1. 1) 수학익힘책문제풀기 중 2-2: 02. 삼각형의성질 ( 기본부터심화까지 ) 다음명제의역이참인지거짓인지를말하여라. 5. 5), 는자연수이고, 문장,, 가각각다음과같을때, 다음기호를명제로나타낼때, 참인지거짓인지를말하여라. : 는짝수이고 는홀수이다. : 는홀수이다. : 는홀수이다. ⑴ ⑵ ⑶ ⑴ 이면 이다. ⑵ 이면 이다. ⑶ 12의배수는 6의배수이다. ⑷ 정삼각형은정다각형이다. 6. 6) 다음보기에서명제와그역이참인것을모두 골라라. 2. 2) 다음명제의역이참인지거짓인지를말하여라. (1) 이면 이다. (2) 두삼각형이합동이면그넓이는같다. 보ㄱ기., 가자연수이면 도자연수이다. ㄴ. 이면 이다. ㄷ. 합동인두삼각형의넓이는같다. ㄹ. 정삼각형의세내각의크기는모두같다. (3) 정삼각형의한내각의크기는 이다. 3. 3) 주어진명제와그역이모두참인것은? 1 이면 이다. 2 이면 이다. 3 12의약수는 6의약수이다. 7. 7) 다음중용어의정의인것은? 4 자연수 이홀수이면 은홀수이다. 5, 가짝수이면 도짝수이다. 1 이등변삼각형은두변의길이가같은삼각형이다. 2 이등변삼각형의두밑각의크기는서로같다. 4. 4) 다음중명제의역이참인것은? 1 이면 이다. 2, 이면 이다. 3 이등변삼각형의꼭지각의이등분선은밑변을수직이등분한다. 4 빗변의길이와한예각의크기가각각서로같은두직각삼각형은서로합동이다. 5 정삼각형의세내각의크기는모두같다. 3 정삼각형은직각삼각형이다. 4 ABC DEF 이면 B E 이다. 5 대응하는세내각의크기가각각같으면두삼각형은합동이다. 1
8. 8) 다음중용어의정의로옳은것은? 1 정사각형 : 네변의길이가같은사각형 2 정삼각형 : 세내각의크기가같은삼각형 3 이등변삼각형 : 두변의길이가같은삼각형 4 평행사변형 : 두쌍의대변의길이가각각같은사각형 5 예각삼각형 : 한내각의크기가 90 보다크고 180 보다작은삼각형 11. 11) 오른쪽그림과같이 AB AC 인이등변삼각형 ABC에서 B 의이등분선과 AC 의교점을 D 라하고, A=36, BC cm일때, AD 의길이를구하여라. 9. 9) 다음중정리인것은? 1 모든정삼각형은서로합동이다. 2 90 보다작은각을예각이라고한다. 3 넓이가같은두삼각형은서로합동이다. 4 네변의길이가같은사각형은마름모이다. 5 한쌍의동위각의크기가같은두직선은평행하다. 12. 12) 오른쪽그림에서 ACE ECB 이고 ABE EBD 일때, E A 임을증명 하여라. 10. 10) 오른쪽그림의이등 변삼각형 ABC에서 AB AC 이고꼭지각 A 의이등분선과밑변 BC의교점을 D라고하자. BAD, BC cm 일때, B 의크기와 BD 의길이를각각구하여라. 13. 13) 오른쪽그림에서 BC CD, BD DE, ABE=90 일때, BCD의 크기를 구하여 라. 2
14. 14) 오른쪽그림에서 AB AC CD 이고, BAC 일때, 의크기를구하여라. 17. 17) 오른쪽그림의 ABC 는 AB AC 인이등변삼각형이 다. 꼭짓점 B 에서변 AC 에 내린수선의발을 D, 꼭짓 점 C 에서변 AB 에내린수 선의발을 E 라하고 BD 와 CE 의교점을 O 라고할때, 다음물음에답하여 라. ⑴ ABD ACE 임을증명하여라. 15. 15) 오른쪽그림에서 BD DC CA 이고, ABC 일때, ACE 의크기를구하여라. 천재박 ⑵ A 일때, COD 의크기를구하여라. 18. 18) 오른쪽그림과같이 16. 16) 오른쪽그림에서 AB BC CD DE 이고 직사각형모양의종이를접었다. BGD =70 일때, EFH 의크기를구하여라. DEF 일때, A 의크기를구하여라. 19. 19) 직사각형모양의종이를오른쪽그림과같이접 었다. AB cm 일때, AC 의길이를구하여라. 3
