정답과해설 1. 기본도형 P. 8~11 대표개념 + 문제확인하기 1 5 1, 3 3 30 4 9 cm 5 75! 6 30! 7 6쌍 8 16 9 4 10 ㄴ, ㄷ 11 3 1 4 13 5개 14 15 40! 16 65! 17 31! 18 l m, p r 7 O와 O, O와 O, O와 O, O와 O, O와 O, O와 O의 6쌍이다. 세직선이한점에서만날때생기는맞꼭지각의쌍의수는 3\{3-1}=3\=6( 쌍 ) n개의서로다른직선이한점에서만날때생기는맞꼭지각 의쌍의수 n{n-1} 쌍 1 a=( 교점의개수 )=( 꼭짓점의개수 )=9 b=( 교선의개수 )=( 모서리의개수 )=16 a+b=9+16=5 1 XV 와 XV 는시작점과뻗어나가는방향이모두다르므로 XV=XV 3 XV 와 XV 는시작점이다르므로 XV=XV 시작점과뻗어나가는방향이모두같아야같은반직선이다. 3 직선은 U, U, U, U, U, U, U, U, U, U 의 10 개이므로 a=10 반직선은 XV, XV, XV, XV, XV, XV, XV, XV, V, V, XV, XV, XV, XV, V, XV, V, V, XV, XV 의 0 개이므로 b=0 a+b=10+0=30 반직선의개수구하기 XV=XV 이므로반직선의개수는직선의개수의 배이다. 즉, 반직선의개수는 10\=0( 개 ) 이다. 어느세점도한직선위에있지않을때두점을이어서만들 수있는직선, 반직선, 선분의개수 ( 직선의개수 )=( 선분의개수 ) ( 반직선의개수 )=( 직선의개수 )\ 4 XMZ=MXZ= 1 XZ=1 \1=6{cm} MXNZ= 1 MXZ=1 \6=3{cm} XNZ=XMZ+MXNZ=6+3=9{cm} 5 c=180!\ 5 3+4+5 =180!\ 5 1 =75! 6 O=O+90! 에서 6O=O+90! 5O=90! O=18! O+O+O=90! 에서 O+O+18!=90! 5O+O=7! 6O=7! O=1! O=O+O=1!+18!=30! 8 3x+90+x=180이므로 5x=90 x=18 또 y=3x+90 ( 맞꼭지각 ) 이므로 y=3\18+90=144 y-x=144-18=16 9 4 점 와직선 사이의거리는 XHZ 의길이이다. 10 ㄴ. l m, m\n이면다음그림과같이 l\n이다. n m ㄷ. l\m, m n이면다음그림과같이 l\n이다. n m 11 1 만나지않는두직선은서로평행하거나꼬인위치에있다. 한직선에수직인두직선은서로평행하거나한점에서 만나거나꼬인위치에있다. 4 꼬인위치에있는두직선은한평면위에있지않다. 5 한평면위에서만나지않는두직선은서로평행하다. 따라서옳은것은 3이다. 1 1 면 HG와 XZ 는서로평행하다. U 와 u는한점에서만난다. 3 면 IJ와수직인면은면, 면 GHIJK의 개이다. 5 XHZ 와평행한면은면 G, 면 K, 면 JK, 면 IJ 의 4 개이다. 따라서옳은것은 4 이다. 13 모서리 와꼬인위치에있는모서리는 XHZ, XZ, GXHZ, XGZ, XHZ의 5개이다. 14 a 의엇각은 i 이다. 1. 기본도형 1
15 오른쪽그림에서 l m이고삼각형의세각의크기의합은 180! 이므로 {180!-a}+{180!-b}+60! =180! a+b=40! 16 오른쪽그림과같이 l m n인직선 n을그으면 x+35!+80!=180! x=180!-115!=65! 17 오른쪽그림에서 XZ Z 이므로 =G=x ( 엇각 ) G==x ( 접은각 ) G=G ( 엇각 ) 이므로 x=6! x=31! 60! 180!-a b 180!-b a 60! m 70! 110! 70! n 35! x m 35! 80! G 6! x x 18 오른쪽그림에서두직선 l, m이직 m n 선 r 와만날때, 동위각의크기가 88! 로같으므로 l m 또두직선 p, r 가직선 n 과만날때, 동위각의크기가 8! 로같으므로 p r x 8! p q 86! 88! 88! 8! r 88! 98! 3 5 개의점,,,, 에서두점을이어서만들수있는선분은 XZ, XZ, XZ, XZ, Z, XZ, XZ, Z, Z, XZ 의 10 개이므로 a=10 직선은 U, u, U, u, U, u, U, u 의 8 개이 므로 b=8 반직선은 XV, XV, XV, XV, V, XV, XV, XV, V, V, V, XV, XV, XV, XV, XV, XV, XV 의 18개이므 로 c=18 a+b+c=10+8+18=36 4 Z=XZ, Z= XZ 이므로 XZ=XZ+Z+Z+XZ =XZ+XZ+XZ+XZ =3XZ+3XZ =3{XZ+XZ}=18{cm} XZ+XZ=6 cm 이때 Z=Z+Z =XZ+ XZ={XZ+XZ} 이므로 XZ=\6=1{cm} XZ+XZ=6 cm 이므로 XZ=XZ-{XZ+XZ}=18-6=1{cm} 5 XPZ= PZ 에서 XPZ`:`PZ=`:`1 XQZ=XQZ 에서 QZ`:`XQZ=1`:` 또점 P 는 XZ 위의점이고점 Q 는 XZ 의연장선위의점 이므로각점의위치를나타내면다음그림과같다. 4 cm 4 cm P M N Q PZ= 1 3 XZ=1 3 \4=8{cm} P. 1~15 내신 5% 따라잡기 1 18 3, 4 3 36 4 1 cm 5 3 6 풀이참조 7 50! 8 7! 9 51! 10 11 8 1 35 13 17개 14 4 15 4 16 3 17 3 18, 4 19 15! 0 0! 1 44! 180! 3 5! 4 60! 5 18! 6 90! 1 a=( 교점의개수 )=( 꼭짓점의개수 )=8 b=( 교선의개수 )=( 모서리의개수 )=13 c=( 면의개수 )=7 d=( 한꼭짓점에서만나는교선의개수의최댓값 )=4 a+b-c+d=8+13-7+4=18 3 직선 l의 1개뿐이다. 4 반직선은 XV, XV, V, XV 의 4개이다. 5 선분은 XZ, Z, XZ 의 3 개이다. 따라서옳지않은것은 3, 4 이다. QZ=XZ=4cm PQZ=PZ+QZ=8+4=3{cm} 따라서 PXMZ= 1 PZ= 1 \8=4{cm} 이고 PXNZ= 1 PQZ=1 \3=16{cm} 이므로 MXNZ=PXNZ-PXMZ=16-4=1{cm} 6 에서점 와 의위치에따라다음그림과같은두가지경우가있다. y` ᄀ y` ᄂ 에서 XZ`:`XZ=1`:`1 이므로점 는 XZ 의중점이다. 즉, 점 I 와 를ᄀ, ᄂ에각각나타내면다음그림과같다. I I y` ᄃ y` ᄅ 에서점 는 XHZ 의중점이므로ᄅ에는점 H 를나타낼수 없다. 정답과해설
따라서점 H 를ᄃ에나타낸후남은위치에점 G 를나타내 면다음그림과같다. G I H 7 O=O+O=90! 이므로 O=90!-O y`ᄀ O=O+O=90! 이므로 O=90!-O y` ᄂ 이때 O+O=80! 이고 ᄀ, ᄂ에서 O=O 이므로 O=O= 1 \80!=40! O =O-O =90!-40!=50! 8 O= 5 3 O 에서 O= 3 5 O O+O = 3 5 O+ 3 5 O = 3 5 {O+O} = 3 5 \180!=108! O =180!-{O+O} =180!-108!=7! 9 1 분에시침은 0.5! 씩, 분침은 6! 씩움직이므로시침이 1 를가리킬때부터 5 시간 18 분동안움직인각도는 30!\5+0.5!\18=159! 분침이 1 를가리킬때부터 18 분동안움직인각도는 6!\18=108! 따라서구하는각의크기는 159!-108!=51! 시침과분침이움직인각도 1 시침은 1시간, 즉 60분동안 360! =30! 만큼움직인다. 1 시침은 1분에 30! =0.5! 만큼움직인다. 60 분침은 1시간, 즉 60분동안 360! 만큼움직인다. 분침은 1분에 360! =6! 만큼움직인다. 60 10 1개의직선과 1개의반직선이만날때는맞꼭지각이생기지않으므로 4개의직선에의해생기는맞꼭지각의쌍의수를구하면된다. 즉, 4 개의직선을각각 a, b, c, d 라하면 개의직선이한 점에서만나는경우는 직선 a 와 b, 직선 a 와 c, 직선 a 와 d, 직선 b 와 c, 직선 b 와 d, 직선 c 와 d 의 6 가지이다. 이때각경우마다 쌍의맞꼭지각이생기므로전체맞꼭지 각의쌍의수는 6\=1( 쌍 ) 4\{4-1}=1( 쌍 ) 11 오른쪽그림에서 +{x+1}+{x-3}+x+5 =180 5x=135 x=7 y =x+1 =\7+1=55 ( 맞꼭지각 ) y-x=55-7=8 1 U\U 이므로 O=90! O =O-O ={4x!-30!}-90! =4x!-10! x!-3! x!+1! x!! 5! 5!! y! x!-3! O=O=4x!-10! ( 맞꼭지각 ) 이므로 GO+O=90! 에서 x+{4x-10}=90, 6x=10 x=35 13! 네점,,, 중세점으로결정되는평면 : 네점은모두평면 P 위의점이다. 1 개 @ 네점,,, 중두점과점 로결정되는평면 : 평면, 평면, 평면, 평면, 평면, 평면 6 개 # 네점,,, 중두점과점 로결정되는평면 : 평면, 평면, 평면, 평면, 평면, 평면 6 개 $ 네점,,, 중한점과두점, 로결정되는 평면 : 평면, 평면, 평면, 평면 4 개 따라서!~$ 에의해구하는평면의개수는 1+6+6+4=17( 개 ) 14 주어진전개도로입체도형을만들면 {} 오른쪽그림과같은정삼각뿔이된 다. 따라서모서리 와꼬인위치에 있는모서리는 Z 이다. {} 15 1 모서리 와평행한면은면 QH, 면 PQH 의 개이다. 면 PQH 와만나는면은면, 면 H, 면 P, 면 PQ, 면 QH 의 5 개이다. 3 모서리 H 와수직으로만나는모서리는 XZ, XZ, XHZ, QXHZ 의 4 개이다. 4 모서리 P 와꼬인위치에있는모서리는 XZ, XZ, XHZ, XHZ, Z, HXQZ 의 6개이다. 5 모서리 와한점에서만나는면은면, 면 PQ, 면 PQH 의 3 개이다. 따라서옳지않은것은 4 이다. 1. 기본도형 3
16 주어진전개도로직육면체를만들 {M, I} {J} 면오른쪽그림과같다. N 3 cm 4 cm K JIX와평행한면은 7 cm 면 ( 또는면 HG}, 면 NK( 또는면 NGK} 의 개이다. 3 NXZ과 XHZ 는꼬인위치에있다. 따라서옳지않은것은 3이다. {H} {G} {} 0 n k이므로 a=60! ( 엇각 ) 이때 a`: b=`:`3에서 60!`: b=`:`3이므로 b=180! b=90! 따라서삼각형의세각의크기의합은 180! 이므로 x+70!+90!=180! x=180!-160!=0! n k a 60! x 70! b m 17 Z 는평면 P 와점 에서만난다. 즉, Z 와평면 P 가수직이려면 Z 가평면 P 위의점 를지나는 개이상의선 분과수직이어야하므로 Z 가 XZ, Z 와각각서로수직 이면된다. 따라서필요한것은ㄷ, ㄹ이다. 직선이평면과한점에서만나고, 그점을지나는평면위의 모든직선과주어진직선이수직일때주어진직선과평면은서로수 1 오른쪽그림과같이 l m p q 인두직선 p, q를그으면 {x-16!}+{3x+0!} =180! 4x=176! x=44! x-1! x-1! 16! x-16! 3x+0! p q m 직이라한다. 그러나직선과평면이수직임을확인할때는직선과평 면이만나는점을지나는평면위의 개의직선과수직임을확인하 면된다. 18 1 l\n, l m 이면두직선 m, n 은다음그림과같이수직으로한점에서만나거나꼬인위치에있을수있다. n n 오른쪽그림과같이 l m p q r인세직선 p, q, r를그으면 a+b+c+d+e =180! a a a b c a+b d a+b+c e a+b+c+d p q r m m 3 l P, m P 이면두직선 l, m 은다음그림과같이평 행하거나한점에서만나거나꼬인위치에있을수있다. P m m m P 5 P\Q, Q\R 이면두평면 P, R 는다음그림과같이 평행하거나한직선에서만날수있다. P Q R 따라서옳은것은, 4 이다. 19 Z XZ 이므로 ==60! ( 동위각 ) I= 1 \60!=30! ==50! ( 동위각 ) I= 1 \50!=5! 따라서삼각형 I에서 x=180!-{30!+5!}=15! P Q R m P 3 오른쪽그림과같이 u 와 Z 의교점을 G 라하면 XV u 이므로 G=G=60! ( 엇각 ) G=180!-60!=10! 따라서사각형 G 에서 75!+10!+140!+=360! =360!-335!=5! 4 오른쪽그림과같이점 를지나고 l m n인직선 n을긋자. =a, =b라 하면 = 1 에서 ==a 75! 140! 40! G 60! 60! a b a a b b = 1 에서 ==b 이때삼각형 에서 3a+3b=180! 이므로 a+b=60! =a+b=60! n m 4 정답과해설
