본문 003 쪽 0 이등변삼각형의성질 00, 5 00 3 003 5 004 3 005 4 006 96ù 007 30ù 008 30ù 009 54ù 00 5ù 0 3ù 0 0ù 03 7ù 04 05 06 07 5 08 5ù 09 00 0 3 0 03 5 04 3 05 96ù 06 07 08 30ù 09 36 030 3 03 3 03 3`cm 033 3 034 3 035 3 036 () 이등변삼각형 () 3 037 7`cm 038 4 039 7`cm 040 ( 가 ) A ( 나 ) 엇각 ( 다 ) EAÓ ( 라 ) ECÓ ( 마 ) 6 ( 바 ) 9 04 () 60ù () 45ù 04 3 043 4 044 44 045 5 046 4 047 8ù 048 4 049 유형정복하기유형 0. 이등변삼각형의성질 00 ABM과 ACM에서 ABÓ=ACÓ, BMÓ=CMÓ, AMÓ은공통이므로 ABMª ACM (SSS 합동 ) ABM과 ACM이합동이므로 AMB= AMC, DMB= DMC DBMª DCM (SAS 합동 ) 이므로 DBÓ=DCÓ 3 DAB= DAC 4 ABMª ACM 5 ABD와 ACD에서 ABÓ=ACÓ, DAB= DAC, ADÓ는공통이므로 ABDª ACD (SAS 합동 ) 따라서옳은것은, 5이다. 답, 5 00 DBH와 DCH에서 BHÓ=CHÓ, DHB= DHC, DHÓ는공통따라서 DBHª DCH (SAS 합동 ) 이므로 DBH= DCH EBC와 FCB에서 BCE= CBF, ( 가 ) BCÓ 는공통, 이등변삼각형의두밑각의크기는같으므로 EBC= ( 나 ) FCB 따라서 EBCª FCB ( ( 다 ) ASA 합동 ) 003, 5 ABE와 ACD에서 A는공통, ABÓ=ACÓ, AEÓ=ADÓ이므로 ABEª ACD (SAS 합동 ) BEÓ=CDÓ, BDC= CEB ACB는 BCE의외각이므로 ACB= CBE+ CEB= CBE+ BDC> BDC BDÓ=ADÓ-ABÓ=AEÓ-ACÓ=CEÓ BCD 와 CBE 에서 BDÓ=CEÓ, BDC= CEB, CDÓ=BEÓ 이므로 BCDª CBE (SAS 합동 ) 3 ADE 가이등변삼각형이므로 ADE= AED BDE 와 CED 에서 DEÓ 는공통, BDÓ=CEÓ, ADE= AED 이므로 BDEª CED (SAS 합동 ) 4 BDE 와 CED 가합동이므로 DBE= ECD BDF 와 CEF 에서 DBF= ECF, BDÓ=CEÓ, BDF= CEF 이므로 BDFª CEF (ASA 합동 ) BFÓ=CFÓ 따라서옳지않은것은 5 이다. 004 ABÓ=x 라하자. ABC = ABQ+ ACQ = _x_pqó+ _x_qró = x( PQÓ+QRÓ) PQÓ+3 QRÓ=5, PQÓ-QRÓ=이므로 ( PQÓ+3 QRÓ)+( PQÓ-QRÓ)=5+ PQÓ+ QRÓ=36 PQÓ+QRÓ=8 ABC= x( PQÓ+QRÓ)= x_8=9x AHÓ BCÓ 이므로 ABC= _BCÓ_AHÓ= _ 9 8 x_ahó= 9 6 x_ahó 9x= 9 6 x_ahó, AHÓ=9x_ 6 9x AHÓ=6 005 ABF 와 ACF 에서 AFÓ는공통, AFB= AFC, BFÓ=CFÓ이므로 ABFª ACF (SAS 합동 ) ABÓ=ACÓ BAE와 BCE에서 BEÓ는공통, BEA= BEC, AEÓ=CEÓ이므로 BAEª BCE (SAS 합동 ) ABÓ=BCÓ ABÓ=ACÓ=BCÓ 이므로 CEÓ= ACÓ= BCÓ=CFÓ ABE 와 BAF 에서 ABÓ는공통, AEÓ=BFÓ, ABÓ=ACÓ=BCÓ에서 BAE= ABF=60ù이므로 ABEª BAF (SAS 합동 ) 3 ADE와 BDF에서 AED= BFD, ADE= BDF ( 맞꼭지각 ), AEÓ=BFÓ 이때삼각형의세내각의크기의합은 80ù 이므로 DAE= DBF ADEª BDF (ASA 합동 ) ADÓ=BDÓ 4 ADEª BDF에서 EDÓ=FDÓ이고 BFD 는 DFB=90ù, DBF=30ù 인직각삼각형이므로 BFÓ+FDÓ BFÓ+EDÓ 답 5 0 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 004 쪽 5 C=60ù이므로 EDF=360ù-(90ù+90ù+60ù)=0ù ADB= EDF=0ù 따라서옳지않은것은 4이다. 유형 0. 이등변삼각형의성질 ; 두밑각의크기 006 ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ACB= ABC=70ù ECD에서 ECÓ=EDÓ이므로 BFE= AFD ( 맞꼭지각 ) AFD에서 AFÓ=ADÓ이므로 FAD=80ù-6ù_=58ù AEC에서 ACE =80ù- CAE-90ù =80ù-58ù-90ù=3ù 0 BCE에서 BCÓ=BEÓ이므로 BCE= BEC=74ù ù Ⅰ- 0. 이등변삼각형의성질 ECD= _(80ù-44ù)=68ù ACE =80ù- ACB- ECD =80ù-70ù-68ù=4ù ACE에서 ACÓ=AEÓ이므로 CAE=80ù-_4ù=80ù-84ù=96ù 007 답 96ù CBE=80ù-_74ù=3ù EBD=74ù-3ù=4ù DBE에서 DEÓ=BEÓ이므로 BED =80ù-_ EBD =80ù-_4ù=96ù AED =80ù- BED- BEC =80ù-96ù-74ù=0ù 답 0ù 이등변삼각형 ABC에서 ACB= ABC=45ù DCE = ACB =45ù ( 맞꼭지각 ) 이므로이등변삼각형 CED에서 CDE= DCE=45ù CED =80ù- CDE- DCE 03 DAE에서 A=36ù이므로 E=90ù-36ù=54ù BEG에서 EGB=90ù-54ù=36ù DGF= EGB=36ù ( 맞꼭지각 ) DFG에서 DGÓ=FGÓ이므로 DFG = _(80ù-36ù)=7ù 답 7ù =80ù-45ù-45ù=90ù 따라서 3 x=90ù이므로 x=30ù 008 ADE는 ADÓ=DEÓ=AEÓ이므로정삼각형이다. ADE=60ù ADB=80ù- ADE=80ù-60ù=0ù 0ù 04 이등변삼각형 ABD에서 A=80ù이므로 ADB= _(80ù-80ù)=50ù 이때두변 AD, BC가서로평행하므로 ADB= CBD=50ù ( 엇각 ) ABD 에서 ADÓ=BDÓ 이므로 DCB= _(80ù-50ù)=65ù 답 a= BAD= _(80ù-0ù)=30ù 009 ABD에서 ADB= a라하면 ADB= DBC= a ( 엇각 ) BCD에서 BDÓ=DCÓ이므로 BDC=80ù-_ DBC=80ù- a ADC = ADB+ BDC = a+(80ù- a)=80ù- a=7ù 이므로 a=63ù BDC=80ù-_63ù=54ù 0ù 답 54ù 05 BAC= a라하면 BAD= BAC+ CAD= a+30ù 이등변삼각형 ABD에서 ABD= BAD= a+30ù 이등변삼각형 ABC에서 ACB= ABC= a+30ù 삼각형의세내각의크기의합은 80ù이므로삼각형 ABC에서 BAC+ ABC+ ACB= a+ a+30ù+ a+30ù=80ù 3 a=0ù a=40ù 따라서 ABD= BAD= a+30ù=70ù이므로 D =80ù- ABD- BAD =80ù-70ù-70ù=40ù 답 00 DBE에서 BDÓ=BEÓ이므로 BED= BDE=8ù AEC에서 AEÓ=ACÓ이므로 AEC = _(80ù- CAE)= _(80ù-3ù)=74ù AED =80ù- BED- AEC =80ù-8ù-74ù=5ù 답 5ù 06 이등변삼각형 ACD에서 DAC= x라하면 ADC= DAC= x ACP= ADC+ DAC= x 이등변삼각형 PAC에서 CAP= ACP= x BAD+ DAC+ CAP=80ù이므로 54ù+ x+ x=80ù, 3 x=6ù 0 BEF 에서 BFE=80ù- FBE-90ù=80ù-9ù-90ù=6ù x=4ù PAC에서 CAP= ACP= x=84ù이므로 P=80ù-84ù_=ù 답 Ⅰ. 삼각형의성질 0. 이등변삼각형의성질
본문 006 쪽 07 ACB= x라하면 삼각형 EGC에서 EGC= ECG= x 삼각형의외각의성질에서 DEG= EGC+ ECG= x+ x= x 삼각형 DGE에서 DEG= EDG= x 마찬가지로 DGF= GDC+ DCG= x+ x=3 x 삼각형 DFG에서 DFG= DGF=3 x ADF= DFC+ DCF=3 x+ x=4 x 삼각형 AFD에서 FAD= ADF=4 x AFB= FAC+ ACF=4 x+ x=5 x 삼각형 ABF에서 ABF= AFB=5 x 따라서 ABC=5 ACB이므로 a=5 답 5 08 ABC= ACB= _(80ù-30ù)=75ù 삼각형 CEF 에서 CEF=80ù- FCE- EFC=80ù-75ù-90ù=5ù 이때 DBE= ECF, DBÓ=ECÓ, BEÓ=CFÓ에서 두삼각형 DBE 와 ECF 는 SAS 합동이므로 BDE= CEF=5ù 09 ABÓ=ACÓ이고 APÓ=AQÓ이므로 PBÓ=QCÓ PBC와 QCB에서 PBÓ=QCÓ, BCÓ는공통, PBC= QCB이므로 PBCª QCB (SAS 합동 ) BPC= CQB APRQ에서네내각의크기의합은 360ù이므로 40ù+ APR+90ù+ AQR=360ù 40ù+(80ù- BPC)+90ù+(80ù- CQB)=360ù BPC+ CQB=30ù, BPC=30ù BPC=65ù 00 BAD= a 라하면 BAC=3 BAD=3 a 이등변삼각형 ABC 에서 ABC= _(80ù-3 a) 삼각형의외각의성질에의하여삼각형 ABD 에서 ADC= ABD+ BAD 7ù= _(80ù-3 a)+ a, 44ù=80ù-3 a+ a a=80ù-44ù=36ù 답 5ù 답 이등변삼각형 PBQ 에서 PBQ= PQB= a 따라서 QBC= ABC- PBQ= b- a 이므로삼각형 QBC 에서 QBC+ BQC+ BCQ =( b- a)+ b+ b 삼각형 APQ 에서 =3 b- a=80ù PAQ+ APQ+ AQP = a+ b+ b ᄀ + ᄂ을하면 5 b=360ù = a+ b=80ù b=7ù b=7ù 를ᄂ에대입하면 a=80ù-_7ù=36ù APC 와 AQB 에서 APÓ=AQÓ, ACÓ=ABÓ, BAC 는공통이므로 APCª AQB (SAS 합동 ) 따라서 APC= AQB 이고, AQB= a+ b, APC= b+ QPC 이므로 QPC= a=36ù 0 이등변삼각형 ABC 에서 BAC= a 라하면 ABC=4 BAC 이므로 ABC= ACB=4 a ABC 에서 a+4 a+4 a=80ù 이므로 9 a=80ù a=0ù PAD 와 ACB 에서 PAÓ=ACÓ, ADÓ=CBÓ PAD= ACB=80ù 이므로 PADª ACB (SAS 합동 ) PDÓ=ABÓ=PAÓ 이고 APD=80ù-(80ù+80ù)=0ù 따라서삼각형 PBD 에서 PDÓ=PBÓ 이고 DPB = APB- APD 이므로 =60ù-0ù=40ù PBD= _(80ù-40ù)=70ù ABD= PBD- PBA=70ù-60ù=0ù 유형 03. 이등변삼각형의성질 ; 밑각또는외각의이등분선 03 ABC 에서 ABÓ=ACÓ 이므로 ABC= ACB= _(80ù-70ù)=55ù yy ᄀ yy ᄂ 답 B= _(80ù-3 a)= _(80ù-08ù)=36ù 답 DCB= _55ù=7.5ù 0 이등변삼각형 APQ 에서 PAQ= a, ABE=80ù-55ù=5ù이므로 DBE= _5ù=6.5ù APQ= AQP= b라하자. BCÓ PQÓ이므로 ABC= ACB= b 이등변삼각형 QBC에서 BQC= BCQ= b 삼각형의외각의성질에서 PQC= a+ b이므로 PQB = PQC- BQC =( a+ b)- b= a BCD에서 DCB+ D= DBE이므로 7.5ù+ D=6.5ù D=35ù 답 5 04 ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 B= C=76ù ABC에서 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 008 쪽 A=80ù-( B+ C)=80ù-(76ù+76ù)=8ù 이므로 x=8 DBC= _76ù=38ù이므로 BCD에서 ADB= DBC+ C=38ù+76ù=4ù y=4 y-x=4-8=86 05 ABC 에서 ABÓ=ACÓ 이므로 ACB= _(80ù-44ù)=68ù ACE=80ù-68ù=ù 이므로 DCE= _ù=56ù 09 정오각형의한내각의크기는 80ù_(5-) =08ù 5 BAE= ABC=08ù ABE 에서 ABÓ=AEÓ 이므로 ABE= _(80ù-08ù)=36ù 따라서 CBE= ABC- ABE=08ù-36ù=7ù 이므로 x=7 BCE 에서 BEÓ=CEÓ 이므로 BCE= CBE=7ù BCE 에서 BEC=80ù-(7ù+7ù)=36ù y=36 x-y=7-36=36 6 Ⅰ- 0. 이등변삼각형의성질 DBC에서 CBÓ=CDÓ이므로 BDC= DBC 따라서 DBC에서 BDC+ DBC= DCE이므로 _ DBC=56ù DBC=8ù BCF에서 x= FBC+ BCF=8ù+68ù=96ù 답 96ù 유형 05. 이등변삼각형의꼭지각의이등분선 030 ACD 와 BCD 에서 ACÓ=BCÓ, ACD= BCD, CDÓ 는공통이므로 06 ABC 에서 ABÓ=ACÓ 이므로 ACDª BCD (SAS 합동 ) 따라서 ADÓ=BDÓ 이므로 ADÓ= _8=4(cm) ABC= ACB= _(80ù-68ù)=56ù ABD=3 DBC이므로 ABD= 3 4 _56ù=4ù, DBC= 4 _56ù=4ù y=4 ACE=80ù-56ù=4ù이므로 DCE= _4ù=6ù BCD에서 BDC+ DBC= DCE이므로 xù+4ù=6ù x=48 x+y=48+4=90 07 ABC는이등변삼각형이므로 ABC= ACB= _(80ù-40ù)=70ù 답 CDA= CDB=90ù이므로 ABÓ CDÓ 3 CDÓ의길이는알수없다. 따라서옳지않은것은 3 이다. 03 BDÓ=CDÓ이므로 CDÓ= _BCÓ= _6=3(cm) x=3 ADC=90ù 이고 C= B=64ù 이므로 ADC 에서 CAD=80ù-(90ù+64ù)=6ù y=6 y-x=6-3=3 03 AEÓ=x`cm, BEÓ=BCÓ=y`cm 라하면 ACÓ=ABÓ=AEÓ+BEÓ=x+y (cm) ACÓ+BEÓ=5(cm) 이므로 CEÓ 는 ACD 의이등분선이므로 (x+y)+y=5 x+y=5 yy ᄀ DCB = ACB-( ACE+ ECD) =70ù- ECD DBC는이등변삼각형이므로 DBC= DCB이고 BFÓ는 DBC의이등분선이므로 BDÓ=CDÓ 이므로 CDÓ= y `cm AEÓ+CDÓ=6(cm) 이므로 x+ y =6 x+y= yy ᄂ DBF+ FBC=70ù- ECD, DBF+ ECD=70ù DBF+ ECD=35ù 답 ᄀ -_ ᄂ을하면 x+y=5 ->³4x+y=4-3x =-9 x=3 유형 04. 여러가지도형에서의이등변삼각형 08 ACD 에서 ADÓ=CDÓ 이고 D=90ù 이므로 따라서 AEÓ 의길이는 3`cm 이다. 033 ADB=90ù 이므로 ABD 에서 BAD=80ù-(50ù+90ù)=40ù `cm CAD= ACD= _(80ù-90ù)=45ù CAE= DAE이므로 CAE= 3 _ CAD= 3 _45ù=30ù CAD= BAD=40ù 이므로 x=40 ABE 와 ACE 에서 ABÓ=ACÓ, BAE= CAE, AEÓ는공통이므로 ABEª ACE (SAS 합동 ) ACE에서 ACÓ=AEÓ이므로 ACE= _(80ù-30ù)=75ù DCE= ACE- ACD=75ù-45ù=30ù 0ù 따라서 AEC= AEB=30ù 이므로 AEC 에서 ACE=80ù-(40ù+30ù)=0ù y=0 x-y=40-0=30 Ⅰ. 삼각형의성질 0. 이등변삼각형의성질 3