20. 20) 오른쪽그림과같이 B C 이고 AB cm 인 ABC 에 서 BC 위의점 P 에서 AB, AC 에내린수선 의발을각각 D, E 라고 한다. ABC 의넓이가 23. 23) 오른쪽그림과같이 B =90 인직각삼각형 ABC 에서 A 의이등분선과 BC 의교점을 D 라하고, AC cm, BD cm 일때, ADC 의넓이를구하여라. cm 일때, PD P E 의값을구하여라. 21. 21) 오른쪽그림의직각 이등변삼각형 ABC에서꼭짓점 A를지나는직선 을긋고점 B, C 에서직선 에내린수선의발을각각 D, E라고할때, 다음물음에답하여라. ⑴ ABD 와 CAE 가합동임을증명하여라. 24. 24) 오른쪽그림과같은직각 삼각형 ABC 에서 AD 는 A 의이등분선이고 AB cm, DC cm 일때, ABD 의넓이를구하여라. 천재박 / 22. 22) ⑵ BD cm, EC cm 일때, DE 의길이를구하여라. 오른쪽그림에서 ABC는 A=90 이고, AB AC 이다. 꼭짓점 B, C에서꼭짓점 A를지나는직선 에내린수선의발을각각 D, E라하고, BD cm, DE cm일때, ABC의넓이를구하여라. 25. 25) 오른쪽그림과같이 성지 B 인직각삼각형 ABC 의점 B 에서 AC 에내린수선의발을 D A 의이등분선이 BC 와만나는점을 E 라고하자. AB cm BF cm 일때, BE 의길이를구하여라. 4
26. 26) 오른쪽그림과같이 C= 인삼각형 ABC 에 서 AB 의수직이등분선과 BC 와의교점을 D라고하자. AD 가 A 의이등분선일때, 의크기를구하여라. 29. 29) 오른쪽그림에서점 O 가 ABC 의외심이고, OCA 일때, + 의크기를구하여라. 27. 27) 오른쪽그림에서 ABC 는 AB BC 인직각이등변삼각 형이고 AB AE, AC EF 일때, 다음중옳 지않은것은? 1 BAF 2 EC CF 3 BAF EAF 4 EC BF 5 BF EF 천재박 30. 30) 오른쪽그림에서점 O가 ABC 의외심이고 AOB: BOC: COA ::일때, BAC 의크기를구하여라. 천재최 28. 28) 오른쪽그림과같이 AB AC 인직각이등변삼각형 ABC 의꼭짓점 A를지나는직선 을긋고, 꼭짓점 B, C에서직선 에내린수선의발을각각 D, E라고하자. BD cm, CE cm 일때, DE 의길이를구하여라. 31. 31) 오른쪽그림에서점 O 가 ABC 의외심일때, 의크기를구하여라. 천재박 5
32. 32) 오른쪽그림에서점 I 는 ABC 의내심이고, AB cm, BC cm, CA cm, ID cm 일때, ABC 의넓이를구하여라. 35. 35) 오른쪽그림과같 이 ABC 의내심 I 를지나고변 BC 에 평행한직선과변 AB, AC 의교점을 각각 D, E 라고한 다. DB cm, EC cm 일때, DE 의길이를구 하여라. 33. 33) 오른쪽그림에서 ABC의내심 I를지나고 BC 에평행한직선과 AB, AC 의교점을각각 D, E라고할때, DE DB EC 임을증명하여라. 36. 36) 오른쪽그림과같은정삼각형 ABC 에서점 I 는삼각형 ABC 의내심이다. AB // ID AC // IE AB cm 일때, DE 의길이를구하여라. 34. 34) 오른쪽그림에서점 I 는 ABC 의내심이고 MN BC 이다. AB cm, AC / cm 일때, AMN 의둘레의길이를구하여라. 37. 37) 오른쪽그림에서점 I 는 ABC 의내심이다. AEB, ADB 일때, C 의크기를구하여라. 6