5 다음그림과같이점 를지나고두직선 l, m 에평행한직선 를긋자. a a x b b =a ( 엇각 ), =b ( 엇각 ) 이고 =90! 이므로 a+b=90! 이때 a`: b=7`:`3 이므로 b= 3 7+3 \90!=7! 또 =x ( 엇각 ) 이므로 x+b=45! 에서 x+7!=45! x=18! 는점을 라하자. x 다음그림과같이 XZ 의연장선과직선 m 이만나 a a b =a ( 엇각 ) 삼각형 에서 a+b=180!-90!=90! 이고 a`: b=7`:`3 이므로 a= 7 7+3 \90!=63! 이때 =180!-63!=117!, =45! 이므로 삼각형 에서 x=180!-{117!+45!}=18! 6 종이를접을때생기는접은각의크기는같으므로 a, b와크기 가같은각을표시하면오른쪽그 림과같다. 이때 a+a=65! ( 동위각 ) 이므로 a=65! a=3.5! 또 b+b =a+50! 이므로 b=115! x =65!+50!=115! ( 엇각 ) b=57.5! a+b=3.5!+57.5!=90! m m 65! 50! b b a a P. 16~17 내신 1% 뛰어넘기 01 78개 0 1 6 a+ 7 b 3 03 시 43 11 분 04 16! 05 3 06 79! 07 70! 01 길잡이주어진규칙에따라좌표평면위에선분을 1 개, 개, 3 개, y 그려본다. 주어진규칙에따라두점을각각연결하여선분을그릴때, 선분의개수에따른교점의개수는다음과같다.! 선분이 1 개일때 @ 선분 개가만날때 13 1 교점이없다. 13 1 1 개 1 # 선분 3 개가만날때 $ 선분 4 개가만날때 13 1 11 1 3 13 1 11 10 1 3 4 1+=3( 개 ) 1++3=6( 개 ) 따라서선분 13개가만날때, 교점의개수는 1++3+y+1=78( 개 ) 0 길잡이주어진조건을이용하여 MXNZ, PXNZ 의길이를각각 a, b 를사용한식으로나타낸다. MXZ= 1 XZ= 1 a, XNZ= 1 Z= 1 b 이므로 MXNZ=MXZ+XNZ= 1 a+ 1 b= 1 {a+b} 이때 MXPZ`:`PXNZ=`:`1이므로 PXNZ= 1 3 MXNZ= 1 3 \ 1 {a+b}= 1 6 {a+b} PZ =PXNZ+NXZ =PXNZ+ 1 Z = 1 6 {a+b}+ 1 b = 1 6 a+ 3 b 1. 기본도형 5
03 04 길잡이시계의시침과분침이 1 를가리킬때부터각각움직인각도의 차가 180! 가되도록식을세운다. 시 x 분에시침과분침이 180! 를이룬다고하면시침이 1 를가리킬때부터 시간 x 분동안움직인각도는 30!\+0.5!\x 분침이 1 를가리킬때부터 x 분동안움직인각도는 6!\x 이때시침과분침이이루는각의크기가 180! 이므로 6!\x-{30!\+0.5!\x}=180! 에서 5.5!\x=40! x= 480 11 =43 7 11 따라서구하는시각은 시 43 7 11 분이다. 길잡이접은종이에서접힌부분의각의크기가같음을이용하여식을 세운다. 오른쪽그림에서 PQ'=a, 'Q=b 라하면 PQ=PQ'=a ( 접은각 ), Q='Q=b ( 접은각 ) 이므로 a+44!+b=180! a+b=136! P ' x 44! a a a+b=68! 삼각형 PQ' 에서 x+a+90!=180! x+a=90! y` ᄀ 삼각형 Q 에서 y+b+90!=180! y+b=90! y` ᄂ ᄀ, ᄂ에서 x+y+a+b=180! Q ' b b 즉, x+y+68!=180! 이므로 x+y=11! 이때 x`: y=4`:`3 이므로 x=11!\ 4 3 =64!, y=11!\ 3+4 3+4 =48! x-y=64!-48!=16! y 07 길잡이점,, 를각각지나고 XV, XGV 에평행한 3개의직선을긋 는다. H I J G 위의그림과같이점,, 를각각지나고 XV, XGV 에 평행한세직선 Hu, I, J 를그으면 ++++G ={+H}+{H+I} =180!+180!+180!+180! =70! +{I+J}+{J+G} 다음그림과같이평행한두직선이다른한직선과만날때 같은쪽에있는안쪽의두각의크기의합은 180! 이다. a+b=180! a b b 05 길잡이주어진정사각형모양의종이를점선을따라접어입체도형을만 들어본다. 면 와수직인면은 면 ( 또는면, 면 }, 면 ( 또는면, 면 } 의 개이므로 a= XZ 와꼬인위치에있는모서리는 XZ ( 또는 Z, XZ} 의 1개이므로 b=1 a+b=+1=3 {, } 06 길잡이두직선 l, m 에평행한 개의직선을긋는다. 오른쪽그림과같이 l m p q 인두직선 p, q를그으면 {a-67!}+{b-3!}=180! a+b=180!+99!=79! a-67! 67! 40! 73! 107! 67! 48! 5! p b-3! q 3! m 3! 6 정답과해설
. 작도와합동 P. 0~ 대표개념 + 문제확인하기 1, 4 5 3 ㄱ, ㄴ, ㄹ 4 ᄂ ᄆ ᄀ ᄇ ᄅ ᄃ 5 6 ㄴ, ㄹ 7, 3 8 9 3 10 7 cm, 78! 11 1 XZ,, SS 13 P+ P, SS 합동 1 작도할때는각도기를사용하지않는다. 4 선분의길이를옮길때는컴퍼스를사용한다. 직선 l 위에점 를끝점으로하여 XZ 의길이를한번옮기고, 이때생긴교점을끝점으로하여 XZ 의길이를한번 더옮기면된다. 따라서선분의길이를옮길때사용하는컴 퍼스가필요하다. 3 ㄱ. 두점 O, P 를중심으로반지름의길이가같은원을각각그렸으므로 OXZ=OXZ=PZ=PXZ ㄴ. 점 를중심으로 XZ 의길이를반지름으로하는원을 그렸으므로 XZ=XZ ㄹ. 크기가같은각을작도하였으므로 O=P 4 오른쪽그림은 서로다른두직선이다른한직선과만날때, 엇각의크기가 같으면두직선은평행하다. 는성질을 이용하여작도한것이다. ᄂ점 P 를지나는직선을그어직선 l 과의교점을 라한다. ᄀ ᄂ R ᄅ P Q ᄆ ᄇ ᄆ점 를중심으로원을그려 PU, 직선 l 과의교점을각 각, 라한다. ᄀ점 P 를중심으로 XZ 의길이를반지름으로하는원을그 려 PU 와의교점을 Q 라한다. ᄇ컴퍼스를사용하여 Z 의길이를잰다. ᄅ점 Q 를중심으로 Z 의길이를반지름으로하는원을그 려ᄀ의원과의교점을 R 라한다. ᄃ두점 P, R 를지나는직선을그으면 PRu 가점 P 를지나 고직선 l 에평행한직선이다. 따라서작도순서는ᄂ ᄆ ᄀ ᄇ ᄅ ᄃ이다. 5 1 5<3+4 이므로삼각형이될수있다. 1>5+6 이므로삼각형이될수없다. 3 7<7+7 이므로삼각형이될수있다. 4 15<8+10 이므로삼각형이될수있다. 5 10<3+8 이므로삼각형이될수있다. 따라서삼각형의세변의길이가될수없는것은 이다. ᄃ 6 한변의길이와그양끝각의크기가주어질때는선분을작도한후두각을작도하거나, 한각을작도한후선분을 작도하고나머지각을작도하면된다. 따라서옳은것은ㄴ, ㄹ이다. 7 1 세변의길이가주어졌지만 8=3+5 이므로 를만들수없다. =180!-{100!+35!}=45! 즉, Z 의길이와그양끝각인, 의크기가주 어진것과같으므로 가하나로작도된다. 3 XZ, Z 의길이와그끼인각인 의크기가주어졌으 므로 가하나로작도된다. 4 세각의크기가주어지면모양은같고크기는다른삼각 형을무수히많이그릴수있으므로 가하나로 작도되지않는다. 5 XZ 와그양끝각인, 의크기가주어졌지만 +=85!+95!=180! 이므로 를만들수 없다. 따라서 가하나로작도되는것은, 3 이다. 8 1 두변의길이와그끼인각의크기가주어졌으므로 가하나로정해진다. 는 XZ 와 XZ 의끼인각이아니므로 가하나 로정해지지않는다. 3 한변의길이와그양끝각의크기가주어졌으므로 가하나로정해진다. 4 와 의크기가주어졌으므로 의크기도알 수있다. 즉, 한변의길이와그양끝각의크기가주어 진것과같으므로 가하나로정해진다. 5 와 의크기가주어졌으므로 의크기도알수 있다. 즉, 한변의길이와그양끝각의크기가주어진 것과같으므로 가하나로정해진다. 따라서필요한조건이아닌것은 이다. 9 3 다음그림의두마름모는한변의길이는같지만합동은아니다. 40! 10 XZ 의대응변은 XZ 이므로 XZ=XZ=7cm 의대응각은 이므로 3 cm 70! ==180!-{57!+45!}=78! 11 와 에서 XZ=XZ, 는공통, Z=Z + ( SS 합동 ) 따라서필요한나머지한조건은 이다. 3 cm. 작도와합동 7
1 와 에서 가정삼각형이므로 Z=XZ 가정삼각형이므로 XZ =Z 또 =60!+= + ( SS 합동 ) 13 P와 P에서 사각형 는정사각형이므로 XZ=XZ y`ᄀ P는정삼각형이므로 PZ=PZ y`ᄂ P=90!-P=90!-60!=30!, P=90!-P=90!-60!=30! 이므로 P=P y`ᄃ따라서ᄀ, ᄂ, ᄃ에의해 P+ P ( SS 합동 ) P. 3~5 내신 5% 따라잡기 1 11 5 3 3 4 60! 5 1, 5 6 8개 7, 3 8 ㄱ, ㄷ 9 3개 10 10! 11 60! 1 4 13 8 cm 14 +, +, O+ O, O+ O 15 17 cm 16 57! 17 4 18 47! 19 5 cm@ ᄀ 점 를중심으로원을그려 U, u와의교점을각각, 라한다. ᄅ 점 를중심으로 Z 의길이를반지름으로하는원을그려 u 와의교점을 Q라한다. ᄉR ᄋ S ᄀᄂᄅ P Q ᄃ ᄇᄆ ᄉ 점 를중심으로 Z 의길이를반지름으로하는원을그 려 U와의교점을 R라한다. ᄂ컴퍼스를사용하여 Z 의길이를잰다. ᄆ 점 Q를중심으로 Z 의길이를반지름으로하는원을그 려ᄅ의원과의교점을 P라한다. ᄋ 점 R를중심으로 Z 의길이를반지름으로하는원을그 려ᄉ의원과의교점을 S라한다. ᄃ두점, P를지나는직선을그린다. ᄇ 두점, S를지나는직선을그려ᄃ의직선과의교점을 라한다. 와크기가같은각을동위각의위치에작도하였으므로 U U, U u가되어사각형 는평행사변형 이된다. 위의작도순서에서ᄅ ᄉ, ᄆ ᄋ, ᄃ ᄇ이므로 작도순서는ᄀ ( ᄅ ᄉ ) ᄂ ( ᄆ ᄋ ) ( ᄃ ᄇ ) 이다. 따라서옳지않은것은 3이다. 4 주어진순서대로작도하면오른쪽그림과같다. 이때 XZ=Z=XZ( 원의반지름 ) 이므로삼각형 는정삼각형이다. =60! 1 3 회 따라서 a=3, b=4이므로 a+b=3+\4=11 4 회 1 점 를중심으로 XZ 의길이를반지름으로하는원을그렸으므로 XZ=Z, 3, 4 두점 P, Q를중심으로반지름의길이가같은원을각각그렸으므로 QXZ=QZ=PZ=PXZ 따라서옳지않은것은 5이다. 3 평행사변형은두쌍의대변이각각평행한사각형이므로 서로다른두직선이다른한직선과만날때, 동위각의크기 가같으면두직선이평행하다. 는성질을이용하여작도한 것이다. 5 1 x=1 이면세변의길이는 5, 3, 이다. 5=3+ 이므로삼각형이될수없다. x=3 이면세변의길이는 7, 3, 6 이다. 7<3+6 이므로삼각형이될수있다. 3 x=5 이면세변의길이는 9, 3, 10 이다. 10<9+3 이므로삼각형이될수있다. 4 x=6 이면세변의길이는 10, 3, 1 이다. 1<10+3 이므로삼각형이될수있다. 5 x=8 이면세변의길이는 1, 3, 16 이다. 16>1+3 이므로삼각형이될수없다. 따라서 x 의값이될수없는것은 1, 5 이다. 6! 가장긴변의길이가 14 cm일때 5+6<14 삼각형을만들수없다. 5+9=14 5+10>14 6+9>14 삼각형을만들수있다. 6+10>14 9+10>14 8 정답과해설
@ 가장긴변의길이가 10 cm 일때 5+6>10 5+9>10 삼각형을만들수있다. 6+9>10 # 가장긴변의길이가 9 cm일때 5+6>9 삼각형을만들수있다. 따라서!~# 에의해삼각형을만들수있도록 3 개의선 분을고르는경우는 {5 cm, 10 cm, 14 cm}, {6 cm, 9 cm, 14 cm}, {6 cm, 10 cm, 14 cm}, {9 cm, 10 cm, 14 cm}, {5 cm, 6 cm, 10 cm}, {5 cm, 9 cm, 10 cm}, {6 cm, 9 cm, 10 cm}, {5 cm, 6 cm, 9 cm} 의 8 가지이므로구하는삼각형의개수는 8 개이다. 7 1 세변의길이가주어졌지만 8>+5 이므로 를만들수없다. =180!-{40!+60!}=80! 즉, 한변의길이와그양끝각의크기가주어진것과같 으므로 가하나로정해진다. 3 세변의길이가주어졌고 9<5+5 이므로 가하 나로정해진다. 4 는 XZ 와 Z 의끼인각이아니므로 가하나 로정해지지않는다. 5 +=180! 이므로 를만들수없다. 따라서 가하나로정해지는조건은, 3 이다. 두변의길이와그끼인각이아닌다른한각의크기가주어진 경우에는삼각형이그려지지않거나 1 개또는 개로그려진다. 4 의 경우에는다음그림과같이삼각형이그려지지않는다. 5 cm 7 cm 8 ㄱ. =180!-{+}=180!-{30!+75!}=75! 즉, 한변의길이와그양끝각의크기가주어진것과 50! 같으므로 가하나로정해진다. ㄴ. +=180! 이므로 를만들수없다. ㄷ. 두변의길이와그끼인각의크기가주어졌으므로 가하나로정해진다. ㄹ. 가 Z 와 XZ 의끼인각이아니므로 가하 나로정해지지않는다. 따라서 가하나로정해지기위해필요한나머지한 조건은ㄱ, ㄷ이다. 9 에서나머지한각의크기는 180!-{50!+70!}=60! 따라서주어진조건을모두만족시키도록작도할수있는서 로다른삼각형은다음그림과같이 3 개이다. 70! 60! 50! 7 cm 70! 60! 50! 7 cm 7 cm 10 와 에서 XZ=Z 이고, 가정삼각형이므로 ==60!, XZ=Z + ( SS 합동 ) 따라서 에서 =180!-{+} =180!-{+} =180!-60!=10! 11 와 에서 와 가정삼각형이므로 Z=XZ, Z=Z, =60!+= + ( SS 합동 ) 에서 x =180!-{+} =180!-{60!++60!-} 이때 = 이므로 x=180!-10!=60! 1 와 에서 와 는정삼각형이므로 XZ=XZ, XZ=XZ, =60!-= + ( SS 합동 ) 따라서 ==80! 이므로 =-=80!-60!=0! 13 와 G 에서 와 는정삼각형이므로 XZ=XZ=11cm, =G=60!, =60!-G=G + G ( S 합동 ) Z=XGZ=11-3=8{cm} 70! 60! 50! 14 주어진도형은평행사변형이므로 XZ XZ, XZ Z! 와 에서 = ( 엇각 ), = ( 엇각 ) XZ 는공통 + ( S 합동 ) @ 와 에서 = ( 엇각 ), = ( 엇각 ) XZ 는공통 + ( S 합동 ). 작도와합동 9