본문 00 쪽 034 BDÓ=CDÓ 이므로 BDÓ= _6=3(cm) ADB=90ù 이므로 ABD 의넓이에서 _BDÓ_ADÓ= _ABÓ_DEÓ _3_4= _5_DEÓ DEÓ=.4`cm 유형 06. 이등변삼각형이되는조건 035 ABC 에서 ABÓ=ACÓ 이므로 C= B= ( 가 ) 60ù 삼각형의세내각의크기의합은 80ù 이므로 A=80ù-( B+ C)=80ù-(60ù+60ù)= ( 나 ) 60ù ᄀ, ᄂ에서 A= ( 다 ) C =60ù 이므로 ABÓ= ( 라 ) BCÓ ABÓ=ACÓ 이고 ABÓ=BCÓ 이므로 ( 마 ) ABÓ=ACÓ=BCÓ yy ᄀ yy ᄂ ACP의넓이는 _ACÓ_PEÓ= 9 PEÓ (cm ) ABC= ABP+ ACP이므로 36= 9 PDÓ+ 9 PEÓ, 36= 9 (PDÓ+PEÓ) PDÓ+PEÓ=36_ 9 =8(cm) 039 FDC에서 C=80ù-(90ù+ D)=90ù- D BED= D이고 AEF= BED ( 맞꼭지각 ) 이므로 AEF= D AEF에서 A=80ù-(90ù+ D)=90ù- D A= C 따라서 ABC에서 ABÓ=BCÓ이므로 ABÓ=BCÓ=x`cm라하면 BEÓ=(x-3)`cm, BDÓ=(-x)`cm EDB에서 BDÓ=BEÓ이므로 -x=x-3 -x=-4 x=7 답 7`cm 040 ACÓ와 A'DÓ의교점을 E라하자. A'B'C는 ABC를회전시킨것이므로 A'= ( 가 ) A 따라서 ABC 는정삼각형이다. 그러므로적절하지않은것은 3 이다. 036 () BAC=80ù-46ù=34ù ABC 에서 B= ACE- BAC=68ù-34ù=34ù 따라서 BAC= B이므로 ABC는 CAÓ=CBÓ인이등변삼각형이다. () CAÓ=CBÓ 이므로 a+=a-, -a=-3 a=3 답 () 이등변삼각형 () 3 유형 07. 이등변삼각형이되는조건의활용 037 A= ACD= DCB=aù 라하면삼각형의외각의성질에서 CDB= A+ ACD=aù DBC 의세내각의크기의합은 80ù 이므로 BDC+ DCB+ B =aù+aù+7ù a=36 =3aù+7ù=80ù 따라서 ADC 에서 A= ACD 이므로 ADÓ=CDÓ DBC 에서 B= BDC 이므로 BCÓ=CDÓ BCÓ=CDÓ=ADÓ=7`cm 038 BPD 와 CPE 에서 BPD= CPE, BDP= CEP 이고 삼각형의세내각의크기의합은 80ù 이므로 B= C 따라서 ABC 에서 ACÓ=ABÓ=9`cm ABP 의넓이는 _ABÓ_PDÓ= 9 PDÓ (cm ) 답 7`cm ABÓA'CÓ 에서 ( 나 ) 엇각의크기가같으므로 EDA= A', ECA'= ( 가 ) A 따라서 EDA 에서 EDA= ( 가 ) A 이므로 EDÓ= ( 다 ) EAÓ ECA' 에서 ECA'= A' 이므로 ( 라 ) ECÓ =EA'Ó A'DÓ =EDÓ+EA'Ó= ( 다 ) EAÓ + ( 라 ) ECÓ =ACÓ= ( 마 ) 6 `(cm) A'B'Ó=ABÓ=5`cm 이므로 B'DÓ=A'B'Ó-A'DÓ=5-6= ( 바 ) 9 `(cm) 답 ( 가 ) A ( 나 ) 엇각 ( 다 ) EAÓ ( 라 ) ECÓ ( 마 ) 6 ( 바 ) 9 유형 08. 종이접기에서의이등변삼각형의성질 04 () 오른쪽그림에서 ABC= CBD ( 접은각 ), ACB= CBD ( 엇각 ) 이므로 ABC= ACB 따라서 ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ABC는정삼각형이다. 즉, CAB=60ù 이므로 FCA= CAB=60ù ( 엇각 ) () 오른쪽그림에서 ABC= CBD ( 접은각 ), ACB= CBD ( 엇각 ) 이므로 x=60ù ABC= ACB= x ABC의세내각의크기의합은 80ù이므로 90ù+ x+ x=80ù, x=90ù x=45ù 답 () 60ù () 45ù 4 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 03 쪽 04 ㄱ. BEF= x라하면 DEF= BEF= x ( 접은각 ), EFB= DEF= x ( 엇각 ) 따라서 EBF에서 EBF=80ù-( x+ x)=80ù- x EBG= D=90ù이므로 FBG=90ù-(80ù- x)= x-90ù 따라서 BEF= FBG라고할수없다. ㄴ. BEÓ=EDÓ=c`cm, BCÓ=(b+c)`cm EBF에서 BEF= EFB이므로 BFÓ=BEÓ=c`cm CFÓ=BCÓ-BFÓ=(b+c)-c=b (cm) ㄷ. BFÓ=c`cm이므로 EBF= _c_a= ac (cm ) ㄹ. BGÓ=ABÓ=a`cm, GFÓ=CFÓ=b`cm, BFÓ=c`cm 이므로 BGF 의둘레의길이는 (a+b+c)`cm 이다. ABCD 의둘레의길이는 a+(b+c)=a+b+c 이므로 _( ABCD 의둘레의길이 ) = _(a+b+c) 따라서옳은것은ㄷ, ㄹ이다. 043 =a+b+c =( BGF 의둘레의길이 ) CAB= ACD ( 엇각 ), ACD= ACE ( 접은각 ) 이므로 CAB= ACE 따라서 AFC에서 AFÓ=CFÓ=5`cm CEÓ=CDÓ=8`cm이므로 FEÓ=CFÓ-CEÓ=5-8=7(cm) AEÓ=ADÓ=4`cm 따라서 AFE의둘레의길이는 5+7+4=56(cm) 044 BAF=3 a, EFC=4 a라하면 ABF에서 AFB =80ù-(90ù+3 a)=90ù-3 a AFE= EFC=4 a ( 접은각 ) 이고, AFB+ AFE+ EFC=80ù 이므로 (90ù-3 a)+4 a+4 a=80ù 90ù+5 a=80ù, 5 a=90ù 따라서 BAF=3_8ù=54ù 이므로 EAF=90ù-54ù=36ù 오른쪽그림에서 AFÓGEÓ 이므로 GEA= EAF=36ù ( 엇각 ) x=36 EFC=4_8ù=7ù 이므로 AEF= EFC=7ù ( 엇각 ) a=8ù 따라서 DEF=80ù- AEF=80ù-7ù=08ù 이므로 y=08 x+y=36+08=44 답 44 045 FBD= DBC ( 접은각 ), DBC= FDB ( 엇각 ) 이므로 FBD= FDB 따라서 FBD 에서 FDÓ=BFÓ=0`cm FBD의넓이에서 _FDÓ_ABÓ=40이므로 _0_ABÓ=40 ABÓ=8`cm ABÓ`:`ADÓ=`:`이므로 8`:`ADÓ=`:` ADÓ=6`cm 따라서 AFÓ=ADÓ-FDÓ=6-0=6(cm) 이므로 ABF 의둘레의길이는 8+0+6=4(cm) 백점도전하기 046 유형 0 4 쪽 이등변삼각형 ABD 에서 ABD= ADB=4ù 이등변삼각형의두밑각의따라서크기는같아. BAD =80ù-4ù-4ù 삼각형의세내각의크기의 =96ù 합은항상 80ù야. BAD=3 BAC 에서 BAC=96ù_ 3 =3ù 따라서 CAD=96ù-3ù=64ù 삼각형 PCA는삼각형 DCA를 답 5 선분 AC에대하여대칭이동한것 두삼각형은합동이야. 과같으므로 PAÓ=ADÓ, PAC= CAD=64ù 따라서 PAD=64ù+64ù=8ù이고, 삼각형 APD는이등변삼각형이므로 APD= ADP= _(80ù-8ù)=6ù PAÓ=ADÓ잖아! PDB = ADB- ADP 047 =4ù-6ù=6ù 유형 05 9 쪽 도구를 BCÓ 가지면위에오도록올려놓았 을때줄의연장선이 BCÓ와만나는점을 D 이등변삼각형에서꼭지각의라하면 ADÓ BCÓ이다. 이등분선은밑변을수직 따라서줄은항상지면과수직이다. 이등분해. 도구를 BCÓ가언덕위에오도록올려놓았 을때줄의연장선이 BCÓ와만나는점을 E, 지면과만나는점을 F라하자. AFB=90ù이므로 ABF에서 ABF=80ù-(4ù+90ù)=48ù EBF= ABF- ABE=48ù-40ù=8ù 따라서언덕이지면과이루는각의크기는 8ù이다. 048 답 8ù 유형 07 쪽 ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 B= C ABC는 ABÓ=ACÓ인이등변삼각형이니까두밑각의크기도같겠지? DEC에서 D=80ù-(90ù+ C)=90ù- C BEF에서 BFE=80ù-(90ù+ B)=90ù- B BFE=90ù- B=90ù- C= D DFA= BFE ( 맞꼭지각 ) 이므로 DFA= D DFA는두내각의크기가같으니까따라서 DFA에서 ADÓ=AFÓ 이등변삼각형이야. Ⅰ- 0. 이등변삼각형의성질 Ⅰ. 삼각형의성질 0. 이등변삼각형의성질 5
본문 05 쪽 ABÓ=9`cm 이고 AFÓ`:`BFÓ=`:` 이므로 AFÓ= 3 _9=3(cm) ADÓ=AFÓ=3`cm 049 AFÓ = AFÓ+BFÓ + = 3 유형 08 쪽접은부분과원래부분은합동이야. AEÓ=a-b이므로 EGÓ=AEÓ=a-b ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ABD= ADB 따라서 ABD= _(80ù-90ù)=45ù 정사각형의한내각의크기는항상 90ù! EGD= A=90ù이므로 EGB=90ù EBG에서 BEG=80ù-(90ù+45ù)=45ù 따라서 EBG에서 EBG= BEG이므로 EBG는이등변삼각형이야! BGÓ=EGÓ=a-b BHÓ=BCÓ=a이므로 GHÓ=BHÓ-BGÓ=a-(a-b)=b 답 AQP의내각을 a(= ABC) 를이용하여나타낸다. 70% C의크기를구한다. 30% 유제 STEP ❶ B를 a라하고, 이등변삼각형의성질을이용하여 PCQ의내 각을 a를이용하여나타낸다. B= a라하면 이등변삼각형 BCP에서 BPC= _(80ù- a)=90ù- a A= B= a이므로 이등변삼각형 APQ에서 APQ= (80ù- a)=90ù- a 삼각형의외각의성질에서 CQP = APQ+ QAP =90ù- a+ a=90ù+ a CPB+ CPQ+ APQ=80ù이므로 서술형격파하기 예제 36ù 유제 08ù 예제 0ù 유제 0ù 예제 3 6`cm 유제 3 8 예제 4 75ù 유제 4 0`cmÛ` 예제 STEP ❶ B를 a라놓고, 이등변삼각형의성질을이용하여 AQP의내각을 a를이용하여나타낸다. B= a라하면이등변삼각형 ABQ에서 AQB= _(80ù- a)=90ù- a C= B= a이므로 이등변삼각형 PQC에서 PQC= _(80ù- a)=90ù- a 삼각형의외각의성질에서 APQ = PQC+ PCQ =90ù- a+ a=90ù+ a AQB+ AQP+ PQC=80ù이므로 90ù- a+ AQP+90ù- a= AQP+80ù- a=80ù AQP= a 따라서이등변삼각형 AQP에서 PAQ= AQP= a 70% STEP ❷ 삼각형의세내각의크기의합이 80ù임을이용하여 C의크기를구한다. AQP의세내각의크기의합은 80ù이므로 PAQ+ AQP+ APQ= a+ a+90ù+ a=80ù a+ a+80ù+ a=360ù, 5 a=80ù a=36ù 따라서 C의크기는 36ù이다. 30% 6ù 90ù- a+ CPQ+90ù+ a= CPQ+80ù- a=80ù CPQ= a 따라서이등변삼각형 CPQ에서 QPC= QCP= a 40% STEP ❷ 삼각형의세내각의크기의합이 80ù 임을이용하여 a 의크기를 구한후 CQP 의크기를구한다. CQP 의세내각의크기의합은 80ù 이므로 QPC+ QCP+ CQP= a+ a+90ù+ a=80ù a+ a+80ù+ a=360ù, 5 a=80ù a=36ù 30% CQP=90ù+ a=90ù+8ù=08ù 3 30% 답 08ù PCQ의내각을 a(= ABC) 를이용하여나타낸다. 40% a(= ABC) 의크기를구한다. 30% 3 CQP의크기를구한다. 30% 예제 STEP ❶ A 를 x 라놓고, 이등변삼각형의성질을이용하여 CFE 와 CFD 를 x 를이용하여나타낸다. A= x 라하면 ABE 에서 ABÓ=BEÓ 이므로 BEA= A= x CBE= A+ BEA= x EBC 에서 BEÓ=ECÓ 이므로 BCE= CBE= x ACE 에서 CEF= A+ ACE= x+ x=3 x CEF에서 CFÓ=ECÓ이므로 CFE= CEF=3 x 30% ACF 에서 FCD= A+ AFC= x+3 x=4 x FCD에서 CFÓ=DFÓ이므로 CFD=80ù-_4 x=80ù-8 x 30% STEP ❷ 평각은 80ù 임을이용하여 x 의크기를구하고, EBC 의크기를 구한다. 6 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 07 쪽 CFE+ CFD+ DFG=80ù이므로 3 x+(80ù-8 x)+50ù=30ù-5 x=80ù 5 x=50ù x=0ù 3 0% EBC= x=0ù 4 0% 답 0ù CFE를 x(= A) 에대하여나타낸다. 