제 3 장옵션시장
옵션계약 주가지수옵션의개요 특정자산을약정된기일또는그기일내에미리약정된가격으로일정량을사거나팔수있는권리를부여하는계약 매수자는매도자에게프리미엄을지급하고권리를취득 매수자는권리만을가지며, 매도자는의무만을가진다 매수자는자신의권리가불리하게작용할경우이를포기할수있다 주가지수옵션의기능 다양한투자수단을제공 주식포트폴리오와의위험관리기능 높은레버리지효과
KOSPI 200 지수옵션 KOSPI 200 주가지수옵션 우리나라는 1997.7.7 일세계에서 25 번째로개장 KOSPI 200 지수를기초자산으로하는유로피언옵션 만기결제는현금결제방식 거래승수는계약당 50 만원, 거래단위는지수 *50 만원 가격의표시는프리미엄 (point) 으로나타내며, 호가가격단위는프리미엄 3 이상인경우 0.05 포인트 (2 만 5 천원 ), 3 미만인경우 0.01 포인트 (5 천원 ) 최근연속월 3 개와, 3,6,9,12 월중가장가까운 1 개월물로 4 개의상품이거래 최종거래일은각결제월의두번째목요일 개별주식옵션 거래소에상장되어있는보통주 30 개종목을기초자산으로하는옵션 유럽형현금결제방식
옵션계약의특성 선물과옵션의활용
옵션의종류 개별주식옵션 (single stock options) 주가지수옵션 (stock index options) 통화옵션 (currency options) 금리옵션 (interest rate options) 선물옵션 (futures options)
풋 - 콜패리티 풋 - 콜패리티의증명 풋 - 콜패리티 (put-call parity) 는기초자산, 만기, 행사가격이동일한유로피언콜옵션과풋옵션프리미엄사이에성립해야하는관계 ( 무배당가정 ) C+PV(K) 와 P+S의만기일에서의가치가동일함 : C+PV(K) = P+S
풋 - 콜패리티 풋 - 콜패리티의이용 (1) 가치평가 (2) 차익거래기회의확인 (3) 합성포지션의구성 (4) 등가격옵션프리미엄비교 (5) 무위험포트폴리오의구성 (2 개의행사가격기준 )
차익거래기회의확인 풋 - 콜패리티 C + PV ( K) > P + S 과대평가된콜옵션매도과소평가된풋옵션과주식매입 무위험이익 : K ( P + S C)(1 + r) T C + PV ( K) < P + S 과소평가된콜옵션매입과대평가된풋옵션과주식매도 무위험이익 : ( P + S C)(1 + r) T K
합성포지션의구성 풋 - 콜패리티 C + PV ( K) = P + S - 콜옵션매입의복제 : 풋매입, 주식매입, PV(K) 차입 C=P+S-PV(K) - 주식매입의복제 : 콜매입, PV(K) 대출, 풋발행 S=C+PV(K)-P - 선물매입의복제 : 콜매입, 풋발행 Futures = S-PV(K) = C-P - 채권매입의복제 : 풋매입, 주식매입, 콜발행 PV(K) = P+S-C 이러한옵션특성을잘이용하여옵션을조합하면주가가급등또는급락하는경우이익을올릴수있는포지션을만들수도있고, 반대로주가가거의변화하지않는경우라도이익을올리는포지션을합성하는것도가능하다. 이러한다양한투자전략은현물거래나선물거래에는없는옵션거래의가장큰특징중의하나이다.
합성풋 - 콜패리티 풋 - 콜패리티 C-P-PV(F) > PV(K) C P C P > PV ( F K) C-P-PV(F) < PV(K) < PV ( F K) 컨버젼전략 ( 콜매도, 풋매입, 선물매입 ) 역컨버젼전략 ( 콜매입, 풋매도, 선물매도 )
주가지수옵션의가격결정 옵션계약이익구조 < 기호 > In-the-money at-the-money out of -the-money
주가지수옵션의가격결정 콜옵션 (call option) (ST: 만기일기초자산가격, K: 행사가격, C: 콜옵션가격 ) 예시 : K=2,800, C=500
풋옵션 (put option) 주가지수옵션의가격결정 예시 : K=2,800, P=200
주가지수옵션의가격결정 콜옵션의이득패턴과이익패턴
주가지수옵션의가격결정
주가지수옵션의가격결정풋옵션의이득패턴과이익패턴
주가지수옵션의가격결정
주가지수옵션의가격결정 옵션포지션의선택
주가지수옵션의가격결정
옵션가격 ( 프리미엄 ) 결정요인 옵션가격 =f(s, σ,k, r, t) 변동성이증가한다는것은예상되는가격의변동폭이커진다는것을의미하는데, 이는옵션매수자측에서보면투자매력이커짐을의미한다. 왜냐하면콜옵션매수자의경우주가가급락 ( 급등 ) 하더라도손실액은당초지불한프리미엄에한정되는데반해, 주가가급등 ( 급락 ) 하였을때에는많은이익을얻을수있기때문이다.