# O와 O에서 XZ=XZ, O=O ( 엇각 ) O=O( 엇각 ) O+ O ( S 합동 ) $ O와 O에서 XZ=Z, O=O ( 엇각 ) O=O ( 엇각 ) O+ O ( S 합동 ) 15 와 에서 XZ=XZ, = = ( 맞꼭지각 ) 이므로 =180!-{+} =180!-{+} = + ( S 합동 ) 따라서 XXZ=XZ 이므로 ( 의둘레의길이 ) =XZ+Z+XZ= XZ+Z+Z =XZ+Z=XZ+Z =5+1=17{cm} 16 와 에서사각형 가정사각형이므로 XZ=XZ, ==45!, XZ 는공통 + ( SS 합동 ) 즉, ==10! 이므로 =180!-10!=78! 따라서 에서 x=180!-{45!+78!}=57! 17 와 G에서두사각형 와 G가정사각형이므로 Z=XZ, Z=XGZ, =G=90! + G ( SS 합동 ) 따라서 G의둘레의길이는 XZ+GZ+XGZ=Z+Z+Z =5+{5+7}+13 =30{cm} 18 G와 에서두사각형 와 G가정사각형이므로 Z=XZ, GZ=XZ, G=90!-G= G+ ( SS 합동 ) =G=90!-7!=18! H=180!-65!=115! 따라서 H에서 =180!-{18!+115!}=47! 19 오른쪽그림의 OH와 OI 에서두사각형 와 OG 가정사각형이므로 OZ=OXZ, OH=OI= 1 \90!=45!, 10 cm OH=90!-HO=OI OH+ OI ( S 합동 ) 따라서색칠한부분의넓이는 OH+ OI = OH+ OH = O H O 10 cm = 1 \( 정사각형 의넓이 ) 4 = 1 4 \{10\10}=5{cm@} P. 6~7 내신 1% 뛰어넘기 01, 5 0 4 03 4 04 90! 05 0 cm 06 75! 01 길잡이크기가 90! 인각의삼등분선은정삼각형의세각의크기가모두 60! 임을이용하여작도할수있다. 1 OXPV, OXQV 가 O의삼등분선이므로 OQ =QOP=PO= 1 3 O OP=OQ+QOP= 3 O OQ와 POQ에서 XOZ=POZ, OQ=POQ, OXQZ 는공통이므로 OQ+ POQ ( SS 합동 ) 즉, XQZ=PQZ 이므로 PQ에서 XPZ<XQZ+PQZ= PQZ 3 OXZ=OXQZ 이므로 OQ는이등변삼각형이다. 즉, OQ = 1 \{180!-OQ} = 1 \{180!-30!}=75! 4 세점 O,, 를중심으로반지름의길이가같은원을 각각그렸으므로 OXZ=OPZ=XPZ 이다. 즉, OP 는정삼각형이다. 5 주어진그림은정삼각형의세각의크기가모두 60! 임을 이용하여작도한것이다. ᄂ점 O를중심으로원을그려 OXXV, OXYV 와의교점을각 각, 라한다. ᄃ두점, 를중심으로 OXZ 의길이를반지름으로하 는원을그려ᄂ의원과의교점을각각 P, Q 라한다. ᄀ두점 O, P를지나는 OXPV, 두점 O, Q를지나는 OXQV 를그리면 OQ=QOP=PO 이다. 즉, 작도순서는ᄂ ᄃ ᄀ이다. 따라서옳지않은것은, 5이다. I G 10 정답과해설
0 03 길잡이두변의길이와그끼인각이아닌다른한각의크기가주어지면 삼각형이하나로정해지지않으므로주어진조건을만족시키는삼각형의 여러가지모양을모두생각해본다. 두변의길이와그끼인각의크기가주어지면삼각형은하 나로정해지므로 x=1 주어진각이두변의끼인각이아닐때만들수있는삼각형 은다음그림과같이 3 개이므로 y=3 10 cm 10 cm 15 cm x+y=1+3=4 30! 10 cm 30! 길잡이 와합동인두삼각형을찾는다. 와 에서 XZ=XZ, Z=Z, =60!-= (1) + ( SS 합동 ) 와 에서 Z=XZ, Z=Z, =60!-= + ( SS 합동 ) + + 3 Z=XZ=XZ=7 cm 4 =+60! =+60! 이때 = 이므로 = 5 ( 오각형 의둘레의길이 ) =Z+Z+XZ+XZ+ XZ =Z+XZ+XZ+XZ+XZ =9+7+4+7+4=31{cm} 따라서옳지않은것은 4 이다. 15 cm 05 06 x =180!-{PH+PH} =180!-{H+H} =H=90! 길잡이 와합동인삼각형을찾는다. 오른쪽그림의 G 와 에서두사각형 와 G 가정사각형이므로 GZ=Z, Z=XZ, G =90!-G = G+ ( SS 합동 ) G 00 cm@ 따라서 G 의넓이는 의넓이와같으므로 XZ=xcm라하면 1 x@=00, x@=400=0@ x=0{cm} 따라서 Z 의길이는 0 cm이다. 길잡이보조선을그어 와합동인삼각형을만든다. 오른쪽그림과같이 XGZ=Z 가되도 록 Z 의연장선위에점 G 를잡으면 와 G 에서 사각형 가정사각형이므로 XZ=XZ, Z=XGZ, =G=90! 이므로 + G ( SS 합동 ) y` ᄀ G =G+ =+ =90!- =90!-45!=45! 또 와 G 에서 XZ 는공통, XZ=XGZ ( ᄀ ), =G=45! + G ( SS 합동 ) 45! ==180!-{45!+60!}=75! 60! G 04 길잡이합동인두삼각형을찾는다. 오른쪽그림의 와 에서두사각형 와 G가정사 각형이므로 XZ=XZ, XZ=XZ, =90!+ = + ( SS 합동 ) H와 PH에서 H=PH ( ᄀ ) 이고 H=PH ( 맞꼭지각 ) H x P y`ᄀ G P. 8~9 1 ~ 서술형완성하기 [ 과정은풀이참조 ] 1 ⑴ 6 cm ⑵ 18 cm 14 3 ⑴ 91! ⑵ 5! 4 4 개 5 ⑴ ᄀ ᄆ ᄂ ᄇ ᄃ ᄅ ⑵ 풀이참조 6 PM+ QM, S 합동 7 x=84!, y=16! 8 66! 1~. 서술형완성하기 11
1 ⑴ XZ=Z=XZ 이고 XZ, XZ 의중점이각각 M, N이므로 MXZ=XNZ= 1 Z MXNZ =MXZ+Z+XNZ = 1 Z+Z+1 Z= Z y`! 이때 MXNZ=1 cm 이므로 Z= 1 MXNZ=1 \1=6{cm} ⑵ XZ =3 Z=3\6=18{cm} y`@ y`#! MXNZ= Z 임을알기 40 % @ Z 의길이구하기 30 % # XZ 의길이구하기 30 % 모서리 와꼬인위치에있는모서리는 XZ, XGZ, HXIX, HXKZ, IJZ, JKZ, XHZ, XIX, XJX 의 9개이므로 a=9 y`! 면 JKG와수직인면은면 G, 면 IJ, 면 HIJK, 면 HK, 면 의 5개이므로 b=5 y`@ a+b=9+5=14 y`#! a의값구하기 40 % @ b 의값구하기 40 % # a+b 의값구하기 0 % 3 ⑴ 다음그림과같이점 를지나고두직선, 에평행한직선을그으면 35! 35! 56! H 56! G I==35! ( 엇각 ) IG=G=56! ( 엇각 ) G =I+IG I =35!+56!=91! y`! ⑵ H= 4 HG이므로 3 G =H+HG = 4 3 HG+HG = 7 3 HG=91! HG= 3 7 \91!=39! H = 4 3 HG = 4 3 \39!=5! y`@ y`#! G 의크기구하기 30 % @ HG 의크기구하기 40 % # H 의크기구하기 30 % 4 가장긴변의길이가 x cm 일때 x<4+9 x<13 y` ᄀ y`! 가장긴변의길이가 9 cm 일때 9<4+x x>5 y` ᄂ y`@ 즉, ᄀ, ᄂ에서 5<x<13 y`# 따라서 x 의값이될수있는한자리의자연수는 6, 7, 8, 9 의 4 개이다. y`$! 가장긴변의길이가 x cm 일때, x 의값의범위구하기 30 % @ 가장긴변의길이가 9 cm 일때, x 의값의범위구하기 30 % # x 의값의범위구하기 0 % $ x 의값이될수있는한자리의자연수의개수구하기 0 % 5 ⑴ 크기가같은각의작도를이용한것이므로작도순서는ᄀ ᄆ ᄂ ᄇ ᄃ ᄅ이다. y`! ⑵ 와 PQR 에서 XZ=PQZ, Z=QXRZ, XZ=PXRZ 이므로대응하는세변의길이가각각같다. + PQR ( SSS 합동 ) y`@ y`# 따라서합동인두삼각형에서대응각의크기는같으므로 =RPQ 이다. y`$! 작도순서나열하기 30 % @ 와 PQR 가합동인이유보이기 30 % # 두삼각형이합동임을기호 + 를사용하여나타내고합동조건말하기 30 % $ =RPQ 임을설명하기 10 % 6 PM 과 QM 에서 XMZ=XMZ, MP=MQ ( 맞꼭지각 ) 이때 PM=QM 이므로 PM=QM y`! 따라서대응하는한변의길이가같고, 그양끝각의크기가 각각같으므로 PM+ QM ( S 합동 ) y`@! PM 과 QM 이합동인이유보이기 60 % @ 두삼각형이합동임을기호 + 를사용하여나타내고합동조건말하기 40 % 1 정답과해설
7 다음그림과같이세점,, 를각각지나고두직선 l, m 에평행한세직선을긋자. 4! a b x a b a 3a 3b =a, G=b 라하면 G=a+b=4! =a, G=b 이므로 b G m y`! x =a+b={a+b}=\4!=84! y`@ =3a, G=3b 이므로 y=3a+3b =3{a+b}=3\4!=16! y`#! G 의크기를문자를사용한식으로나타내기 0 % @ x 의크기구하기 40 % # y 의크기구하기 40 % 8 와 에서 XZ=XZ, ==45!, XZ는공통 + ( SS 합동 ) XZ Z 이므로 ==38! ( 엇각 ) 즉, ==38! 이므로 =90!- y`! =90!-38!=5! y`@ =180!- =180!-5!=18! 이므로 에서 =180!-{18!+38!}=14! +=5!+14!=66! y`# y`$! 와 가합동임을보이기 40 % @ 의크기구하기 5 % # 의크기구하기 5 % $ + 의값구하기 10 % 1~. 서술형완성하기 13
3. 다각형 P. 3~34 1 1 모든변의길이가같고모든내각의크기가같은다각형을정다각형이라한다. 5 오른쪽그림의정육각형에서두대각선의 길이는같지않다. 십오각형의한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수는 15-3=1( 개 ) 이므로 a=1 이때만들어지는삼각형의개수는 15-=13( 개 ) 이므로 b=13 a+b=1+13=5 3 주어진다각형을 n 각형이라하면한꼭짓점에서대각선을모두그었을때만들어지는삼각형 의개수는 {n-} 개이므로 n-=5 n=7, 즉칠각형 따라서칠각형의내부의한점에서각꼭 짓점에선분을그었을때만들어지는삼각 형의개수는오른쪽그림과같으므로 7 개 이다. 1 7 6 3 4 5 n 각형의내부의한점에서각꼭짓점에선분을그었을때만 들어지는삼각형의개수는 n 개이다. 4 에서모든변의길이가같고모든내각의크기가같은다각형은정다각형이다. 에서대각선의개수가 7 개인다각형을정 n 각형이라하면 n{n-3} =7, n{n-3}=54=9\6 n=9 따라서구하는다각형은정구각형이다. 5 주어진다각형을 n 각형이라하면한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수는 {n-3} 개이 므로 n-3=17 n=0, 즉이십각형 따라서이십각형의대각선의개수는 0\{0-3} 대표개념 + 문제확인하기 1 1, 5 5 3 7개 4 정구각형 5 4 6 118! 7 34! 8 76! 9 63! 10 35개 11 100! 1 6개 13 1 14 5 15 4 16 31.5! = 0\17 =170( 개 ) 6 오른쪽그림과같이 XZ 를그으면 에서 57!+3!+38!++ =180! 에서 x++=180! x=57!+3!+38!=118! 3! 삼각형의내각과외각사이의관계이용하기 오른쪽그림과같이 XZ 의연장선을 그으면 에서 =a+3! 에서 =b+38! x =+ ={a+3!}+{b+38!} ={a+b}+3!+38! =57!+3!+38!=118! 7 에서 x=4!+60!=10! 에서 y=30!+x=30!+10!=13! x+y=10!+13!=34! 8 == 1 \{180!-118!}=31! =180!-135!=45! 따라서 에서 x =+ =31!+45!=76! 9 오른쪽그림의 G에서 G=5!+4!=49! 에서 G=33!+35!=68! 따라서 G에서 x+g+g=180! x+49!+68!=180! x=180!-{49!+68!}=63! 10 주어진다각형을 n각형이라하면 180!\{n-}=1440!, n-=8 n=10, 즉십각형따라서십각형의대각선의개수는 10\{10-3} = 10\7 =35( 개 ) 57! x a b 38! 38! 3! a+3! b+38! x G 5! 35! 11 육각형의외각의크기의합은 360! 이므로 {180!-x}+50!+{180!-110!}+30! +{180!-90!}+40!=360! 460!-x=360! x=100! 33! 4! 14 정답과해설