30% CFD를 x(= A) 에대하여나타낸다. 30% 3 x(= A) 의크기를구한다. 0% 4 EBC의크기를구한다. 0% 유제 STEP ❶ 이등변삼각형의성질을이용하여 EFD의크기를구한다. ABC에서 ABÓ=BCÓ이므로 BCA= A=5ù CBD= BCA+ A=5ù+5ù=30ù CBD에서 BCÓ=CDÓ이므로 CDB= CBD=30ù ECD= A+ CDB=5ù+30ù=45ù CDE에서 CDÓ=DEÓ이므로 DEC= DCE=45ù EDF= A+ DEA=5ù+45ù=60ù EDF에서 DEÓ=EFÓ이므로 EFD= EDF=60ù 80% STEP ❷ 평각은 80ù임을이용하여 a의크기를구한다. 따라서 a+ EFD=80ù이므로 a=80ù- EFD=80ù-60ù=0ù 0% 답 0ù EFD의크기를구한다. 80% a의크기를구한다. 0% 예제 3 STEP ❶ 삼각형의외각의성질을이용하여 DAC와 ACD의크기를각각구한다. DAC=80ù-60ù=0ù ADC에서 ACD= BDC- DAC=40ù-0ù=0ù 40% STEP ❷ 이등변삼각형을찾아 BCÓ의길이를구한다. DAC= ACD이므로 CDÓ=ADÓ ABC에서 B= ACF- BAC=60ù-0ù=40ù 따라서 B= BDC이므로 BCÓ=CDÓ BCÓ=CDÓ=ADÓ=6`cm 60% 답 6`cm DAC와 ACD의크기를각각구한다. 40% ADC, BCD가이등변삼각형임을파악한후 BCÓ 의길이를구한다. 60% 유제 3 STEP ❶ 이등변삼각형의성질을이용하여 x, y의값을각각구한다. DBC에서 DBC= DCB이므로 BDÓ=CDÓ ADÓ=BDÓ이므로 ADÓ=CDÓ DAC=80ù-0ù=60ù이므로 ADC는정삼각형이다. 따라서 ADC=60ù이므로 xù+xù=60ù xù=60ù x=30 40% ADC에서 ADÓ=ACÓ=4`cm이고 CEÓ는이등변삼각형 ADC의꼭지각의이등분선이므로 y= 40% STEP ❷ x-y 의값을구한다. 따라서 x=30, y= 이므로 x-y=30-=8 3 0% x의값을구한다. 40% y 의값을구한다. 40% 3 x-y 의값을구한다. 0% 예제 4 STEP ❶ CBD 를 x 라놓고, ABC 와 ACB 의크기를 x 를 이용하여나타낸다. CBD= x 라하면 CAB= 5 x ABC= CBD ( 접은각 ) 이고, ACB= CBD ( 엇각 ) 이므로 답 8 ACB= ABC= x 50% STEP ❷ 삼각형의세내각의크기의합이 80ù 임을이용하여 ABC 의 크기를구한다. ABC 의세내각의크기의합은 80ù 이므로 x+ x+ 5 x=80ù, 5 x=80ù x=75ù 따라서 ABC 의크기는 75ù 이다. 50% 답 75ù ABC와 ACB의크기를 x(= CBD) 에대하여나타낸다. 50% ABC의크기를구한다. 50% 유제 4 STEP ❶ 종이접기에서접은부분과원래부분은합동임과엇각을이용하여 ACÓ의길이를구한다. 오른쪽그림에서 ABC= CBD ( 접은각 ), ACB= CBD ( 엇각 ) 이므로 ABC= ACB 따라서 ABC에서 ACÓ=ABÓ=5`cm 70% STEP ❷ ABC의넓이를구한다. ABC는밑변의길이가 5`cm, 높이가 4`cm인삼각형이므로 ABC의넓이는 _5_4=0(cm ) 30% 답 0`cmÛ` ABC는이등변삼각형임을알고, ACÓ의길이를구한다. 70% ABC의넓이를구한다. 30% Ⅰ- 0. 이등변삼각형의성질 DEÓ= _ADÓ= _4=(cm) Ⅰ. 삼각형의성질 0. 이등변삼각형의성질 7
본문 0 쪽 0 직각삼각형의합동조건 050 5 05 3 05 ( 가 ) CDG ( 나 ) CDÓ ( 다 ) GCD ( 라 ) RHA ( 마 ) DGÓ 053 ㄱ - RHS 합동, ㄴ - ASA 합동, ㄷ - RHA 합동 054 4 055 () BAP, RHA 합동 () ;; ;;`cmû` 056 5 057 4 058 5 059 8 060 06 9 06 49 063 4 064 4 065 066 4 067 068 30 069 4 070 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ 07 07 073 5 074 0`cm 075 076 3`cm 077 3 유형정복하기유형 0. 직각삼각형의합동조건 050 CAP와 ( 가 ) CHP 에서 PAÓ= ( 나 ) PHÓ, PAC= ( 다 ) PHC =90ù, ( 라 ) CPÓ 는공통이므로 CAPª ( 가 ) CHP ( ( 마 ) RHS 합동 ) 따라서옳지않은것은 5이다. 답 5 05 RHS 합동이되려면빗변이아닌다른한변의길이가같아야한다., 직각이아닌한각의크기가같아지므로 RHA 합동조건을만족한다. 3 ABÓ=DCÓ이고주어진조건인 BCÓ는공통, BAC= CDB에의하여 ABCª DCB (RHS 합동 ) 4 BAC= CDB는이미주어진조건이다. 5 BCÓ=0이라는조건으로는두직각삼각형이합동인지아닌지판단할수없다. 05 BCF와 ( 가 ) CDG 에서사각형 ABCD가정사각형이므로 BCÓ= ( 나 ) CDÓ yy ᄀ BFC= CGD=90ù yy ᄂ BCF+ ( 다 ) GCD =90ù이고, BCF에서 FBC+ BCF=90ù이므로 ( 다 ) GCD = FBC yy ᄃᄀ, ᄂ, ᄃ에의하여 BCFª ( 가 ) CDG ( ( 라 ) RHA 합동 ) CFÓ= ( 마 ) DGÓ 답 ( 가 ) CDG ( 나 ) CDÓ ( 다 ) GCD ( 라 ) RHA ( 마 ) DGÓ ㄴ. ACB= DFE, BCÓ=EFÓ이므로두직각삼각형 ABC와 DEF는한변의길이와그양끝각의크기가서로같은 ASA 합동이다. ㄷ. CAB= FDE, ACÓ=DFÓ 이므로두직각삼각형 ABC와 DEF는빗변의길이와한예각의크기가각각같은 RHA 합동이다. ㄹ. A= D, C= F이고 B= E이므로두직각삼각형 ABC와 DEF는합동인지아닌지알수없다. 답ㄱ-RHS 합동, ㄴ-ASA 합동, ㄷ-RHA 합동 054, ㄱ과ㄹ의직각삼각형의대응하는각의크기는같으나대응하는변의 길이가같은지는알수없으므로합동인지아닌지알수없다. 3, 4 ㄴ의직각삼각형의다른한각의크기는 38ù 이다. ㄴ과ㅂ의직각삼각형은빗변의길이와한예각의크기가각각같으므로 RHA 합동이다. 5 ㄷ과ㅁ의직각삼각형은빗변의길이만같으므로합동인지아닌지알수없다. 따라서바르게나타낸것은 4이다. 유형 0. 직각이등변삼각형에서 RHA 합동의활용 055 () 세점 A, P, Q가한직선위에있으므로 BAP+ BAC+ CAQ=80ù에서 BAP+ CAQ =80ù- BAC=80ù-90ù=90ù BAP 에서 BAP+ APB+ ABP=80ù 이므로 BAP+ ABP =80ù- APB=80ù-90ù=90ù BAP+ CAQ= BAP+ ABP 이므로 CAQ= ABP ACQ 와 BAP 에서 ACÓ=BAÓ, AQC= BPA=90ù, CAQ= ABP 이므로 ACQª BAP (RHA 합동 ) () BPÓ=AQÓ=8`cm, CQÓ=APÓ=3`cm 이므로 ABC =(BCQP 의넓이 )- BAP- ACQ = _(3+8)_- 3_8 = -4= 73 (cm ) 답 () BAP, RHA 합동 () 73 `cm 053 ㄱ. ABÓ=DEÓ, ACÓ=DFÓ 이므로두직각삼각형 ABC와 DEF는빗변의길이와다른한변의길이가각각같은 RHS 합동이다. 056 세점 B, C, E가한직선위에있으므로 BCA+ ACD+ DCE=80ù BCA+ DCE=80ù- ACD=80ù-90ù=90ù ABC에서세내각의크기의합은 80ù이므로 BAC+ ABC+ BCA=80ù BAC+ BCA=80ù- ABC=80ù-90ù=90ù 8 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 03 쪽 따라서 BCA+ DCE= BAC+ BCA 이므로 BAC= DCE ABC 와 CED 에서 ACÓ=CDÓ, ABC= CED=90ù, BAC= ECD 이므로 ABCª CED (RHA 합동 ) 3 ABC 와 CED 가합동이므로 ABÓ=CEÓ 4 BEÓ=BCÓ+CEÓ=DEÓ+ABÓ=+3=5 (cm) 5 ABED 의넓이는 _(ABÓ+DEÓ)_BEÓ= _(3+)_5= 5 (cm ) 따라서옳지않은것은 5이다. 057 BCD 와 CBE 에서 BDC= CEB=90ù, BCÓ 는공통, DBC= ECB 이므로 답 5 빗변의길이와한예각의크기가각각같다. 따라서 BCDª CBE (RHA 합동 ) 이고 CDÓ=BEÓ 4 ACD= BCD는 ABC가 ACÓ=BCÓ인이등변삼각형일때만같으므로주어진그림에서 CDÓ=BEÓ를구하는데사용되지않는다. 따라서필요한조건이아닌것은 4이다. 058 ABC는 ABÓ=ACÓ인이등변삼각형이므로 B= C CDF와 BDE에서 BDÓ=CDÓ, BED= CFD=90ù, B= C이므로 CDFª BDE (RHA 합동 ) 따라서 CFÓ=BEÓ=`cm이므로 AFÓ=ACÓ-CFÓ=5-=3(cm) 059 답 5 사각형 DEFG가직사각형이므로 DEÓ=GFÓ, DGÓ=EFÓ ABC가이등변삼각형이므로 B= C DBE와 GCF에서 DBÓ=GCÓ, B= C, BED= CFG=90ù이므로 DBEª GCF (RHA 합동 ) BEÓ=CFÓ이고, BEÓ=a라하면 EFÓ=4a이므로 BCÓ=BEÓ+EFÓ+CFÓ=a+4a+a=6a= a= DGÓ=EFÓ=4a=8 답 8 060 ABC에서 B= ABE+ CBD=90ù ABE에서세내각의크기의합은 80ù이므로 ABE+ BAE+ AEB=80ù에서 ABE+ BAE =80ù- AEB=80ù-90ù=90ù ABE+ CBD= ABE+ BAE=90ù 이므로 CBD= BAE ABE 와 BCD 에서 ABÓ=BCÓ, AEB= BDC=90ù, BAE= CBD 이므로 ABEª BCD (RHA 합동 ) 따라서 BEÓ=CDÓ=0`cm, BDÓ=AEÓ=7`cm 이므로 DEÓ=BEÓ-BDÓ=0-7=3(cm) 06 DPÓ`:`PEÓ=9`:`5 이므로 DPÓ=9k 라하면 PEÓ=5k 답 FPC 와 EPC 에서 F= E=90ù, PCÓ 는공통 EPC= DPB( 맞꼭지각 ) 이므로 FPC= EPC FPCª EPC (RHA 합동 ) 따라서 PFÓ=PEÓ=5k DBP 에서 DBP=80ù-(90ù+ DPB)=90ù- DPB FPC 에서 FCP=80ù-(90ù+ FPC)=90ù- FPC 이때 DPB= FCP 이므로 DBP= FCP 따라서 ABC 는 ABÓ=ACÓ 인이등변삼각형이다. ABC= ABP+ ACP 이므로 = _6_9k+ _6_5k, =k k= 따라서 DPÓ=9_=9이다. 답 9 유형 03. 직각삼각형의합동조건의활용 ; RHA 합동 06 ABC 와 DEC 에서 ACB= DCE ( 맞꼭지각 ), ACÓ=DCÓ, B= E=90ù 이므로 ABCª DEC (RHA 합동 ) 따라서 ECÓ=BCÓ=3`cm이므로 x=3 또 DCE= ACB=44ù이므로 DEC에서 CDE=80ù-(44ù+90ù)=46ù y=46 x+y=3+46=49 9 063 A= BAP+ QAD=90ù 이고, AQD 에서 QAD+ QDA=90ù 이므로 BAP= QDA yy ᄀ또 D= QDA+ CDQ=90ù이고, CDQ 에서 CDQ+ DCQ=90ù 이므로 QDA= DCQ yy ᄂ ᄀ, ᄂ에서 BAP= DCQ ABP와 CDQ에서 ABÓ=CDÓ, BPA= DQC=90ù, BAP= DCQ이므로 ABPª CDQ (RHA 합동 ) BPÓ=DQÓ=`cm, CQÓ=APÓ=9`cm PQÓ=ACÓ-APÓ-CQÓ=5-9-9=7(cm) BQP= _PQÓ_BPÓ= _7_=4(cm ) 유형 04. 직각삼각형의합동조건의활용 ; RHS 합동 064 ABD 와 AED 에서 ABD= AED=90ù, ADÓ 는공통, ABÓ=AEÓ 이므로 ABDª AED (RHS 합동 ) () BDÓ=EDÓ (), ADB= ADE (3), BAD= EAD Ⅰ- 0. 직각삼각형의합동조건 Ⅰ. 삼각형의성질 0. 직각삼각형의합동조건 9