옵션가격 ( 프리미엄 ) 결정요인 옵션프리미엄의분해 옵션프리미엄 = 내재가치 + 시간프리미엄 시간프리미엄 = 옵션프리미엄 내재가치 내재가치 : 콜옵션 max(s-k,0), 풋옵션 max(k-s,0) 내가격 (ITM) 옵션은기초자산가격과비례적으로증가 등가격 (ATM) 옵션과외가격 (OTM) 옵션은 0 시간가치 : 만기까지기초자산의가격이현재상태보다더옵션매수자에게유리한방향으로움직일가능성에대한기대치 만기일까지잔존기간이길수록, 또는기초자산의변동성이클수록커짐 콜옵션의경우시간프리미엄은항상양 (+) 의값을갖는반면에, 풋옵션의경우시간프리미엄이 0 보다작을수있음
옵션가격 ( 프리미엄 ) 결정요인 옵션 시간가치 의개념적특성 ( 매수자 ) 만료일까지의잔존기간동안에옵션에서얻어지는이익과회피할수있는위험에대한기대치 ( 매도자 ) 얻는것보다도잃는것이많을수있는위험에대한대가 잔존기간중의기대가치이므로옵션이만료일에근접할수록감소하며, 프리미엄은내재가치또는 0 에접근해간다. 시간가치는옵션이만료일에내재가치를지닐확률에대한기대가치이므로장래에행사가치를가질가능성이클수록그가치는높아진다. 따라서등가격 (ATM) 일때시간가치는최대가된다. 현재에는행사가치가없는외가격옵션도만료일까지의잔존기간중에얻어지는이익에대한가능성때문에시간가치를가진다. 시간가치는대상자산가격이권리행사가격에서멀어질수록체감되지만, 0 이나마이너스 (-) 의값을갖지는않는다. 즉, 옵션의경우주가가권리행사가격보다상당히낮은옵션이나상당히높은옵션에서도작지만시간가치는존재한다.
옵션가격 ( 프리미엄 ) 결정요인 콜옵션가격범위 상한가 콜옵션은기초주식을살수있는권리이므로, 이권리가주식그자체보다더높을수는없기때문 하한가 콜옵션 vs D 포트폴리오 ( 주식 1 주와 PV(K) 차입 )
옵션가격 ( 프리미엄 ) 결정요인 아메리칸콜옵션의조기행사 - 무배당의경우권리행사가항상최적이아님
옵션가격 ( 프리미엄 ) 결정요인 풋옵션가격범위 상한가 하한가 유로피언풋옵션가격범위
옵션가격 ( 프리미엄 ) 결정요인 아메리칸풋옵션의가격범위 아메리칸풋옵션의조기행사는주가가충분히하락한경우에최적임
선물과옵션의활용 옵션을이용한선물의복제 선물매입포지션의복제
선물과옵션의활용 옵션을이용한선물의복제 선물매도포지션의복제
기본포지션 옵션투자전략
옵션투자전략
옵션투자전략 주식과옵션을이용한투자전략 S + P S + C 옵션매입포지션과결합되면하향손실이제한됨 S C S P 옵션매도포지션과결합되면상향이익이제한됨
옵션투자전략 프로텍티브풋 (protective put): S+P 실무에서는풋옵션을실제로매입하지않고주식또는주가지수선물을이용하여풋옵션을복제하는데이를포트폴리오보험이라고함
커버드콜 (covered call): S-C 옵션투자전략
옵션투자전략 커버드콜을취하는이유 1) 콜옵션이과대평가되었다고판단하는경우 2) 목표수익률을달성하면무조건포지션을마감하고자하는투자자가하향손실을관리하고자하는경우 3) 위험 - 수익의구조를변경하고자하는경우
옵션투자전략 스프레드 스프레드 (spread) 는 2 개이상의같은종류의옵션 ( 즉, 2 개이상의콜옵션또는 2 개이상의풋옵션 ) 에포지션을취하는전략
강세스프레드 옵션투자전략 강세스프레드 (bull spread) 는행사가격이낮은옵션을매입하고행사가격이높은옵션을발행하여구성함 콜옵션으로구성하거나 ( 콜강세스프레드 ) 또는풋옵션으로구성함 ( 풋강세스프레드 ) 손익분기점은 K1+(C1-C2) 또는 K2-(P2-P1) 임 C1<C2 또는 P2>P1+PV(K2-K1) 의경우강세스프레드를취하여무위험차익을얻음.