내각의크기의합이용하기육각형의내각의크기의합은 180!\{6-}=70! 이므로 x+{180!-50!}+110!+{180!-30!} +90!+{180!-40!}=70! x+60!=70! x=100! 1 주어진정다각형을정n각형이라하면 180!\{n-} =140! n 180!\n-360!=140!\n 40!\n=360! n=9, 즉정구각형 따라서정구각형의한꼭짓점에서그을수있는대각선의 개수는 9-3=6( 개 ) 주어진정다각형구하기 다각형의한꼭짓점에서내각과외각의크기의합은 180! 이 므로 ( 한외각의크기 )=180!-140!=40! 주어진정다각형을정 n 각형이라하면 360! n =40! n=9, 즉정구각형 13 주어진정다각형을정n각형이라하면 360! n =30! n=1, 즉정십이각형 따라서정십이각형의내각의크기의합은 180!\{1-}=1800! 16 오른쪽그림과같이정오각형과정팔각형의공통된변을연장하여 보조선을그으면 정오각형의한외각의크기는 360! 5 =7! x 45! 7! 정팔각형의한외각의크기는 360! 8 =45! =7!+45!=117! 따라서 는 XZ=Z 인이등변삼각형이므로 x= 1 \{180!-117!}=31.5! P. 35~39 내신 5% 따라잡기 1 14개 1 3 5 4 105 5 6 100! 7 9! 8 3 9 34! 10 116! 11 7! 1 0! 13 54! 14 3 15 119개 16 5 17 104! 18 360! 19 1080! 0 330! 1 540! 정십오각형 3 3, 4 4 105! 5 67.5! 6 3 7 96! 8 60! 9 144! 30 36! 14 한내각의크기와한외각의크기의합은 180! 이므로 ( 한외각의크기 )=180!\ 1 9+1 =18! 구하는정다각형을정n각형이라하면 360! =18! n=0 n 따라서구하는정다각형은정이십각형이다. 15 정오각형의한내각의크기는 36! 180!\{5-} 36! =108! 5 오른쪽그림에서 는 XZ=Z 인이등변삼각형이므로 = 1 \{180!-108!}=36! 는 XZ=XZ 인이등변삼각형이므로 = 1 \{180!-108!}=36! 따라서 에서 =+ =36!+36! =7! 1! 작은정삼각형 1개로이루어진, 정삼각형 : 9개 @ 작은정삼각형 4개로이루어진정삼각형 : 3개 # 작은정삼각형 9개로이루어진정삼각형 : 1개 $ 작은정삼각형 6개로이루어진정육각형 : 1개따라서!~$ 에의해정다각형은모두 9+3+1+1=14( 개 ) 이다. 구하는다각형을 n 각형이라하면한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수는 {n-3} 개이 므로 a=n-3 이때만들어지는삼각형의개수는 {n-} 개이므로 b=n- 즉, a+b=1 에서 {n-3}+{n-}=1 n-5=1, n=6 n=13 따라서구하는다각형은십삼각형이다. 3. 다각형 15
3 오른쪽그림과같이 8 명의학생을 8 개의점으로두고서로연결하면팔각형의각 꼭짓점을서로연결하는것과같다. 이때이웃하는학생끼리악수를하는횟 수는팔각형의변의개수와같으므로 8 번 이고, 이웃하지않는학생끼리악수를하는횟수는팔각형 의대각선의개수와같으므로 8\{8-3} =0( 번 ) 이다. 따라서악수를하는횟수는모두 8+0=8( 번 ) 이다. 4 주어진다각형을 n각형이라하면 a=n, b= n{n-3} 이고 a`:`b=1`:`6이므로 n`:` n{n-3} =1`:`6 n{n-3} =6n, n-3 =6, n-3=1 n=15 따라서주어진다각형은십오각형이므로 a=n=15 b= n{n-3} = 15{15-3} =90 a+b=15+90=105 7 에서 +=180!-48!=13! 에서 =180!-{+} =180!- 3 {+} =180!- 3 \13!=9! 8 오른쪽그림과같이 Z, XZ를그 으면 G=G ( 맞꼭지각 ) 이므로 G G+G =G+G ++++ =++ +{+G}+{+G} ={+++G+G} +{+} =( 의내각의크기의합 )+{+} 이때 에서 +=180!-=180!-90!=90! 이므로 ++++ =180!+90!=70! 5 주어진정다각형을정 n 각형이라하면한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수는 {n-3} 개이므로 n-3=8 n=11, 즉정십일각형 따라서오른쪽그림과같이정십일각 형은점 와 Z 의중점을연결한선 분에대하여대칭이므로길이가서로 다른대각선의개수는 4 개이다. 6 오른쪽그림의이등변삼각 형 에서 ==70! 이 므로 =180!-{70!+70!}=40! =+ =60!+40!=100! 70! 는 XZ=XZ 인이등변삼각형이므로 = 1 \{180!-100!} = 1 \80!=40! =+ =40!+60!=100! 9 1! 35! x+35! x-5! x x+16! G y I x-5! 40! 50! H 위의그림의 에서 =x+35! 에서 x+35!=+40! 이므로 =x-5! G==x-5! ( 맞꼭지각 ) 이므로 G에서 GI=1!+{x-5!}=x+16! 또 IGH에서 GI=y+50! 이므로 x+16!=y+50! x-y=34! 10 64! 3! x 3! 64! 48! 48! O 16! 16! 위의그림에서 O는 XOZ=XZ 인이등변삼각형이므로 O=O=16! =16!+16!=3! 16 정답과해설
는 XZ=Z 인이등변삼각형이므로 ==3! O 에서 =O+O=16!+3!=48! 는 Z=Z 인이등변삼각형이므로 ==48! O 에서 =O+O =16!+48!=64! 는 XZ=XZ 인이등변삼각형이므로 ==64! x =180!- =180!-64!=116! 11 는 를점 를중심으로시계반대방향으로 30! 만큼회전시킨것이므로 + 이고 XZ=XZ, ==48! = 에서 +=+30! =30! 즉, 는 XZ=XZ 인이등변삼각형이므로 == 1 \{180!-30!}=75! 에서 =+이므로 75!=+48! =7! 1 오른쪽그림에서 =a, =b라하면 ==a ( 접은각 ) ==b ( 접은각 ) 에서 =40!+ 이므로 b=40!+a b=0!+a y` ᄀ 에서 =x+ 이므로 b=x+a y` ᄂ 따라서ᄀ, ᄂ에서 0!+a=x+a x=0! m 40! x a b a b 13 ==a, ==b 라하면 에서 =180!-a, =180!-b 이므로 7!+{180!-a}+{180!-b}=180! a+b=5! 따라서 에서 a+b=16! =180!-{a+b}=180!-16!=54! 14 오른쪽그림의 H에서 H=a+d GI 에서 GI=c+g 따라서 HIJ 에서 x ={a+d}+{c+g} =a+c+d+g c b a g G c+g H a+d I x J f d e 15 주어진다각형을 n 각형이라하면 n 각형의한꼭짓점에서내각과외각의크기의합은 180! 이므로 n\180!=3060! n=17, 즉십칠각형 따라서십칠각형의대각선의개수는 17\{17-3} = 17\14 =119( 개 ) 16 오각형의내각의크기의합은 180!\{5-}=540! 이므로 ++100!++=540! 이때 =, =, G=G, G=G 이므로 ++100!+G+G=540! ++G+G=440! ++G+G=0! 따라서 와 G 에서 +G =180!-{+} +180!-{G+G} =360!-{++G+G} =360!-0! =140! 17 a 3a 14! x 10! 3b b 40! 위의그림에서 =a, =b 라하면 =3a, =3b 이고 오각형의내각의크기의합은 180!\{5-}=540! 이므로 오각형 에서 4a+14!+10!+4b+40!=540! 4{a+b}=56! a+b=64! 따라서오각형 에서 3a+14!+10!+3b+x=540! 3a+3b+x=96! x =96!-3{a+b} =96!-3\64! =96!-19!=104! 3. 다각형 17
18 오른쪽그림의 G에서 f e G=c+d c+d G H에서 H=e+ f a H d a+b+c+d+e+f =( 사각형 HG의내각의크기의합 ) =360! b c e+f 19 오른쪽그림과같이보조선을그으면 c d b a+b=c+d a 이를팔각형의모든변에서생각하면색칠한모든각의크기의합은팔각형의내각의크기의합과같다. 따라서색칠한모든각의크기의합은 180!\{8-}=1080! 0 오른쪽그림의 G에서 H G=+30! G GH에서 H =+GH 30! =+{+30!} 사각형 H에서 H+++=360! 이므로 {++30!}+++=360! ++++=330! 오른쪽그림과같이 a b XZ, XZ 를그으면 a+b=c+d이므로 d c +++ + 30! + = ( 의내각의크기의합 ) +( 의내각의크기의합 ) =180!+180!=360! 이때 =30! 이므로 ++++=360!-30!=330! 1 a b g f c d e a+b+c+d+e+ f+g =( 7개의삼각형의내각의크기의합 ) -( 칠각형의외각의크기의합 )\ =180!\7-360!\ =160!-70! =540! b c d a e g f 위의그림과같이 Z, XZ 를그으면 G +=+ a+b+c+d+e+f+g =( 사각형 G 의내각의크기의합 ) +( 삼각형 의내각의크기의합 ) =360!+180!=540! 구하는정다각형을정 n 각형이라하고이정 n 각형의한외각의크기를 x 라하면한내각의크기는 x+13! 이므로 {x+13!}+x=180! 에서 x=48! x=4! 360! =4! n=15 n 따라서구하는정다각형은정십오각형이다. 3 점 P 에모이는세정다각형의한내각의크기의합이 360! 가되어야한다. 1 점 P 에모이는정삼각형, 정오각형, 정팔각형의한내각 의크기의합은 60!+ 180!\{5-} + 180!\{8-} 5 8 =60!+108!+135!=303! 점 P 에모이는정삼각형, 정구각형, 정십이각형의한내 각의크기의합은 60!+ 180!\{9-} + 180!\{1-} 9 1 =60!+140!+150!=350! 3 점 P 에모이는정사각형, 정육각형, 정십이각형의한내 각의크기의합은 90!+ 180!\{6-} + 180!\{1-} 6 1 =90!+10!+150!=360! 4 점 P 에모이는정오각형 개와정십각형의한내각의크 기의합은 180!\{5-} \+ 180!\{10-} 5 10 =108!\+144!=360! 5 점 P 에모이는정육각형과정팔각형 개의한내각의크 기의합은 180!\{6-} 6 =10!+135!\=390! + 180!\{8-} \ 8 따라서순서쌍 {a, b, c} 가될수있는것은 3, 4 이다. 18 정답과해설
4 정삼각형 와정사각형 의한내각의크기는각각 60!, 90! 이므로 에서 =60!+90!=150! 이때 는 XZ=XZ 인이등변삼각형이므로 == 1 \{180!-150!}=15! 따라서직각삼각형 에서 x=+=90!+15!=105! 5 정팔각형의한내각의크기는 180!\{8-} x =135! 8 삼각형 에서 = = 1 \{180!-135!}=.5! 사각형 GH 에서 H=G= 1 \{360!-135!-135!}=45! x=135!-{.5!+45!}=67.5! 6 오른쪽그림에서정삼각형, 정사각형, 정오각형의한내각의크기는각각 60!, 90!, 180!\{5-} =108! 이므로 5 H에서 H =108!- =108!-60!=48! H =108!-G =108!-90!=18! H=180!-{48!+18!}=114! 이때사각형 GH 에서 GH=H=114! ( 맞꼭지각 ), H=60!, GH=90! 이므로 114!+60!+G+90!=360! 64!+G=360! x=180!-96!=84! 7 오른쪽그림에서 a는정육각형의한외각이므로 a= 360! 6 =60! b는정오각형의한외각이므로 b= 360! 5 =7! G=96! G H H x c a c 의크기는정육각형과정오각형의한외각의크기의합 이므로 c=60!+7!=13! 색칠한사각형의내각의크기의합은 360! 이므로 a+x+b+c=60!+x+7!+13!=360! x+64!=360! x=96! b x G 8 P x 위의그림과같이 Z 의연장선과 PXZ 의교점을 라하면 P, P, 는정구각형의외각이므로 P=P== 360! 9 =40! 따라서 에서 P=+=40!+40!=80! 이므로 P 에서 x =180!-{P+P} =180!-{40!+80!}=60! 9 와 에서 Z=Z, =, XZ=Z 이므로 + ( SS 합동 ) = 즉, G 에서 G=G+G=+G= 따라서 G 의크기는정십각형의한내각의크기와같 으므로 G = 180!\{10-} =144! 10 30 x G H 5! 5! p y y I q m 위의그림과같이두점, 를지나고두직선 l, m 에평 행한두직선을 p, q 를그으면 정오각형의한내각의크기는 180!\{5-} =108! 이므로 5 x+108!+5!=180! x=47! l p 이므로 G==5! ( 엇각 ) G =108!-G =108!-5!=83! H+I=180! 에서 I=G=83! ( 엇각 ) 이므로 83!+H=180! H=97! 이때 m q 이므로 H=y ( 엇각 ) H+H=108!, y+97!=108! y=11! x-y=47!-11!=36! 3. 다각형 19
P. 40~41 내신 1% 뛰어넘기 01 01 8개 0 30개 03 99! 04 540! 05 48! 06 150! 07 개 08 338! 0 03 길잡이, 와모양이같은이등변삼각형을찾는다. XZ=Z=Z=XZ=XZ=XZ 이므로,,,,, 의 6 개 XZ=Z=XZ=XZ= XZ=XZ 이므로, 의 개 따라서만들수있는이등변삼각형의개수는 6+=8( 개 ) + + + + + ( SS 합동 ) XZ=Z=XZ=XZ= XZ=Z 길잡이원의지름은그원위의두점을잇는가장긴선분임을이용한다. 오른쪽그림에서원 O 의지름이 10 cm 이므로주어진정십각형의가 장긴대각선의길이는 10 cm 이다. 정십각형의대각선의개수는 10\{10-3} = 10\7 =35( 개 ) 정십각형에서길이가 10 cm 인대각선은 X1 6Z, X 7Z, X3 8Z, X4 9Z, X5 10Z 의 5 개 3 4 5 따라서길이가 10 cm 보다짧은대각선의개수는 35-5=30( 개 ) 1 10 길잡이삼각형의세내각의크기의합은 180! 이고사각형의네내각의 크기의합은 360! 임을이용한다. 에서 3{R+R}+81!=180! 3{R+R}=99! R+R=33! R 에서 R+R+R=180! R =180!-{R+R} =180!-33!=147! QRS=R=147! ( 맞꼭지각 ) P 에서 P+P+P=180! P =180!-{P+P} 사각형 PQRS 에서 =180!-{R+R} =180!-66!=114! 114!+PQR+147!+PSR=360! 61!+PQR+PSR=360! PQR+PSR=99! 6 7 9 8 04 05 에서 3{R+R}+81!=180! 3{R+R}=99! R+R=33! Q 에서 PQR=R+R S 에서 PSR=R+R PQR+PSR =3{R+R} =99! 길잡이맞꼭지각의크기는서로같고, 두직선이평행하면동위각의크 기가서로같음을이용한다. 오른쪽그림의 에서 G=a+b 직사각형 에서 XZ Z 이므로 GH =G KIJ 에서 =a+b ( 동위각 ) g =KIJ+IKJ =GIH+KM ( 맞꼭지각 ) a+b+c+d+e+f+g =GH+c+d+e+f ={GH+c+GIH} =( GHI 의내각의크기의합 ) =180!+360! =540! b a N f e d M K g G c I J H +{GIH+KM} +{d+e+f+km} +( 사각형 KMN 의내각의크기의합 ) 길잡이보조선 를그어삼각형의내각의크기의합은 180! 임을이용 한다. 정오각형의한외각의크기는 360! 5 =7! XZ 는정오각형의외각의이등분선이므로 = 1 \7!=36! XZ 는정오각형의외각의삼등분선이므로 = 1 3 \7!=4! 오른쪽그림과같이 XZ 를그으면 에서 = 180!\{5-} =108! 이므로 5 + =180!-108! 따라서 에서 =7! x =180!-{36!+4!+7!} =48! x 0 정답과해설