본문 05 쪽 5 BAD= EAD 이므로 BAD= A ABC 에서 A=80ù-(90ù+ C)=90ù- C EDC 에서 EDC=80ù-(90ù+ C)=90ù- C 따라서 A= EDC 이므로 BAD= A= EDC 그러므로옳지않은것은 4 이다. 065 AMD 와 BME 에서 ADM= BEM=90ù, AMÓ=BMÓ, DMÓ=EMÓ 이므로 AMDª BME (RHS 합동 ) 따라서 A= B이므로 A= _(80ù-46ù)=67ù AMD 에서 AMD=80ù-(90ù+67ù)=3ù 066 ABD 와 AED 에서 ABD= AED=90ù, ADÓ 는공통, BDÓ=EDÓ 이므로 ABDª AED (RHS 합동 ) 따라서 AEÓ=ABÓ=`cm이므로 x= EAD= BAD=35ù이므로 BAC=_35ù=70ù ABC 에서 C=80ù-(90ù+70ù)=0ù 이므로 y=0 y-x=0-=8 067 ABC 와 EDC 에서 C=90ù, ABÓ=EDÓ, ACÓ=ECÓ 이므로 ABCª EDC (RHS 합동 ) 따라서 B= D이므로 B= D= x라하면 DEC에서 DEC=80ù-(90ù+ x)=90ù- x FBE에서 B+ BFE= FEC이므로 답 x+34ù=90ù- x, x=56ù x=8ù 답 068 BMD 와 CME 에서 BDM= CEM=90ù, BMÓ=CMÓ, DMÓ=EMÓ 이므로 BMDª CME (RHS 합동 ) 따라서 B= C이고 A=0ù이므로 ABC에서 B= C= _(80ù-0ù)=30ù y=30 BMD 에서 DMB=80ù-(90ù+30ù)=60ù x=60 x-y=60-30=30 0 유형 05. 각의이등분선의성질 069 COP 와 DOP 에서 PCO= ( 가 ) PDO =90ù, ( 나 ) OPÓ 는공통, COP= ( 다 ) DOP 이므로 COPª DOP ( ( 라 ) RHA 합동 ) PCÓ= ( 마 ) PDÓ 따라서옳지않은것은 4 이다. 070 AOP 와 BOP 에서 PAO= PBO=90ù ( ㄱ ), OPÓ 는공통 ( ㄴ ), PAÓ=PBÓ ( ㄹ ) 이므로 AOPª BOP (RHS 합동 ) ( ㅁ ) POA= POB 따라서필요한조건은ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ이다. 유형 06. 각의이등분선의성질의활용 07 오른쪽그림과같이점 D 에서 ABÓ 에내린수선의발을 H 라하면 BCD 와 BHD 에서 BCD= BHD=90ù, BDÓ 는공통, DBC= DBH 이므로 BCDª BHD (RHA 합동 ) HDÓ =CDÓ= ABÓ ( 4 CDÓ=ABÓ) 4 = 4 _=3(cm) ABD= 3=8(cm ) 07 CQÓ 를그으면 APQ 와 CPQ 에서 APÓ=CPÓ, APQ= CPQ=90ù, PQÓ는공통이므로 APQª CPQ (SAS 합동 ) PCQ= PAQ= x CBQ와 CPQ에서 CBQ= CPQ=90ù, CQÓ 는공통, BQÓ=PQÓ 이므로 CBQª CPQ (RHS 합동 ) 따라서 BCQ= PCQ= x이므로 C= BCQ+ PCQ= x+ x= x 답ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ 답 ABC에서 A+ B+ C=80ù이므로 x+90ù+ x=80ù 3 x=90ù x=30ù 답 073 ABÓCDÓ 이므로 BCD=80ù- ABC=80ù-60ù=0ù BCÓADÓ이므로 ADC=80ù- BCD=80ù-0ù=60ù ACE와 ACF에서 ACÓ는공통, AEÓ=AFÓ, AEC= AFC=90ù이므로 ACEª ACF (RHS 합동 ) ACE= ACF= _ BCD=60ù ABC= ACB=60ù, ACD= ADC=60ù이므로 ABC 와 ACD 는정삼각형이다. 따라서 ABÓ=BCÓ=CDÓ=ADÓ 이고 CFÓ=FDÓ= CDÓ ABÓ=x 라하면 지민이가걸은거리는 ADÓ+FDÓ=x+ x= 3 x 이고 0 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 07 쪽 태형이가걸은거리는 ABÓ+BCÓ+CFÓ=x+x+ x= 5 x 이다. 6x+ 5 x=54, 7 x=54 x=54_ ;;Áª;;+;;Á ;;=;;ª ;; 7 =4 3 x`:` 5 x=3`:`5 따라서지민이가걸은거리는태형이가걸은거리의 3 5 배이다. 백점도전하기 074 유형 03 4 쪽 OCD 와 OCF 에서 OCÓ는공통, OCD= OCF, ODC= OFC=90ù이므로 C의외각의이등분선 OCDª OCF (RHA 합동 ) ODÓ=OFÓ, CFÓ=CDÓ=3`cm OBD와 OBE에서 답 5 OBÓ는공통, OBD= OBE, ODB= OEB=90ù이므로 OBDª OBE (RHA 합동 ) B의외각의이등분선 ODÓ=OEÓ OCDª OCF에서 ODÓ=OFÓ, OBDª OBE에서 ODÓ=OEÓ니까 OFÓ=OEÓ겠지? 한편 OAÓ를그으면 OAF와 OAE에서 OAÓ는공통, OFÓ=OEÓ, OFA= OEA=90ù이므로 OAFª OAE (RHS 합동 ) AEÓ=AFÓ=ACÓ+CFÓ =7+3=0(cm) CFÓ=CDÓ=3`cm라고구했어. 답 0`cm 075 유형 04 4 쪽 AFB 와 CEB 에서 BAF= BCE=90ù, BFÓ=BEÓ, ABÓ=CBÓ이므로 AFDª CEB (RHS 합동 ) 정사각형의네변의길이는같아. FBA= EBC=6ù 합동인두삼각형의대응하는두각의크기는같겠지? FBE= FBA+ ABE= EBC+ ABE= ABC=90ù BEF 에서 FBE=90ù, BFÓ=BEÓ 이므로 BFE= _(80ù-90ù)=45ù FBG에서 BGE= BFG+ FBG=45ù+6ù=7ù 답 삼각형의한외각의크기는그와이웃하지않는다른유형 04 4쪽두내각의크기의합과같아. 076 ADÓ를그으면 ABD와 AED에서 ABD= AED=90ù, ADÓ는공통, ABÓ=AEÓ 이므로 ABDª AED (RHS 합동 ) 합동인두삼각형의대응하는 BDÓ=EDÓ 두변의길이는서로같아. BDÓ=EDÓ=x`cm라하면 ABD = _BDÓ_ABÓ = _x_=6x(cm ) ADC = _ACÓ_DEÓ ;!;_CDÓ_ABÓ 를이용하면 x 의값을구할수없어. 따라서사각형 ABDE의둘레의길이는 ABÓ+BDÓ+DEÓ+EAÓ=+4+4+=3(cm) 077 유형 05 5 쪽 `cm ABD와 AED에서 BAD= EAD, ADÓ는공통, ABD= AED=90ù이므로 ABDª AED (RHA 합동 ) ABÓ=AEÓ, BDÓ=EDÓ AEÓ=ABÓ=5`cm이므로 CEÓ=ACÓ-AEÓ=3-5=8(cm) BDÓ=EDÓ이므로 CDÓ+EDÓ=CDÓ+BDÓ=BCÓ=(cm) 따라서 CED의둘레의길이는 CDÓ, EDÓ, CEÓ의각각의길이를구하지않아도돼. (CDÓ+EDÓ)+CEÓ=+8=0(cm) BCÓ=`cm 서술형격파하기 예제 예제 30`cmÛ` 유제 8`cmÛ` 예제 0`cm 유제 8`cmÛ` 예제 3 6 유제 3 예제 4 6ù () ABD=;;Á ;;x`cmû`, DBC=;%;x`cmÛ`, ABC=9x`cmÛ` () ;;Á3¼;;`cm (3) ;; 3¼;;`cmÛ` 유제 4 () BAC=30ù, ACB=60ù () 6`cm (3) 0 STEP ❶ 합동인두삼각형을찾아합동인이유를설명한다. 세점 B, D, E가한직선위에있으므로 ABD+ ABC+ CBE=80ù에서 ABD+ CBE=80ù- ABC=80ù-90ù=90ù ADB에서 ABD+ BAD =80ù- ADB=80ù-90ù=90ù ABD+ CBE= ABD+ BAD=90ù 이므로 CBE= BAD ADB 와 BEC 에서 ABÓ=BCÓ, D= E, BAD= CBE 이므로 ADBª BEC (RHA 합동 ) 50% STEP ❷ ADÓ`:`CEÓ=5`:`3 임을이용하여 ADB 의넓이를구한다. ADÓ=BEÓ, BDÓ=CEÓ BEÓ`:`BDÓ=ADÓ`:`CEÓ=5`:`3 이고, DEÓ=6`cm 이므로 BEÓ=6_ 5 5+3 =0(cm) BDÓ=6_ 3 5+3 =6(cm) 30% Ⅰ- 0. 직각삼각형의합동조건 = _5_x= 5 x(cm ) ABC= _BCÓ_ABÓ= _9_=54(cm ) ABD+ ADC= ABC 이므로 ADB = _ADÓ_BDÓ = _0_6=30(cm ) 3 0% 0`cm Ⅰ. 삼각형의성질 0. 직각삼각형의합동조건
본문 08 쪽 ADB와 BEC가합동임을보인다. 50% BEÓ와 BDÓ의길이를구한다. 30% 3 ADB의넓이를구한다. 0% 유제 STEP ❶ 합동인두삼각형을찾아합동인이유를설명한다. 세점 A, C, E가한직선위에있으므로 BCA+ BCD+ ECD=80ù에서 BCA+ ECD =80ù- BCD=80ù-90ù=90ù ABC에서 BCA+ CAB+ ABC=80ù이므로 BCA+ ABC =80ù- CAB=80ù-90ù=90ù BCA+ ECD= BCA+ ABC=90ù이므로 ECD= ABC ABC와 ECD에서 BCÓ=CDÓ, A= E, ABC= ECD이므로 ABCª ECD (RHA 합동 ) 50% STEP ❷ BDC- ABC- CDE의값을구한다. 따라서 ABÓ=ECÓ=7`cm, DEÓ=CAÓ=3`cm이므로 BDC- ABC- CDE =(ABDE- ABC- CDE)- ABC- CDE =(ABDE- ABC)- ABC =ABDE-4 ABC = _(ABÓ+DEÓ)_AEÓ-4 ACÓ_ABÓ = _(7+3)_0-4 3_7 =50-4=8(cm ) 50% 답 8`cm ABC와 ECD가합동임을보인다. 50% BDC- ABC- CDE의값을구한다. 50% 예제 STEP ❶ 합동인두삼각형을찾아합동인이유를설명한다. AME와 CMD에서 AMÓ=CMÓ, AEM= CDM=90ù, AME= CMD ( 맞꼭지각 ) 이므로 AMEª CMD (RHA 합동 ) 60% STEP ❷ BCÓ의길이를구한다. 따라서 CDÓ=AEÓ=5`cm이므로 BCÓ=BDÓ+CDÓ=5+5=0(cm) 40% 답 0`cm AME와 CMD가합동임을보인다. 60% BCÓ의길이를구한다. 40% 유제 STEP ❶ DEÓ의길이를구한다. ABD와 EBD에서 A= BED=90ù, BDÓ는공통, BAÓ=BEÓ이므로 ABDª EBD (RHS 합동 ) 40% DEÓ=DAÓ=4`cm 0% STEP ❷ ABC가직각이등변삼각형임을이용하여 DEC의넓이를구한다. ABC에서 A=90ù이고 ABÓ=ACÓ이므로 C= ABC= _(80ù-90ù)=45ù DEC에서 EDC=80ù-(90ù+45ù)=45ù 따라서 DEC에서 EDC= C이므로 ECÓ=DEÓ=4`cm DEC = _ECÓ_DEÓ = _4_4=8(cm ) 3 40% 답 8`cm ABD와 EBD가합동인이유를설명한다. 40% DEÓ의길이를구한다. 0% 3 DEC의넓이를구한다. 40% 예제 3 STEP ❶ 합동인삼각형의쌍을각각찾아합동인이유를설명한다. ADP와 AFP에서 APÓ는공통, PAD= PAF, ADP= AFD=90ù이므로 ADPª AFP (RHA 합동 ) FPÓ=DPÓ= 4 3 BDP와 BEP에서 BPÓ는공통, PBD= PBE, BDP= BEP=90ù이므로 BDPª BEP (RHA 합동 ) EPÓ=DPÓ= 4 3 CEP와 CFP에서 CPÓ는공통, PCE= PCF, CEP= CFP=90ù이므로 CEPª CFP (RHA 합동 ) 60% STEP ❷ 각삼각형의넓이를더하여 ABC의넓이를구한다. ABC = ADP+ AFP+ BDP+ BEP+ CEP+ CFP =_( ADP+ BEP+ CEP) =_{ _6_ 4 3 + _7_ 4 3 + _4_ 4 3 } =_{4+ 49 3 + 98 3 } =_63=6 40% 답 6 ADPª AFP, BDPª BEP, CEPª CFP임을안다. 60% ABC의넓이를구한다. 40% 유제 3 STEP ❶ 합동인두삼각형을찾고, ABD, DBC, ABC의넓이를각각 x를이용하여단항식으로나타낸다. () BDE와 BDC에서 BED= BCD=90ù, BDÓ는공통, BEÓ=BCÓ이므로 BDEª BDC (RHS 합동 ) DCÓ=DEÓ=x`cm 30% ABD = _ABÓ_DEÓ = _3_x= 3 x(cm ) DBC = _BCÓ_DCÓ = _5_x= 5 x(cm ) ABC = ABD+ DBC = 3 x+ 5 x=9x(cm ) 30% STEP ❷ ABC의넓이를이용하여 DEÓ의길이를구한다. 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 03 쪽 () ABC= _BCÓ_ACÓ= _5_=30(cm ) 이므로 9x=30 x= 0 3 따라서 DEÓ의길이는 0 `cm이다. 3 0% 3 STEP ❸ AED의넓이를구한다. (3) BEÓ=BCÓ=5`cm이므로 AEÓ=ABÓ-BEÓ=3-5=8(cm) AED = _AEÓ_DEÓ = _8_ 0 3 = 40 3 (cm ) 4 0% 답 () ABD= 3 x`cm, DBC= 5 x`cm, ABC=9x`cm () 0 3 `cm (3) 40 3 `cm BDEª BDC임을이용하여 DCÓ=DEÓ=x`cm임을안다. 30% ABD, DBC, ABC의넓이를각각 x를이용하여나타낸다. 30% 3 DEÓ의길이를구한다. 0% 4 AED의넓이를구한다. 0% 예제 4 STEP ❶ 삼각형의합동의성질을이용하여 DBP의크기를구한다. DBP와 DBQ에서 DPÓ=DQÓ, DPB= DQB=90ù, BDÓ는공통이므로 DBPª DBQ (RHS 합동 ) DBP= DBQ=3ù 50% STEP ❷ 사각형 BQDP의네내각의크기의합을이용하여 PDQ의크기를구한다. 사각형 BQDP에서 PDQ =360ù-(90ù+90ù+_3ù) =360ù-44ù=6ù 50% 답 6ù DBP의크기를구한다. 50% PDQ의크기를구한다. 50% 유제 4 STEP ❶ 삼각형의합동의성질을이용하여 BAC, ACB의크기를각각구한다. () AEF와 CEF에서 AEÓ=CEÓ, EFÓ는공통, AFE= CFE=90ù이므로 AEFª CEF (RHS 합동 ) EAF= ECF 이때 ECF= ECB이므로 BAC= x라하면 ACB= x ABC에서 x+90ù+ x=80ù이므로 3 x=90ù x=30ù BAC=30ù, ACB=60ù 30% STEP ❷ 삼각형의합동의성질을이용하여 ACÓ의길이를구한다. () BCE와 FCE에서 BCE= FCE, CEÓ는공통, CBE= CFE=90ù이므로 BCEª FCE (RHA 합동 ) FCÓ=BCÓ=ADÓ=8`cm 이때 AEFª CEF이므로 FAÓ=FCÓ=8`cm ACÓ=FAÓ+FCÓ=8+8=6(cm) 30% STEP ❸ 사각형 ABCD의넓이가 AEF의넓이의몇배인지구한다. (3) 세삼각형 AEF, CEF, CEB는서로합동이므로 ABC=3 AEF (ABCD)= ABC=6 AEF 따라서 k=6이므로 3k+=3_6+=0 3 40% 답 () BAC=30ù, ACB=60ù () 6`cm (3) 0 BAC, ACB의크기를각각구한다. 30% ACÓ의길이를구한다. 30% 3 3k+의값을구한다. 40% 03 삼각형의외심과내심 078 079 3 080 08 08 5 083 x=86ù, y=47ù 084 도현 085 3, 4 086 3 087 3 088 95ù 089 4 090 () 60ù () 8`cm 09 5 09 8`cm 093 64ù 094 3 095 4 096 3 097 098 57ù 099 70ù 00 5 0 4ù 0 84ù 03 04 05 50ù 06 4, 5 07 08 4 09 0 () 5ù () 76ù 4 3ù 3 4 4 5 5 6 3 7 0ù 8 65ù 9 30ù 0 4 3 4 4 ù 5 6 3 7 4 8 0ù 9 3 30 4 3 3 3 70ù 33 48ù 34 3 35 9 36 3 37 4 38 39 39 3 40 6 4 4 4 43 44 45 46 47 3 48 4 49 50 5 5 5 5 `cm 53 9p`cm 54 3 55 34p`cmÛ` 56 (4-4p)cm 57, 4 58 59 3 60 4 유형정복하기유형 0. 삼각형의외심과그성질 078 OAÓ=OBÓ이고 OAB의둘레의길이가 5`cm이므로 OAÓ+ABÓ+OBÓ=5에서 OAÓ+7+OAÓ=5, OAÓ=8 OAÓ=4`cm 따라서원 O의반지름의길이는 4`cm이므로원 O의둘레의길이는 p_4=8p(cm) 답 079 점 O가 ABC의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ OAB에서 BAO= ABO=50ù OAC=7ù-50ù=ù AOC에서 ACO= OAC=ù x=ù Ⅰ- 03. 삼각형의외심과내심 Ⅰ. 삼각형의성질 03. 삼각형의외심과내심 3
