는다음과같다. (10.6) 1 p u F F u F n 1 F, 1 (, ;,, u, ) = ln σ [ u ] σ u F u, σ u, 여기서 n(x) 는표준정규확률밀도함수이다. 각 u( [, ]) 에대해서다음식들을만족하는 L u K 가존재한다. (10.7) K + + L = [ F K] [ F K] = 1 df u u,, { Fz, > K} z, + = [ F K] [ F K ] + = 1 p (, z ; F, F ) dz u,, u u { Fz, > K}, z, (10.8) L u K 0 여기서 L K u 를행사가격 K에서시점 u까지국소시간 (local ime a K by ime u) 이라고한다. Carr and Jarrow(1990) 이증명했듯이, LG전략이자기금융조건을만족하기위한필요충분조건은각 u [, ] 에대해서국소시간 L K u 가 0인것이다. 그러나식 P(L K η > 0) > 0를만족하는시점 η ( [, ]) 가존재한다. 따라서, LG전략이자기금융조건을만족하지못한다. 식 (10.7) 과식 (10.8) 의증명에대해서는최병선 (013) 의제3.11절과제4.10절을참조하라. 시점 u에서원자산이 u 이고만기시점 에서행사가격이 K인유럽형콜옵션의현재시점 에서공정한가치 C (σ) 는다음식들을만족함을알수있다. rτ + rτ Q K (10.9) C ( σ ) = [ e K] + e E ( L )

71 Black-choles 식의다양한유도 359 (10.10) d d C e rτ K n d ( σ) = τ ( ) σ rτ (10.11) lim C( σ ) = [ e K] σ 식 (10.9)- 식 (10.11) 의증명에대해서는최병선 (013) 의제 4.10 절을참조하라. 시점 u 에서원자산이 u 이고만기시점 에서행사가격이 K 인유럽형콜옵션의 Black-choles 가치 C 는다음식들을만족함을알수있다. (10.1) C σ e K τ nd ( ) = rτ (10.13) lim C τ = [ e r K ] σ 식 (10.1) 과식 (10.13) 의증명에대해서는최병선 (009) 의제.3 절을참조하라. 편미분방정식 (10.10) 과편미분방정식 (10.1) 는동일하고, 경계조건 (10.11) 은경 계조건 (10.13) 과동일하다. 따라서다음식이성립한다. (10.14) C (σ) = C 즉, C (σ) 는 [ 정리.1] 에기술된유럽형콜옵션의 Black-choles 가치이다. 11. 결론 이서베이논문에서는 Black-choles식을유도하는다양한방법들을소개하였다. 즉, 중심극한정리를바탕으로하는이항나무모형법, 복제와헤징을사용해서 Black- choles방정식을유도한다음이로부터 Black-choles식을유도하는 4가지방법들, 마팅게일을사용해서 Black-choles식을유도하는 3가지방법들, Feynman-Kac정리, Kolmogorov의후향방정식, 그리고 Fokker-Planck방정식과같은편미분방정식과기대값사이의관계를이용하는 3가지방법들, 효용함수나 CAPM을사용한균형이론적접근을하는 4가지방법들, 특성함수나 Plancharel-Parseval등식등복소이론을바