06 07 길잡이종이를접었을때접은각의크기는서로같음을이용한다. 오른쪽그림에서 =O=45! ( 접은각 ) =O=45! ( 접은각 ) 이때 O =O=O = 1 3 \180!=60! 이므로 GO에서 G =+GO =45!+60!=105! 따라서 GI에서 x =+G =45!+105!=150! 45! I x G O H 45! 길잡이한내각의크기가정수이면한외각의크기도정수임을이용한다. 정 n각형의한내각의크기가정수이면한외각의크기인 360! 도정수이므로 n은 360의약수이어야한다. n 360=#\3@\5이므로 360의약수의개수는 {3+1}\{+1}\{1+1}=4( 개 ) 이때 n>3 이므로 360 의약수중에서 1, 를제외한약수의 개수는 4-=( 개 ) 따라서한내각의크기가정수인정다각형은모두 개이다. 08 길잡이정오각형의한꼭짓점을지나고두직선 l, m 에평행한직선을 그어동위각과엇각의크기가각각같음을이용한다. a I 50! J b 58!! H n G c m 정오각형의한내각의크기는 180!\{5-} =108! 이므로 5 위의그림의 에서 =108!, =! ( 맞꼭지각 ) a =+=108!+!=130! 점 I 를지나고두직선 l, m 에평행한직선 n 을그으면 IJ=a=130! ( 동위각 ) 이므로 IH=180!-130!=50! I 는정오각형의한내각이므로 HI =I-IH=108!-50!=58! 이때 n m 이므로 G=HI=58! ( 동위각 ) b =180!-G=180!-58!=1! 또 G=c ( 맞꼭지각 ) 이고사각형 G 의내각의 크기의합은 360! 이므로 58!+108!+108!+c=360! c=360!-74!=86! a+b+c =130!+1!+86!=338! 3. 다각형 1
4. 원과부채꼴 대표 P. 44~45 개념 + 문제확인하기 1 3 96! 4 3 cm 5 10 cm@ 6 4 7 40p cm, 60p cm@ 8 45! 9 {p+4} cm 10 3 cm@ 11 96 cm@ 1 5 3 p cm@ 1 Z 는원 O 의지름이므로가장긴현이다. 5 원위의두점, 를양끝점으로하는호는 i, I 의 개이다. 따라서옳지않은것은 이다. 부채꼴의호의길이는중심각의크기에정비례하므로 {x+4} : {4x+1}=70!`:`105! {x+4} : {4x+1}=`:`3 3{x+4}={4x+1} 3x+1=8x+, -5x=-10 x= 3 부채꼴의호의길이는중심각의크기에정비례하므로 O`: O`: O=i`:`i`:`i=4`:`5`:`6 O =360!\ 4 4+5+6 =360!\ 4 15 =96! 7 ( 색칠한부분의둘레의길이 ) =( 지름의길이가 0 cm 인원의둘레의길이 ) +( 지름의길이가 14 cm 인원의둘레의길이 ) +( 지름의길이가 6 cm 인원의둘레의길이 ) =p\10+p\7+p\3=40p{cm} ( 색칠한부분의넓이 ) =( 지름의길이가 0 cm인원의넓이 ) -( 지름의길이가 14 cm인원의넓이 ) +( 지름의길이가 6 cm인원의넓이 ) =p\10@-p\7@+p\3@=60p{cm@} 8 부채꼴의반지름의길이를 r cm, 중심각의크기를 x! 라하면 ( 부채꼴의넓이 )= 1 \r\p=8p r=8{cm} ( 부채꼴의호의길이 )=p\8\ x 360 =p x=45{!} 따라서중심각의크기는 45! 이다. 9 ( 색칠한부분의둘레의길이 ) =p\5\ 45 45 +p\{5-}\ 360 360 +\ = 5 4 p+ 3 4 p+4 =p+4{cm} 4 XZ OZ 이므로 O=O=30! ( 동위각 ) 오른쪽그림과같이 OZ 를그으면 O는 OXZ=OZ인이등변삼각 1 cm 형이므로 O=O=30! O=180!-{30!+30!}=10! i`:`i=o`: O에서 i`:`1=30!`:`10!, i`:`1=1`:`4 4i=1 i=3{cm} O 30! 10 오른쪽그림과같이도형을이동하면색칠한부분의넓이는직각을낀두 변의길이가 8 cm 인직각이등변삼각 형의넓이와같으므로 ( 색칠한부분의넓이 ) = 1 \8\8 =3{cm@} 8 cm 11 ( 색칠한부분의넓이 ) ={Z 가지름인반원의넓이 )+{Z 가지름인반원의넓이 ) +{ 의넓이 )-{Z 가지름인반원의넓이 ) 5 부채꼴 O의넓이를 x cm@ 라하면부채꼴의넓이는중심각의크기에정비례하므로 x`:`15=78!`:`117!, x`:`15=`:`3 3x=30 x=10{cm@} 따라서부채꼴 O의넓이는 10 cm@ 이다. 6 4 현의길이는중심각의크기에정비례하지않으므로 XZ=XZ O에서 OXZ+OXZ>XZ 이때 OZ=OXZ=XZ( 원의반지름 ) 이므로 OZ+OXZ=XZ>XZ =p\8@\ 1 +p\6@\ 1 + 1 \16\1-p\10@\ 1 =3p+18p+96-50p =96{cm@} 1 ( 색칠한부분의넓이 ) =( X'Z 이지름인반원의넓이 ) +( 부채꼴 '의넓이 )-( XZ 가지름인반원의넓이 ) =( 부채꼴 '의넓이 ) =p\10@\ 30 360 = 5 3 p{cm@} 정답과해설
P. 46~48 내신 5% 따라잡기 1 3, 4 40! 3 45! 4 9p cm 5 4 cm 6, 3 7 {9p+4} cm 8 1p cm 9 {4p+6} cm@ 10 [49-49 p] cm@ 6 11 7p cm@ 1 {9p+4} cm, 54p cm@ 13 {39-98p} cm@ 14 {144+9p} cm@ 15 3 p cm 16 6p cm 17 용훈, 1 cm 18 105 p m@ 1 1 호의길이는중심각의크기에정비례하므로 ì:`i=o`: O에서 ì:`i=60!`:`0!, ì:`i=3`:`1 i=3 i 현의길이는중심각의크기에정비례하지않으므로 XZ=3Z 3 O=180!-60!=10! 호의길이는중심각의크기에정비례하므로 i`:`i=o`:o에서 i`:`i=10!`:`0!, i`:`i=6`:`1 i=6i 4 XOZ=XOZ, O=60! 이므로 O에서 O=O= 1 \{180!-60!}=60! 즉, O는정삼각형이므로 XZ=OXXZ XZ=OZ 5 O+O=60!+0!=80! 호의길이는중심각의크기에정비례하므로 {i+i}`:`i=80!`:`180! {i+i}`:`i=4`:`9 9{i+i}=4i i+i= 4 9 i 3 오른쪽그림과같이시계의중심인 1 11 점을 O 라하고 OXZ, OZ, OXZ 를그 으면 OXZ=OZ=OXZ ( 원의반지름 ) 이때 1시간에대한중심각의크기는 360! =30! 이므로 1 O=30!\4=10! O는 OXZ=OXZ 인이등변삼각형이므로 O= 1 \{180!-10!}=30! 또 O=30!\5=150! O는 OXZ=OXZ 인이등변삼각형이므로 O= 1 \{180!-150!}=15! =O+O =30!+15!=45! 1 10 O 9 3 8 7 6 5 4 4 오른쪽그림과같이 OXZ, OXZ 를그 5p cm 으면 O는 OXZ=OXZ 인이등변삼각형이므로 40! O 50! O=O=40! O =180!-{40!+40!} =100! 또 O는 OXZ=OXZ 인이등변삼각형이므로 O=O=50! O=180!-{50!+50!}=80! O+O =360!-{O+O} =360!-{100!+80!}=180! ì:`{i+i}=o`:`{o+o} 에서 5p`:`{i+i}=100!`:`180! 5p`:`{i+i}=5`:`9, 5{i+i}=45p i+i=9p{cm} 따라서옳은것은 3, 4 이다. 5 0! O O 위의그림과같이 OZ 를그으면 O`: O=ì:`i=5`:`4 O=180!\ 5 5+4 =180!\ 5 9 =100! 이때 O는 OXZ=OZ 인이등변삼각형이므로 O =O= 1 \{180!-100!}=40! 따라서 XZ OZ 이므로 O=O=40! ( 동위각 ) 1 cm 위의그림에서 O는 Z=OZ 인이등변삼각형이므로 O=O=0! O =O+O=0!+0!=40! OXZ 를그으면 O는 OZ=OXZ 인이등변삼각형이므로 O=O=40! O에서 O =O+O=0!+40!=60! 따라서호의길이는중심각의크기에정비례하므로 i`:`i=o`:o에서 i`:`1=0!`:`60!, i`:`1=1`:`3 3i=1 i=4{cm} 4. 원과부채꼴 3
6 1 호의길이는중심각의크기에정비례하므로 O=O 에서 7 i= i 오른쪽그림에서 3 O = O+ O+ O O=3 O 3 오른쪽그림과같이 O =O =O =O =60! 일때만세점, O, 가일직선위에있다. O 60! 60! O 60! 60! 4 O=O 이고한원에서중심각의크기가같은 두부채꼴의넓이는같으므로 ( 부채꼴 O 의넓이 )=( 부채꼴 O 의넓이 ) 5 오른쪽그림과같이 O 와 O 가맞꼭지각이면세점, O, 와세 점, O, 는각각일직선위에있다. 이때 O 와 O 에서 OXZ=OXZ=OXZ=OXZ, O=O 이므로 O+ O ( SS 합동 ) O=O, O=O 즉, 엇각의크기가같으므로 XZ XZ 따라서옳지않은것은, 3이다. 45! 1 cm O cm 3 cm 위의그림에서반지름의길이가 3 cm 인원의둘레의길이 가 8 등분되었으므로 O =360!\ 1 8 =45! ( 색칠한부분의둘레의길이 ) =( i 의길이 )\4 +( 반지름의길이가 cm 인원의둘레의길이 ) +( 반지름의길이가 1 cm 인원의둘레의길이 ) +( OXZ 의길이 )\8 =[p\3\ 45 360 ]\4+p\+p\1+3\8 =3p+4p+p+4 =9p+4{cm} O 8 오른쪽그림에서 XXZ=XOZ= XOZ ( 원의반지름 ) 이므로 O는정삼각형이다. 9 O=O=60! 마찬가지로 O, O, O, O, O 는모두 정삼각형이므로색칠한부분의둘레 의길이는 Oi 의길이의 1 배이다. 1Oi=1\[p\3\ 60 360 ] M =1p{cm} O 7 cm N 8 cm 위의그림과같이점 M 에서 Z 에내린수선의발을 N, XZ 와 MXNZ 의교점을 O 라하면 XOZ= 1 XZ=1 XZ=1 \8=4{cm} ( 색칠한부분의넓이 ) =( 부채꼴 OM 의넓이 )+( 사각형 ON 의넓이 ) -( MN 의넓이 ) =p\4@\ 1 4 +7\4-1 \11\4 =4p+6{cm@} 10 XZ=XZ=XZ ( 원의반지름 ) 이므로 는정삼각형이다. 즉, ==60! 이므로 ==90!-60!=30! 따라서부채꼴 의넓이와부채꼴 의넓이가같으 므로 ( 색칠한부분의넓이 ) =( 정사각형 의넓이 )-( 부채꼴 의넓이 )\ =7\7-[p\7@\ 30 360 ]\ =49-49 6 p{cm@} 11 OXO'Z=9 cm 이므로두원 O, O' 의반지름의길이는 9 cm 이다. 위의그림과같이 XO'Z 을그으면 O OXZ=OXO'Z=OX'Z=OZ=OX'Z ( 원의반지름 ) 이므로 OO' 은정삼각형이다. O' O 4 정답과해설
즉, OO'=O'O=60! 이므로 O=O'=180!-60!=10! O+ O' ( SS 합동 ) 따라서 O= O'이므로위의그림과같이이동하면 ( 색칠한부분의넓이 ) =( 부채꼴 O'의넓이 ) =p\9@\ 10 360 =7p{cm@} 1 정팔각형의한내각의크기는 180!\{8-} =135! 8 ( 색칠한부분의둘레의길이 ) =( 부채꼴의호의길이 )+( 정팔각형의한변의길이 )\ =p\1\ 135 360 +1\ =9p+4{cm} ( 색칠한부분의넓이 )=p\1@\ 135 360 =54p{cm@} 16 점 가지나간자리는다음그림에서색선으로표시된부분과같다. 3 cm 5 cm 4 cm 따라서점 가움직인거리는 p\3\ 1 4 +p\5\ 1 4 +p\4\ 1 4 = 3 p+ 5 p+p =6p{cm} 17 신근이와용훈이가사용한끈의길이를각각구하면! 신근이가사용한끈의길이 3 cm 18 cm ' 13 구하는넓이는오른쪽그림의색칠한부분의넓이의 8배와같으므로 7 cm ( 색칠한부분의넓이 ) =9( 한변의길이가 7 cm인정사각형의 7 cm 넓이 ) -( 반지름의길이가 7 cm인사분원의넓이 )0\8 =[7\7-p\7@\ 1 4 ]\8 =[49-49 4 p]\8=39-98p{cm@} 위의그림에서직선부분의길이는 18\=36{cm} y`ᄀ곡선부분의길이는반지름의길이가 3 cm인원의둘레의길이와같으므로 p\3=6p{cm} y`ᄂᄀ, ᄂ에서 36+6p{cm} @ 용훈이가사용한끈의길이 6 cm 3 cm 14 3 cm 1 cm 위의그림과같이도형을이동하면색칠한부분의넓이는 한변의길이가 1 cm인정사각형의넓이와반지름의길이 가 3 cm인원의넓이의합과같으므로 ( 색칠한부분의넓이 ) =1\1+p\3@ =144+9p{cm@} 15 오른쪽그림에서 ᄃ ( 직사각형 의넓이 )= ᄀ + ᄂ ᄀ ( 부채꼴 의넓이 )= ᄂ + ᄃ ᄂ 이때ᄀ = ᄃ이므로 ( 직사각형 의넓이 ) =( 부채꼴 의넓이 ) XZ\6=p\6@\ 1 4, XZ\6=9p XZ= 3 p{cm} 6 cm 위의그림에서직선부분의길이는 6\4=4{cm} y`ᄃ 곡선부분의길이는반지름의길이가 3 cm 인원의둘레 의길이와같으므로 p\3=6p{cm} ᄃ, ᄅ에서 4+6p{cm} y` ᄅ 따라서!, @ 에의해용훈이의방법이끈을 {36+6p}-{4+6p}=1{cm} 더적게사용한다. 18 염소가채소밭밖에서최대한움직일수있는영역은오른쪽그림의 색칠한부분과같으므로구하는넓 이는 p\3@\ 1 4 +p\8@\ 3 4 = 9 4 p+48p+ 9 4 p = 105 p{ m@} +p\3@\ 1 4 3 m 5 m 8 m 3 m 4. 원과부채꼴 5