본문 034 쪽 080 OCD 에서 DOC=80ù-(90ù+5ù)=65ù 점 O 는 ABC 의외심이므로 OAÓ=OCÓ ACÓ ODÓ 이므로 ODÓ 는이등변삼각형 AOC 의 꼭지각 AOC 의이등분선이다. AOD= DOC=65ù 08 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ AOC 는 OAÓ=OCÓ 인이등변삼각형이고 OFÓ ACÓ 이므로 AFÓ=CFÓ 답 3, 4 ADO 와 AFO 에서 AOÓ 는공통, ADO= AFO, ADÓ=AFÓ 이 므로 ADOª AFO (RHS 합동 ) 5 OBC 에서 OBÓ=OCÓ 이므로 OBE= OCE 따라서옳지않은것은 이다. 08 5 ( 마 ) 에들어갈것은 OHÓ 이다. 따라서알맞은것으로옳지않은것은 5 이다. 083 점 O 는 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ ODÓ=OFÓ ABO 에서 OAÓ=OBÓ 이므로 OBA= OAB=6ù AOB=80ù-(6ù+6ù)=58ù BOC 에서 OBÓ=OCÓ 이므로 OCB= OBC=8ù BOC=80ù-(8ù+8ù)=44ù x= BOC- AOB=44ù-58ù=86ù AOC 에서 OAÓ=OCÓ, AOC=86ù 이므로 y= _(80ù-86ù)=47ù 084 답 답 5 답 x=86ù, y=47ù 원의중심은깨진접시에내접하는삼각형의외심이므로삼각형의두변의수직이등분선의교점이다. 따라서옳게말하고있는학생은도현이다. 답도현 085 점 O가 ABC의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ OAB= OAC= x라하자. OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 OBA= OAB= x OBC= OBA= x OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 OCB= OBC= x OAC에서 OAÓ=OCÓ이므로 OCA= OAC= x ABC의세내각의크기의합에서 6 x=80ù x=30ù 따라서 BAC= ABC= ACB=_30ù=60ù이므로 ABC는정삼각형이다. ABC는정삼각형이므로 ABÓ=BCÓ ABÓ=ACÓ이고 ADÓ는이등변삼각형 ABC의꼭지각의이등분선이므로 BCÓ ODÓ 3 OBD=30ù, ODB=90ù 이므로 OBD 에서 EOD=30ù+90ù=0ù 4 BCE 는 BCÓ 가빗변인직각삼각형이므로 BCÓ>BEÓ ACÓ=BCÓ 이므로 ACÓ>BEÓ 5 OBD 와 OAE 에서 OBD= OAE=30ù, OBÓ=OAÓ, BOD= AOE ( 맞꼭지각 ) 이므로 OBDª OAE (ASA 합동 ) 따라서옳지않은것은 3, 4 이다. 086 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ OAB 에서 OAÓ=OBÓ 이므로 OAB= OBA=70ù OAC=70ù-0ù=60ù OAC 에서 OAÓ=OCÓ 이므로 OCA= OAC=60ù OBC 에서 OBÓ=OCÓ 이므로 OBC= OCB=60ù+ x ABC 의세내각의크기의합은 80ù 이므로 0ù+70ù+60ù+ x+ x=80ù, 4 x=40ù x=0ù 087 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ OBC 에서 OBÓ=OCÓ 이므로 OBC= OCB= x OAB 에서 OAÓ=OBÓ 이므로 OAB= OBA=46ù+ x ABC 에서 ACB=80ù-(46ù+04ù)=30ù OCA 에서 OAÓ=OCÓ 이므로 OAC= OCA=30ù+ x BAC= OAB+ OAC 에서 04ù=(46ù+ x)+(30ù+ x), x=8ù x=4ù 088 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ OBA= a, OBC= b 라하면 a+ b=65ù OAB 에서 OAÓ=OBÓ 이므로 OAB= OBA= a 따라서 ABD 에서 ADC=65ù+ a yy ᄀ yy ᄂ OBC 에서 OBÓ=OCÓ 이므로 OCB= OBC= b 따라서 EBC 에서 AEC=65ù+ b yy ᄃ ᄀ, ᄂ, ᄃ에의하여 x+ y = AEC+ ADC=(65ù+ b)+(65ù+ a) =30ù+( a+ b) =30ù+65ù =95ù 답 95ù 유형 0. 직각삼각형의외심과빗변의중점 089 직각삼각형 ABC 의외심은 ABÓ 의중점이므로외접원의반지름의길이는 ABÓ= _5= 5 (cm) 따라서외접원의둘레의길이는 p_ 5 =5p(cm) 4 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 036 쪽 090 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ () OAC 에서 OAÓ=OCÓ 이므로 OCA= OAC=30ù BOC= OAC+ OCA=30ù+30ù=60ù () OBC 에서 OBÓ=OCÓ 이고 BOC=60ù 이므로 09 OBC 는정삼각형이다. 따라서 OBÓ=BCÓ=4`cm 이므로 ABÓ=_4=8(cm) 점 O 는 ABC 의외심이므로 OAÓ=OCÓ 따라서 OCA 에서 A= OCA= x 이므로 답 () 60ù () 8`cm BOC= x=94ù x=47ù 답 5 09 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OCÓ ABC=_=4(cm ) ABC의넓이에서 _BCÓ_ABÓ=4이므로 _BCÓ_6=4, 3 BCÓ=4 BCÓ=8`cm 답 8`cm 093 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OCÓ OAC= C OAC= C= x라하면 HAC= x-38ù AHC의세내각의크기의합에서 ( x-38ù)+ x+90ù=80ù, x=8ù x=64ù 094 ABC의넓이에서 _BCÓ_ADÓ=5이므로 _BCÓ_5=5, 5 BCÓ=5 BCÓ=5_ 5 =0(cm) ABC의외심은 BCÓ의중점이므로 ABC의외접원의반지름의길이는 BCÓ= _0=5(cm) 따라서 ABC의외접원의넓이는 p_5 =5p(cm ) 답 64ù 유형 03. 삼각형의외심이주어질때, 각의크기구하기 095 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ ABC 에서 OAB+ OBC+ OCA=80ù이므로 OCA =90ù- OAB- OBC 096 =90ù-34ù-6ù =90ù-50ù=40ù 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ= ( 가 ) OBÓ =OCÓ OAC, OAB, OBC 가각각이등변삼각형이므로 OAC= ( 나 ) OCA = a, OBA= OAB= b, ( 다 ) OCB = OBC= c 삼각형의세내각의크기의합은 ( 라 ) 80ù 이므로 ( a+ b+ c)=80ù 에서 a+ b+ c=90ù OAC+ OBA+ ( 마 ) OCB =90ù 따라서옳지않은것은 3 이다. 097 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ OAC 에서 x = _(80ù- AOC)= _(80ù-6ù)=7ù ABC 에서 x+ y+ OAB=90ù 이므로 y =90ù- x- OAB =90ù-7ù-7ù=36ù x+ y=7ù+36ù=63ù 098 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ ABC 에서 OAÓ, OCÓ 를그으면 OAB+ OAC+ OBC=90ù 이므로 x= OAB+ OAC=90ù- OBC=90ù-33ù=57ù 099 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ OBM 과 OBN 에서 BMÓ=BNÓ, OMB= ONB=90ù, OBÓ 는공통이므로 OBMª OBN (RHS 합동 ) OBM= OBN=0ù OAC= x-0ù ABC 에서 OBA+ OBC+ OAC=80ù 이므로 OAC =90ù- OBA- OBC =90ù-0ù-0ù=50ù OAC= x-0ù=50ù x=70ù 00 OBM 에서 OBM=90ù- BOM=90ù-8ù=9ù 점 O 는 ABC 의외심이므로 x+ y+ OBM=90ù x+ y =90ù- OBM 0 =90ù-9ù 답 답 57ù 답 70ù =8ù 답 5 CDÓ 가 C 의이등분선이므로 BCO= ACO=4ù 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ, OBD+ BCO+ ACO=90ù OBD =90ù- BCO- ACO 0 =90ù-4ù-4ù=4ù 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ, OBA+ OCB+ OAC=90ù ù Ⅰ- 03. 삼각형의외심과내심 Ⅰ. 삼각형의성질 03. 삼각형의외심과내심 5
본문 039 쪽 OBA`:` OCB`:` OAC=3`:`4`:`8 이므로 OAC=90ù_ 8 5 =48ù AOC=80ù- OAC=80ù-96ù=84ù 03 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ, OAB+ OBC+ OCA=90ù OBC =90ù- OAB- OCA =90ù-53ù-6ù=ù OBC 에서 OBC= OCB=ù 이므로 COD= OBC+ OCB=ù 04 점 O 는 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ OBC 에서 BOC =80ù-_43ù=94ù AOC =360ù- AOB- BOC =360ù-ù-94ù =44ù 따라서부채꼴 OAC 의넓이는 답 84ù 답 p_5 _ 44 360 =0p(cm ) 답 05 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ ABC 에서 OAB+ OAC+ OBC=90ù 이므로 OBC =90ù- OAB- OAC =90ù-50ù-3ù=9ù C = OCA+ OCB = OAC+ OBC=3ù+9ù=40ù DBC 에서 BDC =90ù- C =90ù-40ù=50ù 유형 04. 삼각형의내심과그성질 06 점 I 가삼각형의내심인경우는 점 I 가삼각형의두내각의이등분선의교점일때, 점 I 에서삼각형의세변에이르는거리가같을때이므로 4, 5 이다.,, 3 은점 I 가삼각형의외심인경우로 과 3 은각각 삼각형의두변의수직이등분선의교점, 삼각형의세꼭짓점에이르는거리가같은점을나타낸것이고 는 3의조건을이용하여나온것이다. 따라서삼각형의내심 I를나타낸것은 4, 5이다. 07 점 I가 ABC의내심이므로 IBA= IBC=3ù BCD에서 x =80ù-05ù-46ù =80ù-5ù=9ù 답 50ù, 5 답 08 ㄱ, ㄴ. 점 I 가내심이므로 I 는 ABC 의두내각의이등분선의교점이다. IAP= IAR, IBP= IBQ ㄷ, ㄹ. BIQ 와 CIQ 에서 IQÓ 는공통, IQB= IQC=90ù 의두개의조건만을 만족하므로합동인지아닌지알수없다. 따라서 IBÓ=ICÓ 인지아닌지알수없다. ㅁ, ㅂ, ㅇ. API 와 ARI 에서 AIÓ 가공통, IAP= IAR, API= ARI=90ù 이므로 APIª ARI (RHA 합동 ) IPÓ=IRÓ, APÓ=ARÓ BPI 와 BQI 에서 BIÓ 가공통, IBP= IBQ, BPI= BQI=90ù 이므로 BPIª BQI (RHA 합동 ) IPÓ=IQÓ 따라서 IPÓ=IQÓ=IRÓ ㅅ. 내심의성질에의하여 ACI= ICQ, ABI= IBQ IBC 가 IBÓ=ICÓ 인지아닌지알수없으므로 IBQ= ICQ 는 성립하지않는다. 따라서 ABI= ACI 는성립하지않는다. 이상에서항상옳은것은ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅂ, ㅇ이다. 09 BCD 는이등변삼각형이므로 BDC= DCB=74ù DBC =80ù-( BDC+ DCB) =80ù-48ù =3ù ADÓ 와 BCÓ 가평행하므로 ADB= DBC=3ù`( 엇각 ) ABD 는이등변삼각형이므로 ABD= ADB=3ù BAD =80ù-( ADB+ ABD) =80ù-64ù =6ù 점 I 는 ABD 의내심이므로 EAD= BAD= _6ù=58ù 점 I' 은 DBC 의내심이므로 EDB= BDC= _74ù=37ù AED 에서 AED =80ù-( ADB+ EAD+ EDB) =80ù-(3ù+58ù+37ù) =80ù-7ù =53ù 답 유형 05. 