38. 38) 오른쪽그림에서점 I 는 천재박 ABC 의내심이고, A 이다. 꼭짓점 B, C 와점 I를연결한직선이변 AC, AB 와만나는점을각각 D, E 라할때, 의크기를구하여라. 41. 41) 세변의길이가각각 10 cm, 8 cm, 6 cm인직각삼각형 ABC에서외접원과내접원의반지름의길이의합을구하여라. / 39. 39) 오른쪽그림에서점 I 는 ABC 의내심이고, C 일때, 의크기를구하여라. 성지 / / 비상 천재최 42. 42) 오른쪽그림과같은직각삼각형 ABC 에서 AB cm, BC cm, CA cm 일때, 외접원과내접원의둘레의길이의차를구하여라. 40. 40) 오른쪽그림에서직각삼각형의내접원의반지름의길이가 cm 이고, 빗변의길이가 cm 일때, 직각삼각형 ABC 의넓이를구하여라. 천재박 43. 43) 세변의길이가오른쪽그림과같은직각삼각형에대하여다음을구하여라. ⑴ 외접원의반지름의길이 ⑵ 내접원의반지름의길이 7
44. 44) 점 I 는 ABC 의내심이고, AIB cm 일 때, ABC 의넓이를구하여라. 47. 47) 오른쪽그림에서 ABC 는 AB AC 인이등변삼각형이다. 점 O 는 ABC 의외심이고, 점 I는 OBC 의내심일때, 의크기를구하여라. 천재박 45. 45) 오른쪽그림에서점 I 는 ABC 의내심이고, 점 J는 IBC 의내심일때, 의크기를구하여라. 천재박 48. 48) 오른쪽그림에서점 O 는 ABC의외심이고, 점 I는 OBC의내심이다. BIC =140 일때, A의크기를구하여라. 46. 46) 오른쪽그림에서점 O 와 I 는각각 ABC 의외심과내심이다. BOC 일때, 다음을구하여라. (1) A 의크기 (2) BIC 의크기 49. 49) 오른쪽그림에서 점 O, I는각각 C=90 인직각삼각형 ABC의외심, 내심이다. A=68 일때, BPC의크기를구하여라. 8
50. 50) 오른쪽그림과같이 B 가직각인직각삼각형ABC 의내심을 I, 외심을 O라하고, BO 와 CI의교점을 P라고하자. A 일때, BP C 의크기를구하여라. 53. 53) 미래앤 다음그림에서 ABC 는 B90, AB BC 인삼각형이고, DEFG 는정사각형이다. DB BE 8 cm, BC 13 cm 일때, ADG 의 넓이를구하여라. 51. 51) 오른쪽그림에서점 O 와 I는각각 B 인직각삼각형 ABC 의외심과내심이다. A 일때, BP C 의크기를구하여라. 성지 52. 52) 오른쪽그림에서점 O 와 I는각각 ABC 의외심과내심일때, ADE 의크기를구하여라. 성지 9
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정답 : 중 2-2: 02. 삼각형의성질 1) 참, 참, 거짓, 거짓 2) 참, 거짓, 거짓 3) 4 4) 5 5) 참, 거짓, 거짓 6) ㄴ, ㄹ 7) 1 8) 3 9) 5 15) ADC 이 고, DAC ADC 이 므 로 ACE 16) A 라고하면 ABC 는이등변삼각형이므로 BCA A 이때, DBC 는 ABC 의외각이므로 DBC A BCA BCD 는이등변삼각형이므로 CDB DBC 이때, DCE 는 DAC 의외각이므로 DCE DCE 는이등변삼각형이므로 DEC DCE 10) 11) 7cm 12) ABD 는 ABC 의외각이므로 ABD A C EBD 는 EBC 의외각이므로 EBD E C 이때, EBD ABD 이므로 E C A C E C A C E A 17) 위의그림에서 CEF 는평각이므로, A ⑴ ABD 와 ACE 에서 ADB AEC 1 AB AC ( 이등변삼각형 ) 2 A 는공통 3 1, 2, 3 에서 ABD ACE ⑵ ACE 는직각삼각형이므로 18) 125 ACE 또, CDO 는직각삼각형이므로 COD ACE 19) 13) 60 14) 20) B C 이므로 ABC 는 AB AC 인이등변삼각형이다. 11