P. 49 내신 1% 뛰어넘기 01 9`:` 0 {5p+10} cm 03 p cm@ 04 {160+16p} cm@ ( 색칠한부분의둘레의길이 ) =Gi+Gi+Z = 10 3 p+ 5 3 p+10 =5p+10{cm} Gi=Gi 임을이용하여 01 길잡이보조선을그어 i 에대한중심각의크기를구한다. Gi+Gi+Z=Gi+Gi+Z=i+Z 와같이구할수도 있다. 원 O의둘레의길이를 x라하면 i 의길이는 1 x, i 의 5 길이는 1 6 x 이다. 03 길잡이 의넓이와 의넓이가같음을이용하여색칠한부분의넓이를구하는식을세운다. ( 색칠한부분의넓이 ) =( 부채꼴 의넓이 )+( 의넓이 ) P 34! O -( 의넓이 )-( 부채꼴 의넓이 ) 위의그림과같이 OXZ, OZ, OZ, OXZ 를그으면호의길이 는중심각의크기에정비례하므로 x`:`i=360!`: O 에서 x`:` 1 x=360!`: O 5 5`:`1=360!`: O, 5O=360! O=7! =( 부채꼴 의넓이 )-( 부채꼴 의넓이 ) 이때 =+ =+ ==60! 이므로 ( 색칠한부분의넓이 ) =p\@\ 60 60 -p\1@\ 360 360 = 3 p- 1 6 p= p {cm@} x`:`i=360!`: O에서 x`:` 1 x=360!`: O 6 6`:`1=360!`: O, 6O=360! O=60! 이때 O는 OXZ=OXZ 인이등변삼각형이므로 O=O= 1 \{180!-7!}=54! OP=180!-54!=16! O는 OZ=OXZ 인이등변삼각형이므로 O=O= 1 \{180!-60!}=60! 04 길잡이부채꼴과직사각형으로나누어원이지나간자리의넓이를구한다. 원이지나간자리는오른쪽그림과 같이 5 개의직사각형과 5 개의부채 꼴로이루어진다. 이때 5 개의부채꼴의넓이의합은 반지름의길이가 4 cm 인원의넓이 와같으므로원이지나간자리의넓 이는 {8\4}\5+p\4@=160+16p{cm@} 7! 108! 8 cm 4 cm OP=180!-60!=10! 사각형 PO 의내각의크기의합은 360! 이므로 O =360!-{34!+10!+16!} =80! 따라서 x`:`i=360!`: O에서 x`:`i=360!`:`80!=9`:` P. 50~51 3 ~ 4 서술형완성하기 1 10! 108! 3 66! 4 3`:`1 5 ⑴ 45! ⑵ [ 15 p+10 ] cm 6 {p-} cm@ [ 과정은풀이참조 ] 0 길잡이 G가정삼각형임을이용하여 Gi 와 Gi 에대한중심각의 크기를구한다. XGZ=GXZ=XZ( 원의반지름 ) 이므 10 cm 로 G는정삼각형이다. 즉, G=G=60!, G=90!-60!=30! 이므로 Gi=p\10\ 60 360 = 10 3 p{cm} G Gi=p\10\ 30 360 = 5 3 p{cm} 7 105! 8 [ 164 p+30] m@ 5 1 오각형 의내각의크기의합은 180!\{5-}=540! 이므로 x+60!++130!+10!=540! =30!-x 사각형 GH의내각의크기의합은 360! 이므로 H+65!+y+55!=360! H=40!-y =H ( 맞꼭지각 ) 이므로 y`! y`@ 6 정답과해설
30!-x=40!-y y-x=10! y`#! 의크기를 x 를사용한식으로나타내기 40 % @ H 의크기를 y 를사용한식으로나타내기 30 % # y-x 의값구하기 30 % 주어진정다각형을정 n 각형이라하면대각선의개수가 35 개이므로 n{n-3} =35, n{n-3}=70=10\7 n=10 따라서주어진다각형은정십각형이다. 정십각형의한내각의크기는 a= 180!\{10-} 10 y`! = 180!\8 =144! y`@ 10 정십각형의한외각의크기는 b= 360! =36! 10 y`# a-b=144!-36!=108! y`$! 주어진다각형구하기 30 % @ a의크기구하기 30 % # b의크기구하기 30 % $ a-b의값구하기 10 % 3 정오각형의한내각의크기는 180!\{5-} =108! 이므로 5 ==108! 정육각형의한내각의크기는 180!\{6-} =10! 이므로 6 =G=GH=10! 이때 GH는 GXHZ=GZ 인이등변삼각형이므로 GH= 1 \{180!-10!}=30! J=G-GH=10!-30!=90! 오각형 J의내각의크기의합은 180!\{5-}=540! 이므로 J+108!+108!+10!+90!=540! J =540!-46!=114! HJ =180!-J=180!-114!=66! y`! y`@ y`# y`$ y`%! 정오각형의한내각의크기구하기 0 % @ 정육각형의한내각의크기구하기 0 % # J 의크기구하기 0 % $ 오각형의내각의크기의합을이용하여 J 의크기구하기 0 % % HJ 의크기구하기 0 % 4 O는 XOZ=XZ 인이등변삼각형이므로 O=O=30! y`! O =30!+30! =60! y`@ 90! 60! O는 OZ=OXZ 인이등변삼각형이므로 O=O=60! O에서 O=60!+30!=90! i`:`i=o`: O =90!`:`30!=3`:`1 O 30! 60! 30! y`# y`$! O의크기구하기 5 % @ O 의크기구하기 5 % # O 의크기구하기 5 % $ i`:`i 를가장간단한자연수의비로나타내기 5 % 5 ⑴ 반원 O의넓이와부채꼴 의넓이가같으므로 =x! 라하면 p\5@\ 1 =p\10@\ x y`! 360 5 p=100p\ x x=45{!} 360 =45! y`@ ⑵ ( 색칠한부분의둘레의길이 ) =( 반원 O 의호의길이 )+( 부채꼴 의호의길이 ) +( Z 의길이 ) =p\5\ 1 45 +p\10\ +10 y`# 360 =5p+ 5 p+10 = 15 p+10{cm} y`$! 의크기를구하는식세우기 0 % @ 의크기구하기 30 % # 색칠한부분의둘레의길이를구하는식세우기 0 % $ 색칠한부분의둘레의길이구하기 30 % 6 구하는넓이는오른쪽그림의색칠한부분 의넓이의 4배이므로 Q 45! 9( 부채꼴 OP의넓이 ) O +( 부채꼴 QO의넓이 ) P 45! 1 cm -{ O의넓이 )0\4 =-[p\1@\ 45 360 ]\- 1 \1\1=\4 y`! =[ 1 4 p- 1 ]\4 =p-{cm@} y`@ 3~4. 서술형완성하기 7
! 색칠한부분의넓이를구하는식세우기 60 % @ 색칠한부분의넓이구하기 40 % 7 G=G=a, G=G=b라하면 에서 =70!-a 에서 =80!-b = ( 맞꼭지각 ) 이므로 70!-a=80!-b, {b-a}=10! b-a=5! y`! GH와 H에서 GH+GH=H+H이므로 a+g=b+100! y`@ G ={b-a}+100! =5!+100! =105! y`#! G-G의크기구하기 30 % @ GH+GH=H+H 임을이용하여식세우기 40 % # G 의크기구하기 30 % 8 정오각형의한내각의크기는 180!\{5-} =108! y`! 5 토끼가울타리밖에서최대한움직일수있는영역은다음 그림의색칠한부분과같다. 1 m 108! 16! 5 m 16! 6 m 7! 7! 108! 1 m 따라서구하는넓이는 [p\1@\ 7 16 ]\+[p\6@\ ]\+5\6 y`@ 360 360 = 16 p+ 5 5 p+30 = 164 p+30{ m@} y`# 5! 정오각형의한내각의크기구하기 30 % @ 토끼가최대한움직일수있는영역의넓이를구하는식세우기 40 % # 토끼가최대한움직일수있는영역의넓이구하기 30 % 8 정답과해설
5. 다면체와회전체 대표 P. 54~56 개념 + 문제확인하기 1 3, 5 5 3 구각뿔 4 4 5 5개 6 3 7 8 5 9 4 10 ㄱ, ㄷ, ㄹ 11, 5 1 18 cm@ 13 4 1 3 정육각형은평면도형이므로다면체가아니다. 5 원뿔은곡면을포함한입체도형이므로다면체가아니다. 삼각뿔의모서리의개수는 \3=6( 개 ) 이므로 a=6 오각뿔대의꼭짓점의개수는 \5=10( 개 ) 이므로 b=10 칠각기둥의면의개수는 7+=9( 개 ) 이므로 c=9 a-b+c=6-10+9=5 8 5 오른쪽그림의색칠한두면이겹치므로정육면체가만들어지지않는다. 9 주어진전개도로만들어지는정팔면체는다음그림과같다. J I H G {H} {I} 따라서 XZ 와겹치는모서리는 4 IHZ 이다. 10 ㄴ. J {G} {} 3, 에서이입체도형은각뿔이다. 이입체도형을 n 각뿔이라하면 에서십면체이므로 n+1=10 n=9 따라서조건을모두만족시키는입체도형은구각뿔이다. 11 1 원기둥 - 직사각형 원뿔 - 이등변삼각형 4 4 두밑면은서로평행하고모양이같지만크기는다르므로합동이아니다. 3 반구 - 반원 4 구 - 원 5 면의개수를 f 개라하면오일러공식에의해 6-9+f= f=5 따라서이다면체의면의개수는 5 개이다. 개념더하기다시보기 5 원뿔대 - 사다리꼴 오일러공식바람을넣어구와같은모양으로부풀릴수있는다면체에대하여꼭짓점의개수를 v 개, 모서리의개수를 e 개, 면의개수를 f 개라하면다음이성립한다. v-e+f= 6 1 정다면체의종류는다섯가지뿐이다. 정이십면체의꼭짓점의개수는 1개이다. 4 정다면체의면의모양은정삼각형, 정사각형, 정오각형 의세가지뿐이다. 5 한꼭짓점에모인면의개수가가장많은정다면체는정 이십면체이다. 따라서옳은것은 3 이다. 7 에서한꼭짓점에모인면의개수가 3개인정다면체는정사면체, 정육면체, 정십이면체 에서모서리의개수가 1개인정다면체는정육면체, 정팔면체따라서조건을모두만족시키는정다면체는정육면체이다. 따라서바르게짝지어지지않은것은, 5 이다. 1 주어진회전체를회전축을포함하는평면으로자를때생기는단면은오 른쪽그림과같이합동인 개의직 각삼각형이다. ( 단면의넓이 ) =[ 1 \3\6]\ =18{cm@} 6 cm 3 cm cm 3 cm 13 1 구의전개도는그릴수없다. 구의회전축은무수히많다. 3 직사각형의한변을회전축으로하여 1회전시킬때생기 는회전체는원기둥이다. 5 원뿔대를회전축에수직인평면으로자른단면은모두 원이지만크기는다르므로합동이아니다. 따라서옳은것은 4 이다. 5. 다면체와회전체 9
P. 57~60 내신 5% 따라잡기 1 4 5 3 1 4 1 개 5 16 개 6 4 7 풀이참조 8 정팔면체, 1 개 9, 4 10 13 11 60! 1 11 13 4 14 3 15 30 16 1, 4 17 4 18 ㄴ, ㄹ 19, 4 0 5 1 55 cm@ 40p cm@ 3 1 4 4 1 1 다면체는삼각기둥, 사각뿔대, 오각뿔의 3 개이다. 꼭짓점의개수와면의개수가같은다면체는오각뿔의 1 개 이다. 3 옆면의모양이모두사각형인다면체는삼각기둥, 사각 뿔대의 개이다. 4 육면체는사각뿔대, 오각뿔의 개이다. 5 각꼭짓점에모인면의개수가모두같은다면체는삼각 기둥, 사각뿔대의 개이다. 따라서옳은것은 4 이다. 주어진각기둥을 n 각기둥이라하면꼭짓점의개수는 n 개이므로 n=4 n=1, 즉십이각기둥 따라서십이각기둥의모서리의개수는 3\1=36( 개 ) 이므로 a=36 십이각기둥의면의개수는 1+=14( 개 ) 이므로 b=14 a-b=36-14= 4-a+b= 오일러공식을이용하면 a-b= 3 꼭짓점의개수는 1 개이므로 v=1 모서리의개수는 0 개이므로 e=0 면의개수는 9 개이므로 f=9 v-e+ f=1-0+9=1 주어진입체도형은가운데가뚫려서바람을넣어부풀려도 구와같은모양이되지않으므로 v-e+f= 가성립하지않는다. 4 n 각뿔의밑면은 n각형이므로대각선의개수는 n{n-3} 개 이다. 이때 n{n-3} =14이므로 n{n-3}=8=7\4 n=7, 즉칠각뿔대 따라서칠각뿔대의모서리의개수는 3\7=1( 개 ) 이다. 5, 에서이입체도형은각뿔대이다. 이입체도형을 n 각뿔대라하면 에서모서리의개수는 3n 개 이고면의개수는 {n+} 개이므로 3n={n+}+14, n=16 n=8, 즉팔각뿔대 따라서팔각뿔대의꼭짓점의개수는 \8=16( 개 ) 이다. 6 4 정다면체를둘러싸고있는정다각형의면의개수에따라정다면체의이름이결정된다. 5 정사면체의각면의한가운데에있는 점을연결하면오른쪽그림과같은정 사면체가만들어진다. 따라서옳지않은것은 4 이다. 7 크기가같은두개의정사면체를이어붙여만든입체도형은오른쪽그림과같은육면 체이다. 이육면체에서꼭짓점 에모인면 의개수는 3 개, 꼭짓점 에모인면의개수 는 4 개이다. 따라서각꼭짓점에모인면의 개수가다르므로정다면체가아니다. 8 정육면체의각면의대각선의교점을연결하면오른쪽그림과같이정팔면체가생긴다. 따라서정팔면체의모서리의개수는 1 개 이다. 9 주어진전개도로만들어지는정다면체는오른쪽그림과같은정십이면체 이다. 1 한꼭짓점에모인면의개수는 3 개 이다. 가 {, } 3 꼭짓점 와만나는꼭짓점은점 와점 이다. 5 꼭짓점의개수는 0 개이다. 따라서옳은것은, 4 이다. 10 주어진전개도로만들어지는정팔면체는오른쪽그림과같다. 따라서 가적힌면과서로이웃한세 면에적힌숫자는 1, 4, 8 이므로그합 은 1+4+8=13 이다. 나 4 6 1 5 3 8 7 {,`} 11 주어진전개도로만들어지는정육면체를 세점,, 를지나는평면으로자를 때생기는단면은오른쪽그림과같은정 삼각형이다. =60! 1 주어진입체도형은각면이모두합동이고한꼭짓점에모인면의개수가같으므로정다면체이다. 에서각면이모두합동인정삼각형인정다면체는정사면 체, 정팔면체, 정이십면체이다. 에서한꼭짓점에모인면의개수가 5 개인정다면체는정 이십면체이다. 따라서조건을모두만족시키는입체도형은정이십면체이다. 정이십면체의꼭짓점의개수는 1 개이고 n 각뿔의꼭짓점의 개수는 {n+1} 개이므로 n+1=1 n=11 30 정답과해설