삼각형의내심이주어질때, 각의크기구하기 0 () 점 I 가 ABC 의내심이므로 x =90ù+ B =90ù+ _70ù=5ù 6 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 04 쪽 () 점 I가 ABC의내심이므로 IAC+ IBC+ ICB=90ù ICB = x=90ù- IAC- IBC 다른풀이 ICB=90ù- IAB- IBC=30ù 점 I를지나고 ACÓ와평행한선분 DE에 =90ù-35ù-7ù =90ù-5ù=38ù x=_38ù=76ù 점 I가 ABC의내심이므로 y= IAB=4ù 답 () 5ù () 76ù 대하여 DAI= CAI ( 내심의성질 ) DIA= CAI=38ù`( 엇각 ) ECI= ACI ( 내심의성질 ) EIC= ACI=30ù`( 엇각 ) AIC=80ù-(38ù+30ù)=ù IAC의내심이점 I' 이므로 x =90ù+ BAC IAI'= CAI'= IAC=9ù =90ù+ _48ù=90ù+4ù=4ù ICI'= ACI'= ACI=5ù x+ y=4ù+4ù=38ù I'AC 에서삼각형의세내각의크기의합이 80ù 이므로 CI'A=80ù-(5ù+9ù)=80ù-34ù=46ù 점 I가 ABC의내심이므로 IAB= IAC=33ù BAC=66ù BAÓ=BCÓ이므로 BCA= BAC=66ù AIB =90ù+ C =90ù+ _66ù =90ù+33ù=3ù 3 BIQ에서 IBQ =90ù- BIQ=90ù-55ù=35ù 답 3ù 5 점 I가 ABC의내심이므로 IBC+ ICA+ IAB=90ù IAB =90ù- IBC- ICA =90ù-3ù-4ù=35ù 내심의성질에의하여 ABI= IBC=3ù ABD=6ù ABD에서 ADB =80ù-( DAB+ ABD) =80ù-(35ù+6ù) =80ù-97ù=83ù 답 5 Ⅰ- 03. 삼각형의외심과내심 점 I가 ABC의내심이므로 IAR+ IBQ+ x=90ù x =90ù- IAR- IBQ =90ù-4ù-35ù =90ù-77ù=3ù 답 6 점 I가 ABC의내심이므로 CIÓ를그으면 IAD+ IBA+ ICB=90ù ICB =90ù- IAD- IBA 4 점 I가 ABC의내심이므로 CIA =90ù+ B=90ù+ _44ù =90ù+ù=ù 점 I' 이 IAC의내심이므로 =90ù-0ù-30ù=40ù 내심의성질에의하여 C= ICB=80ù x=90ù+ C=90ù+ _80ù=30ù BCD에서 y+ DBC+ C=80ù이므로 y=80ù-30ù-80ù=70ù x- y=30ù-70ù=60ù CI'A =90ù+ CIA=90ù+ _ù =90ù+56ù=46ù 다른풀이 점 I가 ABC의내심이므로 BIÓ를그으면 IAB+ IBC+ ICB=90ù 7 ABC`:` BCA`:` CAB=`:`5`:`3이므로 CAB=80ù_ 3 9 =60ù 점 I는 ABC의내심이므로 ICB=90ù- IAB- IBC=90ù-38ù-ù=30ù ICA= ICB=30ù, IAC= IAB=38ù IAC에서 BIC =90ù+ CAB =90ù+ _60ù=0ù 답 0ù CIA=80ù-(30ù+38ù)=ù ( 이하동일 ) 8 ICA= a 라하면내심의성질에의하여 ICB= a ADC 에서 Ⅰ. 삼각형의성질 03. 삼각형의외심과내심 7
본문 04 쪽 x = CAD+ ICA = y+ a 점 I는 ABC의내심이므로 IAB+ IBC+ ICA=90ù, y+5ù+ a=90ù a=65ù- y x= y+ a= y+65ù이므로 x- y=65ù 9 점 I가 ABC의내심이므로 AIC=90ù+ B=90ù+ _64ù=ù 답 65ù 4 점 O 가 ABC 의외심이므로 B= AOC= _88ù=44ù 점 I 가 ABC 의내심이므로 AIC =90ù+ B 5 =90ù+ _44ù=ù 점 I 가 ABC 의내심이므로 답 ù 점 I' 이 ADC 의내심이므로 BIC=90ù+ A에서 90ù+ ADC= AI'C ADC = AI'C-80ù=_36ù-80ù =7ù-80ù=9ù ADI에서 AIC= ADI+ IAD이므로 IAD = AIC- ADI =ù-9ù=30ù 0ù 30ù=90ù+ A A=40ù A=80ù 점 O가 ABC의외심이므로 BOC= A=_80ù=60ù 이때 OBÓ=OCÓ이므로이등변삼각형 OBC에서 OCB= _(80ù-60ù)=0ù 답 유형 06. 삼각형의외심과내심 0 점 O가 ABC의내심일때 OBÓ는 ABC의이등분선이므로 OBA= OBC=30ù x=30 점 O가 ABC의외심일때 OAÓ=OBÓ이므로이등변삼각형 ABO에서 OBA= OAB=8ù y=8 x-y=30-8= 답 점 O가 ABC의외심이므로 AOC= B=_38ù=76ù 점 I가 ABC의내심이므로 AIC=90ù+ B=90ù+9ù=09ù AIC- AOC=09ù-76ù=33ù 삼각형의세변의수직이등분선은외심에서만나므로점 P가외심인것은ㄷ이다. 삼각형의세내각의이등분선은내심에서만나므로점 P가내심인것은ㄴ이다. 3 답 점 O는삼각형 ABC의외접원의중심이므로삼각형 ABC의외심이다. 따라서점 O는삼각형 ABC의세변의수직이등분선의교점이다. 점 I는삼각형 ABC의내접원의중심이므로삼각형 ABC의내심이다. 따라서점 I는삼각형 ABC의세내각의이등분선의교점이며, 점 I에서삼각형 ABC의세변에이르는거리가같다. 따라서옳지않은것은 4이다. 6 ㄱ. 삼각형의세변의수직이등분선은한점인외심에서만난다. ㄴ. 삼각형의내심에서세변에이르는거리는같다. ㄷ. 직각삼각형의외심은빗변의중점이다. ㄹ. 삼각형의두내각의이등분선은한점인내심에서만난다. ㅁ. 정삼각형에서외심과내심은일치한다. 따라서옳은것은ㄱ, ㄹ, ㅁ이다. 7 삼각형의내심은삼각형의세내각의이등분선의교점이므로 ABC= ABI=_ù=44ù ACB= ACI=_8ù=56ù ABC에서 A =80ù-( ABC+ ACB) =80ù-(44ù+56ù)=80ù 점 O 는 ABC 의외심이므로 BOC= A=_80ù=60ù 8 점 O 가 ABC 의외심이므로 BOC= A=_64ù=8ù 이때 OBÓ=OCÓ 이므로이등변삼각형 OBC 에서 OCB= _(80ù-8ù)=6ù ABC 에서 ACB =80ù-( A+ B) =80ù-(64ù+84ù)=3ù 점 I 가 ABC 의내심이므로 ICB= ACB= _3ù=6ù ICO = OCB- ICB =6ù-6ù=0ù 답 0ù 8 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 044 쪽 9 점 O가 ABC의외심이므로 BOC= A=_40ù=80ù ABC의외심 O에서각꼭짓점에이르는거리는 같으므로 OBÓ=OCÓ 이등변삼각형 OBC에서 OBC= _(80ù-80ù)=50ù 이등변삼각형 ABC에서 ABC= _(80ù-40ù)=70ù ABC의내심 I는세내각의이등분선의교점이므로 IBC= ABC= _70ù=35ù OBI= OBC- IBC=50ù-35ù=5ù 30 점 I가 ABC의내심이므로 PCB= ACB= _8ù=4ù ABC에서 BAC =80ù-( ABC+ ACB) =80ù-(90ù+8ù)=6ù 점 O가 ABC의외심이므로 OAÓ=OBÓ에서 ABO= BAC=6ù OBÓ=OCÓ에서 OBC= OCB=8ù BPC =80ù-( OBC+ PCB) =80ù-(8ù+4ù)=38ù 3 ( 가 ) 세친구의집을삼각형의세꼭짓점으로놓으면삼각형의외심에서각꼭짓점까지이르는거리가같음을이용할수있다. ( 나 ) 활꼴도형의호에세점을찍고, 각점을꼭짓점으로하는삼각형을그리면삼각형의외심을이용해중심을찾을수있다. ( 다 ) 도로에의해형성된삼각형의내심에서각변에이르는거리가같음을이용할수있다. 33 점 O 가 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ 따라서이등변삼각형 ABO에서 OAB= OBA 이등변삼각형 BCO에서 OBC= OCB ABO= a, CBO= b라하면 ABC= ABO+ CBO= a+ b=3ù 이므로 ABCO 에서 BAO+ ABC+ BCO+ AOC=360ù a+3ù+ b+ AOC =3ù+( a+ b)+ AOC AOC=4ù 이때점 O 가 ACD 의내심이므로 AOC=90ù+ D=4ù D=4ù-90ù=4ù D=48ù 34 ADÓ와 BCÓ의교점을 H라하면이등변삼각형 ABC에서 AHB= AHC=90ù CAD= CBD, AHC= BHD=90ù 이므로 ACB= ADB 이때 ACB= x라하면 =3ù+3ù+ AOC =46ù+ AOC=360ù ABC= ACB 에서 ABC= ADB= x 점 I 가 ABC 의내심이므로 IBC= x IBH 에서 BIH =80ù-( IBH+ IHB) =80ù-{ x+90ù}=90ù- x 8ù AOÓ=BOÓ=DOÓ 에서 ABD 또한점 O 가외심이므로 ABD=90ù 이고, Ⅰ- 03. 삼각형의외심과내심 3 점 I가 ABE의내심이므로 BAD= DAE=30ù BAE=30ù+30ù=60ù 점 O가 ABE의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OEÓ이고 BOE= BAE=_60ù=0ù 이등변삼각형 ABO에서 ABO= BAO=0ù 이등변삼각형 OBE에서 OBE= _(80ù-0ù)=30ù ABC= ABO+ OBE=0ù+30ù=50ù ACD는 ABC의외각이므로 ACD= ABC+ BAC=50ù+0ù=70ù 답 70ù IBD= ABD- ABI=90ù- x 따라서 BIH= BID= IBD에서 IDÓ=BDÓ이고 IDÓ=( 원 O의반지름의길이 )-OIÓ=AOÓ-OIÓ=4-=3이므로 BDÓ=IDÓ=3 유형 07. 삼각형의내심을지나는평행선 35 오른쪽그림과같이 AIÓ, BIÓ를그으면 DAI= DIA에서 ADÓ=DIÓ IBE= BIE에서 BEÓ=IEÓ 이때 IEÓ=BEÓ=BCÓ-ECÓ=0-6=4에서 DIÓ=DEÓ-IEÓ=0-4=6 DCÓ =ACÓ-ADÓ =ACÓ-DIÓ=5-6=9 답 9 Ⅰ. 삼각형의성질 03. 삼각형의외심과내심 9
본문 046 쪽 36 오른쪽그림과같이 DBI= DIB에서 DIÓ=DBÓ=6 EIC= ECI에서 IEÓ=ECÓ=4 DEÓ=DIÓ+IEÓ=6+4= ( 가 ) 0 EIC= ECI= ICB=6ù ( 엇각 ) 이므로 ICE에서 IEC =80ù-( EIC+ ECI) =80ù-(6ù+6ù)= ( 나 ) 48ù 37 내심의성질에의하여 ABC= ABI 두선분 DE, BC가평행하므로 EIC= ICB ( 엇각 )= ECI 3 DBI= DIB, EIC= ECI에서 DBÓ=DIÓ, IEÓ=ECÓ 5 ( ADE의둘레의길이 ) =ADÓ+DEÓ+AEÓ =ADÓ+DIÓ+IEÓ+AEÓ =ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ =ABÓ+ACÓ 따라서옳지않은것은 4이다. BEÓ=DBÓ=ABÓ-ADÓ=6-x ECÓ=FCÓ=ACÓ-AFÓ=0-x BCÓ =BEÓ+ECÓ=(6-x)+(0-x) =6-x=4 x= x=6 4 ADÓ=a`cm, ECÓ=b`cm라하면 AFÓ=ADÓ=a`cm, FCÓ=ECÓ=b`cm이므로 ACÓ=AFÓ+FCÓ=a+b=0(cm) ABC = (ABÓ+BCÓ+ACÓ) = {(a+)+(b+)+0} = (a+b+4) = (0+4) =4(cm ) 답 6 답 38 오른쪽그림에서 DBI= DIB이므로 DBÓ=DIÓ=5 EIC= ECI이므로 IEÓ=ECÓ=6 DEÓ=5+6= 원 I가 BCÓ에접하는점을 H라하면 IHÓ= 4 이므로 DBCE의넓이는 5 _(+6)_ 4 5 = _7_ 4 5 = 34 5 따라서 m=5, n=34이므로 m+n=39 9 39 점 I 가 ABC 의내심이므로 ABI= IBD, ACI= ICE 두선분 AB와 ID가평행하므로 ABI= BID ( 엇각 ) 두선분 AC와 IE가평행하므로 ACI= CIE ( 엇각 ) 따라서 IBD= BID에서 BDÓ=IDÓ, ICE= CIE에서 IEÓ=ECÓ이므로삼각형 IDE의둘레의길이는 IDÓ+DEÓ+IEÓ=BDÓ+DEÓ+ECÓ=BCÓ=8(cm) 유형 08. 삼각형의내접원과선분의길이 40 AFÓ=ADÓ=x 라하면 4 오른쪽그림과같이 AOB의내접원과세변 AO, OB, AB의접점을각각 D, E, F라하자. 내접원의반지름의길이를 a라하면사각형 DOEI는한변의길이가 a인정사각형이므로 DOÓ=OEÓ=a FBÓ=EBÓ=OBÓ-OEÓ=5-a, AFÓ=ADÓ=AOÓ-DOÓ=-a에서 ABÓ =AFÓ+FBÓ=(-a)+(5-a) =7-a=3 a=4 a= 따라서점 I의좌표는 (, ) 이다. 43 오른쪽그림과같이 DBC의내접원 I' 과 BCÓ, DCÓ의교점을각각 G, H라하고, 원 I' 의반지름의길이를 a라하자. 사각형 I'GCH는한변의길이가 a인정사각형이므로 GCÓ=HCÓ=a BFÓ=BGÓ=BCÓ-GCÓ=4-a FDÓ=DHÓ=DCÓ-HCÓ=3-a BDÓ =BFÓ+FDÓ =(4-a)+(3-a) =7-a=5 a= a= 따라서 FDÓ=3-a=3-=이고마찬가지로 BEÓ=이므로 EFÓ=BDÓ-BEÓ-FDÓ=5--= 답 0 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 047 쪽 44 GDÓ=GHÓ, HJÓ=JFÓ 에서 ( AGJ 의둘레의길이 ) =AGÓ+GJÓ+AJÓ ADÓ=AFÓ=a 라하면 BEÓ=DBÓ=ABÓ-ADÓ=9-a =AGÓ+GHÓ+HJÓ+AJÓ =AGÓ+GDÓ+JFÓ+AJÓ =ADÓ+AFÓ ECÓ=FCÓ=ACÓ-AFÓ=0-a BCÓ=BEÓ+ECÓ =(9-a)+(0-a) =9-a=7 a= a=6 ( AGJ 의둘레의길이 ) =ADÓ+AFÓ =6+6= 답 유형 09. 삼각형의넓이와내접원의반지름의길이 45 ABC 의내접원의반지름의길이를 r`cm 라하면 ABC = ABI+ BCI+ CAI = _r_(0+3+3) = _r_36=8r(cmû`) 8r=60 r= 0 3 답 ABC 의내접원과 ABÓ, BCÓ 의접점을각각 D, E 라하면 DBEI 는한변의길이가 3 인정사각형이므로색칠한부분의넓이는 3_3-p_3 _ 90 360 =9-9p_ 4 =9-9 4 p 49 오른쪽그림과같이 DBI= DIB 에서 DBÓ=DIÓ, EIC= ECI에서 IEÓ=ECÓ 따라서 ADE의둘레의길이는 ADÓ+DEÓ+AEÓ =ADÓ+DIÓ+IEÓ+AEÓ =ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ =ABÓ+ACÓ=+0= 이때 ADE 의내접원의반지름의길이가 이므로 ADE= = 답 50 내접원 I 의반지름의길이를 r`cm 라하면 ABC의넓이는 ABI, BCI, CAI의 넓이의합과같으므로 _6_= r(+6+0), 9=48r r=4 점 I는 ABC의내심이므로 AIÓ, CIÓ는각각 A, C 를이등분한다. 이때 AIÓ 의연장선이 BCÓ 와만나는점을 D 라 하면 CAI 에서 DIC = CAI+ ACI= ( A+ C) = _90ù=45ù Ⅰ- 03. 삼각형의외심과내심 46 ABC 의넓이는 _8_6=4(cm ) 이때 ABC 의내접원의반지름의길이를 r`cm 라하면 ABC 의넓이는 _r_(8+0+6)= _r_4=r=4(cm ) 따라서 r=이므로삼각형 AIC의넓이는 0=0(cm ) 답 47 ABC 의내접원의반지름의길이를 r 라하면 따라서색칠한부분의넓이는 45 _p_4û`+p_4û`_ 360 =8p+p=0p(cmÛ`) 답 5 유형 0. 직각삼각형의외접원과내접원 5 직각삼각형에서빗변의중점이외심이므로 ABC에서외접원의반지름의길이는 ACÓ= _5= 5 (cm) ABI= _r_5= 5 r=a r= 5 a y= 5 IBC= _r_4=r IBC=r= 4 5 a 48 ABC 의내접원의반지름의길이를 r 라하면 ABC 의넓이는 ABC 의내접원의반지름의길이는 x`cm 이므로 ABC 의넓이는 _x_(5+9+)=8x(cm ) 이고 _ABÓ_BCÓ= 9=54(cm ) 와같아야하므로 8x=54 x=3 x+y=3+ 5 = 답 5 _r_(9+5+)= _r_36=8r 이때 ABC의넓이는 _9_=54이므로 8r=54에서 r=3 5 직각삼각형 ABC 에서외심 O 는빗변의중점이므로 OAÓ=OCÓ= _0=0(cm) Ⅰ. 삼각형의성질 03. 삼각형의외심과내심