AC AB cm 오른쪽그림과같이두점 A, P 를연결하면 ABP 에서밑변은 AB 이고높이는 PD 이므 로 ABP AB PD P D PD 마찬가지로 ACP 에서밑변은 AC 이고높이는 PE 이므로 24) 오른쪽그림과같이점 D 에서 AB 에내린수선 의발을 H 라하면 ADC ADH (RHA 합동 ) 이므로 DH DC cm 25) ABD cm ACP AC PE P E 21) PE 이때, ABC ABP ACP 이므로 P D PE, PD PE P D PE cm ⑴ ABD 와 CAE 에서 D E 1 AB CA 2 DAB CAE 이고 DAB ABD 이므로 DAB ABD DAB CAE ABD CAE 3 1, 2, 3 에서빗변의길이와한예각의크기 가각각같으므로 ABD CAE ⑵ 다음그림과같이 ABD CAE 이므로 DA EC cm, 22) 26 cm2 23) 15 cm2 AE BD cm DE DA AE EC BD cm 26) 27) ABF AEF (RHS 합동 ) 이므로 28) BAF EAF BF EF ᄀ EFC 에서 EFC 이므로 EF EC ᄂ ᄀ, ᄂ에의하여 BF EC ABC 에서 BAC 이므로 BAD CAD 1 또, ABD 에서 ADB 이므로 BAD ABD 1, 2 에서 CAD ABD 2 따라서 ABD 와 CAE 는빗변의길이와한예각의크기 가각각같으므로합동이다. 즉, AE BD cm AD CE cm DE AE AD 12
29) 55 cm DE DI EI DB EC cm 30) AOB 31) COA 이때, OAB 는이등변삼각형이므로 OAB 또, OAC 는이등변삼각형이므로 OAC BAC OAB OAC OAC 는 OA OC 인이등변삼각형이므로 OAC OCA OAB 는 OA OB 인이등변삼각형이므로 OBA OAB OBC 는 OB OC 인이등변삼각형이므로 OBC OCB 따라서 ABC 에서 32) 72 cm2 33) 34) 27cm 35) 오른쪽그림에서점 I 가 ABC 의내심이므로 BI 와 CI 는각각 B, C 의이 36) ABC 는정삼각형이 고, 점 I 는 ABC 의 내심이므로 ABI CBI 또 AB // ID 이므로 BID ABI IBD BID IDE 마찬가지로 CIE ICE 이므로 IED 따라서 IDE 는정삼각형이므로 ID IE DE DE BC cm 37) 50 38) BIC BIC 에서 IBE IBC, ICD ICB 라하면 이므로 ACE 에서 ABD 에서 이므로 이때, 이므로 39) 등분선이다. DBI IBC 이때, BC DE 이므로 IBC DIB ( 엇각 ) 1 2 1, 2 에서 DBI DIB 이므로 DBI 는이 등변삼각형이다. DI DB cm 마찬가지로 ECI 도이등변삼각형이므로 EI EC cm 13
40) cm 라고하면 ABC cm 위의그림에서 cm 이므로 ABC 41) 7cm 42) 43) cm 직각삼각형 ABC 의외접원의중심은빗변의중점이므로외접 원의반지름의길이는 AB cm 이다. 따라서외접원의둘레의길이는 cm 이다. 한편, 위의그림에서 ABC 의내접원의반지름 의길이를 cm, 내심을점 I 라고하면 ABC 의넓이는 ABC IAB IBC ICA 따라서내접원의둘레의길이는 cm 이다. 그러므로외접원과내접원의둘레의길이의차는 cm ⑴ 직각삼각형의외심은빗변의중점이므로외접원의 반지름의길이는빗변의길이의 이다. 따라서외접원의반지름의길이는 cm ⑵ 다음그림과같이내접원의반지름의길이를 이때, ABC IAB IBC IAC 이므로 cm 다음그림과같이내접원의반지름의 길이를 cm 라고하면 사각형 IECF 는정사각형이므로 CF CE AF AC CF BE BC CE 이때, 접선의성질에의하여 AD AF, BD BE 이므로 44) 36 cm2 45) AB AD BD 즉, 이므로 BIC cm 46) (1) 46 (2) 113 47) BOC A OB OC 이므로 OCB OBC OCB 48) 50 49) 68 50) 120 14
51) 52) 53) 20 cm2 15