옵션투자전략
옵션투자전략 약세스프레드 약세스프레드 (bear spread) 는행사가격이높은옵션을매입하고행사가격이낮은옵션을발행하여구성함 콜옵션으로구성하거나 ( 콜약세스프레드 ) 또는풋옵션으로구성함 ( 풋약세스프레드 ) 손익분기점은 K1+(C1-C2) 또는 K2-(P2-P1) 임 P1>P2 또는 C1>C2+PV(K2-K1) 의경우약세스프레드를취하여무위험차익을얻음.
옵션투자전략
박스스프레드 (box spread) 옵션투자전략
옵션투자전략
나비스프레드 (butterfly spread) 옵션투자전략
옵션투자전략 기타스프레드 캘린더스프레드 (calendar spread) 는행사가격은동일하지만만기가상이한콜옵션또는풋옵션을이용함 ( 즉, 만기가긴콜옵션을매입하고만기가짧은콜옵션을발행함 )
옵션투자전략 대각선스프레드 (diagonal spread) 는행사가격과만기가상이한콜옵션과풋옵션을이용함 콘도 (condor) 는이득의뽀족한부분이한가격이아니라일정구간에서이루어진다는점을제외하고나비스프레드와동일함
옵션투자전략 비율스프레드 (ratio spread) 는매입또는매도하는옵션의수가동일하지않다는점을제외하고는강세및약세스프레드와동일함 예시 (C2 1 개매입과 C3 2 개발행 )
옵션투자전략 콤비네이션 콤비네이션 (combination) 은동일한주식에대한콜옵션과풋옵션을함께이용하는투자전략 스트래들 스트래들 (straddle) 은행사가격과만기가동일한콜옵션과풋옵션을동시에매입함 동시에발행하면스트래들매도 (short straddle) 이라고함
옵션투자전략 스트랭글 스트랭글 (strangle) 은만기는같으나행사가격이상이한콜옵션과풋옵션을동시에매입하는포지션임.
옵션투자전략 스트립과스트랩 스트립 (strip) 은콜옵션 1 개와풋옵션 2 개를결합한포지션이고스트랩 (strap) 은콜옵션 2 개와풋옵션 1 개를결합한포지션임.
Exercise 다음중맞는것에 O 표, 틀린것에 X 표를하시오 1. 프리미엄은행사가치와시간가치로구성된다. ( O ) 2. 콜옵션에서는대상자산의가격에서권리행사가격을뺀부분이행사가치가된다. ( O ) 3. 외가격 (OTM) 옵션의매수자는권리를행사할필요가없다. ( O ) 4. 등가격 (ATM) 옵션의매수자는권리를행사할필요가있다. ( X ) 5. 시간가치는프리미엄과행사가격의차이를말한다. ( O ) 6. 시간가치는옵션이만료일에행사가치를지닐확률에대한기대가치이기때문에장래에행사가치를가질가능성이클수록그가치는높아진다. ( O ) 7. 주가가권리행사가격보다크게낮은콜옵션은주가가상승하면프리미엄이주가의상승폭과거의비슷하게상승한다. ( X ) 8. 가격변동성이증가함에따라옵션의시간가치도상승한다. ( O ) 9. 행사가격이같은콜옵션이라도잔존기간이 3 개월인종목이 1 개월인종목보다프리미엄이더높다. ( O ) 10. 옵션거래에서매도자는주가가변화하지않는경우에도시간의경과에따라이익을얻을수있다. ( O ) 11. ATM 옵션의경우가변동성의변화에대한옵션가격의변화가가장민감하다. ( O )
Exercise 12. 대상자산가격이 15,000 원인경우에권리행사가격 13,000 원인콜옵션의프리미엄이 2,500 원이라면, 이옵션의시간가치는얼마인가? 답 ) 500 원 (=2,500-(15,000-13,000)) 14. ( 내재가치 ) 란옵션의권리를행사하는경우에확실하게얻어지는이익으로서권리행사를함으로써발생하는가치이다. 15. 가격변동성의증가에따른옵션의시간가치상승폭은 ( 등가격 ) 옵션에서가장크다. 16. 같은기초주식에대해발행된옵션으로서만기와행사가격이같은콜옵션과풋옵션의가격사이에는일정한관계식이성립하며, 이러한관계식을 ( 풋콜패리티 ) 라한다.