13 1 3 18 보기의평면도형을직선 l 을회전축으로하여 1 회전시킬때생기는입체도형은다음그림과같다. 이등변삼각형 직사각형 마름모 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 4 5 오각형육각형따라서단면의모양이될수없는것은 4이다. ㄹ. 14 정십이면체의면의개수는 1 개이고각면의한가운데에있는점을꼭짓점으로하므로구하는다면체의꼭짓점의개수 는 1 개이다. 즉, 꼭짓점의개수가 1 개인정다면체는정이십면체이다. 십각뿔대의모서리의개수는 3\10=30( 개 ) 이므로 정이십면체와모서리의개수가같다. 3 십이각뿔의꼭짓점의개수는 1+1=13( 개 ) 이고 정이십면체의꼭짓점의개수는 1 개이므로같지않다. 따라서옳지않은것은 3 이다. 15 정이십면체를각꼭짓점에모인모서리의삼등분점을지나도록모두잘라서생긴입체도형에서정오각형의개수는정 이십면체의꼭짓점의개수인 1 개, 정육각형의개수는정이 십면체의면의개수인 0 개이다. 따라서축구공모양의입체도형은 1 개의정오각형과 0 개 의정육각형으로이루어진삼십이면체이다. 이때한꼭짓점에 3개의면이모이므로꼭짓점의개수는 5\1+6\0 =60( 개 ) a=60 3 한모서리에 개의면이모이므로모서리의개수는 5\1+6\0 =90( 개 ) b=90 b-a=90-60=30 따라서주어진회전체는ㄴ, ㄹ을 1 회전시킨것이다. 19 1 3 4 5 따라서회전축이될수없는것은, 4이다. 0 1 16 다음그림과같이한평면으로자르면정사면체에서는삼각뿔대, 정십이면체에서는오각뿔대가만들어진다. 3 4 따라서원뿔을자를때생기는단면이될수없는것은 5 이 다. 17 주어진평면도형을직선 l 을회전축으로하여 1 회전시킬때생기는입체도형은다음그림과같다. 따라서주어진평면도형을 1 회전시킬때생기는입체도형은 4 이다. 1 주어진원뿔대는오른쪽그림과같으므로 8 cm 원뿔대를밑면에수직인평면으로잘랐을 5 cm 때그넓이가가장큰단면은윗변의길이 가 8 cm, 아랫변의길이가 14 cm, 높이가 5 cm 인사다리꼴이다. 따라서가장큰단면의넓이는 1 \{8+14}\5=55{cm@} 14 cm 5. 다면체와회전체 31
주어진원을직선 l 을회전축으로하여 1회전시킬때생기는회전체는오른 쪽그림과같은도넛모양이다. O cm 3 cm 03 길잡이회전체를그린후여러방향의평면으로자른단면을생각해본다. 주어진정삼각형을직선 l 을회전축으로하여 1회전시킬때 생기는회전체는다음그림과같다. 이때원의중심 O 를지나면서회전축 에수직인평면으로자른단면은오른 쪽그림과같으므로 ( 단면의넓이 ) =( 큰원의넓이 )-( 작은원의넓이 ) =p\7@-p\3@=49p-9p=40p{cm@} cm O cm 3 cm 이입체도형을자른단면은다음그림과같다. ㄱ. ㄷ. 3 실로원기둥을팽팽하게감을때의경로는전개도위에직선으로나타나므로점 에서점 까지실이지나가는경로는 오른쪽그림과같다. 따라서바르게나타낸것은 1 이다. 4 OXZ=x cm라하면부채꼴 O' 에서 p\x\ 10 360 =p\r r= 1 3 x 부채꼴 O' 에서 p\{x+1}\ 10 360 =p\r R= 1 3 x+4 R-r=[ 1 3 x+4]- 1 3 x=4 P. 61 내신 1% 뛰어넘기 01 최댓값 : 13, 최솟값 : 11 0 ㄱ, ㄷ 03 ㄱ, ㄷ, ㅁ, ㅂ 04 59 01 길잡이 m>3, n>3인자연수 m, n의쌍을모두구해본다. m 각뿔대의모서리의개수는 3m개, n각기둥의꼭짓점의 개수는 n개이므로 3m+n=30 이때 m>3, n>3이므로이를만족시키는자연수 m, n의 값은 m=4, n=9 또는 m=6, n=6 또는 m=8, n=3 따라서 m+n의최댓값은 4+9=13이고, 최솟값은 8+3=11이다. ㅁ. ㅂ. 따라서단면의모양이될수있는것은ㄱ, ㄷ, ㅁ, ㅂ이다. 04 길잡이회전체를그린후회전축을포함하는평면으로자른단면을그려본다. 오각형 를 x 축을회전축으로하여 1 회전시킬때 생기는회전체와그회전체를 x 축을포함하는평면으로자 를때생기는단면은다음그림과같다. y 5 - O - -5 ( 단면의넓이 ) 3 x 6 =4\+ 1 \{4+10}\3+10\3 =8+1+30=59 4 3 3 10 0 길잡이주어진전개도로정육면체를만들고, 여러방향에서본모습을생각해본다. 주어진전개도로만들수있는정육면체는다음그림과같다. 따라서만들수있는정육면체는ㄱ, ㄷ이다. 3 정답과해설
6. 입체도형의겉넓이와부피 P. 64~66 대표개념 + 문제확인하기 1 8 108p cm@ 3 96 cm@ 4 105 cm# 5 83p cm# 6 154 cm# 7 9 8 40! 9 117 cm@ 10 4 11 9 cm 1 33p cm@ 13 64p cm@ 14 313p cm@ 15 56 p cm# 3 16 7개 17 16 p cm#, 16p cm# 3 1 ( 겉넓이 ) =[ 1 \1\5]\+{5+1+13}\h =300{cm@} 이므로 60+30h=300, 30h=40 h=8 ( 밑넓이 ) =p\[ 8 ]@-p\[ 4 ]@ =16p-4p=1p{cm@} ( 겉넓이 ) =1p\+[p\ 8 ]\7+[p\ 4 ]\7 =4p+56p+8p =108p{cm@} 3 한모서리의길이가 cm 인정육면체 1 개의겉넓이는 {\}\6=4{cm@} 맞닿아있는한면의넓이는 \=4{cm@} 옆면이맞닿아있는경우는 3 가지, 밑면이맞닿아있는경우 는 3 가지이고, 각경우마다 개의면이맞닿아있으므로맞 닿아있는면의개수는 {3+3}\=1( 개 ) 즉, 맞닿아있는면의넓이의합은 4\1=48{cm@} ( 겉넓이 ) =4\6-48 =144-48=96{cm@} 4 ( 밑넓이 ) =[ 1 \7\4]+[ 1 \7\] =14+7=1{cm@} ( 부피 ) =( 밑넓이 )\( 높이 ) =1\5=105{cm#} 6 처음직육면체의높이를 h cm 라하면주어진입체도형의겉넓이는처음직육면체의겉넓이와같으므로 {8\6}\+{8+6+8+6}\h=36 에서 96+8h=36, 8h=140 ( 남은입체도형의부피 ) h=5{cm} =( 처음직육면체의부피 )-( 작은직육면체의부피 ) =8\6\5-86 =40-86=154{cm#} 7 ( 겉넓이 ) =( 밑넓이 )+( 옆넓이 ) =8\8+[ 1 \8\x]\4 =16x+64{cm@} 이므로 16x+64=08, 16x=144 x=9 8 주어진원뿔의전개도는오른쪽그 cm 림과같다. 이때원뿔의모선의길 x! 이를 l cm라하면 4p cm@ ( 부채꼴의넓이 ) = 1 \l\{p\4} =4p{cm@} l=6{cm} 부채꼴의중심각의크기를 x! 라하면 p\6\ x =p\4 x=40{!} 360 따라서중심각의크기는 40! 이다. 9 ( 두밑면의넓이의합 )={6\6}+{3\3}=45{cm@} ( 옆넓이 )=- 1 \{3+6}\4=\4=7{cm@} ( 겉넓이 )=45+7=117{cm@} 4 cm 10 ( 남아있는물의부피 )= 1 3 \[ 1 \1\8]\x=64{cm#} 에서 16x=64 x=4 11 삼각뿔 P- 의부피는처음직육면체의부피의 3 0 이 므로 1 3 \[ 1 \4\6]\PZ= 3 \{4\6\10} 에서 0 4 PZ=36 PZ=9{cm} 1 ( 겉넓이 ) =( 반구부분의겉넓이 )+( 원뿔의옆넓이 ) = 1 \{4p\3@}+p\3\5 5 주어진평면도형을직선 l을회전 cm 축으로하여 1회전시킬때생기는 cm 입체도형은오른쪽그림과같다. 3 cm ( 부피 ) =( 작은원기둥의부피 ) +( 큰원기둥의부피 ) 5 cm ={p\@}\+{p\5@}\3 =8p+75p=83p{cm#} =18p+15p=33p{cm@} 13 ( 겉넓이 ) = 3 \( 반지름의길이가 4 cm인구의겉넓이 ) 4 +( 반지름의길이가 4 cm인원의넓이 ) = 3 4 \{4p\4@}+p\4@ =48p+16p=64p{cm@} 6. 입체도형의겉넓이와부피 33
14 ( 겉넓이 ) =9{p\8@}\-p\5@0+p\8\10 + 1 \{4p\5@} =103p+160p+50p =313p{cm@} 15 ( 부피 ) = 1 \[ 4 3 p\1#]+ 1 \[ 4 3 p\3#] = 3 p+18p= 56 3 p{cm#} 16 ( 반지름의길이가 9 cm 인구모양의쇠구슬의부피 ) = 4 3 p\9#=97p{cm#} ( 반지름의길이가 3 cm 인구모양의쇠구슬의부피 ) = 4 3 p\3#=36p{cm#} 97p_36p=7( 개 ) 17 ( 원뿔의부피 )`:`( 구의부피 )=1`:` 이므로 ( 원뿔의부피 )`:` 3 3 p=1`:` ( 원뿔의부피 )= 3 3 p\ 1 = 16 3 p{cm#} ( 구의부피 )`:`( 원기둥의부피 )=`:`3이므로 3 p`:`( 원기둥의부피 )=`:`3 3 ( 원기둥의부피 )= 3 3 p\ 3 =16p{cm#} 구의반지름의길이를 r cm라하면 4 3 pr#= 3 p, r#=8=# 3 r={cm} ( 원뿔의부피 )= 1 3 \{p\@}\4= 16 3 p{cm#}, 1 주어진전개도로만든입체도형은오른쪽그림과같다. ( 겉넓이 ) =[3\4+ 1 \p\@]\ +{4+3+p+3}\5 ={4+4p}+{50+10p} =74+14p{cm@} 바닥을제외한모든겉면의넓이는 5 cm 4 cm - 1 \{3+6}\4\=\+{15\3}\+{15\5}\ p cm 3 cm =7+90+150=31{ m@} 이때비닐한롤당 13 m@ 를덮을수있으므로필요한롤수는 31_13=4( 롤 ) 따라서필요한비닐의최소비용은 7000\4=168000( 원 ) 3 관통하는구멍은밑면이한변의길이가 cm 인정사각형이고높이가 7 cm 인 3 개의사각기둥모양이다. 이때구멍이교 차하는부분은한모서리의길이가 cm 인정육면체이므로 ( 부피 ) =( 정육면체의부피 )-( 사각기둥의부피 )\3 +( 교차하는부분의부피 )\ =7\7\7-{\\7}\3+{\\}\ =343-84+16=75{cm#} 4 주어진두그림에서우유의부피는같으므로 ( 우유갑전체의부피 ) =( 우유가있는부분의부피 )+( 우유가없는부분의부피 ) =6\5\11+6\5\4 =330+10=450{cm#} ( 원기둥의부피 )={p\@}\4=16p{cm#} 5 45! 만큼기울인그릇의밑면은오른쪽그림과같다. ( 버려진물의부피 ) =9( 부채꼴 O의넓이 ) +{ O의넓이 )0\( 기둥의높이 ) 4 cm 4 cm O 45! =-{p\4@}\ 1 4 + 1 \4\4=\10 P. 67~69 내신 5% 따라잡기 1 {74+14p} cm@ 168000원 3 75 cm# 4 450 cm# 5 {40p+80} cm# 6 4 7 45p cm@ 8 {36p-7} cm@ 9 1 10 {36p+4} cm# 11 500 cm# 3 1 1초 13 6 14 4 15 144p cm@ 16 11 p cm# 9 17 54p cm# 18 104 5 cm 19 3 ={4p+8}\10 =40p+80{cm#} 6 주어진직각삼각형을직선 l을회전축으로하여 1회전시킬때생기는입체도형은오른쪽그림과같으므로 ( 회전체의겉넓이 ) =( 밑넓이 )+( 원기둥의옆넓이 ) +( 원뿔의옆넓이 ) =p\3@+p\3\4+p\3\5 =9p+4p+15p=48p{cm@} 5 cm 3 cm 4 cm 34 정답과해설