본문 050 쪽 ABC 의내접원의반지름의길이를 r`cm 라하면 ABC= _6_= _r_(6+0+) 에서 48r=9 r=4 CDÓ=CFÓ=BCÓ-BFÓ=-4=8(cm) ODÓ=OCÓ-CDÓ=0-8=(cm) 53 점 O 는직각삼각형 ABC 의외심이므로 OAÓ=OBÓ= ABÓ= 3 (cm) ( 외접원 O 의둘레의길이 )=p_ 3 =3p(cm) 내접원 I 의반지름의길이를 r`cm 라하면 ABC= _5_= _r_(5++3) 에서 r= ( 내접원 I의둘레의길이 )=p_=4p(cm) 따라서외접원 O와내접원 I의둘레의길이의차는 3p-4p=9p(cm) 답 `cm 답 9p`cm 56 BCÓ는직각삼각형 ABC의외접원 O의지름이므로 BCÓ=OBÓ=0(cm) IFÓ=ADÓ=AFÓ=`cm, CFÓ=CEÓ, BEÓ=BDÓ이므로 ABÓ+ACÓ =ADÓ+BDÓ+CFÓ+AFÓ =IFÓ+(BEÓ+CEÓ)+IFÓ =BCÓ+ IFÓ =0+_ =4(cm) ABC = (0+4)=4(cm ) ( 내접원 I의넓이 ) =p_ =4p(cm ) ( 색칠한부분의넓이 ) = ABC-( 내접원 I의넓이 ) =4-4p(cm ) 답 (4-4p)`cm 백점도전하기 54 오른쪽그림과같이 ABC 와내접원 I 가만나는 세점을각각 D, E, F 라하자. 점 O 는직각삼각형 ABC 의외심이므로 OBÓ=OCÓ= BCÓ 넓이가 36p`cm 인외접원 O 의반지름의길이는 6`cm 이므로 BCÓ=`cm 내접원의둘레의길이가 4p`cm이므로 IEÓ=ADÓ=AEÓ=`cm ACÓ=ADÓ+CDÓ, ABÓ=AEÓ+BEÓ, CDÓ=CFÓ, BEÓ=BFÓ 에서 ABC = (ABÓ+BCÓ+CAÓ) 55 = ( BCÓ+ IEÓ) = 8 =8(cm ) BCÓ는직각삼각형 ABC의외접원 O의지름이므로반원의넓이는 _p_0 =50p(cm ) 직각삼각형 ABC의내접원 I의반지름의길이를 a`cm라할때 ABC 의넓이는 _a_(+6+0)=4a(cm ), _ACÓ_ABÓ= 6=96(cm ) 이므로 4a=96 a=4 내접원의넓이는 p_4 =6p(cm ) 따라서색칠한부분의넓이는 50p-6p=34p(cm ) 4p`cm 57 유형 0 36 쪽 점 E는 BCD의외심이므로 BEÓ=CEÓ=DEÓ 삼각형의외심과 ABC에서각꼭짓점사이의거리는같아. B =80ù-(90ù+ A) =90ù- A ADC 에서 ACD=80ù-(90ù+ A) =90ù- A ACD= B DBE에서 BEÓ=DEÓ이므로 BDE= B DBE는이등변삼각형이야. BDE= ACD yy ᄀ 3 CDE=90ù- BDE=90ù- ACD ( ᄀ ) 5 ADC 에서 A =80ù-(90ù+ ACD) DCE=90ù- ACD A= DCE =90ù- ACD DEC에서 CEÓ=DEÓ이므로 DEC도이등변삼각형! EDC= DCE= A DEB= EDC+ DCE= A, 4 DEC 가정삼각형일때만옳다고할수있다. 따라서옳지않은것은, 4 이다. 58 유형 06 43 쪽 이등변삼각형 ABC 에서 ACB= _(80ù-48ù)=66ù 이고 ADÓ 는 BCÓ 의수직이등분선이므로 OEÓ 는 ACÓ 의수직이등분선이다. PEC=90ù FPE는 EPC의한외각이므로 이등변삼각형의꼭지각이 aù일때, 한밑각의크기는 (80ù-aù)_;!; 이야. 점 I가 ABC의내심이므로 ACI= ACB= 삼각형의세내각의이등분선 _66ù=33ù ABC의외심 O는세변의수직이등분선의교점 FPE= PEC+ ECP=90ù+33ù=3ù 답, 4 삼각형의한외각의크기는그와이웃하지않는두내각의합과같아. 답 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 05 쪽 59 유형 09 48 쪽 원 O의반지름의길이를 r라하면원 O' 의반지름의길이도 r이므로 OAB= _0_r=5r 세삼각형의넓이의합은삼각형 ABC 의넓이와같아. ABM에서 AMÓ=BMÓ이므로 ABM= A=xù ABM+ MBC= ABC에서 xù+xù=90ù, 3xù=90ù x=30 30% STEP ❷ y의값을구하여 x-y의값을구한다. A=_30ù=60ù이고 AMÓ=BMÓ이므로 ABM은정삼각형이다. OBC= _8_r=4r ABÓ=AMÓ= _0=0(cm) OCA = _6_(r+r) ( 원 O의반지름의길이 )+( 원 O' 의지름의길이 ) =3_3r=9r 이때 ABC의넓이가 _8_6=4이므로 ;!;_( 밑변의길이 )_( 높이 ) 5r+4r+9r=8r=4 r= 4 8 = 4 3 따라서두원 O, O' 의둘레의길이의합은 _pr=_p_ 4 3 = 6 3 p 60 유형 08 47 쪽 원 I 의반지름의길이를 r`cm 라하면 ABC = _r_(0++7) 세삼각형 ABI, BCI, CAI = r _48=4r(cmÛ`) 의넓이의합 ABC = 8=84 이므로 4r=84 r= 7 이때 ECÓ=FCÓ=a`cm라하면 BDÓ=BEÓ=BCÓ-ECÓ=-a(cm), DAÓ=AFÓ=ACÓ-FCÓ=7-a(cm) 에서 ABÓ =BDÓ+DAÓ =(-a)+(7-a) =38-a=0(cm) 8=a a=4 ;!;_( 밑변의길이 )_( 높이 ) 따라서 IEC, IFC의넓이가각각 _4_ 7 = 49 (cm ) 이므로 IECF의넓이는 49 + 49 a r =49(cm ) 따라서 y=0 이므로 3 30% x-y=30-0=0 4 0% A=xù임을안다. 30% x의값을구한다. 30% 3 y의값을구한다. 30% 4 x-y의값을구한다. 0% 유제 답 0 STEP ❶ 삼각형의넓이를이용하여 ABÓ 의길이를구한후삼각형의외심의 성질을이용하여 CMÓ 의길이를구한다. () ABC의넓이에서 _BCÓ_ACÓ= _ABÓ_CHÓ이므로 _5_0= _ABÓ_, 6ABÓ=50 ABÓ=5`cm 30% 점 M 이 ABC 의외심이므로 ` CMÓ=AMÓ=BMÓ= ABÓ= 5 (cm) 30% STEP ❷ CMH 의넓이를이용하여 HIÓ 의길이를구한다. () MHÓ=BMÓ-BHÓ= 5-9= 7 (cm) CMH의넓이에서 _CMÓ_HIÓ= _MHÓ_CHÓ이므로 _ 5 _HIÓ= _ 7 _, 5 4 HIÓ= HIÓ=_ 4 5 = 84 (cm) 3 40% 5 답 () 5 `cm () 84 5 `cm ABÓ의길이를구한다. 30% CMÓ의길이를구한다. 30% 3 HIÓ의길이를구한다. 40% Ⅰ- 03. 삼각형의외심과내심 서술형격파하기 예제 0 유제 () ;;ª ;;`cm () ;*5$;`cm 예제 8ù 유제 00ù 예제 3 45 유제 3 9 예제 4 5`:`4 유제 4 p 예제 STEP ❶ 외심의성질을이용하여 x의값을구한다. 점 M은 ABC의외심이므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ 따라서 MBC에서 BMÓ=CMÓ이므로 MBC= C=xù A= MBC=xù 30% 예제 STEP ❶ 삼각형의외심과내심의성질을이용하여 IBC+ ICB 의크기 를구한다. 점 O 가 ABC 의외심이므로 A= BOC= _96ù=48ù ABC 에서 ABC+ ACB=80ù- A=80ù-48ù=3ù 이때점 I는 ABC의내심이므로 IBC= ABC, ICB= ACB IBC+ ICB = ABC+ ACB = ( ABC+ ACB) = _3ù=66ù 60% Ⅰ. 삼각형의성질 03. 삼각형의외심과내심 3
본문 054 쪽 STEP ❷ 삼각형의세내각의크기의합이 80ù 임을이용하여 OBC 에서 OBI+ OCI 의크기를구한다. OBC+ OCB=80ù- BOC=80ù-96ù=84ù OBI= OBC- IBC 이고, OCI= OCB- ICB 이므로 OBI+ OCI =( OBC- IBC)+( OCB- ICB) =( OBC+ OCB)-( IBC+ ICB) =84ù-66ù=8ù 40% IBC+ ICB 의크기를구한다. 60% OBI+ OCI 의크기를구한다. 40% 유제 답 8ù STEP ❶ 삼각형의외심과내심의성질을이용하여 PBD 의크기를구한다. 점 R 가이등변삼각형 ACD 의내심이므로 CAD = CDA = RDA =_6ù=3ù ACB 는 ACD 의한외각이므로 ACB= CAD+ CDA=3ù+3ù=64ù 이등변삼각형 ABC 에서 ABC= ACB=64ù 이고, 점 P 가 ABD 의내심이므로 PBD= ABC= _64ù=3ù 50% STEP ❷ 점 Q 가 ABD 의외심임을이용하여 BQD 의크기를구한다. ABD 에서 BAD =80ù-( ABD+ ADB) =80ù-(64ù+3ù)=84ù 점 Q 가 ABD 의외심이므로 BQD = BAD =_84ù=68ù 30% STEP ❸ PBD+ BQD 의크기를구한다. 따라서 PBD=3ù, BQD=68ù 이므로 PBD+ BQD=00ù 3 0% 답 00ù PBD 의크기를구한다. 50% BQD 의크기를구한다. 30% 3 PBD+ BQD 의크기를구한다. 0% 예제 3 STEP ❶ IBÓ 와 ICÓ 를그은후삼각형의내심의성질을이용하여 ABC 의 둘레의길이를구한다. 오른쪽그림과같이 DBI= DIB에서 DBÓ=DIÓ, EIC= ECI에서 IEÓ=ECÓ 50% ( ABC의둘레의길이 ) =ABÓ+ACÓ+BCÓ =ADÓ+DBÓ+AEÓ+ECÓ+BCÓ =ADÓ+DIÓ+AEÓ+IEÓ+BCÓ =ADÓ+AEÓ+(DIÓ+IEÓ)+BCÓ =ADÓ+AEÓ+DEÓ+BCÓ =6+4+0+5=45 50% DBÓ=DIÓ, IEÓ=ECÓ 임을안다. 50% ABC 의둘레의길이를구한다. 50% 유제 3 STEP ❶ IBÓ 와 ICÓ 를그은후삼각형의내심과평행선의성질을이용하여 IDE 의둘레의길이를구한다. 오른쪽그림과같이 IBD= BID에서 BDÓ=IDÓ, ICE= CIE에서 IEÓ=ECÓ이므로 60% IDE의둘레의길이는 IDÓ+DEÓ+IEÓ =BDÓ+DEÓ+ECÓ 5 =BCÓ=9 40% BDÓ=IDÓ, IEÓ=ECÓ 임을안다. 60% IDE 의둘레의길이를구한다. 40% 예제 4 STEP ❶ 직각삼각형의외심의성질을이용하여외접원의넓이를구한다. 오른쪽그림과같이세변의길이가각각 3`cm, 4`cm, 5`cm인직각삼각형 ABC에서외심과내심을각각 O, I라하자. 외접원의지름은직각삼각형의빗변이므로 ( 외접원 O 의넓이 ) =p_{ 5 } 답 9 = 5 4 p(cm ) 30% STEP ❷ 직각삼각형의넓이를이용하여내접원의반지름의길이를구한후 내접원의넓이를구한다. 내접원의반지름의길이를 a`cm 라하면 ABC 의넓이는 _a_(3+4+5)=6a(cm ) _ACÓ_BCÓ= _3_4=6(cm ) 이므로 6a=6 a= 따라서내접원 I 의넓이는 p_ =p(cm ) 50% STEP ❸ 외접원과내접원의넓이의비를구한다. 외접원과내접원의넓이의비는 5 p`:`p=5`:`4 3 0% 4 답 5`:`4 직각삼각형의외접원의넓이를구한다. 30% 직각삼각형의내접원의넓이를구한다. 50% 3 외접원과내접원의넓이의비를구한다. 0% 유제 4 STEP ❶ 직각삼각형의외심의성질을이용하여 SÁ 의값을구한다. ABÓ 는 ABC 의외접원의지름이므로 외접원의반지름의길이는 _0=5(cm) 외접원의넓이는 p_5 =5p(cm ) SÁ=5p 30% 4 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 060 쪽 STEP ❷ ABC의넓이를이용하여내접원의반지름의길이를구한후 Sª 의값을구한다. 내접원의반지름의길이를 a`cm라하면 ABC 의넓이는 _a_(6+8+0)=a(cm ) _BCÓ_ACÓ= _6_8=4(cm ) 이므로 a=4 a= 내접원의넓이는 p_ =4p(cm ) Sª=4p 50% STEP ❸ SÁ-Sª 의값을구한다. 따라서 SÁ=5p, Sª=4p 이므로 SÁ-Sª=p 3 0% 답 p 다른풀이 ABÓDCÓ이므로 BAE= DEA=45ù ( 엇각 ) 평행사변형에서대각의크기는같으므로 x= BAD=45ù+50ù=95ù 63 ABÓDCÓ이므로 ABD= CDB=4ù ( 엇각 ) ADÓBCÓ이므로 ADB= CBD= x ( 엇각 ) ABD에서 ù+4ù+ x=80ù Ⅱ- 04. 