이항옵션가격결정모형 기본원리 : 복제와차익거래 기초자산과채권을이용하여옵션과동일한현금흐름을제공하는복제포트폴리오를구성하고이를이용하여옵션가격을구함 이항모형은블랙 - 숄즈모형에비해이해하기쉽고옵션의조기행사를쉽게고려할수있음 여기서소개하는이항모형은콕스 - 로스 - 루빈스타인 (1979) 모형임 주가가미래시점에서단두가격만을가지며, 한경우는내가격, 다른경우는외가격에있도록하여주가의불확실성을모형화함
복제포트폴리오방법 이항옵션가격결정모형 주식을 주매입하고콜을한계약매도하는해지포트폴리오구성방법으로, 각상황에서정확히동일한금액을제공하도록함. 예시 ( 주가 10,000 원, 1 년후 11,000 원또는 9,000 원, 무위험이자율 2%, 콜옵션 ( 만기 1 년, 행사가격 10,000 원 ))
이항옵션가격결정모형 콜옵션복제포트폴리오는주식 0.5 주와채권 ( 원금 4,500 원, 현가 4,412 원 ) 공매도로구성됨 11,000-1,000=B(1+0.02) 9,000-0=B(1+0.02) C = 0.5S 4412
이항옵션가격결정모형 동일함
이항옵션가격결정모형 11000 9000 1000 0 u d 무위험포트폴리오방법 = = 2 주식과콜옵션을이용하여무위험포트폴리오를구성 S C u S C d 우리의예시에서주식 1 주를매입하고콜옵션 2 개를발행하면포트폴리오의가치가주가와무관하게 9,000 원으로일정함. 따라서이무위험포트폴리오의수익률은무위험이자율이어야함 : ( 무위험포트폴리오가주식 0.5 주와콜옵션 1 개로구성되면만기일에서의가치는 4,500 원임 )
이항옵션가격결정모형 1 기간이항모형공식의정식도출 콜옵션가격결정
이항옵션가격결정모형 주식 1 주를매입하고콜옵션 m 개를매도하여포트폴리오를구성하고이포트폴리오가만기일에일정한가치를갖기위한조건 : 무위험포트폴리오의수익률은무위험이자율이어야하므로, 따라서콜옵션의가치는다음과같다.
이항옵션가격결정모형 을이용하여정리하면, 단, π = r u + + d d 복제포트폴리오의구성 : ( 식 11.10 의양변을 m 으로나눔 ) 1/m = Δcall Cu Cd 단, call = ( 헤지비율 ) Su Sd
이항옵션가격결정모형 풋옵션가격결정 주식 1주를매입하고풋옵션구성 h = Su Sd P u P d ( 여기서 h 는음수임 ) 를매도하여무위험포트폴리오 풋옵션복제포트폴리오구성 : (1/h = Δput) 위험중립가치평가법 :
옵션의델타 이항옵션가격결정모형
델타의속성이항옵션가격결정모형 - 콜옵션의델타는양수이고풋옵션의델타는음수임 - 이항모형에서의델타계산 - 매도포지션의델타는매입포지션의델타에 -1 을곱한값임 - 콜옵션의델타는 0 과 1 사이의값을갖고, 풋옵션의델타는 0 과 -1 사이의값을가짐 - 델타는합산원칙이적용됨 - 델타는발행한옵션의위험을헤지하기위해필요한주식의수임 EX) S=100, X=100, u=10%, d=8%, r=6% 인경우, 콜옵션의가치는얼마인가? 답 ) 7.34 (=(0.778*10+0.222*0)/1.06) Cu=10, Cd=0이고, π=(0.06+0.08)/(0.1+0.08)=0.778
이항옵션가격결정모형 다기간모형과아메리칸옵션의가격결정 2 기간이항모형으로의확장 π = r u + + d d = 0.02 + 0.1 0.1+ 0.1 = 0.6
이항옵션가격결정모형 델타의변화 call = Cu Su Cd Sd 델타가변하기때문에주식과옵션으로만든무위험헤지를계속유지하기위해서는소유할주식의수혹은옵션의수를계속적으로조정해야한다.