7 주어진원뿔의모선의길이를 l cm 라하면원 O 의둘레의길이는원뿔의밑면인원의둘레의길이의 4 배이므로 pl={p\3}\4 l=1{cm} ( 겉넓이 ) =p\3@+p\3\1 =9p+36p=45p{cm@} 11 오른쪽그림과같이사각뿔 O-의밑면인사각형 의넓이는정육면체의한면의넓이의 1 이므로 ( 사각형 의넓이 ) 10 cm 10 cm 8 주어진원뿔을전개도로나타내면구하는부분의넓이는오른쪽그 림의색칠한부분의넓이이다. 부채꼴의중심각의크기를 x! 라 하면 p\1\ x 360 =p\3 x=90{!} ( 색칠한부분의넓이 ) =( 부채꼴 O' 의넓이 )-( O' 의넓이 ) =p\1@\ 90 360-1 \1\1 =36p-7{cm@} 1 cm 3 cm 9 의태, 승현이가마시는부분은원뿔대모양이고, 은수가마시는부분은원뿔모양이므로 ( 의태가마시는음료수의부피 ) = 1 3 \{p\3@}\15-1 3 \{p\@}\10 =45p- 40 3 p= 95 3 p{cm#} ( 승현이가마시는음료수의부피 ) = 1 3 \{p\@}\10-1 3 \{p\1@}\5 = 40 3 p- 5 3 p= 35 3 p{cm#} ( 은수가마시는음료수의부피 ) = 1 3 \{p\1@}\5 = 5 3 p{cm#} 따라서의태, 승현, 은수가마시는음료수의부피의비는 95 3 p`:` 35 3 p`:` 5 3 p=19`:`7`:`1 10 주어진입체도형은다음그림과같이 개의입체도형으로나누어진다. 9 cm O 4 cm 9 cm 4 cm ( 부피 ) = 1 70 \[p\4@\ 3 360 ]\9+ 1 3 \[ 1 \4\4]\9 =36p+4{cm#} O O x! ' = 1 \{10\10}=50{cm@} 이때사각뿔의높이는정육면체의높이와같으므로 ( 부피 ) = 1 3 \50\10 = 500 3 {cm#} 1 (3 초동안채운물의부피 ) = 1 3 \{3\3}\6 =18{cm#} 즉, 1초에 18_3=6{cm#} 씩물을넣은것이다. ( 그릇의부피 ) = 1 3 \{6\6}\1 =144{cm#} 이므로그릇에물을가득채우는데 144_6=4( 초 ) 가걸 린다. 따라서이그릇에물을가득채우려면앞으로 4-3=1( 초 ) 동안물을더넣어야한다. 13 정육면체의한모서리의길이를 a 라하면 V1=( 정육면체의부피 )=a\a\a=a# 정팔면체는정사각뿔 개를붙여놓은것과같고, 정사각뿔 의밑면은대각선의길이가 a 인정사각형이므로 ( 정사각뿔의밑면의넓이 ) = 1 \a\a = a@ 또정사각뿔의높이는 a 이므로 V =( 정팔면체의부피 ) =( 정사각뿔의부피 )\ =[ 1 3 \ a@ \ a ]\ = a# 6 V1 a# =a#_ V 6 =a#\ 6 a# =6 14 ( 조각품 의옆넓이 )=( 조각품 의겉넓이 ) 이므로 p\6\{3+6}-p\\3= 1 \4px@+px@ 에서 48p=3px @, x @=16=4@ x=4 6. 입체도형의겉넓이와부피 35
15 오른쪽그림과같이정팔면체는정사각뿔 개를붙여놓은것과같으므로구의 반지름의길이를 r cm 라하면 ( 정사각뿔의밑면의넓이 ) = 1 \r\r=r@{cm@} 정사각뿔의높이는 r cm이므로 ( 정팔면체의부피 ) =( 정사각뿔의부피 )\ =[ 1 \r@\r]\=88{cm#} 3 4 r #=88, r #=16=6# r=6{cm} 3 ( 구의겉넓이 )=4p\6@=144p{cm@} r cm 19 구의반지름의길이를 r 라하면정육면체의한모서리의길이와사각뿔의높이가각각 r 이므로 ( 정육면체의부피 ) =r\r\r ( 구의부피 )= 4 3 pr # =8r # ( 사각뿔의부피 ) = 1 3 \{r\r}\r = 8 3 r # 따라서구하는부피의비는 8r #`:` 4 8 pr #`:` 3 3 r #=6`:`p`:` 16 주어진평면도형을직선 l을회전축으로하여 10! 만큼회전시킬 때생기는회전체는오른쪽그림 과같다. ( 부피 ) =- 1 \[ 4 10 p\4#]=\ 3 360 -- 1 \[ 4 10 p\#]=\ 3 360 = 18 9 p- 16 11 p= 9 9 p{cm#} 10! cm cm 17 공의반지름의길이를 r cm 라하면통의높이는 6r cm 이고, 통의부피가 16p cm# 이므로 pr@\6r=16p, r#=7=3# r=3{cm} ( 공 1 개의부피 ) = 4 3 p\3#=36p{cm#} ( 남아있는물의부피 ) =( 통의부피 )-( 공 3개의부피 ) =16p-36p\3 =16p-108p=54p{cm#} 18 ( 처음물병에담겨있던물의부피 ) ={p\6@}\10 =360p{cm#} P. 70~71 내신 1% 뛰어넘기 01 {138+18n} cm@ 0 35 cm# 03 80p cm# 04 14 cm 05 3`:` 06 1701 p cm# 01 길잡이먼저한번자를때늘어나는겉넓이를구한다. 자르기전의사각기둥의겉넓이는 {3\3}\+{3\10}\4 =18+10=138{cm@} 1번자를때마다넓이가 3\3=9{cm@} 인면이 개씩생기므로겉넓이는 9\=18{cm@} 씩늘어난다. 따라서 n 번자른경우는겉넓이가 {18\n} cm@ 만큼늘어 나므로 n 번자른경우의겉넓이의총합은 {138+18n} cm@ ( 구슬 1 개의부피 )= 4 3 p\#= 3 3 p{cm#} 이때컵에채워진물의높이를 h cm라하면 ( 컵에채워진물과구슬의부피 ) =( 처음물병에담겨있던물의부피 )\ 1 5 +( 구슬 3개의부피 ) 이므로 {p\5@}\h=360p\ 1 5 + 3 3 p\3 5ph=7p+3p, 5ph=104p h= 104 5 {cm} 따라서컵에채워진물의높이는 104 5 cm 이다. 0 길잡이위, 앞, 옆에서본모양을이용하여입체도형을그린다. 주어진입체도형의모양은다음그림과같다. 3 cm cm 5 cm 5 cm 3 cm 4 cm 8 cm 10 cm ( 부피 ) =( 직육면체의부피 )-( 삼각기둥의부피 ) =10\8\5-[ 1 \3\4]\8 =400-48 =35{cm#} 36 정답과해설
03 길잡이주어진입체도형을적당히이동하여하나의원기둥모양으로만들어본다. 주어진입체도형을오른쪽그림과같이 이동하면구하는부피는밑면의반지름의길이가 cm, 높이가 0 cm인원기둥의부피와같다. ( 부피 ) ={p\@}\0 =80p{cm#} 8 cm 4 cm 8 cm 4 cm 1 cm 4 cm cm 04 길잡이주어진평행사변형으로만든회전체는밑면의반지름의길이가 8 cm, 모선의길이가 XZ cm인원뿔대 개가붙어있는모양이다. 주어진평행사변형을직선 l을회 8 cm 전축으로하여 1회전시킬때생기 는회전체는오른쪽그림과같다. x -cm 4 cm 이때 XZ=x cm라하면 x -cm ( 겉넓이 ) =( 밑넓이 )\ +( 원뿔대의옆넓이 )\ ={p\8@}\+[p\8\x-p\4\ x ]\ =18p+1px{cm@} 이때회전체의겉넓이는 96p cm@ 이므로 18p+1px=96p, 1px=168p x=14{cm} 따라서 XZ 의길이는 14 cm이다. 05 길잡이주어진도형을 x 축, y 축을회전축으로하여각각 1 회전시킬때생기는회전체를그린다. 주어진도형을 x 축을회전축으로하여 1 회전시킬때생기는회전체는오른 쪽그림과같다. V1 = 1 3 \{p\9@}\3 + 1 3 \{p\18@}\6 =81p+648p =79p 주어진도형을 y 축을회전축으로하여 1 회전시킬때생기는회전체는오른 쪽그림과같다. V =[p\6@\18-1 3 \p\6@\18] +[p\3@\9-1 3 \p\3@\9] =43p+54p =486p V1`:`V =79p`:`486p =3`:` -3 y 18-9 -18 y 9 18 O O 6-6 6-3 3-9 x x 06 길잡이벌이최대한움직일수있는공간은구에서상자가차지하는공간을뺀공간과같다. 벌은정육면체모양의상자안쪽공간으 로는움직일수없으므로벌이최대한움 직일수있는공간을나타내는입체도형 은오른쪽그림과같이반지름의길이가 9 cm 인구의 7 8 이다. ( 벌이최대한움직일수있는공간의부피 ) =[ 4 3 p\9#]\ 7 8 = 1701 p{cm#} P. 7~73 5 ~ 6 서술형완성하기 [ 과정은풀이참조 ] 1 육각형 ⑴ 풀이참조 ⑵ ㄴ, ㄹ, 이유는풀이참조 3 144 p cm@ 5 4 ⑴ 풀이참조 ⑵ 63p cm@ 5 965 cm# 6 14 cm 7 60 cm 8 8 3 cm 1 주어진각뿔대를 n각뿔대라하면 모서리의개수는 3n개이고 y`! 면의개수는 {n+} 개이므로 y`@ 3n+{n+}=6, 4n=4 n=6 y`# 따라서주어진각뿔대는육각뿔대이므로밑면의모양은육 각형이다. y`$! n 각뿔대의모서리의개수구하기 30 % @ n 각뿔대의면의개수구하기 30 % # n 의값구하기 0 % $ 밑면의모양구하기 0 % ⑴ 1 각면이모두합동인정다각형이다. 각꼭짓점에모인면의개수가같다. ⑵ 정다면체가아닌것은ㄴ, ㄹ이다. y`! y`@ ㄴ에서한꼭짓점에모인면의개수가 4 개또는 5 개이다. 따라서각꼭짓점에모인면의개수가다르므로정다면 체가아니다. 9 cm y`# ㄹ에서면의모양이정오각형또는정육각형이다. 따라서각면이모두합동이아니므로정다면체가아니다. y`$! 정다면체가되기위한두가지조건말하기 각 0 % @ 정다면체가아닌것찾기 0 % # ㄴ이정다면체가아닌이유설명하기 0 % $ ㄹ이정다면체가아닌이유설명하기 0 % 5~6. 서술형완성하기 37
3 주어진직각삼각형 를 XZ 를회 전축으로하여 1회전시킬때생기는 4 cm 회전체는오른쪽그림과같다. y`! 5 cm 이회전체를 XZ 에수직인평면으로 자를때생기는단면은모두원이고, 그중가장큰원의반지름의길이를 r cm 라하면 의넓이에서 1 \3\4= 1 \5\r r= 1 5 {cm} 3 cm 4 cm r cm 5 cm 3 cm y`@ 따라서가장큰단면의넓이는 p\[ 1 144 ]@= p{cm@} y`# 5 5! 겨냥도그리기 30 % @ 가장큰단면의반지름의길이구하기 40 % # 가장큰단면의넓이구하기 30 % 4 ⑴ 주어진평면도형을직선 l을회전축으로하여 1회전시킬때생기는입 체도형은오른쪽그림과같다. y`! ⑵ ( 겉넓이 ) =p\3\5+{p\3}\5 + 1 \{4p\3@} =15p+30p+18p =63p{cm@} y`@ 4 cm 3 cm 5 cm 3 cm 5 cm! 겨냥도그리기 40 % @ 겉넓이구하기 60 % 5 오른쪽그림에서 ( 정육면체의부피 ) =10\10\10 5 cm 7 cm 4 cm 6 cm 5 cm 10 cm =1000{cm#} y`! 3 cm ( 잘라낸부분의부피 ) 10 cm 10 cm = 1 3 \[ 1 \5\6]\7=35{cm#} y`@ ( 입체도형의부피 ) =1000-35 =965{cm#} y`#! 정육면체의부피구하기 30 % @ 잘라낸부분의부피구하기 40 % # 입체도형의부피구하기 30 % 6 원뿔대모양의그릇에담겨있는물의부피는 1 3 \{p\1@}\{8+8}- 1 3 \{p\6@}\8 =768p-96p =67p{cm#} y`! 컵 1개에들어가는물의부피는 67p_3=4p{cm#} y`@ 이때컵 1개에들어가는물의높이를 h cm라하면 p\4@\h=4p, 16ph=4p h=14{cm} 따라서컵 1개에들어가는물의높이는 14 cm이다. y`#! 원뿔대모양의그릇에담겨있는물의부피구하기 40 % @ 컵 1 개에들어가는물의부피구하기 30 % # 컵 1 개에들어가는물의높이구하기 30 % 7 주어진정팔면체의전개도의일부에두점 M, N을잇는선의길 이가최소가되도록선을그으면 오른쪽그림과같다. y`! 30 cm 60! 60! N M 60! 이때사각형 는정삼각형 4 개로이루어진평행사변 형이고두점 M, N 은각각 XZ, Z 의중점이므로사각형 NM 는평행사변형이다. ( 선의최소길이 ) =MXNZ=XZ= XZ =\30=60{cm}! 정팔면체의전개도의일부에두점 M, N 을잇는길이가최소인선긋기 y`@ 60 % @ 선의최소길이구하기 40 % 8 ( 의넓이 ) =( 사각형 의넓이 ) -9( 의넓이 )+( 의넓이 )+( 의넓이 )0 =8\8-[ 1 \8\4+ 1 \4\4+ 1 \4\8] =64-40=4{cm@} 이때주어진정사각형을접어서만든 입체도형은오른쪽그림과같다. y`! ( 삼각뿔 -의부피 ) 8 cm =( 삼각뿔 -의부피 ) 이므로 를밑면으로하는삼각 4 cm 4 cm 뿔의높이를 h cm라하면 {,`} 1 3 \4\h= 1 3 \[ 1 \4\4]\8 y`@ 8h= 64 3 h= 8 3 {cm} 따라서 를밑면으로하는삼각뿔의높이는 8 3 cm 이 다. y`# 38 정답과해설
! 의넓이구하기 30 % @ ( 삼각뿔 - 의부피 )=( 삼각뿔 - 의부피 ) 임을이용하여식세우기 40 % # 삼각뿔의높이구하기 30 % 7. 자료의정리와해석 P. 76~78 대표개념 + 문제확인하기 1 4 37.5 % 3 15 4 15 명 5 40 개이상 50 개미만 6 1, 4 7 5`:`3 8 4 배 9 ㄱ, ㄷ 10 ⑴ =8, =4, =0.16, =5 ⑵ 0 % 11 40 세이상 50 세미만 1 ㄱ, ㄷ, ㅁ 1 1 전체관람객은 4+4+6+=16( 명 ) 이다. 3 잎이가장많은줄기는잎이 6 개인 3 이다. 4 38 세이상인관람객은 38 세, 38 세, 39 세, 43 세, 47 세의 5 명이다. 따라서옳지않은것은 4 이다. 나이가 30 대인관람객은 6 명이므로전체의 6 16 \100=37.5{%} 3 계급의크기는 0-10=10( 개 ) 이므로 x=10 계급의개수는 10 이상 ~0 미만, 0~30, 30~40, 40~50, 50~60 의 5 개이므로 y=5 x+y=10+5=15 4 문자메시지수가 10 개이상 0 개미만인학생수를 명, 40 개이상 50 개미만인학생수를 명이라하면 30개미만인학생수는 {+4} 명이므로 +4 \100=0, +4=6 30 = =30-{+4+9+4}=11 따라서문자메시지수가 40 개이상인학생수는 11+4=15( 명 ) 5 문자메시지를많이보낸학생이속하는계급부터학생수를나열하면 50 개이상 60 개미만 : 4 명 40 개이상 50 개미만 : 11 명 따라서문자메시지수가 7 번째로많은학생이속하는계급은 40 개이상 50 개미만이다. 6 1 전체학생수는 10+8+1+6+4=40( 명 ) 이다. 도수가가장작은계급은도수가 4 명인 10 회이상 1 회 미만이다. 3 도수가 6 명이하인계급은 8 이상 ~10 미만, 10~1 의 개 이다. 4 관람횟수가 6 회미만인학생은 10+8=18( 명 ) 이다. 7. 자료의정리와해석 39