평행사변형 SÁ 의값 ( 외접원의넓이 ) 를구한다. 30% Sª 의값 ( 내접원의넓이 ) 를구한다. 50% 3 SÁ-Sª 의값을구한다. 0% 04 평행사변형 x=6ù 64 ADÓBCÓ이므로 CBD= ADB=55ù ( 엇각 ) ABÓDCÓ이므로 BAC= DCA=3ù ( 엇각 ) ABC에서 3ù+67ù+55ù+ x=80ù x =80ù-(3ù+67ù+55ù)=7ù 답 6ù 6 5 6 95ù 63 6ù 64 4 65 4 66 3 67 0 68 5 69 3 70 x=5, y= 7 4 7 6`cm 73 74 3`cm 75 4`cm 76 77 78 3ù 65 DEG와 CGF는이등변삼각형이므로 DGE= DEG= x에서 D=80ù- x CGF= CFG= y에서 C=80ù- y 79 80 90ù 8 8 x=90ù, y=60ù C+ D=80ù 이므로 83 5 84 3 85 3 86 5 87 4, 5 (80ù- y)+(80ù- x)=80ù 88 ( 가 ) SSS ( 나 ) CDB ( 다 ) CBD 89 3 90 9 5 9 () ( 가 ), x=0 () ( 나 ), x=6 (3) ( 라 ), x=00 (4) ( 다 ), x=3 x+ y=80ù x+ y=90ù 93 ( 가 ) BMÓ ( 나 ) DNÓ 94 평행사변형 95 평행사변형 96 4 개 97 4 초후 98 4 99 3 00 5 0 8 0 3 03 3 04 33 05 60ù 06 07 유형 0. 평행사변형의성질 유형정복하기유형 0. 평행사변형의뜻 6 ABÓDCÓ이므로 DCA= x ( 엇각 ) OCD에서 x+ y+9ù=80ù x+ y=88ù 답 5 6 AED에서 D+50ù+45ù=80ù이므로 D=85ù 평행사변형에서이웃하는두내각의크기의합은 80ù이므로 C+ D=80ù에서 x+85ù=80ù x=95ù 답 95ù 66 평행사변형에서대각의크기는같으므로 a=05 평행사변형에서대변의길이는같으므로 b=3 a-5b=05-5_3=40 67 평행사변형 ABCD에서 A= C=00ù ABD에서 aù+00ù+30ù=80ù a=50 평행사변형 EFGH에서 EHÓ=FGÓ이므로 b+=, b=0 b=5 FHÓ= OFÓ이므로 c-4=_8=6, c=0 c=0 a-b-3c=50-_5-3_0=0 답 0 Ⅱ. 사각형의성질 04. 평행사변형 5
본문 06 쪽 68 ABÓFHÓEIÓDCÓ, ADÓGJÓBCÓ 이므로 ABCD 의내부에존재하는모든사각형은평행사변형이다. DFH= GQE=80ù-65ù=5ù ABC= IQG=65ù 3 JCÓ=DCÓ-DJÓ=9-6=3(cm) 4 HIÓ=FEÓ=4-3-4=7(cm) 5 BCÓ=ADÓ=4`cm 따라서옳지않은것은 5 이다. 69 ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ 이므로 6a+b-4=a+3b+ a+b+=4a-b- 두식을간단히정리하면 4a-b=6 yy ᄀ [ 3a-b= yy ᄂ _ ᄀ-ᄂ을하면 5a=0 a= a=를ᄀ에대입하면 8-b=6 b= ab=_=4 유형 03. 평행사변형의성질의활용 ; 대변의길이 70 평행사변형 ABCD에서 ABÓDCÓ이므로 CEB= ABE ( 엇각 ) 따라서 CEB는 BCÓ=ECÓ인이등변삼각형이므로 ECÓ=BCÓ=7`cm DEÓ=DCÓ-ECÓ=-7=5(cm) x=5 평행사변형 PQRS에서 PSÓQRÓ이므로 QUP= SPU ( 엇각 ) 따라서 QUP는 QPÓ=QUÓ인이등변삼각형이므로 QUÓ=QPÓ=RSÓ=8`cm PSÓ=QRÓ=QUÓ+URÓ=8+3=(cm) y= 7 A=60ù이고 PRÓBCÓ에서 APR= ABC=60ù, ARP= ACB=60ù이므로삼각형 APR는한변의길이가 7cm인정삼각형이다. 따라서 PRÓ=APÓ=7`cm이므로 PBQR의둘레의길이는 (PRÓ+PBÓ)=_(7+5)=4(cm) 답 5 답 x=5, y= 73 평행사변형 ABCD에서 ADÓBCÓ이므로 BEA= DAE ( 엇각 ) 따라서 BEA는 ABÓ=EBÓ인이등변삼각형이므로 EBÓ=ABÓ=5`cm 또한 CED= ADE ( 엇각 ) 이므로 CDE는 DCÓ=ECÓ인이등변삼각형이다. ECÓ=DCÓ=ABÓ=5`cm ADÓ=BCÓ=BEÓ+ECÓ=5+5=0(cm) 74 평행사변형 ABCD에서 ABÓDCÓ이므로 DPA= BAP ( 엇각 ) 따라서 DAP는 ADÓ=PDÓ인이등변삼각형이므로 PDÓ=ADÓ=6`cm 또한 CQB= ABQ ( 엇각 ) 이므로 CQB는 BCÓ=QCÓ인이등변삼각형이다. QCÓ=BCÓ=ADÓ=6`cm 이때 DQÓ=DCÓ-QCÓ=9-6=3(cm) PQÓ=PDÓ-DQÓ=6-3=3(cm) 75 PRÓBCÓ, ABÓRQÓ이므로 PBQR는평행사변형이다. PRÓ=BQÓ=4`cm PRÓBCÓ이므로 RPC= BCP ( 엇각 ) 따라서 RPC= RCP이므로 RPC는 PRÓ=CRÓ인이등변삼각형이다. CRÓ=PRÓ=4`cm 유형 04. 평행사변형의성질의활용 ; 대각의크기 76 답 `cm `cm 평행사변형에서이웃하는두내각의크기의합은 80ù이므로 A+ D=5xù+7xù=80ù x=80 x=5 답 77 평행사변형에서이웃하는두내각의크기의합은 80ù이므로 A+ B=80ù A=80ù_ 7 =6ù C= A=6ù 답 0 78 A+ ADC=80ù이므로 ADC=80ù-6ù=64ù CDP= ADC= _64ù=3ù 7 APQ와 DPC에서 APÓ=DPÓ, QAP= CDP ( 엇각 ), APQ= DPC ( 맞꼭지각 ) 이므로 APQª DPC (ASA 합동 ) x= CDP=3ù ( 엇각 ) 79 BAD+ D=80ù이므로 BAD=80ù-70ù=0ù BAP= BAD= _0ù=55ù ù AQÓ=DCÓ=ABÓ=6`cm 답 6`cm ABP 에서 APB=80ù-(55ù+40ù)=85ù 답 6 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )
본문 064 쪽 80 평행사변형에서이웃하는두내각의크기의합은 80ù이므로 C+ D=80ù 이때 PCD에서 PCD+ PDC= ( C+ D)= _80ù=90ù이므로 DPC=80ù-90ù=90ù 8 ADÓPCÓ이므로 ADP= CPD=0ù ( 엇각 ) ADB=_0ù=40ù 평행사변형에서이웃하는두내각의크기의합은 80ù이므로 ADC=80ù-80ù=00ù BDC=00ù-40ù=60ù x= BDC=60ù ( 엇각 ) 8 A+ ABC=80ù 이므로 ABC=80ù-40ù=40ù PBC= ABC= _40ù=0ù 또 BCD= A=40ù 이므로 QCB= BCD= _40ù=70ù RBC 에서 BRC=80ù-(0ù+70ù)=90ù x=80ù- BRC=80ù-90ù=90ù ADÓBCÓ이므로 APB= CBP=0ù ( 엇각 ) y=80ù- APB=80ù-0ù=60ù 83 ADC+ C=80ù 이므로 ADC=80ù-3ù=48ù ADQ= ADC= _48ù=4ù 답 90ù 답 답 x=90ù, y=60ù 85 CPA= DAP ( 엇각 ) 이므로 CAP= CPA 따라서 CPA는 ACÓ=PCÓ인이등변삼각형이므로 PCÓ =ACÓ=OCÓ=_8=6(cm) 86,, 4, 5 OAE와 OCF에서 AOE= COF ( 맞꼭지각 ), OAÓ=OCÓ, EAO= FCO ( 엇각 ) 이므로 OAEª OCF (ASA 합동 ) 따라서 AEÓ=CFÓ, OEÓ=OFÓ, AEO= CFO이다. 3 이때 ABÓ=CDÓ이므로 BEÓ=ABÓ-AEÓ=CDÓ-CFÓ=DFÓ 그러므로옳지않은것은 5이다. 답 5 유형 06. 평행사변형이되는조건 87 ABCD에서사각형의네내각의크기의합은항상 360ù이므로 A+ B+ C+ D=360ù 이때 A= C, B= D이므로 C+ B+ C+ B= B+ C=360ù B+ C= ( 가 ) 80ù yy ᄀ BCÓ의연장선위에한점 P를잡으면 BCD+ PCD= ( 나 ) 80ù yy ᄂ ᄀ, ᄂ에서 PCD= B= ( 다 ) ABC 즉, 동위각의크기가같으므로 ABÓ ( 라 ) DCÓ yy ᄃ 또한 ABÓ의연장선을그어같은방법으로구하면 ADÓ ( 마 ) BCÓ yy ᄅ 따라서ᄃ, ᄅ에서 ABCD는평행사변형이다., 5 Ⅱ- 04. 평행사변형 AQD에서 DAQ=80ù-(4ù+90ù)=66ù DAB= C=3ù이므로 x=3ù-66ù=66ù 답 5 유형 05. 평행사변형의성질의활용 ; 두대각선 84 평행사변형의두대각선은서로다른것을 이등분하므로 AOE와 COF에서 OAÓ= ( 가 ) OCÓ yy ᄀ AOE= ( 나 ) COF ( 맞꼭지각 ) yy ᄂ 평행사변형의두쌍의대변은각각평행하므로 ABÓDCÓ에서 EAO= ( 다 ) FCO ( ( 라 ) 엇각 ) yy ᄃ ᄀ, ᄂ, ᄃ에의하여 AOEª COF ( ( 마 ) ASA 합동 ) OEÓ=OFÓ 88 ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ인 ABCD에서대각선 BD를그으면 ABD와 CDB에서 ABÓ=CDÓ, ADÓ=CBÓ, BDÓ는공통이므로 ABDª CDB ( ( 가 ) SSS 합동 ) 이때합동인두삼각형의대응하는각의크기는서로같으므로 ABD= ( 나 ) CDB, ADB= ( 다 ) CBD 즉, 엇각의크기가같으므로 ABÓDCÓ, ADÓBCÓ 따라서 ABCD는평행사변형이다. 답 ( 가 ) SSS ( 나 ) CDB ( 다 ) CBD 89 ABCD에서서로다른것을이등분하는두대각선의교점을 O라할때, OAD와 OCB에서 OAÓ=OCÓ, ODÓ=OBÓ, AOD= COB ( ( 가 ) 맞꼭지각 ) Ⅱ. 사각형의성질 04. 평행사변형 7
본문 067 쪽 따라서두변의길이가각각같고, 그끼인각의크기가같으므로 OADª OCB ( ( 나 ) SAS 합동 ) 합동인두삼각형의대응하는각의크기는같으므로 OAD= OCB ( 다 ) ADÓBCÓ yy ᄀ또한 OAB와 OCD에서같은방법으로하면 OABª OCD이므로 OAB= OCD ( 라 ) ABÓDCÓ yy ᄂ따라서ᄀ, ᄂ에서 ABCD는평행사변형이다. (3) 한쌍의대변인 ADÓ와 BCÓ가평행하고, 그길이가같으므로 ABCD는평행사변형이다. 이때 ABD= CDB= ADB=40ù이므로 x=80-(40+40)=00 따라서 ABCD가평행사변형인이유는 ( 라 ), x=00이다. (4) OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ, 즉두대각선이서로다른것을이등분하므로 ABCD는평행사변형이다. 이때평행사변형은두쌍의대변의길이가각각같으므로 x=3 따라서 ABCD가평행사변형인이유는 ( 다 ), x=3이다. 답 () ( 가 ), x=0 () ( 나 ), x=6 (3) ( 라 ), x=00 (4) ( 다 ), x=3 90 두쌍의대변의길이가각각같으므로주어진사각형은평행사변형이다. 오른쪽그림의경우, 주어진조건을모두만족하지만 평행사변형이아니다. 3 엇각의크기가각각같으므로두쌍의대변이각각평행하다. 따라서주어진사각형은평행사변형이다. 4 나머지한각의크기가 70ù이므로두쌍의대각의크기가각각같다. 따라서주어진사각형은평행사변형이다. 5 두대각선이서로다른것을이등분하므로주어진사각형은평행사변형이다. 따라서주어진사각형중평행사변형이아닌것은 이다. 답 9 A= C, A+ B=80ù에서 D =360ù-( A+ B+ C) =360ù-(80ù+ C) =80ù- C =80ù- A= B 따라서두쌍의대각의크기가각각같으므로평행사변형이다. B+ C=80ù, C+ D=80ù에서 B= D A =360ù-( B+ C+ D) =80ù- B= C 따라서두쌍의대각의크기가각각같으므로평행사변형이다. 3 BAC= DCA=50ù에서엇각의크기가같으므로 ABÓDCÓ 따라서한쌍의대변이평행하고, 그길이가같으므로평행사변형이다. 4 두쌍의대변의길이가각각같으므로평행사변형이다. 5 오른쪽그림의 ABCD는 OAÓ=ODÓ=4`cm, OBÓ=OCÓ=6`cm이지만 평행사변형이아니다. 그러므로 ABCD가평행사변형이아닌것은 5이다. 답 5 9 () 두쌍의대변인 ABÓ와 DCÓ, ADÓ와 BCÓ의길이가각각같으므로 ABCD는평행사변형이다. 이때평행사변형은두쌍의대각의크기가각각같으므로 x=0 따라서 ABCD가평행사변형인이유는 ( 가 ), x=0이다. () 두쌍의대각인 A와 C, B와 D의크기가각각같으므로 ABCD는평행사변형이다. 이때평행사변형은두쌍의대변의길이가각각같으므로 x=6 따라서 ABCD가평행사변형인이유는 ( 나 ), x=6이다. 유형 07. 평행사변형이되는조건의활용 93 BMA= DAM ( 엇각 ) 에서 BAM= BMA이므로 BMA는이등변삼각형이다. BAÓ= ( 가 ) BMÓ DNC= BCN ( 엇각 ) 에서 DNC= DCN이므로 DNC는이등변삼각형이다. DCÓ= ( 나 ) DNÓ 평행사변형 ABCD에서 ABÓ=DCÓ, BCÓ=ADÓ이므로 ANÓ =ADÓ- ( 나 ) DNÓ =BCÓ-DCÓ =BCÓ-ABÓ=BCÓ- ( 가 ) BMÓ =CMÓ yy ᄀ ANÓCMÓ yy ᄂ 따라서ᄀ, ᄂ에서 AMCN은평행사변형이다. 답 ( 가 ) BMÓ ( 나 ) DNÓ 94 AMD와 BME에서 ADÓ=BCÓ=BEÓ, MAD= MBE ( 엇각 ), MDA= MEB ( 엇각 ) 이므로 AMDª BME (ASA 합동 ) AMÓ=BMÓ yy ᄀ AND와 FNC에서 ADÓ=BCÓ=FCÓ, NDA= NCF ( 엇각 ), NAD= NFC ( 엇각 ) 이므로 ANDª FNC (ASA 합동 ) DNÓ=CNÓ yy ᄂ ABCD는평행사변형이므로 AMÓDNÓ이고ᄀ, ᄂ에서 AMÓ= ABÓ= DCÓ=DNÓ이므로 AMND는평행사변형이다. 답평행사변형 95 ABC와 DBF에서 ABÓ=DBÓ, BCÓ=BFÓ, ABC=60ù- FBA= DBF이므로 ABCª DBF (SAS 합동 ) ACÓ=DFÓ=AEÓ yy ᄀ ABC와 EFC에서 ACÓ=CEÓ, BCÓ=FCÓ, ACB=60ù- FCA= ECF이므로 8 중학수학뜀틀유형편중 ( 하 )