n 기간이항모형으로의확장 이항옵션가격결정모형 만기일에서의이득을계산하고 만기일에서시작하여출발점으로역행하며옵션가격계산 u 와 d 의결정
이항옵션가격결정모형 아메리칸옵션에의적용 만기일에서의아메리칸옵션의가치는유로피언옵션의가치와동일함. 만기일을제외한시점에서아메리칸옵션의가치는다음두값중에서큰값과같음
Black-Scholes 모형 블랙 - 숄즈모형의기본가정과논리 피셔블랙 (Fischer Black) 과마이론숄즈 (Myron Scholes) 의 1973 년모형 가정 주가는기하적브라운운동에의해변함 ( 주가는대수정규분포를따르며, 점프하지않고연속적으로변함 ) 거래비용과세금없음 기초자산은배당을지급하지않음 무위험차익거래기회는존재하지않음 증권의거래는연속적으로발생함 무위험이자율로차입과대출이가능함 무위험이자율은일정함 논리 : 복제 (replication) 와차익거래 (arbitrage)
블랙 - 숄즈모형의옵션가격결정공식 Black-Scholes 모형
Black-Scholes 모형
Black-Scholes 모형
BS 공식의속성 Black-Scholes 모형 N(d1) 은콜옵션의델타로서무위험포트폴리오를구성하기위하여매도한콜옵션 1 개당매입해야할주식의수이고, N(d2) 는만기일의주가가행사가격보다높을가능성임. 공식은콜옵션복제포트폴리오구성방법을알려줌
풋옵션복제포트폴리오의구성 Black-Scholes 모형 주가가매우높으면콜옵션을행사하는것이거의확실시되므로콜옵션은인도가격을 K로하는선도계약과유사해지고콜옵션가격은하한선인 S PV (K) 에접근함. 그리고풋옵션가격은 0에접근함. 주가가매우낮으면콜옵션가격은 0에접근하고, 풋옵션가격은하한선인 PV ( K) S 에접근함.
Black-Scholes 모형 Greeks 델타 (delta): 기초자산의가격변화에대한옵션가격의변화
Black-Scholes 모형 감마 (gamma): 기초자산의가격변화에대한델타의변화 세타 (theta): 시간경과에대한옵션가격의변화 베가 (vega): 기초자산변동성의변화에대한옵션가격의변화
Black-Scholes 모형 로 (rho): 무위험이자율의변화에대한옵션가격의변화 옵션탄력성 (option elasticity): 주가변화율에대한옵션가격의변화율
Black-Scholes 모형내재변동성 내재변동성 (implied volatility) 은옵션가격에내재된변동성임 내재변동성은미래지향적임 내재변동성은반복적탐색절차를거쳐추정함
Black-Scholes 모형 변동성미소 (volatility smile): 등가격옵션의변동성이내가격또는외가격옵션의변동성보다작아지는현상 변동성지수
변동성의추정 Black-Scholes 모형 표준편차이용 문제점 이동기간 (moving window) 설정의문제 동일가중치사용의문제 에코효과 (echo effect) 의문제
Black-Scholes 모형 지수가중이동평균모형 (exponential-weight moving average(ewma) model) 가장최근수익률에적용되는가중치는 (1-λ) 이고, 과거로갈수록가중치에 λ 가곱해짐 ( 예를들어 λ 가 0.94 이면, 가중치는각각 6%, 5.64%, 5.30%, 4.98% 로감소함 ) 변동성의변화를반영하도록고안됨 : 즉, 변동성의시간가변성 ( 또는변동성의군집현상 ) 을고려할수있음
BS 모형의실제적용 Black-Scholes 모형 배당주식에대한유로피언콜옵션의경우 기초자산이배당을지급하면배당금의현재가치만큼주가를 하락시킨후 BS 공식을적용함
Black-Scholes 모형 배당주식에대한아메리칸콜옵션의경우 블랙이제시한방법으로배당을지급하는주식에대한아메리칸콜옵션의가격은다음 2 개의유로피언콜옵션의가격중에서큰값과같음
Black-Scholes 모형 주가지수옵션과통화옵션의경우
Black-Scholes 모형 현재주가는 42 달러, 행사가격은 40 달러, 무위험이자율은연 10%, 변동성은연 20%, 만기는 6 개월이다. 이때유러피언콜옵션과풋옵션의가치는얼마인가? d1 = d1 = ln(42 / 40) + (0.1+ 0.2 0.2 0.5 ln(42 / 40) + (0.1 0.2 0.2 0.5 2 2 / 2) 0.5 / 2) 0.5 = = 0.7693 0.6278 C = S N( d1) ( K /(1 + r) T ) N( d2) T P = ( K /(1 + r) ) N( d2) S N( d1) C=$4.69, P=$0.83